PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN KHOẢNG GIẢI các RÀNG BUỘC KHÔNG TUYẾN TÍNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYỄN VĂN QUÂN

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN KHOẢNG GIẢI CÁC RÀNG BUỘC
KHÔNG TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

NGUYỄN VĂN QUÂN

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN KHOẢNG GIẢI CÁC RÀNG BUỘC
KHÔNG TUYẾN TÍNH

Ngành: Công nghệ thông tin
Chuyên ngành: Kỹ thuật phần mềm
Mã số: 60480103

LUẬN VĂN THẠC SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TÔ VĂN KHÁNH

Hà Nội – 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng, luận văn thạc sĩ công nghệ thông tin “Phương
pháp tính toán khoảng giải các ràng buộc không tuyến tính.” là sản phẩm nghiên
cứu của riêng cá nhân tôi dưới sự giúp đỡ rất lớn của Giảng viên hướng dẫn là
TS. Tô Văn Khánh, không sao chép lại của người khác. Những điều đã được
trình bày trong toàn bộ nội dung của luận văn này hoặc là của chính cá nhân tôi,
hoặc là được tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu. Tất cả các tài liệu tham khảo đều
có nguồn gốc rõ ràng và được trích dẫn hợp pháp.
Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm và chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy
định cho lời cam đoan của mình.
Hà nội, tháng 10 năm 2016
Học viên

Nguyễn Văn Quân


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo,
TS. Tô Văn Khánh - người đã dành nhiều tâm huyết, tận tình chỉ bảo và giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình bắt đầu thực hiện đề tài cho đến khi tôi hoàn thành đề tài.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo khoa Công nghệ
thông tin, trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc Gia Hà Nội - nơi tôi đã
theo học trong thời gian qua. Các thầy cô đã cung cấp cho tôi những kiến thức
quý báu, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
tại trường.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình,
đặc biệt là bố mẹ tôi là nguồn động viên và ủng hộ tôi. Xin cảm ơn bạn bè cùng
khóa, đồng nghiệp trong cơ quan đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu thực hiện luận văn này.

Tuy rằng, tôi đã cố gắng hết sức trong quá trình làm luận văn nhưng
không thể tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được những góp ý của thầy cô
và các bạn.

Hà nội, tháng 11 năm 2016
Học viên

Nguyễn Văn Quân


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
BẢNG CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC HÌNH VẼ
DANH MỤC BẢNG
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
Chương 1. GIỚI THIỆU ...............................................................................................3
1.1. Giải các ràng buộc đa thức ....................................................................................3
1.2. Ứng dụng của giải các ràng buộc đa thức .............................................................4
1.3. Các SMT giải ràng buộc toán học .........................................................................5
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN KHOẢNG .............................................7
2.1. Giới thiệu về phương pháp tính toán khoảng ........................................................7
2.2. Phương pháp tính toán khoảng CI ........................................................................8
2.3. Phương pháp tính toán khoảng Affine Interval...................................................10
2.3.1. Dạng AF ...........................................................................................................11
2.3.2. Dạng AF1 .........................................................................................................13
2.3.2. Dạng AF2 .........................................................................................................15
2.4. Phương pháp tính toán khoảng C AI ...................................................................18

Chương 3. SMT SOLVER VÀ SMT SOLVER raSAT ...........................................23
3.1. SAT Solver ..........................................................................................................23
3.2. SMT Solver .........................................................................................................24
3.3. Thủ tục DPLL .....................................................................................................26
3.3.1 Thủ tục DPLL cho SAT ....................................................................................26
3.3.1 Thủ tục DPLL cho SMT ...................................................................................30
3.4. SMT Solver raSAT .............................................................................................32
Chương 4. CẢI TIẾN KỸ THUẬT KIỂM THỬ TRÊN SMT SOLVER raSAT ..41
4.1. Kiểm thử trên raSAT ...........................................................................................41
4.2. Kiểm thử cặp đôi .................................................................................................45
4.3 Kiểm thử cặp đôi trên raSAT ...............................................................................47


4.4 Thực nghiệm ........................................................................................................49
4.4.1 Kết quả raSAT tại các cuộc thi SMT – COMP .............................................49
4.4.2 raSAT 0.2 .......................................................................................................50
4.4.3 Benchmarks ...................................................................................................50
4.4.4 Kết quả thực nghiệm ......................................................................................51
KẾT LUẬN ..................................................................................................................53
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................54


BẢNG CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
STT

Thuật ngữ đầy đủ

Thuật ngữ viết tắt

1

SAT

Satisfiability

2

SMT

Satisfiability Modulo Theories

3

DPLL

Davis Putnam Logemann Loveland

4

CNF

Conjunctive Normal Form

5

CA

Classical Interval

6

AI

Affine Interval

7

AF

Affine Form

8

AF1

Affine Form1

9

AF2

Affine Form2

10

CAI

Chebyshev Approximation Interval

11

IA

Interval Arithmetic

12

PID

Proportional Integral Derivative

13

QE-CAD

14

CAD

Cylindrical algebraic decomposition

15

RAHD

Real Algebra in High Dimensions

16

ICP

Interval constraint propagation

17

VS

Virtual substitution

18

APC

Atomic polynomial constraint

19

ICC

Interval constraint contraction

Quantifier elimination - Cylindrical Algebraic
Decomposition


DANH MỤC HÌNH VẼ
STT Số hiệu

Tên hình vẽ

1

Hình 1

Đồ thị biểu diễn giá trị xấp xỉ Chebyshev của x 2 và x|x|.

2

Hình 2

Mô hình giải quyết vấn đề bằng SAT.

3

Hình 3

Phương pháp “Eager approach”.

4

Hình 4

Phương pháp “Lazy approach”.

5

Hình 5

Sơ đồ cơ chế hoạt động của thủ tục DPLL.

6

Hình 6

Kết quả của ràng buộc đa thức.

7

Hình 7

Kết quả kiểm thử của ràng buộc đa thức.

8

Hình 8

Kiến trúc của SMT Solver raSat.

9

Hình 9

Kết quả kiểm thử của ràng buộc đa thức.

10

Hình 10

Kiểm thử trong SMT Solver raSat.

DANH MỤC BẢNG
STT Số hiệu

Tên bảng

1

Bảng 1

Chọn giá trị cho biến trong khoảng dựa vào hệ số ưu tiên.

2

Bảng 2

Bảng giá trị đầu vào của các biến.

3

Bảng 3

Các ca kiểm thử sử dụng kỹ thuật kiểm thử cặp đôi.

4

Bảng 4

Các ca kiểm thử cặp đôi của 2 biến đầu vào.

5

Bảng 5

Các ca kiểm thử cặp đôi thêm các giá trị biến thứ ba.

6

Bảng 6

Các ca kiểm thử cặp đôi của ba biến lặp theo chiều dọc.

7

Bảng 7

Các ca kiểm thử cặp đôi của ba biến lặp theo chiều ngang.

8

Bảng 8

9

Bảng 9

Kết quả raSAT 0.1 tại cuộc thi SMT - COMP 2014.

10

Bảng 10

Kết quả raSAT 0.2 tại cuộc thi SMT - COMP 2015.

11

Bảng 11

Kết quả raSAT 0.3 và 0.4 tại cuộc thi SMT - COMP 2016.

12

Bảng 12

Bảng so sánh raSAT 0.2 và raSAT áp dụng kiểm thử cặp
đôi.

Kết quả thực nghiệm của raSAT 0.2 và raSAT0.2 –
Pairwise testing.


MỞ ĐẦU
Với sự phát triển của công nghệ thông tin các sản phẩm phần mềm được
xây dựng với các yêu cầu khắt khe về chất lượng và độ tin cậy. Đặc biệt là các
hệ thống ứng dụng trong các ngành công nghệ cao như hàng không, vận tải, y
tế... cần độ tin cậy và chính xác cao. Bởi chỉ một sai sót nhỏ của hệ thống có thể
gây ra những tổn thất to lớn về tính mạng con người và thiệt hại kinh tế. Với nhu
cầu như vậy các công cụ kiểm thử và kiểm chứng tự động ra đời sẽ giúp các nhà
phát triển đảm bảo độ tin cậy và giảm chi phí sản xuất phần mềm.
Hiện nay rất nhiều kỹ thuật được nghiên cứu và sử dụng để đảm bảo chất

lượng của phần mềm. Hai kỹ thuật truyền thống đã và đang được sử dụng để
đảm bảo chất lượng phần mềm là kiểm thử phần mềm (Software testing) và
kiểm chứng phần mềm (Software verification). Tuy nhiên việc sử dụng các
phương pháp kiểm thử chỉ làm giảm bớt lỗi của hệ thống mà không thể kết luận
được hệ thống không có lỗi. Các phương pháp kiểm chứng đang được quan tâm
số một trong việc chứng minh tính đúng đắn của hệ thống. Hiện nay các hướng
nghiên cứu về SMT solver đang được quan tâm rộng rãi bởi chúng đóng vai trò
quan trọng trong bài toán kiểm chứng phần mềm. SMT solver đóng vai trò là
công cụ nền (backend engine) trong các công cụ kiểm chứng phần mềm. Các bài
toán kiểm chứng được đưa về giải tính thỏa mãn (SAT/UNSAT) của các công
thức logic bằng các công cụ SMT solver.
Giải các ràng buộc đa thức toán học (Polynomial constraint) được ứng
dụng nhiều trong phân tích hệ thống, kiểm chứng phần cứng và phần mềm, cụ
thể như chứng minh tính bất biến của một chương trình hoặc phân tích kết quả
của các hệ thống. Tất cả các ứng dụng trên cần được tự động và cần có công cụ
để hỗ trợ để giải quyết bài toán. Giải các ràng buộc đa thức toán học là đưa ra
kết luận ràng buộc đó là SAT hoặc UNSAT.

1


Ở luận văn này chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu về các kỹ thuật giải các ràng
buộc phi tuyến tính (non-linear constraints) bằng phương pháp tính toán xấp xỉ
(approximation methods) và thực nghiệm trên công cụ SMT Solver raSAT. Cụ
thể mục tiêu của luận văn là nghiên cứu về các phương pháp tính toán khoảng
(Interval Arithmetic) để giải các ràng buộc phi tuyến tính. Đồng thời luận văn
cũng đề xuất áp dụng phương pháp kiểm thử cặp đôi vào SMT Solver raSAT và
đã cho kết quả cải tiến đáng kể hiệu quả của raSAT.
Luận văn bao gồm 4 chương, trong đó phần giới thiệu về giải các ràng buộc
toán học và ứng dụng của giải các ràng buộc toán học sẽ nằm ở Chương 1.

Chương 2: Giới thiệu về phương pháp tính toán khoảng và các kĩ thuật tính
xấp xỉ (over approximation) gồm Classical Interval (CA), Affine Interval (AI)
và Chebyshev Approximation Interval (CIA).
Chương 3: Giới thiệu về SAT Solver và SMT Solver. Trình bày các kĩ
thuật trong SMT Solver raSAT trong việc giải các ràng buộc đa thức.
Chương 4: Trình bày về các kĩ thuật kiểm thử trong raSAT. Đề xuất kỹ
thuật kiểm thử cặp đôi (pairwise) áp dụng cho raSAT.
Phần kết luận: Kết luận và hướng nghiên cứu dự định trong tương lai.

2


Chương 1. GIỚI THIỆU
1.1. Giải các ràng buộc đa thức
Giải các đa thức đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực kiểm chứng
(verification) phần mềm, chứng minh tính dừng (proving termination), tính bất
biến của chương trình (loop invariant generation) [28]. Do vậy việc đưa ra các
phương pháp và công cụ để giải tự động các ràng buộc đa thức là yêu cầu thiết
yếu. Kiểm thử không thể kiểm tra được tất cả các trường hợp có thể xảy ra của
chương trình, do vậy việc chứng minh tính đúng của chương trình là một giải
pháp thay thế. Để chứng minh chương trình không có lỗi có thể chuyển sang bài
toán giải ràng buộc toán học. Sau đó sẽ thực hiện giải các ràng buộc toán học đó
để đưa ra kết luận là chương trình có lỗi hoặc không có lỗi. Ràng buộc toán học
có thể là đơn thức, đa thức tuyến tính hoặc phi tuyến tính.
p

p

Đơn thức (Monomial): Một đơn thức được biểu diễn gồm v1 1 … vmm với các
điều kiện m > 0, vi là biến, pi > 0 𝑣ới i ∈ {1 … m} và vi # vj với i , j ∈ {1 … m},

i # j . Một đơn thức là một hàm tuyến tính (linear) nếu m=1 và p=1.
Đa thức (Polynomial): Định nghĩa Polynomial Atom, Constraint, Clause
và CNF:
 Một nguyên tử đa thức (polynomial atom) được xây dựng từ những
toán tử quan hệ như ≥ , > 𝑣à = giữa các biểu thức toán học được
xây dựng bằng cách áp dụng các phép cộng, trừ qua các biến và các
số học.
 Một ràng buộc đa thức (polynomial constraint) là một kết hợp logic
của các nguyên tử đa thức.
 Một mệnh đề là một ràng buộc đa thức bao gồm các phép tuyển hay
phép phủ định của các đa thức nguyên tử. Một ràng buộc đa thức
thuộc CNF nếu nó là một mệnh đề chuẩn tắc hội
.
3


1.2. Ứng dụng của giải các ràng buộc đa thức
Giải các ràng buộc đa thức ứng dụng trong việc phân tích, chứng minh tính đúng
đắn của chương trình. Các ứng dụng cụ thể của giải các ràng buộc đa thức gồm:
 Tự động phát hiện lỗi làm tròn và lỗi tràn số [3]: Trong khoa học
máy tính số thực thường được sử dụng để xử lý. Tuy nhiên trong các
hệ thống phần cứng cần tiếc kiệm bộ nhớ để có chi phí thấp và tốc độ
cao nên các xử lý sẽ sử dụng số nhị phân để xử lý các tính toán. Việc
chuyển đổi các thuật toán trên số thực về số nhị phân rất dễ cho các
kết quả khác nhau do các lỗi làm tròn và tràn số. Do vậy việc kiểm
soát các lỗi làm tròn, tràn số và các lỗi ở biên là vô cùng cần thiết. Ví
dụ các ứng dụng sử lý tín hiệu số như bộ giải mã Mpeg, các thư viện
OpenGL...
 Chứng minh tính tự động [23]: Giải các ràng buộc toán học ứng
dụng trong việc chứng minh tính dừng của thuật toán. Chứng minh

tự động tính dừng của thuật toán là việc đánh giá thuật toán sẽ dừng
trong bất kể trường hợp nào hoặc ngược lại thuật toán có thể là sẽ
chạy mãi mãi.
 Chứng minh tính đúng của chương trình [14]: Giải các ràng buộc
tuyến tính hoặc phi tuyến tính ứng dụng trong việc chứng minh tính
đúng của một chương trình. Chứng minh tính đúng của một chương
trình là đi khẳng định chương trình luôn đúng với mọi thay đổi của
các biến trong chương trình. Chuyển đổi một chương trình về các
ràng buộc toán học và đi chứng minh ràng buộc đó là một cách gián
tiếp đi chứng minh tính đúng của một chương trình.
 Thiết kế bộ điều khiển cơ khí [15]: Bộ điều khiển (PID Proportional Integral Derivative) được ứng dụng rộng rãi trong các
điều khiển công nghiệp. Giải các ràng buộc toán học có thể ứng dụng
trong việc thiết kế các bộ điều khiển phức tạp và cần độ tin cậy cao.
4


Ví dụ như công ty Fujitsu đã ứng dụng giải các ràng buộc phi tuyến
tính trong việc thiết kế bộ điều khiển đọc/ghi của ổ cứng.
Ví dụ 1.2.1: Phân tích tính dừng của chương trình sau:

Biểu diễn chương trình trên thành các biểu thức logic như sau.
 pt1 : 𝑦 ≥ 1 , 𝑥 ′ = 𝑥 − 1, 𝑦 ′ = 𝑦, 𝑧 ′ = 𝑧
 pt2 : 𝑦 < 𝑧 , 𝑥 ′ = 𝑥 − 1, 𝑦 ′ = 𝑦, 𝑧 ′ = 𝑧 − 1
 pt3 : 𝑦 ≥ 𝑧 , 𝑥 ′ = 𝑥, 𝑦 ′ = 𝑧 + 1, 𝑧 ′ = 𝑧
Nếu có thể giải được đa thức pt1 ˄ pt2 ˄ pt3 là UNSAT thì kết luận
chương trình trên không bị lặp vô hạn.

1.3. Các SMT giải ràng buộc toán học
Hiện nay các SMT giải các ràng buộc toán học có thể chia thành năm loại
như sau:

 QE-CAD: RAHD [19] (Real Algebra in High Dimensions) là một
công cụ giải các ràng buộc phi tuyến tính trên tập số thực. RAHD
phát triển dựa vào lý thuyết QE-CAD (Quantifier Elimination Cylindrical Algebraic Decomposition) đề xuất bởi tác giả Tarski.

5


 Interval constraint propagation (ICP): ICP sử dụng phương pháp
tính toán khoảng để tính sấp xỉ để phân tích xung đột. Các công cụ
phát triển dựa vào ICP gồm RSOLVER [21], iSAT [4].
 Bit-blasting: Là phương pháp chuyển đổi bài toán về các công thức
logic mệnh đề và sử dụng SAT Solver để giải. Các công cụ phát triển
dựa vào Bit-blasting gồm MiniSMT [5], UCLID [1].
 Linearization: Là phương pháp chuyển đổi các ràng buộc đa thức về
ràng buộc tuyến tính và sử dụng một SMT Solver để giải ràng buộc
tuyến tính này. Các công cụ phát triển dựa vào phương pháp này
gồm Barcelogic [9], CORD [2].
 Virtual substitution (VS) [6]: Là thủ tục được sử dụng để nhúng
với SMT Solver. Các công cụ phát triển dựa vào phương pháp này
gồm SMT-RAT [13], Z3 [8]. Trong đó Z3 là công cụ kết hợp hai
phương pháp VS và ICP để giải các ràng buộc tuyến tính.

6


Chương 2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN KHOẢNG
2.1. Giới thiệu về phương pháp tính toán khoảng
Trong các tính toán số học đôi khi việc tìm được kết quả chính xác là việc
vô cùng khó khăn, do vậy việc tính toán các giá trị gần đúng với kết quả thực tế
là một giải pháp được đưa ra. Phương pháp tính toán khoảng (Interval

Arithmetic - IA) sử dụng để tìm cận trên và cận dưới của các ràng buộc dựa trên
phương pháp tính xấp xỉ (approximation methods). Phương pháp này được áp
dụng cho giải các bài toán để tìm ra kết quả gần đúng với mức độ lỗi có thể chấp
nhận được.
Ví dụ: Với phương trình x 2 + x − 6 = 0 ta dễ dàng sử dụng công thức
biến đổi trong trương trình trung học cơ sở để tìm được nghiệm của phương
trình là x1 = −3 và x2 = +2. Tuy nhiên với một số bài toán không thể tìm
được nghiệm chính xác của bài toán, ví dụ với phương trình x 2 − 2 = 0 thì
nghiệm được biểu diễn √2. Như vậy nếu chỉ sử dụng các kiểu số cơ bản thì
không thể biểu diễn chính xác tất cả các giá trị của bài toán mà bắt buộc phải
làm tròn để lấy giá trị xấp xỉ. Do vậy các nhà khoa học đã đưa ra lý thuyết tính
toán khoảng (Interval Arithmetic -IA) để kiểm soát lỗi làm tròn trong các tính
toán, do vậy kết quả thu được sẽ được kiểm soát về độ tin cậy.
Các số thực x, y trong phương pháp tính toán khoảng được biểu diễn như sau:
 x = [ x , x ], y = [ y , y ], Trong đó x = min( x ∈ x ) , y = min( y ∈
y ) là cận dưới lần lượt của x và y, x = max ( x ∈ x ), y = max ( y ∈ y)
là cận trên lần lượt của x và y .
 x = y nếu x = y và x = y
 x < 𝑦 nếu x < y
 x > 𝑦 nếu y > y
 x là số thực đơn (single real number) nếu x = x. Ví dụ 0 = [ 0 , 0 ]

7


Trong phương pháp tính toán khoảng có hai kĩ thuật chính gồm Classical
Interval (CI) [20] và Affine Arithmetic (AF) [24]. Ngoài ra còn một số kĩ thuật
được phát triển từ hai kĩ thuật trên gồm AF, AF1, AF2 [17] và Chebyshev
Affine Interval (C AI) [27]. Chi tiết các kĩ thuật sẽ được trình bày lần lượt ở
phần tiếp theo của luận văn.

2.2. Phương pháp tính toán khoảng CI
Kĩ thuật tính toán khoảng Classical Interval (CI) [20] được tác giả Ramnon
E.Moore giới thiệu vào năm 1960. Ý tưởng chính của kĩ thuật này là đặt giới hạn
lỗi làm tròn trong các tính toán số học bằng cách biểu diễn mỗi giá trị trong CI
bởi một khoảng giới hạn. Các khoảng giới hạn này sẽ được sử dụng để tính toán
thay thế cho giá trị gốc. Kĩ thuật Classical Interval được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 2.2.1: Một Classical Interval của x là một khoảng x =
[ xl , xu ] trong đó xl ≤ x ≤ xu .
Định nghĩa 2.2.2: Các phép toán cơ bản trong Classical Interval gồm ☉= {
+ , − , × ,÷ } được định nghĩa như sau.


[ x l , x u ] + [ yl , yu ] = [ x l + yl , x u + yu ]



[ x l , x u ] − [ yl , yu ] = [ x l − yu , x u − yl ]



[xl , xu ] × [ yl , yu ] = [min(xl yl , xl yu , xu yl , xu yu ),
max(xl yl , xl yu , xu yl , xu yu ) ]



[xl , xu ] ÷ [ yl , yu ] = [ xl , xu ] × [

1
yl

1

, ] nếu 0 ∉ [ yl , yu ]
yu

Bổ đề 2.2.3:Với x = [ xl , xu ], y = [ yl , yu ] thì z = x ☉ y ∈ [ xl , xu ] ☉
[ yl , yu ] , trong đó ☉= { + , − , × ,÷ }.
Ví dụ 2.2.4:Cho x = [ 1 ,4 ] , y = [ 3 ,6 ] tính z = x ☉ y với ☉={ + , − ,
× ,÷ }.
 Phép cộng z = x + y :
z = [ 1 ,4 ] + [ 3 , 6 ] = [ −1 + 3 , 4 + 6] = [ 2 , 10]
8


Kết luận 𝑧 = [ 2 , 10]


Phép trừ z = x − y :
z = [ 1 ,4 ] − [ 3 , 6 ] = [ −1 − 6 , 4 − 3] = [ −7 , 1]
Kết luận 𝑧 = [ −7 , 1]



Phép nhân z = x × y :
z = [ 1 ,4 ] × [ 3 , 6 ]
= [ min (−1 × 3, −1 × 6, 4 × 3, 4 × 6),
max(−1 × 3, −1 × 6, 4 × 3, 4 × 6) ]
= [ min(−3, −6, 12, 24), max(−3, −6, 12, 24)]
= [ −6 , 24 ]

Kết luận z = [ −6 , 24 ]



Phép chia z = x ÷ y :
z = [ 1 ,4 ] ÷ [ 3 , 6 ]
1 1
, ]
3 6
1
1 4 2
1
1 4 2
= [ min (− , −
, , ) , max (− , − , , )]
3
6 3 3
3
6 3 3
1 4
=[− , ]
6 3
1 4
Kết luận z = [ − , ]
6 3
= [ 1 ,4 ] × [

Hạn chế của Classical Interval là kết quả tính toán có thể rộng hơn kết quả
thực tế mong muốn trong các phép tính lớn. Khi mà kết quả ở một trạng thái là
đầu vào của trạng thái tiếp theo. Nguyên nhân là do các đầu vào ban đầu của CI

là độc lập và không phục thuộc nhau do đó trong trường hợp các tính toán có
liên quan tới các đầu vào phục thuộc nhau sẽ làm kết quả của phép toán sai lệnh
so với kết quả thực tế.
Ví dụ với phép toán trừ ( − ) , sử dụng công thức ở 2.2.2 với x = [2 , 5]
kết quả thu được là x − x = [2 , 5] − [2 , 5] = [−3 , 3] . Do kĩ thuật CI không
thể nhận biết được hai đầu vào là giống nhau nên sẽ biểu diễn hai giá trị với
9


cùng một khoảng do vậy dẫn đến kết quả là [−3 , 3] thay vì kết quả chính xác
là [0 , 0] .
Ví dụ với các phép toán nhiều hơn hai đầu vào cho x = [4 , 6] tính
x(10 − x) . Sử dụng các công thức ở 2.2.2 như sau :
10 − x = [10 , 10] − [4 , 6] = [4 , 6]
x(10 − x) = [4 , 6] × [4 , 6] = [16 , 36]
Kết quả chính xác là [24 , 25] thay vì [16 , 36] . Do kĩ thuật Classical
Interval không nhận biết được hai đầu vào của phép nhân là x và (10 − x) phụ
thuộc nhau nên dẫn đến khoảng kết quả thu được rộng hơn rất nhiều so với
khoảng kết quả thực tế của phép toán.
Như vậy với các phép tính có nhiều hơn hai đầu vào không độc lập nhau
sẽ dẫn đến lỗi tính toán và kết quả thu được rộng hơn mong muốn. Để khắc phục
nhược điểm này của Classical Interval phần tiếp theo của luận văn sẽ giới thiệu
phương pháp tính toán khoảng Affine Interval (AI).

2.3. Phương pháp tính toán khoảng Affine Interval
Kĩ thuật tính toán khoảng Affine Interval (AI) [24] được giới thiệu bởi hai
tác giả Comba và Stolfi vào năm 1993. Kĩ thuật AI được phát triển từ kĩ thuật CI
bằng cách tự động theo dõi việc làm tròn số để giảm thiểu các lỗi trong mỗi
bước tính toán. Ngoài ra để khắc phục nhược điểm các đầu vào độc lập của CI
như ở trên, AI có thể theo dõi mỗi tương tác giữa các thành phần của đa thức.

Mục đích của AI là cung cấp các giới hạn tính toán để đảm bảo cho các kết
quả tính toán có lỗi đủ nhỏ, đặc biệt trong các chuỗi tính toán lớn kĩ thuật AI sẽ
phát huy được lợi thế này. AI được đánh giá là kĩ thuật có độ chính xác cao, tuy
nhiên kĩ thuật này phức tạp và tốn nhiều chi phí cho việc áp dụng vào các ứng
dụng thực tế.
Các biến trong Affine Interval được biểu diễn bởi số thực ɛ (noise
symbols) có giá trị trong khoảng [−1 , 1]. Các tính toán trong Affine Interval

10


cho phép giữ giá trị ban đầu của các tính toán dựa trên kí tự ɛ và cải thiện độ
chính xác khi thực hiện phép trừ (−).
Ví dụ x ∈ (1 , 3), x được biểu diễn x = 2 + ɛ, khi đó x = (2 + ɛ) − (2 +
ɛ) có giá trị hợp lý bằng 0.
Affine Interval được phát triển dưới các dạng Affine Forms (AF) bằng cách
xác định số lượng biến để theo dõi mức độ lỗi khi thực hiện lấy xấp xỉ hoặc làm
tròn trong phép nhân. Phần tiếp theo của luận văn sẽ giới thiệu các dạng của
Affine Interval gồm AF, AF1, AF2.

2.3.1. Dạng AF
Định nghĩa 2.3.1: Dạng AF [17] của biến x biểu diễn như sau:
n

ẍ = a0 + ∑ ai ɛi
i=1
n

n

Với x ∈ ( a0 − ∑|ai | , a0 + ∑|ai | ) , ɛi ∈ [−1 , 1] (noise symbols)
i=0

i=0

Định nghĩa 2.3.2: Cho x, y biểu diễn lần lượt dưới dạng AF như sau:
n

ẍ = a0 + ∑ ai ɛi
i=1
n

ÿ = b0 + ∑ bi ɛi
i=1

Các phép toán của dạng AF gồm ☉={ + , − , × ,÷ } như sau:
n

ẍ + ÿ = (a0 + b0 ) + ∑(ai + bi )ɛi
i=1
n

ẍ − ÿ = (a0 − b0 ) + ∑(ai − bi )ɛi
i=1
n

n

n

ẍ × ÿ = (a0 b0 ) + ∑(a0 bi − b0 ai )ɛi + ( ∑|ai | ) ( ∑|bi | ) ɛn+1
i=1

i=1

11

i=1


n

n

i=0

i=0

1
ẍ ÷ ÿ = ẍ × nếu 0 ∉ (b0 − ∑|bi | , b0 + ∑|bi | ))
ÿ
Với ɛn+1 là một noise symbols mới và

1
được tính bằng phương pháp xấp xỉ
ÿ

Chebyshev.
Chuyển đổi giữa CI và AF [24]:
Với x ở dạng CI x = [ xl , xu ] chuyển thành AF Form của biến x như sau:

ẍ =

xu + xl xu − xl
+
ɛx
2
2

Với x ở dạng AF Form ẍ
n

= a0 + ∑ ai ɛi chuyển thành CI của biến x như sau:
i=1
n

n

x = [ a0 − ∑|ai | , a0 + ∑|ai | ]
i=0

i=0

Ví dụ 2.3.3: Với hai giá trị x = [−1 , 5] , y = [ 3 , 7] được biểu diễn bằng
AF như sau:
x = 2 + 3ɛ1
y = 5 + 2ɛ2
Tính z = x ☉ y với ☉ = { + , − , × ,÷ }.


Phép cộng z = x + y :

z̈ = ẍ + ÿ
= 2 + 3ɛ1 + 5 + 2ɛ2
= 7 + 3ɛ1 + 2ɛ2

Kết quả z̈ = (7 − 3 − 2 , 7 + 3 + 2 ) = (2 , 12) nên kết luận z ∈ [ 2 , 10 ].


Phép trừ z = x − y :
z̈ = ẍ − ÿ
= 2 + 3ɛ1 − 5 − 2ɛ2
12


= − 3 + 3ɛ1 − 2ɛ2
Kết quả z̈ = (−3 − 3 + 2 , −3 + 3 − 2 ) = (−4 , −2 ) nên kết luận
z ∈ [−4 , −20 ].


Phép nhân z = x × y :
z̈ = ẍ × ÿ
= (2 + 3ɛ1 ) × (5 − 2ɛ2 )
= 10 − 4ɛ2 + 15ɛ1 − 6ɛ1 ɛ2
= 10 − 4ɛ2 + 15ɛ1 − 6ɛ3

với ɛ3 = ɛ1 ɛ2

Kết quả z̈ = (10 + 4 − 15 + 6, 10 − 4 + 15 − 6) = (5 , 15 ) nên kết luận
z ∈ [5 , 15] . Và ɛ3 là một noise symbols mới được tạo ra từ phép nhân z̈ = ẍ ×
ÿ .


Phép chia z = x ÷ y :
z̈ = ẍ ÷ ÿ
= (2 + 3ɛ1 ) ×
=

Kết quả z̈ = (

1
(5 − 2ɛ2 )

2 + 3ɛ1
5 − 2ɛ2

2−3 2+3
1 5
1 5
,
) = ( , ) nên kết luận z ∈ [ , ].
5+ 2 5 − 2
7 3
7 3

Dạng AF có hạn chế là khi tính toán với các ràng buộc phi tuyến tính lớn sẽ
làm gia tăng noise symbols mới.

2.3.2. Dạng AF1
Dạng AF1 [17] được mở rộng từ dạng AF bằng cách thêm một số thực ɛ⫨
(fixed error noise symbol) có giá trị trong khoảng [−1 , 1], để kiểm soát lỗi tính
toán xấp xỉ của các toán hạng phi tuyến tính. Tất cả các toán hạng phi tuyến tính

sẽ sử dụng biến này để tính toán.

13


Định nghĩa 2.3.4: Dạng AF1 của biến x biểu diễn như sau:
n

x̂ = a0 + ∑ ai ɛi + an+1 ɛ⫨
i=1
n

n

Với x ∈ (a0 − ∑|ai | − an+1 , a0 + ∑|ai | + an+1 ) , ɛi
i=0

i=0

∈ [−1 , 1] (noise symbols)
, ɛ⫨ ∈ [−1 , 1] (fixed error noise symbol), an+1 ≥ 0.
Định nghĩa 2.3.5: Biểu diễn x, y dưới dạng AF1 :
n

x̂ = a0 + ∑ ai ɛi + an+1 ɛ⫨
i=1
n

ŷ = b0 + ∑ bi ɛi + bn+1 ɛ⫨
i=1

Các phép toán của dạng AF1 gồm ☉ = { + , − , × ,÷ } như sau :
n

x̂ + ŷ = (a0 + b0 ) + ∑(ai + bi )ɛi + (an+1 + bn+1 )ɛ⫨
i=1
n

x̂ − ŷ = (a0 − b0 ) + ∑(ai − bi )ɛi + (an+1 + bn+1 )ɛ⫨
i=1
n

x̂ × ŷ = (a0 b0 ) + ∑(a0 bi − b0 ai )ɛi + (|a0 |bn+1 + |b0 |an+1 )
i=1
n

n

+ ( ∑|ai | ) ( ∑|bi | ) ɛ⫨
i=1

i=1
n

n

i=0

i=0

1
x̂ ÷ ŷ = x̂ ×
nếu 0 ∉ (b0 − ∑|bi | − bn+1 , b0 + ∑|bi | + bn+1 ))
ŷ
Với

1
được tính bằng phương pháp xấp xỉ Chebyshev,
ŷ

an+1 ≥ 0 , bn+1 ≥ 0 và hệ số của ɛ⫨ là (an+1 + bn+1 ) với phép toán trừ (−) .
14


Ví dụ 2.3.6: Với hai giá trị x = 2 + 3ɛ1 , y = 5 + 2ɛ2 tính z = x ☉ y với
☉= { + , − , × ,÷ }.
Phép cộng, trừ và chia có kết quả tương tự với AF ở ví dụ 2.2.7
Phép nhân z = x × y :
ẑ = x̂ × ŷ
= (2 + 3ɛ1 ) × (5 − 2ɛ2 )
= 10 − 4ɛ2 + 15ɛ1 − 6ɛ1 ɛ2
= 10 − 4ɛ2 + 15ɛ1 − 6ɛ⫨ với ɛ⫨ = ɛ1 ɛ2
Kết quả thu được tương tự với dạng AF z ∈ [5 , 15 ] và các phép toán phi
tuyến tính được gán vào biến ɛ⫨ .
Như vậy kĩ thuật AF1 đã giải quyết được hạn chế gia tăng noise symbols
mới bằng cách sử dụng duy nhất một noise symbols ɛ⫨ vào các toán hạng phi
tuyến tính của ràng buộc.

2.3.2. Dạng AF2
Dạng AF2 [17] được mở rộng từ dạng AF1 bằng cách thêm hai số thực

ɛ− ∈ [−1 ,0] (negative noise symbol) và ɛ+ ∈ [0 , 1] (positive noise symbol
để cải thiện độ chính xác của kết quả trong các biểu thức có hai noise symbol trở
lên. Các noise symbol có hệ số hai trở lên sẽ được thay thế bằng ɛ− hoặc ɛ+ phụ
thuộc vào hệ số của noise symbol đó trong ràng buộc.
Định nghĩa 2.3.7: Dạng AF2 của biến x biểu diễn như sau :
2n

x̆ = a0 + ∑ ai ɛi + an+1 ɛ+ + an+2 ɛ− + an+3 ɛ⫨
i=1
n

n

Với x ∈ ( a0 − ∑|ai | − an+2 − an+3 , a0 + ∑|ai | + an+1 + an+3 ) ,
i=0

i=0

ɛi ∈ [−1 , 1] (noise symbols), ɛ− ∈ [−1 ,0] (negative noise symbol), ɛ+ ∈
[0 , 1] (positive noise symbol) , ɛ⫨ ∈ [ −1 , 1] (fixed error noise symbol)
và an+1 ≥ 0, an+2 ≥ 0, an+3 ≥ 0.
15


Định nghĩa 2.3.8: Biểu diễn hai số x, y dưới dạng AF2 như sau:
n

x̆ = a0 + ∑ ai ɛi + an+1 ɛ+ + an+2 ɛ− + an+3 ɛ⫨
i=1
n

y̆ = b0 + ∑ bɛi + bn+1 ɛ+ + bn+2 ɛ− + bn+3 ɛ⫨
i=1

Các phép toán của AF2 form gồm ☉= { + , − , × ,÷ } như sau :
n

x̆ + y̆ = (a0 + b0 ) + ∑(ai + bi )ɛi + (an+1 + bn+1 )ɛ+
i=1

+ (an+2 + bn+2 )ɛ− + (an+3 + bn+3 )ɛ⫨
n

x̆ − y̆ = (a0 − b0 ) + ∑(ai − bi )ɛi + (an+1 + bn+2 )ɛ+
i=1

+ (an+2 + bn+1 )ɛ− + (an+3 + bn+3 )ɛ⫨
n

x̆ × y̆ = (a0 b0 ) + ∑(a0 bi − b0 ai )ɛi + K1 ɛ+ + K 2 ɛ− + K 3 ɛ⫨
i=1

Với
a0 bn+1 + b0 an+1 nếu a0 ≥ 0, b0 ≥ 0
a0 bn+1 − b0 an+2 nếu a0 > 0, 𝑏0 < 0
K 1 = ∑ a i bi +
−a0 bn+2 − b0 an+1 nếu a0 < 0, 𝑏0 > 0
i=1,ai bi >0
{−a0 bn+2 − b0 an+2 nếu a0 < 0, 𝑏0 < 0
n+2

a0 bn+2 + b0 an+2 nếu a0 ≥ 0, b0 ≥ 0
a0 bn+2 − b0 an+1 nếu a0 > 0, 𝑏0 < 0
K 2 = ∑ a i bi +
−a0 bn+1 − b0 an+2 nếu a0 < 0, 𝑏0 > 0
i=1,ai bi <0
{−a0 bn+1 − b0 an+1 nếu a0 < 0, 𝑏0 < 0
n+2

n+3

n+3

K 3 = ∑ ∑ |ai bj | + ( |a0 |bn+3 + |b0 |an+3 ) + (an+3 + bn+3 )
i=1 j=1,i # j

16