cac bai tap ve phuong trinh bac 2 viet on thi vao 10

Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)

DẠNGIV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI+HỆ THỨC VI-ÉT
A- TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
I-Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
∆ = b2 - 4ac
-b - ∆
-b + ∆
* Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
; x2 =
2a
2a
-b
* Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
2a
* Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
II-Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức nghiêm thu gọn.
∆ ' = b'2 - ac
-b' - ∆ '
-b' + ∆ '
* Nếu ∆ ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =
; x2 =
a
a
-b'
* Nếu ∆ ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a
* Nếu ∆ ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
III- Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
b


 x1 + x 2 = − a
1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) thì : 
x x = c
 1 2 a
2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x 2 − Sx + P = 0
(Điều kiện để có u và v là S2 − 4P ≥ 0 )
c
3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) có hai nghiệm : x1 = 1; x 2 =
a
c
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) có hai nghiệm : x1 = −1; x 2 = −
a
IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0
4. Tính giá trị các biểu thức nghiệm
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa
tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
• x12 + x22 = ( x12 + 2 x1 x2 + x22 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2

•
•

2
x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 



x14 + x24 = ( x12 ) 2 + ( x22 ) 2 = ( x12 + x22 ) − 2 x12 x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2  − 2 x12 x22
2

2

Toán 9- Hải


•

1 1 x1 + x2
+ =
x1 x2
x1 x2

•

x1 − x2 = ±

Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)

•

( x1 + x2 ) − 4 x1 x2
x12 − x22
( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…….)
2
x13 − x23 ( = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 

•

x14 − x24

•

x16 + x26

•

2

=……. )

2
2
2
2
( = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =…… )

2 3
2 3
2

2
4
2 2
4
( = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ……..)

Dạng 5: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.
Tổng quát:
Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x = x0 vào 2 phương trình ta được hệ với ẩn là các tham số.
Giải hệ tìm tham số m.
Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không?
Bài 1. Cho hai phương trình: x 2 + x + m = 0 và x 2 + mx + 1 = 0
Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung. ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung là x = 1 )
Giải: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình ta có
Bài 2. Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung.
x 2 + mx + 2 = 0 và x 2 + 2 x + m = 0 ( Đáp số: m = - 3 nghiệm chung là x = 1)
B- BÀI TẬP
I-CÁC BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a / 2x 2 − 8 = 0
e / x 3 + 3x 2 − 2x − 6 = 0

b / 3x 2 − 5x = 0
d / x 4 + 3x 2 − 4 = 0

c / −2x 2 + 3x + 5 = 0
f/

x+2
6

+3=
x −5
2−x

Giải
a / 2x − 8 = 0 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4 ⇔ x = ±2 Vậy phương trình có nghiệm x = ±2
2

2

2

x = 0
x = 0
5
b / 3x − 5x = 0 ⇔ x(3x − 5) ⇔ 
⇔
Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x =
5
x =
3
3x − 5 = 0
3

2

c / −2x 2 + 3x + 5 = 0 ⇔ 2x 2 − 3x − 5 = 0
5 5
=
−2 2

a+b+c=1+3-4=0

Nhẩm nghiệm:Ta có : a - b + c = 2 + 3 - 5 = 0 => phương trình có nghiệm : x1 = −1; x 2 = −

2
d / x 4 + 3x 2 − 4 = 0 Đặt t = x (t ≥ 0) . Ta có phương trình : t 2 + 3t − 4 = 0
4
=> phương trình có nghiệm : t1 = 1 > 0 (thỏa mãn); t 2 = − = −4 < 0 (loại)
Với: t = 1 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1
1
Vậy phương trình có nghiệm x = ±1
e / x 3 + 3x 2 − 2x − 6 = 0 ⇔ (x 3 + 3x 2 ) − (2x + 6) = 0 ⇔ x 2 (x + 3) − 2(x + 3) = 0 ⇔ (x + 3)(x 2 − 2) = 0

x = −3
x + 3 = 0
x = −3
⇔ 2
⇔ 2
⇔
x − 2 = 0
x = 2
x = ± 2
Vậy phương trình có nghiệm x = −3; x = ± 2
Toán 9- Hải


Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)

x+2
6

x+2
6
f/
+3=
+3=
(ĐKXĐ : x ≠ 2; x ≠ 5 ) Phương trình :
x −5
2−x
x −5
2−x
(x + 2)(2 − x) 3(x − 5)(2 − x)
6(x − 5)
⇔
+
=
⇒ (x + 2)(2 − x) + 3(x − 5)(2 − x) = 6(x − 5)
(x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x)
⇔ 4 − x 2 + 6x − 3x 2 − 30 + 15x = 6x − 30 ⇔ −4x 2 + 15x + 4 = 0
∆ = 152 − 4.(−4).4 = 225 + 64 = 289 > 0; ∆ = 17
−15 + 17
1
−15 − 17
= − (thỏa mãn ĐKXĐ), x 2 =
= 4 (thỏa mãn ĐKXĐ)
=> phương trình có hai nghiệm : x1 =
2.( −4)
4
2.(−4)
Bài 2:. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x 2 − 8 x + 15 = 0 Không giải phương trình, hãy tính

2
2
1. x1 + x2

2.

1 1
+
x1 x2

3.

x1 x2
+
x2 x1

4. ( x1 + x2 )

2

b) Cho phương trình : 8 x 2 − 72 x + 64 = 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1.
c) Cho phương trình : x 2 − 14 x + 29 = 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1.

1 1
+
x1 x2
1 1
+
x1 x2

,

2
2
2. x1 + x2

2
2
2. x1 + x2

d) Cho phương trình : 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1.

1 1
+
x1 x2

2.

1 − x1 1 − x2
+
x1
x2

e) Cho phương trình
Q=

2
2
3. x1 + x2

4.

x1
x
+ 2
x2 + 1 x1 + 1

x 2 − 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính

6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
5 x1 x23 + 5 x13 x2

------------------------------------------------------------------Bài 3: Cho phương trình x − 2mx + m − 2 = 0 (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
−24
Tìm m để biểu thức M = 2
đạt giá trị nhỏ nhất
x1 + x22 − 6 x1 x2
HD
a/ Phương trình (1) có ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > 0 với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với
mọi m.
b
c
b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = − = 2m ; P = = m − 2
a
a
−24
−24

−6
=
M=
=
( x1 + x2 ) 2 − 8 x1 x2 4m 2 − 8m + 16 m 2 − 2m + 4
−6
=
. Khi m = 1 ta có (m − 1) 2 + 3 nhỏ nhất
( m − 1) 2 + 3
6
−6
⇒ −M =
lớn nhất khi m = 1 ⇒ M =
nhỏ nhất khi m = 1
2
( m − 1) + 3
(m − 1) 2 + 3
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là - 2 khi m = 1
x
Bài 2: (2,0 điểm)
0
1 2
2
2
Cho phương trình x – 2x – 3m = 0, với m là tham số.
2

Toán 9- Hải

Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)

1) Giải phương trình khi m = 1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa điều kiện

x1 x2 8
− = .
x2 x1 3

HDBài 2:
1)
Khi m = 1, phương trình thành : x2 – 2x – 3 = 0 ⇔ x = -1 hay x = 3 (có dạng a–b + c = 0)
x1 x2 8
− = ⇔ 3( x12 − x22 ) = 8 x1 x2 ⇔ 3(x1 + x2)(x1 – x2) = 8x1x2
2)
Với x1, x2 ≠ 0, ta có :
x2 x1 3
2
Ta có : a.c = -3m ≤ 0 nên ∆ ≥ 0, ∀m
b
c
Khi ∆ ≥ 0 ta có : x1 + x2 = − = 2 và x1.x2 = = −3m 2 ≤ 0
a
a
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm ≠ 0 mà m ≠ 0 ⇒ ∆ > 0 và x1.x2 < 0 ⇒ x1 < x2
Với a = 1 ⇒ x1 = −b '− ∆ ' và x2 = −b '+ ∆ ' ⇒ x1 – x2 = 2 ∆ ' = 2 1 + 3m 2
Do đó, ycbt ⇔ 3(2)(−2 1 + 3m 2 ) = 8(−3m 2 ) và m ≠ 0
⇔ 1 + 3m 2 = 2m 2 (hiển nhiên m = 0 không là nghiệm)
⇔ 4m4 – 3m2 – 1 = 0 ⇔ m2 = 1 hay m2 = -1/4 (loại) ⇔ m = ± 1
Bài 3. (1,5 đ)

Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để biểu thức A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
HDbài 3. (1,5 đ)
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
2

Ta có ∆′ =  −(m+ 2) − m2 − 4m− 3 = 1> 0 với mọi m.
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
2) phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. Theo hệ thức Vi-ét ta có :
 x1 + x2 = 2(m+ 2)

2
 x1.x2 = m + 4m + 3
A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2 x1x2 = 4(m + 2)2 – 2(m2 + 4m +3) = 2m2 + 8m+ 10
= 2(m2 + 4m) + 10
= 2(m + 2)2 + 2 ≥ 2 với mọi m.
Suy ra minA = 2 ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = - 2
Vậy với m = - 2 thì A đạt min = 2
Bài 4) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1,
2
2
x2 thỏa mãn điều kiện : x1 + x 2 = 7
Giải Bài 4:
+ Phương trình đã cho có ∆ = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0, ∀m
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt ∀m
 x1 + x2 = 4m− 1
+ Theo ĐL Vi –ét, ta có: 
.

2
 x1x2 = 3m − 2m
2
2
2
Khi đó: x1 + x2 = 7 ⇔ (x1 + x2 ) − 2x1x2 = 7
⇔ (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 7 ⇔ 10m2 – 4m – 6 = 0 ⇔ 5m2 – 2m – 3 = 0
−3
Ta thấy tổng các hệ số: a + b + c = 0 => m = 1 hay m =
.
5
Trả lời: Vậy....
Câu 5 (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0
Toán 9- Hải


Cỏc bi tp phng trỡnh bc 2- Vi-et (phc v chuyờn 4)

1. Gii phng trỡnh khi m = 4
2. Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
Gii
1. Khi m = 4, ta cú phng trỡnh
x2 + 8x + 12 = 0 cú = 16 12 = 4 > 0
Vy phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
x1 = - 4 + 2 = - 2 v x2 = - 4 - 2 = - 6
2. Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
x2 + 2mx + m2 2m + 4 = 0
Cú D = m2 (m2 2m + 4) = 2m 4
phng trỡnh cú hai nghim phõn bit thỡ D > 0
=> 2m 4 > 0 => 2(m 2) > 0 => m 2 > 0 => m > 2

Vy vi m > 2 thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
Cõu 6: (1,5 im)
2
2
Cho phng trỡnh (n s x): x 4 x m + 3 = 0 ( *) .
1. Chng minh phng trỡnh (*) luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m.
2. Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh (*) cú hai nghim x1 , x2 tha x2 = 5 x1 .
Gii cõu 6: (1,5 im)
Cho phng trỡnh (n s x):.
1.

x 2 4 x m 2 + 3 = 0 ( *)

= 16 + 4m 2 12 = 4m 2 + 4 4 > 0; m

Vy (*) luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m.
2. Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh (*) cú hai nghim x1 , x2 tha x2 = 5 x1 .
Theo h thc VI-ET cú :x1.x2 = - m2 + 3 ;x1+ x2 = 4; m x2 = 5 x1 => x1 = - 1 ; x2 = 5
Thay x1 = - 1 ; x2 = 5 vo x1.x2 = - m2 + 3 => m = 2 2
Câu 7: 2 điểm:Cho phơng trình: x2 2(m-1)x + m2 6 =0 ( m là tham số).
a) GiảI phơng trình khi m = 3
2
2
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 16

Gii Cõu 7: (2,0 im)
a, Thay x = 3 vo phng trỡnh x2 - 2(m - 1)x + m2 - 6 = 0 v gii phng trỡnh:
x2 - 4x + 3 = 0 bng nhiu cỏch v tỡm c nghim x1 = 1, x2 = 3.
b, Theo h thc Viột, gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh
x2 - 2(m - 1)x + m2 - 6 = 0 , ta cú:

x1 + x2 = 2(m 1)

2
x1.x2 = m 6
v x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = 16
Thay vo gii v tỡm c m = 0, m = -4
Cõu 8:(1,5 im)
Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh x 2 5 x 3 = 0 .Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr cỏc biu thc
sau:
Toỏn 9- Hi


Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)

a, x1 + x2

b,

1
x1 + x 2

c, x12 + x 22

Câu 9 (2đ)
Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức
2
A = x1 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải câu 9 (2đ) Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0

c) Giải phương trình khi m = 1
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức
A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Đáp án a) x1 = − 2 − 5 ; x2 = − 2 + 5
e) Thấy hệ số của pt : a = 1 ; c = A – 1 ⇒ pt luôn có 2 nghiệm
Theo vi- ét ta có x1 + x2 =2(m – 3) ; x1x2 = –1
Mà A=x12 – x1x2 + x22 = (x1 + x2 )2 – 3x1x2 = 4(m – 3)2 + 3 ≥ 3
⇒ GTNN của A = 3 ⇔ m = 3
Câu I0: (1,5 điểm)
1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0
2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x 1;
3
3
x2 thỏa mãn điều kiện x1 x 2 + x 1x 2 = −6
Giải Câu I0: (1,5 điểm)
1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0 có a – b + c = 1 + 7 – 8 = 0 suy ra x1= -1 và x2= 8
2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x 1;
3
3
x2 thỏa mãn điều kiện x1 x 2 + x 1x 2 = −6 .
Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì ∆ ’ ≥ 0  1 – m + 3 ≥ 0  m ≤ 4
Theo viet ta có: x1+ x2 =2 (1) và x1. x2 = m – 3 (2)
Theo đầu bài:

x13 x 2 + x1x 32 = −6 ⇔ x1x 2 ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 = 6
2

(3)

Thế (1) và (2) vào (3) ta có: (m - 3)(2) 2 – 2(m-3)=6  2m =12  m = 6 Không thỏa mãn điều kiện m ≤ 4 vậy

3
3
không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x 2 + x1x 2 = −6 .
Câu 11. (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x + m− 2 = 0, với x là ẩn số, m∈ R
a. Giải phương trình đã cho khi m = – 2
b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà
không phụ thuộc vào m.
Giải Câu 11. Cho pt x2 − 2(m+ 1)x + m− 2 = 0, với x là ẩn số, m∈ R
a.
Giải phương trình đã cho khi m = – 2
Ta có phương trình x 2 + 2x − 4 = 0
x 2 + 2x − 4 = 0 ⇔ x 2 + 2x + 1 = 5 ⇔ ( x + 1) = 5 =
2

( 5)

2

x +1 = − 5
 x = −1 − 5
⇔
⇔ x +1 = 5 ⇔ 
 x + 1 = 5
 x = −1 + 5
Vậy phương trinh có hai nghiệm x = −1 − 5 và x = −1 + 5
b.

Toán 9- Hải

Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)

 x + x 2 = 2 ( x1x 2 + 2 ) + 2
 x1 + x 2 = 2m + 2 (1)
 x + x 2 = 2m + 2
⇔ 1
⇔ 1
Theo Vi-et, ta có 
(2)
m = x1x 2 + 2
 x1x 2 = m − 2
 m = x1 x 2 + 2
Suy ra x1 + x 2 = 2 ( x1x 2 + 2 ) + 2 ⇔ x1 + x 2 − 2x1x 2 − 6 = 0
II-CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP

III-CÁC BÀI TẬP ĐÃ THI ( MỨC ĐỘ -YÊU CẦU- ĐÁP ÁN)
Câu I2. (2,0 điểm)
Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*)
1. Giải phương trình (*) với a = 1.
2. Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị của a để biểu thức:
2
2
N= x1 + ( x1 + 2)( x2 + 2) + x2 có giá trị nhỏ nhất.
( Tự Giải)
Câu 13. (4,0 điểm)
Cho phương trình x2 – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1).
a) Giải phương trính (1) khi m = 1.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ
nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).
Giải Câu 13
a) Khi m = 1, pt(1) trở thành: x2 – 3x = 0

x = 0
⇔ x(x – 3) = 0 ⇔ 
x = 3
Vậy khi m = 1, phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 3.
b) Phương trình (1) có nghiệm kép khi có ∆ = 0
⇔ (-3)2 – 4. 1.(m – 1) = 13 – 4m = 0

13
4
13
Vậy khi m =
thì phương trình (1) có nghiệm kép.
4
⇔ m=

c)
•

ĐK để pt(1) có hai nghiệm x1, x2 là ∆ ≥ 0 ⇔ 13 – 4m ≥ 0 ⇔ m ≤

13
.
4

c

=m–1.
a
• Theo đề bài, ta có: x1x2 = 2 ⇔ m – 1 = 2 ⇔ m = 3( thỏa ĐK)
•

Khi đó pt(1) có: x1x2 =

•

Vậy khi m = 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật
có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).
Câu14 (2,0 điểm).
Cho phương trình: x 2 − 2( m + 1) x + 2m = 0 (1)
(với ẩn là x ).
1) Giải phương trình (1) khi m =1.
2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
Toán 9- Hải


Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4)

3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 ; x2 . Tìm giá trị của m để x1 ; x2 là độ dài hai cạnh của một
tam giác vng có cạnh huyền bằng 12 .
Giai cau 14 Khi m = 1 ta có phương trình x2 – 4x + 2 = 0
Giải phương trình được x1 = 2 + 2 ; x 2 = 2 − 2
Tính ∆ ' = m 2 + 1
Khẳng định phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
 2m + 2 > 0
⇔m>0
Biện luận để phương trình có hai nghiệm dương 

 2m > 0
Theo giả thiết có x12 + x22 = 12 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 12
⇔ 4(m + 1) 2 − 4m = 12 ⇔ m2 + m – 2 = 0
Giải phương trình được m = 1 ( thoả mãn), m = -2 (loại)
Câu 15 (3,0 điểm):
1. Cho phương trình x 2 - 2m - (m 2 + 4) = 0
(1), trong đó m là tham số.
a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt:
2
2
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x1 + x 2 = 20 .
2. Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số.
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4). Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch
biến trên R?
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + 3 = 0
Gair câu 15 1 a) ∆' = (−1) 2 − 1. − ( m 2 + 4) = m 2 + 5
Vì m 2 ≥ 0, ∀m ⇒ ∆' > 0, ∀m .
Vậy pt (1) ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
 x1 + x 2 = 2
b) Áp dụng định lý Vi –ét 
2
 x1 x 2 = −(m + 4)
2
x12 + x 22 = 20 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x 2 = 20

[

]

⇒ 2 2 + 2m 2 + 8 = 20 ⇔ 2m 2 = 8 ⇔ m = ±2

vậy m= ± 2
2
a) Vì đồ thị của hàm số (1) đi qua A(1;4) ⇒ 4= m.1+1 ⇔ m = 3
Với m = 3 hàm số (1) có dạng y = 3x +1; vì 3>0 nên hàm số (1) đồng biến trên R.
b) (d) : y = - x – 3
 m = −1
Vì đồ thị của hàm số (1) song song với (d) ⇒ 
1 ≠ −3
Vậy m = -1 thì đồ thị của hàm số (1) song song với (d)
Bài 2: (2,0 điểm)

Cho phương trình x2 + 2( m+ 1) x + m− 4 = 0 (vớ
i m làtham số) .

a) Giải phương trình đã cho khi m = −5.
b) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò
của tham số m.
c) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm x 1, x2 thõa mãn hệ thức :
2
x1 + x22 + 3x1x2 = 0.
Tốn 9- Hải


Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4)

∙ Bài 2: a) * Khi m = − 5, phương trình đã cho trở thành:
x2 − 8x − 9 = 0 (vớ
i a =1 ; b =− 8 ; c =− 9) (*)
* Ta thấy phương trình (*) có các hệ số thõa mãn a − b + c = 0 ; nên nghiệm của
phương trình (*) là:

−c
x1 = −1 vàx2 =
= 9 (nhẩ
m nghiệ
m theo Viet).
a
y khi m =− 5, phương trình đãcho cóhai nghiệ
m phâ
n biệ
t x1 = −1 vàx2 = 9.
* Vậ
b) Phương trình đã cho (bậc hai đối với ẩn x) có các hệ số: a = 1 ; b / = m +
1 và c = m − 4 ; nên:
2

1  19 19

∆ = ( m+ 1) − ( m− 4) = m + m+ 5 =  m+ ÷ + ≥
>0
2
4 4

2
 

1
t biể
u thứ
c thì khô
ng â

m÷
 vì  m + ÷ ≥ 0 ;bình phương mộ
 
÷
2


/
⇒ ∆ > 0 ; vậ
y phương trình đãcho luô
n cóhai nghiệ
m phâ
n biệ
t x1, x2 vớ
i mọi giátròcủ
a tham sốm. c) Theo
câu b, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò của
tham số m. Theo hệ thức Viet, ta có:
 x1 + x2 = −2( m+ 1)
( I) .

 x1 ×x2 = m− 4
/

2

Căn cứ (I), ta có:

2

x12 + x22 + 3x1x2

= 0 ⇔ ( x1 + x2 )

2

 m= 0
+ x1.x2 = 0 ⇔ 4m + 9m = 0 ⇔ 
.
 m = −9

4
2

 −9
y m∈ 0 ;  thì phương trình đãcho cónghiệ
m x1, x2 thõ
a hệthứ
c x12 + x22 + 3x1x2 = 0.
* Vậ
4

2)
a) +Khi m = 4 phương trình (1) trở thành x 2 − 4x + 3 = 0
1,75đ
+ Tìm được hai nghiệm x1 = 1 ; x2 = 3
b)Cách 1:
+ Chứng tỏ ∆ ≥ 0 nên được P/t (1) có nghiệm với mọi m
 x1 + x 2 = m
+ Áp dụng hệ thức Viét : 

 x1.x 2 = m − 1
+ Biến đổi hệ thức

1 1 x1 + x 2
m
m
+
=
=
thành
(*)
x1 x 2
2011
m − 1 2011

0,25
0,50
0,25
0,25
0,25

+ Điều kiện của (*): m ≠ 1.Giải p/t (*) tìm được m = 0, m = 2012(tmđk)
Cách 2:
+ Chứng tỏ a + b + c = 0 nên được P/t (1) có nghiệm với mọi m
+ Viết được x1 = 1; x2 = m – 1

0,25

+ Biến đổi hệ thức

0,25

1 1 x1 + x 2
m
m
+ =
=
thành
(*)
x1 x 2
2011
m −1 2011

+ Điều kiện của (*): m ≠ 1.Giải p/t (*) tìm được m = 0, m = 2012(tmđk)

Tốn 9- Hải

0,25
0,25

0,25