bài tập phương trình lượng giác 11 có giải

Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Chủ đề 3: Phương trình lượng giác cơ bản
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình sinx = sina
x    k 2
a/ sin x  sin   
 x      k 2

k  

b/ sin x  a. Ñieàu kieän :  1  a  1.
 x  arcsin a  k 2
sin x  a  
 x    arcsin a  k 2

k  

c/ sin u   sin v  sin u  sin(v)


d/ sin u  cos v  sin u  sin   v 
2





e/ sin u   cos v  sin u  sin  v  

2



Các trường hợp đặc biệt:
sin x  0  x  k  k   

sin x  1  x   k 2  k   
2

sin x   1  x  


2

 k 2

k  

sin x   1  sin 2 x  1  cos2 x  0  cos x  0  x 

2. Phương trình cosx = cosa
a/ cos x  cos   x     k 2


2

 k

k  

k  

b/ cos x  a. Ñieàu kieän :  1  a  1.
cos x  a  x   arccos a  k 2  k   
c/ cos u   cos v  cos u  cos(  v)


d/ cos u  sin v  cos u  cos   v 

2



e/ cos u   sin v  cos u  cos   v 
2


Các trường hợp đặc biệt:

cos x  0  x   k  k   
2
cos x  1  x  k 2

cos x   1 

k  
x    k 2  k   

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 43


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

cos x   1  cos2 x  1  sin 2 x  0  sin x  0  x  k

k  

3. Phương trình tanx = tana
a/ tan x  tan   x    k  k   
b/ tan x  a  x  arctan a  k

k  

c/ tan u   tan v  tan u  tan(v)


d/ tan u  cot v  tan u  tan   v 

2



e/ tan u   cot v  tan u  tan   v 
2


Các trường hợp đặc biệt:
tan x  0  x  k  k   

tan x   1  x    k  k   
4

4. Phương trình cotx = cota
cot x  cot   x    k  k   
cot x  a  x  arccot a  k

k  

Các trường hợp đặc biệt:

cot x  0  x   k
k  
2

cot x   1  x  


4

k  

 k

5. Một số điều cần chú ý:
a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số

hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để
phương trình xác định.

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x   k  k   
*

2
Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x  k

*

Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x  k

*

Phương trình có mẫu số:
sin x  0  x  k  k   



cos x  0  x   k  k   

k  

2

k  

2



tan x  0  x  k


2

k  

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 44


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11



cot x  0  x  k


2

2017

k  

b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một
trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức

điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô định.

B. BÀI TẬP MẪU
Bài tập mẫu 1: Giải các phương trình sau:
a. sin 3x  sin



b. cosx  

3

c. sin  x  600  

1
2

2
2

  2

d . cos  3x   
6
2


Hướng dẫn giải

a)


 k 2


3x   k 2
x 



3
9
3

,k 
Ta có biến đổi: sin 3x  sin  

2

k
2

3
3x     k 2
x 


3

9
3


3

x

 k 2

2
3
4

b) Ta có biến đổi: cosx  
 cosx  cos
2
4
 x   3  k 2

4

c) Ta có biến đổi:

sin  x  600  

1
 sin  x  600   sin 300
2

 x  600  300  k 3600
 x  900  k 3600



0
0
0
0
0
0
 x  60  180  30  k 360
 x  210  k 360

d. Ta có biến đổi:

k  

k   ;

  2

3


cos  3 x   
 cos  3x    cos
6
2
6

4



Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 45


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

 3
11


3x  6  4  k 2
 x  36  k 2


3x     3  k 2
 x  7  k 2


6
4
36

2017

k  

Bài tập mẫu 2: Giải các phương trình sau:
a) sin 2x 

3
2

b) 3 cot(1  x)  3  0

Hướng dẫn giải

x 
3


a. Ta có biến đổi: sin 2x 
 sin 2x  sin
2
3
x 


b. Điều kiện: 1  x  k  x  1  k


 k
6

 k
3

k  

k  

Ta có biến đổi: 3cot(1  x)  3  0  cot(1  x)  

3
3



 
 cot(1  x)  cot     1  x    k  x  1   k  k   
3
3
 3

Bài tập mẫu 3: Giải các phương trình sau:
a). sin 2x 

1
2

b). 3 tan(2  x)  3  0

Hướng dẫn giải


x   k


1

a. Ta có biến đổi: sin 2x   sin 2x  sin   12
2
6
 x  5  k

12

b. Điều kiện : 2  x 


2

 k  x  2 


2

 k

k  

k  

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 46

Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

Ta có biến đổi: 3 tan(2  x)  3  0  tan(2  x)  

2017

3
3



 
 tan(2  x)  tan     2  x    k  x  2   k
6
6
 6

k  

Bài tập mẫu 4: Giải các phương trình sau:
a / sin  x  600  

1
;
2

  2

b/ cos  3x   

;
6
2




c / 2cos  x    3  0
3




Hướng dẫn giải

a. Ta có biến đổi:

sin  x  600  

1
 sin  x  600   sin 300
2

 x  600  300  k 3600

0
0
0
0
 x  60  180  30  k 360

k  

 x  900  k 3600

0
0
 x  210  k 360

k  

  2

3


cos  3x   
 cos  3x    cos
6
2
6
4


b. Ta có biến đổi:
 3
11


3 x  6  4  k 2

 x  36  k 2


3 x     3  k 2
 x  7  k 2


6
4
36

k  

 



x    k 2
x   k 2


3 6


3
6





c.2 cos  x    3  0  cos  x   
3
3
2


 x       k 2
 x     k 2


3
6
2

k  

Bài tập mẫu 5: Giải các phương trình sau:

a. sin2x + (1 + 2cos3x)sinx - 2sin 2 (2x+ ) = 0
4

b. 2 s inx cos x + 6 s inx  cosx  3  0

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 47


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Hướng dẫn giải
a. Phương trình đã cho tương đương với:
Sin2x + (1+2cos3x)sinx – 2sin(2x +


4

)=0


 sin2x + sinx + sin4x – sin2x = 1 – cos(4x +

 sinx + sin4x = 1+ sin4x  sinx = 1  x =

Vậy phương trình có họ nghiệm là: x =


2

2


2

)

+ k2  ,  k 

+ k2  ,  k 

b. Phương trình đã cho tương đương với:


1

x   k 2

sin
x

6
(2sinx  1)(cos x+ 3)  0  
2


 x  5  l 2
 cosx = 3(v« nghiÖm)





 x  6  k 2
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: 
 x  5  l 2

6

 k, l 

6

 k, l 

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI



Bài tập 1: Cho phương trình 2sin 2  x 



2
  2sin x  t anx
4

Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình lên đường tròn lượng
giác là:
a. 0

b. 1

c. 4

d. 8

Hướng dẫn giải
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 48


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Điều kiện : cos x  0 (*)
Phương trình đã cho tương đương với:



sinx


2sin 2  x    2sin 2 x  t anx  1  cos  2 x    2sin 2 x 
4
2
cos x


 cos x  sin 2 x.cos x  2sin 2 x.cos x  s inx  cos x  s inx  sin 2 x  cos x  s inx   0
cos x  0


sinx


cos

x
 t anx  1  x    k



4

x k
(tm(*))…
4
2
sin 2 x  1  2 x    l 2  x    l

2
4

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: x 


4

k


2

 k 

Lần lượt cho k  0;1; 2;3; 4.. rồi biểu diễn nghiệm lên đường tròng lượng giác
ta có được số điểm biểu diển là 4. Vậy chọn đáp án C.

2

2

Bài tập 2: Cho phương trình 2 sin x  3 cos x   3 sin x  2 cos x   25
Có bao nhiêu nghiệm của phương trình thuộc đoạn  0; 2 
a. 1

b. 2

c. 4

d. Nhiều hơn 4

Hướng dẫn giải
Ta có biến đổi: 4 sin 2 x  12sin x cos x  9 cos 2 x  9 sin 2 x  12sin x cos x  4 cos 2 x  25
 13sin 2 x  24sin x cos x  13cos 2 x  25  13  sin 2 x  cos 2 x   24sin x cos x  25
 13  24sin x cos x  25  12sin 2 x  12
 sin 2 x  1  x 


4

 k

 k 

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 49

Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Lần lượt cho k  1; 0;1; 2;.. ta thấy trên đường tròn lượng giác chỉ có hai giá
trị k=0,1 để x thuộc vào

 0; 2  .

Vậy chọn đáp án B.

Bài tập 3: Nghiệm của phương trình
3 

sin 5x  2 cos xsin 4 x  sin 2 x   sin 2 x 

2 




 x  2  k 2

a.  x     k 2

6
3



 x  2  k 2
c. 
 x    k 2

6
3

k  

k  



 x  2  k 2

b.  x     k 2

6
 x  k 2
d. 
 x     k 2

2

k  

k  

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương với:


x

 k 2
 

2
 sin x   cos 2 x  cos 2 x  cos  x    
2

 x     k 2

6
3

k  



x

 k 2

2
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: 
 x     k 2

6

3

 k 

Vậy chọn đáp án A.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 50


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Bài tập 4: Cho phương trình 4sin 5 x sin x  2 cos 4 x  3  0
Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình lên đường tròn lượng
giác là
a. 3

b. 6

c. 12

d. 20

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với: 4sin 5 x sin x  2 cos 4 x  3  0
5



x
k

3
36
3
2  cos 4 x  cos 6 x   2cos 4 x  3  cos 6 x  

2
 x   5  k 

36
3

k  

5 k

 x  36  3
Phương trình đã cho có hai bộ nghiệm là: 
k  Z 
 x   5  k

36 3

Nhận xét: Mỗi họ nghiệm ở trên ta có được 6 điểm biểu diễn lên đường
tròn lượng giác . Nên tổng cộng ta có 12 điểm biểu diện tất cả các họ
nghiệm của nó. Vậy chọn đáp án C.
Lưu ý: Để xét số điểm biểu diễn của cung lượng giác ta nhìn vào vòng

k 2
lặp ở k. Số điểm biểu diễn sẽ được tính bởi công thức:
với n là số
n

điểm biểu diễn lên đường tròn lượng giác .

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 51


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

Ví dụ: ở vòng lặp k


3

k

2017

2
có số điểm biểu diễn là 6.
6

Bài tập 5: Cho phương trình: cos x  sin x  1  sin 2 x  cos 2 x
Điểm biểu diễn nghiệm của phương trình thuộc vào các góc phần
tư nào trên đường tròn lượng giác .

a. (I) và (II)

b. (I),(II) và (IV)

c. (II) và (III)

d. (III)
Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương với:

 cos x  sin x  2sin x cos x  2cos 2 x  0

 sin x(1  2 cos x)  cos x(1  2 cos x)  0.  (sin x  cos x)(1  2 cos x)  0.

cos x  sin x  0

1  2 cos x  0



 x   4  k

(k  ).
 x     k 2

3

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: x  

Ta có: x  
+ x


3


4


4

 k , x  


3

 k 2 , (k  )

.

 k có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ (II) và (IV)

 k 2 có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ (I) và (IV)

Nên điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên thuộc vào góc phần tư
thứ (I),(II) và (IV)
Đáp án B.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 52


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Bài tập 6: Nghiệm của phương trình

sin 2 x  2cos 2 x  3sin x  cos x



x


 k 2

6
a. 
 x  7  k 2

6


 x  2  k 2
c. 
 x    k 2


6

k  



x

 k 2

6
k  
b. 
7

x
 k 2

6

k  

5

 x  6  k 2
k  
d. 

 x    k 2


6

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:

2sin x.cosx  cosx  2sin 2 x  3sin x  2  0

 cosx  2sin x  1   2sin x  1 sin x  2   0
  2sin x  1 cosx  sin x  2   0



1

x    k 2

sin x  
6

2


 x  7  k 2
sin x  cosx  2  vn 
6


, k 

Chọn đáp án: A .

Bài tập 7: Tập nghiệm của phương trình:


sin x  2sin 3 x  sin   2x   0
2

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 53


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

 k 

S   ;   k2   k   
2
 2

a.
 k 

;   k2   k   
4
 2


c. S  

2017

  k 5

b. S   
;
 k   k   
3

2

6



  k 

d. S   
;   k2   k   
4

2

2



Hướng dẫn giải
2
Phương trình đã cho tương đương với: s inx 1  2sin x   cos 2x  0

 k

x 

cos 2x  0
4 2
 sin x.cos 2x  cos 2x  0  cos 2x(sin x  1)  0  

sin
x


1


   k2
 2

 k 

  k 

;   k2   k 
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: S   
4

2

2



Chọn đáp án: D

Bài tập 8: Cho phương trình 2cosx+ s inx  1  sin 2x . Tìm mệnh
đề đúng
a. Phương trình trên vô nghiệm

 x    k2

2
b. Phương trình có họ nghiệm là 
 k 

 x=   k2

3
c. Điểm biểu diễn nghiệm của phương trình nằm vào góc phần
tư thứ (IV)
d. Phương trình đã cho tương đương với phương trình

sin x  1

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 54


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:  (2cosx-1)  s inx(2cosx  1)  0



sinx  1
x   k2

2
 (2cosx-1)(1- sin x)  0  

(k  Z).
cosx= 1

 x=   k2

2

3
Chọn đáp án B

Bài tập 9: Cho phương trình: sin 2x  cos 2x  2sin x 1 .
Chọn mệnh đề đúng
1

a. Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin x  2




b. Nghiệm của phương trình là S  k ; 2  k 2 




c. Phương trình luôn có nghiệm âm
d. Phương trình có 5 nghiệm thuộc vào đoạn  0; 2 

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
 2 sin x cos x  1  2 sin 2 x   2 sin x  1  2 sin x cos x  sin x  1  0

x  k
sin x  0


sin x  0




 x  k 2
 cos x  sin x  1 sin x     2


 
4 
2
x    k 2



2

k  

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 55


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Tiến hành gộp nghiệm lại ta được: Nghiệm của phương trình là



S  k ;  k 2 
2



Vậy chọn đáp án B.

Bài tập 10: Cho phương trình cos 2 x  1  2 cos x  sin x  cos x   0 .
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là:
a. 0

b. 

c.





d.

2

4

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:
 cosx  sin x  0

 cos x  sin x  cosx  sin x  1  2 cos x   0  sin x  cosx  1




Giải ra và kết luận nghiệm là : x   k , x   k2 , x    k2  .  k 
4

2

Lần lượt cho k để tìm giá trị x dương nhỏ nhất ta được: x 


4

Chọn đáp án D.




Bài tập 11: Cho phương trình : sin  3 x 





  sin 2 x sin  x   . Gọi
4
4


 là số dương nhỏ nhất của nghiệm của phương trình trên. Khi đó

giá trị của biểu thức A  sin 2  cos 

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 56


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

a.

2 2
2

b.

2 2
2

c.

2017

2
2

d. 1

Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với: sin 3 x  cos3 x  sin 2 x  sin x  cos x 

  sin x  cos x  2sin 2 x  1  sin 2 x  sin x  cos x   0
  sin x  cos x  sin 2 x  1  0



x



 k
 tan x  1 
 k
4

x 

 k  

4
2
sin
2
x

1

 x   k

4
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: x 

Số

dương


4



k
k  
2

nhỏ nhất của nghiệm phương trình là:  


4

. Thay vào ta


2 2 2
 
được giá trị của A là: A  sin  2.   cos  1 
. Chọn đáp án A

4
4
2
2




Bài tập 12: Cho phương trình sin 2 x  2 sin x  3(cos x  1) . Tìm mệnh
đề đúng
a. Phương trình có hai họ nghiệm.
b. Phương trình trên chỉ có một họ nghiệm.

c. Điểm biểu diễn nghiệm nằm trên trục tung.
d. Với  là một nghiệm của phương trình thì cos   0 .
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 57


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với: 2 sin x(cos x  1)  3(cos x  1)
 (cos x  1)(2sin x  3)  0  cos x  1  x    k 2

 k 

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: x    k 2  k  .
Vậy chọn đáp án B.

Bài tập 13: Cho phương trình

sin 2 x  cos2 x  2 sin x  1 . Có bao nhiêu

nghiệm của phương trình thuộc vào khoảng  0;   .
a. 0

b. 1

c. 4

d. Nhiều hơn 4

Hướng dẫn giải
sin x  0
sin x  cos x  1  0

Phương trình đã cho tương đương với:  sin x(sin x  cos x  1)  0  

Với s inx  0  x  k
 x  k 2
1

Với cos2x = 1  sin x  cos x  1  0  sin( x  ) 
,  k 
 x    k 2
4
2
2




Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. x  k , x 

Lần lượt cho k  0,1, 2... vào ta chỉ có x 


2


2

 k 2 ,

 k 

thuộc vào khoảng đó.

Chọn đáp án B.

Bài tập 14: Tìm x sao cho: sin2x - 2 3 cos2x = 0 với x  ( o ;

3
)
2

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 58


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

  4 
0, ,

a.  2 3 

  4 

,

 3 3 

b. 0;

   2 
, ,

3 2 3 

c. 

2017

   4 
 , ,

d.  3 2 3 

Hướng dẫn giải
2
Phương trình đã cho tương đương với: sin2x - 2 3 cos x = 0



 x  2  k
 cos x  0
<=> cosx(sinx- 3cosx)=0  


 k 

tan
x

3


x   k

3



Trên  0;

3 
   4 
 ta có tập nghiệm là:  , ,  .
2 
3 2 3 

Chọ đáp án D.

Bài tập 15: Nghiệm của phương trình là:
2sin2 x  2cosx  1  2sinx



 x  4  k .2


3
a.  x 
 k .2

4

 x   2  k .2
3



 x  4  k .2

3
c.  x 
 k .2

4

 x     k .2

3

k  

k  




 x  2  k .2

b.  x    k .2

2
 k .2
x  
3


k  



 x   4  k .2

3
d.  x    k .2

4

 x   2  k .2
3


k  

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 59

Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với:

2 sin x(2cos x  1)  (2cos x  1)  0

 2sinx  1  0
 ( 2sinx  1)(2cosx  1)  0  
2cosx  1  0



x   k .2

1
4
* sinx 
;

2
 x  3  k .2

4

k  

1
2

* cosx    x  

2
 k .2 ( k   )
3

Vậy chọn đáp án A.
Bài tập 16: Cho phương trình 2 sin 2 x  2015 cos3 x  1  cos 2 x .
Chọn mệnh đề đúng

a. Phương trình có họ nghiệm là: x  6  k 2

k  


b. Nghiệm của phương trình là: x  2  k

c. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x  6

d. Phương trình này vô nghiệm.

Hướng dẫn giải
Ta có:

1  1 cos 2 x  2015 cos 3 x  1  cos 2 x
 cos3 x  0  3 x 


 k
2

x



k
6
3

k  

Chọn đáp án C.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 60


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Bài tập 17: Phương trình 1  2cos 2 x  sin 2 x tương đương với
phương trình nào sau đây?
a. Phương trình tan x  1
b. Phương trình 3cos x  sin x  0

c. Phương trình cos x  1
d. Phương trình  cos x  sin x  3cos x  sin x   0

Hướng dẫn giải
2

Phương trình đã cho tương đương với   cos x  sin x   2  cos 2 x  sin 2 x   0
 cos x  sin x  0
  cos x  sin x  3cos x  sin x   0  
3cos x  sin x  0

cos x  sin x  0  tan x  1  x 


4

 k

3cos x  sin x  0  tan x  3  x  arctan(3)  k



x

 k
Vậy phương trình có các nghiệm là 
4

 x  arctan(3)  k

 k 

Vậy chọn đáp án D.

Bài tập 18: Nghiệm của phương trình

1
2(cos x  sin x)

tan x  cot 2 x
cot x  1

Hướng dẫn giải
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 61


Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11

2017

Bạn vừa xem xong phần miễn phí trong bộ sách cùng tên của thầy giáo
Nguyễn Quốc Tuấn. Để học những phần còn lại vui lòng mua trọn bộ sách của
chúng tôi để lĩnh hội được tất cả những kiến thức và Phương pháp mới nhất.

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605
Đặt mua tại:

/>Xem thêm nhiều sách tại:
/>Hổ trợ giải đáp:

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)

Trang số 62