phương pháp,bài tập lượng giác có giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.73 MB, 137 trang )
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
CHUN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác
Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin
hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung góc giống nhau, chẳng hạn:
Dạng
Đặt ẩn phụ
Điều kiện
a sin 2 X b sin X c 0
t sin X
1 t 1
a cos2 X b cos X c 0
t cos X
1 t 1
a tan 2 X b tan X c 0
t tan X
X
a cot 2 X b cot X c 0
t cot X
X k
2
k
Nếu đặt t sin 2 X , cos2 X hoặc t sin X , cos X thì điều kiện là 0 t 1 .
Ví dụ 1. Giải phương trình: 4cos2 x 4sin x 1 0.
Giải:
pt 4 1 sin 2 x sin x 1 0 4sin 2 x sin x 3 0
sin x 1
sin x 3
4
Với sin x 1 x
2
k2 , k
3
x arcsin 4 k2
3
Với sin x
,k
4
3
x arcsin k2
4
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 2 x 3cos x 2 0.
Giải:
x k 2
cos x 1
pt 2 cos x 3cos x 1 0
,k
x k 2
cos x 1
3
2
2
Ví dụ 3. Giải phương trình: 3cos 2 x 7sin x 2 0.
Giải:
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CƠ THÀNH VIÊN TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
1 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
5
sin
x
3
pt 3 1 2sin 2 x 7sin x 2 0 6sin 2 x 7sin x 5 0
sin x 1
2
Với sin x
5
thì pt vô nghiệm vì sin x [ 1;1]
3
x 6 k 2
1
Với sin x
,k
2
x 7 k 2
6
Ví dụ 4. Giải phương trình: 4sin 4 x 5cos2 x 4 0.
Giải:
sin 2 x 1
pt 4sin x 5 1 sin x 4 0 4sin x 5sin x 1 0 2
sin x 1
4
4
2
4
Với sin 2 x 1 cos 2 x 0 cos x 0 x
Với sin 2 x
2
2
k , k
1
1 cos2 x 1
1
cos2 x x k , k
4
2
4
2
6
Ví dụ 5. Giải phương trình: cos 4 x 12sin 2 x 1 0.
Giải:
cos 2 x 1
pt 2cos2 2 x 1 6 1 cos 2 x 1 0 2cos 2 2 x 6cos 2 x 4 0
cos 2 x 2
Với cos2 x 1 x k , k
Với cos2 x 2 thì phương trình vô nghiệm
1
2
5
0.
Ví dụ 6. Giải phương trình: tan 2 x
2
cos x 2
Giải:
Điều kiện cos x 0
1 1
2
5
1 1
1
pt
1
0 . 2 2.
2 0
2
2 cos x cos x 2
2 cos x
cos x
1
1
2 cos x x k 2 , k
cos x
2
3
2 | THBTN – CA
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
ÀI T
BT 1.
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
V N ỤN
[1D1-2]Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 2sin 2 x sin x 1 0.
b) 4sin 2 x 12sin x 7 0.
c) 2 2 sin 2 x (2 2)sin x 1 0.
d) 2sin3 x sin 2 x 2sin x 1 0.
e) 2cos2 x 3cos x 1 0.
f)
g) 2cos2 x ( 2 2) cos x 2.
h) 4cos2 x 2( 3 2) cos x 6.
2cos2 x 3cos x 2 0.
tan 2 x 2 3 tan x 3 0.
j)
2 tan 2 x 2 3 tan x 3 0.
k) tan 2 x (1 3) tan x 3 0.
l)
3cot 2 x 2 3 cot x 1 0.
i)
m)
3 cot 2 x (1 3) cot x 1 0.
n)
3 cot 2 x (1 3) cot x 1 0.
Lời giải
a) [1D1-2] 2sin 2 x sin x 1 0
x 2 k 2
s inx 1
x k 2 , k .
1
sin x
6
2
7
x
k 2
6
b) [1D1-2] 4sin2 x 12sinx 7 0.
7
x 6 k 2
s inx 2
,k .
x 5 k 2
sin x 1
2
6
c) 2 2 sin 2 x (2 2)sin x 1 0
s inx 2
x k 2
6
,k .
sin x 1
5
x
k 2
2
6
d) [1D1-2] 2sin3 x sin 2 x 2sin x 1 0
x 2 k 2
s inx 1
x k 2
1
6
sin x
,k
5
2
s inx 1 x 6 k 2
x k 2
2
e) 2cos2 x 3cos x 1 0
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
3 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
x k 2
cos x 1
,k
x k 2
cos x 1
3
2
f) [1D1-2] 2cos 2 x 3cos x 2 0
cos x 2
x k 2 , k .
1
cos x
3
2
g) [1D1-2] 2 cos2 x ( 2 2) cosx
2
cos x 1
x k 2
,k .
cos x 2
x 3 k 2
4
2
h) [1D1-2] 4 cos2 x 2( 3 2) cosx
cos x
cos x
6.
5
3
x
k 2
6
2
,k .
2
x 3 k 2
4
2
i) [1D1-2] tan 2 x 2 3 tan x 3 0
tan x 3
2
0 tan x 3 x
3
k , k
.
j) [1D1-2] 2tan 2 x 2 3 tan x 3 0
tan x
3 3
3 3
x arctan
k , k
2
2
.
k) [1D1-2] tan2 x (1 3) tanx 3 0
x k
tan
x
1
4
, k, l
x l
tan x 3
3
.
l) [1D1-2] 3cot 2 x 2 3 cot x 1 0
2
3 cot x 1 0 cot x
1
x k , k
3
3
.
m) [1D1-2] 3 cot2 x (1 3) cotx 1 0
cot x 1
x k
4
, k, l
cot x 3
x l
3
3
.
n) [1D1-2] 3 cot 2 x (1 3)cot x 1 0
4 | THBTN – CA
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
cot x 1
x
k
4
, k, l
cot x 3
x l
3
3
BT 2.
[1D1-2] Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 6cos2 x 5sin x 2 0.
b) 2cos2 x 5sin x 4 0.
c) 3 4cos2 x sin x(2sin x 1).
d) sin 2 x 3cos x 3 0.
e) 2sin 2 x 3cos x 3 0.
f)
g) 3sin 2 x 2cos4 x 2 0.
h) 4sin 4 x 12cos2 x 7.
i)
4cos4 x 4sin 2 x 1.
j)
2cos2 2 x 5sin 2 x 1 0.
4sin 4 x 5cos2 x 4 0.
Lời giải
a) 6cos2 x 5sin x 2 0 6 1 sin 2 x 5sin x 2 0
1
sin
x
2
6sin 2 x 5sin x 4 0
4
sin x
3
x k 2
1
6
Với sin x sin x sin
, k
2
6
x 7 k 2
6
Với sin x
4
Phương trình vô nghiệm.
3
b) 2cos2 x 5sin x 4 0 2 1 sin 2 x 5sin x 4 0
1
sin x
2sin x 5sin x 2 0
2
sin x 2
2
x k 2
1
6
Với sin x sin x sin
, k
5
2
6
x k 2
6
Với sin x 2 Phương trình vô nghiệm.
c) 3 4cos2 x sin x(2sin x 1) 3 4 1 sin 2 x 2sin 2 x sin x
sin x 1
2sin x sin x 1 0
.
sin x 1
2
2
Với sin x 1 x
2
k2 , k
.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
5 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
x k 2
1
6
Với sin x sin x sin
, k .
7
2
6
x
k 2
6
d) sin 2 x 3cos x 3 0 1 cos2 x 3cos x 3 0
cos x 1
.
cos 2 x 3cos x 2 0
cos x 2
Với cos x 1 x k2 , k
.
Với cos x 2 Phương trình vô nghiệm.
e) 2sin 2 x 3cos x 3 0. 2 1 cos 2 x 3cos x 3 0
cos x 1
.
2cos x 3cos x 1 0
cos x 1
2
2
Với cos x 1 x k2 , k
Với cos x
f)
.
1
cos x cos x k2 , k .
2
3
3
2cos2 2 x 5sin 2 x 1 0 2 1 sin 2 2 x 5sin 2 x 1 0
sin 2 x 1
.
2sin 2 x 5sin 2 x 3 0
sin 2 x 3
2
2
Với sin 2 x 1 2 x
Với sin x
2
k2 x
4
k , k .
3
Phương trình vô nghiệm.
2
g) 3sin 2 x 2cos4 x 2 0 3 1 cos 2 x 2cos 4 x 2 0
cos 2 x 1
1 cos2 x
1
cos2 x 1
4
2
2cos x 3cos x 1 0
2
1
2
cos x
2
cos2 x 0
2cos x 1 0
2
Với cos2 x 1 2 x k2 x k , k .
Với cos2 x 0 2 x
2
k x
4
k
2
, k
.
h) 4sin 4 x 12cos 2 x 7 4sin 4 x 12 1 sin 2 x 7 0
6 | THBTN – CA
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
5
2
1 cos2 x 5
sin x
cos2 x 4
2
4
2
.
4sin x 12sin x 5 0
2
2
cos2 x 0
2
sin 2 x 1
1 2sin x 0
2
Với cos2 x 4 Phương trình vô nghiệm.
Với cos2 x 0 2 x
i)
2
k x
4
k
2
, k
.
4cos4 x 4sin 2 x 1 4cos 4 x 4 1 cos 2 x 1
1
2
cos x
cos2 x 0
2
4
2
.
4cos x 4cos x 3 0
2
cos x 3
3
cos 2 x
2
2
3
Với cos 2 x Phương trình vô nghiệm.
2
Với cos2 x 0 2 x
j)
2
k x
4
k
2
, k
.
4sin 4 x 5cos2 x 4 0 4sin 4 x 5 1 sin 2 x 4 0
sin 2 x 1
1 sin 2 x 0
cos x 0
4
2
4sin x 5sin x 1 0
1 cos2 x 1
sin 2 x 1
cos2 x 1
2
4
2
4
Với cos x 0 x
Với cos2 x
BT 3.
2
k , k
.
1
cos2 x cos
2 x k2 x k , k .
2
3
3
6
[1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 2cos 2 x 8cos x 5 0.
b) 1 cos 2 x 2cos x.
c) 9sin x cos 2 x 8.
d) 2 cos 2 x 5sin x 0.
e) 3sin x cos 2 x 2.
f)
g) 2cos 2 x 3sin x 1 0.
x
h) 5cos x 2sin 7 0.
2
i) sin 2 x cos 2 x cos x 2.
j) cos 2 x cos2 x sin x 2 0.
2cos 2 x 8sin x 5 0.
Lời giải
a) [1D1-3] 2cos 2 x 8cos x 5 0.
Ta có: 2cos 2 x 8cos x 5 0 2 2cos 2 x 1 8cos x 5 0
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
7 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
3
cos
x
l
2
2
4 cos x 8cos x 3 0
cos x 1
2
Với cos x
1
x k2
2
3
k .
b)[1D1-3] 1 cos 2 x 2cos x.
Ta có: 1 cos 2 x 2cos x 2cos2 x 2cos x 0 2cos x cos x 1 0
x k
cos x 0
,k .
2
cos x 1
x k 2
c) [1D1-3] 9sin x cos 2 x 8.
Ta có: 9sin x cos 2 x 8 1 2sin 2 x 9sin x 8
sin x 1
2sin x 9sin x 7 0
sin x 7 l
2
2
Với sin x 1 x
2
k2 , k
.
d) [1D1-3] 2 cos 2 x 5sin x 0.
Ta có: 2 cos 2 x 5sin x 0 2 1 2sin 2 x 5sin x 0
sin x 3 l
2sin x 5sin x 3 0
sin x 1
2
2
x k 2
1
6
Với sin x
,k .
7
2
x
k 2
6
e)[1D1-3] 3sin x cos 2 x 2
Ta có: 3sin x cos 2 x 2 3sin x 1 2sin 2 x 2 0
sin x 1
2sin x 3sin x 1 0
sin x 1
2
2
Với sin x 1 x
8 | THBTN – CA
2
k2 , k .
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
x k 2
1
6
Với sin x
,k .
5
2
x k 2
6
f) [1D1-3] 2cos 2 x 8sin x 5 0.
Ta có: 2cos 2 x 8sin x 5 0 2 1 2sin 2 x 8sin x 5 0
3
sin x l
2
4sin 2 x 8sin x 3 0
sin x 1
2
x
k 2
1
6
Với sin x
,k .
2
x 5 k 2
6
g) [1D1-3] 2cos 2 x 3sin x 1 0.
Ta
có:
sin x 1
2 cos 2 x 3sin x 1 0 2 1 2sin x 3sin x 1 0 4sin x 3sin x 1 0
sin x 1
4
2
Với sin x 1 x
2
2
k2 , k .
1
x arcsin 4 k 2
1
sin x
,k .
4
1
x arcsin k 2
4
x
h) [1D1-3] 5cos x 2sin 7 0.
2
x
Ta có: 5cos x 2sin 7 0 5 1 2sin 2
2
x
x
2sin 7 0
2
2
x
sin 2 1
x
2 x
10sin 2sin 12 0
2
2
sin x 6 l
2
5
Với sin
x
x
1 k2 x k4 , k .
2
2 2
i) [1D1-3] sin 2 x cos 2 x cos x 2.
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
9 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
Ta có: sin x cos 2 x cos x 2 1 cos x 2cos2 x 1 cos x 2 0
2
2
cos x 1
cos 2 x cos x 2 0
cos x 2 l
Với cos x 1 x k2 , k .
j) [1D1-3] cos 2 x cos2 x sin x 2 0.
Ta có: cos 2 x cos2 x sin x 2 0 1 2sin 2 x 1 sin 2 x sin x 2 0
sin x 1
3sin x sin x 4 0
sin x 4 l
3
2
Với sin x 1 x
BT 4.
2
k2 , k .
[1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 3cos2 x 2cos 2 x 3sin x 1.
b) cos 4 x 12sin 2 x 1 0.
c) cos 4 x 2cos2 x 1 0.
d) 16sin 2
e) cos 2 x 2cos x 2sin 2
x
2
f)
g) 1 cos 4 x 2sin 2 x 0.
i)
x
cos 2 x 15.
2
cos 2 x 3cos x 4cos 2
x
2
h) 8cos2 x cos 4 x 1.
6sin 2 3x cos12 x 4.
j)
5(1 cos x) 2 sin 4 x cos4 x.
l) 4(sin 4 x cos4 x) cos 4 x sin 2 x 0.
k) cos4 x sin 4 x cos 4 x 0.
Lời giải
a. [1D1-3] 3cos2 x 2cos 2 x 3sin x 1
3 1 sin 2 x 2 1 2sin 2 x 3sin x 1
sin 2 x 3sin x 2 0
sin x 1 hay sin x 2 (loại)
sin x 1
x
2
k 2 k
.
b. [1D1-3] cos 4 x 12sin 2 x 1 0
2cos2 2 x 1 6 1 cos 2 x 1 0
10 | THBTN – CA
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
2cos 2 x 6cos 2 x 4 0
2
cos 2 x 1 hay cos 2 x 2 (loại)
x
2
k k
.
c. [1D1-3] cos 4 x 2cos 2 x 1 0.
2cos2 2 x 1 1 cos 2 x 1 0
2cos2 2 x cos 2 x 1 0
cos 2 x 1 hay cos 2 x
1
2
x k k
hay
d. [1D1-3] 16 sin2
x
3
k k
.
x
cos 2x 15.
2
8 1 cos x 2cos2 x 1 15
2cos2 x 8cos x 6 0
cos x 1 hay cos x 3 (loại)
x k 2 k
.
x
2
e. [1D1-3] cos 2 x 2cos x 2sin 2
2cos2 x 1 2cos x 1 cos x
2cos2 x 3cos x 2 0
cos x 2 (loại) hay cos x
x
3
k 2 k
1
2
.
f. [1D1-3] cos 2 x 3cos x 4cos 2
x
2
2cos2 x 1 3cos x 2 1 cos x
2cos2 x 5cos x 3 0
cos x 3 (loại) hay cos x
1
2
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
11 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
x
2
k 2 k
3
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
.
g. [1D1-3] 1 cos 4 x 2sin 2 x 0
1 2cos2 2 x 1 cos 2 x 0
2cos2 2 x cos 2 x 0
cos 2 x 0 hay cos 2 x
x
4
k
2
k
1
2
hay x
6
k k
.
h. [1D1-3] 8cos2 x cos 4 x 1
4 1 cos 2 x 2cos2 2 x 1 1
2cos2 2 x 4cos 2 x 4 0
cos 2 x 1 3 (loại) hay cos 2 x 1 3
1
x arccos 1 3 k k
2
.
i. [1D1-3] 6sin 2 3 x cos12 x 4
3 1 cos 6 x 2cos2 6 x 1 4
2cos2 6 x 3cos 6 x 0
3
cos 6 x 0 hay cos 6 x (loại)
2
x
12
k
6
k
.
j. [1D1-3] 5(1 cos x) 2 sin 4 x cos4 x
5 1 cos x 2 sin 2 x cos2 x sin 2 x cos2 x
5 5cos x 2 1 cos2 x cos2 x
2cos2 x 5cos x 2 0
cos x 2 (loại) hay cos x
x
2
k 2 k
3
12 | THBTN – CA
1
2
.
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
k. [1D1-3] cos x sin x cos 4 x 0
4
4
cos2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x 2cos 2 2 x 1 0
2cos2 2 x cos 2 x 1 0
cos 2 x 1 hay cos 2 x
x
4
k
2
k
1
2
hay x
6
k k
.
l. [1D1-3] 4(sin 4 x cos4 x) cos 4 x sin 2 x 0
4 1 2sin 2 x cos2 x 1 2sin 2 2 x sin 2 x 0
4 2sin 2 2 x 1 2sin 2 2 x sin 2 x 0
4sin 2 2 x sin 2 x 5 0
sin 2 x 1 hay sin 2 x
x
BT 5.
4
k k
5
(loại).
4
.
[1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:
2
a) cos 2 x
3
3cos x 1 0.
3
c) 4cos2 (6 x 2) 16cos2 (1 3x) 13.
b) cos2 x 4cos x 4.
3
6
5
x 9.
d) 5cos 2 x 4sin
3
6
5
7
e) sin 2 x
3cos x
1 2sin x.
2
2
g)
f)
cos 2x 3 sin 2x
3 sinx 4 cosx .
4 2
3 sin 2 x 3 sin x cos 2 x cos x 2. h) 2 cos 2 x
cos x 1.
9
2
cos x cos x
1
1
i) 4 sin 2 x 2 4 sin x
7. j)
sin x
sin x
cos 2 x
1
1
2 2 cos x
2
cos x
cos x
Lời giải
2
a) cos 2 x
3
3cos x 1 0.
3
2
Xét phương trình cos 2 x
3
3cos x 1 0.
3
cos 2 x 3cos x 1 0
3
3
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
13 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
2cos2 x 3cos x 0 cos x 2cos x 3 0
3
3
3
3
cos x 3 0
3
cos x l
3 2
Xét cos x 0 x k x k , k .
3
3 2
6
Vậy tập nghiệm của phương trình là S k , k .
6
b) cos2 x 4cos x 4.
3
6
Lời giải
Xét phương trình cos2 x 4cos x 4. .
3
6
sin 2 x 4cos x 4 1 cos 2 x 4cos x 4
6
6
6
6
cos 2 x 4cos x 3 0 cos x 1 hoặc cos x 3 (loại)
6
6
6
6
Với cos x 1 cos x 1 x k2 x k2 , k
6
6
6
6
.
Vậy tập nghiệm của phương trình S x k 2 , k .
6
c) 4cos2 (6 x 2) 16cos2 (1 3x) 13.
Lời giải
Xét phương trình 4cos2 (6 x 2) 16cos2 (1 3x) 13. .
4cos2 6 x 2 8.2cos2 1 3x 13 4cos2 6 x 2 8. cos 2 1 3x 1 13
4cos2 6 x 2 8cos 6 x 2 8 13 4cos2 6 x 2 8cos 6 x 2 5 0
cos 6 x 2
14 | THBTN – CA
1
5
hoặc cos 6 x 2 (loại).
2
2
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
Với cos 6 x 2
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
1
cos 6 x 2 cos
2
3
1 k
6 x 2 3 k 2
6 x 3 2 k 2
x 18 3 3
,k .
6 x 2 k 2
6 x 2 k 2
x 1 k
3
3
18 3 3
1 k
Vậy tập nghiệm của phương trình là S
, k .
18 3 3
5
d) 5cos 2 x 4sin
x 9.
3
6
Lời giải
5
x 9.
Xét phương trình 5cos 2 x 4sin
3
6
5cos 2 x 4sin x 9 5cos 2 x 4sin x 9
6
6
6
6
5 1 2sin 2 x 4sin x 9 10sin 2 x 4sin x 14 0
6
6
6
6
7
sin x 1 hoặc sin x (loại).
6
6
5
Với sin x 1 x k2 x k 2 , k .
6
6 2
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S k 2 , k .
3
5
e) sin 2 x
2
7
3cos x
2
1 2sin x.
Lời giải
5
Ta có: sin 2 x
2
7
cos x
2
sin 2x 2 cos 2x,
2
cos x 3 cos x sinx
2
2
Phương trình đã cho trở thành cos 2 x 3sin x 1 2sinx
1 cos 2 x sin x 0 2sin 2 x sin x 0 sin x 2sinx 1 0
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
15 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
x k
x k
sin x 0
x k 2 , k .
1
sin x sin
sin x
6
6
2
5
x
k 2
6
5
Vậy tập nghiệm của phương trình S k ; k 2 ;
k 2 , k .
6
6
cos 2 x 3 sin 2 x 3 sin x 4 cos x.
f)
Lời giải
Xét phương trình cos 2 x 3 sin 2 x 3 sin x 4 cos x.
cos 2 x 3 sin 2 x cos x 3 sin x 4 cos 2 x cos x 2
3
3
cos 2 x cos x 2 cos 2 x sin x 2
3
3
6
3
2
cos 2 x sin x 2 2sin 2 x sin x 3 0
6
6
6
6
3
sin x 1 hoặc sin x (loại).
6
6
2
Với sin x 1 x k2 x k 2 , k .
6
6 2
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S k 2 , k .
3
g)
3 sin 2 x 3 sin x cos 2 x cos x 2.
Lời giải
Xét phương trình
3 sin 2 x 3 sin x cos 2 x cos x 2. biến đổi tương tự như câu f ta được:
cos 2 x cos x 1 cos 2 x 1 sin x 0
3
3
6
6
2sin 2 x sin x 0 sin x 2sin x 1 0
6
6
6
6
16 | THBTN – CA
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
x k
x k
6
6
sin x 0
6
x k 2 x k 2 , k
6 6
3
1
sin x sin
5
x
k 2
6 2
6
x
k 2
6
6
.
Vậy tập nghiệm của phương trình S k ; k 2 ; k 2 , k .
3
6
4 2
h) 2 cos 2 x
cos x 1.
9
2
cos x cos x
Lời giải
4 2
cos x 1. ĐKXĐ. x k , k .
Xét phương trình 2 cos 2 x
9
2
cos x cos x
2
4
2
4
cos x t 2
cos2 x 4 t 2 4
cos 2 x
Đặt t
2
2
cos x
cos x
cos x
Khi đó phương trình đã cho trở thành: 2 t 2 4 9t 1 2t 2 9t 7 0
t 1
t 7
2
Khi t 1
2
cos x 1 cos 2 x cos x 2 0
cos x
cos x 1 hoặc cos x 2 (loại).
Với cos x 1 x k2 (TM)
7
2
7
cos x 2cos 2 x 7 cos x 4 0
Khi t
2
cos x
2
cos x
1
hoặc cos x 4 (loại)
2
1
2
2
x
k2 , k .
Với cos x cos
2
3
3
2
k 2 , k .
Vậy tập nghiệm của phương trình S k 2 ;
3
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
17 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
1
1
i) 4 sin 2 x 2 4 sin x
7.
sin x
sin x
Lời giải
1
1
Xét phương trình 4 sin 2 x 2 4 sin x
7. ĐKXĐ. x k , k
sin x
sin x
.
1
1
1
2
2
2
2
Đặt t sin x
t sin x 2 2 t 2 sin x 2 .
sin x
sin x
sin x
3
t
Phương trình đã cho trở thành: 4 t 2 2 4t 7 4t 2 4t 15 0 2 .
t 5
2
Khi t
3
1
3
sin x
2sin 2 x 3sin x 2 0 VN
2
sin x 2
5
1
5
.
Khi t sin x
2
sin x
2
1
2sin 2 x 5sin x 2 0 sin x hoặc sin x 2 (loại).
2
Với sin x
1
sin
2
6
x 6 k 2
,k
x 7 k 2
6
.
7
k 2 , k .
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S k 2 ;
6
6
j)
cos 2 x
1
1
2 2 cos x
2
cos x
cos x
Lời giải
Xét phương trình cos 2 x
1
1
2 2 cos x
. ĐKXĐ x k , k
2
cos x
cos x
2
1
1
2
2
2.
Đặt t cos x
t cos x
cos x
cos 2 x
t 0
Phương trình đã cho trở thành: t 2 2t
.
t 2
18 | THBTN – CA
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
Khi t 0 cos x
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
1
0 VN
cos x
Khi t 2 cos x
1
2 cos2 x 2cos x 1 0 cos x 1 x k 2 (TMĐK) .
cos x
Vậy tập nghiệm của phương trình: S k 2 , k
BT 6.
.
[1D1-2] Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
c)
3
3 2 tan 2 x.
2
cos x
3
2
sin x
b)
d) 9 13cos x
3cot x 3.
e) 2 tan 2 x 3
3
cos x
f)
1
cos x
g)
3 sin x cos x
a)
3
3 2 tan 2 x.
2
cos x
1
3cot 2 x 5.
2
cos x
4
0.
1 tan 2 x
1
2
5
tan 2 x
0.
2
cos x 2
g) 2sin 2 x tan 2 x 2.
Lời giải
Điều kiện: x
2
k .
3
3 2 tan 2 x 3 1 tan 2 x 3 2 tan 2 x.
2
cos x
tan x 0 x k
b)
k .
1
3cot 2 x 5.
2
cos x
Lời giải
Điều kiện x
k
.
2
1
3
3cot 2 x 5 1 tan 2 x
5.
2
cos x
tan 2 x
Đặt t tan 2 x
t 1
(t 0) , ta có phương trình: t 2 4t 3 0
.
t 3
x k
tan
x
1
4
x k
tan x 3
3
c)
3
sin 2 x
k .
3cot x 3.
Lời giải
Điều kiện: x k .
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
19 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
3
2
sin x
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
3cot x 3 3 1 cot 2 x 3cot x 3.
x k
cot
x
0
2
3 cot 2 x 3cot x 0
.
x k
cot x 3
6
d) 9 13cos x
4
0.
1 tan 2 x
Lời giải
Điều kiện: x
9 13cos x
2
k .
4
0 9 13cos x 4cos 2 x 0.
2
1 tan x
9
cos x
4
cos x 1
ko tm x k 2 .
e) 2 tan 2 x 3
3
cos x
Lời giải
Điều kiện: x
2 tan 2 x 3
Đặt t
2
k .
3
3
1
2
1 3
.
2
cos x
cos x
cos x
t 1
2
t
1
,
ta
có
phương
trình
.
2t 3t 1 0 1
t ko tm
2
1
cos x
cos x 1 x k 2 .
f)
k .
1
2
5
tan 2 x
0.
2
cos x 2
Lời giải
Điều kiện: x
2
k .
1
2
5
1 1
2
5
tan 2 x
0
1
0.
2
2
cos x 2
2 cos x cos x 2
Đặt
t
1
cos x
t 1
t 2 4t 4 0 t 2 cos x
20 | THBTN – CA
,
ta
có
phương
trình
1
x k 2 .
2
3
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
3 sin x cos x
g)
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
1
cos x
Lời giải
Điều kiện: x
2
k .
Chia
cả
2
vế
cho
1
3 tan x 1
3 tan x 1 1 tan 2 x.
cos 2 x
x k
tan x 0
2
tan x 3 tan x 0
x k
tan x 3
3
ta
cos x
được:
k .
g) 2sin 2 x tan 2 x 2.
Lời giải
Điều kiện: x
2
k .
1
2sin 2 x tan 2 x 2 2 1 cos 2 x
1 2.
2
cos x
Đặt t cos x
2
t 1
0 t 1 . Ta có phương trình 2t t 1 0 1
t
2
loai
2
.
1
cos x 2
x 4 k 2
k
Vậy
x
.
1
3
4 2
x
k 2
cos x 2
4
BT 7.
[1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 8sin x cos x cos 4 x 3 0.
c)
cos x
1 sin x.
1 sin x
3sin 2 x 2sin x
2.
e)
sin 2 x cos x
g) 2cos 2 x 8cos x 7
1
cos x
h) 3cos 4 x 2cos2 x 3 8cos6 x.
l)
sin 3x cos 2 x 1 2sin x cos 2 x.
n) 4(sin x cos x) 4sin 2 x.
6
6
b) 2sin 2 8x 6sin 4 x cos 4 x 5.
d)
1 cos x(2cos x 1) 2.sin x
1.
1 cos x
f)
2sin 2 x 3 2 sin x sin 2 x 1
1.
(sin x cos x) 2
g)
3
4 2sin 2 x
2 3 2(cot x 1).
2
cos x
sin 2 x
k) 3cos x 2 3(1 cos x).cot 2 x.
m) 2cos5x.cos3x sin x cos8x.
o) sin 4 x 2 cos3x 4sin x cos x.
Lời giải
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
21 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
a) 8sin x cos x cos 4 x 3 0.
Lời giải
Ta có: 8sin x cos x cos 4 x 3 0 4sin 2 x 2sin 2 2 x 2 0 sin 2 x 1
x
4
k k
.
b) 2sin 2 8x 6sin 4 x cos 4 x 5.
Lời giải
sin 8 x 1 N
Ta có: 2sin 8 x 6sin 4 x cos 4 x 5 2sin 8 x 3sin 8 x 5 0
sin 8 x 5 L
2
2
8x
c)
2
k 2 x
2
16
k
k
4
.
cos x
1 sin x.
1 sin x
Lời giải
Điều kiện: sin x 1 x
2
k 2 k
.
x k
cos x 0
cos x
2
PT
1 sin x. cos x cos x
k
2
1 sin x
cos x 1
x k 2
x k 2
Kết hợp điều kiện, phương trình có hai họ nghiệm là:
k
2
x k 2
d)
.
.
1 cos x(2cos x 1) 2.sin x
1.
1 cos x
Lời giải
Điều kiện: x k 2 k
.
1 cos x(2cos x 1) 2.sin x
1 1 2cos 2 x cos x 2 sin x 1 cos x
1 cos x
sin x 2 L
x k 2
4
2 1 sin 2 x sin x 0
k .
2
sin
x 5 k 2
sin x
2
4
4
3sin 2 x 2sin x
2.
e)
sin 2 x cos x
Ta có:
22 | THBTN – CA
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
Lời giải
Điều kiện: sin 2 x 0 x k
1
2sin x 3cos x 1
2.
2sin x cos x cos x
2
k .
3cos x 1 2cos2 x .
2cos2 x 3cos x 1 0 .
cos x 1
.
cos x 1
2
x k 2 l
.
x k 2
3
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm: x
3sin2x 2sin x
2 1 ĐK: sin2x 0 x k
sin2x cos x
2
f)
3
k 2 k
.
2sin 2 x 3 2 sin x sin 2 x 1
1.
(sin x cos x)2
Lời giải
Điều kiện: sin x cos x 0 sin x 0 x k k .
4
4
2
2sin x 3 2 sin x sin 2 x 1
1 2sin 2 x 3 2 sin x sin 2 x 1 1 sin 2 x
Ta có:
2
(sin x cos x)
sin x 2 VN
x k 2
4
2sin 2 x 3 2 sin x 2 0
k
2
5
sin
x
sin
x
k 2
2
4
4
5
k 2 k .
Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm: x
4
g) 2cos 2 x 8cos x 7
.
1
.
cos x
Lời giải
k k .
2
PT 2cos 2x.cos x 8cos2 x 7 cos x 1 0
2cos x 2cos2 x 1 8cos2 x 7 cos x 1 0 4cos3 x 8cos2 x 5cos x 1 0
Điều kiện: cos x 0 x
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
23 | THBTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
x k 2
cos x 1
cos x 1 4 cos x 4 cos x 1 0
k
x k 2
cos x 1
3
2
x k 2
Vậy, phương trình có nghiệm:
k .
x k 2
3
2
h)
.
3
4 2sin 2 x
2 3 2 cot x 1 .
2
cos x
sin 2 x
Lời giải
Điều kiện: sin 2 x 0 x
k
k
2
.
1 tan 2 x
PT 3 1 tan 2 x 4
2 2 3 2 cot x 1
2 tan x
3 tan 3 x 2 1 tan 2 x 3 tan x 2 0 3 tan 3 x 2 tan 2 x 3 tan x 0
tan x 0
x k
3
tan x
x k k
3
6
x k
tan x 3
3
x 6 k
k
x k
3
. Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm:
.
i) 3cos 4 x 2cos2 x 3 8cos6 x.
Lời giải
Ta có: 3cos 4 x 2cos2 x 3 8cos6 x
3
3 2cos2 2 x 1 1 cos 2 x 3 1 cos 2 x
6cos2 2 x 1 cos 2 x 1 3cos 2 x 3cos 2 2 x cos3 2 x
cos 2 x 0
k
x
3
2
cos 2 x 3cos 2 x 2 cos 2 x 0 cos 2 x 1
4 2 k
cos 2 x 2 VN
x k
.
k) 3cos x 2 3(1 cos x).cot 2 x.
Lời giải
Điều kiện: sin x 0 x k k
.
PT 3cos x.sin x 2sin x 3 1 cos x cos 2 x 0
2
2
3cos x. 1 cos2 x 2 1 cos2 x 3 1 cos x cos 2 x 0
24 | THBTN – CA
BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CÔ BTN
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017
BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC
2
cos
x
3
3
2
6 cos x 5cos x 3cos x 2 0 cos x 1
1
cos x
2
2
x arc cos 3 k 2
x k 2
k .
x k 2
3
2
x arc cos 3 k 2
Kết hợp điều kiện, suy ra phương trình có nghiệm:
k
x 3 k 2
l)
.
sin 3x cos 2 x 1 2sin x cos 2 x.
Lời giải
sin x 0
PT sin 3x cos 2 x 1 sin x sin 3x 1 2sin 2 x 1 sin x
sin x 1
2
x k
x k 2 k
6
5
x
k 2
6
.
m) 2cos5x.cos3x sin x cos8x.
Lời giải
Ta có: 2cos5x.cos3x sin x cos8x cos 2 x cos8x sin x cos8x
1 2sin 2 x sin x 0
x 2 k 2
sin x 1
x k 2 k
1
sin x
6
2
x 7 k 2
6
x
6
k 2
.
3
n) 4(sin 6 x cos6 x) 4sin 2 x.
Lời giải
Ta có: 4(sin x cos x) 4sin 2 x 1 3sin 2 x cos2 x sin 2 x
6
6
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CÔ THÀNH VIÊN TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM
25 | THBTN
