PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.09 MB, 51 trang )
PHNG TRÌNH LNG GIÁC
01: Gii phng trình:
3
2 2 cos 2 sin 2 cos 4sin 0
4 4
+ + − + =
x x x x .
Bài gii:
⇔
[
]
(sin cos ) 4(cos sin ) sin 2 4 0
+ − − − =
x x x x x
⇔
4
= − +
x k
;
3
2 ; 2
2
= = +
x k
x k
02: Tìm nghim trên khong
0;
2
ca phng trình:
2 2
3
4sin 3sin 2 1 2cos
2 2 4
− − − = + −
x
x x
Bài gii:
(2) ⇔ sin 2 sin
3 2
− = −
x x
⇔
5 2
( ) ( )
18 3
5
2 ( ) ( )
6
= + ∈
= + ∈
x k k Z a
x l
l Z b
Vì
0;
2
∈
xnên
5
18
x =
03: Gii phng trình:
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
+ − − =
x x x
x x
.
Bài gii:
(1) ⇔
2
cos 2 cos cos 2 2cos2
cos 2 0
4 2
sin 2 0
− − =
⇔ = ⇔ = +
≠
x x x x
x x k
x
.
04:
Gi
i ph
ng trình:
3sin 2 2sin
2
sin 2 .cos
−
=
x x
x x
.
Bài gii:
⇔
2
2(1 cos )sin (2cos 1) 0
3
2cos 1 0
sin 0, cos 0
2
3
= +
− − =
⇔ − = ⇔
≠ ≠
= − +
x k
x x x
x
x x
x k
05:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
.
Bài gii:
i
u ki
n:
(
)
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
+ ≠
≠
x x x x x
x
T
(1) ta có:
(
)
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin co s 2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
−
= ⇔ =
+ −
x x
x x
x
x x x
x
x x x
2sin .cos 2 sin
⇔ =
x x x
( )
2
2
4
cos
2
2
4
= +
⇔ = ⇔ ∈
= − +
x k
x k
x k
i chiu vi iu kin, ta c h nghim ca phng trình ã cho là
( )
2
4
x k k= − + ∈
06: Gii phng trình:
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
+
= +
x x
x x
x
.
Bài gii:
iu kin:
sin 2 0
≠
x
2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
( 1 )
sin 2 2 cos sin
−
⇔ = +
x
x x
x x x
2
2
1
1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
x
x x
x x
(không tha iu kin)
Vy phng trình ã cho vô nghim.
07: Gii phng trình:
(
)
(
)
2cos 1 sin cos 1
− + =
x x x
.
Bài gii:
áp s:
2
2 ;
6 3
= = +
k
x k x .
08: Gii phng trình:
2 2 3 3
tan tan .sin cos 1 0
− + − =
x x x x .
Bài gii:
i
u ki
n:
2
≠ =
x k
.
Ph
ng trình⇔
(
)
(
)
2 3 3
tan 1 sin 1 cos 0
− − − =
x x x ⇔
⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
1 cos 1 sin sin cos sin cos sin cos 0
− − − + + =
x x x x x x x x
⇔
2 ; ; 2 ; 2
4 4 4
= = + = + + = − +
x k
x k
x
k
x
k
09:
Gi
i ph
ng trình:
3 3
2 3 2
cos 3 cos sin3 sin
8
+
− =x x x x .
Bài gii:
PT ⇔
2
cos 4 ,
2 16 2
= ⇔ = ± + ∈
x x k k Z
10:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
sin 2 sin 4 cos 2
0
2sin 3
− + −
=
+
x x x
x
.
Bài gii:
Ph
ng trình
(
)
(
)
2cos 1 sin cos 2 0
2sin 3 0
− + =
⇔
+ ≠
x x x
x
⇔
2
3
= +
x k
11:
Gi
i ph
ng trình:
sin cos 4sin 2 1
− + =
x x x
Bài gii:
t
(
)
sin cos 0
= − ≥
t x x t .
Ph
ng trình tr
thành:
( )
2
0
0 ; ,
1
4 2
=
− = ⇔ = + = ∈
=
t
t t x k
x l k l
t
12:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
( )
2
cos . cos 1
2 1 sin
sin cos
−
= +
+
x x
x
x x
Bài gii:
Ph
ng trình ⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 sin 1 sin cos 1 2 1 sin sin cos
+ − − = + +
x x x x x x
( )( )
1 sin 0
1 sin 0
2
2
1 sin cos 1 0
sin cos sin cos 1 0
2
+ =
+ =
= − +
⇔ ⇔ ⇔
+ + =
+ + + =
= +
x
x
x k
x x
x x x x
x
k
13: Gii phng trình:
9sin 6cos 3sin 2 cos 2 8
+ − + =
x x x x
Bài gii:
Phng trình ⇔
( )( )
1 sin 6cos 2sin 7 0 1 sin 0 2
2
− + − = ⇔ − = ⇔ = +
x x x x x k
14: Gii phng trình:
c o t 3 tan 2cot 2 3
+ + + =
x x x
Bài gii:
iu kin: sin cos 0
2
≠ ⇔ ≠
x x x k
.
Ta có:
2 2
cos 2 cos sin
2cot 2 2 2 cot tan
sin 2 2sin cos
−
= = = −
x x x
x x x
x x x
.
Ph
ng trình ⇔
2
cot 3
3 cot 3 cot cot 1
4
cot 7cot 6 0
≤
+ = − ⇔ ⇔ = ⇔ = +
− + =
x
x x x x k
x x
15:
Gi
i ph
ng trình:
( )
2 2
2 1
c o s cos sin 1
3 3 2
+ + + = +
x x x
Bài gii:
( )
2
2 4
1 2cos 2 1 cos 2 1 sin 2cos 2 .cos sin 1
3 3 3
5
1 cos 2 sin 0 2sin sin 0 2 ; 2 ;
6 6
⇔ + + + + + = + ⇔ + = −
⇔ − − = ⇔ − = ⇔ = + = + =
x x x x
x
x x x x x k
x k
x k
16:
Gi
i ph
ng trình:
sin3 4cos 3
6
0
sin3 1
− − −
=
−
x x
x
Bài gii:
( )
3
3
sin3 1 4sin 3sin 1
3 3
sin3 4cos 3
6
0 sin 3 4sin 3 0
sin 3 1 3 3
4sin 7sin 3 0
3 3
sin 1
3
3
sin
3 2
sin
≠ ⇔ + − + ≠
− − −
= ⇔ − + − + − =
−
⇔ + − + − =
+ = −
⇔ + =
+
x x x
x x
x x
x
x x
x
x
x
(
)
1
3 2
5
)sin 1 2
3 6
5
2 .
6
= −
+ + = − ⇔ = − +
= − +
x x k
x k
17:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2
3 4sin 2 2cos2 1 2sin
− = +
x x x
Bài gii:
B i
n
i ph
n g t r ì n h v
d
n g
(
)
(
)
2sin3 2sin 1 2sin 1 0
+ − + =
x x x
Do
ó nghi
m c
a ph
ng trình là
7 2 5 2
2 ; 2 ; ;
6 6 18 3 18 3
= − + = + = + = +
k k
x k x k x x .
18:
Gi
i ph
ng trình:
2cos3 3sin cos 0
+ + =
x x x
Bài gii:
3sin cos 2cos3 0
+ + =
x x x ⇔
c o s cos 3
3
x x
− =−
⇔
( )
c os cos 3
3
− = −
x
x
⇔
3 2
3
= +
= +
k
x
x k
⇔
3 2
= +
k
x
19:
Gi
i ph
ng trình:
2 3
2
2
c os cos 1
c os 2 tan
cos
+ −
− =
x x
x x
x
Bài gii:
i
u ki
n:
cos 0
≠
x
Ph
ng trình
(
)
2 2
c os 2 tan 1 cos 1 tan⇔ − = + − +
x x x x
2
cos 1
2cos c o s 1 0
1
cos
2
=
⇔ − − = ⇔
= −
x
x x
x
i chi
u
i
u ki
n ta có nghi
m c
a ph
ng trình:
2 2
2 , 2 ;
3 3
= = ± + =
x k
x k x k
.
20:
Gi
i ph
ng trình:
2
2sin sin 2 sin cos 1 0
− + + − =
x x x x
Bài gii:
(
)
2 2
2sin sin 2 sin c o s 1 0 2sin 2cos 1 sin cos 1 0
− + + − = ⇔ − − + − =
x x x x x x x x
(
)
(
)
(
)
2 2
2cos 1 8 cos 1 2cos 3
= − − − = −x x x
Phng trình
1
sin
2
sin c os 1
=
⇔
= −
x
x x
+
1
sin
2
= ⇔
x
5
2 ; 2
6 6
= + = +
x k
x k
+
sin cos 1
= −
x x
, ta có:
2
sin cos 1 sin sin
4 2 4
− = − ⇔ − = − = −
x x x ,
suy ra:
2
=
x k
;
3
2
2
= +
x k
.
21:
Gi
i ph
ng trình:
sin3 3sin 2 c o s 2 3sin 3cos 2 0
x x x x x
− − + + − =
Bài gii:
Ph
ng trình
(
)
(
)
sin 3 sin 2sin 3sin 2 cos 2 2 3cos 0
x x x x x x
⇔ + + − − + − =
(
)
2
2sin 2 .cos 2sin 6sin .cos 2cos 3cos 1 0
⇔ + − − − + =
x x x x x x x
(
)
2 2
2sin .cos 2sin 6sin .cos 2cos 3cos 1 0
⇔ + − − − + =
x x x x x x x
( )
( )
2
1
sin
2
2sin 1 2cos 3cos 1 0 cos 1
1
cos
2
=
⇔ − − + = ⇔ =
=
x
x x x x
x
+)
2
1
6
sin .
5
2
2
6
= +
= ⇔
= +
x k
x
x k
+)
2
1
3
cos .
2
2
3
= +
= ⇔
= − +
x k
x
x k
+)
cos 1 2 .
= ⇔ =
x x k
22:
Tìm
(
)
0 ;
∈
x
tho
mãn ph
ng trình:
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
− = + −
+
x
x x x
x
.
Bài gii:
i
u ki
n:
sin 2 0 sin 2 0
sin cos 0 tan 1
≠ ≠
⇔
+ ≠ ≠ −
x x
x x x
Khi
ó pt
2
cos sin cos 2 .cos
sin sin cos
sin cos sin
−
⇔ = + −
+
x x x x
x x x
x x x
2 2
cos sin
cos sin cos sin sin cos
sin
−
⇔ = − + −
x x
x x x x x x
x
⇔
(
)
cos sin sin 1 sin 2
− = −
x x x x
⇔
(
)
(
)
2
cos sin sin cos sin 1 0
− − − =
x x x x x
⇔
(
)
(
)
cos sin sin 2 cos 2 3 0
− + − =
x x x x
⇔
cos sin 0
− =
x x
⇔
tanx = 1
.
4
⇔ = +
x k
(th
a mãn
i
u ki
n)
Do
( )
0 ; 0
4
∈
=
=
x
k x .
23:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
3 cos 2 2cos sin 1 0
+ − =
x x x
Bài gii:
3 cos 2 sin 2 2cos
⇔ + =
x x x
3 1
cos 2 sin 2 cos
2 2
⇔ + =
x x x
cos 2 cos sin 2 sin cos
6 6
⇔ + =
x x x
cos 2 cos
6
⇔ − =
x x
2 2
6
2 2
6
− = +
⇔
− = − +
x x k
x x k
2
6
.
2
18 3
= +
⇔
= +
x k
k
x
24:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2
4sin 3 2 1 sin tan
+ = −
x x x
Bài gii:
i
u ki
n:
cos 0
≠
x
(*)
V
i
i
u ki
n trên, ph
ng trình
ã cho
( )
2
2
sin
4sin 3 2 1 sin
1 sin
⇔ + = −
−
x
x x
x
2
1
sin
2sin 7sin 3 0
2
sin 3
= −
⇔ + + = ⇔
= −
x
x x
x
!"#
.
2
6
⇔ = − +
x k
ho
c
7
2
6
= +
x k
(th
a mãn
i
u ki
n
( )
∗
)
25:
Gi
i ph
ng trình:
( )
1
tan 2 tan sin 4 sin 2
6
− = +
x x x x
Bài gii:
i
u ki
n:
cos 2 0
4 2
cos 0
2
≠ +
≠
⇔
≠
≠ +
m
x
x
x
x k
(
)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
3 2
2
( 1 ) 6 s i n cos 2 cos sin 4 sin 2
6sin cos c o s 2 4 sin cos c o s 2 2sin cos
sin 4cos cos 2 2cos cos 2 6 0
sin 2cos 2 1 cos2 cos 2 1 cos 2 6 0
sin 2cos 2 3cos 2 cos 2 6 0
sin cos 2 1 2cos 2 5cos2
⇔ = +
⇔ = +
⇔ + − =
⇔ + + + − =
⇔ + + − =
⇔ − + +
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
( )
6 0=
2
sin 0
cos 2 1
2cos 2 5cos2 6 0 ( )
=
⇔ = ⇔ =
+ + =
x
x x k
x x
$#
26: Gi
i phng trình:
(
)
(
)
2 sin cos sin3 cos 3 3 2 2 sin 2
− + + = +
x x x x x
Bài gii:
⇔
(
)
(
)
3 3
2 sin cos 3sin 4sin 4cos 3cos 3 2 2 sin 2
− + − + − = +
x x x x x x x
⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
5 sin cos 4 sin cos 1 sin cos 3 2 2 sin 2
− − − + = +
x x x x x x x
⇔
(
)
(
)
(
)
sin cos 1 4sin cos 3 2 2 sin 2
− − = +
x x x x x
(1)
+ t
sin c o s 2 sin 2; 2
4
= − = − ∈ −
t x x x t
suy ra:
2
1 sin 2
= −
t x
Lúc ó (1) tr thành
(
)
(
)
2 2
1 2 1 3 2 3
+ − = −
t t t
⇔
3 2
2 3 2 9 2 0
+ − − =
t t t
⇔
(
)
(
)
2
2 2 5 2 9 0 2
− + + = ⇔ =t t t t
⇔
Suy ra:
3
2 sin 2 sin 1 2
4 4 4
− = ⇔ − = ⇔ = +
x x x k
27:
Gii phng trình:
2 3 1
8sin
sin cos
+
+ =
x
x x
Bài gii:
iu kin:
2
≠
x k
Phng trình
(
)
2
2 3 cos sin 8sin .cos
⇔ + + =
x x x x
(
)
(
)
2 3 cos sin 4 1 cos 2 .cos
⇔ + + = −
x x x x
(
)
(
)
2 3 cos sin 4cos 2 cos3 cos
⇔ + + = − +
x x x x x
3 cos sin 2cos3
⇔ + = −
x x x
3 1
cos sin cos 3
2 2
⇔ + = −
x x x
( )
cos cos 3
6
⇔ − = −
x
x
7
3 2
6
24 2
5
3 2
6 12
− = − +
= +
⇔ ⇔
− = − + + = −
x x k
x k
x
x k x k
(Tha mãn iu kin)
28:
Tìm nghim
(
)
0 ;
∈
x
ca phng trình: 5cos sin 3 2 sin 2
4
+ − = +
x x x .
Bài gii:
Phng trình
5cos sin 3 sin 2 cos 2
⇔ + − = +
x x x x
( )( ) ( )
( )( )
2
2cos 5cos 2 sin 2 sin 0
2cos 1 cos 2 sin 2cos 1 0
1
cos
2cos 1 cos sin 2 0
2
cos sin 2
2
3
⇔ − + + − =
⇔ − − + − =
=
⇔ − + − = ⇔
+ =
⇔ = ± +
#
x x x x
x x x x
x
x x x
x x
x k
Theo gi thit
(
)
0 ;
∈
x
suy ra phng trình có nghim duy nht là:
3
29: Gii phng trình: cos cos 3 1 2 sin 2
4
+ = + +
x x x
Bài gii:
2cos2 cos 1 sin 2 cos 2
⇔ = + +
x x x x
(
)
cos 2 2cos 1 1 2sin cos
⇔ − = +
x x x x
(
)
(
)
(
)
2
2 2
cos sin 2cos 1 cos sin⇔ − − = +
x x x x x
( )( )
cos sin 0 ( 1 )
cos sin 2cos 1 cos sin (2)
+ =
⇔
− − = +
x x
x x x x x
( 1 ) 2 s i n 0
4 4 4
⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − +
x x k
x k
( )
cos 0
2
(2) 2cos cos sin 1 0
2 cos 1
2
4
4 4
=
= +
⇔ − − = ⇔ ⇔
+ =
+ = ± +
x
x k
x x x
x
x k
Vy phng trình có nghim là:
4
= − +
x k
,
2
= +
x k
,
2
=
x k
30: Gii phng trình:
(
)
(
)
2
4 2 3 cos 2 3 3 cos sin 2 3sin 0
− + − + + =
x x x x
Bài gii:
Phng trình
2 2
4cos 2 3 cos 2 3 cos 3cos 2sin cos 3sin 0
⇔ + − − + + =
x x x x x x x
(
)
(
)
(
)
( )( )
2cos 2cos 3 3 cos 2cos 3 sin 2cos 3 0
2cos 3 0
2cos 3 2cos 3 cos sin 0
2cos 3 cos sin 0
⇔ + − + + + =
+ =
⇔ + − + = ⇔
− + =
x x x x x x
x
x x x x
x x x
+
3 5
2cos 3 0 cos .2
2 6
+ = ⇔ = − ⇔ = ± +
x x x k
2cos 3 cos sin 0 3 cos sin 2cos
.2
3 1
6
cos sin cos c o s cos
2 2 6
.2
6
+ − + = ⇔ − =
+ = +
− = ⇔ + = ⇔
+ = − +
x x x x x x
x x k
x x x x x
x x k
12
⇔ = − +
x k
.
V
y ph
ng trình có các nghi
m là:
5
2 ; .
6 12
= ± + = − +
x k
x k
31:
Gi
i ph
ng trình:
( ) ( )
2013 2013
cos 3 sin 2 cos c o s sin 3 cos 2 sin sin
5 5
− − = + −
x x x x x x
Bài gii:
2013 2013 2013
cos 3 sin 2 cos 0
5 5 5
⇔ + − + − + =
x x x
2013 2013
2sin 2 sin sin 2 0
5 5
⇔ − + − + =
x x x
( )
2013
sin 2 2sin 1 0
5
⇔ + + =
x x
2013
sin 2 0
5
2sin 1 0
+ =
⇔
+ =
x
x
Ph
ng trình có các nghi
m là:
2013
10 2
= − +
x k
;
2
6
= − +
x k
;
7
2
6
= +
x k
.
32:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
2
2
2
sin cos 2sin
2
sin sin 3
1 cot 2 4 4
+ −
= − − −
+
x x x
x x
x
Bài gii:
i
u ki
n:
sin 0 .
≠ ⇔ ≠
x x k
Ph
ng trình
( )
2
cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin
4
⇔ + = −
x x x x x
( )
cos 2 sin 1 0
4
3
cos 2 0
8 2
4
2
sin 1 0
2
⇔ − − =
= +
− =
⇔ ⇔
= +
− =
x x
k
x
x
x m
x
i chi
u
i
u ki
n ta có nghi
m c
a ph
ng trình là:
3
; 2 .
8 2 2
= + = +
k
x x m
33:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
4 4
2 cos sin 1
3 cos sin
2cos
2 3
− +
= +
−
x x
x x
x
Bài gii:
i
u ki
n:
c o s 0
2 3
− ≠
x
Ph
ng trình
( )
( )
2 2
2 cos sin 1 2cos 3 cos sin
2 3
⇔ − + = − +
x
x x x x
( )
( )( ) ( )
( )
2 2
3cos sin 2cos 3 cos sin
2 3
3 cos sin 3 cos sin 2cos 3 cos sin
2 3
3 cos sin 3 cos sin 2cos 0
2 3
3 cos sin 0
tan 3
cos cos
3 cos sin 2cos
6
2 3
⇔ − = − +
⇔ + − = − +
⇔ + − − − =
+ =
= −
⇔ ⇔
+ =
− = −
x
x x x x
x
x x x x x x
x
x x x x
x x
x
x
x
x x
2 3
−
x
T ây gii ra và i chiu iu kin, ta có nghim phng trình là:
2 4
; 4 ; .
3 9 3
= + = − + = +
k
x k x k x
34: Gii phng trình:
(
)
sin 4 2cos 2 4 sin cos 1 cos 4
+ + + = +
x x x x x
Bài gii:
(
)
sin 4 2cos2 4 sin cos 1 cos 4
+ + + = +
x x x x x
(
)
2
2sin 2 cos2 2cos2 2cos 2 4 sin cos 0
⇔ + − + + =
x x x x x x
(
)
(
)
cos 2 sin 2 1 cos 2 2 sin co s 0
⇔ + − + + =
x x x x x
(
)
(
)
2
cos 2 2sin cos 2sin 2 sin cos 0
⇔ + + + =
x x x x x x
(
)
(
)
sin cos cos 2 sin 1 0
⇔ + + =
x x x x
+ Vi
sin cos 0 ,
4
+ = ⇔ = − + ∈
x x x k
k Z
+ Vi
(
)
(
)
(
)
2 2
cos 2 s i n 1 0 1 2sin sin 1 0 sin 1 2sin 1 0
+ = ⇔ − + = ⇔ − − − =
x x x x x x
sin 1 2 .
2
⇔ = ⇔ = +
x x m
35: Gii phng trình:
( )
tan cos3 2cos2 1
3 sin 2 cos .
1 2sin
+ −
= +
−
x x x
x x
x
Bài gii:
iu kin:
2
c o s 0
2
1
6
sin
2
5
2
6
≠ +
≠
⇔ ≠ +
≠
≠ +
x k
x
x m
x
x n
Ph
ng trình
(
)
( )
2 2
sin 4cos 3 4cos 3
3 cos 2sin 1
1 2sin
− + −
⇔ = +
−
x x x
x x
x
(
)
(
)
( )
2
sin 1 1 4sin
3 cos 2sin 1
1 2sin
+ −
⇔ = +
−
x x
x x
x
(
)
(
)
(
)
sin 1 1 2sin 3 cos 2sin 1
⇔ + + = +
x x x x
1
5
sin
2 2
2sin 1 0
2
6 6
1
sin 1 3 cos
c o s
2 2
6 2
6 2
= −
= − + ∨ = − +
+ =
⇔ ⇔ ⇔
+ =
+ =
= + ∨ = − +
x
x k
x k
x
x x
x
x k
x k
i c h i
u
i
u k i
n , ta c ó ng h i
m c
a p h
n g t r ì n h l à :
5
2 2
6 6
= − + ∨ = − +
x k
x k
.
36:
Gi
i ph
ng trình:
( )
3 2
2cos 1 cos cos 2sin 2 0
2
− + + − =
x
x x x
Bài gii:
i
u ki
n:
( )
1
cos *
2 2
x
≥
pt
ã cho
( )
( )
3 2
1
cos 1
2 2
cos co s 2sin 2 0 2
x
x x x
=
⇔
+ + − =
;
Ta có:
( )
2 2
1 4 4 .
3 3
π π
π π
⇔ = + ∨ = − +
x k x k
(
)
(
)
( )( )
2
2 cos cos 1 2sin 2 0
1 sin sin cos sin cos 1 0
x x x
x x x x x
⇔ + + − =
⇔ − + + − =
i (2) ta
c
2 2 .
2
π
π π
= + ∨ =
x k x k
K
t h
p v
i
i
u ki
n (*) ta
ph
ng
nh
cho
nghi
m:
2 2
4 ; 4 ; 4 ; 4 .
3 3 2
π π π
π π π π
= + = − + = + =
x k x k x k x k
37:
Gi
i ph
ng trình:
4 4
4
sin 2 c o s 2
cos 4
tan .tan
4 4
+
=
− +
x x
x
x x
Bài gii:
i
u ki
n:
.
4 2
≠ +
x k
ý r
!
ng :
tan tan tan cot 1
4 4 4 4
− + = − − =
x x x x
và
4 4 2 2
1 1 1
sin 2 2 1 sin 4 4
2 2 2
+ = − = +!% !%
x c x x c x
Ph
ng trình
4 2 2
2cos 4 cos 4 1 0 cos 4 1 cos 8 1
4
⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
k
x x x x x
i chi
u
i
u ki
n, ta
c nghi
m c
a ph
ng trình là :
2
=
k
x .
38:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
+ =
Bài gii:
PT
⇔
(
)
− =
⇔
(
)
− =
Nh
n xét
π
=
không là nghi
m c
a ph
ng trình
ã cho nên ta có:
(
)
− =
⇔
(
)
− =
⇔
xxx sin3sin3cos2
=
⇔
xx sin6sin
=
⇔
+−=
+=
ππ
π
26
26
mxx
mxx
⇔
+=
=
7
2
7
5
2
ππ
π
m
x
m
x
Xét khi
=
5
2
π
m
π
⇔ =
⇔
=
,
Zt
∈
Xét khi
( ) ( )
π π
π
= +
+ = ⇔ + = ⇔ = − + ∈
= +
V
y ph
ng trình có nghi
m:
5
2
π
m
x =
(
tm 5
≠
) ;
7
2
7
π
π
m
x +=
(
37
+
≠
lm
)
trong
ó
∈
39:
Gi
i ph
ng trình:
x
xx
xx
2
32
2
cos
1coscos
tan2cos
−+
=−
Bài gii:
i
u ki
n:
≠
Ph
ng trình
(
)
⇔ − = + − + ⇔ − − =
π
π
π
= ⇔ =
⇔
= − ⇔ = ± +
40:
Gi
i ph
ng trình:
(
)
( )
−
= +
+
Bài gii:
i
u ki
n:
+ ≠
Ph
ng trình
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 sin co s 1 2 1 sin sin cos
⇔ − − = + +
x x x x x
(
)
(
)
1 sin 1 cos sin sin .cos 0
x x x x x
⇔ + + + + =
(
)
(
)
(
)
1 sin 1 cos 1 sin 0
x x x
⇔ + + + =
= −
⇔
= −
(tho
mãn
i
u ki
n)
2
2
2
x k
x m
π
π
π π
= − +
⇔
= +
(
)
,k m∈
V
y ph
ng trình
ã cho có nghi
m là:
2
2
x k
π
π
= − +
và
2
x m
π π
= +
(
)
, ∈k m
41:
Tìm các nghi
m trên
(
)
π
c
a ph
ng trình:
−
= +
−
Bài gii:
Ph
ng trình
π
⇔ = −
&#
i
u ki
n:
π
≠ ⇔ ≠
+ Khi
(
)
π
∈ thì
>
nên:
&#
π π π
⇔ = − ⇔ = +
Do
(
)
x 0 ;
∈ π
nên
π π
= =
+ Khi
(
)
π π
∈ thì
<
nên:
&#
π
⇔ − = −
( )
π π π
π
⇔ − = − ⇔ = +
Do
(
)
x ;2
∈ π π
nên
π π
= =
V
y ph
ng trình có các nghi
m th
a yêu c
"
u bài toán là:
π π π π
= = = = .
42:
Gi
i ph
ng trình:
−=−+
'(
!%'%
'
!%%
'
%&
''
π
Bài gii:
Ph
ng trình
π
⇔ + − = + − = +
⇔ − − = ⇔ − − =
⇔ − + + =
π
π
π
π
π π
π
=
=
=
⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ =
= +
= +
+ +
'
% )
% &
' (
'
' '
'% '% &
' '
43:
Gi
i ph
ng trình:
( )
2 2
1 8 1
2cos cos sin 2 3cos sin
3 3 2 3
π
π
+ + = + + + +
x x x x x
Bài gii:
( )
2 2
1 8 1
2cos cos sin 2 3cos sin
3 3 2 3
π
π
+ + = + + + +
x x x x x
⇔
2 2
1 8 1
2cos co s sin 2 3sin sin
3 3 3
+ = + − +
x x x x x
2 2
6cos cos 8 6sin cos 9sin sin
⇔ + = + − +
x x x x x x
(
)
(
)
2
6cos 1 sin 2sin 9sin 7 0
⇔ − − − + =
x x x x
( ) ( )
7
6cos 1 sin 2 sin 1 sin 0
2
⇔ − − − − =
x x x x
(
)
(
)
1 sin 6cos 2sin 7 0
⇔ − − + =
x x x
1 sin 0 (1)
6cos 2sin 7 0 (2)
− =
⇔
− + =
x
x x
2 .
2
π
π
⇔ = +x k
44:
Gi
i ph
ng trình:
sin 2 co s 2
tan cot
cos sin
+ = −
x x
x x
x x
Bài gii:
(1)
+
⇔ = −
!% ' !% %' % % !%
% !% !% %
(
)
−
−
⇔ =
' '
!% '
% !%
% !% % !%
{
{
= −
+ − =
⇔ ⇔
≠
≠
⇔ = = − ≠
π
π
⇔ = ± +
45:
Gi
i ph
ng trình:
( )
2
2cos3 .cos 3 1 sin 2 2 3 cos 2
4
π
+ + = +
x x x x
Bài gii:
( )
cos 4 cos 2 3 1 sin 2 3 1 cos 4
2
cos 4 3 sin 4 cos 2 3 sin 2 0
π
⇔ + + + = + +
⇔ + + + =
x x x x
x x x x
sin 4 sin 2 0
6 6
18 3
2sin 3 .cos 0
6
2
π π
π π
π
π
π
⇔ + + + =
= − +
⇔ + = ⇔
= +
x x
x k
x x
x k
V
y ph
ng trình có hai nghi
m
2
x k
π
π
= +
và
18 3
x k
π π
= − +
.
46:
Gi
i ph
ng trình:
5
2 2 cos sin 1
12
π
− =
x x
Bài gii:
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
π π
⇔ − + =
x
5 5 1 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2cos sin sin
3 12 12
π π π π π π
π π π
⇔ − + = = ⇔ − = − =
= − = −
x x
( )
5
2 2
5
6
12 12
sin 2 sin
5 13
3
12 12
2 2
12 12
4
π
π π
π
π
π π
π π
π
π
π
= +
− = − +
⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈
− = +
= +
x k
x k
x k
x k
x k
47:
Gi
i ph
ng trình:
c o s cos 3 1 2 sin 2
4
π
+ = + +
x x x
Bài gii:
2
2cos cos2 1 sin 2 co s 2 2cos 2sin cos 2cos cos2 0
⇔ = + + ⇔ + − =
x x x x x x x x x
(
)
(
)
(
)
cos cos sin cos 2 0 cos cos sin 1 sin cos 0
⇔ + − = ⇔ + + − =
x x x x x x x x x
2
2 2
cos 0
4
cos sin 0
4 4
2
1 sin cos 0
2
1
4 4
sin
5
4
2
2
4 4
π
π
π π
π π
π
π
π π
π π
π π
π
π
π
π π
π
= +
= + = +
=
= − +
⇔ + = ⇔ = − + ⇔ ⇔ = − +
− = − +
+ − =
=
− = −
− = +
x k
x k x k
x
x k
x x x k x k
x k
x x
x k
x
x k
48:
Gi
i ph
ng trình:
c o s 2 2sin 1 2sin cos 2 0
+ − − =
x x x x
Bài gii:
(
)
(
)
(
)
( )( )
1 cos 2 1 2 sin 1 2sin 0
cos 2 1 1 2sin 0
⇔ − − − =
⇔ − − =
x x x
x x
V
y ph
ng trình có các nghi
m là:
5
; 2 ; 2 .
6 6
π π
π π π
= = + = +
x k x k x k
49:
Gi
i ph
ng trình:
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos co s cos
+ + + = + + +
x x x x x x x x
Bài gii:
( ) ( )
( )
sin cos 0
sin cos 2 2 sin cos sin .cos 0
2 2 sin cos sin .cos 0
− =
⇔ − + + + = ⇔
+ + + =
x x
x x x x x x
x x x x
+ V
i
sin cos 0 .
4
π
π
− = ⇔ = +
x x x k
+ V
i
(
)
2 2 sin cos sin .cos 0
+ + + =
x x x x
,
t t =
sin cos ; 2; 2
= + ∈ −
t x x t
Ta
c ph
ng trình:
2
1
4 3 0
3
= −
+ + = ⇔
= −
!"#
t
t t
t
V
i
2
1
2
2
π π
π
π
= +
= −
= − +
x m
t
x m
V
y ph
ng trình có các nghi
m là :
; 2 ; 2 .
4 2
π π
π π π π
= + = + = − +x k x k x k
50: Gi
i ph
ng trình:
2 2
2sin 2sin tan
4
π
− = −
x x x
Bài gii:
2 2 2
sin
2sin 2sin tan 1 cos 2 2sin
4 2 cos
π π
− = − ⇔ − − = −
x
x x x x x
x
(
)
2
cos sin 2 .cos 2sin .cos sin cos sin sin 2 cos sin 0
⇔ − − + ⇔ + − + =
x x x x x x x x x x x
cos 0
sin cos tan 1
4
4 2
sin 2 1 2 2
2 4
π
π
π π
π π
π π
≠
= − → = − ⇔ = − +
⇔ → = +
= ⇔ = + ⇔ = +
x
x x x x k
x k
x x l x l
51: Gi
i ph
ng trình:
2 2
2 3 sin
sin sin
3 3 2
x
x x
π π
−
+ + + =
Bài gii:
Ph
ng trình
2 2
1 cos 2 1 cos 2
3 sin
3 3
2 2 2
x x
x
π π
− + − −
−
⇔ + =
2
2 2
1 sin cos 2 cos 2 0
3 3
sin 0
1 sin cos 2 0 2sin sin 0
1
sin
2
x x x
x
x x x x
x
π π
⇔ − + + + − =
=
⇔ − − = ⇔ − = ⇔
=
5
; 2 ; 2 .
6 6
x k x k x k
π π
π π π
= = + = +
52: Gi
i phng trình:
3
2
cos sin
1 sin cot
sin sin
x x
x x
x x
+
= + +
−
Bài gii:
iu kin:
sin 0
sin 1
x
x
≠
≠
.
2
2
x k
x m
π
π
π
≠
⇔
≠ +
Khi ó phng trình ã cho tng ng vi
( )
(
)
3 2
c o s sin 1 sin sin sin cos
x x x x x x
+ = − + +
xxxxxxx cossincoscossinsincos
23
−+=+⇔ xxx coscossin
22
−=⇔
(vì
0sin
≠
x
)
01coscos2
2
=−−⇔ xx
+±=
=
⇔
−=
=
⇔
π
π
π
2
3
2
2
2
1
cos
1cos
kx
kx
x
x
i chiu iu kin, ta có nghim ca phng trình là
2
2 .
3
x k
π
π
= ± +
53: Gi
i phng trình:
1
2cos2 8cos 7
c o s
x x
x
− + =
Bài gii:
iu kin:
c o s 0 .
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
Phng trình
2
2cos2 cos 8cos 7cos 1
x x x x
⇔ − + =
(
)
2 2
4cos 2 cos 8cos 7cos 1 0
x x x x
⇔ − − + − =
3 2
4cos 8cos 5cos 1 0
x x x
⇔ − + − =
(1)
t
[
]
(
)
cos 1;1
t x t= ∈ − , phng trình (1) tr thành:
( )
( )
3 2 2
2
1
1
4 8 5 1 0 1 4 4 1 0
1
4 4 1 0
2
t
t
t t t t t t
t
t t
=
=
− + − = ⇔ − − + = ⇔ ⇔
=
− + =
(th
a mãn iu kin)
Vi
1
t
=
ta có phng trình:
c o s 1 2 .
x x k
π
= ⇔ =
Vi
1
2
t
=
ta có phng trình:
1
c o s 2 .
2 3
x x k
π
π
= ⇔ = ± +
54: Gii phng trình:
1 3cos cos 2 2cos3 4sin .sin 2
x x x x x
+ + − =
Bài gii:
Ph
ng trình
(
)
1 3cos cos 2 2cos 2 4sin .sin 2
x x x x x x
⇔ + + − + =
⇔
(
)
1 3cos cos 2 2 cos .cos 2 sin .sin 2 4sin .sin 2
x x x x x x x x
+ + − − =
⇔
(
)
1 3cos cos 2 2 cos .cos 2 sin .sin 2 0
x x x x x x
+ + − + =
⇔
1 3cos cos 2 2cos 0
x x x
+ + − =
⇔
1 cos cos 2 0
x x
+ + =
⇔
2
2 cos cos 0
x x
+ =
⇔
cos 0
1
cos
2
x
x
=
= −
⇔
2
2
2
3
x k
x k
π
π
π
π
= +
= ± +
55: Gii phng trình:
2 sin 2 sin 3cos 2 0
4
x x x
π
+ − − + =
Bài gii:
2 sin 2 sin 3cos 2 0 sin 2 cos 2 sin 3cos 2 0
4
x x x x x x x
π
+ − − + = ⇔ + − − + =
( )( )
1
cos
2cos 1 sin co s 1 0
2
sin cos 1 0
x
x x x
x x
=
⇔ − + − = ⇔
+ − =
+)
1
c o s 2
2 3
x x k
π
π
= ⇔ = ± +
+)
2
sin cos 1 0
2
2
x k
x x
x k
π
π
π
=
+ − = ⇔
= +
56: Gii phng trình:
1 sin 2
cot 2sin
sin cos 2
2
x
x x
x x
π
+ = +
+
Bài gii:
iu kin:
sin 0
.
sin cos 0
x
x x
≠
+ ≠
Ph
ng trình
2
cos 2sin cos cos 2cos
2cos 0 0
sin cos sin cos
2 sin 2 sin
x x x x x
x
x x x x
x x
+ − = ⇔ + =
+ +
cos 0
cos sin sin 2 0
sin sin 2
4
4
2
; 2 ; .
2 4 4 3
x
x x x
x x
k
x k x k x
π
π
π π π π
π π
=
⇔ + − = ⇔
+ =
= + = + = +
i chiu iu kin ta có nghim phng trình:
2
;
2 4 3
k
x k x
π π π
π
= + = +
57: Gii phng trình:
4 4 2
2 2
sin cos sin 2 1 cos 2
cot 2 cos 2 cot 2
1 cos 2 2
x x x x
x x x
x
+ + +
− = +
−
Bài gii:
iu kin:
sin 2 0 .
2
x x k
π
≠ ⇔ ≠
(1)
⇔
( )
( )
2
2
2 sin 2 1
cot 2 1 cos 2 0
2 1 cos 2 2
x
x x
x
+
− + + =
−
cos 4 1
x
⇔ =
2
x n
π
⇔ = (không tha iu kin). Vy phng trình vô nghim.
58: Gii phng trình:
4sin3 sin 5 2sin .cos2 0
x x x x
+ − =
Bài gii:
Phng trình ã cho tng ng vi:
(
)
4sin3 sin5 sin 3 sin 0
x x x x
+ − − =
3sin3 sin5 sin 0 3sin3 2sin3 .cos2 0 sin 3 (3 2cos2
) 0
x x x x x x x x
⇔ + + = ⇔ + = ⇔ + =
sin3 0
x
⇔ =
.
3
k
x
π
⇔ =
59: Gii phng trình:
(
)
(
)
( )
+ −
=
+
Bài gii:
iu kin:
π
π
≠ ⇔ ≠ +
ng trình ⇔ + − = +
⇔
(
)
(
)
π π
− + − + = ⇔ + − + + =
π
π
π
π π π
π
π
π
π
= − +
+ =
⇔ + − + + = ⇔ ⇔ = +
+ =
= − +
π
π
= ± + ! "#!$"%!&''(
!&)
60: Gi
i phng trình:
(
)
2cos4 3 2 cos2 sin 2 3
x x x
− − = +
Bài gii:
Phng trình
(
)
(
)
2 cos 4 cos 2 3 cos2 1 sin 2
x x x x
⇔ + = + +
2
c os 0
4cos3 cos 2 3 cos 2sin cos
2cos3 3 cos sin
x
x x x x x
x x x
=
⇔ = + ⇔
= +
+) cos 0
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
+)
3 2
6
2cos3 3 cos sin cos3 cos
6
3 2
6
x x k
x x x x x
x x k
π
π
π
π
π
= − +
= + ⇔ = − ⇔
= − +
12
24 2
x k
k
x
π
π
π π
= − +
⇔
= +
61: Gi
i phng trình:
(
)
(
)
2
tan 1 sin c o s 2 2 3 cos sin sin .
x x x x x x
+ + + = +
Bài gii:
iu kin:
c os 0 .
2
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ +
Phng trình
(
)
(
)
2 2
tan 1 sin 1 2sin 2 3 cos sin sin
x x x x x x
⇔ + + − + = +
(
)
(
)
2 2
tan 1 sin 3 3 cos sin sin 6sin
x x x x x x
⇔ − + = − +
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )( )
2 2
2 2
tan 1 sin 3cos2 3 cos sin sin tan 1 sin 3 cos sin cos 0
sin cos sin 3cos 0 sin co s 2cos2 1 0
x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
⇔ − + = − ⇔ − + − =
⇔ − − = ⇔ − + =
sin cos
4
1
cos 2
2
3
x x
x k
x
x k
π
π
π
π
=
= +
⇔ ⇔
= −
= ± +
i chiu iu kin ta có nghim
, .
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
62: Gii phng trình:
(
)
(
)
co s 2 5 2 2 cos sin cos
x x x x
+ = − −
Bài gii:
Phng trình
2 2
2cos 1 5 4sin 2sin cos 4cos 2cos
x x x x x x
⇔ − + = − − +
(
)
2 sin cos sin cos 2 0
x x x x
⇔ − − − =
t
(
)
sin c o s 2 sin 2; 2
4
t x x x t
π
= − = − ∈ −
2
1
sin cos
2
t
x x
−
=
Phng trình tr thành:
2
1
4 5 0
5
!"#
t
t t
t
=
+ − = ⇔
= −
Vi
2
1: 2 sin 1 sin
4 4 2
t x x
π π
= − = ⇔ − =
⇔
+=−
+=−
π
ππ
π
ππ
2
4
3
4
2
44
kx
kx
⇔
2
2
2
x k
x k
π
π
π π
= +
= +
63: Gi
i phng trình:
( )
sin3 co s 3
c os 2 sin 1 tan
2sin 2 1
x x
x x x
x
−
+ = +
−
Bài gii:
k
1
sin 2
(*)
2
cos 0
x
x
≠
≠
.
Vi k (*) phng trình ã cho tng ng:
( )
( )( ) ( )
3 3
2 2
3sin 4sin 4cos 3cos
c os 2 sin 1 tan
2sin 2 1
sin cos 2sin 2 1 sin sin cos
cos sin
2sin 2 1 cos
x x x x
x x x
x
x x x x x x
x x
x x
− − +
+ = +
−
+ − +
⇔ − + =
−
sin cos 0 ( 1 )
sin
cos sin 1 (2)
cos
x x
x
x x
x
+ =
⇔
− + =
( 1 ) t a n 1 .
4
x x k
π
π
⇔ = − ⇔ = − +
cos sin 0 tan 1
(2) (cos sin )(1 cos ) 0
4
1 cos 0 cos 1
2
x x x
x k
x x x
x x
x k
π
π
π π
− = =
= +
⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔
+ = = −
= +
So vi k (*) suy ra các h nghim ca pt là:
; 2 .
4
x k x k
π
π π π
= ± + = +
64: Gii phng trình:
(
)
2
2
2
sin cos 2sin
2
sin sin 3
1 cot 2 4 4
x x x
x x
x
π π
+ −
= − − −
+
Bài gii:
iu kin:
sin 0 .
x x k
π
≠ ⇔ ≠
Phng trình
( )
2
cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 sin
4
x x x x x
π
⇔ + = −
( )
cos 2 sin 1 0
4
3
cos 2 0
8 2
4
2
sin 1 0
2
x x
k
x
x
x m
x
π
π π
π
π
π
⇔ − − =
= +
− =
⇔ ⇔
= +
− =
So vi iu kin nghim ca phng trình là
3
; 2 .
8 2 2
k
x x m
π π π
π
= + = +
65: Gii phng trình:
( )
π
+ + + +
=
−
Bài gii:
iu kin:
2
1
3
cos
2
2
3
x k
x
x m
π
π
π
π
≠ +
≠ ⇔
≠ − +
Ph
ng trình
( )
1 2cos 2 5 3sin cos 5 0
3
x x x
π
⇔ − + + + + =
2
4.sin 10sin 4 0
6 6
x x
π π
⇔ + + + + =
s i n ( ) 1/ 2
2 ( )
6
3
2
s i n ( ) 2 ( )
6
!"
x
x k
x k
x
π
π
π
π
π π
+ = −
= − +
⇔ ⇔
= +
+ = −
*+
{
}
2
S k
π π
= +
65: Gii phng trình:
( )
5
sin 4 2sin 2
2
4 sin 2 1
sin cos
x x
x
x x
π
+ +
= +
+
Bài gii:
iu kin:
( )
*
4
x k
π
π
≠ − +
Phng trình
(
)
(
)
2sin 2 .cos2 2cos2 2 sin cos sin 2 1
x x x x x x
⇔ + = + +
(
)
(
)
(
)
2 sin c o s sin 2 cos sin cos sin sin 2 1 0
x x x x x x x x
⇔ + − + − − − =
(
)
( ) ( ) ( )
cos sin 0
sin 2 cos sin cos sin sin 2 1 0 1
!"x x
x x x x x x
+ =
⇔
− + − − − =
Gii (1) : t
(
)
cos sin , 2 2
t x x t
= − − ≤ ≤
2
sin 2 1
x t
= −
Pt (1) tr thành :
( ) ( )
2 2 3 2
1
1 1 1 2 2 0 2
2
t
t t t t t t t t
t
=
− + = − + ⇔ − − + = ⇔ =
= −
+ Vi
1
t
=
ta có
2
c os sin 1 cos
4 2
x x x
π
− = ⇔ + =
( )
2
2
2
$
x k
x k
π
π
π
= − +
⇔
=
+ V
i
2
t
=
ta có
cos sin 2 co s 1 2
4 4
!"#
x x x x k
π π
π
− = ⇔ + = ⇔ = − +
+ Vi
2
t
= −
ta có
3
c os sin 2 cos 1 2 ( )
4 4
!"
x x x x k
π π
π
− = − ⇔ + = − ⇔ = +
66: Gi
i phng trình:
(
)
xxxxx 4cos1cossin42cos24sin
+
=
+
+
+
Bài gii:
(
)
0cossin42cos22cos22cos2sin2
2
=++−+⇔ xxxxxx
(
)
(
)
0cossin22cos12sin2cos
=
+
+
−
+
⇔
xxxxx
(
)
(
)
0cossin2sin2cossin22cos
2
=+++⇔ xxxxxx
(
)
(
)
01sin2coscossin
=
+
+
⇔
xxxx
Vi
sin cos 0 .
4
x x x k
π
π
+ = ⇔ = − +
Vi
(
)
(
)
(
)
01sin21sin01sinsin2101sin2cos
22
=−−−⇔=+−⇔=+ xxxxxx
sin 1 2 .
2
x x m
π
π
⇔ = ⇔ = +
67: Gii phng trình:
( )
tan cos3 2cos2 1
3 sin 2 cos .
1 2sin
+ −
= +
−
x x x
x x
x
Bài gii:
iu kin:
2
c o s 0
2
1
6
sin
2
5
2
6
π
π
π
π
π
π
≠ +
≠
⇔ ≠ +
≠
≠ +
x k
x
x m
x
x n
Phng trình
( )
2 2
sin (4cos 3 ) 4 c o s 3
3 cos 2sin 1
1 2sin
x x x
x x
x
− + −
⇔ = +
−
(
)
(
)
( )
2
sin 1 1 4sin
3 cos 2sin 1
1 2sin
x x
x x
x
+ −
⇔ = +
−
(
)
(
)
(
)
sin 1 1 2sin 3 cos 2sin 1
x x x x
⇔ + + = +
+−=+=
+−=+−=
⇔
=
+
−=
⇔
=+
=+
⇔
π
π
π
π
π
π
π
π
π
2
2
,2
6
2
6
5
,2
6
2
1
6
cos
2
1
sin
cos31sin
01sin2
kxkx
kxkx
x
x
xx
x
