Số Phức ôn thi THPT quốc gia

SỐ PHỨC
Số phức

z = a + bi (a, b R)
i2 = (-i)2 = -1
Tập hợp các số phức được gọi là C.
z + z’ = (a + a’) + i(b + b’)
z – z’ = (a – a’) + i(b – b’)
z.z’ = (a + bi)(a’ + b’i) = aa’ + (ab’ + a’b)i – bb’

Phép cộng
Phép trừ
Phép nhân
Phép chia

(

)

1. Tính A = (1 + 4i) + (1 + 3i)
2. Tính B = (2 + 3i) – (1 – 2i)
3. Tính C = (3 – 2i)(3 + i)
4. Tính D =
5. Tính E = (1 + 3i) + (3i – 4) –
6. Tính F =
7. Tính G =

+

1
1

3

i
2 2

8. Tính H = 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6
9. Tính I = 1 + i2 + i3 + … + i2013
10. Tính K = (1 – i)2
11. Tính L = (1 – i)100
12. Tính M = (1 – i)2013

1
2

3
i . Chứng minh z2 + z + 1 = 0 và z3 = 1
2

13. Cho số phức z   

14. Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau:
a. z = i + (2 - 4i) - (3 - 2i)
b. z = (1  i)  (2i)
3

Số phức bằng nhau

3

z = z’  {

Tìm số phức z thỏa
mãn pt
Số phức liên hợp
̅
Module số phức
|z| = √
z. ̅ = |z|2
Nghịch đảo của z
z-1 =

{

̅=

15. Tìm các phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn các điều kiện sau:
a. 2z + i(z – 1) = 2 + 3i
b. 2iz + 1 - i = 0
c. (1 + i)2(2  i)z = 8 + i + (1 + 2i)z

16. Giải phương trình: z 2  z  0 .
17. Giải phương trình: z 2  z  0 .
18. Giải phương trình: z + 2̅ = 2 – 4i
19. Giải phương trình: (

)

=1

(CĐ A – B – 2009)

(

)


20. Tìm số phức z thoả mãn: z  2  i  2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
Mặt phẳng Phức:
Im

M(a,b)
z = a + bi = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

b

0
a
Re
Để tìm tập hợp các số phức z thỏa mãn một điều kiện của bài toán (hoặc biểu diễn 1 số phức z trên mặt phẳng phức thỏa
mãn điều kiện bài toán), ta gọi z = x + iy. Sau đó ta giải điều kiện của bài toán và tìm ra tập hợp điểm z chính là mối quan
hệ giữa x và y.
Ví dụ: Tìm các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: |z + 1 – i| = 2.
Ta gọi z = x + iy, khi đó ta có:
|x + iy + 1 – i| = 2  |(x + 1) + i(y – 1)| = 2  2 = √

= 4.
Vậy tập hợp những số phức z thỏa mãn điều kiện đầu bài là đường tròn
= 4 trên mặt phẳng phức.
21. Tìm tập hợp những điểm z thỏa mãn các điều kiện sau:
a.

z 1  i  2

b.

2 z  i  z

22. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z  i  z  z  2i .
23. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn

z
3.
z i

3
2

24. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  2  3i  . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.
25. Cho số phức z = m + (m - 3)i, m  R
a. Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = - x
b. Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol y  

2
x

c. Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất.

26. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức

4i

2  6i
.
; (1  i)(1  2 i);
i 1
3i

a. Chứng minh ABC là tam giác vuông cân
b. Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Căn bậc 2 của số phức:
 Nếu z là số thực và z > 0 thì có 2 căn bậc 2 là √ và √
 Nếu z là số thực và z < 0 thì có 2 căn bậc 2 là √ và √
 Nếu z là 1 số phức a + bi. Khi đó gọi w = x + iy sao cho w2 = z. Khi đó ta có:
{
Phương trình bậc 2:
Cho phương trình bậc 2: az2 + bz + c = 0 với

b2 – 4ac. Khi đó phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phức đó là:

Trong đó là 1 căn bậc 2 bất kỳ của .
Định lý Viet với phương trình bậc 2:
Cho phương trình bậc 2: az2 + bz + c = 0. Khi đó ta có định lý Viet:


{
Định lý Viet đảo:
Nếu z = a và z = b là 2 nghiệm của 1 phương trình bậc 2, thì phương trình bậc 2 đó chính là:
z2 – (a + b)z + ab = 0
Nghiệm của phương trình bậc 2 có hệ số thực:
Cho phương trình bậc 2: az2 + bz + c = 0 có hệ số thực với
b2 – 4ac.

 Nếu > 0, phương trình có 2 nghiệm thực.
 Nếu = 0, phương trình có 1 nghiệm thực.
 Nếu < 0, phương trình có 2 nghiệm phức.
Hai nghiệm z1 và z2 của phương trình trên là 2 số phức liên hợp của nhau. Do đó: z1z2 = |z1|2 = |z2|2 =

27. Tìm căn bậc 2 của các số sau:
a. z = -2
b. z = 2i
c. z = 4i – 3
28. u1; u2 là căn bậc hai của

z1  3  4i , v1; v2 là căn bậc hai của z2  3  4i . Tính u1  u2 v1  v2 ?

29. Giải phương trình z + z + 1 = 0.
30. Giải phương trình z2 + 2z + 3 = 0.
31. Giải phương trình z2 – (3 + 4i)z + 5i – 1 = 0
32. Giải phương trình z2 + (1 + i)z – 2 – i = 0
33. Giải phương trình z3 – 1 = 0.
2

34. Giải phương trình sau trên tập số phức:
35. Giải phương trình: z 4  z 3 

4 z  3  7i
 z  2i .
z i

z2
 z  1  0.
2

36. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
37. Giải phương trình: z3  iz2  2iz  2 = 0.
38. Giải các phương trình trùng phương:

a) z 4  8 1  i  z 2  63  16i  0

b) z 4  24 1  i  z 2  308  144i  0
39. Cho phương trình: (z + i)(z2  2mz + m2  2m) = 0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.
b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.
c. Có ba nghiệm phức.
40. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết:
a.  = 25i
b.  = 2i 3

41. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm   4  3i;

  2  5i

42. Tìm m để phương trình: x  mx  3i  0 có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8.
2

 z12  z22  5  2i (1)

43. Giải hệ phương trình 

 z1  z2  4  i

(2)





44. Cho z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình: z  1  i 2 z  2  3i  0 . Không giải pt hãy tính giá trị của
2

các biểu thức sau:

z1 z2

z2 z1

a) A  z12  z22

b) B  z12 z2  z1z22

c) C 

d ) D  z13  z23

e) E  z2 z13  z1z23

1 2
1 2
f ) F  z1     z2   
 z2 z1 
 z1 z2 

45. Giải các hệ phương trình:


 z  2i  z
b) 

 z  i  z 1

u 2  v 2  4uv  0
a) 
u  v  2i

46. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z 2  4 z  11  0 . Tính A 

z1  z2
2

 z1  z2 

2
2

Dạng lượng giác của số phức.
Cho số phức z = a + bi. Khi đó ta phân tích như sau:
√
Đặt r = √

(
√

)

√

, cosφ =

và sinφ =
. Khi đó ta viết số phức z = r(cosφ + i.sinφ).
√
√
Số phức z như trên được gọi là dạng lượng giác của số phức z.
φ được gọi là Acgumen của số phức z.
Im

M(a,b)
z = a + bi = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

b
φ

0
a
Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
Nếu z = r(cos  +isin  ), z' = r' (cos  '+isin  ') (r  0 và r'  0 ) thì
zz' = rr ( cos (    ' )  i sin(   ' ))

Re

z r

  cos(   ')  i sin(   ') (khi r' > 0).
z' r'
Công thức Moivre:

r (cos   i sin  )

n

 r n (cos n  i sin n )

Căn bậc 2 của số phức:
Với z = r(cos  +isin  ), r > 0, có hai căn bậc hai là:
√ (

47. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. z = 1 + i
b. z = 1 + √ i
c. z = (1 – √ i)(1 + i)
–√
d. z =
e. z = sin + i.cos

48. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau :
a)

(1  i )10
( 3  i )9





b)  cos  i sin  i 5 (1  3i )7
3
3


49. Tính tổng sau S  (1  i)2008  (1  i)2008
50. Tính 1  i bằng dạng số phức lượng giác.
51. Tính

3

1
3

i
2
2

Các bài tập số phức trong các kỳ thi đại học:

)

√ (

)


52. (B – 2005): Tìm số phức z thỏa mãn z  2  i   10

và

z.z  25 .

53. (A – 2009): Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị biểu thức A  z1  z 2
54. (D – 2009): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện
2

2

.

z  3  4i   2 .

(√

55. (A – 2010): Tìm phần ảo của số phức z biết

) (

√ )

√

56. (A – 2010): Cho số phức z thỏa mãn
. Tính | + iz|.
57. (B – 2010): Tìm tập hợp các điểm z thỏa mãn |z – i| = |(1 + i)z|
58. (D – 2010): Tìm các số phức z thỏa mãn |z| = √ và z2 là số thuần ảo.
59. (A – 2011): Tìm tất cả số phức z biết z2 = |z|2 +
60. (A – 2011): Tìm module của số phức z biết (2z – 1)(1 + i) + ( + 1)(1 – i) = 2 – 2i

√

61. (B – 2011): Tìm module của z biết

–1=0

√

62. (B – 2011): Tìm số phức z biết z = (
)
63. (D – 2011): Tìm số phức z biết z – (2 + 3i) = 1 – 9i
64. (A – 2012): Cho số phức z thỏa mãn
= 2 – i. Tính module của w = 1 + z + z2.
65. (B – 2012): Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm của phương trình z2 – 2√
. Viết dạng lượng giác của số phức z1 và
z2.

66. (D – 2012): Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
= 7 + 8i. Tính |z + 1 + i|
2
67. (D – 2012): Giải phương trình z + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập số phức.
68. (A – 2013): Cho số phức z = 1 + √ . Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của w = (1 + i).z5.
69. (D – 2013): Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)(z – i) + 2z = 2i. Tính |

|