Một số chuyên đề toán ôn thi THPT quốc gia

HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 1/141

CHUYÊN ĐỀ 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài toán tính thể tích khối đa diện, đặc biệt là thể tích khối chóp và thể tích khối lăng trụ là
một nội dung cơ bản trong chương trình toán lớp 12. Những năm gần đây trong đề thi tốt nghiệp
THPT, đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi, các bài toán về tính thể tích
khối đa diện xuất hiện thường xuyên. Mặc dù đó là một bài toán cơ bản nhưng nó đã gây khó khăn
cho không ít học sinh. Vì vậy, mà nhiều thí sinh có ý định bỏ câu hỏi này.
Nhằm giúp các em học sinh nắm được kiến thức cơ bản, các phương pháp tính thể tích khối
đa diện và có kỹ năng giải toán, năm học 2011 – 2012 chúng tôi đã thực hiện chuyên đề “Phương
pháp tính thể tích khối đa diện”.
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và qua nghiên cứu đề thi học sinh giỏi lớp 12 của
các tỉnh những năm học gần đây, chúng tôi thấy các câu hỏi về hình học không gian ngoài yêu cầu
tính thể tích còn có các yêu cầu khác liên quan đến thể tích như tỷ số thể tích, thể tích lớn nhất hay
thể tích nhỏ nhất. Vì vậy, chúng tôi thực hiện chuyên đề “Một số vấn đề về thể tích khối đa diện”
với hy vọng rằng giúp các em học sinh phần nào tháo gỡ được khó khăn khi tiếp cận với bài toán
thể tích khối đa diện trong các kỳ thi đang đến gần.
MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
A. Kiến thức cơ bản của hình học phẳng.
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có đường cao
AH

và trung tuyến
AM
. Khi đó:
a)
2 2 2
BC AB AC
 
(định lý Pitagor) b)
2 2
. ; .
AB BH BC AC CH CB
 

c)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
  d)
1
2
AM BC

e) sin ;cos ; tan
AC AB AC
B B B
BC BC AB
   (tỷ số lượng giác).
2. Hệ thức luợng trong tam giác bất kỳ.
Cho tam giác
ABC

có độ dài các cạnh ; ;
BC a CA b AB c
  
. Kí hiệu
, ,
p R r
lần lượt là
nửa chu vi tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác
ABC
;
, ,
a b c
h h h
và
, ,
a b c
m m m
lần lượt là độ dài đường cao và trung tuyến xuất phát từ các đỉnh
, ,
A B C
của tam giác
ABC
.
a) Định lý hàm số cosin:
2 2 2
2 cos
a b c bc A
  
.
b) Định lý hàm số sin:

2
sin sin sin
a b c
R
A B C
   .
c) Công thức tính diện tích:
1 1 1 1 1 1
. . . sin sin sin
2 2 2 2 2 2
a b c
S a h b h c h ab C bc A ca C
     
Ngoài ra, chúng ta cũng cần nắm vững các công thức tính diện tích dưới đây:
   
.
4
abc
S p r p p a p b p c
R
     
.
d) Công thức đường trung tuyến:
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 2/141

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2

; ;
2 4 2 4 2 4
a b c
b c a c a b a b c
m m m
  
      .

Chú ý: Ngoài ra chúng ta cũng cần nắm vững các tính chất của các hình có dạng đặc biệt như
tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi,
hình chữ nhật, hình vuông, hình nửa lục giác đều, Bên cạnh đó, cũng cần phải nắm được công
thức tính diện tích của hình thang, hình bình hành, hình thoi,
B. Kiến thức hình học không gian lớp 11.
I. Quan hệ song song
1. Đường thẳng và mặt phẳng song song.
1.1. Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có
điểm chung.
1.2. Các định lý:
a) Định lý 1: Nếu đường thẳng
d
không nằm trên mặt phẳng


P
và song song với đường thẳng
a

nằm trên mặt phẳng



P
thì đường thẳng
d
song song với mặt phẳng


P
.
b) Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng


P
thì mọi mặt phẳng


Q
chứa
a
và
cắt


P
theo giao tuyến
b
thì
b
song song với đường thẳng
a
.

c) Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng


P
và


Q
cắt nhau theo giao tuyến
d
và hai mặt phẳng đó cùng
song song với đường thẳng
a
thì giao tuyến
d
song song với đường thẳng
a
.
d) Định lý 4: Nếu hai đường thẳng
a
và
b
chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng qua đường
thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Chú ý: Định lý này thường được vận dụng trong trường hợp tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau.
2. Hai mặt phẳng song song.
2.1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
2.2. Các định lý:

a) Định lí 1: Nếu mặt phẳng


P
chứa hai đường thẳng
a
và
b
cắt nhau và cùng song song với
mặt phẳng


Q
thì mặt phẳng


P
song song với mặt phẳng


Q
.
b) Định lí 2: Nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì song song với
mặt phẳng kia.
c) Định lí 3: Nếu hai mặt phẳng


P
và



Q
song song với nhau thì mặt phẳng


R
đã cắt


P
thì
phải cắt


Q
và các giao tuyến của chúng phải song song với nhau.
II. Quan hệ vuông góc
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Quan hệ vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng là một trong các quan hệ quan trọng
nhất của hình học không gian. Sử dụng quan hệ vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng để
chứng minh quan hệ vuông góc, để xác định và tính khoảng cách, để xác định và tính góc giữa hai
mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
1.1. Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 3/141

1.2. Định lí: Nếu đường thẳng

d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
a
và
b
cùng nằm trên
mặt phẳng


P
thì đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng


P
.

Chú ý: Đây là dấu hiệu nhận biết một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Nó cũng là
điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Định lý này được vận dụng nhiều trong
các bài toán của hình học không gian: chứng minh quan hệ vuông góc, chứng minh hệ thức hình
học, xác định khoảng cách và góc.
2. Hai mặt phẳng vuông góc.
2.1. Định lí 1: Nếu hai mặt phẳng


P
và



Q
vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng
a
nào
nằm trong


P
và vuông góc với giao tuyến của


P
và


Q
thì đường thẳng
a
vuông góc với mặt
phẳng


Q
.

Chú ý: Định lý này ngoài việc vận dụng để chứng minh quan hệ vuông góc, nó còn được sử dụng
trong bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng và cách xác
định đường cao trong khối chóp, khối lăng trụ có mặt bên vuông góc với mặt đáy.
2.2. Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến
của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.


Chú ý: Định lý này thường được sử dụng trong các bài toán về khối chóp có dữ kiện hai mặt bên
hoặc có hai mặt nào đó (gắn liền với khối chóp) cùng vuông góc với mặt đáy. Khi đó chiều cao của
khối chóp chính là đoạn giao tuyến của hai mặt nói trên của hình chóp.
3. Góc.
Yếu tố góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng thường gắn liền với bài
toán tính thể tích khối đa diện trong các đề thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng
và thi học sinh giỏi. Yếu tố này đã gây không ít khó khăn cho các thí sinh. Các thí sinh có ý định bỏ
bài toán về tính thể tích khối đa diện cũng vì lý do này.Vì vậy, việc đưa ra một quy trình mang tính
chất tựa thuật toán là một việc làm cần thiết.
3.1. Định nghĩa: a) Góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
là góc giữa hai đường thẳng
'
a
và
'
b
cùng
đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với
a
và
b
.
b) Cho đường thẳng
a
không vuông góc với mặt phẳng



P
. Khi đó góc giữa đường thẳng
a
và
mặt phẳng


P
là góc giữa đường thẳng
a
và đường thẳng
'
a
, trong đó
'
a
là hình chiếu của đường
thẳng
a
trên mặt phẳng


P
.
c) Góc giữa hai mặt phẳng


P
và mặt phẳng



Q
là góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
lần lượt
vuông góc với mặt phẳng


P
và mặt phẳng


Q
.
3.2. Các bước xác định góc giữa đường thẳng với mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng.
a) Các bước xác định góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng


P
.
Bước 1: Xác định hình chiếu vuông góc
'

của đường thẳng


trên mặt phẳng


P
.
Dấu hiệu nhận biết là trên đường thẳng

chứa điểm
M
sao cho


MH P

, với


H P

. Khi đó
đường thẳng đi qua điểm
H
và giao điểm của đường thẳng

với mặt phẳng


P
chính là đường
thẳng

'

,
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 4/141

Bước 2: Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng

và
'

. Đó cũng chính là góc giữa đường
thẳng

và mặt phẳng


P
.

b) Các bước xác định góc giữa hai mặt phẳng


P
và


Q

.

Cách 1: (Theo định nghĩa)
Bước 1: Xác định đường thẳng


a P

, đường thẳng


b Q

.
Bước 2: Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
.
Góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
bằng góc giữa hai mặt phẳng


P
và



Q
.

Cách 2: (Theo cách xác định góc)
Bước 1: Xác định giao tuyến

của hai mặt phẳng


P
và


Q
.
Bước 2: Lấy một mặt phẳng


R
vuông góc với đường thẳng

.
(Phải tạo ra hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng

. Khi đó, mặt phẳng chứa
hai đường thẳng vừa tạo ra chính là mặt phẳng


R
).

Bước 3: Xác định giao tuyến
a
,
b
của mặt phẳng


R
với hai mặt phẳng


P
và


Q
. Xác định và
tính góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
. Đó cũng chính là góc giữa hai mặt phẳng


P
và


Q
.


Chú ý: - Trong hai cách trên thì cách 2 có tính thông dụng hơn. Khi xác định góc giữa hai đường
thẳng cần phải chú ý rằng góc đó không vượt quá
0
90
rồi mới chỉ ra đó là góc nào trên hình vẽ. Có
những trường hợp không chỉ rõ là góc nào trên hình vẽ nhưng phải chú ý đến điều kiện góc giữa
hai đường thẳng không vượt quá
0
90
.
- Đối với khối chóp
1 2
.
n
S A A A
chúng ta có cách làm cụ thể hơn như sau (theo hình vẽ trên):
 Cách xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy:
+ Xác định hình chiếu vuông góc
H
của đỉnh
S
trên mặt phẳng


1 2

n
A A A
.

Khi đó
1 2
, , ,
n
HA HA HA
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
1 2
, , ,
n
SA SA SA
trên mặt phẳng
1 2
.
n
S A A A
.
+ Các góc



1 2
, , ,
n
SA H SA H SA H
nhọn nên góc giữa đường thẳng
1 2
, , ,
n
SA SA SA
với mặt phẳng

1 2
.
n
S A A A
lần lượt là



1 2
, , ,
n
SA H SA H SA H
.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 5/141

 Cách xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy:
+ Xác định hình chiếu vuông góc
H
của đỉnh
S
trên mặt phẳng


1 2

n
A A A

.
+ Từ
H
kẻ
1 2
, , ,
n
HK HK HK
lần lượt vuông góc với
1 2 2 3 1
, , ,
n
A A A A A A
, trong đó
1 2
, , ,
n
K K K

lần lượt nằm trên các đường thẳng
1 2 2 3 1
, , ,
n
A A A A A A
.
+ Các góc



1 2

, , ,
n
SK H SK H SK H
nhọn nên góc giữa các mặt bên






1 2 2 3 1
, , ,
n
SA A SA A SA A
với
mặt phẳng


1 2

n
A A A
lần lượt là



1 2
, , ,
n
SK H SK H SK H

.
- Thông thường điểm H có vị trí đặc biệt đối với đa giác
1 2

n
A A A
như trọng tâm, trực tâm, tâm
đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp hoặc nằm trên một đường thẳng nào đó, Việc lưu ý đến điều này
sẽ giúp chúng ta thuận lợi hơn trong tính toán.

VẤN ĐỀ 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

 PHƯƠNG PHÁP 1: TÍNH TRỰC TIẾP DỰA VÀO CÔNG THỨC THỂ TÍCH.
A. Nội dung phương pháp.
Để tính thể tích khối chóp hoặc khối lăng trụ dựa vào công thức tính thể tích, chúng ta có thể tiến
hành theo các bước sau đây:
Bước 1: Xác định đáy và chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng trụ.
Bước 2: Tính diện tích đáy và độ dài chiều cao.
Bước 3: Thay dữ kiện vào công thức thể tích để tính thể tích.
Thể tích khối chóp:
1
.
3
V B h
 , trong đó
B
là diện tích đáy và
h
là chiều cao của khối chóp.
Thể tích khối lăng trụ:

.
V B h

, trong đó
B
là diện tích đáy và
h
là chiều cao của khối lăng trụ.
Để hiểu rõ cách xác định chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng trụ, chúng tôi xin nhắc lại định
nghĩa chiều cao của các khối này.
- Chiều cao của hình chóp bằng khoảng cách từ đỉnh của hình chóp tới mặt phẳng chứa đáy của
hình chóp đó.
- Chiều cao của hình lăng trụ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đáy của hình
lăng trụ hay bằng khoảng cách từ một đỉnh của hình lăng trụ đến mặt đáy của hình lăng trụ không
chứa đỉnh đó.
Dưới đây là những dấu hiệu giúp chúng ta xác định nhanh được chiều cao của hình chóp và hình
lăng trụ.
Khối đa diện Cách xác định chiều cao
Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt
phẳng đáy.
Chiều cao chính là cạnh bên đó.
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng
tạo với mặt đáy những góc bằng nhau (trong đó có
cả hình chóp đều).
Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm
đường tròn ngoại tiếp mặt đáy của hình
chóp.
Hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông
góc với mặt phẳng đáy.
Chiều cao chính là giao tuyến của hai mặt

bên đó.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 6/141

Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt
đáy.
Chiều cao của hình chóp chính là đường cao
kẻ từ đỉnh của hình chóp của mặt bên đó.
Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy
những góc bằng nhau.
Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm
đường tròn nội tiếp mặt đáy của hình chóp.
Hình lăng trụ đứng.
Chiều cao chính là cạnh bên của hình lăng
trụ.

Chú ý: Đối với khối lăng trụ nói chung, đôi khi có gắn với các yếu tố của khối chóp như có một
đỉnh cách đều các đỉnh của mặt đáy đối diện; cho biết trước hình chiếu vuông góc của một đỉnh
nào đó trên mặt đối diện; Vì vậy, chúng ta cần nắm vững cách xác định chiều cao trong một số
trường hợp đặc biệt nói trên để vận dụng cho cả khối lăng trụ.
B. Các ví dụ minh họa.
1. Các ví dụ về hình chóp.
1.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy (hoặc có hai mặt bên kề nhau vuông góc
với mặt đáy)
 Ví dụ 1. Cho hình chóp
.
S ABC
có mặt bên

SBC
là tam giác đều cạnh
a
, hai mặt bên


SAB
và


SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng


SBC
tạo với mặt phẳng


ABC
một góc

. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
theo
a
và

.
Lời giải

Hai mặt phẳng


SAB
và


SAC
cùng vuông góc
với mặt phẳng


ABC
và cắt nhau theo giao tuyến
SA
nên


SA ABC

.
Gọi
M
là trung điểm của cạnh
BC
. Do tam giác
SBC
đều nên
BC SM


. Do đó,


BC SAM

.
Hai mặt phẳng


SBC
và


ABC
cắt nhau theo
giao tuyến
BC
và


BC SAM

nên góc giữa hai
mặt phẳng


SBC
và



ABC
bằng góc giữa hai

đường thẳng
AM
và
SM
.Tam giác
SAM
vuông tại
A
nên

0
90
SMA

. Theo giả thiết ta có

SMA


.
Tam giác
SBC
đều cạnh
a
nên
3
2

a
SM  .
Tam giác
SAM
vuông tại
A
nên ta có:
3
cos .cos
2
a
AM SM
 
  ;
3
.sin .sin
2
a
SA SM
 
  .
Vậy thể tích khối chóp
.
S ABC
là
3
1 1 1 sin 2
. . .
3 3 2 16
ABC

a
V SA S SA AM BC

   .


HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 7/141

 Ví dụ 2. (Đề thi tốt nghiệp THPT 2011)
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
D
với
AD CD a
 
,
3
AB a

. Cạnh bên
SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên
SC
tạo với mặt phẳng đáy một
góc
0
45
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD
theo
a
.
Lời giải
Vì


SA ABCD

nên
AC
là hình chiếu vuông
góc của
SC
trên mặt phẳng


ABCD
.
Tam giác
SAC

vuông tại
A
nên

0
90
SCA

.
Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng


ABCD
bằng góc

SCA
. Do đó

0
SCA 45

.
Tam giác
ADC
vuông cân tại
D
nên
2

AC a

.

Tam giác vuông
SAC
vuông tại
A
nên
0
.tan 45
SA AC a
 
.
Diện tích hình thang
ABCD
là
2
3
. . 2
2 2
ABCD
AB DC a a
S AD a a
 
   .
Vậy thể tích khối chóp
.
S ABCD
là

3
2
1 1 2
. .2
3 3 3
ABCD
a
V SA S a a   .
 Ví dụ 3. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc
với mặt phẳng


ABCD
và
2
SA a

. Gọi
N
là trung điểm của
SC

,
M
là điểm thuộc cạnh
AD

sao cho
2
MD MA

. Tính thể tích khối tứ diện
BDMN
.
Lời giải
Gọi
O
là tâm hình vuông
ABCD

/ /
ON SA

.
Mà


SA ABCD

nên



ON ABCD

.
Tam giác
SAC
vuông tại
A
có
ON
là đường trung
bình nên
1 2
2 2
a
ON SA  .
Lại có
BDM BAD BAM
S S S
 

2
1 1
. .
2 2 3
a
AB AD AB AM  

Tứ diện
NBDM
có chiều cao

ON
nên thể tích khối tứ diện
NBDM
là
2 3
1 1 2 . 2
. . .
3 3 2 3 18
BDM
a a a
V ON S   .

Ví dụ 4. (ĐH KA năm 2011)
Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
;
2
AB BC a
 
. Hai mặt phẳng


SAB
và



SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng


ABC
. Gọi
M
là trung điểm của
AB
, mặt
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 8/141

phẳng qua
SM
và song song với
BC
cắt
AC
tại
N
. Biết góc giữa hai mặt phẳng


SBC
và



ABC
bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp
.
S BCNM
theo
a
.
Lời giải

Ta có


SAB
cắt


SAC
theo giao tuyến
SA
;


SAB
và


SAC

cùng vuông góc với


ABC
suy ra
SA
vuông góc


ABC
.
AB BC SB BC
  
. Vậy

SBA
là góc giữa mặt phẳng


SBC
và


ABC
nên

0
60
SBA


.
Ta có
0
tan 60 2 3
SA AB a
 
.
Mặt phẳng qua
SM
và song song với
BC
cắt
AC
tại
N

nên
MN
//
BC
và
N
là trung điểm của
AC
.

Ta có ;
2 2
BC AB
MN a MB a

   
. Diện tích tứ giác
BCNM
là


2
3
.
2 2
BCNM
BC MN
a
S MB

  .
Thể tích khối chóp
.
S BCNM
là
3
.
1 3
. .
3 2
S BCNM BCNM
a
V S SA  .

Nhận xét: Trước hết ta phải xác định được mặt phẳng qua

SM
và song song với
BC
bằng cách
từ điểm
M
kẻ đường thẳng
d
song song với
BC
(ta chọn từ điểm
M
là phù hợp nhất vì điểm
M

và đường thẳng
BC
cùng thuộc


ABC
), đường thẳng
d
cắt
AC
tại
N
. Ta thấy hình chóp
.
S MNCB

cũng nhận
SA
là đường cao.
1.2. Hình chóp đều
 Ví dụ 5. Cho tứ diện đều
ABCD
cạnh
a
.
a) Tính thể tích khối tứ diện
ABCD
.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
.
Lời giải
a) Gọi
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
. Khi
đó


AH BCD

. Ta có
2
. 3
4

BCD
a
S  .
Ta có
2 3
3 3
a
BH BN  . Tam giác
ABH
vuông tại
H

nên
2 2
6
3
a
AH AB BH   .
Vậy thể tích khối tứ diện
ABCD
là
3
1 . 2
.
3 12
BCD
a
V AH S  .

HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 9/141

b) Ta có
AH
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
. Gọi
M
là trung điểm cạnh
AB
, kẻ
IM

vuông góc với
AB
và
I
nằm trên
AH
thì ta có
IA IB IC ID
  
. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện
ABCD
nhận
I
là tâm, bán kính

R IA

. Tam giác
AMI
đồng dạng với tam giác
AHB
(g.g).
Suy ra
. 6
6
AM AI AB AM a
AI
AH AB AH
    .

Nhận xét: - Dấu hiệu nhận biết một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp đó
phải là đa giác nội tiếp được đường tròn (tức là có đường tròn ngoại tiếp). Chẳng hạn, đáy là tam
giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân,
- Muốn xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta cần thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp (là đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng đáy và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp đó).
Bước 2: Mặt phẳng trung trực của một cạnh bên cắt trục đường tròn nói trên tại đâu thì đó là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Thông thường, chúng ta gặp tình huống có một cạnh bên của hình
chóp đồng phẳng với trục đường tròn nói trên. Khi đó ta chỉ cần xác định đường trung trực của cạnh
bên đó với điều kiện đường trung trực đó phải nằm trong mặt phẳng chứa cạnh bên và trục đường
tròn nói trên.
- Đối với tứ diện thì chọn một đỉnh làm đỉnh của hình chóp để cho việc tính thể tích hoặc xác định
tâm mặt cầu ngoại tiếp thuận lợi.
 Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều
.

S ABCD
có cạnh đáy bằng
A
. Gọi
SH
là đường cao của
hình chóp. Gọi
I
là trung điểm của
SH
, khoảng cách từ điểm
I
đến mặt phẳng


SBC
bằng
5
a
.
Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD
theo
a

Lời giải
Từ
H
kẻ



,
HM BC M BC
 
. Mà


SH ABCD


nên
SH BC

. Do đó


BC SHM






SBC SHM
 
.
Từ
H
kẻ

'
HH SM

,
'
H SM

.
Khi đó


'
HH SBC

.
Từ điểm
I
kẻ // ',
IK HH K SM

thì


IK SBC







;
d I SBC IK
 
.

Theo giả thiết, ta có
5
a
IK

. Mà
IK
là đường trung bình của tam giác
'
SHH
nên
2
' 2
5
a
H H IK  . Tam giác
SHM
vuông tại
H
có đường cao
'
HH
nên
2 2 2
1 1 1

'
H H HS HM
 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 25 4 9 2
3
' 4 4
a
SH
HS H H HM a a a
        .
Vậy thể tích khối chóp đã cho là
3
2
1 1 2 2
. . .
3 3 3 9
ABCD
a a
V SH S a   .
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 10/141


Nhận xét: Trong ví dụ trên, điều mấu chốt là phải xác định được khoảng cách từ điểm
I
đến
mặt phẳng



SBC
. Việc xác định khoảng cách từ điểm
I
đến mặt phẳng


SBC
có thể tiến hành
trực tiếp hoặc gián tiếp dựa vào một điểm khác. Vì vậy, khi xác định khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng nếu xác định trực tiếp gặp khó khăn thì có thể sử dụng phương án gián tiếp dựa vào
một điểm khác như trong ví dụ này.
Ví dụ 7. (HSG lớp 12 tỉnh Ninh Bình năm học 2011 – 2012)
Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có độ dài cạnh đáy là
a
(
0
a

). Biết các mặt bên tạo với mặt đáy góc
có số đo bằng
4

. Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD

theo
a
và số đo của góc giữa hai mặt phẳng


SAD
và


SCD
.
Lời giải

Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
, suy ra


SO ABCD

.
Ta có





ABCD SCD CD
 

Gọi
M
là trung điểm của
CD
, ta có
OM CD

.
Ta lại có
SO CD

nên


CD SOM CD SM
  
.
Suy ra
   



 


, ,
SCD ABCD SM MO SMO

  .
Theo giả thiết ta có

4
SMO


.
Thể tích khối chóp

.
S ABCD
là
1
. .
3
ABCD
V SO S .
Ta có diện tích hình vuông
ABCD
là
2
ABCD
S a

.
Trong tam giác
SOM
vuông tại
O

nên ta có
2
a
OS OM
 
.
Suy ra khối chóp

.
S ABCD
là
3
1
6
V a
 .
Hiển nhiên độ dài cạnh bên của hình chóp đều
.
S ABCD
là
3
2
a
.
Ta có




SCD SAD SD

 
. Gọi
I
là hình chiếu vuông góc của
O
trên
SD
. Suy ra


SD ACI

.
Do đó ;
SD AI SD CI
 
. Khi đó
   



 

, ,
SCD SAD IA IC
 .
Áp dụng định lí cosin trong tam giác
IAC
, ta được


1
cos
2
AIC
 
. Suy ra

0
120
AIC

.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng


SAD
và


SCD
bằng
0
60
.
 Ví dụ 8. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có khoảng cách từ đỉnh
A
đến mặt phẳng



SBC

bằng
2
a
. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp thì thể tích của khối chóp
.
S ABCD
nhỏ nhất.

HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 11/141

Lời giải
Gọi
O
là tâm của hình vuông
ABCD
.
Do
.
S ABCD
là hình chóp đều nên


SO ABCD



Kẻ đường cao
OH
của tam giác
OBC
thì
H
là
trung điểm của
BC
. Khi đó


BC SOH

.
Tam giác
SOH
vuông tại
O
nên

SHO
là góc
nhọn. Do đó góc giữa mặt bên


SBC
và mặt đáy



ABCD
bằng góc

SHO
.
Đặt

, 0
2
SHO x x

 


  




 
.

Kẻ đường cao
OK
của tam giác
SOH
thì



OK SBC

. Suy ra




;
d O SBC OK

.
Đường thẳng
AO
cắt mặt phẳng


SBC
tại
C
nên








;

2
;
d A SBC
AC
OC
d O SBC
 
.
Suy ra
 
 
 
 
1
; ;
2
d O SBC d A SBC a
 
.
Tam giác
OKH
vuông tại
K
nên

sin
sin
OK a
OH
x

KHO
 
. Suy ra

.tan
cos
a
SO OH SHO
x
  và
2
2
sin
a
AB OH
x
  .
Diện tích hình vuông
ABCD
là
2
2
4
sin
ABCD
a
S
x
 . Vậy thể tích khối chóp
.

S ABCD
là
2 3
2 2
1 1 4 4
. . .
3 3 cos
sin 3cos sin
ABCD
a a a
V SO S
x
x x x
   .
Ta có thể tích khối chóp
.
S ABCD
nhỏ nhất khi và chỉ khi
2
cos sin
x x
lớn nhất.
Cách 1: (Theo Đại số)
Các số
cos ,sin
x x
dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
   
3
2 2 2

2
2 2 2 2
1 1 2cos sin sin 4
cos sin 2cos sin sin .
2 2 3 27
x x x
x x x x x
 
 



  





 
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2 2
6
2cos sin sin
3
x x x   .
Vậy thể tích khối chóp
.
S ABCD
đạt giá trị nhỏ nhất bằng

3
2 . 3
a khi
6
sin
3
x  .
Cách 2: (Theo Giải tích)
Ta có
2 3
cos sin cos cos
x x x x
 
.
Xét hàm số


3
f t t t
 
trên khoảng


0;1
.
Ta có


2
' 1 3

f t t
 
và
 
3
' 0
3
f t t   .
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 12/141

Bằng cách lập bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của hàm số


f t
trên khoảng


0;1
bằng
2 3
9

đạt được khi
3
3
t  .
Vậy thể tích khối chóp

.
S ABCD
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
3
2 . 3
a khi
3
cos
3
x  .

Nhận xét: - Trong ví dụ trên điều mấu chốt là ta phải xác định khoảng cách từ điểm
O
đến mặt
phẳng


SBC
thông qua giả thiết




; 2
d A SBC a

và xác định được góc giữa hai mặt phẳng


SBC

và


ABCD
. Công việc còn lại là tính thể tích khối chóp theo công thức.
- Khi biểu thức thể tích của khối đa diện phụ thuộc vào một biến nào đó (có thể là góc hoặc khoảng
cách) và bài toán đòi hỏi xác định điều kiện của biến để thể tích khối đa diện nhận giá trị lớn nhất
hoặc nhỏ nhất thì ta có thể giải quyết bài toán cực trị đó theo các bước sau:
Bước 1: Chọn biến số, đưa ra điều kiện của biến số (từ giả thiết toán).
Bước 2: Lựa chọn cách tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (theo bất đẳng thức hoặc theo đạo
hàm) và tiến hành tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Khi sử dụng bất đẳng thức cần chú ý đến
điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra.
Bước 3: Kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
1.3. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy (hoặc mặt chéo vuông góc với đáy)
 Ví dụ 9. Cho hình chóp
.
S ABC
có mặt bên
SAB
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy.
Tam giác
SAB
là tam giác đều cạnh
a
và tam giác
ABC
cân tại
C
. Góc tạo bởi giữa cạnh bên
SC

và mặt phẳng đáy là
0
30
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
theo
a
.
Lời giải
Gọi
H
là trung điểm của
AB
. Tam giác
SAB
là tam
giác đều nên
SH AB

.
Hai mặt phẳng


SAB
và


ABC
cắt nhau theo giao

tuyến
AB
và vuông góc với nhau nên


SH ABC SH HC
  
.
Tam giác
SHC
vuông tại
H
nên

0
90
SCH

.
HC
là
hình chiếu vuông góc của đường thẳng
SC
trên mặt
phẳng


ABC
nên góc giữa đường thẳng
SC

và mặt
phẳng


ABC
bằng

SCH
.

Theo giả thiết, ta có

0
30
SCH

. Lại có
3
2
a
SH  .
Tam giác
SHC
vuông tại
H
nên
0
3
.cot30
2

a
HC SH  .
Tam giác
ABC
cân tại
C
nên
CH AB

.
Do đó diện tích tam giác
ABC
là
2
1 3
.
2 2
ABC
a
S AB CH  .
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 13/141

Vậy thể tích khối chóp
.
S ABC
là
3

1 3 . 3
.
3 4
ABC
a
V SH S  .
 Ví dụ 10. (ĐH KB 2008)
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
2
a
,
; 3
SA a SB a
 
và mặt phẳng


SAB
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,
AB BC
. Tính

theo
a
thể tích của khối chóp
.
S BMDN
và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng
SM
và
DN
.
Lời giải
* Tính thể tích khối chóp
.
S BMDN
.
Do
2 2 2
SA SB AB
 
nên tam giác
SAB
vuông tại
S
. Kẻ đường cao
SH
của tam giác
SAB
. Khi
đó, ta có
. .

SH AB SA SB

hay
. . 3 3
2 2
SA SB a a a
SH
AB a
   .
Do hai mặt phẳng


SAB
và


ABCD
vuông góc
với nhau và cắt nhau theo giao tuyến
AB
nên


SH ABCD

.
Diện tích đáy
ABCD
là
2

4
ABCD
S a

.
Ta có


BMDN ABCD MAD NCD
S S S S
  



2 2 2 2
4 2
a a a a
   
.
Vậy thể tích khối chóp
.
S BMDN
là
3
2
1 1 3 . 3
. . .2
3 3 2 3
BMDN
a a

V SH S a   .

* Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng
SM
và
DN
.
Gọi
,
P Q
lần lượt là trung điểm của
AD
và
AP
. Khi đó
/ /
MQ DN
nên góc giữa hai đường thẳng
DN
và
SM
bằng góc giữa hai đường thẳng
MQ
và
SM
.
Tam giác
SAB
vuông tại
S

có trung tuyến
SM
nên
1
2
SM AB a
 
.
Ta có
1
2
AQ QP a
  . Tam giác
MAQ
vuông tại
A
nên
2
2 2 2
5
2 2
a a
MQ MA AQ a
 


    





 
.
Do ,
AD AB AD SH
 
nên


AD SAB

hay


QA SAB QA SA
  
.
Tam giác
SAQ
vuông tại
A
nên
2
2 2 2
5
4 2
a a
SQ SA AQ a     .
Tam giác
SMQ

có
SQ MQ

nên nó là tam giác cân tại đỉnh
Q
.
Do vậy

1
5 5
2
cos :
2 2 5
SM
a a
SMQ
MQ
   . Vậy
 
5
cos ,
5
SM DN  .



HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 14/141

Ví dụ 11. (Thi thử ĐH lần 1 năm học 2013 – 2014, THPT Gia Viễn B)
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, tâm
O
;
SAB
là tam giác cân tại
S
.
Mặt bên
SAB
vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng


SBD
tạo với mặt phẳng


ABCD
góc
0
30
.

Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD
theo
a
.
Lời giải

Kẻ ;
SH AB H AB
 
thì
H
là trung điểm của
AB
.
Ta có hai mặt phẳng


SAB
và


ABCD
cắt nhau theo
giao tuyến
AB
và



SAB
vuông góc với


ABCD
,


SH SAB

nên
SH
vuông góc với


ABCD
. Vậy
SH
là đường cao của hình chóp
.
S ABCD
.
Kẻ ;
HK BD K BD
 
.
Ta có





;
SBD ABCD BD HS BD
  
.
Suy ra


BD SHK

. Do đó
BD SK

.
Từ đó góc giữa hai mặt phẳng


SBD
và


ABCD
là góc giữa hai đường thẳng
SK
và
HK
chính
là góc

SKH

(do tam giác
SHK
vuông tại
H
nên

0
90
SKH

). Theo giả thiết ta có

0
30
SKH

.
Do
K
là trung điểm của
OB
nên
1 2
2 4
a
HK AO  .
Tam giác
SHK
vuông tại
H

nên
0
6
.tan30
12
a
SH HK  .
Vậy
3
.
1 6
. .
3 36
S ABCD ABCD
a
V SH S  .
Ví dụ 12. (ĐH KD 2011)
Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
3 , 4
BA a BC a
 
. Mặt phẳng



SBC
vuông góc với mặt phẳng


ABC
. Biết

0
2 3; 30
SB a SBC
 
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABC
và khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng


SAC
theo
a
.
Lời giải

Kẻ ,
SH BC H BC
 
. Lại do





SBC ABC

và




SBC ABC BC
 
nên


SH ABC

.
Tam giác
SHB
vuông tại
H
nên

.sin 3
SH SB SBC a
 
.
Diện tích tam giác

ABC
là
2
1
. 6
2
ABC
S AB BC a
  .
Thể tích khối chóp
.
S ABC
là
3
.
1
. 2 3
3
S ABC ABC
V SH S a  .
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 15/141

Kẻ ,
HD AC D AC
 
. Khi đó do
SH AC


nên


AC SHD

.
Kẻ ,
HK SD K SD
 
thì


HK SAC

. Suy ra




,
d H SAC HK

.
Ta có

.cos 3
HB SB SBC a
 
. Mà

4
BC a

nên
4
BC HC

.
Suy ra








, 4 , 4
d B SAC d H SAC HK
 
.
Ta có
2 2
5
AC BA BC a
  
;
HC BC HB a
  
.

Hai tam giác
CDH
và
CBA
đồng dạng với nhau nên
. 3
5
CH HD CH AB a
HD
CA AB CA
    .
Tam giác
SHD
vuông tại
H
có đường cao
HK
nên
2 2
. 3 7
14
HS HD a
HK
HS HD
 

.
Vậy
 
 

6 7
,
7
a
d B SAC  .

Nhận xét: - Bài toán trên có thể coi đó là hình chóp
.
A SBC
, có đường cao là
AB
(vì


AB SBC

). Diện tích tam giác
SBC
được tính theo công thức

1
. sin
2
SBC
S SB BC SBC
 .
- Việc tính khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng



SAC
trong lời giải trên được tính gián tiếp
thông qua điểm
H
. Chúng ta cũng có thể dựa vào thể tích của khối chóp
.
S ABC
để tính khoảng
cách này. Cụ thể là dựa vào công thức
 
 
.
1
, .
3
S ABC SAC
V d B SAC S
 .
1.4. Hình chóp có các mặt bên, cạnh bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau
 Ví dụ 13. Cho hình chóp
.
A BCD
có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy góc
0
60
. Tam giác
BCD

có

5 , 6 , 7
CD a DB a BC a
  
. Tính thể tích khối chóp
.
A BCD
theo
a
.
Lời giải

Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
A
trên mặt
phẳng


BCD
. Kẻ


,
HM BC M BC
 
;


,

HN CD N CD
 
;


,
HK BD K BD
 

Theo giả thiết ta có ba tam giác vuông ,
AHM AHN
,
AHK
đôi một bằng nhau nên
HM HN HK
 
.
Vậy
H
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
BCD
.
Góc giữa các mặt bên






, ,

ABC ACD ADB
với mặt
đáy


BCD
lần lượt là



; ;
AMH ANH AKH
.
Theo giả thiết ta có



0
60
AMH ANH AKH
  
.
Diện tích tam giác
BCD
là
   
; 9
2
BCD
CB BD CD

S p p BC p CD p BD p a
 
      .
Suy ra
2
1890
BCD
S a

. Mặt khác
1890
9
BCD
BCD
S
a
S pr r
p
    , với
r
là bán kính của
đường tròn nội tiếp tam giác
BCD
.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 16/141

Tam giác

AHM
vuông tại
H
nên ta có
0
5670
.tan 60
9
a
AH HM  , với
HM r

.
Suy ra thể tích của khối chóp
.
A BCD
là
3
.
1 70 3
.
3 9
A BCD BCD
a
V AH S  .
 Ví dụ 14. Cho hình chóp
.
S ABCD
, đáy
ABCD

là hình thang có
AB a

là đáy bé;
3
CD a

;
2
AD a

. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng
5
a
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD

theo
a
.
Lời giải

Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
S

trên mặt phẳng



ABCD
. Nhận thấy các tam
giác vuông , , ,
SHA SHB SHC SHD
đôi một bằng
nhau nên
HA HB HC HD
  
;
H
thuộc mặt
phẳng


ABCD
nên
H
là tâm đường tròn ngoại
tiếp hình thang
ABCD
. Vây
ABCD
phải là
hình thang cân. Diện tích thang
ABCD
là
2
2
ABCD

S a

.
Ta tính được bán kính đường tròn ngoại tiếp
hình thang cân
ABCD
là
10
2
a
R  .
Xét tam giác
SHA
vuông tại
H
nên
2 2
3
10
2
SH SA HA a   .
Vậy thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
3
.
1
. 10
3

S ABCD ABCD
V SH S a  .

Chú ý: Bài toán này ta phải biết được cách xác định đường cao của hình chóp nhờ vào dấu hiệu
hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc hình chóp có cạnh bên cùng tạo với đáy góc như nhau)
thì hình chiếu của đỉnh hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. Vì đáy là hình thang
nên đáy phải là hình thang cân (chỉ có hình thang cân mới có đường tròn ngoại tiếp).
1.5. Một số bài toán về hình chóp khác
Ví dụ 15. (ĐH KD 2010)
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA a

; hình chiếu
vuông góc của đỉnh
S
trên mặt phẳng


ABCD
là điểm
H
thuộc đoạn
AC

,
4
AC
AH  . Gọi
CM

là đường cao của tam giác
SAC
. Chứng minh
M
là trung điểm của
SA
và tính thể tích của khối tứ
diện
SMBC
theo
a
.
Lời giải
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 17/141


Ta có
2 2
2 14
;
4 4

a a
AH SH SA HA   
Mặt khác
3 3 2
4 4
a
HC AC  ;
2 2
2
SC SH HC a
  
.
Suy ra
SC AC

. Vậy tam giác
SAC
cân tại
C
. Suy
ra
M
là trung điểm của
SA
.
Ta có
1
2
SCM SAC
S S

 .
3
. . .
1 1 14
.
2 6 48
S BCM B SCM S ABC ABC
a
V V V S SH   

 Nhận xét: Ta có thể tính thể tích khối chóp
.
S BCM
bằng cách dựa vào tỷ số thể tích. Cụ thể là
dựa vào kết quả
.
. . .
.
1 1 1
. .
2 2 6
S CBM
S CBM S CBA S ABCD
S CBA
V
SC SB SM
V V V
V SC SB SA
     .
 Ví dụ 16. (ĐH KA 2009)

Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
D
; 2 ;
AB AD a CD a
  
, góc
giữa hai mặt phẳng


SBC
và


ABCD
bằng
0
60
. Gọi
I
là trung điểm của cạnh
AD
, biết mặt
phẳng



SBI
và mặt phẳng


SCI
cùng vuông góc với mặt phẳng


ABCD
. Tính thể tích khối chóp
.
S ABCD
.
Lời giải
Vì hai mặt phẳng


SBI
và


SCI
cùng vuông
góc với mặt phẳng


ABCD
nên giao tuyến
SI

của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt
phẳng


ABCD
.
Kẻ


;
IK BC K BC SIK BC
   
.
Tam giác
SIK
vuông tại
I
nên góc

0
90
SKI

.
Góc giữa hai mặt phẳng


SBC
và



ABCD

bằng góc giữa hai đường thẳng
SK
và
IK
và
bằng góc

SKI


Theo giả thiết, ta có

0
60
SKI

.
Ta có
2 2 2
1 1 1
. 3 ; . ; .
2 2 2 2
ABCD IAB ICD
AB CD
S AD a S IA AB a S ID CD a

      .

Do đó
 
2
3
2
IBC ABCD IAB ICD
a
S S S S    .
Ta lại có


2
2 2 2
5 5
CD AD AB CD a CD a
      .
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 18/141

Mà
1
.
2
ICD
S IK CD
 nên
2
3 5

5
ICD
S a
IK
BC
  .
Tam giác
SIK
vuông tại
I
nên

3 15
.tan
5
a
SI SK SIK  .
Vậy thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
3
1 3 15
.
3 5
ABCD
a
V SI S  .
 Ví dụ 17. (ĐH KA 2010)
Cho hình chóp

.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm
của các cạnh
AB
và
AD
,
H
là giao điểm của
CN
và
DM
. Biết
SH
vuông góc với mặt phẳng


ABCD
và
3
SH a


. Tính thể tích khối chóp
.
S CDNM
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
DM
và
SC
theo
a
.
Lời giải
Ta có
2 2 2
1 1
; ;
8 4
ABCD AMN MBC
S a S a S a
   nên
 
2
5
8
CDNM ABCD AMN MBC
a
S S S S    .
Vậy thể tích khối chóp
.
S CDNM
là

3
1 5 . 3
.
3 24
CDNM
a
V SH S  .
ADM DCN

 
nên


ADM DCN

.
Do


0
90
ADM MDC
 
nên


0
90
DCN MDC
 

Suy ra
DM CN

.
Vì


SH ABCD

nên
SH DM

. Do đó


MD SHC

. Kẻ ,
HK SC K SC
 
.
Khi đó
HK
là đoạn vuông góc chung của
DM
và
SC
nên



;
d DM SC HK

.
Tam giác
NDC
vuông tại
D
có đường cao
DH
nên
2
2 5
5
CD a
HC
CN
  .
Tam giác
SHC
vuông tại
H
có đường cao
HK
nên
2 2
. 2 57
19

HS HC a
HK
HS HC
 

.
Vậy
 
2 57
;
19
a
d DM SC  .

Nhận xét:
- Trong trường hợp này khối chóp cần tính thể tích có đường cao nằm bên trong khối và đã được
cho trước. Yêu cầu tính thể tích khối đa diện trong ví dụ này tương đối nhẹ nhàng, chỉ cần biết được
công thức tính thể tích là có thể tính được.
- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
trong không gian (trường hợp chéo
nhau và vuông góc với nhau) ta có thể thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định mặt phẳng


P
chứa đường thẳng và



P
vuông góc với đường thẳng
b
.
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 19/141

Bước 2: Tìm giao điểm
B
của đường thẳng
b
với mặt phẳng


P
. Từ
B
kẻ
BA
vuông góc với
đường thẳng
a
(điểm
A
thuộc đường thẳng
a
). Khi đó

AB
là đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng
a
và
b
. Do đó


;
d a b AB

.
- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
a
và
b
chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau,
chúng ta có thể tiến hành theo các bước sau đây:
Bước 1: Xác định mặt phẳng


P
chứa đường thẳng
a
và song song với đường thẳng
b
.
Đây là một trong hai bước quan trọng nhất của bài toán này. Bài toán về tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau thường được ra theo cách này trong những năm gần đây.

Bước 2: Tìm trên đường thẳng
b
một điểm
M
sao cho dễ dàng xác định và tính được khoảng cách
từ điểm
M
đến mặt phẳng


P
.
Bước 3: Khi đó ta có










; ; ;
d a b d b P d M P
 
.
Ví dụ 18. (Thi thử ĐH lần 2 năm học 2012 – 2013, THPT Gia Viễn B)
Cho hình chóp
.

S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
;
2
AB AD a
 
;
BC a

. Hình chiếu vuông góc của điểm
S
trên mặt phẳng


ABCD
trùng với trung điểm
H
của
cạnh
AB
. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng



SAB
bằng
0
30
. Tính theo
a
thể tích khối
chóp
.
S ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SD
.
Lời giải

Ta có
SH
vuông góc với mặt phẳng


ABCD
.
Từ giả thiết ta có


BC SAB SB BC
  
và

góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng


SAB

bằng góc giữa hai đường thẳng
SC
và
SB
và
bằng góc

BSC
( do tam giác
SBC
vuông tại
B

nên

0
90
BSC

) . Suy ra

0
30

BSC

.
Tam giác
SBC
vuông tại
B
nên

0
cot cot 30 3
SB BC BSC a a
  
.
Tam giác
SHB
vuông tại
H
nên
2 2
2
SH SB HB a
  
.
Diện tích hình thang
ABCD
là
2
3
ABCD

S a

.
Thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
3
.
1
. 2
3
S ABCD ABCD
V SH S a  .
Từ
D
kẻ đường thẳng
d
song song với
AB
, đường thẳng
d
cắt đường thẳng
BC
tại
E
. Khi đó
ABED
là hình chữ nhật và



//
AB SDE
.
Gọi
M
là trung điểm của
DE
thì


;
HM DE DE SHM
 
.
Trong mặt phẳng


SHM
kẻ ;
HK SM K SM
 
thì


HK SDE

.
Suy ra











; ; ;
d AB SD d AB SDE d H SDE HK
  
.
Tam giác
SHM
vuông tại
H
, có đường cao
HK
nên
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 20/141

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3 2 3
3
2 4 4
a

HK
HK HS HM a a a
       .
Vậy
 
2 3
;
3
a
d AB SD  .
Ví dụ 19. (Thi thử ĐH năm học 2012 – 2013, THPT Gia Viễn B)
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của
S
trên
mặt phẳng


ABCD
trùng trọng tâm
G
của tam giác
ABD
. Đường thẳng

SD
tạo với mặt phẳng


ABCD
một góc
0
60
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.
S ABCD
và khoảng cách giữa hai đường
thẳng
AB
và
SC
.
Lời giải

Gọi
O
là tâm của hình vuông và
N
là trung điểm của
AB
. Khi đó
G
là giao điểm của

AC
và
DN
. Tam
giác
SGD
vuông tại
G
nên góc
SDG
nhọn. Do
SG

vuông góc với


ABCD
nên góc giữa đường thẳng
SD

và mặt phẳng


ABCD
bằng góc giữa hai đường thẳng
SD
và
DG
và bằng góc



0
60
SDG SDG
 
.
Tam giác
NAD
vuông tại
A
nên
5
2
a
DN  .
Do đó
5
3
a
GD  và

15
tan
3
a
SG GD SDG  .
Diện tích hình vuông
ABCD
là
2

ABCD
S a

. Vậy thể tích khối chóp
.
S ABCD
là
3
1 15
.
3 9
ABCD
a
V SG S  .
Ta có
//
CD AB
nên


//
AB SCD
.
Ta có
   
 
 
 
 
 

3 3
; ; ; ;
2 2
AC GC d AB SC d AB SCD d A SCD d G SCD
     .
Từ
G
kẻ đường thẳng song song với
AD
, cắt
CD
tại
M
thì


CD SGM

. Suy ra




SCD SGM

. Hai mặt phẳng


SCD
và



SGM
cắt nhau theo giao tuyến
SM
.
Từ
G
kẻ ;
GH SM H SM
 
thì


GH SCD

. Do đó




;
d G SCD GH

.
Ta có
2
3
a
GM  và tam giác

SGM
vuông tại
G
, có đường cao
GH
nên
2 2
. 6 285
19
SGGM a
GH
SG GM
 

.
Vậy
 
9 285
;
19
a
d AB SC  .



HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 21/141

2. Các ví dụ về hình lăng trụ
2.1. Hình lăng trụ đứng
 Ví dụ 20. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
, biết
; 3
AB a AC a
 
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
BC
, góc tạo bởi đường thẳng
'
A M
và mặt
phẳng


ABC
bằng

. Tính thể tích khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C

theo
a
và

.
Lời giải
Tam giác
'
A AM
vuông tại
A
nên

'
A MA
là góc
nhọn.
AM
là hình chiếu vuông góc của
'
A M
trên mặt
phẳng


ABC
nên góc giữa đường thẳng
'
A M
với

mặt phẳng


ABC
bằng góc giữa hai đường thẳng
'
A M
và
AM
và bằng góc

'
A MA
.
Suy ra

'
A MA


.
Diện tích tam giác
ABC
là
2
1 . 3
.
2 2
ABC
a

S AB AC  .

Tam giác
ABC
vuông tại
A
nên ta có
2 2
2
BC AB AC a
  
. Suy ra
1
2
AM BC a
 
.
Tam giác
'
A AM
vuông tại
A
nên

' .tan ' tan
AA AM A MA a

 
.
Vậy thể tích khối lăng trụ

. ' ' '
ABC A B C
là
3
. 3 tan
'.
2
ABC
a
V AA S

  .
 Ví dụ 21. Cho hình lăng trụ đều
. ' ' '
ABC A B C
. Mặt phẳng


'
A BC
tạo với mặt phẳng


ABC

một góc
0
30
và tam giác
'

A BC
có diện tích bằng
2
8
a
. Tính thể tích khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C

theo
a
.
Lời giải
Kẻ đường cao
AM
của tam giác
ABC
. Khi đó
M
là trung điểm của
BC
.
Suy ra


'
BC A AM

. Tam giác
'

A AM
vuông
tại
A
nên

'
A MA
là góc nhọn.
Góc giữa hai mặt phẳng


'
A BC
và


ABC
bằng
góc giữa hai đường thẳng
'
A M
và
AM
và bằng
góc

'
A MA
. Theo giả thiết, ta có


0
' 30
A MA

.
Tam giác
ABC
là hình chiếu vuông góc của tam
giác
'
A BC
trên mặt phẳng


ABC
.
Suy ra

2 0 2
'
.cos ' 8 .cos30 4 . 3
ABC A BC
S S A MA a a
  
.


HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 22/141

Mặt khác ta lại có
2
1 3
.
2 4
ABC
S AM BC BC
  nên
3
4 2 3
2
BC
BC a AM a
    .
Tam giác
'
A AM
vuông tại
A
nên

0
2 3
' tan ' 2 tan 30
3
a
AA AM A MA a   .

Vậy thể tích khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
là
2 3
2 3
' . .4 . 3 8
3
ABC
a
V A A S a a
  
Ví dụ 22. Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
;
AC a


và

0
60
ACB

. Góc giữa hai mặt phẳng



'
A BC
và


ABC
bằng
0
60
. Tính theo
a
thể tích khối
lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
'
AC
và
'
B C
.
Lời giải

Kẻ đường cao
AH
của tam giác
ABC

. Khi đó do


'
AA ABC

nên


'
BC A AH

. Suy ra
'
A H BC


và tam giác
'
A AH
vuông tại
H
nên

0
' 90
A HA

.
Hai mặt phẳng



'
A BC
và


ABC
cắt nhau theo giao
tuyến
BC
. Góc giữa hai mặt phẳng


'
A BC
và


ABC
bằng góc giữa 2 đường thẳng
'
A H
và
AH
và
bằng góc

' .
A HA

Vậy

0
' 60
A HA

.
Tam giác
AHC
vuông tại
H
nên

3
sin
2
a
AH AC ACB  .
Tam giác
'
A AH
vuông tại
A
nên

3
' tan '
2
a
A A AH A HA  .

Tam giác
ABC
vuông tại
A
nên

tan 3
AB AC ACB a
 
.
Diện tích tam giác
ABC
là
2
3
2
ABC
a
S  .
Suy ra thể tích khối lăng trụ đã cho là
3
3
' .
4
ABC
a
V A A S  .
Dựng hình hộp
. ' ' ' '
ACDB A C D B

. Khi đó
' '
AC B D
là hình bình hành nên
'// '
AC B D
.
Suy ra


'// '
AC B CD
và










'; ' '; ' ; '
d AC B C d AC B CD d A B CD
 
.
Kẻ đường cao
BK
của tam giác

BCD
và đường cao
BI
của tam giác
'
B BK
.
Do ; '
BK CD BB CD
 
nên


'
CD B BK CD BI
  
. Mà
'
BI B K

nên


'
BI CDB

.
Suy ra











; ' ; ' '; '
d A CDB d B CDB BI d AC B C BI
   
.
Gọi
O
là trung điẻm của
AB
. Tam giác
OBD
vuông tại
B
có đường cao
BK
nên
2 2 2 2
1 1 1 7
3
BK BO BD a
   .
HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 23/141

Tam giác
'
B BK
vuông tại
B
có đường cao
BI
nên
2 2 2 2
1 1 1 25
' 9
BI B B BK a
   .
 
3 3
'; '
5 5
a a
BI d AC B C    .
2.2. Hình lăng trụ xiên
 Ví dụ 23. Cho hình lăng trụ tam giác
. ' ' '
ABC A B C
có
'
BB a


, góc giữa đường thẳng
'
BB
và
mặt phẳng


ABC
bằng
0
60
, tam giác
ABC
vuông tại
C
và

0
60
BAC

. Hình chiếu vuông góc
của điểm
'
B
lên mặt phẳng


ABC
trùng với trọng tâm của tam giác

ABC
. Tính thể tích khối lăng
trụ
. ' ' '
ABC A B C
theo
a
.
Lời giải
Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
ABC
. Khi đó theo
giả thiết thì


'
B G ABC

. Tam giác
'
B BG
vuông tại
G
nên

'
B BG
là góc nhọn.

BG
là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
'
BB

trên mặt phẳng


ABC
nên góc giữa đường thẳng
'
BB

và mặt phẳng


ABC
bằng góc giữa hai đường thẳng
BG
và
'
BB
và bằng góc

'
B BG
.
Suy ra

0

' 60
B BG

.

Tam giác
'
B BG
vuông tại
G
nên

0
3
' 'sin ' sin 60
2
a
B G BB B BG a   .

0
'cos ' cos 60
2
a
BG BB B BG a
  
. Gọi
M
là trung điểm của
AC
thì

3 3
2 4
a
BM BG  .
Đặt
2
AB x

thì

0
sin 2 sin 60 3
BC AB BAC x x
  
và
2
x
AC x CM
  
.
Tam giác
BCM
vuông tại
C
nên
 
2
2 2
2
2 2 2

9 13
3
16 2 4
a x x
BM CB CM x
 


     




 

Suy ra
3 13
26
a
x  . Diện tích tam giác
ABC
là
2
1 9 . 3
.
2 104
ABC
a
S CACB  .
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là

3
27
' .
208
ABC
a
V B G S  .
Ví dụ 24. Cho hình lăng trụ tam giác
. ' ' '
ABC A B C
đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
;
AB a

;
3
AC a

và
' ' '
A A A B A C
 
, mặt phẳng


'
A AB

tạo với mặt phẳng


ABC
góc
0
30
. Tính thể
tích khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
theo
a
.




HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 24/141

Lời giải

Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
'
A

trên mặt
phẳng


ABC
. Vì
' ' '
A A A B A C
 
nên các
tam giác
' , ' , '
A HA A HB A HC
bằng nhau. Suy ra
HA HB HC
 
.
Vậy
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
. Tam giác
ABC
vuông tại
A
nên
H
là
trung điểm của
BC

.
Gọi
M
là trung điểm của
AB
nên
HM
vuông
góc với
AB
. Suy ra
AB
vuông góc với
'
A M
.
Mặt phẳng


'
A AB
cắt mặt phẳng


ABC
theo
giao tuyến
AB
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng



'
A AB
và


ABC
chính là góc
'
A MH
nên

0
' 30
A MH

.
Ta có
1 3
2 2
a
MH AC  .
Trong tam giác vuông
'
A MH
vuông tại
H
, ta có
0

3
' .tan 30
3
a
HA HM  .
Vậy
3
. ' ' '
1 3
. ' . . '
2 2
ABC A B C ABC
a
V S HA AB AC HA   .

Nhận xét: Bài này điều quan trọng nhất là ta phải xác định được độ dài đường cao của hình lăng
trụ. Dựa vào giả thiết ta thấy hình chóp
'.
A ABC
có các cạnh bên bằng nhau nên hình chiếu vuông
góc của
'
A
trên mặt phẳng


ABC
trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
. Từ đó bài

toán trở nên đơn giản hơn.
Ví dụ 25. (ĐH KB 2011)
Cho lăng trụ
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
, 3
AB a AD a
 
, hình chiếu
vuông góc của điểm
1
A
trên mặt phẳng


ABCD
trùng với giao điểm của
AC
và
BD
. Góc giữa hai
mặt phẳng


1 1
ADD A

và


ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ
điểm
1
B
đến mặt phẳng


1
A BD
theo
a
.
Lời giải
Gọi
O
là giao điểm của hai đường chéo
AC
và
BD
. Suy ra


1

A O ABCD

.
Ta có


1 1
A ADD
cắt mặt phẳng


ABCD
theo giao tuyến
AD
. Gọi
E
là trung điểm của
AD
.
Ta có

1 1
;
OE AD A E AD A EO
   là góc giữa hai mặt phẳng


1 1
A ADD
và



ABCD
. Theo giả
thiết ta có

0
1
60
A EO

.

HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014


Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 25/141


Suy ra
 
1 1 1
3
.tan .tan
2 2
AB a
AO OE AEO AEO   .
Diện tích tứ giác
ABCD
là

2
. 3
ABCD
S AB AD a
 
.
Thể tích khối lăng trụ
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
là
1 1 1 1
3
. 1
3
.
2
ABCD A B C D ABCD
V OA S a
  .
Ta có
1 1
//
B C A D
nên


1 1
//
B C A BD

.
Suy ra








1 1 1
; ;
d B A BD d C A BD

.
Kẻ








1 1
; ;
CH BD H BD CH A BD d C A BD CH
     
.
Do đó

 
 
1 1
2 2
. 3
;
2
CD CB a
d B A BD CH
CD CB
  

.

Nhận xét: Tính khoảng cách từ điểm
1
B
đến mặt phẳng


1
A BD
ta cũng có thể tính bằng cách
xác định hình chiếu vuông góc của
1
B
trên mặt phẳng


1

A BD
rồi tính độ dài đoạn vuông góc đó.
Tuy nhiên, cách làm đó khá dài. Bạn đọc có thể kiểm chứng điều này. Do vậy khi tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần linh hoạt lựa chọn cách tính (tính trực tiếp dựa vào cách xác
định hình chiếu vuông góc hoặc tính gián tiếp dựa vào một điểm khác hoặc dựa vào công thức tính
thể tích khối chóp).
C. Bài tập đề nghị.
Bài tập về hình chóp
1. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt phẳng


SAB
vuông góc với mặt
phẳng đáy và
SA SB

. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng đáy bằng
0
45
. Tính theo
a
thể
tích khối chóp

.
S ABCD
và xác định tâm mặt cầu và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
2. (ĐH KA 2007)
Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt bên
SAD
là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
, ,
M N P
lần lượt là trung điểm của các cạnh
, ,
SB BC CD
.
Chứng minh rằng
AM
vuông góc với
BP
và tính thể tích của khối tứ diện
CMNP
.
3. Cho hình chóp

.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA a

, hình chiếu vuông góc
của đỉnh
S
trên mặt phẳng


ABCD
là điểm
H
thuộc đoạn
AC
và
1
4
AH AC
 . Gọi
CM
là
đường cao của tam giác
SAC
. Chứng minh
M
là trung điểm của

SA
và tính thể tích của khối tứ
diện
SMBC
theo
a
.
4. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy.
Góc giữa mặt phẳng


SBC
và mặt phẳng


SCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.

S ABCD
theo
a
.