Phân loại đại số siêu ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HẠNH

PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ SIÊU MA TRẬN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HẠNH

PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ SIÊU MA TRẬN

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN GIANG NAM

HÀ NỘI – 2017

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

3

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1

Một vài khái niệm về vành . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Môđun xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ SIÊU MA TRẬN

20

2.1

Nhóm Grothendieck của một vành . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Phân loại đại số siêu ma trận . . . . . . . . . . . . . .

30

KẾT LUẬN

40

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc cùng với sự
giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đến nay

khóa luận của em đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến các thầy cô trong tổ Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm
khóa luận.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS.
Trần Giang Nam đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để
em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong
khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 27 tháng 04 năm 2017
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Hạnh

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập
và nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của
các thầy cô giáo trong Khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình
của TS. Trần Giang Nam
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo

một số tài liệu đã ghi trong phần Tài liệu tham khảo. Vì vậy em xin
khẳng định đề tài "Phân loại đại số siêu ma trận" không có sự
trùng lặp với đề tài của các tác giả khác.

Hà Nội, ngày 27 tháng 04 năm 2017
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Hạnh

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

LỜI MỞ ĐẦU
Vào năm 1976 George Elliott đã phân loại được các đại số siêu ma
trận (nghĩa là hợp đếm được của những đại số ma trận) trên trường
số phức thông qua các nhóm Grothendieck của chúng. Từ đó Elliott
lập ra một chương trình (bây giờ được gọi là Chương trình Elliott)
phân loại các đại số toán tử theo các bất biến có được bởi K-lý thuyết.
Chương trình này hiện tại vẫn được nghiên cứu sôi nổi bởi nhiều nhà
C*-đại số và nhà đại số. Trong [3, Chapter 15] Goodearl đưa ra một
cách chứng minh kết quả nói trên của Elliott cho các đại số siêu ma
trận trên một trường tùy ý. Với mục đích tìm hiểu phép chứng minh
này, cùng với lòng yêu thích môn Đại số và được sự hướng dẫn của TS.
Trần Giang Nam nên tôi chọn "Phân loại đại số siêu ma trận" làm
khóa luận tốt nghiệp cho mình. Khóa luận được chia làm 02 chương:
Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị"

Chương 2: "Phân loại đại số siêu ma trận"
Trong Chương 1, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ sở về
vành, môđun tự do và môđun xạ ảnh.
Trong Chương 2, chúng tôi trình bày khái niệm nhóm Grothendieck
của một vành, tính toán một số ví dụ về nhóm này và chứng minh
định lý phân loại của Elliott cho các đại số siêu ma trận trên một
trường tùy ý.
Tác giả khóa luận
Nguyễn Thị Hạnh
3


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về
vành, môđun tự do và môđun xạ ảnh. Chương này được trình bày dựa
trên các tài liệu [1], [2], [3] và [5].

1.1

Một vài khái niệm về vành

Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một tập hợp khác rỗng. R được gọi là
một vành nếu trên R trang bị hai phép toán hai ngôi, gọi là phép cộng
"+" và phép nhân ".", thỏa mãn các điều kiện sau:
i) R cùng với phép cộng là một nhóm Abel;
ii) R cùng với phép nhân là một vị nhóm;
iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng.

Nhận xét 1.1.2. (1) Phần tử đơn vị của phép cộng thường kí hiệu là

0 và gọi là phần tử trung lập. Phần tử đơn vị của phép nhân thường
kí hiệu là 1.
(2) Một vành R được gọi là giao hoán nếu R cùng với phép nhân có

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

tính chất giao hoán.

Định nghĩa 1.1.3. Cho A là một tập con khác rỗng của vành R. Khi
đó, A được gọi là vành con của R nếu các điều kiện sau được thỏa
mãn:
(i) A chứa phần tử đơn vị của R;
(ii) Với mọi x, y ∈ A, ta có x - y ∈ A và xy ∈ A.

Định nghĩa 1.1.4. Phần tử e của một vành R được gọi là lũy đẳng
nếu e2 = e.

Định nghĩa 1.1.5. (1) Miền nguyên là một vành giao hoán có đơn
vị 1 khác 0 và không có ước của 0.
(2) Trường là một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác 0 đều
khả nghịch.

Ví dụ 1.1.6. (1) Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép cộng và
phép nhân thông thường là một vành giao hoán. Tập các số hữu tỉ Q,
tập các số thực R và tập các số phức C cùng với phép toán cộng và

phép toán nhân các số thông thường là những trường.
(2) Cho K là một trường và n là một số nguyên dương. Kí hiệu
Mn (K) là tập các ma trận vuông cấp n trên K. Khi đó Mn (K) cùng
với phép cộng và phép nhân ma trận thông thường là một vành. Vành
này là giao hoán khi và chỉ khi n = 1.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

Định nghĩa 1.1.7. Cho A là một tập con khác rỗng của vành R. Khi
đó, A được gọi là một iđêan phải của R nếu và chỉ nếu các điều kiện
sau được thỏa mãn:
(i) Với mọi a, b ∈ A, ta có a - b ∈ A;
(ii) Với mọi x ∈ R và với mọi a ∈ A, ta có ax ∈ A.
Tương tự, ta cũng có khái niệm iđêan trái của R. Nếu A vừa là
iđêan trái vừa là iđêan phải của R thì A được gọi là iđêan của R. Nếu
R là vành giao hoán thì các khái niệm iđêan trái và iđêan phải là trùng
nhau.

Định nghĩa 1.1.8. (1) Cho R là vành giao hoán. Iđêan sinh bởi n
phần tử a1 , ..., an ∈ R là iđêan dưới đây:
n

(a1 , ..., an ) = {

ai xi | xi ∈ R, i = 1, ..., n}.

i=1

Trong trường hợp này {a1 , ..., an } được gọi là hệ sinh của iđêan (a1 , ..., an ).
(2) Iđêan chính là iđêan được sinh bởi một phần tử.

Định nghĩa 1.1.9. Vành chính là một miền nguyên trong đó mọi
iđêan đều là iđêan chính.

Ví dụ 1.1.10. (1) Vành các số nguyên Z là vành chính.
(2) Vành các đa thức một ẩn trên một trường là vành chính.

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

nguyễn thị hạnh

Môđun tự do

Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một vành. M được gọi là một môđun
phải trên R hay R-môđun phải nếu M là một nhóm Abel viết theo lối
cộng cùng với một ánh xạ
ϕ : M × R −→ M ,
(x, a) −→ xa
thường được gọi là phép nhân với vô hướng, thỏa mãn các điều kiện
sau:
i) (x + y)a = xa + ya;

ii) x(a + b) = xa + xb;
iii) x(ab) = (xa)b;
iv) x1 = x,
với mọi a, b ∈ R và với mọi x, y ∈ M .
Môt cách tương tự, ta có thể định nghĩa R-môđun trái. Nếu R là
vành giao hoán thì các khái niệm môđun phải và môđun trái là trùng
nhau.

Ví dụ 1.2.2. (1) Mỗi nhóm Abel M là một Z-môđun với phép nhân
với vô hướng được xác định như sau: Với mỗi x ∈ M và với mỗi n ∈ Z,

n−lần




x + x + ··· + x
nếu n > 0,



(−n)−lần
xn =


(−x) + (−x) + · · · + (−x) nếu n < 0,





0
nếu n = 0.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

(2) Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một môđun trên K
và ngược lại.
(3) Mỗi vành R là một môđun trên chính nó và mỗi iđêan phải của
R cũng là một R-môđun phải.
(4) Cho R là vành và Rn = {(a1 , ..., an ) | ai ∈ R, i = 1, ..., n}. Trên
Rn xác định hai phép toán cộng và nhân với vô hướng như sau:
(a1 , ..., an ) + (b1 , ..., bn ) = (a1 + b1 , ..., an + bn );
(a1 , ..., an ) α = (a1 α, ..., an α),
với mọi (a1 , ...an ), (b1 , ...bn ) ∈ Rn và với mọi α ∈ R. Khi đó Rn là một
R-môđun phải.

Định nghĩa 1.2.3. Cho M là một R-môđun phải và S là một tập con
của M.
(1) S được gọi là hệ sinh của M nếu với mỗi x ∈ M , tồn tại
n

x1 , x2 ..., xn ∈ S và tồn tại a1 , a2 , ..., an ∈ R sao cho x =

xi ai .
i=1

(2) S được gọi là độc lập tuyến tính nếu 0M ∈
/ S và với bất kỳ
n

x1 , ..., xn ∈ S và bất kỳ a1 , ..., an ∈ R sao cho

xi ai = 0 thì
i=1

a1 = ... = an = 0.

(3) S được gọi là cơ sở của môđun M nếu S là hệ sinh độc lập tuyến
tính của M.

Định nghĩa 1.2.4. Một R-môđun phải M được gọi là tự do nếu nó
có một cơ sở.

Ví dụ 1.2.5. (1) Cho R là một vành và n là một số nguyên dương.
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

Khi đó Rn là R-môđun phải tự do với cơ sở
{e1 = (1, 0, ..., 0); e2 = (0, 1, 0, ..., 0); ...; en = (0, ..., 0, 1)}.
Cơ sở {ei | i = 1, ..., n} được gọi là cơ sở chính tắc của Rn .
(2) Cho R là một vành và R[x] là vành đa thức một biến x. Khi đó

R[x] là một R-môđun phải tự do với cơ sở {1, x, ..., xn , ...}.
(3) Cho n là một số nguyên dương. Khi đó Zn không là Z-môđun
tự do (vì xn = 0 với mọi x ∈ Zn ).

Bổ đề 1.2.6. Cho R là một vành và M là một R-môđun phải. Khi đó,
M là R-môđun phải tự do với cơ sở hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại số
tự nhiên n sao cho M ∼
= Rn .
Chứng minh. (⇒) Giả sử M là R-môđun phải tự do với cơ sở hữu hạn
{ε1 , ..., εn }. Khi đó, với mọi x ∈ M , x được biểu diễn duy nhất dưới
n

εi .ri với ri ∈ R, i = 1, ..., n. Xét đồng cấu

dạng x =
i=1

ϕ : M −→ Rn
εi −→ ei
trong đó {ei }ni=1 là cơ sở chính tắc của Rn . Ta chứng minh ϕ là đẳng
cấu.
Kiểm tra tính đơn cấu: Giả sử x ∈ M sao cho ϕ(x) = 0. Ta chứng
minh x = 0. Thật vậy, ta có
n

ϕ(x) = ϕ(

n

εi ri ) =

i=1

n

ϕ(εi )ri =
i=1

9

ei ri = 0,
i=1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

suy ra ri = 0 với mọi i = 1,..., n (vì {ei }ni=1 là cơ sở chính tắc của Rn ).
n

Do đó x =

εi ri = 0, hay Kerϕ = 0. Vậy ϕ là đơn cấu.
i=1

Kiểm tra tính toàn cấu: Ta có
n

Imϕ = {ϕ(x) | x ∈ M } = {ϕ(

εi ri ) | ri ∈ R, i = 1, ..., n}
i=1

n

ei ri | ri ∈ R, i = 1, ..., n} = Rn .

= {
i=1

Suy ra ϕ là toàn cấu. Vậy ϕ là đẳng cấu.
(⇐) Khẳng định là hiển nhiên.

Mệnh đề 1.2.7. Cho R là một vành và S là một tập hợp khác rỗng.
Khi đó, tồn tại một R-môđun phải tự do với cơ sở S.
Chứng minh. Xét tập hợp
F = {φ : S −→ R | φ là ánh xạ có giá hữu hạn}.
Trên F ta định nghĩa phép toán cộng và nhân với vô hướng như sau:
(ϕ + ψ)(s) = ϕ(s) + ψ(s);
(ϕα)(s) = ϕ(s)α,
với mọi s ∈ S và với mọi α ∈ R. Khi đó, vì ϕ + ψ và ϕα có giá hữu
hạn nên hai phép toán trên được định nghĩa. Dễ dàng kiểm tra được
F là một R-môđun phải.
Với mọi s ∈ S, xét ánh xạ
fs : S −→ R,
t −→ fs (t)
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

trong đó

 1 nếu t = s,
fs (t) =
(∗)
 0 nếu t = s.
Khi đó fs ∈ F . Ta chứng minh (fs )s∈S là cơ sở của F. Thật vậy, với
mỗi φ ∈ F , ta có φ =

fs φ(s). Do đó (fs )s∈S là hệ sinh của F.
s∈S

fs .rs = 0 với rs ∈ R.

Kiểm tra tính độc lập tuyến tính: Giả sử
s∈S

Khi đó, ta có
fs .rs )(s) = 0(s) ⇔ (fs rs )(s) + (

(
s∈S

ft rt )(s) = 0
t∈S,t=s

⇔ fs (s)rs +

(ft (s))rt = 0.
t∈S,t=s

Theo (*), ta thu được rs = 0 với mọi s ∈ S. Vậy {fs }s∈S là độc lập
tuyến tính. Do đó, (fs )s∈S là một cơ sở của F.
Xét ánh xạ
f : S −→ F.
s −→ fs
Ta chứng minh f là đơn ánh. Thật vậy, giả sử f(s) = f(s’). Khi đó,
fs = fs ⇔ s = s .
Từ đó, ta đồng nhất S với Imf = {fs | s ∈ S}. Vậy S là cơ sở của
F.

Bổ đề 1.2.8. Mọi R-môđun phải (hữu hạn sinh) M đều là ảnh đồng
cấu của một R-môđun phải tự do F (tương ứng hữu hạn sinh) nào đó.
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

Chứng minh. Cho S là hệ sinh của M. Gọi F(S) là R-môđun phải tự do
với cơ sở S. Khi đó, phép nhúng chính tắc ϕ : S −→ M có thể mở rộng
thành một R-đồng cấu ψ : F (S) −→ M . Vì S là hệ sinh của M nên
Imψ = ψ(F (S)) = M.

Bổ đề 1.2.9. Mọi tập hợp A đều có thể trang bị một thứ tự tốt, tức
là A có một thứ tự toàn phần mà mọi tập con khác rỗng của A đều có

phần tử tối thiểu đối với thứ tự này.

Bổ đề 1.2.10.(Nguyên lí quy nạp siêu hạn) Giả sử A là tập hợp
sắp thứ tự tốt và T là một tính chất đối với các phần tử của A sao
cho: "∀ x < y, x có tính chất T suy ra y có tính chất T". Khi đó mọi
phần tử của A đều có tính chất T.

Mệnh đề 1.2.11. Cho R là vành chính và M là một R-môđun phải
tự do. Khi đó mọi R-môđun phải con N của M đều là R-môđun phải
tự do.
Chứng minh. Giả sử M là R-môđun phải tự do và (ei )i∈I là một cơ sở
của nó. Giả sử N là một môđun con của M. Xét các phép chiếu
pi : M −→ R
ei αi −→ αi .
i∈I

Theo Bổ đề 1.2.9, ta sắp I thành tập sắp thứ tự tốt và gọi Mi là
môđun con sinh bởi tập {ej | j

i}. Gọi Ni = N ∩ Mi . Khi đó, với

mỗi n = 1, 2,..., n, vì pi (Ni ) là iđêan của R nên ta có pi (Ni ) = µi R.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

Khi đó tồn tại ai ∈ Ni sao cho pi (ai ) = µi . Nếu µi = 0 ta chọn ai = 0

và được một họ phần tử của N là (ai )i∈I . Bây giờ ta sẽ chứng minh họ
các phần tử ai = 0 tạo thành một cơ sở của N.

Bước 1: Chứng minh họ (ai )i∈I là hệ sinh của N. Để chứng minh
điều này, ta cần chứng tỏ rằng với mọi i họ (aj )j

i

là hệ sinh của

Ni . Thật vậy, giả sử 1 là phần tử bé nhất của I. Khi đó, với mọi
x ∈ N1 , ta có p1 (x) ∈ p1 (N1 ) = µ1 R. Do đó p1 (x) = µ1 β với β ∈ R.
Vì µ1 = p1 (a1 ) nên ta được
p1 (x) = µ1 β = p1 (a1 )β.
Suy ra p1 (x − a1 β) = 0. Mặt khác, vì x, a1 ∈ N1 = N ∩ M1 nên
x, a1 ∈ M1 = (e1 ). Do đó, ta có x − a1 β = e1 γ với γ ∈ R. Khi đó,
0 = p1 (x − a1 β) = p1 (e1 γ) = γ. Ta suy ra x − a1 β = 0 hay x = a1 β.
Vậy N1 được sinh bởi a1 .
Giả sử với mọi k
(aj )j

i

i, (aj )j

k

là hệ sinh của Nk . Ta chứng minh

là hệ sinh của Ni . Thật vậy, với mọi x ∈ Ni , ta có

pi (x) ∈ pi (Ni ) = µi R.

Suy ra pi (x) = µi δ với δ ∈ R. Vì
pi (x − ai δ) = pi (x) − pi (ai )δ = µi δ − µi δ = 0,
nên x − ai δ ∈ Nk với k

i. Theo giả thiết quy nạp, x − ai δ là một

tổ hợp tuyến tính của các (aj )j k . Do đó, x là một tổ hợp tuyến

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

tính của các (aj )j i . Theo nguyên lí quy nạp siêu hạn, (aj )j

i

là hệ

sinh của Ni , với mọi i ∈ I. Từ đó, ta suy ra họ (ai )i∈I là hệ sinh của N.

Bước 2: Ta sẽ chứng minh họ (ai )i∈I , ai = 0 độc lập tuyến tính. Giả
sử ngược lại, hệ phụ thuộc tuyến tính, tức tồn tại hệ thức
aj1 α1 + aj2 α2 + ... + ajm αm = 0,

αm = 0

với j1 < j2 < ... < jm . Xét các phép chiếu pjm , ta có
m

pj m (

aji αi ) = µjm αm = 0,

µjm ∈ R.

i=1

Do R là miền nguyên nên nó không có ước của 0, từ đó suy ra αm = 0
hoặc µjm = 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết αm = 0 và ajm = 0 .
Do đó họ (ai )i∈I , ai = 0 là độc lập tuyến tính.
Vậy họ các phần tử ai = 0 tạo thành một cơ sở của N.

Hệ quả 1.2.12. Mọi nhóm con của nhóm Abel tự do là nhóm Abel tự
do.
Chứng minh. Vì mỗi nhóm Abel tự do là các Z-môđun tự do và Z là
vành chính nên áp dụng Mệnh đề 1.2.11 ta có ngay khẳng định.

1.3

Môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1.3.1. Một R-môđun phải M được gọi là xạ ảnh nếu với
mọi đồng cấu f : P −→ B và mọi toàn cấu g : A −→ B tồn tại một
đồng cấu h : P −→ A sao cho gh = f, tức biểu đồ sau giao hoán
14

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

Khi đó h được gọi là một nâng của f theo toàn cấu g.

Bổ đề 1.3.2. Mọi R-môđun phải tự do đều là xạ ảnh.
Chứng minh. Giả sử F là R-môđun phải tự do với U = {ui | i ∈ I}
là cơ sở của F. Cho đồng cấu f : F −→ B và toàn cấu g : A −→ B.
Ta chứng minh tồn tại một R-đồng cấu h : F −→ A sao cho gh = f.
Thật vậy, vì g là toàn cấu nên g(A) = B. Do đó, với mỗi ui ∈ U , tồn
tại ai ∈ A sao cho f (ui ) = g(ai ). Khi đó, tồn tại đồng cấu
h : F −→ A.
ui −→ h(ui ) = ai
Ta chứng minh gh = f. Thật vậy, với mọi x ∈ F , ta có x =

ui xi
i∈I

với xi ∈ R và
(gh)(x) = (gh)(

ui xi ) = g(h(
i∈I

= g(

i∈I

ai xi ) =
i∈I

= f(

ui xi )) = g(
i∈I

g(ai )xi =
i∈I

f (ui )xi
i∈I

ui xi ) = f (x).
i∈I

Vậy F là môđun xạ ảnh.
15

h(ui )xi )


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

Bổ đề 1.3.3. Giả sử môđun phải P là tổng trực tiếp của họ các môđun
phải {Pi | i ∈ I}. Khi đó P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu mỗi Pi là xạ ảnh.

Chứng minh. (⇒) Giả sử môđun phải P là xạ ảnh, fi : Pi −→ C là
một đồng cấu và g : B −→ C là một toàn cấu. Gọi πi : P −→ Pi là
phép chiếu chính tắc.

Vì P là xạ ảnh, nên đồng cấu fi πi : P −→ C có thể nâng theo g
thành một đồng cấu h : P −→ B, nghĩa là fi πi = gh. Gọi ji : Pi −→ P
là phép nhúng chính tắc. Ta có ghji = fi πi ji = fi . Vậy hji là một nâng
của fi theo g. Do đó, Pi là xạ ảnh với mỗi i ∈ I.
(⇐) Giả sử mỗi Pi đều là xạ ảnh. Giả sử thêm f : P −→ C là một
đồng cấu và g : B −→ C là một toàn cấu.

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

Khi đó, mỗi đồng cấu f ji : Pi −→ C đều có thể nâng theo g thành
một đồng cấu hi : Pi −→ B, tức là f ji = ghi . Gọi h : P −→ B là tổng
trực tiếp của các đồng cấu hi (i ∈ I), tức là đồng cấu duy nhất sao
cho hji = hi với mọi i ∈ I. Ta có ghji = ghi = f ji với mọi i ∈ I. Từ đó,
gh = f. Vậy P là môđun xạ ảnh.

Mệnh đề 1.3.4. R-môđun phải P là xạ ảnh hữu hạn sinh khi và chỉ
khi tồn tại số tự nhiên n và tồn tại môđun phải Q sao cho Rn ∼
= P ⊕Q.
Chứng minh. (⇐) Giả sử Rn ∼
= P ⊕ Q và f : P −→ C là một đồng cấu,
g : B −→ C là một toàn cấu môđun. Kí hiệu π : Rn −→ P là phép

chiếu chính tắc. Vì Rn là R-môđun phải tự do nên theo Bổ đề 1.3.2
ta được Rn là xạ ảnh. Do đó, với đồng cấu fπ : Rn −→ C và toàn cấu
g : B −→ C, tồn tại một đồng cấu k : Rn −→ B sao cho gk = fπ.

Xét phép nhúng chính tắc j : P −→ Rn . Khi đó, với mọi x ∈ P
ta có
g(kj)(x) = (f πj)(x) = f ((πj)(x)) = f (x)
hay gkj = f. Do đó, P là xạ ảnh. Mặt khác, Rn là hữu hạn sinh và P
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

là một hạng tử trực tiếp của Rn . Ta suy ra P là xạ ảnh hữu hạn sinh.
(⇒) Giả sử P là R-môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh. Theo Bổ
đề 1.2.8, tồn tại một môđun tự do (hữu hạn sinh) F và toàn cấu
ϕ : F −→ P . Do P là xạ ảnh nên với đồng cấu idP : P −→ P và toàn
cấu ϕ : F −→ P , tồn tại một đồng cấu h : P −→ F sao cho ϕh = idP .

Vì ϕh = idP nên F = Kerϕ ⊕ Imh. Mặt khác, vì ϕh = idP nên h
là đơn cấu. Do đó, P ∼
= Imh. Vì thế F ∼
= Kerϕ ⊕ P. Vì F là R-môđun
tự do với cơ sở hữu hạn, nên theo Bổ đề 1.2.6, tồn tại số tự nhiên n
sao cho F ∼
= Rn . Vì thế Rn ∼
= P ⊕ Q, với Q = Kerϕ.

Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một ví dụ để chứng tỏ môđun xạ
ảnh không là môđun tự do.

Ví dụ 1.3.5. Cho R là một vành và S := R ⊕ R = {(x, y) | x, y ∈ R}.
Trên S ta trang bị hai phép toán cộng "+" và nhân "." như sau:
(x , y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’),
(x , y).(x’, y’) = (x.x’, y.y’),
với mọi (x , y), (x’, y’) ∈ S. Đặt
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

P = {(x, 0) | x ∈ R} và Q = {(0, y) | y ∈ R}.
Khi đó, P là S-môđun phải xạ ảnh nhưng không là S-môđun phải tự
do. Thật vậy, ta có S là S-môđun phải tự do và S = P ⊕ Q. Theo
Mệnh đề 1.3.4, ta có P là xạ ảnh. Vì P.Q = 0 nên P không là S-môđun
phải tự do.

19


Chương 2
PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ SIÊU MA
TRẬN
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan
đến nhóm Grothendieck của một vành và định lý phân loại các đại số
siêu ma trận dựa vào nhóm Grothendieck của chúng. Chương này được

trình bày dựa trên các tài liệu [4] và [6].

2.1

Nhóm Grothendieck của một vành

Mục tiêu chính của tiết này là trình bày định nghĩa nhóm Grothendieck
của một vành và tính một vài ví dụ về nhóm K0 .

Cho R là một vành và P(R) là tập tất cả các R-môđun phải xạ
ảnh hữu hạn sinh. Kí hiệu
V(R) = {P | P ∈ P(R)}
trong đó P = P khi và chỉ khi P ∼
= P . Trên V(R) ta định nghĩa phép

20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

toán "+" như sau
P +P =P ⊕P
với P , P ∈ V(R). Khi đó (V(R), +) là một vị nhóm giao hoán.
Gọi F là một Z-môđun tự do với cơ sở V(R). Gọi H là nhóm con
của F được sinh bởi các phần tử có dạng
P ⊕ Q − P − Q.
Định nghĩa 2.1.1. Ta gọi F/H là nhóm Grothendieck của vành R và
kí hiệu là K0 (R).

Chú ý 2.1.2. Kí hiệu [P ] là lớp tương đương của P trong K0 (R). Khi
đó, K0 (R) = {[P ] − [Q] | P, Q ∈ P(R)}.
Chứng minh. Cho x ∈ K0 (R). Khi đó, ta có
k

x =
=

mi [Pi ] =
i∈I
⊕ki=1 Pini

−

l

nj [Qj ] (mi ∈ Z; ni , nj ∈ Z+ )

ni [Pi ] −
i=1
n
⊕lj=1 Qj j

j=1

= P − Q
n

trong đó P = ⊕ki=1 Pini , Q = ⊕lj=1 Qj j là các môđun phải xạ ảnh hữu

hạn sinh. Vì thế ta có điều cần phải chứng minh.

Bổ đề 2.1.3. Cho P và Q là các R-môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh.
Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(1) [P ] - [Q] = [0] trong K0 (R);
(2) Tồn tại A ∈ P(R) sao cho P ⊕ A ∼
= Q ⊕ A;
(3) Tồn tại số nguyên dương n sao cho P ⊕ Rn ∼
= Q ⊕ Rn .
21


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thị hạnh

Chứng minh. (3) ⇒ (2) Hiển nhiên.
(2) ⇒ (3) Giả sử tồn tại A ∈ P(R) sao cho P ⊕ A ∼
= Q ⊕ A. Ta có
A là R-môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh, nên theo Mệnh đề 1.3.4 tồn
tại số tự nhiên n và tồn tại môđun B sao cho Rn ∼
= A ⊕ B. Do đó, ta
có P ⊕ A ⊕ B ∼
= Q ⊕ Rn .
= Q ⊕ A ⊕ B hay P ⊕ Rn ∼
(2) ⇒ (1) Giả sử tồn tại A ∈ P(R) sao cho P ⊕ A ∼
= Q ⊕ A. Ta
suy ra
[P ⊕ A] = [Q ⊕ A] ⇒ [P ] + [A] = [Q] + [A] .
Do đó, [P ] − [Q] = [0] trong K0 (R).

(1) ⇒ (2) Giả sử [P ] - [Q] = [0] trong K0 (R). Khi đó, P − Q ∈ H.
Do đó, ta có
P −Q=

(Pi ⊕ Qi − Pi − Qi ) −
i∈I

(Pj ⊕ Qj − Pj − Qj ),
j∈J

suy ra
P+
i∈I

(Pi ⊕ Qi ) +

(Pj ⊕ Qj ) = Q +

(Pi + Qi ) +
j∈J

i∈I

(Pj + Qj ).
j∈J

Vậy nên
P ⊕ ⊕i∈I (Pi + Qi ) ⊕ ⊕j∈J (Pj + Qj )
= Q ⊕ ⊕i∈I (Pi + Qi ) ⊕ ⊕j∈J (Pj + Qj ) .
Do đó, ta được

P ⊕ ⊕i∈I (Pi + Qi ) ⊕ ⊕j∈J (Pj + Qj )
∼
= Q ⊕ ⊕i∈I (Pi + Qi ) ⊕ ⊕j∈J (Pj + Qj ) . (*)
Đặt
A := ⊕i∈I (Pi + Qi ) ⊕ ⊕j∈J (Pj + Qj ) .
22