Bài toán cân bằng véctơ trên tập trù mật

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Nguyễn Thị Kim Oanh

BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TRÊN TẬP TRÙ MẬT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Nguyễn Thị Kim Oanh

BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TRÊN TẬP TRÙ MẬT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. BÙI THẾ HÙNG

Thái Nguyên - 2017


Lời cam đoan

i
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết luận văn

Nguyễn Thị Kim Oanh
Xác nhận
của trưởng khoa Toán

Xác nhận
của người hướng dẫn khoa học

TS. Bùi Thế Hùng

i


Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới TS. Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tôi
trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các
thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo
điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã
giúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành
luận văn của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Kim Oanh

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Một số ký hiệu và viết tắt

iv

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . .
1.2 Nón trong không gian tuyến tính . . . .
1.3 Một số tính chất của ánh xạ véctơ . . . .
1.4 Nguyên lý ánh xạ KKM và định lý điểm

3
. . . . . . . .

3

. . . . . . . .

6

. . . . . . . .

7

bất động . .

11

2 Bài toán cân bằng véctơ trên tập trù mật
2.1 Tập tự trù mật đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bài toán cân bằng véctơ yếu trên tập tự trù mật đoạn
2.3 Bài toán cân bằng véctơ mạnh trên tập tự trù mật

đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

iii

15
19
27
35


Một số ký hiệu và viết tắt

R

tập các số thực

R+

tập số thực không âm

R−

tập số thực không dương

Rn

không gian véctơ Euclide n− chiều

Rn+

tập các véctơ không âm của Rn

Rn−

tập các véctơ không dương của Rn

X∗

không gian đối ngẫu tôpô của không gian X

ξ, x

giá trị của ξ ∈ X ∗ tại x ∈ X

{xα }

dãy suy rộng

∅

tập rỗng

A := B

A được định nghĩa bằng B

A⊆B

A là tập con của B

A⊆B

A không là tập con của B

A∪B

hợp của hai tập hợp A và B

A∩B

giao của hai tập hợp A và B

iv


A\B

hiệu của hai tập hợp A và B

A+B

tổng véctơ của hai tập hợp A và B

A×B

tích Descartes của hai tập hợp A và B

conv A

bao lồi của tập hợp A

core A

phần trong đại số của tập hợp A

ri A

phần trong tương đối của tập hợp A

cl A

bao đóng tôpô của tập hợp A

int A

phần trong tôpô của tập hợp A

KKM

tên của ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz

supp(f ) giá của hàm f
x∈A

giá trị của x thuộc vào tập hợp A

x∈
/A

giá trị của x không thuộc vào tập hợp A

∀x

với mọi giá trị của x

∃x

tồn tại giá trị x

x≤y

giá trị của x nhỏ hơn hoặc bằng giá trị y

x≥y

giá trị của x lớn hơn hoặc bằng giá trị của y

(EP )

bài toán cân bằng vô hướng

✷

kết thúc chứng minh

v


Mở đầu
Bài toán cân bằng vô hướng sau đây được E. Blum và W. Oettli [3]
nghiên cứu vào năm 1994: Tìm điểm x
¯ ∈ K sao cho

f (¯
x, x) ≥ 0, với mọi x ∈ K,

(EP )

trong đó K là tập con nào đó và f : K × K → R là một hàm số thực thỏa
mãn điều kiện f (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K. Từ bài toán (EP ) ta có thể
suy ra các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu như bài toán tối ưu,
bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán cân bằng Nash,
bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động, ...(xem [2], [3], [9], [10],
[13]). Chính vì vậy, bài toán này được nhiều người quan tâm nghiên cứu
như E. Blum, W. Oettli, Ky Fan, Browder, Minty, Bianchi, S. Schaible,
Hadjisavvas, .... Sau đó bài toán trên được mở rộng cho ánh xạ véctơ đơn
trị từ tập con không rỗng nào đó vào không gian tuyến tính với thứ tự sinh
bởi nón và người ta gọi bài toán (EP ) là bài toán cân bằng véctơ hay còn
được gọi là bài toán cân bằng đa mục tiêu. Từ quan hệ thứ tự sinh bởi nón,

người ta đưa ra các khái niệm khác nhau về điểm hữu hiệu của một tập và
phát biểu được các loại bài toán cân bằng khác nhau như bài toán cân bằng
véctơ lý tưởng, bài toán cân bằng véctơ mạnh, bài toán cân bằng véctơ yếu,
bài toán cân bằng véctơ thực sự (xem [1] và các tài liệu liên quan). Bài
toán (EP ) trong trường hợp này đóng vai trò trung tâm của lý thuyết cân
bằng véctơ hay còn gọi là lý thuyết cân bằng đa mục tiêu. Lý thuyết này
được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị
1


của Edgeworth [6], gắn liền với tên tuổi của một số nhà toán học lớn, ta
có thể kể đến như Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans, ....
Nhưng cũng phải cho tới năm 1954 với công trình của Deubreu [5] về giá trị
cân bằng và tối ưu Pareto, lý thuyết cân bằng véctơ mới được công nhận
là ngành toán học quan trọng có nhiều ứng dụng trong thực tế và được rất
nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
Vì những lý do đó, chúng tôi chọn đề tài "Bài toán cân bằng véctơ trên
tập trù mật" làm luận văn tốt nghiệp. Mục đích chính của luận văn là trình
bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ
yếu và mạnh dưới giả thiết tính liên tục theo nón và tính lồi theo nón của
hàm mục tiêu trên tập con tự trù mật đoạn mà không cần trên toàn bộ
miền xác định. Ngoài ra, luận văn trình bày một số ứng dụng vào bài toán
bất đẳng thức biến phân.
Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài
liệu tham khảo.
Chương 1 dành cho việc trình bày một số khái niệm về không gian lồi
địa phương, nón trong không gian tuyến tính, tính liên tục và tính lồi theo
nón của ánh xạ véctơ. Ngoài ra chúng tôi trình bày Nguyên lý ánh xạ KKM
và một số định lý điểm bất động được sử dụng trong chứng minh các kết
quả của chương 2.

Chương 2 trình bày một số điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài
toán cân bằng véctơ yếu và mạnh dưới giả thiết tính lồi và tính liên tục đối
với hàm mục tiêu trên tập con tự trù mật đoạn của miền xác định. Ngoài
ra, chúng tôi còn trình bày một số ứng dụng của kết quả trên vào bài boái
tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ Minty.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả quen
biết về không gian lồi địa phương, nón trong không gian tuyến tính, tính
liên tục và lồi theo nón của ánh xạ véctơ được dùng xuyên suốt trong luận
văn. Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một cách chi tiết Nguyên lý ánh xạ
KKM và điểm bất động trong không gian tôpô tuyến tính.

1.1

Không gian lồi địa phương

Trong mục này, ta xét lớp không gian trừu tượng, đó là không gian lồi địa
phương.
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp không rỗng. Một họ τ những
tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu
(i) Hai tập ∅, X đều thuộc họ τ ;
(ii) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập
thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ ;
(iii) τ kín đối với phép hợp bất kì, tức là hợp của một số hữu hạn hay
vô hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ .

Cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô. Các phần tử thuộc X ta gọi là
3


điểm và các tập thuộc họ τ được gọi là tập mở.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử τ, τ là các tôpô trên X . Nếu τ ⊆ τ , ta nói
tôpô τ yếu hơn (thô hơn) tôpô τ hay tôpô τ mạnh hơn (mịn hơn) tôpô τ .
Trường hợp không có quan hệ đó, ta nói hai tôpô không so sánh được.
Trong không gian metric (X, d), họ τ các tập mở trong X cũng là một
tôpô trên X , ta gọi đó là tôpô metric d, điều đó có nghĩa là, mọi không
gian metric (bao gồm cả không gian định chuẩn và Hilbert), đều là không
gian tôpô. Cho một không gian tôpô ta có thể định nghĩa được khái niệm
lân cận, giới hạn, phần trong, bao đóng, . . . một cách khái quát hơn các
khái niệm đã định nghĩa trong không gian metric.
Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian tôpô (X, τ ) và A ⊆ X .
(i) Tập con U của không gian X được gọi là lân cận của A nếu U là bao
hàm một tập mở chứa A;
(ii) Lân cận của phần tử x ∈ X là lân cận của tập con x. Họ tất cả các
lân cận của một điểm gọi là hệ lân cận của điểm đó.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian Hausdorff nếu đối với hai điểm khác nhau tùy ý x, y ∈ X luôn tồn tại các lân
cận U của x, V của y sao cho U ∩ V = ∅.
Định nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian véctơ trên trường K.
(i) Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X
nếu các phép toán cộng và nhân vô hướng là các ánh xạ liên tục.
(ii) Một không gian tôpô tuyến tính hay không gian véctơ tôpô trên
trường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là không gian véctơ trên trường K
và τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số của X .
Định nghĩa 1.1.6. Một không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không
gian lồi địa phương (và tôpô của nó là tôpô lồi địa phương), nếu trong X có
một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi. Hơn vậy, nếu không gian lồi

4


địa phương X đồng thời là không gian Hausdorff thì X được gọi là không
gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff.
Ví dụ 1.1.7. Không gian định chuẩn, không gian Hilbert là các không gian
lồi địa phương Hausdorff.
Ví dụ 1.1.8. Cho X là một không gian định chuẩn, ta biết X là một không
gian tôpô tuyến tính và họ các hình cầu BX (0, r), r > 0 làm thành một cơ
sở lân cận của gốc. Tôpô này là tôpô lồi địa phương vì mỗi hình cầu là một
tập lồi. Do đó X là không gian lồi địa phương.
Định nghĩa 1.1.9. Giả sử X là không gian định chuẩn với liên hợp X .
Với mỗi hệ hữu hạn u1 , u2 , ..., un ∈ X và ε > 0 ta đặt:

W (u1 , u2 , ..., un ; ε) =

x ∈ X : max |ui (x)| ≤ ε
1≤i≤n

Dễ thấy W (u1 , u2 , ..., un ; ε) là các tập cân, hút trong X và do đó chúng là
cơ sở các 0-lân cận của một tôpô lồi địa phương δ(X, X ) trên X . Ta có
định nghĩa sau:
Tôpô lồi địa phương δ(X, X ) trên X xác định như trên được gọi là tôpô
yếu của X .
Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian có
tính chất phản xạ (hay còn gọi là không gian phản xạ) nếu phép nhúng
chính tắc H : X −→ X ∗ là toàn ánh.
Từ định nghĩa ta dễ dàng nhận thấy:
1. Không gian định chuẩn X có tính chất phản xạ nếu với mọi g ∈ X ∗
đều tồn x ∈ X sao cho g(f ) = f (x) với mọi f ∈ X ∗ .

2. Nếu X phản xạ thì X đẳng cự tuyến tính với X ∗ . Do vậy nếu ta đồng
nhất hai không gian đẳng cự với nhau thì X phản xạ nếu X = X ∗ .
3. Ta biết X ∗ là không gian Banach nên nếu X phản xạ thì X là không
gian Banach.
5


1.2

Nón trong không gian tuyến tính

Trong phần này, ta trình bày khái niệm nón trong không gian tuyến tính.
Từ khái niệm này người ta đưa ra khái niệm về tính liên tục theo nón và
tính lồi theo nón của ánh xạ véctơ. Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm nón
trong không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là một tập con
không rỗng trong Y . Ta nói rằng C là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu

tc ∈ C , với mọi c ∈ C và t ≥ 0.
Nếu C là nón có đỉnh tại gốc thì C + x0 là nón có đỉnh tại x0 . Vì vậy
trong luận văn này chúng tôi chỉ quan tâm đến nón có đỉnh tại gốc và để
tránh nhầm lẫn ta gọi nón thay cho nón có đỉnh tại gốc.
Định nghĩa 1.2.2. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y . Ta nói
rằng
(i) C là nón lồi nếu C là tập lồi.
(ii) C là nón nhọn nếu l(C) = {0}, trong đó l(C) = C ∩ (−C).
Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong

Y , ta ký hiệu cl C, int C, conv C là bao đóng tôpô, phần trong tôpô và bao
lồi của C , tương ứng. Nón C gọi là đóng nếu C là tập đóng trong Y . Ta

nói C là nón lồi đóng nhọn nếu C là nón lồi, đóng và nhọn.
Dưới đây là một số ví dụ về nón trong không gian tuyến tính.
Ví dụ 1.2.3. 1. Cho Y là không gian tuyến tính. Khi đó 0 , Y là các nón
trong Y và ta gọi chúng là các nón tầm thường trong Y .
2. Cho không gian tuyến tính Rn . Khi đó tập
Rn+ = x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n
là nón lồi đóng nhọn trong Rn và ta gọi là nón orthant dương trong Rn .
6


3. Gọi C[0, 1] là không gian tuyến tính các hàm số xác định và liên tục
trên đoạn [0, 1] với các phép toán cộng và nhân vô hướng:

(x + y)(t) = x(t) + y(t),
(λx)(t) = λx(t).
Khi đó tập

C+ [0, 1] = x ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, 1]
là nón lồi đóng nhọn trong C[0, 1].

1.3

Một số tính chất của ánh xạ véctơ

Trong phần này chúng tôi trình bày tính chất liên tục theo nón của ánh
xạ véctơ đơn trị và tính lồi theo nón của ánh xạ véctơ đơn trị. Các khái
niệm trong phần này là sự mở rộng của các khái niệm về tính liên tục, tính
lồi của hàm đơn trị.

1.3.1

Tính liên tục theo nón của ánh xạ véctơ

Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị giữa các
không gian tôpô: Một ánh xạ đơn trị f : X → Y từ không gian tôpô X
vào không gian tôpô Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi tập
mở V trong Y chứa f (x0 ), tồn tại lân cận mở U trong X chứa x0 sao cho

f (U ) ⊆ V . Giả sử X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính và C là nón trên
Y. Ta nhắc lại khái niệm liên tục theo nón của ánh xạ véctơ đơn trị.
Định nghĩa 1.3.1. Cho ánh xạ véctơ đơn trị f : X → Y .
(i) f được gọi là C - nửa liên tục trên tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận V
của f (x), tồn tại lân cận U của x trong X sao cho

f (U ) ⊆ V − C.
7


(ii) f được gọi là C - nửa liên tục dưới tại x ∈ X nếu −f là C - nửa liên
tục trên tại x.
(iii) Nếu f là C - nửa liên tục trên và C - nửa liên tục dưới tại x đồng
thời, thì ta nói f là C - liên tục tại x.
(iv) Nếu f là C - nửa liên tục trên, C - nửa liên tục dưới và C - liên tục
tại mọi điểm trong X , ta nói f là C - nửa liên tục trên, C - nửa liên tục dưới
và C - liên tục trong X .
Mệnh đề sau đưa ra điều kiện cần và đủ để ánh xạ véctơ đơn trị liên tục
theo nón.
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử X là không gian tôpô, Y là không gian tôpô tuyến
tính với thứ tự sinh bởi nón C và ánh xạ véctơ đơn trị f : X → Y . Khi đó
các khẳng định sau đây là tương đương

(i) f là C - nửa liên tục trên trong X .
(ii) Với mỗi x0 ∈ X và k ∈ int C , tồn tại lân cận U của x0 trong X sao
cho

f (U ) ⊆ f (x0 ) + k − int C.
(iii) Với mọi y ∈ Y, f −1 (y − int C) là mở trong X .
Chứng minh. (i) =⇒ (ii). Giả sử f là C - nửa liên tục trên trong X . Lấy

x0 ∈ X và k ∈ int C tùy ý. Vì int C là tập mở nên tồn tại lân cận mở W
của k sao cho W ⊆ int C . Khi đó

f (x0 ) ∈ f (x0 ) + k − W ⊆ f (x0 ) + k − int C.
Đặt V := f (x0 ) + k − int C . Khi đó V là lân cận mở của f (x0 ). Vì f là C nửa liên tục trên tại x0 nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho

f (U ) ⊆ V − C.
Từ đó suy ra

f (U ) ⊆ f (x0 ) + k − int C.
8


(ii) =⇒ (iii). Lấy x0 ∈ f −1 (y−int C) bất kỳ. Từ đó suy ra y−f (x0 ) ∈ int C .
Theo giả thiết, tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho

f (U ) ⊆ f (x0 ) + y − f (x0 ) − int C = y − int C.
Điều này kéo theo U ⊆ f −1 (y − int C) và do vậy f −1 (y − int C) là mở.

(iii) =⇒ (i). Lấy x0 ∈ X tùy ý và V là lân cận mở bất kỳ của f (x0 ) trong
Y. Từ đó suy ra f (x0 ) ∈ V − C . Vì V mở nên V − C = V − int C . Vậy

f (x0 ) ∈ V − int C . Suy ra tồn tại k ∈ int C sao cho f (x0 ) + k ∈ V . Mặt
khác, ta lại có x0 ∈ f −1 (f (x0 ) + k − int C) và f −1 (f (x0 ) + k − int C) là
tập mở nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho

U ⊆ f −1 (f (x0 ) + k − int C).
Điều này kéo theo

f (U ) ⊆ f (x0 ) + k − int C ⊆ V − C.
Vậy f là C - nửa liên tục trên trong X .
Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm ánh xạ véctơ đơn trị liên tục
mạnh theo nón.
Định nghĩa 1.3.3. Cho ánh xạ véctơ đơn trị f : X → Y .
(i) f được gọi là C - nửa liên tục trên mạnh tại x ∈ X nếu với mỗi lân
cận V của f (x), tồn tại lân cận U của x trong X sao cho

f (U ) ⊆ V − C\{0}.
(ii) f được gọi là C - nửa liên tục dưới mạnh tại x ∈ X nếu −f là C nửa liên tục trên mạnh tại x.
(iii) Nếu f là C - nửa liên tục trên mạnh và C - nửa liên tục dưới mạnh
tại x
¯ đồng thời, thì ta nói f là C - liên tục mạnh tại x¯.
(iv) Nếu f là C - nửa liên tục trên mạnh, C - nửa liên tục dưới mạnh và

C - liên tục mạnh tại mọi điểm trong X , ta nói f là C - nửa liên tục trên
mạnh, C - nửa liên tục dưới mạnh và C - liên tục mạnh trong X .
9


1.3.2

Tính lồi theo nón của ánh xạ véctơ

Trước hết ta nhắc lại khái niệm hàm lồi đơn trị: Một hàm f : K → R
xác định trên tập lồi K được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ K và λ ∈ [0, 1]
ta luôn có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
Trong phần này chúng tôi luôn giả thiết K là tập con lồi của không gian
tuyến tính X và Y là không gian tuyến tính với nón C . Ta nhắc lại khái
niệm hàm véctơ lồi theo nón.
Định nghĩa 1.3.4. Giả sử f : K → Y là hàm véctơ. Ta nói rằng:
(i) f là C - lồi trong K nếu với mọi x, y ∈ K và α ∈ [0, 1], ta luôn có

f (αx + (1 − α)y) ∈ αf (x) + (1 − α)f (y) − C.
(ii) f là C - tựa giống như lồi (quasiconvex-like) trong K nếu với x1 , x2 ∈

D và α ∈ [0, 1] thì luôn tồn tại chỉ số i ∈ {1, 2} sao cho
f (αx1 + (1 − α)x2 ) ∈ f (xi ) − C.
Khái niệm dưới đây là mở rộng các khái niệm trên cho trường hợp K
không lồi.
Định nghĩa 1.3.5. Cho f : K → Y là ánh xạ véctơ đơn trị. Ta nói rằng

f là C - hàm trên K nếu với mọi tập hữu hạn {x1 , x2 , ..., xn } ⊆ K và với
n

mọi αi ≥ 0, i ∈ {1, 2, ..., n},

n

αi xi ∈ K thì

αi = 1,
i=1

i=1

n

n

αi f (xi ) − f (
i=1

αi xi ) ∈ C.
i=1

10


1.4

Nguyên lý ánh xạ KKM và định lý điểm bất
động

Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20,
có thể kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912, nguyên lý ánh
xạ co Banach năm 1922. Năm 1929 ba nhà toán học Knaster, Kuratowski
và Mazurkiewicz đã sử dụng kết quả của Sperner năm 1928 về phép tam
giác phân một đơn hình, để chứng minh một kết quả rất quan trọng mà
ngày nay chúng ta gọi là "Bổ đề KKM". Phương pháp này tương đối sơ
cấp, khác với phương pháp của Brouwer năm 1912. Từ đó suy ra nguyên

lý điểm bất động Brouwer và người ta cũng chỉ ra từ nguyên lý điểm bất
động Brouwer suy ra được bổ đề KKM. Như vậy nguyên lý điểm bất động
Brouwer và bổ đề KKM là tương đương với nhau. Năm 1961, Ky Fan đã
mở rộng bổ đề KKM cổ điển sang không gian tôpô tuyến tính với ánh xạ
đa trị và kết quả thu được ngày nay ta gọi là "Bổ đề Fan-KKM". Trước
tiên ta nhắc lại nguyên lý điểm bất động Brouwer.
Định lý 1.4.1. (Định lý điểm bất động Brouwer, xem [4]) Giả sử D là tập
con không rỗng lồi đóng của không gian hữu hạn chiều X và F : D → D
là ánh xạ liên tục. Khi đó tồn tại x0 ∈ D sao cho x0 = F (x0 ).
Định nghĩa 1.4.2. Giả sử D là tập con không rỗng của X . Ánh xạ đa
trị F : D → 2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn

{x1 , x2 , ..., xn } trong D, ta luôn có
conv{x1 , x2 , ..., xn } ⊆ ∪ni=1 F (xi ).
Định lý 1.4.3. (Bổ đề Fan-KKM, xem [8]) Giả sử D là tập con không rỗng
của không gian tôpô tuyến tính X và F : D → 2X là ánh xạ KKM với giá
trị đóng. Khi đó với mọi tập hữu hạn A ⊆ D, ta luôn có

∩x∈A F (x) = ∅.
11


Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng phản chứng. Giả sử tồn tại tập
hữu hạn {x1 , x2 , ..., xn } ⊆ D sao cho

∩ni=1 F (xi ) = ∅.
Đặt L = span{x1 , x2 , ..., xn } và d là khoảng cách trên L tương thích với
tôpô cảm sinh từ X . Ta kí hiệu ∆ = conv{x1 , x2 , ..., xn } và G(xi ) =

F (xi ) ∩ L với i = 1, 2, ..., n. Với mỗi x ∈ ∆, đặt αi (x) = d(x, G(xi )).

Vì ∩ni=1 F (xi ) = ∅ nên ∩ni=1 G(xi ) = ∅. Do đó với mỗi x ∈ ∆, tồn tại i sao
cho x ∈ G(xi ). Vì G(xi ) đóng nên αi (x) > 0. Ta đặt

αi (x)
,
n
α
(x)
j
j=1

µi (x) =

x ∈ ∆.

Khi đó các hàm µi liên tục và 0 ≤ µi (x) ≤ 1,

n
j=1 µj (x)

= 1 với mọi

x ∈ ∆. Xét ánh xạ T : ∆ → ∆ xác định bởi
n

Tx =

µi (x)xi .
j=1

Rõ ràng T liên tục trên ∆ là tập con lồi và compact của không gian con hữu
hạn chiều L. Sử dụng Định lí điểm bất động Brouwer, tồn tại x
¯ ∈ ∆ sao cho

T (¯
x) = x¯. Đặt I(¯
x) := {i ∈ {1, 2, ..., n} : µi (¯
x) > 0}. Vì

µi (¯
x) = 1
i∈I(¯
x)

nên I(¯
x) = ∅. Mặt khác ta lại có
n

x¯ = T (¯
x) =

µi (¯
x)xi =
i=1

µi (¯
x)xi .
i∈I(¯
x)

Từ đó suy ra

x¯ ∈ conv{xi : i ∈ I(¯
x)} ⊆ ∪i∈I(¯x) F (xi ).
Vì µi (¯
x) > 0 với mọi i ∈ I(¯
x), nên ta có x¯ ∈ G(xi ). Vì x¯ ∈ L nên

x¯ ∈ F (xi ) với mọi i ∈ I(¯
x). Chứng tỏ x¯ ∈ ∪i∈I(¯x) F (xi ). Điều này mâu
thuẫn với x
¯ ∈ ∪i∈I(¯x) F (xi ). Vậy định lý được chứng minh.
12


Nhận xét. Trong Định lý 1.4.3 nếu thêm giả thiết "tồn tại x0 ∈ D sao cho

F (x0 ) là tập compact trong X " thì
∩x∈D F (x) = ∅.
Định lý 1.4.4. (Phân hoạch đơn vị, xem [14]) Giả sử {Vα }α∈I là phủ mở
của tập con không rỗng compact K của không gian lồi địa phương Hausdorff

X . Khi đó tồn tại các hàm liên tục pi : K → R (i = 1, 2, ..., n) thỏa mãn
các điều kiện
(i) 0 ≤ pi (x) ≤ 1 với mọi x ∈ K và i = 1, 2, ..., n.
(ii)

n
i=1 pi (x)

= 1 với mọi x ∈ K .

(iii) supp(pi ) := cl{x ∈ K : pi (x) = 0} ⊆ Vyi với i = 1, 2, ..., n.

Năm 1968, Browder đã chứng minh kết quả của Ky Fan (1961) theo
dạng khác. Đó là định lý điểm bất động ngày nay gọi là định lý điểm bất
động Fan- Browder.
Định lý 1.4.5. (Định lý điểm bất động Fan- Browder, xem [15]) Giả sử K
là tập con không rỗng, lồi, compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff X
và F : K → 2K là ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng, lồi thỏa mãn điều
kiện với mỗi x ∈ K , F −1 (x) là mở trong K . Khi đó tồn tại x
¯ ∈ K sao cho

x¯ ∈ F (¯
x)
Chứng minh. Từ mỗi x ∈ K , F −1 (x) là mở trong K nên họ {F −1 (x)}x∈K
là phủ mở của K . Vì K compact nên tồn tại x1 , x2 , ..., xn ∈ K sao cho

K = ∪ni=1 F −1 (xi ).
Theo Định lý về phân hoạch đơn vị, tồn tại các hàm liên tục pi : K → R
(i = 1, 2, ..., n) thỏa mãn các điều kiện
(i) 0 ≤ pi (x) ≤ 1 với mọi x ∈ K và i = 1, 2, ..., n.
(ii)

n
i=1 pi (x)

= 1 với mọi x ∈ K .
13

(iii) supp(pi ) := cl{x ∈ K : pi (x) = 0} ⊆ F −1 (xi ) với i = 1, 2, ..., n.
Xét ánh xạ ϕ : conv{x1 , x2 , ..., xn } → conv{x1 , x2 , ..., xn } bởi công thức
n

ϕ(x) =

pi (x)xi .
i=1

Rõ ràng ϕ liên tục và conv{x1 , x2 , ..., xn } là tập lồi và compact của không
gian con hữu hạn chiều span{x1 , x2 , ..., xn }. Do đó, sử dụng Định lí điểm
bất động Brouwer, tồn tại x
¯ ∈ conv{x1 , x2 , ..., xn } sao cho ϕ(¯
x) = x¯.
Đặt I(¯
x) := {i ∈ {1, 2, ..., n} : pi (¯
x) > 0}. Vì

pi (¯
x) = 1 nên I(¯
x) = ∅.
i∈I(¯
x)

Mặt khác ta lại có
n

pi (¯
x)xi =

ϕ(¯
x) =
i=1

pi (¯
x)xi = x¯.
i∈I(¯
x)

Từ đó suy ra x
¯ ∈ conv{xi : i ∈ I(¯
x)}. Vì pi (¯
x) > 0 với mọi i ∈ I(¯
x), nên
ta có

x¯ ∈ ∩i∈I(¯x) F −1 (xi ).
Từ đó suy ra xi ∈ F (¯
x) với mọi i ∈ I(¯
x). Điều này và bởi F (¯
x) lồi nên

x¯ ∈ conv{xi : i ∈ I(¯
x)} ⊆ F (¯
x).

14

Chương 2
Bài toán cân bằng véctơ trên tập
trù mật
Trong chương này chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại
nghiệm của bài toán cân bằng véctơ yếu và mạnh dưới giả thiết về tính liên
tục và tính lồi theo nón trên tập con tự trù mật đoạn của tập xác định của
hàm mục tiêu. Các kết quả của chương này được trình bày dựa trên hai bài
báo [11], [12].

2.1

Tập tự trù mật đoạn

Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính trên trường thực R. Ta kí hiệu
đoạn thẳng và khoảng mở nối hai điểm x, y ∈ X lần lượt là

[x, y] = {z ∈ X : z = tx + (1 − t)y, t ∈ [0, 1]},
(x, y) = {z ∈ X : z = tx + (1 − t)y, t ∈ (0, 1)}.
Cho U, V là các tập con của X . Tập U được gọi là trù mật trong V nếu

V ⊆ cl U .

15


Định nghĩa 2.1.1. Giả sử U ⊆ V ⊆ X và V là tập lồi. Ta nói rằng U trù
mật đoạn trong V nếu với mỗi x ∈ V , luôn tìm được y ∈ U sao cho

x ∈ cl([x, y] ∩ U ).
Định nghĩa 2.1.2. Giả sử U ⊆ V ⊆ X và V là tập lồi. Ta nói rằng U tự

trù mật đoạn trong V nếu U trù mật trong V và

cl([x, y] ∩ U ) = [x, y] với mọi x, y ∈ U.
Nhận xét. Trong không gian một chiều khái niệm tự trù mật đoạn, tự trù
mật và trù mật là trùng nhau. Ví dụ sau chỉ ra một tập tự trù mật đoạn
nhưng không trù mật đoạn.
Ví dụ 2.1.3. Xét V = R2 và U = {(x, y) ∈ R2 : x, y ∈ Q}. Khi đó U
√
trù mật trong V . Với x = (0, 2) ∈ V và mọi y = (p, q) ∈ U , ta luôn có

[x, y] ∩ U = {y}. Điều này chứng tỏ U không là tập trù mật đoạn trong V .
Mặt khác, với mọi x = (p, q), y = (r, s) ∈ U , ta có

[x, y] ∩ U = {(p + t(r − p), q + t(s − q)) : t ∈ [0, 1] ∩ Q}
là tập trù mật trong [0, 1]. Vậy U là tập tự trù mật đoạn trong V.
Định nghĩa 2.1.4. Phần trong đại số của tập con D trong không gian
tôpô tuyến tính X , kí hiệu là core D, xác định bởi

core D := {u ∈ D : ∀x ∈ X, ∃δ > 0 sao cho u + x ∈ D với mọi ∈ [0, δ]}.
Nhận xét. Nếu D là tập lồi với int D = ∅ thì core D = int D.
Bổ đề 2.1.5. Giả sử V là tập con lồi trong không gian lồi địa phương
Hausdorff X và U ⊆ V là tập con tự trù mật đoạn của V . Khi đó với mọi
tập con hữu hạn {u1 , u2 , ..., un } ⊆ U , ta luôn có

cl(conv{u1 , u2 , ..., un } ∩ U ) = conv{u1 , u2 , ..., un }.
16


Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề quy nạp theo n. Hiển nhiên bổ đề đúng
với n = 1. Với n = 2, sử dụng tính tự trù mật đoạn của U trong V , ta có

cl(conv{u1 , u2 } ∩ U ) = cl([u1 , u2 ] ∩ U ) = [u1 , u2 ] = conv{u1 , u2 }.
Giả sử khẳng định đúng với n − 1 phần tử u1 , u2 , ..., un−1 ∈ U , tức là

cl(conv{u1 , u2 , ..., un−1 } ∩ U ) = conv{u1 , u2 , ..., un−1 }.
Lấy un ∈ U tùy ý. Nếu

conv{u1 , u2 , ..., un } = conv{u1 , u2 , ..., un−1 }
thì

cl(conv{u1 , u2 , ..., un } ∩ U ) = cl(conv{u1 , u2 , ..., un−1 } ∩ U )
= conv{u1 , u2 , ..., un−1 }
= conv{u1 , u2 , ..., un }.
Đẳng thức này chứng tỏ bổ đề đúng với n. Bây giờ ta giả sử

conv{u1 , u2 , ..., un } = conv{u1 , u2 , ..., un−1 }.
Khi đó

conv{u1 , u2 , ..., un } = ∪u∈conv{u1 ,u2 ,...,un−1 } [u, un ].
Ta chứng minh

cl(conv{u1 , u2 , ..., un } ∩ U ) = conv{u1 , u2 , ..., un }.
Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại s ∈ conv{u1 , u2 , ..., un } và lân cận S của

s sao cho
[conv{u1 , u2 , ..., un } ∩ S] ∩ U = ∅.

(2.1)

Ta có thể giả sử S = s + G, ở đây G là lân cận mở, lồi và cân đối của

0 trong X . Ta có thể viết s = un + t(u − un ), với t ∈ [0, 1] và u ∈
17


conv{u1 , u2 , ..., un−1 }. Từ un ∈ U , s = un . Vậy t = 0. Nếu t = 1 thì
s = u ∈ conv{u1 , u2 , ..., un−1 }. Vì
cl(conv{u1 , u2 , ..., un−1 } ∩ U ) = conv{u1 , u2 , ..., un−1 }
nên

[conv{u1 , u2 , ..., un−1 } ∩ U ] ∩ S = ∅.
Điều này mâu thuẫn với (2.1). Vậy s = un + t(u − un ), với t ∈ (0, 1) và

u ∈ conv{u1 , u2 , ..., un−1 }. Mặt khác từ đẳng thức
cl(conv{u1 , u2 , ..., un−1 } ∩ U ) = conv{u1 , u2 , ..., un−1 },
tồn tại dãy {uα } ⊆ conv{u1 , u2 , ..., un−1 } ∩ U sao cho lim uα = u. Từ đó
suy ra tồn tại chỉ số α0 sao cho uα ∈ u + G với mọi α ≥ α0 . Từ đó suy ra

(uα − un ) ∈ (u − un ) + G với mọi α ≥ α0 . Bởi G là cân đối nên
t(uα − un ) ∈ t(u − un ) + G với mọi α ≥ α0 .
Điều này kéo theo

sα := un + t(uα − un ) ∈ un + t(u − un ) + G = s + G với mọi α ≥ α0 .
Vì s + G là tập lồi, mở nên core(s + G) = s + G. Từ đó kéo theo

sα ∈ core(s + G) với mọi α ≥ α0 .
Từ đó suy ra tồn tại δ > 0 sao cho

sα + (un − uα ) ∈ s + G, sα + (uα − un ) ∈ s + G,
với mọi

∈ [0, δ] và α ≥ α0 . Ta có thể chọn δ ≤ min{t, 1 − t}. Khi đó

0 ≤ t − < t + ≤ 1 với mọi ∈ [0, δ]. Vậy
sα + (un − uα ) = un + (t − )(uα − un ) ∈ [uα , un ],
sα + (uα − un ) = un + (t + )(uα − un ) ∈ [uα , un ],
18