Về họ chuẩn tắc các hàm phân hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Dương Thị Vân Anh

VỀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC HÀM PHÂN HÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Dương Thị Vân Anh

VỀ HỌ CHUẨN TẮC CÁC HÀM PHÂN HÌNH

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS.TSKH. TRẦN VĂN TẤN

Thái Nguyên - 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn
tận tình của PGS. TSKH. Trần Văn Tấn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi
đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng, biết
ơn và đã được sự nhất trí của thầy hướng dẫn khi đưa vào luận văn. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết luận văn

Dương Thị Vân Anh

Xác nhận

Xác nhận

của Trưởng (phó) khoa chuyên môn

của người hướng dẫn khoa học

PGS. TSKH. Trần Văn Tấn

i


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TSKH.
Trần Văn Tấn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Đồng thời
tác giả xin được nói lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Đại

học Sư phạm Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo trong khoa Sau đại học
và khoa Toán đã quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn
thành tốt luận văn của mình.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã dành thời
gian đọc và đóng góp những ý kiến quý báu cho bài luận văn này.
Cuối cùng tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân
trong gia đình của mình, những người đã động viên chia sẻ mọi khó khăn
cùng tôi trong thời gian qua để tôi có thể hoàn thành tốt bài luận văn.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả

Dương Thị Vân Anh

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

iv

1 Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình
1.1 Khoảng cách cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Dãy các hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Họ các hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Các hàm cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna . . . .

1
. .

1

. .

4

. .

10

. .

20

2 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm
phân hình
2.1 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm chỉnh hình

2.2 Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình
2.3 Định lý Montel mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22
22
37
49

Kết luận

54

TÀI LIỆU THAM KHẢO

55

iii


Mở đầu
Lý thuyết họ chuẩn tắc các hàm phân hình được đưa ra bởi Montel từ những
năm đầu của thế kỷ hai mươi: một họ F các hàm phân hình trên một miền
D của mặt phẳng phức được gọi là chuẩn tắc, nếu mỗi dãy trong họ, đều
trích được dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một hàm phân
hình hay hàm đồng nhất bằng vô cùng. Trong suốt hơn 100 năm qua nhiều
tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc đã được thiết lập bởi đông đảo các nhà toán
học. Nhằm hiểu sâu hơn về nội dung của Lý thuyết này, chúng tôi chọn
nghiên cứu đề tài “Về họ chuẩn tắc các hàm phân hình”.
Nội dung của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình.

Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu khái niệm họ chuẩn tắc, trình bày
một số kiến thức cơ bản của khoảng cách cầu, dãy các hàm phân hình và họ
các hàm phân hình. Đồng thời nhắc lại một số hàm cơ bản của Lý thuyết
Nevanlinna. Những kiến thức này là nền tảng để nghiên cứu chương sau.
Chương 2: Một số tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình.
Nội dung chương này là tìm hiểu các kết quả cổ điển của Montel, Miranda,
Bloch, Gu về họ chuẩn tắc. Trình bày chi tiết các tiêu chuẩn cho chuẩn tắc
các hàm chỉnh hình và các hàm phân hình. Cuối chương chúng tôi tìm hiểu
kết quả của Trần Văn Tấn, Nguyễn Văn Thìn và Vũ Văn Trường về sự mở
rộng Định lý Montel tới trường hợp đạo hàm cầu bị chặn và các điểm được
thay bởi các hàm.

iv


Chương 1
Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm
phân hình
1.1

Khoảng cách cầu

Trong hình sau, phương trình của mặt cầu

S là:

1
1
x2 + y 2 + (u − ) = .
(1.1)

2
4
Xét 1 số phức z = x+iy . Cho p là một điểm
của mặt phẳng (Oxy) tương ứng với z , có
tọa độ là (x, y). Đường thẳng nối hai điểm

N và p giao với S tại một điểm m khác N .
Ta gọi m là điểm của S tương ứng với z . Khi đó tọa độ của m là (X, Y, u).
Ta có: X = hx, Y = hy , u − 1 = −h. Trong đó h là một số dương. Thay
vào (1.1) ta có:

x2
Và:

1
1
=
.
2
+ y + 1 1 + |z|2

x
y
|z|2
X=
,Y =
,Z =
.
1 + |z|2
1 + |z|2

1 + |z|2

(1.2)

Điểm của S tương ứng với ∞ là điểm N có tọa độ là (0, 0, 1).
Định nghĩa 1.1.1.
rộng C = C

Cho z1 , z2 là hai điểm của mặt phẳng phức mở

∞ và m1 , m2 là hai điểm của S tương ứng lần lượt là z1 , z2 .
1


Chiều dài của đoạn thẳng m1 m2 được định nghĩa lần lượt là khoảng cách
cầu giữa z1 , z2 và được kí hiệu bởi |z1 , z2 |.
Để tìm ra biểu thức của |z1 , z2 |. Chia 3 trường hợp: 1) Cả z1 , z2 đều hữu
hạn. Cho zj = xj + iyj (j = 1, 2) và tập kj = 1 + |zj |2 (j = 1, 2). Từ (1.2),
ta có:

(k1 k2 |z1 , z2 |)2 =(k2 x1 − k1 x2 )2 + (k2 y1 − k1 y2 )2 + (k1 − k2 )2
=k22 k1 + k12 k2 − 2k1 k2 (x1 x2 + y1 y2 + 1),
và do đó

k1 k2 |z1 , z2 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 − 2(x1 x2 + y1 y2 ).

(1.3)

Tiếp theo sử dụng các mối quan hệ

2xj = zj + zj ,

2iyj = zj − zj (j = 1, 2),

ta thấy rằng vế phải của (1.3) bằng |z1 − z2 |2 . Vậy ta có công thức:

|z1 , z2 | =

|z1 − z2 |
1
1 .
(1 + |z1 |2 ) 2 (1 + |z2 |2 ) 2

(1.4)

2) Một trong z1 hoặc z2 là hữu hạn và số còn lại là vô hạn. Ví dụ

z1 = x1 + iy1 là hữu hạn và z2 = ∞. Khi đó:
x21
y12
1
|z1 , z2 | =
+
+
(1 + |z1 |2 )2 (1 + |z1 |2 )2 (1 + |z1 |2 )2
1
.
=
1 + |z1 |2
2

và do đó:

|z1 , z2 | =

1
1 .
(1 + |z1 |2 ) 2

(1.5)

3) Cả z1 , z2 đều vô hạn. Hiển nhiên |z1 , z2 | = 0.
Từ Định nghĩa 1.1.1, bất đẳng thức tam giác:

|z1 , z3 |

|z1 , z2 | + |z2 , z3 |.
2

(1.6)


Cố định cho 3 điểm bất kì zj (j = 1, 2, 3) của C. Ta có thể xác định được
công thức:

1 1
, |.
z1 z2
Cố định cho 2 điểm bất kì zj (j = 1, 2) của C.
|z1 , z2 | = |

(1.7)

Bổ đề 1.1.2. Cho z1 , z2 và a = ∞ là ba điểm của C. Khi đó:
1
|z1 − a, z2 − a|
|a, ∞|2 |z1 , z2 |.
2
Chứng minh. Giả sử zj = ∞(j = 1, 2). Từ Bổ đề 1.1.2 ta có công thức:

|z1 − a, z2 − a| =

|z1 − z2 |
1
1 ,
(1 + |z1 − a|2 ) 2 (1 + |z2 − a|2 ) 2

và bất đẳng thức:

1 + |ζ1 − ζ2 |2 =1 + |ζ1 |2 + |ζ2 |2 − 2Re(ζ1 ζ2 )
<2(1 + |ζ1 |2 + |ζ2 |2 + |ζ1 |2 |ζ2 |2 )
=2(1 + |ζ1 |2 )(1 + |ζ2 |2 ).
Nếu một trong hai điểm z1 , z2 là hữu hạn và còn lại là vô hạn, ví dụ z1 =

∞, z2 = ∞ ta áp dụng Bổ đề 1.1.2 với z1 và z2 = ∞, và sau đó cho z2 → ∞
.
Bổ đề 1.1.3. Cho A, B(A < B) là hai số dương. Khi đó có một số dương

µ = µ(A, B) chỉ phụ thuộc vào A và B sao cho |z1 |
|z1 , z2 |

µ.

Chứng minh. Nếu |z1 |

A, |z2 |

B, z2 = ∞, khi đó:
|z1 − z2 |
|z1 , z2 | =
1
1
(1 + |z1 |2 ) 2 (1 + |z2 |2 ) 2
z1
1−| |
z2
1 1
1
(1 + |z1 |2 ) 2 (1 +
)2
|z2 |2
A
1−
B
.
1
1
1
(1 + A2 ) 2 (1 + 2 ) 2
B

Điều này cũng đúng khi z2 = ∞.
3

A, |z2 |

B , ta có:


1.2

Dãy các hàm phân hình

Định nghĩa 1.2.1.

Một dãy các điểm zn (n = 1, 2, · · · ) của C được gọi

là hội tụ đối với khoảng cách cầu, nếu mọi số dương ε tương ứng với một
số nguyên dương N sao cho, với n

N, m

N , ta có:

|zn , zm | < ε.
Bổ đề 1.2.2.

(1.8)

Nếu một dãy các điểm zn (n = 1, 2, · · · ) của C hội tụ đối

với khoảng cách cầu, khi đó tồn tại một điểm duy nhất Z trong C sao cho:

lim |zn , Z| = 0.

(1.9)

n→+∞

Z được gọi là giới hạn của dãy zn (n = 1, 2, · · · ) đối với khoảng cách cầu.
Chứng minh.

Đầu tiên ta thấy rằng tồn tại điểm Z . Nếu

lim |zn , ∞| = 0,

n→∞

khi đó Z = ∞ là một điểm. Ngoài ra ta có thể tìm được một số dương ε0
và một dãy tăng các số nguyên dương nk (k = 1, 2, · · · ) sao cho

|znk , ∞|

ε0

(k = 1, 2, · · · ),

tức là znk là hữu hạn và
1

|znk | < (1 + |znk |2 ) 2 =

1
|znk , ∞|

1
.
ε0

Dãy znk (k = 1, 2, · · · ) là bị chặn. Cho Z = ∞ là một điểm giới hạn của dãy

znk (k = 1, 2, · · · ). Khi đó với số dương η bất kì và số nguyên dương K bất
kì, tương ứng một số nguyên dương k sao cho

k

K,

|znk − Z| < η.

Mà:

nk

k,

|znk , Z|

|znk − Z|,

Ta có:

n

K,

|zn , Z | < η,
4

(n = nk ).


Bây giờ cho một số dương ε, cho N là một số nguyên dương sao cho

ε
|zn , zm | < ,
2
với n

N, m

N , khi đó cho n0 là một số nguyên dương sao cho
n0

Do đó với n

ε
N, |zn0 , Z| < .
2

N , ta có:

|zn , Z|

|zn , zn0 | + |zn0 , Z| <

ε ε
+ = ε.
2 2

Do đó điểm Z thỏa mãn điều kiện (1.9). Từ đó ta có bất đẳng thức sau:

|Z, Z |

Định nghĩa 1.2.3.

|Z, zn | + |zn , Z |.

Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm

phân hình trong miền D. Cho E một tập con của D. Dãy S được gọi là hội
tụ đều trên E đối với khoảng cách cầu, nếu mỗi số dương ε tương ứng với
một số nguyên dương N sao cho, khi n

N, m

N , ta có:

|fn (z), fm (z)| < ε,

(1.10)

trong E .
Giả sử rằng điều kiện trong Định nghĩa 1.2.3 được thỏa mãn. Khi đó với mỗi
điểm z0 của E , dãy fn (z0 )(n = 1, 2, · · · ) là hội tụ đối với khoảng cách cầu,
do đó nó có một giới hạn F (z0 ) đối với khoảng cách cầu, do Bổ đề 1.2.2.

F (z) là một hàm được xác định trong E . Chúng ta sẽ thấy rằng với mỗi số
dương ε tương ứng một số nguyên dương N sao cho, khi n

N, m

N ta

có:

|fn (z), F (z)| < ε,

(1.11)

trong E .
Cho số dương ε, từ giả thiết, có một số nguyên dương N sao cho, khi n
,m

N , ta có

ε
|fn (z), fm (z)| < ,
2
5

N

trong E . Do đó khi n

N, m

|fn (z), F (z)|

N và z ∈ E , ta có:
|fn (z), fm (z)| + |fm (z), F (z)|

ε
+ |fm (z), F (z)|.
2
Trong bất đẳng thức này cố định n N , z ∈ E và cho m → +∞, ta nhận
<

được:

ε
< ε,
2
như khẳng định.Ta nói rằng khi n → +∞, fn (z) hội tụ đều đến F (z) trong
|fn (z), F (z)|

E đối với khoảng cách cầu.
Bổ đề 1.2.4. Nếu f (z) là một hàm phân hình trong một miền D, khi đó

f (z) liên tục trong D đối với khoảng cách cầu. Tức là, cho mỗi điểm z0 của
D, ta có:

lim |f (z), f (z0 )| = 0.

z→z0

(1.12)

Chứng minh. Xét một điểm z0 của D và chia hai trường hợp. Nếu f (z0 ) =

∞, khi đó có hình tròn c : |z − z0 | < r thuộc D, sao cho f(z) là hàm chỉnh
hình trong c. Do đó từ (1.4) ta có:

|f (z), f (z0 )|

|f (z) − f (z0 )|,

(1.13)

trong c. Hiển nhiên (1.13) suy ra (1.12). Nếu f (z0 ) = ∞, khi đó áp dụng
1
. Ta có:
với hàm
f (z)
1
1
lim |
,
| = 0.
z→z0 f (z) f (z0 )
Khi đó ta có đẳng thức sau:

|f (z), f (z0 )| = |

1
1
,
|.
f (z) f (z0 )

Ta lại có (1.12).
Định lý 1.2.5. Cho S: fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm phân hình
trong hình tròn Γ : |z − z0 | < r. Giả sử dãy S là hội tụ đều trong Γ đối với
khoảng cách cầu và cho F (z) là hàm giới hạn của S được xác định trong Γ
đối với khoảng cách cầu. Khi đó khẳng định sau là đúng:
6


(1) Nếu F (z0 ) = ∞, khi đó ta có thể tìm được một hình tròn Γ0 : |z−z0 | <

r0 (0 < r0

r) và một số nguyên dương n0 sao cho hàm fn (z)(n

n0 ) và

F (z) là chỉnh hình trong Γ0 , khi đó:
lim |fn (z) − F (z)| = 0.

n→+∞
n n0

(1.14)

đều trong Γ0 .
(2) Nếu F (z0 ) = ∞ , khi đó ta có thể tìm một hình tròn Γ0 : |z − z0 | <
1
(n n0 ) và
r0 (0 < r0 r) và một số nguyên dương n0 sao cho hàm
fn (z)
1
chỉnh hình trong Γ0 và:
F (z)

lim |

n→+∞
n n0

1
1
−
| = 0.
fn (z) F (z)

(1.15)

đều trong Γ0 .
Chứng minh. Xét trường hợp F (z0 ) = ∞. Khi đó d = |f (z0 ), ∞| > 0. Tập:

2
2

A = , B = + 1,
d
d
và cho µ(A, B) là một số dương được xác định trong bổ đề 1.1.3. Tập :

d
ε0 = min( , µ(A, B)).
6
Từ (1.11), ta có thể tìm được số nguyên dương n0 sao cho, khi n

(1.16)

n0 , ta

có:

|fn (z), F (z)| < ε0 .

(1.17)

trong hình tròn Γ. Khi đó từ Bổ đề 1.2.4, ta có thể tìm một hình tròn

Γ0 : |z − z0 | < r0 (0 < r0

r) sao cho trong Γ0 ta có:
d
|fn0 (z), fn0 (z0 )| < .
6

7

Do đó với z ∈ Γ0 , ta có:

|F (z0 ), ∞|

|F (z0 ), fn0 (z0 )| + |fn0 (z0 ), fn0 (z)|
+|fn0 (z), F (z)| + |F (z), ∞|
d
<3 + |F (z), ∞|,
6
d
|F (z), ∞| >
2

Và do đó:

1
(1.18)
1 , |F (z)| < A.
(1 + |F (z)|2 ) 2
Khi đó từ (1.16), (1.17) và (1.18), từ Bổ đề 1.1.3, cho n n0 và z ∈ Γ0 , ta
|F (z), ∞| =

có:

|fn (z)| < B.

(1.19)

n0 và z ∈ Γ0 , ta có:

Lại có từ (1.18) và (1.19), với n

2

|fn (z) − F (z)| = 1 + |fn (z)|
1
2

1
2

2

1 + |F (z)|

1
2

|fn (z), F (z)|

1
2

(1 + B 2 ) (1 + A2 ) |fn (z), F (z)|.
Bất đẳng thức này và kết quả (1.11) ta chứng minh được khẳng định 1)
trong Định lý 1.2.5 .
Xét trường hợp F (z0 ) = ∞. Khi đó lập luận giống như trên cho hàm
1

1
(n = 1, 2, · · · ) và
ta chứng minh được khẳng định 2) trong Định
fn (z)
F (z)
lý 1.2.5 là đúng.
Định nghĩa 1.2.6. Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm phân
hình trong một miền D. Một điểm z0 của D được gọi là C0 - điểm của dãy

S nếu có một hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D sao cho dãy S là hội tụ
đều trong Γ đối với khoảng cách cầu . Dãy S được gọi là C0 - dãy trong D,
nếu mỗi điểm của D là một C0 - điểm của S .
Giả sử dãy S là một C0 - dãy trong D. Cho z0 là một điểm của D. Khi đó
từ giả thiết, dãy S là hội tụ đều trong hình tròn Γ : |z − z0 | < r đối với
khoảng cách cầu. Do đó từ kết quả (1.11) dãy S có hàm giới hạn F (z) được
xác định trong Γ đối với khoảng cách cầu và khi n → +∞, fn (z) hội tụ đều
đến F (z) trong Γ đối với khoảng cách cầu.
8


Định lý 1.2.7. Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là C0 - dãy của hàm phân hình
trong một miền D. Khi đó S có một hàm giới hạn F (z) được xác định trong

D đối với khoảng cách cầu, sao cho khi n → +∞, fn (z) hội tụ đều địa
phương đến F (z) trong D đối với khoảng cách cầu.
Định lý 1.2.8. Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một C0 - dãy các hàm phân
hình trong miền D. Khi đó hàm giới hạn F (z) của S đối với khoảng cách
cầu là một hàm phân hình trong D hoặc ∞.
Chứng minh.

Kí hiệu σ là tập của các điểm z của D sao cho F (z ) = ∞.

Chia 2 trường hợp:
1) Giả sử σ có một điểm tụ z0 trong D. Từ giả thiết ta có hình tròn

Γ : |z − z0 | < r thuộc D sao cho dãy S hội tụ đều trong Γ đối với khoảng
cách cầu. Khi đó F (z0 ) = ∞ là vô lý, bởi vì từ Định lý 1.2.5, F (z) là hữu
hạn trong một hình tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 . Do đó F (z0 ) = ∞.
1
là chỉnh hình trong hình tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 .
Từ Định lý 1.2.5, hàm
F (z)
1
1
Khi đó các điểm của tâp σ là các không điểm của
, vì vậy hàm
F (z)
F (z)
cũng bằng 0 trong Γ0 và F (z) = ∞ trong Γ0 . Xét điểm z1 (z1 = z0 ) của D.
Nối z0 và z1 bởi một đường đa giác z = p(t)

(0

t

b) nằm trong D sao

cho p(0) = z0 , p(b) = z1 . Kí hiệu T là tập các số t (0 < t < b) sao cho:

F {p(t)} = ∞.

Với 0

t

(1.20)

t . Hiển nhiên tập T = ∅. Cho β(0 < β

nhỏ nhất của T . Khi đó (1.20) cố định với 0

b) là ràng buộc

t < β . Điểm z∗ = p(β) là

một điểm tụ của tập σ , do đó có một hình tròn Γ∗ : |z − z∗ | < r∗ trong đó

F (z) = ∞. Ta có β = b và F (z1 ) = ∞. Vì vậy F (z) là ∞.
2) Giả sử tập σ không có điểm tụ trong D. Xét một điểm z0 của D. Nếu

F (z0 ) = ∞, khi đó từ Định lý 1.2.5, hàm F (z) là hàm chỉnh hình trong
một hình tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 . Nếu F (z0 ) = ∞ khi đó từ Định lý 1.2.5 ,
1
là chỉnh hình trong hình tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 . Cho r0 là một số
hàm
F (z)
sao cho 0 < r0 r0 và F (z) = ∞ với 0 < |z − z0 | < r0 . Khi đó trong hình
1
tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 ta có thể viết F (z) =
, trong đó hàm G(z) là
G(z)

9


chỉnh hình trong Γ0 , G(z0 ) = 0 và G(z) = 0 với 0 < |z − z0 | < r0 . Do đó z0
là một cực điểm của F (z). Vậy F (z) là một hàm phân hình trong D.

1.3

Họ các hàm phân hình

Định nghĩa 1.3.1. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D. Ta
nói họ F là chuẩn tắc trong D, nếu từ mọi dãy hàm fn (z)(n = 1, 2, · · · )
của họ F, ta có thể trích ra một dãy con fnk (z)(k = 1, 2, · · · , nk < nk+1 ) là
một C0 -dãy trong D.
Định nghĩa 1.3.2. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D và

z0 là một điểm của D. Ta nói rằng họ F là chuẩn tắc tại z0 , nếu ta có thể
tìm thấy một hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D sao cho họ F là chuẩn tắc
trong Γ. Nếu F chuẩn tắc trong D thì F chuẩn tắc tại mỗi điểm của D.
Định lý 1.3.3. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D. Nếu họ
F chuẩn tắc tại mỗi điểm của D, khi đó F chuẩn tắc trong D.
Chứng minh. Đầu tiên ta tìm được một dãy các điểm zj (j = 1, 2, · · · ) của

D sao cho mỗi điểm của D là một điểm giới hạn của dãy zj (j = 1, 2, · · · ).
Cách để có một chuỗi các điểm đó là có một tập các điểm a + ib (a, b là các
số hữu tỷ) của D. Đây là một tập đếm được.
Xét một điểm zj . Từ giả thiết có một hình tròn |z − zj | < r thuộc D, trong
đó họ F chuẩn tắc. Cho Rj là chặn trên nhỏ nhất của tập các điểm r có
Rj
, nếu Rj < +∞ và hình

tính chất này. Cho Γj là hình tròn |z − zj | <
2
tròn |z − zj | < 1 nếu Rj = +∞. Γj thuộc D và họ F chuẩn tắc trong Γj .
Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm của họ F. Từ S ta trích ra
được một dãy con S1 : fα1 (z), fα2 (z), · · · đó là một C0 - dãy trong Γ1 .
Từ S1 ta có thể trích ra một dãy con S2 : fβ1 (z), fβ2 (z), · · · đó là một C0 dãy của Γ2 . Từ S2 ta có thể trích ra một dãy con S3 : fγ1 (z), fγ2 (z), · · ·
đó là một C0 - dãy của Γ3 . Theo cách này ta có một dãy liên tiếp của dãy

Sp (p = 1, 2, · · · ) sao cho với mỗi p

1, Sp là một C0 - dãy trong Γp và Sp+1

là một dãy con của Sp . Xét dãy đường chéo

S : fα1 (z), fβ2 (z), fγ3 (z), · · · , fλk (z), · · ·
10


S là một dãy con fnk (k = 1, 2, · · · ) của S . Khi đó với mỗi k , các số hạng
fnk (z), fnk+1 (z), · · · đều thuộc dãy Sk . Vì thế S là một C0 - dãy trong mỗi
hình tròn Γj (j = 1, 2, · · · ).
Xét một điểm z của D. Từ giả thiết, có một hình tròn Υ : |z − z | <

ρ(0 < ρ < 1) thuộc D, sao cho họ F chuẩn tắc trong Υ. Cho zj sao cho
ρ
|zj − z | < ρ với ρ = . Khi đó hình tròn |z − zj | < 2ρ thuộc Υ và do
4
đó F chuẩn tắc trong hình tròn |z − zj | < 2ρ . Từ định nghĩa của Rj , nếu
Rj < +∞, ta có:
Rj

,
2
và hình tròn |z − zj | < ρ thuộc Γj . Mặt khác, nếu Rj = +∞, khi đó ρ < 1,
2ρ

Rj , ρ

hình tròn |z − zj | < ρ cũng thuộc Γj . Nhưng z là một điểm của hình tròn

|z − zj | < ρ . Do đó z là một C0 - điểm của dãy S . Khi đó z ∈ D tùy ý.
Vậy S là một C0 - dãy trong D.
Định nghĩa 1.3.4. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D và

z0 là một điểm của D. Ta nói rằng họ F là liên tục đều tại z0 đối với khoảng
cách cầu nếu mỗi số dương ε tương ứng một số dương δ , sao cho hình tròn

Υ : |z − z0 | < δ thuộc D và với mỗi hàm f (z) của họ F, bất đẳng thức:
|f (z), f (z0 )| < ε,
cố định trong Υ. Nếu F là liên tục đều tại mỗi điểm của D đối với khoảng
cách cầu, ta nói F là liên tục đều trong D đối với khoảng cách cầu.
Bổ đề 1.3.5. Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy các hàm phân hình
trong một miền D và z0 là một điểm của D. Nếu z0 là C0 - điểm của S , khi
đó S là liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu.
Chứng minh. Giả sử có một hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D sao cho dãy

S hội tụ đều trong Γ đối với khoảng cách cầu. Cho một số dương ε, để N
là số nguyên dương sao cho khi n

N, m

N , ta có :

ε
|fn (z), fm (z)| < ,
3
11


trong Γ. Tiếp theo cho Γ : |z − z0 | < r (0 < r < r) sao cho:

ε
|fN (z), fN (z0 )| < ,
3
trong Γ . Khi đó với n

|fn (z), fn (z0 )|

N, z ∈ Γ , ta có:

|fn (z), fN (z)| + |fN (z), fN (z0 )| + |fN (z0 ), fn (z0 )|
ε ε ε
< + + .
3 3 3

Vì các hàm fn (z)(1

δ < r sao cho với 1

n < N ) là hữu hạn, ta có thể tìm một số dương
n < N và |z − z0 | < δ , ta có:

|fn (z), fn (z0 )| < ε.

Do đó với mỗi n

(1.21)

1, bất đẳng thức (1.21) cố định trong hình tròn |z −z0 | <

δ.
Định lý 1.3.6. Cho F là họ các hàm phân hình trong một miền D. Để họ
F là chuẩn tắc trong D, điều kiện cần và đủ là F liên tục đều trong D đối
với khoảng cách cầu.
Chứng minh. +) Điều kiện cần: Cho z0 là một điểm của D và giả sử F
không liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu . Khi đó δn (n = 1, 2, · · · )
là một dãy các số dương sao cho:

lim δn = 0,

(1.22)

n→+∞

với mỗi n, có một hàm fn (z) của F sao cho:

sup |fn (z), fn (z0 )|

ε0 ,

(1.23)

Υn

trong đó Υn biểu thị hình tròn |z − z0 | < δn . Do F là chuẩn tắc trong D, ta
có thể trích ra từ dãy fn (z)(n = 1, 2, · · · ) một dãy con fnk (z)(k = 1, 2, · · · )
là C0 - dãy trong D. Đặc biệt z0 là một C0 - điểm của dãy fnk (k = 1, 2, · · · ).
Từ Bổ đề 1.3.5 dãy fnk (k = 1, 2, · · · ) là liên tục đều tại z0 đối với khoảng
cách cầu. Điều này trái với (1.22) và (1.23). Vậy ta có mâu thuẫn.
+) Điều kiện đủ: Cho ζp (p = 1, 2, · · · ) là một dãy các điểm của D
sao cho mỗi điểm của D là một điểm giới hạn của dãy ζp (p = 1, 2, · · · ).
12


Cho S : fn (z)(n = 1, 2, · · · ) là một dãy của họ F. Xét dãy các điểm

fn (ζ1 )(n = 1, 2, · · · ) của C. Rõ ràng ta có thể tìm được một dãy con
fαj (ζ1 )(j = 1, 2, · · · ) của dãy fn (ζ1 )(n = 1, 2, · · · ) và một điểm w1 ∈ C
sao cho:

lim |fαj (ζ1 ), w1 | = 0.

j→+∞

Tiếp theo ta có thể tìm một dãy con fβl (ζ2 )(l = 1, 2, · · · ) của dãy fαj (ζ2 )(j =

1, 2, · · · ) và một điểm w2 ∈ C sao cho:
lim |fβl (ζ2 ), w2 | = 0,

l→+∞

và v.v.. Cuối cùng trong dãy đường chéo, ta thu được một dãy con fnk (z)(k =

1, 2, · · · ) của dãy S, sao cho với mỗi p

1 ta có:

lim |fnk (ζp ), wp | = 0,

(1.24)

k→+∞

trong đó wp ∈ C. Ta thấy dãy Fk (z) = fnk (z)(k = 1, 2, · · · ) là một C0 - dãy
trong D. Xét một hình tròn Γ : |z − z0 |

r thuộc D, cho một số dương ε

tùy ý, có một số nguyên dương K sao cho khi k

K, k

K và z ∈ Γ, ta

có:

|Fk (z), Fk (z)| < ε.
Xét một điểm z∗ ∈ Γ. Vì họ F là liên tục đều tại z∗ đối với khoảng cách cầu,
có một hình tròn Υz∗ : |z − z∗ | < ρ thuộc D, sao cho mỗi hàm f (z) ∈ F,
bất đẳng thức:

ε

|f (z), f (z∗ )| < ,
6
cố định trong Υz∗ . Khi đó xét một điểm ζp ∈ Υz∗ . Từ (1.24), có một số
dương Kz∗ sao cho k

Kz∗ , k

Kz∗ , ta có

ε
|Fk (ζp ), Fk (ζp )| < .
6
Khi đó với k

Kz∗ , k

|Fk (z), Fk (z)|

Kz∗ và z ∈ Υz∗ , ta có:

|Fk (z), Fk (z∗ )| + |Fk (z∗ ), Fk (ζp )| + |Fk (ζp ), Fk (ζp )|
5
+|Fk (ζp ), Fk (z∗ )| + |Fk (z∗ ), Fk (z)| < ε < ε.
6
13


Do đó mỗi điểm z∗ ∈ Γ tương ứng một hình tròn Υz∗ và một số nguyên
dương Kz∗ . Từ định lý phủ hữu hạn, ta có thể tìm một số hữu hạn các điểm

zj (j = 1, 2, · · · , m) của Γ sao cho:
m

Γ⊂

Υzj .
j=1

Mặt khác, cho

K = max Kzj .
1 j m

Khi đó số nguyên dương K có tính chất cần tìm.

Định nghĩa 1.3.7. Cho F là họ các hàm chỉnh hình trong miền D. Ta nói
rằng F là bị chặn đều địa phương trong D, nếu cho mỗi điểm z0 của D, ta
có thể tìm một hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D và một số dương M sao
cho đối với mỗi hàm f (z) ∈ F, bất đẳng thức:

|f (z)|

M,

(1.25)

cố định trong Γ.
Hệ quả 1.3.8. Cho F là họ các hàm chỉnh hình trong một miền D. Nếu F
bị chặn đều địa phương trong D, khi đó F chuẩn tắc trong D.
Chứng minh. Xét một điểm z0 của D. Từ giả thiết, ta có thể tìm một hình

tròn Γ : |z − z0 |

r thuộc D và một số dương M sao cho với mỗi hàm

f (z) ∈ F bất đẳng thức (1.25) cố định trong Γ. Xét một hàm f (z) ∈ F, khi
đó trong hình tròn Γ : |z − z0 | < r, ta có:

f (z) =

1
2πi

f (ζ)
dζ,
ζ −z
c

trong đó c là hình tròn |z − z0 | = r.
Từ công thức này ta suy ra với z ∈ Γ,

f (z) − f (z0 ) =

1
(z − z0 )
2πi
c

14

f (ζ)

dζ.
(ζ − z)(ζ − z0 )


Đặc biệt , với |z − z0 | <

r
2

ta có:

2M
|z − z0 |.
r

|f (z) − f (z0 )| <
Suy ra họ F liên tục đều tại z0 . Khi đó:

|f (z), f (z0 )|

|f (z) − f (z0 )|,

Khi đó F liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu. Vậy F liên tục đều
trong D đối với khoảng cách cầu, và từ Định lý 1.3.6 suy ra F chuẩn tắc
trong D.
Hệ quả 1.3.9. Cho F là một họ các hàm phân hình trong một miền D. Để
F chuẩn tắc trong D, điều kiện cần và đủ là với mỗi điểm z0 của D, ta có
thể tìm được một hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D và một số dương M sao
cho mỗi hàm f (z) của F thỏa mãn một trong hai bất đẳng thức trong Γ:

|f (z)| < M,

|

1
| < M.
f (z)

(1.26)

Chứng minh. Giả sử họ F chuẩn tắc trong D. Cho µ(1, 2) là số dương được
xác đinh trong Bổ đề 1.1.3 tương ứng cho A = 1, B = 2. Xét một điểm z0
của D. Từ Định lý 1.3.6, F liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu. Do
đó có hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D sao cho với mỗi hàm f (z) của F,
bất đẳng thức:

|f (z), f (z0 )| < µ(1, 2),
cố định trong Γ. Do đó từ Bổ đề 1.1.3, nếu |f (z0 )|

1, khi đó trong Γ ta

có:

|f (z)| < 2.
Nếu |f (z)| > 1 từ bất đẳng thức:

|

1
1

,
| < µ(1, 2),
f (z) f (z0 )

1
| < 2 trong Γ.
f (z)
Tiếp theo giả sử điều kiện trong Hệ quả 1.3.9 được thỏa mãn. Cho z0 là
cũng cố định trong Γ, ta có: |

15


một điểm của D. Khi đó từ giả thiết, ta có thể tìm được một hình tròn

Γ : |z − z0 | < r và một số dương M có tính chất được phát biểu trong hệ
quả. Từ Định lý 1.3.3 suy ra họ F chuẩn tắc trong D. Đặt F1 và F2 tương
ứng là các họ con của F của các hàm f (z) thỏa mãn trong bất đẳng thức
thứ nhất và thứ hai của (1.26). Khi đó F1 là họ các hàm chỉnh hình bị chặn
đều trong Γ. Từ chứng minh của Hệ quả 1.3.8, F liên tục đều trong Γ đối
với khoảng cách cầu. Tương tự ta suy ra điều này cũng đúng đối với F2 .
Vậy họ F liên tục đều trong Γ đối với khoảng cách cầu và do đó chuẩn tắc
trong Γ do Định lý 1.3.6 .
Bổ đề 1.3.10. Cho f (z) là một hàm phân hình trong một miền D và z0 là
một điểm của D. Khi đó giới hạn:

|f (z), f (z0 )|
.
z→z0
|z − z0 |

∂(z0 , f ) = lim

(1.27)

tồn tại và là hữu hạn, ta có công thức:

∂(z0 , f ) =

|f (z0 )|
,
1 + |f (z0 )|2

(1.28)

với điều kiện, trong trường hợp f (z0 ) = ∞, vế phải của (1.28) được hiểu là
giới hạn

|f (z)|
,
z→z0 1 + |f (z)|2
lim

∂(z0 , f ) được gọi là đạo hàm cầu của hàm f (z) tại z0 .
Chứng minh. Chia hai trường hợp:
1) f (z0 ) = ∞. Khi đó có một hình tròn |z − z0 | < r thuộc D, trong đó
hàm f (z) là chỉnh hình và theo công thức :

|f (z), f (z0 )| |f (z) − f (z0 )|
1

=
1
1 ,
|z − z0 |
|z − z0 |
(1 + |f (z)|2 ) 2 (1 + |f (z0 )|2 ) 2
với 0 < |z − z0 | < r, ta có:

|f (z), f (z0 )|
|f (z0 )|
=
.
z→z0
|z − z0 |
1 + |f (z0 )|2
lim

16


2) f (z0 ) = ∞. Khi đó hàm g(z) =

1
là phân hình trong D và
f (z)

g(z0 ) = 0. Do đó:
|g (z0 )|
|g(z), g(z0 )|
=

.
z→z0
|z − z0 |
1 + |g(z0 )|2
lim

Tiết theo, từ :

|g(z), g(z0 )| = |f (z), f (z0 )|,
và khi z = z0 là lân cận của z0 ,

|g (z)|
|f (z)|
=
.
1 + |g(z)|2
1 + |f (z)|2
Ta có:

|f (z), f (z0 )|
|g (z0 )|
|f (z)|
=
lim
.
=
z→z0
|z − z0 |
1 + |g(z0 )|2 z→z0 1 + |f (z)|2
lim

∂(z, f ) là hàm liên tục trong D. Cho z0 là một điểm của D. Khi đó trong
một hình tròn |z − z0 | < r, f (z) là chỉnh hình và:

∂(z, f ) =

f (z)
,
1 + |f (z)|2

Do đó ∂(z, f ) liên tục tại z0 . Nếu f (z0 ) = ∞ điều này cũng đúng do đẳng
thức:

1
∂(z, f ) = ∂(z, ).
f

(1.29)

Bổ đề 1.3.11. Cho f (z) là một hàm phân hình trong một miền D. Cho

z1 , z2 (z1 = z2 ) là hai điểm của D sao cho đoạn σ : z = z1 + t(z2 − z1 )(0
t

1) thuộc D. Tập m = max ∂(z, f ). Khi đó ta có:
z∈σ

|f (z1 ), f (z2 )|

m|z1 − z2 |.

(1.30)

Chứng minh. Xét một số dương ε ta có:

|f (z1 ), f (z2 )| < (m + ε)|z1 − z2 |.

(1.31)

Giả sử (1.31) không đúng. Cho ζ là trung điểm của σ , chia σ thành hai
đoạn σ : z1 ζ và σ : ζz2 . Ta không thể có cùng một lúc

|f (z1 ), f (ζ)| < (m + ε)|z1 − ζ|,
17

(1.32)


|f (ζ), f (z2 )| < (m + ε)|ζ − z2 |,

(1.33)

vì nếu không ta sẽ có:

|f (z1 ), f (z2 )|

|f (z1 ), f (ζ)| + |f (ζ), f (z2 )|

< (m + ε)(|z1 − ζ| + |ζ − z2 |) = (m + ε)|z1 − z2 |.
Do đó ít nhất một trong hai bất đẳng thức (1.32) và (1.33) không đúng.

(1) (1)

Kí hiệu các đoạn tương ứng bởi: σ1 : z1 z2

đó là một trong những đoạn

σ và σ . Lại chia σ1 thành hai đoạn bởi trung điểm của nó và lặp lại
(2) (2)

đối số tương tự, ta có đoạn σ2 : z1 z2 . Tiếp tục theo cách này ta nhận
(n) (n)

liên tiếp một dãy các đoạn σn : z1 z2 (n = 1, 2, · · · ; σ0 = σ) sao cho

σn+1 ⊂ σn (n = 0, 1, 2, · · · ) và:
(n)

(n)

|f (z1 ), f (z2 )|

(n)

(n)

(m + ε)|z1 − z2 |(n = 0, 1, 2, · · · ).

(1.34)

Cho z0 là một điểm sao cho z0 ∈ σn (n = 1, 2, · · · ). Khi đó

|f (z), f (z0 )|
= ∂(z0 , f ),
z→z0
z − z0
lim

có một hình tròn Υ : |z − z0 | < δ thuộc D, sao cho trong Υ ta có:

|f (z), f (z0 )| = ∂(z0 , f )|z − z0 | + η(z)|z − z0 |.

(1.35)

trong đó η(z) thỏa mãn bất đẳng thức:

|η(z)| < ε.

(1.36)

trong Υ . Hiển nhiên khi n đủ lớn, σn ⊂ Υ , do đó :
(n)

|η(zj )| < ε (j = 1, 2),
và
(n)

(n)

|f (z1 ), f (z2 )|
(n)

(n)

(n)

|f (z1 ), f (z0 )| + |f (z0 ), f (z2 )|
(n)

< {∂(z0 , f ) + ε} (|z1 − z0 | + |z2 − z0 |)

(n)

(n)

(m + ε)|z1 − z2 |.

bất đẳng thức này không tương thích với (1.34) vì vậy ta có mâu thuẫn.
Cuối cùng trong (1.31) cho ε → 0 ta nhận được (1.30).
18


Định lý 1.3.12. Cho F là một họ các hàm phân hình trong một miền D.
Để họ F chuẩn tắc trong D điều kiện cần và đủ là họ:
F∗ = {∂(z, f )|f ∈ F} .

(1.37)

bị chặn đều địa phương trong D.
Chứng minh. Giả sử họ F∗ bị chặn đều địa phương trong D. Cho z0 là một
điểm của D, khi đó có một hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D và một số

dương M sao cho mỗi hàm f (z) ∈ F, ta có:

∂(z, f )

M,

(1.38)

trong Γ. Từ Bổ đề 1.3.11 với mỗi hàm f (z) ∈ F ta có:

|f (z), f (z0 )|

M |z − z0 |,

trong Γ. Suy ra họ F liên tục đều tại z0 đối với khoảng cách cầu và từ Định
lý 1.3.6 họ F chuẩn tắc trong D.
Ngược lại, giả sử họ F chuẩn tắc trong D. Cho z0 là một điểm của D và giả
sử ta không thể tìm được một hình tròn Γ : |z − z0 | < r thuộc D và một
số dương M sao cho với mỗi hàm f (z) ∈ F ta có (1.38) trong Γ. Lấy hai
dãy số dương rn và Mn (n = 1, 2, · · · ) hội tụ tương ứng tới 0 và +∞. Khi
đó mỗi n tương ứng với một hàm fn (z) ∈ F sao cho:

sup ∂(z, fn ) > Mn ,

(1.39)

z∈Γn

trong đó Γn kí hiệu là hình tròn |z − z0 | < rn . Từ dãy fn (z)(n = 1, 2, · · · )
ta có thể trích ra một dãy con fnk (z)(k = 1, 2, · · · ) là một C0 - dãy trong

D. Đặc biệt z0 là một C0 - điểm của dãy đó. Cho F (z) là hàm giới hạn của
dãy này đối với khoảng cách cầu. Từ Định lý 1.2.5 tồn tại hai trường hợp:
1) F (z) = ∞. Khi đó ta tìm được một hình tròn Γ0 : |z − z0 | < r0 (Γ0 ⊂

D) và một số nguyên dương k0 sao cho hàm fnk (z)(k

k0 ) và F (z) chỉnh

hình trong Γ0 , khi k → +∞, fnk (z) hội tụ đều trong Γ0 đến F (z). Khi đó
với k

k0 , z ∈ Γ0 ta có:
∂(z, fnk ) =

|fnk (z)|
1 + |fnk (z)|2
19

|fnk (z)|,