lý thuyết sự xác định duy nhất các hàm phân hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM
_______________


Nguyễn Công Minh



LÝ THUYẾT SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT
CÁC HÀM PHÂN HÌNH




Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số : 60 46 01



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG


Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
MỞ ĐẦU

Lý thuyết về sự xác định duy nhất các hàm phân hình nghiên cứu những điều kiện mà tồn tại duy nhất một
hàm phân hình thoả mãn các điều kiện này. Ta đã biết các đa thức được xác định bởi các không điểm của nó
( sai khác một nhân tử hằng ), nhưng điề u đó không đúng đối với hàm ng uyên và hàm phân hình siêu việt.
Ví dụ như hai hàm
z
e
và
z
e
−
nhận chung các điểm
1,0,±∞
. Do đó việc xác định duy nhất các hàm phân
hình là đề tài hấp dẫn và phức tạp. Trong lĩnh vực này, lý thuyết phân bố giá trị được xây dựng bởi
Nevanlinna trở thành một công cụ chính cho việc nghiên cứu. Nevanlinna đã chứng minh được rằng hàm
phân hình khác hằng có thể được xác định duy nhất bởi 5 điểm, nghĩa là nếu hai hàm phân hình
f
và
g

nhận cùng 5 giá trị thì
fg≡
. Chắc chắn rằng số 5 trong định lý của Nevanlinna có thể giảm xuống khi
chúng ta thêm vào điều kiện. Trong luận văn này tôi sẽ trình b ày một số kết quả và phương pháp khác nhau
để xác định duy nhất các hàm phân hình dưới những điều kiện khác nhau.
Luận văn này chủ yếu dựa vào tài liệu “Uniqueness Theory of Meromorphic Functions” của Chung-Chun
Yang và Hong-Xun Yi, là quyển sách đầu tiên về lý thuyết xác định duy nhất các hàm phân hình, tập hợp
hầu hết những kết quả mới nhất trong lĩnh vực này những năm gần đây và các bài báo liên quan.
Nội dung luận văn gồm 4 chương:
▪ Chương 1 trình bày tóm lược một số kiến thức chuẩn bị.

▪ Chương 2 trình bày các định lý liên quan đến tổ hợp các hàm phân hình, là bước chuẩn bị cho việc
nghiên cứu sự xác định duy nhất các hàm phân hình ở chương sau.
▪ Chương 3 trình bày các kết quả về sự xác định duy nhất các hàm phân hình kh i chúng chia nhau 5, 4, 3,
2, 1 giá trị, và sự xác định duy nhất nghiệm của phương trình vi phân.
▪ Chương 4 trình bày sự xác định duy nhất của các hàm phân hình chia giá trị với đạo hàm của nó.
Tôi xin chân thành cám ơn Tiến sĩ Nguyễn Văn Đông đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành tốt luận văn này.
Tp. Hồ Chí Minh – Tháng 11 năm 2009




Chương 1:
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA
Định lý cơ bản của đại số nói rằng một đa thức bậc p với biến số phức nhận một giá trị nào đó đúng p
lần kể cả bội. Các nhà toán học thế giới có nhiều nổ lực mở rộng định lý này cho hàm chỉnh hình và hàm
phân hình.
Vào thế kỉ thứ XIX, Picard [Picard 1897] đã khái quát định lý cơ bản của đại số bằng cách chứng minh
rằng một hàm nguyên siêu việt – một dạng của đa thức bậc vô hạn – phải nhận tất cả các giá trị vô hạn lần
ngoại trừ một giá trị phức. Chẳng hạn hàm nguyên
z
e
nhận các giá trị một cách vô hạn lần nhưng không bao
giờ nhận giá trị 0. Do vậy, sự khái quát “ngây thơ” của định lý cơ bản của đại số mà người ta có thể tưởng
tượng là có thể không đúng cho hàm nguyên. Ngoài ra các hàm siêu việt có thể nhận các giá trị vô hạn lần,
nhưng ta không thể thật sự nói được tổng số lần mà hàm số nhận một giá trị. Vì hàm phân hình trên toàn mặt
phẳng phức chỉ có thể có quá lắm hữu hạn không điểm trong một đĩa hữu hạn, những gì chúng ta có thể nói
và sẽ nói thay cho số lần nhận là tốc độ mà số các không điểm trong một đĩa bán kính r tăng khi
r →∞
.

Cho
f
là hàm phân hình và
a ∈
, lý thuyết Nevanlinna nghiên cứu mối liên hệ giữa ba hàm sau:
1
,Nr
fa


−

,
1
,mr
fa


−

,
( )
,Trf
.
◦ Hàm
1
,Nr
fa



−

là “hàm đếm” vì nó đếm, như là trung bình loga, số lần
f
nhận giá trị
a
trên đĩa tròn
bán kính r.
◦ Hàm
1
,mr
fa


−

là hàm xấp xỉ trung bình đo độ gần
a
của giá trị hàm
f
trên đường tròn tâm O bán
kính r .
◦ Hàm
( )
,Trf
là hàm đặc trưng. Hàm đặc trưng đóng vai trò trong định lý Nevanlinna như là bậc của đa
thức trong định lý cơ bản của đại số.
Vì
1
,0mr

fa

≥

−

và
1
,Tr
fa


−

không phụ thuộc
a
nên định lý cơ bản thứ nhất nói rằng
f
có thể
nhận giá trị
a
không thể cao đến nỗi mà
1
,Nr
fa


−

tăng nhanh hơn

( )
,Trf
. Điều này tương tự phát
biểu một đa thức bậc p nhận giá trị
a
tối đa p lần.


Định lý cơ bản thứ nhất còn nói rằng: tổng
11
,,Nr mr
fa fa

+

−−

độc lập với
a
. Do đó ta có thể viết
( )
11
,, ,Trf Nr mr
fa fa

= +

−−

. Như vậy nếu

f
nhận giá trị
a
với một tần số đủ nhỏ để
1
,Nr
fa


−

không tăng nhanh như
( )
,Trf
thì hàm
1
,mr
fa


−

sẽ bổ sung theo nghĩa là ảnh của
f
gần
với giá trị
a
với những cung đủ lớn trên đường tròn lớn tâm O. Nghĩa là một hàm phân hình nhận một giá
trị đặc biệt kém thường xuyên hơn mong đợi thì nó sẽ bù lại bằng cách dành nhiều lần gần giá trị đó.
Định lý cơ bản thứ nhất cho một chặn trên ( theo thuật ngữ tăng của hàm số ) mà một hàm phân hình có thể

thường xuyên nhận mọi giá trị. Điều này tương tự phát biểu một đa thức bậc p có thể nhận mọi giá trị nhiều
nhất p lần.
Định lý cơ bản thứ hai cung cấp một cận dưới của tổng hữu hạn các hàm đếm
1
,
j
Nr
fa



−

với bán kính
đủ lớn tùy ý.
Như vậy cùng với định lý cơ bản thứ nhất, định lý cơ bản thứ hai cho ta một khái quát định lý cơ bản của đại
số.
1.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1: Cho
( )
fz
là hàm phân hình khác hằng trên

và
a
là số phức.
▪ Các hàm đếm:
◦
( )
,nrf

là hàm đếm các cực điểm của
f
trong đĩa tròn đóng
( )
Dr
( kể cả bội ).
◦
1
,nr
fa


−

là hàm đếm số không điểm của
fa−
trong
( )
Dr
( kể cả bội ).
◦
1
,nr
fa


−

đếm số không điểm của
fa−

trong
( )
Dr
( không kể bội ).
◦
)
1
,
k
nr
fa


−

đếm số không điểm của
fa−
trong
( )
Dr
mà bội của không điểm không lớn hơn k và
chỉ đếm 1 lần;
(1
1
,
k
nr
fa
+



−

đếm số không điểm trong
( )
Dr
mà bội của không điểm lớn hơn k và chỉ
đếm 1 lần.
◦
1
,
p
nr
fa


−

đếm số không điểm của
fa−
trong
( )
Dr
mà bội lớn hơn p thì được đếm p lần.
◦
0
11
, 0,
11
, 0, .log

r
nt n
fa fa
N r n r dt
fa fa t
  
−
  
−−
  
  
= +
  
−−
  
∫



◦ Hàm
1
,Nr
fa


−

,
)
1

,
k
nr
fa


−

,
(1
1
,
k
nr
fa
+


−

,
)
1
,
k
Nr
fa


−


,
(1
1
,
k
Nr
fa
+


−

,
)
1
,
k
Nr
fa


−

,
(1
1
,
k
Nr

fa
+


−

,
1
,
p
Nr
fa


−

được định nghĩa tương ứng.
▪ Hàm xấp xỉ:
( )
2
0
11 1
, log
2
i
mr d
fa
f re a
π
θ

θ
π
+

=

−
−

∫

▪ Hàm đặc trưng:
111
,,,
Tr mr Nr
fa fa fa

= +

−−−


▪ Số khuyết:
( )
( ) ( )
11
,,
, lim 1 lim
,,
r

r
mr Nr
fa fa
af
Trf Trf
δ
→∞
→∞
 
 
−−
 
= = −


( )
( )
1
,
, 1 lim
,
r
Nr
fa
af
Trf
→∞


−


Θ=−

▪ Bậc và bậc dưới của hàm phân hình:
( )
log ,
lim
log
r
Trf
r
λ
+
→∞
=
;
( )
log ,
lim
log
r
Trf
r
µ
+
→∞
=

▪ Kí hiệu:
(

) ( )
( )
,,Srf oTrf=

( )
,r rE→∞ ∉
, E là tập có độ đo tuyến tính hữu hạn.
▪ Hàm
( )
az
được gọi là hàm nhỏ của
( )
fz
nếu
( ) ( )
( )
,,Tra oTrf=
.
Định nghĩa 1.2: Cho
f
là hàm phân hình trên mặt phẳng phức và
a
là giá trị hữu hạn. Nếu
( )
fz a−

không có không điểm thì
a
được gọi là giá trị Picard của
( )

fz
.
1.2 Một số kết quả chuẩn bị
♦ Định lý 1.1 ( Định lý cơ bản thứ nhất ): Cho
f
là hàm phân hình trong
( )
zR≤ ≤∞
, và
a
là số phức tuỳ
ý. Khi đó với
0 rR<<
ta có
( ) ( )
1
, , log ,T r T r f c ar
fa
λ
ε

= ++

−


trong đó
c
λ
là hệ số khác 0 đầu tiên trong khai triển Laurent của

( )
1
fz a−
tại 0 và
( )
, log log 2ar a
ε
+
≤+
.
♦ Định lý 1.2 ( Định lý cơ bản thứ hai ): Cho
f
là hàm phân hình trên mặt phẳng phức và
12
, , ,
q
aa a

( )
3q ≥
là các giá trị phân biệt trên mặt phẳng phức mở rộng. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1
2. , , ,
q
j
j
q Trf Nr N r Srf

fa
=

− < −+


−

∑



và
( ) ( ) ( )
0
1
11
2. , , , ,
'
q
j
j
q Trf Nr N r Srf
fa f
=


−< −+




−


∑

trong đó
( ) ( ) ( )
1
1
2. , , ' ,
'
N r Nrf Nrf Nr
f

= −+




0
1
,
'
Nr
f



là không điểm của

'f
mà không là không điểm của
j
fa−

( )
1,jq=


♦ Định lý 1.3: ( Định lý cơ bản thứ hai với hàm nhỏ ): Cho
( )
fz
là hàm phân hình siêu việt trên mặt phẳng
phức và
( ) ( )
1,2,
i
az i q=
là các hàm nhỏ phân biệt của
( )
fz
. Khi đó với mọi
0
ε
>
ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1 ., , , ,

q
j
j
q Trf Nrf Nr Srf
fa
ε
=

−− < + +


−

∑

Hơn thế, nếu
3q ≥
thì tồn tại số nguyên dương p sao cho
( ) ( ) ( )
1
1
2 ., , ,
q
p
j
j
q Trf N r Srf
fa
ε
=


−− < +


−

∑

♦ Định lý 1.4: Cho
( )
fz
là hàm phân hình khác hằng và
( ) ( )
1,2,3,4,5
i
az i=
là các hàm nhỏ phân biệt của
( )
fz
. Khi đó
( ) ( )
5
1
1
2. , , ,
j
j
Trf Nr Srf
fa
=


<+


−

∑

♦ Định lý 1.5: Cho
( ) ( )
,fz gz
là hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức ,
( )
f
λ
là bậc của
( )
fz
và
( )
g
µ
là bậc dưới của
( )
gz
. Nếu
( ) ( )
fg
λµ
< thì

( ) ( )
( )
( )
, ,,Trf oTrg r= →∞
.
♦ Định lý 1.6 ( Định lý Milloux ): Cho
( )
fz
là hàm phân hình trên mặt phẳng phức và k là số nguyên
dương. Đặt
( ) ( )
( )
( )
0
.
k
i
i
i
z azf z
ψ
=
=
∑
trong đó
( ) ( )
1,2,
i
az i k=
là các hàm nhỏ của

( )
fz
. Khi đó ta có:
( )
,,mr Srf
f
ψ

=



và
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,.,, 1.,,
Tr Trf kNrf Srf k Trf Srf
ψ
≤ + + ≤+ +

và
( ) ( ) ( )
0
11 1
,,, , , ,
1'
Trf Nrf Nr Nr N r Srf
f
ψψ

 

<+ + − +

 
−
 


trong đó
0
1
,
'
Nr
ψ



là hàm đếm không điểm của
'
ψ
mà không là không điểm của
1
ψ
−
.
♦ Định lý 1.7: Cho
( )
fz
là hàm phân hình siêu việt trên mặt phẳng phức và k là số nguyên dương. Khi đó,
với

0
ε
>
cố định cho trước ta có
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
11 1 1 1
, 1 ., 1 ., , ., ,
1
kk
Trf Nr Nr Nr Trf Srf
kfk
ff
ε
+
  

 
<+ ++ − + +
  

 
  
−
 

  

♦ Định lý 1.8: Cho
( )
fz
là hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức. Nếu
0, ∞
là giá trị Picard của
( )
fz
thì tồn tại hàm nguyên khác hằng
( )
hz
sao cho
( )
( )
hz
fz e=
.

♦ Định lý 1.9: Cho
( )
hz
là hàm nguyên khác hằng và
( )
( )
hz
fz e=
. Khi đó


i)

( ) ( )
( )
( )
, ,,Trh oTrf r= →∞
.
ii)
( ) ( )
,' ,T rh S r f=

♦ Định lý 1.10: Đặt
( ) ( )
1,2, ,
j
gz j n=
là các hàm nguyên và
( ) ( )
0,1, ,
j
az j n=
là các hàm phân hình
thoả
( )
( )
( )( )
1
, , , , 1,2, ,
k
n
g
j

k
Tra o Tre r r E j n
=

= →∞ ∉ =


∑
.
Nếu
( )
( )
( )
0
1
.
j
n
gz
j
j
a ze a z
=
≡
∑
thì tồn tại các hằng số
( )
1,2, ,
j
cj n=

, ít nhất một trong số đó khác hằng, sao
cho
( )
( )
1
0
j
n
gz
jj
j
ca ze
=
≡
∑
.
♦ Định lý 1.11: Cho
( )
hz
là hàm nguyên khác hằng và
( )
( )
hz
fz e=
,
λ
và
µ
là bậc và bậc dưới của
( )

fz
.
Ta có
(i) Nếu
( )
hz
là đa thức bậc p thì
p
λµ
= =
.
(ii) Nếu
( )
hz
là hàm nguyên siêu việt thì
λµ
= = ∞
.
♦ Định lý 1.12: Mọi hàm phân hình trong mặt phẳng phức có nhiều nhất hai giá trị Picard.

Chương 2:
CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN
TỔ HỢP CÁC HÀM PHÂN HÌNH
Trong chương này ta sẽ trình bày các định lý về tổ hợp các hàm phân hình, bao gồm các kết quả thu được
bởi Nevanlinna, Borel, Niiino – Ozawa đóng vai trò quan trọng trong việc xác định duy nhất các hàm phân
hình.

♦ Định lý 2.1: ( Định lý Borel tổng quát )
Giả sử
( ) ( )
1
, ,
n
fz fz
là các hàm phân hình độc lập tuyến tính thoả
1
1
n
j

j
f
=
≡
∑
(2.1)
Khi đó với
1 jn≤≤
ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
11
11
, , ,, ,,
nn
j jk
kk
k
Trf Nr Nrf NrD Nrf Nr Sr
fD
= =


≤ + +− − +




∑∑
(2.2)

trong đó D là định thức Wronskian
( )
1
, ,
n
Wf f
,

( ) ( )
( )
( )
,,Sr oT r r r E= →∞ ∉
E là tập có độ đo tuyến tính hữu hạn (2.3)
và
( ) ( )
{ }
1
max ,
k
kn
Tr Trf
≤≤
=
(2.4)
Chứng minh:
Lấy đạo hàm hai vế (2.1) ta có
( )
1
0
n

k
j
j
f
=
≡
∑

( )
1, , 1kn= −
(2.5)
Bởi vì
( ) ( )
1
, ,
n
fz fz
độc lập tuyến tính nên
0D ≡
/
. Từ (2.1), (2.5) ta có
j
DD=

( )
1, ,jn=
, trong đó
j
D
là định thức con của D thu được bằng cách bỏ hàng 1, cột j của D. Vì thế

1
1
23
1
12
.
.
n
n
D
ff f
f
D
ff f


∆

= =

∆


(2.6)
( ) ( )
( )
'
''
12

12
1
11
12
12
1 1 1



n
n
n
nn
n
n
f
ff
ff f
f
ff
ff f
−
−−
∆=
và
( )
( )
'
'
2

2
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
f
f
ff
f
f
ff
−
−
∆=



(2.7)
Từ (2.6), theo định lý cơ bản thứ nhất ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
11 1
11

, , , , , , ,1mrf mr mr mr mr Nr N r O
 
≤ ∆ + ≤ ∆ + ∆+ ∆− +
 
∆∆
 
(2.8)
Bởi vì
12
.
n
D
ff f
∆=
ta có

( ) ( ) ( )
11
11 1
,, , , ,,
nn
k
kk
k
Nr Nr Nr Nrf NrD Nr
fD
= =

 
∆− = − + −


 
∆
 

∑∑
(2.9)


Vì
( )
( )
( )
, , , 1, , 1, 1
k
j
j
j
f
mr Srf Sr j nk n
f


= = = = −


( định lý Milloux )
nên ta có
( ) ( ) ( )
1

,,mr mr Sr∆ + ∆=
(2.10)
Từ (2.8), (2.9), (2.10) ta được
( ) ( ) ( )
111
,,,Trf mrf Nrf= +


( ) ( ) ( )
( )
1
11
11
, ,, , ,
nn
k
kk
k
Nr Nrf NrD Nrf Nr Sr
fD
= =


≤ ++− − +




∑∑
■

♦ Định lý 2.2: Với giả thiết của 2.1 và nếu
( ) ( )
1
,
n
k
k
Nrf Sr
=
=
∑
thì
( )
( )
1
11
, ,,
n
j
k
k
Trf Nr Nr Sr
fD
=


≤ −+





∑

Chứng minh:
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
, , , 1,
n
kk
k
NrD NrD Nrf n Nrf
=

= ≤ +−

∑

Vì thế
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
12
,,,,,
nn
kk
kk
Nrf NrD Nrf NrD Nrf
= =
+− =−

∑∑


( )
( ) ( )
( )
21
1. , 1. ,
nn
kk
kk
n Nrf n Nrf
= =
≤− ≤−
∑∑
(2.11)
Từ (2.11) và định lý 2.1 ta được
( )
( )
1
1
11
, ,,
n
k
k
Trf Nr Nr Sr
fD
=



≤ −+




∑
■


♦ Định lý 2.3: Giả sử
( ) ( )
1
, ,
n
fz fz

( )
2n ≥
là các hàm phân hình thoả các điều kiện:
(i)
( )
1
.0
n
jj
j
Cf z
=
≡

∑
trong đó
( )
1,
j
Cj n=
là các hằng số.
(ii)
( )
( )
0 1,
j
fz j n
≡=
/
và
( )
( )
j
k
fz
fz
khác hằng với
1 jkn≤<≤
.
(iii)
( )
( )
( )
1

1
,,
n
j
j
j
Nrf Nr o r
f
τ
=


+=






∑
,
( )
1
min ,
j
jkn
k
f
r Tr
f

τ
≤<≤



=








Khi đó
( )
0 1,
j
C jn= =
.
Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp.
▪ Với
2n =
ta có
( ) ( )
11 2 2
. .0
Cf z Cf z
+≡
. Nếu một trong hai giá trị

12
,
CC
khác 0, giả sử
1
0C ≠
ta có
( )
( )
1
2
21
fz
C
fz C
≡−
( mâu thuẫn với (ii)). Do đó
12
0CC= =
nên định lý đúng với
2n =
.
▪ Giả sử định lý đúng với
2n ≥
. Ta chứng minh định lý đúng với
1n +
.
Thật vậy, nếu các hàm phân hình
( )
( )

1, 1
j
fz j n= +
thoả mãn điều kiện của định lý, ta có
( )
1
1
.0
n
jj
j
Cf z
+
=
≡
∑

(2.12)
Nếu một trong các
( )
1, 1
j
Cj n= +
khác 0. Ta sẽ chứng minh tất cả
j
C
đều khác 0. Thật vậy nếu trái lại,
không mất tính tổng quát, giả sử
1
0

n
C
+
=
. Từ (2.12) ta có
( )
1
.0
n
jj
j
Cf z
=
≡
∑
, và do
( )
( )
1,
j
fz j n=
thoả mãn
các giả thiết của định lý nên theo giả thuyết quy nạp ta có
( )
0 1,
j
C jn= =
( mâu thuẫn giả sử ). Vậy
( )
0 1, 1

j
C jn≠=+
.
Đặt
( )
( )
(
)
( )
11
.
, 1,
.
jj
j
nn
Cf z
gz j n
Cf z
++
=−=
(2.13)
Từ (2.12) ta có
( )
1
1
n
j
j
gz

=
≡
∑
.
Nếu
( )
( )
1,
j
gz j n=
phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại các hằng số
( )
1,
j
aj n
=
( một trong số chúng khác 0 )
sao cho
( )
1
.0
n
jj
j
ag z
=
≡
∑
. Do đó
( )

1
0
n
j jj
j
aC f z
=
≡
∑
.
Theo giả thuyết quy nạp ta có
.0
jj
aC=

( )
1,jn=
. Bởi vì một trong các
( )
1,
j
aj n=
khác 0, giả sử
1
0a ≠

ta suy ra
1
0C =
( mâu thuẫn vì

( )
0 1,
j
C jn≠=
). Do đó
( )
( )
1,
j
gz j n=
độc lập tuyến tính.
Đặt
( ) ( )
{ }
1
max ,
k
kl
Tr Trg
≤≤
=
,
1,jn∀=
từ (2.13) ta có
( ) ( )
( )
1
1
11 1
,, ,,, ,

j jn
jj n
Nrg Nr Nrf Nr Nrf Nr
gf f
+
+
 

+ ≤+ + +
 

 

 

Từ (iii) ta có
( )
( )
1
,,
j
j
Nrg N r Sr
g

+=



, trong đó

( ) ( )
( )
( )
,,Sr oT r r r E= →∞ ∉
. Vì thế
( )
( )
1
,
n
j
j
Nrg Sr
=
=
∑
và
( )
1
1
,
n
j
j
Nr Sr
g
=

=




∑
.


Áp dụng định lý 2.2 ta có
( ) ( )
,
k
T rg Sr≤
,
( )
1,
kn
=
. Do đó
( ) ( )
Tr Sr≤
( vô lý ).
Vì thế tất cả
( )
0 , 1, 1
j
C jn= = +
.
Vậy định lý đúng với
1n +
■
♦ Định lý 2.4: Giả sử

( ) ( )
1
, ,
n
fz fz
,
( )
2n ≥
là các hàm phân hình và
( ) ( )
1
, ,
n
gz gz
là các hàm nguyên
thoả các điều kiện:
(i)
( )
( )
1
.0
j
n
gz
j
j
f ze
=
≡
∑

(ii)
( ) ( )
jk
gz gz−
khác hằng với
1 jkn≤<≤
.
(iii) Với
1 jn≤≤
,
1 hkn≤<≤
ta có
( )
( )
{ }
,,
hk
gg
j
Trf oTre
−
=
,
( )
,r rE→∞ ∉
.
Khi đó
( )
0

j
fz≡
,
1 jn≤≤
.
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng quy nạp.
▪ Khi
2n =
: điều kiện (i) trở thành
( )
( )
( )
( )
12
12
. .0
gz gz
f ze f ze
+≡
. Nếu một trong
( ) ( )
12
,fz fz
không đồng
nhất 0, giả sử
( )
1
0fz≡
/

thì
( ) ( )
( )
( )
12
2
1
gz gz
fz
e
fz
−
≡−
. Do đó theo điều kiện (iii) ta có
( )
( ) ( ) ( )
( )
{ }
12 12
2
12
1
, , , ,1 ,
gg gg
f
Tre Tr Trf Trf O oTre
f
−−

= ≤ + +=



( vô lý ).
Vậy định lý đúng với
2n =
.
▪ Giả sử định lý đúng với
( )
2n ≥
. Ta chứng minh định lý đúng với
1n +
.
Giả sử
( )
j
fz
,
( )
j
gz
( )
1, 1jn= +
thoả mãn các điều kiện của định lý và một trong các
( )
j
fz

( )
1, 1jn= +

không đồng nhất 0. Trái lại, không mất tính tổng quát ta giả sử
( )
1
0
n
fz
+
≡
, khi đó
( )
( )
1
.0
j
n
gz
j
j
f ze
=
≡
∑
. Do
( )
j
fz

( )
1,jn=
thoả các điều kiện của định lý nên theo giả thuyết quy nạp ta có

( )
0
j
fz≡

( )
1,
jn
=
( mâu
thuẫn giả sử ). Vậy
( )
0
j
fz≡
/

( )
1, 1jn= +
.
Đặt
( ) ( )
( )
.
j
gz
jj
F z f ze=
,
1

j
C =

( )
1, 1jn= +
(2.14)
Từ (i) ta có
( )
1
1
.0
n
jj
j
CF z
+
=
≡
∑
.


Ta thấy
( )
0
j
Fz≡
/

( )

1, 1jn= +
và
( )
( )
j
k
Fz
Fz

( )
11
jkn≤<≤+ khác hằng . Hơn thế với
1, 1jn= +
,
11hkn≤<≤+
,
,r rE→∞ ∉
ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
{ }
11
, , , , 2. , 1 ,
hk
gg
jj j
jj
NrF Nr Nrf Nr Trf O oTre
Ff

−
 
+ ≤ + ≤ +=
 
 
 
(2.15)
Bởi vì
.
hk
gg
hh
kk
Ff
e
Ff
−
=
nên suy ra
( )
( ) ( )
( )
, ,. , , , 1
hk
gg
kh h
kh
hk k
fF F
Tre Tr Trf Trf Tr O

fF F
−
  
= ≤++ +
  
  


( )
{ }
,,
hk
gg
h
k
F
T r oT re
F
−

= +



( )
,r rE→∞ ∉

Vì thế
( )
,,

hk
gg
h
k
F
T re OT r
F
−



=





,
( )
,r rE→∞ ∉
(2.16)
Từ (2.15), (2.16) ta được
( )
1
,, ,
h
j
jk
F
NrF N r oT r

FF




+=








,
( )
,r rE→∞ ∉

với
1, 1jn= +
,
11hkn≤<≤+
.
Nghĩa là
( )
j
Fz
,
1, 1jn= +
thoả các điều kiện của định lý 2.3, vì thế

0
j
C =

1, 1
jn
= +
( mâu thuẫn
(2.14)). Vậy
( )
0
j
fz≡

1, 1jn= +
■
♦ Định lý 2.5: Nếu
( )
j
fz
và
( )
j
gz

( )
1,jn=
( )
2n ≥
là các hàm phân hình thoả mãn các điều kiện: (i)

( )
( )
1
.0
j
n
gz
j
j
f ze
=
≡
∑

(ii) Bậc của
j
f
bé hơn bậc của
hk
gg
e
−
với
1 jn≤≤
,
1 hkn≤<≤
.
thì
( )
0

j
fz≡

( )
1,jn=
.
Chứng minh:
Ta sẽ chứng minh điều kiện (ii) của định lý 2.5 ám chỉ điều kiện (ii), (iii) của định lý 2.4. Vì bậc của hàm
nguyên là không âm nên ta thấy bậc của
hk
gg
e
−

( )
hk≠
lớn hơn 0 và vì thế
( ) ( )
jk
gz gz−
,
( )
hk≠
không
thể là hằng. Vậy điều kiện (ii) của định lý 2.4 thoả.


Từ định lý 1.11 suy ra bậc và bậc dưới của
hk
gg

e
−
bằng nhau. Theo giả thiết (ii) trong định lý ta có bậc của
j
f
nhỏ hơn bậc của
hk
gg
e
−
nên bậc của
j
f
nhỏ hơn bậc dưới của
hk
gg
e
−
. Do đó từ định lý 1.5 ta được
( )
( )
{ }
,,
hk
gg
j
Trf oTre
−
=
. Vậy điều kiện (iii) của định lý 2.4 thoả mãn. Vậy theo định lý 2.4 ta có

( )
0
j
fz≡

( )
1,
jn
=
■
Hệ quả: Giả sử
( )
j
fz

( )
1, 1jn= +
và
( )
j
gz

( )
1,jn=

( )
1n ≥
là các hàm nguyên thoả điều kiện sau
(i)
( )

( )
( )
1
1
.
j
n
gz
jn
j
f ze f z
+
=
≡
∑

(ii) Bậc của
j
f
nhỏ hơn bậc của
k
g
e
với
11jn≤≤+
,
1 kn≤≤
. Hơn thế, bậc của
j
f

nhỏ hơn
bậc của
hk
gg
e
−
với
2n ≥
,
11jn≤≤+
,
1 hkn≤<≤
.
Khi đó
( )
0
j
fz≡

( )
1, 1jn= +
.
Chứng minh:
Từ (i) ta có
( )
( )
( )
( )
1
1

1
. .0
j
n
n
gz
gz
jn
j
f ze f ze
+
+
=
−≡
∑
,
( )
1
0
n
gz
e
+
≡
.
Từ (ii) ta thấy bậc của
j
f
nhỏ hơn bậc của
hk

gg
e
−
với
2n ≥
,
11jn≤≤+
,
11hkn≤<≤+
nên điều kiện (ii)
của định lý 2.5 thoả mãn đối với các hàm
( )
j
fz
,
( )
j
gz

( )
1, 1jn= +
. Do đó
( )
0
j
fz≡

( )
1, 1jn= +
■

Bổ đề 2.1: Cho
( ) ( )
12
,fz fz
là các hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức và
123
,,
ccc
là các hằng
số khác 0. Nếu
11 22 3
cf cf c
+≡
thì
( ) ( ) ( )
1 11
12
11
,,,,,Trf Nr Nr Nrf Srf
ff
  
< + ++
  
  

Chứng minh: Theo định lý cơ bản thứ hai ta có
( )
( ) ( )
1 11

3
1
1
1
11
, , , ,,Trf Nr Nr Nrf Srf
c
f
f
c




< + ++



−


■

♦ Định lý 2.6: Cho
( )
j
fz
,
( )
1, 2, 3j =

là các hàm phân hình ,
( )
1
fz
khác hằng.
Nếu
( )
3
1
1
j
j
fz
=
≡
∑
(2.17)


và
( )
( )
( )
( )
33
11
1
, 2. , 1 .
j
jj

j
Nr Nrf o Tr
f
λ
= =

+ <+



∑∑
,
( )
rI∈
. (2.18) trong đó
1
λ
<
,
( )
( )
{ }
13
max ,
j
j
Tr Trf
≤≤
=
, I

⊂

( )
0, ∞ có độ đo tuyến tính vô hạn.
Khi đó
( )
2
1fz≡ hoặc
( )
3
1fz≡ .
Chứng minh:
◦ Nếu
( )
2
0fz≡
hoặc
( )
3
0fz≡
, giả sử
( )
3
0fz≡
, từ (2.17) ta có
( ) ( )
12
1fz fz+≡
.
Theo định lý cơ bản thứ 2 ta có

( ) ( ) ( )
1 11
11
11
, , , ,,
1
Trf Nr Nr Nrf Srf
ff
  
< + ++
  
−
  


( ) ( ) ( )
( )
( )
11
12
11
,,,, 1.
Nr Nr Nrf Srf o Tr
ff
λ
  
= + + + <+
  
  
( vô lý )

Do đó
( )
2
0fz≡
/
và
( )
3
0fz≡
/
.
◦ Nếu
123
,,fff
độc lập tuyến tính thì theo định lý 2.1 ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
33
11
11
11
, , ,, , ,
k
kk
k
Trf Nr Nrf NrD Nrf Nr Sr
fD
= =



< ++− − +




∑∑

trong đó
123
'''
123
'' '' ''
123
fff
Dfff
fff
=
và
( ) ( )
( )
Sr oT r=
,
( )
( )
{ }
13
max ,
j
j
Tr Trf

≤≤
=
.
Từ (2.17) ta được
3
23
1
''
3
' ' ' ' '' '' '
23
2 3 23 23
'' ''
1
23
3
'' '' ''
23
1

j
j
j
j
j
j
fff
ff
D fff ffff
ff

fff
=
=
=
= = = −
∑
∑
∑

Vì thế
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
1 23
1
,, , ,,,
k
k
Nrf NrD Nrf NrD Nrf Nrf
=
+− =−−
∑


( ) ( )
23
2. , 2. ,Nrf Nrf≤+

Từ đó ta có
( ) ( ) ( ) ( )
3

1 23
1
1
, , 2. , 2. ,
k
k
Trf Nr Nrf Nrf Sr
f
=

< +++


∑
(2.19)


Tương tự ta có
( ) ( ) ( ) ( )
3
2 13
1
1
, , 2. , 2. ,
k
k
Trf Nr Nrf Nrf Sr
f
=


< +++


∑


( ) ( ) ( ) ( )
3
3 12
1
1
, , 2. , 2. ,
k
k
Trf Nr Nrf Nrf Sr
f
=

< +++


∑

Vì thế
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
33

11
1
, 2. , 1 .
j
jj
j
Tr Nr Nrf Sr o Tr
f
λ
= =

< + + <+



∑∑
,
( )
rI∈
mâu thuẫn, nghĩa là
123
,,fff

phụ thuộc tuyến tính. Khi đó tồn tại 3 hằng số
123
,,ccc
( ít nhất một trong ba số khá c 0 ) sao cho
3
1
.0

jj
j
cf
=
=
∑
(2.20)
Nếu
1
0c =
thì từ (2.20) ta có
2
0c ≠
,
3
0c ≠
và
2
32
3
.
c
ff
c
= −
(2.21)
Thay
3
f
vào (2.17) ta được

2
12
3
1 .1
c
ff
c

+− =


(2.22)
Từ (2.21), (2.22) ta có
( ) ( ) ( )
21
, ,1Trf Trf O= +


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
32 1
, , 1, 1Trf Trf O Trf O= += +

Và vì thế
( ) ( ) ( )
1
,1Tr Trf O= +
(2.23)
Bởi vì
( )
1

fz
khác hằng nên từ (2.22) ta có
2
3
10
c
c
−≠
.
Từ bổ đề 2.1 và (2.22), (2.23) ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
33
1
11
12
11 1
,,, ,2.,
j
jj
j
Tr Nr Nr Nrf Sr Nr Nrf Sr
ff f
= =

  
< + + +< + +

  


  

∑∑


( )
( )
( )
1.o Tr
λ
<+
,
( )
rI
∈
( vô lý )
Vậy
1
0c ≠
.
Từ (2.20) ta có
3
2
1 23
11

c
c
f ff

cc
=−−
(2.24)
Thay (2.24) vào (2.17) ta được
3
2
23
11
1 . 1 .1
c
c
ff
cc
  
− +− =
  
  
(2.25)
Ta xét 3 trường hợp sau:


▪ Trường hợp 1:
2
1
10
c
c
−≠
và
3

1
10
c
c
−≠
.
Từ (2.24), (2.25) ta có
23
2
13
12 12
.
cc
c
ff
cc cc
−
= −
−−
(2.26)
Do đó
( ) ( ) ( )
31
, ,1Trf Trf O= +
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
23 1
, , 1, 1Trf Trf O Trf O= += +

Vì thế

( ) ( ) ( )
1
,1Tr Trf O= +
(2.27)
Theo bổ đề 2.1 và (2.25), (2.27) ta có
( )
( ) ( )
( )
( )
33
2
11
23
11 1
, , , , 2. ,
j
jj
j
Tr Nr Nr Nrf Sr Nr Nrf Sr
ff f
= =



< + + +< + +








∑∑


( )
( )
( )
1.o Tr
λ
<+
,
( )
rI∈
( vô lý ).
▪ Trường hợp 2:
2
12
1
10
c
cc
c
− =⇒=
.
Từ (2.25) ta có
3
1
10
c

c
−≠
và
1
3
13
c
f
cc
=
−
(2.28)
Từ (2.24), (2.28) ta được
3
12
13
c
ff
cc
+=−
−
(2.29)
Nếu
3
0c ≠
, áp dụng bổ đề 2.1 vào (2.29) ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
33

1
11
12
11 1
,,, ,2.,
j
jj
j
Tr Nr Nr Nrf Sr Nr Nrf Sr
ff f
= =

  
< + + +< + +

  

  

∑∑


( )
( )
( )
1.o Tr
λ
<+
,
( )

rI
∈
( vô lý )
Vậy
3
0c =
. Vì thế
( )
3
1fz≡
.
▪ Trường hợp 3:
3
1
10
c
c
−=
.
Tương tự trường hợp 2 ta được
( )
2
1fz≡
■
♦ Định lý 2.7: ( Niino – Ozawa [5] ) Cho
( )
j
gz

( )

1,2, ,jp=
là các hàm phân hình khác hằng thoả điều
kiện
( )
( )
, 1 1,2, ,
j
gj pΘ∞ = =
và
( )
1,2, ,
j
aj p=
là các hằng số khác 0. Nếu
( )
0
1
.
p
jj
j
ag z a
=
≡
∑
thì
( )
1
0, 1
p

j
j
gp
δ
=
≤−
∑
.


Chứng minh:
Ta chứng minh định lý bằng quy nạp.
▪ Với
2p =
, vì
11 22 0
ag ag a+≡
nên
( ) ( ) ( )
21
, ,1T rg T rg O= +
.
Vì
( )
( )
, 1 1, 2
j
gjΘ∞ = =
nên từ bổ đề 2.1 ta chia 2 vế của bổ đề cho
( )

1
,T rg
và chuyển qua giới hạn ta
thu được
( ) ( )
12
0, 0, 1gg
δδ
+≤
. Vậy định lý đúng với
2p =
.
▪ Giả sử định lý đúng với
( )
22pqq≤≤ ≥
, ta chứng minh định lý đúng với
1pq= +
.
▫ Nếu
( )
j
gz

( )
1,2, , 1jq= +
là các hàm độc lập tuyến tính, từ điều kiện
( )
( )
, 1 1,2, , 1
j

gj qΘ∞ = = +

ta có
( ) ( )
( )
,,
jj
Nrg oT rg=

( )
1,2, , 1jq= +
.
Đặt
( )
( )
{ }
11
max ,
j
jq
Tr Trg
≤≤+
=
ta được
( )
( ) ( )
( )
1
1
,

q
j
j
Nrg Sr oT r
+
=
= =
∑
,
,r rE→∞ ∉
.
Vì
( )
1
1
0
.1
q
j
j
j
a
gz
a
+
=
≡
∑
(2.30)
từ định lý 2.2 ta suy ra

( )
( )
1
1
1
,,
q
j
j
j
T rg N r Sr
g
+
=

<+



∑

( )
1,2, , 1
jq
= +
nên
( ) ( )
1
1
1

,
q
j
j
Tr Nr Sr
g
+
=

<+



∑
(2.31)
Mặt khác với
1,2, , 1jq= +
ta có
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
, 1 0, 1 . , 1 0, 1 .
j jj
j
Nr g o Trg g o Tr
g
δδ



≤− + ≤− +





vì thế
( )
( ) ( )
11
11
1
, 1 0, 1 .
qq
j
jj
j
Nr q g o Tr
g
δ
++
= =


≤ +− +






∑∑
(2.32)
Từ (2.31), (2.32) ta được
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1
1 0, 1 .
q
j
j
Tr q g o Tr Sr
δ
+
=

< +− + +


∑

nghĩa là
( )
1
1
0,
q
j

j
gq
δ
+
=
≤
∑
.
▫ Nếu
( )
j
gz

( )
1,2, , 1jq= +
phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại các hằng số ( ít nhất một trong số chúng
khác 0 )
( )
1,2, , 1
j
cj q= +
sao cho
( )
1
1
.0
q
jj
j
cg z

+
=
≡
∑
(2.33)


Không mất tính tổng quát, giả sử
1
0
q
c
+
≠
, từ (2.32) ta có
( )
1
1
1
.
q
j
qj
j
q
c
g gz
c
+
=

+
= −
∑
, thay vào (2.30) ta được
( )
1
.1
q
jj
j
dg z
=
≡
∑
( trong đó
1
, ,
q
dd
là các hằng số ). (2.34)
Từ (2.34) ta có ít nhất hai trong các
( )
1,2, ,
j
dj q=
khác 0, giả sử
( )
0 1,2, ,
j
dj s≠=

và
( )
0 1, ,
j
d js q= = +
( )
2 sq≤≤
. Khi đó (2.34) có thể viết lại
( )
1
.1
s
jj
j
dg z
=
≡
∑
(2.35)
Theo giả thuyết quy nạp và từ (2.35) ta có
( )
1
0, 1
s
j
j
gs
δ
=
≤−

∑
.
Chú ý rằng
( )
( )
0, 1 1, , 1
j
g js q
δ
≤=+ +
vì thế
( )
1
1
0,
q
j
j
gq
δ
+
=
≤
∑
nghĩa là định lý đúng với
1pq= +
■
Nhận xét: Trường hợp
( )
j

gz

( )
1,2, ,jp=
là các hàm nguyên và
( )
1,2, ,
j
aj p=
là các hằng số khác
0 sao cho
( )
0
1
.
p
jj
j
ag z a
=
≡
∑
. Khi đó ít nhất một trong các hàm
( )
j
gz
đồng nhất hằng.
♦ Định lý 2.8: ( H.X.Yi [6] ) Cho
( ) ( ) ( ) ( )
12

, , , 3
n
fz fz fz n≥ là các hàm phân hình khác hằng ( ngoại
trừ
( )
n
fz
) thoả
( )
1
1
n
j
j
fz
=
≡
∑
. (2.36)
Nếu
( )
0
n
fz≡
/
và
( )
( )
( )
( )

( )
11
1
, 1. , 1 . ,
nn
jk
jj
j
Nr n Nrf o Trf
f
λ
= =

+− < +



∑∑
(2.37)
trong đó
rI∈
, I là tập có độ đo tuyến tính vô hạn;
1,2, , 1kn= −
và
1
λ
<
.
thì
1

n
f ≡
.
Chứng minh:
Ta chứng minh định lý 2.8 bằng quy nạp. Từ định lý 2.6 ta suy ra định lý 2.8 đúng với
3n =
. Giả sử định lý
đúng với mọi số nguyên n
( )
3 nl≤≤
, ta chứng minh định lý đúng với
1nl= +
.
Nếu các hàm
( ) ( ) ( )
12 1
, , ,
l
fz fz f z
+
độc lập tuyến tính, từ định lý 2.1 ta suy ra

( ) ( ) ( )
( )
( )
11
11
11
11
, , ,, , ,

ll
j
jj
j
Trf Nr Nrf NrD Nrf Nr Sr
fD
++
= =


≤ ++− − +





∑∑
(2.38)
Tương tự như trong (2.11) định lý 2.2 ta cũng có
( ) ( )
( ) ( )
11
1
11
, , ,.,
ll
jj
jj
Nrf NrD Nrf l Nrf
++

= =
+− =
∑∑
(2.39)


Kết hợp (2.37), (2.38), (2.39) ta có
( ) ( )
( )
( )
11
, 1. ,Trf o Trf
λ
<+

( )
rI∈
( vô lý ). Vì thế các hàm
( ) ( ) ( )
12 1
, , ,
l
fz fz f z
+
phụ thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại các hằng số ( ít nhất một trong số chúng khác 0
)
( )
1,2, , 1
j
cj l= +

sao cho
( )
1
1
.0
l
jj
j
cf z
+
=
≡
∑
(2.40)
Bởi vì
( )
1,2, ,
j
fj l=
là các hàm khác hằng và
1
0
l
f
+
≡
/
nên ít nhất một trong
( )
1,2, ,

j
cj l=
khác 0,
không mất tính tổng quát giả sử
1
0c ≠
, từ (2.40) suy ra
( )
1
2
1
1. 1
l
j
j
j
c
fz
c
+
=

−≡


∑

(2.41)
Từ bổ đề 2.1 ta thấy ít nhất ba trong
( )

1
1 2,3, , 1
j
c
jl
c
−= +
khác 0.
Nếu
1
1
10
l
c
c
+
−=
, từ (2.41) ta được
( )
2
1
1. 1
l
j
j
j
c
fz
c
=


−≡


∑
. Theo giả thuyết quy nạp ít nhất một trong
( ) ( )
1
1 . 2,3, ,
j
j
c
fz j l
c

−=


đồng nhất 1 ( mâu thuẫn ). Vậy
1
1
10
l
c
c
+
−≠
.
Từ (2.41) và theo giả thuyết quy nạp ta được
1l

fc
+
≡
là hàm hằng . Nếu
1c ≠
thì từ (2.36) ta suy ra
( )
1
1
.1
1
l
j
j
fz
c
=
≡
−
∑
. Và từ đó theo giả thuyết quy nạp ta có ít nhất một trong
( )
1,2, ,
j
fj l=
là hàm hằng (
mâu thuẫn ). Vậy
1c =
nghĩa là
1

1
l
f
+
≡
.
Do đó định lý đúng với
1nl= +
■







Chương 3:
SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA
CÁC HÀM PHÂN HÌNH CHIA GIÁ TRỊ
Nevanlinna đã chứng minh được rằng hàm phân hình khác hằng có thể được xác định duy nhất bởi 5 điểm,
nghĩa là nếu hai hàm phân hình
f
và
g
nhận cùng 5 giá trị thì
fg≡
. Chắc chắn rằng số 5 trong định lý
của Nevanlinna có thể được giảm xuống khi chúng ta thêm vào điều kiện.
Trong chương này ta sẽ bổ sung thêm các điều kiện để xác định duy nhất các hàm phân hình khi chúng lần
lượt chia 5, 4, 3, 2 và 1 giá trị. Bao gồm các kết quả quan trọng thu được bởi Nevanlinna, L.Yang, H.X.Yi,

Brosch
Định nghĩa 3.1: Cho
,fg
là hai hàm phân hình và số phức
a
.
▪ Gọi
( )
1,2
n
zn=
là không điểm của
fa−
. Nếu
( )
1,2
n
zn=
cũng là không điểm của
ga−
( không
kể bội ) ta viết
fa ga=⇒=
.
▪ Gọi
( )
vn
là bội của không điểm
n
z

. Nếu
( )
1,2
n
zn=
cũng là không điểm bội nhỏ nhất là
( )
vn
của
ga−
ta viết
fa ga=→=
.
Định nghĩa:
(i) Nếu
fa ga= =
nghĩa là
fa−
và
ga−
có cùng không điểm ( đếm cả bội ) và ta nói
,fg
chia
a
CM.
(ii) Nếu
fa ga=⇔=
nghĩa là
fa−
và

ga−
có cùng không điểm ( không đếm bội ) và ta nói
,fg
chia
a
IM.
(iii) Nếu
,fg
chia
a
IM sao cho không điểm của
fa−
và
ga−
có bội khác nhau ta nói
,fg
chia
a
DM.
Định nghĩa 3.2: Cho
,fg
là hai hàm phân hình khác hằng và số phức
a
.
Kí hiệu
( )
,
E
N ra
là hàm đếm quy gọn những không điểm chung của

fa−
và
ga−
với bội bằng nhau.

( )
1)
,
E
N ra
là hàm đếm quy gọn các không điểm đơn chung của
fa−
và
ga−
.
3.1 Hàm phân hình chia 5 giá trị
3.1.1 Định lý 5 điểm của Nevanlinna:
Định lý 5 điểm là kết quả quan trọng của Nevanlinna trong việc xác định duy nhất các hàm phân hình.
♦ Định lý 3.1: Cho
,fg
là hai hàm phân hình khác hằng,
( )
1, 5
j
aj=
là 5 giá trị phân biệt trên mặt phẳng
phức mở rộng. Nếu
,fg
chia
( )

1, 5
j
aj=
IM thì
fg≡
.


Chứng minh:
▪ Xét trường hợp
( )
1, 5
j
aj=
hữu hạn.
Theo định lý cơ bản thứ 2 ta có:

( ) ( )
5
1
1
3, , ,
j
j
Trf Nr Srf
fa
=

<+



−

∑
(3.1)

( ) ( )
5
1
1
3, , ,
j
j
T rg N r Srg
ga
=

<+


−

∑
(3.2)
Nếu
fg≡
/
, theo giả thiết
,fg
chia

( )
1, 5
j
aj=
IM nên

55
11
1 11
, ,,
jj
jj
Nr Nr Nr
fa ga f g
= =
  

= ≤
  

  
− −−

  
∑∑


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, 1, , 1Trf g O Trf Trg O≤ −+ ≤ + +
(3.3)

Do đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3,,2,, ,,Trf Trg Trf Trg Srf Srg

+ ≤ + ++

( mâu thuẫn )
Vậy
fg≡
.
▪ Xét trường hợp một trong các giá trị
j
a
vô hạn. Ta giả sử
5
a = ∞
.
Lấy
( )
1, 5
j
aaj≠=
, đặt
( )
( )
1
Fz
fz a
=
−

;
( )
( )
1
Gz
gz a
=
−


1
j
j
b
aa
=
−

( )
1, 4j =
;
5
0b =

Khi đó
,FG
chia
( )
1, 5
j

bj=
IM. Theo chứng minh trên ta có
FG≡
nên
fg≡
■

Nhận xét: Điều kiện
,fg
chia 5 điểm trong định lý 3.1 không thể làm yếu hơn bởi điều kiện
,fg
chia 4
điểm IM. Thật vậy, xét
( )
z
fz e=
,
( )
z
gz e
−
=
. Ta thấy
,fg
chia
0,1, 1,−∞
IM nhưng
fg≡
/
■

3.1.2 Mở rộng định lý 5 điểm:

Định nghĩa 3.3: Cho
,fg
là hai hàm phân hình khác hằng,
a
là số phức tuỳ ý.
Kí hiệu
( )
,Eaf
là tập các không điểm của
( )
fz a
−
, mỗi không điểm được đếm 1 lần.
♦ Định lý 3.2: ( C.C Yang [7] )
Cho
,fg
là hai hàm phân hình khác hằng,
( )
1, 5
j
aj=
là 5 giá trị phân biệt.
Nếu
( )
( )
( )
, , 1, 5

jj
Ea f Ea g j⊆=
(3.4)
và
5
1
5
1
1
,
1
lim
2
1
,
j
j
r
j
j
Nr
fa
Nr
ga
=
→∞
=






−


>





−



∑
∑
(3.5)
thì
fg≡
.


Chứng minh:
Tương tự như trong chứng minh của định lý 3.1 ta có thể giả sử
( )
1, 5
j
aj=
hữu hạn.

Theo định lý cơ bản thứ 2 ta thu được (3.1), (3.2).
Nếu
fg≡
/
, do (3.4) ta được
( ) ( ) ( )
5
1
11
, , , ,1
j
j
Nr Nr Trf Trg O
fa fg
=


≤ ≤++



−−


∑

Kết hợp với (3.1), (3.2) ta có
( ) ( )
555
111

11 11 1
, 1. , 1. ,
33
jjj
j jj
Nr O Nr O Nr
fa fa ga
= = =
  
 
≤+ ++
  
 
  
− −−
 
  
∑∑∑


( ) ( )
55
11
2 11 1
1. , 1. ,
33
jj
jj
O Nr O Nr
fa ga

= =
 
 
⇒+ ≤+
 
 
 
−−
 
 
∑∑


5
1
5
1
1
,
1
lim
2
1
,
j
j
r
j
j
Nr

fa
Nr
ga
=
→∞
=





−


⇒≤





−



∑
∑
mâu thuẫn giả thiết. Vậy
fg≡
■

3.1.3 Tổng quát hoá định lý 5 điểm bằng việc thay thế các hằng số bởi các hàm nhỏ:
♦ Định lý 3.3: Cho
,fg
là hai hàm phân hình khác hằng,
( )
( )
1, 5
j
az j=
là 5 hàm nhỏ phân biệt của
,fg

nghĩa là
( )
( )
,,
j
T ra Sr f=
,
( )
( )
,,
j
T ra Srg=

( )
1, 5j =
.
Nếu
( ) ( ) ( ) ( )

( )
0 0 1,5
jj
fz az gz az j−= −==
thì
fg≡
.
Chứng minh:
Nếu
fg≡
/
, theo định lý 1.3, với
ε
là số dương tuỳ ý cho trước ta có:

( ) ( )
( )
5
1
1
3 ., , ,
j
j
Trf Nr Srf
fa
ε
=

−< +



−

∑
(3.6)

( ) ( ) ( )
5
1
1
3 ., , ,
j
j
T rg N r Srg
ga
ε
=

−< +


−

∑
(3.7)
Từ
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0 1, 5
jj

fz a z fz a z j−= −==
ta được

( ) ( ) ( )
55
11
1 11
, , , , ,1
jj
jj
Nr Nr Nr Trf Trg O
fa ga f g
= =
  

= ≤ ≤++
  

  
− −−

  
∑∑
(3.8)
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 ,,2,, ,,Trf Trg Trf Trg Srf Srg
ε

− + < + ++


mâu thuẫn.
Vậy
fg≡
■

♦ Định lý 3.4: ( Q.D. Zhang, 1993 [8] )


Cho
,fg
là hai hàm phân hình khác hằng,
( )
( )
1, 5
j
az j=
là 5 hàm nhỏ phân biệt của
,fg
. Nếu
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0 1, 5
jj
fz az gz az j
−=⇔−==
và tất cả không điểm bội của
( ) ( )
j
fz a z−

là không điểm
bội của
( ) ( )
j
gz a z−
thì
fg≡
.
Chứng minh:
Nếu
fg≡
/
, kí hiệu
*
1
,
j
nr
fa



−

đếm số không điểm của
j
fa−
trong
zr≤
với bội lớn hơn 1 và chỉ

được đếm 1 lần.
*
1
,
j
Nr
fa



−

là hàm đếm tương ứng.
Từ giả thiết của định lý ta có

( ) ( ) ( )
55
*
11
1 11
, , , , ,1
jj
jj
Nr N r Nr Trf Trg O
fa fa fg
= =


+ ≤ ≤++




− −−


∑∑
(3.9)
Từ định lý 1.4 ta có
( ) ( )
5 55
**
1 11
11 1
2, , , , ,
j jj
jj j
Trf N r Nr N r Srf
fa fa fa
= = =

+ <+ +


−− −

∑ ∑∑


( ) ( ) ( )
,,,Trf Trg Srf<++

(3.10)
Tương tự ta được
( ) ( ) ( ) ( )
5
*
1
1
2, , , , ,
j
j
Trg N r Trf Trg Srf
fa
=

+ <++


−

∑
(3.11)
Kết hợp (3.10), (3.11) ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
*
1
1
2, 2, 2 , 2, 2, , ,
j
j

Trf Trg N r Trf Trg Srf Srg
fa
=

++ <+++


−

∑

( ) ( )
5
*
1
1
, ,,
j
j
N r Srf Srg
fa
=

⇒=+


−

∑
và

( ) ( ) ( )
,,,Trg Trf Srf= +
(3.12)
Áp dụng định lý 1.3 với
1
2
ε
=
, tồn tại số nguyên dương p sao cho
( ) ( ) ( )
55
*
11
5 1 11
,,,,., ,
2
p
jj
j jj
Trf N r Srf Nr pN r Srf
fa fa fa
= =

 
< +< + +

 
 
− −−


 

∑∑

Kết hợp (3,9), (3.12) ta có
( ) ( )
( )
5
, 2, ,
2
Trf Trf Srf<+
( vô lý ).
Vậy
fg≡
■

♦ Định lý 3.5: ( Q.D Zhang, 1993 [8] )
Cho
,fg
là hai hàm phân hình khác hằng,
( )
( )
1, 6
j
az j=
là 6 hàm nhỏ phân biệt của
,fg
. Nếu
( ) ( ) ( ) ( )
( )

0 0 1, 6
jj
fz az gz az j
−=⇔−==
thì
fg≡
.
Chứng minh:
Nếu
fg≡
/
, khi đó
( ) ( ) ( )
6
1
11
, , , ,1
j
j
Nr Nr Trf Trg O
fa fg
=


≤ ≤++



−−



∑



Từ định lý 1.4 ta được
( ) ( )
( )
5
1,
1
2. , , , 1, 6
j jk
j
Trf Nr Srf k
fa
= ≠

< +=


−

∑

Vì thế
( ) ( )
5
1
1

12. , 5. , ,
j
j
Trf Nr Srf
fa
=

<+


−

∑
( ) ( ) ( )
5. , 5. , ,Trf Trg Srf<++

Tương tự
( ) ( ) ( ) ( )
12. , 5. , 5. , ,T rg Trf T rg Srg< ++

Từ đó suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
2. , 2. , , ,T rf T rg Srf Srg+ <+
( vô lý ).
Vậy
fg≡
■

3.2 Hàm phân hình chia 4 giá trị
Năm 1929, Nevanlinna đã chứng minh định lý 4 điểm CM, đó là kết quả quan trọng trong việc xác định duy

nhất các hàm phân hình. Năm 1979 kết quả được mở rộng bởi Gundersen cho trường hợp 3 CM + 1 IM = 4
CM và 4 IM
≠
4 CM và tổng quát lên trường hợp 2 CM + 2 IM = 4 CM vào năm 1983. Nhưng bài toán 1
CM + 3 IM = 4 CM vẫn là bài toán mở chưa được giải quyết.
Trong chương này tôi sẽ trình bày những kết quả được chứng minh bởi Nevanlinna, Gudersen, Mues

3.2.1 Hàm phân hình chia 4 giá trị CM

♦ Định lý 3.6 ( Định lý 4 điểm của Nevanlinna ): Cho
,fg
là hai hàm phân hình khác hằng. Nếu
,fg
chia
0,1, , c∞
CM
( )
0,1,c ≠∞
thì
,fg
có một trong các mối liên hệ sau:
(i)
( ) ( )
fz gz≡

(ii)
( ) ( )
fz gz≡−
nếu
1c = −

và
1, 1−
là giá trị Picard của
,fg
.
(iii)
( ) ( )
2fz gz≡−
nếu
2c =
và
0,2
là giá trị Picard của
,fg
.
(iv)
( ) ( )
1fz gz≡−
nếu
1
2
c =
và
0,1
là giá trị Picard của
,fg
.
(v)
( )
( )

( )
21
gz
fz
gz
=
−
nếu
1
2
c =
và
1
,
2
∞
là giá trị Picard của
,fg
.
(vi)
( )
( )
( )
1
gz
fz
gz
=
−
nếu

2c =
và
1, ∞
là giá trị Picard của
,fg
.
(vii)
( )
( )
1
fz
gz
=
nếu
1c = −
và
0,∞
là giá trị Picard của
,fg
.

Để chứng minh định lý 3.6 ta xét các bổ đề sau:

Bổ đề 3.1: Cho
,fg
là các hàm nguyên và
12
,
aa
là 2 giá trị hữu hạn phân biệt. Giả sử

,fg
chia
2
a
CM và
1
a
là giá trị Picard của
,fg
. Nếu
fg≡
/
thì
( )
( )
1
z
fz e a
α
= +
;
( ) ( )
( )
2
12 1
.
z
gz a a e a
α
−

=−+
( trong đó
( )
z
α
là hàm nguyên khác hằng ).
Chứng minh:


Từ định lý 1.8 ta có
( )
( )
1
z
fz e a
α
= +
;
( )
( )
1
z
gz e a
β
= +
( trong đó
( ) ( )
,zz
αβ
là các hàm nguyên khác

hằng thoả
( ) ( )
zz
ee
αβ
≠
).
Do
,fg
là các hàm nguyên chia
2
a
CM nên tồn tại hàm nguyên
( )
z
γ
sao cho
2
2
fa
e
ga
γ
−
=
−

( )
1e
γ

≡
/
.
Vì thế
12
12 21 21
11
. .1
e aa
e ee e
e aa aa aa
α
γ α γ βγ
β
+
+−
= ⇒ +− =
+− − −
(3.13)
Do
1e
γ
≡
/
nên theo định lý 2.6 suy ra
21
1
.1e
aa
βγ

+
−≡
−
.
Từ (3.13) ta được
( )
( )
2
12
.
z
e aa e
α
β
−
= −
■

Bổ đề 3.2: Cho
,fg
là hai hàm phân hình khác hằng và
12
,
aa
là các giá trị hữu hạn phân biệt. Nếu
,fg

chia
∞
CM và nếu

12
,
aa
là giá trị P icard của
,fg
thì
( ) ( )
fz gz≡
hoặc tồn tại hàm nguyên khác hằng
( )
z
α
sao cho
( )
( )
( )
12
.
1
z
z
ae a
fz
e
α
α
−
=
−
và

( )
( )
( )
12
.
1
z
z
ae a
gz
e
α
α
−
−
−
=
−

Chứng minh:
Giả sử
( ) ( )
fz gz≡
/
, từ định lý 1.8, tồn tại các hàm nguyên khác hằng
( ) ( )
,zz
αβ
,
( ) ( )

zz
ee
αβ
≠
sao cho
( )
( )
( )
12
.
1
z
z
ae a
fz
e
α
α
−
=
−
;
( )
( )
( )
12
.
1
z
z

ae a
gz
e
β
β
−
=
−

Vì
,fg
chia
∞
CM và
1
a
là giá trị Picard của
,fg
nên
0,∞
là giá trị Picard của
1
1
fa
ga
−
−
nên theo định định
lý 1.8 tồn tại hàm nguyên khác hằng
γ

sao cho
( )
1
1
,1
fa
ee
ga
γγ
−
= ≡
/
−
.
Do đó
1
1
1
e
e eee
e
β
γ β α αγ
α
+
−
= ⇒+− =
−
(3.14)
Vì

1e
γ
≡
/
nên theo định lý 2.6 ta được
1e
αγ
+
−=
. Từ (3.14) suy ra
ee
βα
−
=
■

Chứng minh định lý 3.6
Vì
,fg
chia
0,1, , c∞
CM nên từ định lý 1.8 tồn tại các hàm nguyên
( ) ( ) ( )
123
,,zzz
φφφ
sao cho
1
f
e

g
φ
=
;
2
1
1
f
e
g
φ
−
=
−
;
3
fc
e
gc
φ
−
=
−
(3.15)
Giả sử
( ) ( )
fz gz≡
/
, khi đó
( )

1, 1, 3
j
ej
φ
≡=
/
và
( )
1, 1 3
ji
e ji
φφ
−
≡ ≤ <≤
/
. Ta xét 7 trường hợp sau:
▪ Trường hợp 1:
( )
1
11
, 0,1e kk
φ
= ≠
là hằng số.
Khi đó 1 và c là giá trị Picard của
,fg
. Theo bổ đề 3.2 tồn tại hàm nguyên khác hằng
α
sao cho
1

ec
f
e
α
α
−
=
−
;
1
ec
g
e
α
α
−
−
−
=
−
.