phương pháp phần tử hữu hạn

BTL Phương pháp phần tử hữu hạn

GVHD-TS: Cao Văn Vui

Assignment 2

PC
D

C

A

PB

B
L

Cho Hình vẽ. Các thanh có cùng vật liệu và diện tích mặt cắt ngang.
Yêu cầu (giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn):
a Xác định chuyển vị tại B và C.
b Xác định phản lực tại A và D.
c Tính biến dạng tương đối trong từng đoạn.
d Tính ứng suất trong từng đoạn.
e Tính nội lực trong các thanh.
Số liệu:
PB (N)

PC (N)

L (mm)

E (MPa)

F (mm2)

Anpha (độ)

5530

11050

2710

20000

650

30

Bài giải: L1=2710 (mm) , L2=3129.24(mm) , L3=1564.62(mm)

 Rời rạc hóa hệ:
SVTT: Lê Đình Đức Minh - 1412271

1


BTL Phương pháp phần tử hữu hạn

GVHD-TS: Cao Văn Vui

α
sin α .cos α
Phần
Điểm đầu
Điểm cuối
cos 2 α
sin 2 α
tử
1
q5
q6
q1
q2
0
1
0
0
2
q7
q8
q1
q2
30
0.75
0.25
0.433
3
q1
q2

q3
q4
-90
0
1
0
4
q5
q6
q3
q4
-30
0.75
0.25
-0.433
5
q7
q8
q3
q4
0
1
0
0
6
q5
q6
q7
q8
-90

0
1
0
 Xét phần tử:
 q5 
q7 
 q1 
 q5 
q7 
 q5 
q 
q 
q 
q 
q 
q 
 6
 8
 2
 6
 8
{ q1} =   { q2 } =   { q3} =   { q4 } =   { q5 } =   { q6 } =  6 
 q1 
 q1 
 q3 
 q3 
 q3 
q7 
 q2 
 q2 

q4 
q4 
q4 
 q8 
;
;
;
;
;
 Ma trận độ cứng:

•

1

EF 0
[ K1 ] =  −1
L1

0

0 −1 0   4575.65
0 0 0  
0
=
0 1 0   −4575.65
 
0 0 0 
0

0 −4575.65 0  5
0
0
0  6
0 4575.65 0  1

0
0
0 2

•
0.433 −0.75 −0.433  2971.97 1715.87 −2971.97 −1715.87  7
 0.75

0.25 −0.433 −0.25   1715.87
990.66 −1715.87 −990.66  8
EF  0.433
=
[ K2 ] = 
0.433   −2971.97 −1715.87 2971.97 1715.87  1
L2 −0.75 −0.433 0.75

 

0.25   −1715.87 −990.66 1715.87
990.66  2
 −0.433 −0.25 0.433

•

1 0

EF 0 1
[ K3 ] = 
L3 0 0

0 −1

0 0  0
0


0 −1 0 7925.25
=
0 0  0
0
 
0 1  0 −7925.25

SVTT: Lê Đình Đức Minh - 1412271

0
0
1
0 −7925.25  2
3
0
0

0 7925.25  4

2


BTL Phương pháp phần tử hữu hạn
•

GVHD-TS: Cao Văn Vui

 0.75 −0.433 −0.75 0.433   2971.97 −1715.87 −2971.97 1715.87  5

0.433 −0.25   −1715.87 990.66
1715.87
−990.66  6
EF  −0.433 0.25
=
[ K4 ] = 
0.75 −0.433  −2971.97 1715.87
2971.97 −1715.87  3
L4 −0.75 0.433

 
4
 0.433 −0.25 −0.433 0.25   −1715.87 −990.66 −1715.87 990.66 

•

•

1


EF  0
[ K5 ] = 
L5 −1

0

0 −1 0   4575.65
0 0 0  
0
=
0 1 0   −4575.65
 
0 0 0 
0

1 0

EF 0 1
[ K6 ] = 
L6 0 0

0 −1

0 −4575.65 0  7
0
0
0  8
0 4575.65 0  3


0
0
0 4

0 0  0
0


0 −1 0 7925.25
=
0 0  0
0
 
0 1  0 −7925.25

0
0
5
0 −7925.25  6
7
0
0

0 7925.25  8

 Ma trận ghép nối:

0
0
−4575.65

0
−2971.97 −1715.87 
7547.61 1715.87

8915.91
0
−7925.25
0
0
−1715.87 −990.66 



7547.61 −1715.87 −2971.67 1715.87 −4575.65
0


8915.91 1715.87
−990.66
0
0


→  K  =


7547.61 −1715.87
0
0



dx
8915.91
0
−7925.25 


7515.87 1715.87 


8915.91 

 Vectơ tải:

SVTT: Lê Đình Đức Minh - 1412271

3


BTL Phương pháp phần tử hữu hạn

GVHD-TS: Cao Văn Vui

 0 
− P 
 C
 − PB 


 0 

→ P = B

 R5 
 R6 


 R7 
R 
 8 

{ }

 Tính toán- Giải hệ pt:
[ K ].{q} = {P}
 Áp dụng điều kiện biên:
- Tại nút 1 chuyển vị bằng 0

→ q5 = q6 = 0 →

Bỏ hàng 5 cột 5, hàng 6 cột 6

→ q7 = q8 = 0 →

- Tại nút 2 chuyển vị bằng 0
Bỏ hang 7 cột 7 và hàng 8 cột 8
0
0
 7547.61 1715.87
  q1   0 
1715.87 8915.91

0
−7925.25   q2  −11050 

→
.  = 

 0
0
7547.61 −1715.87   q3   −5530 


−7925.25 −1715.87 8915.91   q4   0 
 0

 q1 = 2.397
q = −10.544

→ 2
 q3 = −2.2994
 q4 = −9.949

a) Chuyển vị tại B và C
(mm)
b) Phản lực tại A và D:
0
−2971.67 1715.87   2.397   R1 
 −4575.65

0
0

1715.87 −990.66 −10.544   R2 

.
= 
 −2971.97 −1715.87 −4575.65
0   −2.994   R3 


0
0   −9.949   R4 
 −1715.87 −990.66
 R1 = −19139.16
 R = 4717.66

→ 2
 R3 = 24669.16
 R4 = 6332.34

(N)

SVTT: Lê Đình Đức Minh - 1412271

4


BTL Phương pháp phần tử hữu hạn
c) Tính biến dạng tương đối trong từng đoạn

ε1 =

q1 − q5 2.397 − 0
=
= 0.0009
L1
2710

ε2 =

q2 / s in30o − q6 / s in30o
= −0.0067
L2

ε3 =

q4 − q2 −9.949 + 10.544
=
= 0.0004
L3
1564.63

ε4 =

q4 / s in30o − q6 / s in30 o
= −0.0064
L2

ε5 =

q3 − q7 −2.994 − 0
=

= −0.0011
L1
2710

ε1 =

q8 − q6
=0
L3

+Thanh 1:

+Thanh 2:

+Thanh 3:

+Thanh 4:

+Thanh 5:

+Thanh 6:

GVHD-TS: Cao Văn Vui

d) Tính ứng suất trong từng đoạn:
σ 1 = ε1 × E = 9 ×10−4 × 20000 = 17.69( MPa)
+Thanh 1:
σ 2 = ε 2 × E = −6.75.4 × 10−3 × 20000 = −134.78( MPa )
+Thanh 2:
σ 3 = ε 3 × E = 4 ×10 −4 × 20000 = 7.61( MPa)

Thanh 3:
+

σ 4 = ε 4 × E = −6.4 ×10 −3 × 20000 = −127.17( MPa)
+Thanh 4:

σ 5 = ε 5 × E = −11× 10 −3 × 20000 = −22.10( MPa )
+Thanh 5:
+Thanh 6:

σ 6 = ε 6 × E = 0 × 20000 = 0( MPa)

e) Tính nội lực trong các thanh:
EF
[ N1 ] = [ S1 ] .{ q1} = [ −1 0 1 0] { q1} = 10967.94( N )
L1
+ Thanh 1:
SVTT: Lê Đình Đức Minh - 1412271

5


BTL Phương pháp phần tử hữu hạn

GVHD-TS: Cao Văn Vui

[ N 2 ] = [ S2 ] .{ q2 } =

EF
[ −0.866 0.5 0.866 0.5] { q2 } = −12664.69( N )

L2

[ N3 ] = [ S3 ] .{ q3} =

EF
[ 0 1 0 −1] { q3} = −4717.66( N )
L3

[ N 4 ] = [ S4 ] .{ q4 } =

EF
[ −0.866 0.5 0.866 −0.5] { q4 } = 9435.31( N )
L2

[ N5 ] = [ S5 ] .{ q5 } =

EF
[ −1 0 1 0] { q5 } = −13701.22( N )
L1

[ N 6 ] = [ S6 ] .{ q6 } =

EF
[ 0 1 0 −1] { q6 } = 0( N )
L3

+ Thanh 2:

+ Thanh 3:

+ Thanh 4:

+ Thanh 5:

+ Thanh 6:

SVTT: Lê Đình Đức Minh - 1412271

6


BTL Phương pháp phần tử hữu hạn

SVTT: Lê Đình Đức Minh - 1412271

GVHD-TS: Cao Văn Vui

7