Phương pháp lưới giải phương trình truyền nhiệt tổng quát
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.38 MB, 53 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HOÀNG THỊ LỆ
PHƯƠNG PHÁP LƯỚI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT TỔNG QUÁT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
THÁI NGUYÊN, 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HOÀNG THỊ LỆ
PHƯƠNG PHÁP LƯỚI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT TỔNG QUÁT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:
60 46 01 12
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. VŨ VINH QUANG
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Thái Nguyên 06/ 2016
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
DANH MỤC
DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................. ii
DANH MỤC HÌNH VẼ ..................................................................................... iii
Lời nói đầu ........................................................................................................... 1
Chương 1 Mô hình bài toán truyền nhiệt tổng quát ........................................ 4
1.1 Phương trình truyền nhiệt ........................................................................... 4
1.2 Phương pháp tách biến giải phương trình truyền nhiệt một chiều.............. 8
Chương 2 Phương pháp lưới giải bài toán truyền nhiệt ............................... 21
2.1 Phương trình vi phân thường (Bài toán truyền nhiệt dừng)...................... 21
2.2 Sơ đồ sai phân cho phương trình parabolic một chiều.............................. 28
Chương 3 Một số kết quả tính toán ................................................................. 35
3.1 Bài toán truyền nhiệt dừng ........................................................................ 35
3.2 Bài toán truyền nhiệt không dừng 1chiều ................................................. 37
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 42
PHẦN PHỤ LỤC ............................................................................................... 43
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng số 3.1: Kết quả kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm đúng ....................... 33
Bảng số 3.2: Kết quả kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm đúng ....................... 33
Bảng số 3.3: Kết quả kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm đúng ....................... 36
Bảng số 3.4: Kết quả kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm đúng ....................... 36
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1: Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong trường hợp tổng quát với vế phải và điều
kiện biên là tùy ý ................................................................................................. 34
Hình 3.2: Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán với hệ điều kiện biên và vế phải . 37
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong các bài toán về các môi trường liên tục, một số các bài toán nghiên
cứu về quá trình truyền nhiệt trong các môi trường liên tục qua mô hình hóa sẽ
đưa đến việc xác định nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến
tính trong không gian 2 chiều hoặc nhiều chiều cùng với các hệ điều kiện ban
đầu và điều kiện biên tương ứng. Đối với các hệ điều kiện biên đặc biệt (thuần
nhất bằng không) hoặc bài toán là thuần nhất (vế phải bằng không) thì người ta
có thể xác định nghiệm chính xác của các bài toán trên bằng các phương pháp
giải tích như phương pháp tách biến, phương pháp hàm Green,… Còn đại đa số
khi bài toán là phức tạp hoặc điều kiện bên là phức tạp thì người ta phải sử dụng
các phương pháp gần đúng như phương pháp lưới, phương pháp phần tử hữu
hạn hay phương pháp phần tử biên…
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về các phương pháp, phương pháp lưới giải các phương trình
truyền nhiệt trong không gian một chiều hoặc nhiều chiều mô tả các quá trình
truyền nhiệt trong thực tế, sự ổn định và hội tụ của các sơ đồ trong không gian
lưới. Xây dựng các sơ đồ tính toán trên lưới tương ứng và cài đặt trên máy tính
điện tử. Thử nghiệm thông qua các ví dụ cụ thể. Các kết quả thực nghiệm được
thực hiện trên máy tính điện tử.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các cơ sở lý thuyết về phương trình truyền nhiệt tổng quát,
phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp lưới chuyển các bài toán vi phân về các bài toán sai
phân. Nghiên cứu sự ổn định của luộc đồ sai phân cũng như độ chính xác của
phương pháp.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
1
Sử dụng các tài liệu liên quan đến phương trình truyền nhiệt, bao gồm các
bài báo khoa học, sách chuyên khảo về phương pháp giải tích, phương pháp
lưới, sự ổn định và chính xác của các lược đồ.
5. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luân văn gồm 3 chương:
Chương 1 Mô hình bài toán truyền nhiệt tổng quát
Trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình truyền nhiệt tổng quát,
phương pháp giải tích giải một số mô hình bài toán cụ thể.
Chương 2 Phương pháp lưới giải bài toán truyền nhiệt một chiều
Một số phương pháp giải số các bài toán truyền nhiệt dựa trên phương
pháp lưới, sự ổn định và cấp chính xác của các lược đồ.
Chương 3 Một số kết quả tính toán
Trình bài các kết quả khi xác định nghiệm số của một số bài toán truyền
nhiệt thông qua việc giải các lược đồ sai phân.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng
dẫn TS. Vũ Vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn.
Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn tới toàn thể thầy cô tham gia giảng dạy
khóa học 2014 – 2016, những người đã tâm huyết giảng dạy trang bị cho tôi
nhứng kiến thức cơ sở.
Xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán – Tin
trường Đại học Khoa Học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học
tập tại trường.
Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan
tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Thái nguyên, ngày 28 tháng 05 năm 2016
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
2
Tác giả
Hoàng Thị Lệ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
3
Chương 1
Mô hình bài toán truyền nhiệt tổng quát
Nội dung chính của chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về phương
trình truyền nhiệt tổng quát, phương pháp giải tích giải một số mô hình bài toán
cụ thể. Các kiến thức trên được tham khảo trong các tài liệu [ 1, 2, 3, 4].
1.1 Phương trình truyền nhiệt
1.1.1 Dạng tổng quát
Xét một vật rắn truyền nhiệt đẳng hưởng, u (x , y , z , t ) là nhiệt độ của nó
tại điểm (x , y , z ) ở thời điểm t . Nếu tại thời điểm khác nhau của vật nhiệt độ
khác nhau thì nhiệt sẽ truyền từ điểm nóng hơn sang điểm nguội hơn. Sự truyền
nhiệt được tuân theo định luật sau:
Nhiệt lượng Q đi qua một mảnh mặt khá bé S chứa điểm x , y , z trong
một khoảng thời gian t tỷ lệ với S , t và đạo hàm pháp tuyến
Q k x , y , z t S
u
. Tức là
n
u
n
(1.1)
Trong đó k x , y , z 0 là hệ số truyền nhiệt, n là véc tơ pháp tuyến của S
hướng theo chiều giảm nhiệt độ.
Gọi q là cường độ dòng nhiệt, tức là nhiệt lượng đi qua một đơn vị diện
tích trong một đơn vị thời gian. Từ (1.1) ta suy ra q k
u
.
n
Ta lấy trong vật thể tích tùy ý v giới hạn bởi một mặt kính trơn S và xét
biến thiên của nhiệt lượng trong thể tích đó khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 . Từ (1.1)
ta suy ra nhiệt lượng qua mặt S vào trong từ thời điểm t 1 đến thời điểm t 2 là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
4
t2
Q1 dt k x , y , z
t1
S
nu ds .
trong đó n là véc tơ pháp tuyến hướng vào mặt trong của mặt S . Áp dụng công
thức Ostrogradsky để đổi từ tích phân trên măt S sang tích phân ba lớp ta được
t2
Q1 dt div kgradu dxdydz
t1
V
Giả sử rằng trong vật có các nguồn nhiệt, gọi F x , y , z , t là mật độ của
chúng tức là nhiệt lượng sinh ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích của vật và
trong một đơn vị thời gian. Nhiệt lượng sinh ra hay mất đi trong thể tích V từ
thời điểm t 1 đến thời điểm t 2 là
t2
Q2 dt F x , y , z dxdydz
t1
V
Mặt khác ta lại biết nhiệt lượng cần cho thể tích V của vật thay đổi nhiệt
độ từ u x , y , z , t 1 đến u x , y , z , t 2 là
Q3
u x, y, z, t u x, y, z, t C x , y, z x , y, z dxdydz
2
1
V
trong đó C x , y , z là nhiệt dung riêng, x , y , z là mật độ của vật. Vì
t2
ut dt
u x , y, z, t 2 u x , y, z , t 1
t1
nên có thể viết
t2
Q 3 dt C
t1
V
u
dxdydz .
t
Mặt khác Q 3 Q1 Q2 nên ta có
u
dt
C
div
kgradu
F
x
,
y
,
z
,
t
dxdydz 0 .
t
t
V
1
t2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
5
Vì khoảng thời gian t 1, t 2
và thể tích V
được chọn tùy ý, nên tại mọi
điểm x , y , z của vật và ở mọi thời điểm t thì biểu thức dưới dấu tích phân đều
bằng không
C
u
div kgradu F x , y , z , t
t
hay
C
u
u u u
k
k
k
F x , y, z, t
t
x x y y z z
(1.2)
Phương trình (1.2) được gọi là phương trình truyền nhiệt trong vật đẳng
hướng không đồng chất. Trong trường hợp đồng chất thì C , , k là các hằng
số và phương trình có dạng
2
u
2u 2u
2 u
a 2 2 2 f x , y, z, t
t
y
z
x
trong đó a 2
(1.3)
F x , y, z, t
k
, f x , y, z, t
, (1.3) là phương trình truyền
C
C
nhiệt không thuần nhất.
Nếu trong vật không có nguồn nhiệt thì F x , y , z , t 0 ta được phương trình
truyền nhiệt thuần nhất
2
u
2u 2u
2 u
a 2 2 2
t
y
z
x
1.1.2 Phương trình truyền nhiệt một chiều
Xét phương trình truyền nhiệt trên một thanh đồng chất rất mảnh dọc theo
trục x , phương trình truyền nhiệt một chiều có dạng:
2
u
2 u
a
f x, t
2
t
x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
6
F x, t
k
là hằng số khuếch tán nhiệt, f x , t
đặc trưng
Cp
Cp
Trong đó a
cho nguồn nhiệt. Phương trình trên gọi là phương trình truyền nhiệt một chiều
không thuần nhất. Nếu f x , t 0 , thì phương trình được gọi là phương trình
truyền nhiệt thuần nhất.
1.1.3 Phương trình truyền nhiệt hai chiều
Xét phương trình (1.2) trong một đĩa đồng chất rất mỏng, trên mặt phẳng
Oxy thì nhiệt độ u x , y , t tại điểm x , y ở thời điểm t thỏa mãn phương
trình truyền nhiệt
2
u
2u
2 u
a 2 2 f x , y, t
t
y
x
1.1.4 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu
Trong vật lý ta muốn xác định được nhiệt độ tại mọi điểm trong vật ở mọi
thời điểm, ngoài phương trình (1.3) ta cần phải biết phân bố trong vật ở thời
điểm đầu và chế độ nhiệt ở biên S của vật.
Điều kiện biên có thể cho bằng nhiều cách :
- Cho biết nhiệt độ tại mỗi điểm P của biên S u
S
1 P,t
- Tại mọi điểm biên S cho biết cường độ dòng nhiệt q k
kiện biên
u
n
2 P , t , trong đó 2 P , t
S
u
ta có điều
n
q P , t
k
là một hàm cho
trước.
- Trên biên S của vật có sự trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh mà nhiệt
độ của nó là u 0 thì có điều kiện sau:
u
h u u0 0
n
S
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
7
Nếu biên S cách nhiệt thì h 0 điều kiện trở thành
u
n
0
S
Như vậy bài toán truyền nhiệt trong một vật rắn, đồng chất, truyền nhiệt
đẳng hướng đặt ra như sau: Tìm nghiệm của phương trình (1.3) thỏa mãn điều
kiện ban đầu u
t 0
x , y, z và một trong các điều kiện biên.
1.2 Phương pháp tách biến giải phương trình truyền nhiệt một chiều.
1.2.1 Bài toán truyền nhiệt trong thanh hữu hạn, không có nguồn nhiệt,
điều kiện biên thuần nhất.
A/ Xét bài toán
2
u
2 u
a
, D 0 x l; 0 t T
t
x 2
u
u
x 0
t 0
0, u
x l
0, 0 t T
x , 0 x l
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Trong đó (1.5), (1.6) lần lượt là điều kiện biên và điều kiện ban đầu của bài toán.
x là hàm cho trước, liên tục và có đạo hàm liên tục từng khúc trong 0,l
và 0 l 0 .
Định lý 1.1 (Nguyên lý cực đại)
Nếu hàm u (x , t ) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt (1.4) trong hình chữ
nhật D = {0 < x < l, 0 < t < T }, liên tục trong hình chữ nhật đóng
D = {0 £ x £ l, 0 £ t £ T } thì nó đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên cạnh
đáy t = 0 hoặc trên cạnh x = 0 , x = l .
Định lý 1.2
Nghiệm của bài toán (1.4) – (1.6) là duy nhất và phụ thuộc liên tục vào
điều kiện ban đầu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
8
B/ Phương pháp tách biến
Ta đi tìm nghiệm riêng của phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện biên (1.5)
dưới dạng
u x, t X x T t .
Thay vào (1.4) ta được
T
X
. Trong biểu thức vế trái phụ thuộc vào
2
X
aT
biến t , vế phải phụ thuộc vào x . Như vậy hiển nhiên hai vế của biểu thức bằng
nhau khi cùng bằng một số.
Giả sử
T
X
. Suy ra các hàm X x và T t thỏa mãn các
X
a 2T
phương trình vi phân
T a 2T 0
(1.7)
X X 0
(1.8)
Ta tìm các nghiệm riêng thoả mãn các điều kiện biên (1.5) với t ta có
u
x 0
X 0 .T t 0 ; u
x l
X l .T l 0 .
Từ đó suy ra, ta cần tìm nghiệm không đồng nhất của phương trình (1.8) thỏa
mãn điều kiện sau:
X 0 0 , X l 0
(1.9)
Đặt X x e rx , ta được phương trình đặc trưng của (1.8) là r 2 0 .
- Nếu c 2 suy ra nghiệm tổng quát của (1.8) là X x C 1e cx C 2e cx ,
trong đó C 1, C 2 là các hằng số tùy ý. Từ 1.9 ta có:
C1 C2 0
C1 C2 0 .
cl
cl
C1e C2e 0
Ta thu được nghiệm đồng nhất bằng không.
- Nếu 0 phương trình (1.8) có nghiệm tổng quát X x C 1 C 2x từ điều
kiện (1.9) ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
9
X 0 C 1 0, X l C 1 C 2l 0 C 1 C 2 0 X x 0
- Nếu c 2 suy ra phương trình đặc trưng của (1.8) là r 2 c 2 0 , ta có
r ic . Nghiệm tổng quát của (1.8) là X x C 1 cos cx C 2 sin cx .
+ Cho x l ta được X l C
+ Cho x 0 ta được X 0 C 1 0 .
2
sin lx 0 , với C 2 0 đẳng thức xảy ra
khi sin cl 0 haycl n , n 1, , 3...... .
2
n
Vậy bài toán (1.8), (1.9) có nghiệm không tầm thường nếu n
l
n
x trong đó C n là hằng số
l
suy ra bài toán có nghiệm là: X n x C n sin
tùy ý, ta chọn n 1, 2,...
n
x gọi là hàm riêng
l
Gọi n là giá trị riêng, còn hàm X n x sin
tương ứng của (1.8) với điều kiện (1.9), các hàm này lập thành một họ hàm trực
giao trong 0,l tức là
l
X x X x 0 nếu m n .
n
m
0
2
Phương trình (1.7) có nghiệm tổng quát là T n t ane
2
số tùy ý. Vậy các hàm u n x , t ane
n a
t
l
sin
n a
t
l
, an là hằng
n x
là các nghiệm riêng của
l
phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện biên (1.5) do đó chuỗi hàm:
2
a e
u x, t
n 1
n a
t
l
n
sin
n x
l
(1.10)
là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện biên (1.5). Nếu
chuỗi hàm trên hội tụ đều và có thể lấy đạo hàm từng số hạng chuỗi hàm đó hai
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
10
lần đối với x và một lần đối với t thì ta sẽ xác định hằng số an sao cho (1.10)
thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.6).
a
Xét chuỗi hàm (1.10) ta cho t 0 ta được u x , 0
n 1
n
sin
n x
, suy
l
thành chuỗi Fuorier theo
ra hệ số an chính là hệ số khai triển của hàm x
hàm sin trong khoảng 0,l tức là:
2
n x
an x sin
dx
l 0
l
l
Ta cần chứng minh u x , t trong (1.10) là hàm liên tục thỏa mãn phương
trình (1.5) và điều kiện ban đầu (1.6).
là hàm liên tục và có đạo hàm liên tục từng khúc trên 0,l
Vì x
0 l 0 . Khi đó chuỗi hàm
a
n 1
n
sin
và
n x
là hội tụ đều với
l
0 x l
2
2
Với t 0 ta có 0 e
n a
t
l
1 nên ane
n a
t
l
sin
n x
n x
.
an sin
l
l
Vì vậy chuỗi hàm (1.10) hội tụ đều với 0 x l, t 0 do đó hàm thỏa mãn
điều kiện biên và điều kiện ban đầu.
1.2.2 Bài toán truyền nhiệt mà hai mút có sự trao đổi nhiệt với môi trường
xung quanh, môi trường đó giữ ở nhiệt độ không độ.
A/ Xét bài toán
Chúng ta xét bài toán
2
u
2 u
a
, D 0 x l; 0 t T
t
x 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
11
u
u
hu
0
hu
,
0 , 0 t T
x
x
x 0
x l
u
x 0
x , 0 x l
(1.11)
(1.12)
trong đó hàm x thỏa mãn điều kiện biên (1.11) và điều kiện ban đầu (1.12),
có đạo hàm cấp một liên tục và đạo hàm cấp hai liên tục từng khúc tên đoạn
0, l .
B/ Phương pháp tách biến
u x , t
Ta đi tìm nghiệm riêng u x , t X x .T t
điều kiện biên (1.11), thay
của phương (1.4) thỏa mãn
vào phương trình (1.4) ta thu được hai
phương trình vi phân
X x X x 0
T t a 2 T t 0
(1.13)
(1.14)
trong đó là hằng số tùy ý. Từ điều kiện biên (1.11) ta có:
X 0 hX 0 0 , X l hX l 0
(1.15)
Khi đó ta đi tìm giá trị riêng của phương trình (1.14) thỏa mãn điều kiện
(1.15). Nghiệm tổng quát của phương trình (1.14) là:
X x C 1 cos x C 2 cos x
trong đó C 1, C 2 là các hằng số tùy ý.
Ta có X x
C 1 sin x C 2 cos x . Từ điều kiện biên (1.15)
suy ra:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
12
hC C 0
2
1
h cos l sin l C 1 h sin l cos l C 2 0
(1.16)
Đây là hệ phương trình thuần nhất với ẩn là C 1, C 2 và luôn có nghiệm tầm
thường C 1 C 2 0 . Có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức
của nó bằng không
h
h cos l l h sin l cos l
Đặt
0
l , p hl ta được:
2 cot
p
p
(1.17)
Phương trình (1.17) không đổi khi thay đổi bằng , nếu phương trình (1.17)
có một nghiệm là i thì nó cũng nhận i là nghiệm. Gọi 1, 2 ,..., n ,.. , là
các nghiệm không âm, trong đó 1 2 3 .... . Khi đó (1.13), (1.14) có
nghiệm không tầm thường với n n
l
2
, n 1, 2,... . n là các giá trị
riêng của bài toán (1.13), (1.14). Ta có các hàm riêng tương ứng của bài toán là
X n x cos
n x
l
p
n
sin
C2
n x
l
h
n
, từ hệ (1.16) ta có:
C1
hl
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
13
C1
p
n
C1
2
Ta cũng có nghiệm tổng quát của phương trình (1.13) là: T n t a ne
a
n t
l
trong đó an là các hằng số tùy ý.
2
Vậy ta có u n x , t ane
a
n t
l
n x
n x
p
cos
sin
là những nghiệm
l
l
n
riêng của phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện biên (1.11). Khi đó chuỗi hàm
2
a e
u x, t
n 1
a
n t
l
n
n x
x
p
sin n
cos
l
n
l
(1.18)
là nghiệm tổng quát của bài toán (1.4) thỏa mãn điều kiện (1.11). Trong đó hệ số
an được xác định sao cho hàm (1.18) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.12). Từ
(1.18) cho t 0 ta có
x
x
p
x an cos n
sin n
l
n
l
n 1
trong đó các hàm riêng X m x
a X x
n 1
n
n
(1.19)
lập thành một họ hàm trực giao trong đoạn
0,l nghĩa là
l
X x .X x dx 0 nếu m n
m
(1.20)
n
1
Từ (1.19) ta có an là hệ số khai triển của hàm cho trước x thành chuỗi hàm
sau đó lấy
theo các hàm riêng X n x . Ta nhân hai vế của (1.19) với X m x
tích phân hai vế ta được:
l
l
x X x dx a X x X x dx
m
0
n 1
n
n
m
0
Kết hợp với 1.20 đặt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
14
l
Im X
2
m
x dx a
l
I
m m
0
x X m x dx
0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
15
Vậy
1
am
Im
l
n x
l
x cos
0
p
n
sin
n x
dx
l
(1.21)
Vì hàm x có thể khai triển thành chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối và đều theo các
hàm riêng X n x nên u x , t
l
ane
x
n
l
2
t
0
n a p
n x
cos
sin
hội tụ
l
l
n
đều trong miền 0 x l, 0 t T . Chuỗi hàm u x , t
chính là nghiệm
của bài toán hỗn hợp.
Nhận xét: Phương pháp tách biến trên chỉ thực hiên được khi chúng ta xác
định được các giá trị riêng của bài toán m1, m2 ,... là nghiệm của phương trình
lượng giác
2 cot
p
p
Trong trường hợp tổng quát, phương trình trên là không giải được. Vì vậy
phương pháp chỉ thực hiện được trong các trường hợp cụ thể. Một trong những
trường hợp đó là h = 0 tương ứng với hệ điệu kiện ban đầu là dạng Neumann.
Trong trường hợp này, ta vẫn nhận được các giá trị riêng của bài toán có dạng
mn =
np
, n = 0,1, 2,...
l
1.2.3 Bài toán truyền nhiệt trong thanh hữu hạn có nguồn nhiệt
Xét bài toán
2
u
2 u
a
f x , t , D 0 x l; 0 t T
t
x 2
u
u
x 0
t 0
0 , u x l 0 , 0 t T
(1.22)
(1.23)
x , 0 x l
(1.24)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
16
liên tục, có đạo hàm liên tục từng khúc trên đoạn 0,l , thỏa
mãn điều kiện 0 l 0 . Hàm f x , t liên tục, có đạo hàm liên tục
từng khúc trong đoạn 0,l thỏa mãn f 0, t f l, t 0 với t 0 .
Hàm x
Ta tìm nghiệm của bài toán trên dưới dạng
T t sin n l x
u x, t
(1.25)
n
n 1
u x , t là hàm thỏa mãn điều kiện biên (1.23). Vì x là hàm liên tục và có
đạo hàm liên tục từng khúc trong 0,l và thỏa mãn điều kiện
0 l 0 . Hàm f x , t liên tục, có đạo hàm liên tục từng khúc trên
0,l và thỏa mãn điều kiện f 0, t f l, t 0 với t 0 . Khi đó ta khai
triển các hàm x , f x , t thành chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối và đều trên
đoạn 0,l theo hàm sin
f t sin n l x
(1.26)
n x
l
(1.27)
f x, t
n 1
x
n
x sin
n
n 1
trong đó
2
n x
fn t f x , t sin
dx
l 0
l
l
2
n x
n x x sin
dx
l 0
l
l
Thay (1.25), (1.26) vào (1.22) ta được
2
n a
n x
T
t
T
t
f
t
sin
0
n
n
n
l
l
n 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
17
Từ đó ta có phương trình vi phân thường sau:
2
n a
T n t
T n t fn t 0
l
(1.28)
Vì hàm u x , t thỏa mãn điều kiện ban đầu nên ta có
u
T 0 sin n l x
x
t 0
n 1
n
Từ (1.27) ta có T n 0 n .
Nếu x , f x , t thoản mãn các điều kiện trên thì chuỗi hàm
Vậy T n t là nghiệm của phương trình vi phân (1.22) thỏa mãn T n 0 n .
T t sin n l x
u x, t
n 1
n
là nghiệm của bài toán hỗn hợp.
1.2.4 Bài toán truyền nhiệt tổng quát
Xét bài toán
2
u
2 u
a
f x , t , D 0 x l; 0 t T
t
x 2
u
u
1(t ) , u
x 0
x l
2 (t ) , 0 t T
(1.30)
x , 0 x l
t 0
(1.29)
(1.31)
Sử dụng phép đổi biến
x
( y (t ) - y 1(t ))
(1.32)
l 2
Khi đó dễ dàng kiểm tra thấy rằng hàm v(x , t ) sẽ là nghiệm của bài toán
u (x , t ) = v(x , t ) + y 1(t ) +
2
v
2 v
a
f1 x , t , D 0 l; 0 t T
t
x 2
v
v
x 0
t= 0
0, v
= j
1
x=l
= 0, 0 t T
(x ), 0 x l
(1.33)
(1.34)
(1.35)
Trong đó các hàm f1(x , t ), j 1(x ) sẽ nhận được bằng cách thay trực tiếp (1.32)
vào (1.29). Dễ thấy rằng bài toán (1.33) – (1.35) chính là dạng bài toán (1.22) –
(1.24) đã xét.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
18
