PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH

Trờng Đại học GTVT TTB Lạnh - Nhiệt 43
Chuyên đề
phơng pháp số giải bài toán truyền nhiệt
không ổn định
Dẫn nhiệt không ổn định là bài toán rất hay gặp trong thực tế khi nhiệt độ của vật thể thay
đổi theo thời gian. Một cách tổng quát, ta có phơng trình vi phân dẫn nhiệt tổng quát, mô tả
quan hệ của nhiệt độ tại các thời điểm theo thời gian khi trong vật không có nguồn sinh nhiệt:
ta.
t
2
=



, (1)
Trong đó:
+

t


: đạo hàm của nhiệt độ theo thời gian;
+ a =
c.

: hệ số khuyếch tán nhiệt độ;
+
=
t
2
2

2
2
2
2
2
z
t
y
t
x
t


+


+


, toán tử Laplace.
Để giải một bài toán dẫn nhiệt không ổn định theo phơng trình vi phân (1) thì rất phức tạp
và đòi hỏi nhiều điều kiện đơn trị. Trên thực tế ngời ta chỉ áp dụng phơng pháp này khi giải
bài toán dẫn nhiệt ổn định. Đối với bài toán dẫn nhiệt không ổn định ta sử dụng các phơng
pháp: quy tụ, phơng pháp sai phân hữu hạn...
1. Các bài toán dẫn nhiệt không ổn định
a. Bài toán dẫn nhiệt không ổn định dùng phơng pháp quy tụ
Bài toán khảo sát một vật thể tích V, khối lợng M, nhiệt dung riêng c, nhiệt độ ban đầu
đồng nhất bằng t
0
. Vật thể đợc đặt vào môi trờng có nhiệt độ không đổi t

l
< t
0
. Khi hệ số toả
nhiệt

tại bề mặt xung quanh vật với môi trờng là rất nhỏ so với hệ số dẫn nhiệt của vật , thì
nhiệt độ trong vật sẽ đồng nhất tại mọi điểm và giảm chậm theo thời gian. Lợng nhiệt mất đi
do toả nhiệt ra môi trờng qua bề mặt ngoài vật có diện tích F, sau thời gian d

bằng độ giảm
nội năng của vật :
M.c.dt)dt.F(t
1
=
, (2)
Từ đó giải ra nghiệm là nhiệt độ của vật phụ thuộc vào thời gian :
b
L0L
).et(ttt

+=
, (3)
Biểu thức (3) cho phép xác định nhiệt độ bên trong vật theo thời gian

hoặc xác định
thời gian để nhiệt độ của vật đạt đợc giá trị t cho trớc. Với điều kiện
10,

.

Bi
=
vì khi đó
khả năng toả nhiệt tại bề mặt vật nhỏ hơn dẫn nhiệt trong vật rất nhiều, nhiệt độ trên mặt vật
Đồ án tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dung
111
Trờng Đại học GTVT TTB Lạnh - Nhiệt 43
giảm rất chậm, phân bố nhiệt độ trong vật gần nh gần nh đờng thẳng nằm ngang và nhiệt độ
trong vật đợc coi là đồng nhất.
b. Bài toán dẫn nhiệt không ổn định một chiều
+ Làm nguội hoặc gia nhiệt tấm phẳng rộng vô hạn
Bài toán khảo sát tấm phẳng rộng vô hạn có bề dày
2
,

là hằng số. Nhiệt độ lúc đầu
đồng nhất trong toàn bộ vật bằng t
0
. Vật đợc đặt trong môi trờng có nhiệt độ t
L
= const. Khi đó
nhiệt đợc truyền từ vật ra môi trờng với hệ số toả nhiệt

không đổi trên hai mặt vật. Nhiệt
độ là hàm của thời gian và chỉ thay đổi theo bề dày tấm, nên đợc biểu thị bằng phơng trình vi
phân một chiều:

=


2
2
x
t
a.

t
, (4)
Bằng cách đa về nhiệt độ d
1
tt
=
và dùng phơng pháp tách biến:
)().(),( xx

=
Nhận đợc nghiệm :
[ ]
cos(k.x)Csin(k.x)C).ak.exp(C)(x,
32
2

1
+=
, (5)
Từ các điều kiện đơn trị, sau các biến đổi nhận đợc nghiệm cuối cùng có dạng chuỗi vô
hạn:














+
=

=
2
2
nn
1n
nnn
n0

a
.exp

x
cos
.cossin
sin2
)(x,
, (6)
Trong đó :
+
k.
n
=
; k =1,2,3
n

là nghiệm của phơng trình đặc trng:
Bi

Cotg
=
với

.
Bi
=
+ Dẫn nhiệt vật thể có 1 phía dày vô hạn
Bài toán dẫn nhiệt không ổn định của vật thể có một phía dày vô hạn cũng đợc mô tả bởi
phơng trình vi phân dẫn nhiệt không ổn định một chiều:

2
2
x
t
a.

t


=


, (5)
Bằng cách đổi biến kép
1/2
) x.(4a.

=

, để chuyển phơng trình vi phân đạo hàm riêng
(5) thành phơng trình vi phân thờng:



d
dt
d
td
.2
2

2
=
, (6)
Từ đó giải ra nghiệm :
Đồ án tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dung
112
Trờng Đại học GTVT TTB Lạnh - Nhiệt 43

+

=



0
2
0
).exp(
)(2
)(
m
m
tduu
tt
t
, (7)
Tích phân (7) gọi là tích phân sai số Gauss,

là biến số giả.
Nhận xét

Các bài toán trên đều đợc mô tả bởi phơng trình vi phân dẫn nhiệt. Phơng pháp giải tích
chỉ có thể giải các bài toán khi các điều kiện biên là không đổi:
+ Bài toán quy tụ, điều kiện là môi trờng có nhiệt độ không đổi, hệ số toả nhiệt tại mặt
ngoài lớn hơn rất nhiều hệ số dẫn nhiệt trong vật
+ Bài toán gia nhiệt tấm phẳng rộng vô hạn, có điều kiện biên loại 3 là nhiệt độ môi trờng
không đổi
+ Bài toán dẫn nhiệt vật thể có 1 phía dày vô hạn, có các điều kiện biên loại 1, loại 2, loại
3 đều là không đổi.
Các kết quả trên không thể áp dụng cho bài toán định khảo sát là sự thay đổi nhiệt độ
trong vật thể có kích thớc hữu hạn. Vì vậy, đối với các bài toán dẫn nhiệt không ổn định 1
chiều: xác định nhiệt độ của tuờng phòng lạnh, của lớp áo đờng nhựa, mặt đờng bêtông xi
măng dới tác động của bức xạ mặt trời và nhiệt độ không khí thay đổi theo thời gian trong
ngày, trong năm hoặc khảo sát sự biến thiên nhiệt độ của sản phẩm đông lạnh, sản phẩm nung
(gốm, gạch)... Để giải các bài toán này ta sử dụng phơng pháp sai phân hữu hạn.
2. Phơng pháp sai phân hữu hạn
Bản chất của phơng pháp sai phân hữu hạn (SPHH) là thay phơng trình vi phân dẫn nhiệt
bằng phơng trình sai phân. Phơng pháp SPHH là cơ sở để xây dựng chơng trình tính toán trên
máy. Khi dùng phơng pháp SPHH thì phơng trình vi phân dẫn nhiệt là không ổn định, một
chiều và không có nguồn nhiệt bên trong.
2.1. Phơng pháp cân bằng năng lợng phân tử
Xét tấm phẳng rất rộng có bề dày

, hệ số dẫn nhiệt

và nhiệt dung riêng c không thay
đổi. Biết phân bố nhiệt độ ban đầu của tấm thay đổi theo hớng bề dày tấm, gọi là hớng x. Mặt
trên của tấm tiếp xúc với không khí có nhng nhiệt độ thay đổi theo thời gian t
K
= g(

), mặt
phía dới tiếp xúc với vật liệu có hệ số dẫn nhiệt và nhiệt độ không đổi là

N
, t
N
. Do dòng
nhiệt truyền chủ yếu theo chiều sâu nên nhiệt độ chỉ thay đổi theo hớng x.
Lợng nhiệt phần tử nhận đợc sau một khoảng thời gian bằng biến thiên năng lợng của phần
tử trong thời gian đó. Chia bề dày tấm thành n khoảng đều nhau, mỗi khoảng dày

x =
n


bởi các mặt giới hạn ký hiệu i = 1, 2, 3, , n. Chúng ta cần phải xác định nhiệt độ tại các mặt
này, ký hiệu: t
1
, t
2
, t
3
, , t
n
. Các phần tử đợc chọn để tính toán các nhiệt độ trên là tấm phẳng
rộng có diện tích bề mặt 1 m x 1 m, bề dày

x/2 tại các mặt trên cùng và dới cùng, bề dày
Đồ án tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dung
113

t
k
m+1
t
2
m+1
Phần tử 1
Phần tử 2

Trờng Đại học GTVT TTB Lạnh - Nhiệt 43

x tại các lớp bên trong của tấm. Thứ tự phần tử là i = 1, 2, 3, , n. B ớc thời gian chọn là

với chỉ số chạy m = 1, 2, 3
Hình 1. Chia khoảng và chọn phần tử tính toán trong tấm phẳng
Phơng trình cân bằng nhiệt của các phần tử:
Xét các phần tử tại thời điểm (m+1):
Phần tử 1: dày x/2, lợng nhiệt nhận đợc sau thời gian

do toả nhiệt với không khí q
0
:
q
0
= . ( t
K
m+1
- t
1

m+1
).

, (8)
Hình 2. Cân bằng năng lợng tại phần tử 1
Mặt dới nhận dòng nhiệt q
2
từ phần tử 2: q
2
=
x

.( t
2
m+1
- t
1
m+1
).

, (9)
Lợng nhiệt nhận đợc làm tăng nội năng của phần tử:
2
x
..c
11
.(t
1

m+1

- t
1
m
) , (10)
Theo định luật bảo toàn năng lợng ta có:
. ( t
K
m+1
- t
1
m+1
).

+
x

.( t
2
m+1
- t
1
m+1
).

=
2
..c
x

.(t

1

m+1
- t
1
m
), (11)
Đồ án tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dung
x

phần tử 1
phần tử 2
phần tử 3
phần tử n - 1
phần tử na
phần tử nb
phần tử 4
đến (n
2)
mặt 1, t
1
mặt 2, t
2
mặt 3, t
3
mặt 4 đến (n
2)
mặt n, t
n
mặt n 1, t

n-1
Vật liệu 1
Vật liệu 2
t
N
= const
114
phần tử 1
phần tử 3
phần tử 2
t
1
m+1
t
2
m+1
t
3
m+1
q
1
= .(t
1
m+1
t
2
m+1
).
q
3

= .(t
1
m+1
t
2
m+1
).
Trờng Đại học GTVT TTB Lạnh - Nhiệt 43
Phần tử 2: mặt trên nhận nhiệt q
1
do dẫn nhiệt từ phần tử 1, mặt dới nhận nhiệt q
3
do phần
tử 3 truyền lên.
Hình 3. Cân bằng năng lợng tại phần tử 2
Tơng tự ta có:
x

. ( t

1
m+1
t
2
m+1
).

+
x

.( t
3
m+1
t
2
m+1
).

=
xc

..

.(t
2

m+1
t
2
m
), (12)
Tơng tự nh trên, từ phần tử 3 đến phần tử (n 1) ta có:
x

. ( t

i - 1
m+1
t
i

m+1
).

+
x

.( t
i + 1
m+1
t
2
m+1
).

=
xc

..

.(t
i

m+1
t
i
m
), (13)
Phần tử n gồm 2 phần tử có bề dày x/2 làm bằng vật liệu khác nhau, mỗi phần tử tơng tự
nh phần tử 1. Phơng trình cân bằng nhiệt viết chung cho 2 phần tử này:
x

. ( t

n - 1
m+1
t
n
m+1
).

+
x

N
.( t
N
m+1
t
n
m+1
).

= (
2
x
)..cc.
NN
+
.(t
n

m+1
t
n
m
), (14)
Đặt: Fo = a. / (x)
2
; Bi = . x/ . Sau khi biến đổi (11), (12), (13), (14) sẽ đợc :
( 1 + 2.Fo + 2Fo.Bi ) t
1
m +1
- 2.Fo. t
2
m +1
= t
1
m
+ 2Fo.Bi.t
K
m
, (15)
- Fo.t
i-1
m +1
+ ( 1+ 2Fo).t
i
m +1
- Fo.t
i +1

m +1
= t
1
m
, (16)
- 2. Fo. t
n 1
m+1
+ [ 2. Fo ( 1 +


N
) + 1 ] t
n
m +1
= t
n
m
+ 2. Fo.


L

t
N
, (17)
Đồ án tốt nghiệp Nguyễn Thị Thùy Dung
115