Số cân bằng fibonacci và số cân bằng lucas

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HÀ THU GIANG

SỐ CÂN BẰNG FIBONACCI
VÀ SỐ CÂN BẰNG LUCAS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

HÀ THU GIANG

SỐ CÂN BẰNG FIBONACCI
VÀ SỐ CÂN BẰNG LUCAS

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên - 2016


Mục lục

Danh sách kí hiệu

ii

Mở đầu

1

Chương 1 . Số cân bằng và một số dãy số liên quan

4

1.1

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất . . . . . . . . . .

4

1.2

Số cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Số Lucas-cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Một số tính chất của các số λ1 và λ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Một số mối quan hệ giữa số cân bằng và số Lucas-cân bằng . . . . . . 14

Chương 2 . Số cân bằng Fibonacci và số cân bằng Lucas

19

2.1

Số Fibonacci và số Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Số cân bằng Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3

Các số cân bằng Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Kết luận

35

Tài liệu tham khảo

36

i


Danh sách kí hiệu
Bn

số cân bằng thứ n

Cn

số Lucas-cân bằng thứ n

Fn

số Fibonacci thứ n

Ln

số Lucas thứ n
√

số vô tỷ 3 + 8
√
số vô tỷ 3 − 8

λ1
λ2

ii


Mở đầu
Một số nguyên dương n được gọi là một số cân bằng với hệ số cân bằng r nếu nó
là nghiệm của phương trình Diophant
1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r).
Khái niệm về số cân bằng được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên bởi Behera và Panda
[4]. Sau đó rất nhiều tính chất đẹp của các số cân bằng được tìm ra bởi Panda [9], Ray
[10, 11],... Một số tính chất này đã được trình bày lại bằng tiếng Việt trong [1].
Kí hiệu Bn , n = 0, 1, . . . , là số cân bằng thứ n, với quy ước B0 = 1. Khi đó các
số Bn thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Bn+1 = 6Bn − Bn−1 .
Sử dụng lý thuyết của phương trình sai phân tuyến tính ta có được công thức Binet
cho các số cân bằng

λn+1
− λn+1
1
2
Bn =
, n = 0, 1, . . . ,
λ1 − λ2

√
√
trong đó λ1 = 3 + 8 và λ2 = 3 − 8. Trong chương 5 của tài liệu [10], Ray đã
chứng minh một số quan hệ đặc biệt giữa các số cân bằng và các số vô tỷ λ1 và λ2 .
Mục tiêu đầu tiên của luận văn này là trình bày lại các kết quả này của Ray.
Một đặc trưng quan trọng của số cân bằng Bn là 8Bn2 + 1 là số chính phương. Số
Cn =

8Bn2 + 1 được gọi là số Lucas-cân bằng thứ n. Các số Lucas-cân bằng có liên

quan chặt chẽ với các số cân bằng. Cụ thể là đã có nhiều đẳng thức được tìm ra liên
quan đến các số này. Đặc biệt, gần đây, Ray [11] đã chứng minh được một số đẳng
thức thú vị thể hiện mối quan hệ giữa các số Lucas-cân bằng và các số cân bằng. Mục
đích tiếp theo của luận văn này là trình bày lại các kết quả này của Ray.
1


Trong số các tính chất của các số cân bằng, có khá nhiều tính chất có tính tương
đồng với tính chất của các số Fibinacci và các số Lucas. Một vấn đề tự nhiên được
đặt ra: liệu có số nguyên nào vừa là số cân bằng vừa là số Fibonacci hay không? hoặc
có tồn tại số cân bằng nào mà đồng thời là số Lucas hay không? Các số như vậy lần
lượt được gọi là các số cân bằng Fibonacci và các số cân bằng Lucas. Các vấn đề này
đã được Liptai trả lời hoàn chỉnh trong [7] và [8]. Cụ thể, trong [7], Liptai đã chỉ ra
rằng chỉ có duy nhất một số cân bằng Fibonacci, đó là số 1. Bằng phương pháp chứng
minh tương tự, Liptai [8] cũng chứng minh được rằng không tồn tại bất cứ số cân bằng
Lucas nào. Mục đích cuối cùng của luận văn này là trình bày lại các câu trả lời này
của Liptai.

Cấu trúc của luận văn
Luận văn được trình bày thành 2 chương:

• Chương 1: Số cân bằng và một số dãy số liên quan. Phần đầu tiên của chương
này chúng tôi nhắc lại về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, nhắc
lại khái niệm về số cân bằng. Tiếp theo đó, chúng tôi trình bày về khái niệm và một
số tính chất của các số Lucas-cân bằng. Sau đó, chúng tôi trình bày về mối quan hệ
giữa các số cân bằng với các số vô tỷ λ1 , λ2 . Cuối cùng, chúng tôi trình bày mối quan
hệ giữa các số Lucas-cân bằng và các số cân bằng.
• Chương 2: Số cân bằng Fibonacci và số cân bằng Lucas. Mở đầu chương này,
chúng tôi trình bày sơ lược khái niệm của các số Fibonacci và các số Lucas. Tiếp
theo đó chúng tôi trình bày chứng minh của Liptai về sự tồn tại duy nhất số cân bằng
Fibonacci. Cuối cùng, chúng tôi trình bày chứng minh của Liptai về sự không tồn tại
số cân bằng Lucas.
Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rất lớn từ thầy giáo-TS
Ngô Văn Định. Tôi xin gửi tới thầy lời tri ân sâu sắc nhất. Trong suốt quá trình làm
luận văn, thầy đã dành nhiều thời gian, công sức để chỉ bảo và tận tình hướng dẫn để
tôi có thể hoàn thành đề tài. Một lần nữa xin được gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành
nhất.
2


Đồng thời, trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được sự giúp đỡ
của các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên. Cảm ơn các thầy cô đã tạo điều kiện trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè, đồng nghiệp-những
người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận
văn.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016
Tác giả luận văn

Hà Thu Giang

3


Chương 1

Số cân bằng và một số dãy số liên quan
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về số cân bằng, số Lucas-cân
bằng. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày một số tính chất thú vị về mối quan hệ giữa
các số cân bằng với các giá trị λ1 , λ2 ; và về mối quan hệ giữa các số cân bằng và các
số Lucas-cân bằng. Tài liệu chính được sử dụng trong chương này là tài liệu [11] và
Chương 5 của tài liệu [10].

1.1

Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Trước khi trình bày các nội dung chính của chương, chúng tôi nhắc lại khái niệm
về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất và đặc biệt chúng tôi trình bày
về công thức nghiệm của phương trình này trong trường hợp đa thức đặc trưng có hai
nghiệm phân biệt. Đây là những kiến thức cần thiết cho các nội dung sau.
Định nghĩa 1.1.1. Phương trình có dạng
un+1 = Aun + Bun−1 , n = 1, 2, ...,

(1.1)

trong đó A, B là các hằng số, được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
thuần nhất.
Để tìm nghiệm của phương trình sai phân (1.1), chúng ta xét phương trình bậc hai
λ2 − Aλ − B = 0.

(1.2)

Phương trình bậc hai này được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình sai
4


phân (1.1). Định lý sau đây cho chúng ta công thức nghiệm của phương trình sai phân
(1.1) trong trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt.
Định lý 1.1.2 ([6, Theorem 10.1]). Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm
phân biệt α và β. Khi đó phương trình sai phân (1.1) có nghiệm là
un = C1 αn + C2 β n , n = 0, 1, 2, ...,

(1.3)

trong đó C1 và C2 là những số bất kì.
Chúng ta cũng cần chú ý rằng, nếu biết điều kiện ban đầu u0 và u1 thì các hằng số
C1 và C2 hoàn toàn được xác định.
Ví dụ 1.1.3. Tìm nghiệm của phương trình sai phân
un+1 = 5un − 6un−1

(1.4)

với điều kiện ban đầu u0 = 4, u1 = 7.
Giải. Phương trình đặc trưng của phương trình (1.4) là
λ2 − 5λ + 6 = 0.
Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là 2 và 3. Do đó, nghiệm tổng
quát của phương trình (1.4) là
un = C1 2n + C2 3n , n = 0, 1, ...
Từ điều kiện ban đầu u0 = 4, u1 = 7 ta có hệ phương trình



C1 + C2 = 4,

2C1 + 3C2 = 7.
Giải hệ phương trình này ta được C1 = 5, C2 = −1. Vậy nghiệm của phương trình
(1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 4, u1 = 7 là
un = 5.2n − 3n , n = 0, 1, ...

5


Một cách tổng quát, phương trình sai phân (1.1) cùng với điều kiện ban đầu u0 , u1
xác định một dãy số {un }∞
n=0 , kí hiệu bởi u(A, B, u0 , u1 ), với
aαn − bβ n
un =
α−β

(1.5)

trong đó α, β là hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.2) và a = u1 − u0 β, b =
u1 − u0 α.

1.2

Số cân bằng

Trong mục này chúng tôi trình bày lại khái niệm về số cân bằng. Số cân bằng có
rất nhiều tính chất thú vị. Các tính chất này đã được tìm ra và công bố trong các tài

liệu [4], [9] và [10]. Đặc biệt một số kết quả trong các tài liệu này đã được trình bày
lại bằng tiếng Việt trong luận văn thạc sĩ [1] của Hoàng Thị Hường. Ở đây chúng tôi
không trình bày lại các kết quả này mà chỉ trình bày về khái niệm và một số đẳng thức
cần thiết.
Định nghĩa 1.2.1. Số nguyên m được gọi là số cân bằng nếu
1 + 2 + · · · + (m − 1) = (m + 1) + (m + 2) + · · · + (m + r)
với r là số tự nhiên nào đó; số r được gọi là hệ số cân bằng của m.
Ví dụ 6 và 35 là hai số cân bằng với hệ số lần lượt là 2 và 14. Khái niệm về số cân
bằng được đưa ra năm 1999 bởi Behera và Panda [4]. Sau đó, rất nhiều tính chất thú
vị của số cân bằng được Panda chứng minh trong [9]. Các kết quả này của Behera và
Panda đã được trình bày lại trong luận văn của Hoàng Thị Hường [1].
Kí hiệu Bn là số cân bằng thứ n và đặt B0 = 1. Behera và Panda [4] đã chứng
minh được dãy {Bn }∞
n=0 được xác định bởi phương trình sai phân
Bn+1 = 6Bn − Bn−1 , n = 1, 2, ...,

(1.6)

với điều kiện ban đầu B0 = 1, B1 = 6. Như vậy, ta có
{Bn }∞
n=0 = B(6, −1, 1, 6).
6


Phương trình đặc trưng của phương trình (1.6) là
λ2 − 6λ + 1 = 0.
Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt
√
√
λ1 = 3 + 2 2 và λ2 = 3 − 2 2.

Áp dụng công thức (1.5) ta được
Bn =

λn+1
− λn+1
1
2
, n = 0, 1, 2, ...
λ1 − λ2

(1.7)

Công thức (1.7) được gọi là công thức Binet cho số cân bằng.

1.3

Số Lucas-cân bằng

Như đã trình bày ở phần trước một số nguyên dương n được gọi là một số cân
bằng với hệ số cân bằng r nếu nó là nghiệm của phương trình Diophant
1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r).
Kí hiệu Bn là số cân bằng thứ n và với quy ước 1 cũng là số cân bằng ta đã thấy rằng
dãy {Bn } thỏa mãn điều kiện
Bn+1 = 6Bn − Bn−1 , n = 1, 2, . . . .
Để thuận tiện cho việc trình bày, từ đây cho đến hết chương này chúng ta đặt lại chỉ
số sao cho B1 = 1 và B2 = 6. Như vậy dãy {Bn }∞
n=1 được xác định bởi phương trình
sai phân tuyến tính cấp hai
Bn+1 = 6Bn − Bn−1 ,

n > 2,

(1.8)

với điều kiện ban đầu là B1 = 1 và B2 = 6.
Với chỉ số mới này, công thức Binet (1.7) cho các số cân bằng trở thành
Bn =

λn1 − λn2
, n = 1, 2, ...
λ1 − λ2

(1.9)
7


với λ1 = 3 +

√
√
8 và λ2 = 3 − 8.

Behera và Panda [4] cũng đã chỉ ra rằng số n là số cân bằng nếu và chỉ nếu n2 là
số tam giác, tức là n2 có dạng
1 + 2 + · · · + m,
với một số nguyên dương m nào đó, và điều này cũng tương đương với 8n2 + 1 là số
chính phương (xem cụ thể trong [1, Mệnh đề 1.1.1]).
Định nghĩa 1.3.1. Nếu Bn là số cân bằng thứ n thì số Cn =

8Bn2 + 1 được gọi là

số Lucas-cân bằng thứ n.
Dựa vào định nghĩa của số Lucas-cân bằng ta dễ dàng chứng minh được công thức
Binet cho các số này. Cụ thể ta có định lý sau:
Định lý 1.3.2 ([1, Mệnh đề 1.6.1]). Sử dụng các kí hiệu như trên ta có
λn1 + λn2
Cn =
, n = 1, 2, . . . .
2

(1.10)

Sử dụng công thức Binet (1.10) ta có thể chứng minh được các số Lucas-cân bằng
được xác định bởi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai
Cn+1 = 6Cn − Cn−1 ,

n > 2,

(1.11)

với điều kiện ban đầu là C1 = 3 và C2 = 17. Trước khi chứng minh điều này, ta chứng
minh bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.3.3. Sử dụng các kí hiệu như trên ta có
Cn Cn−1 = 8Bn Bn−1 + 3.

(1.12)

Chứng minh. Rõ ràng ta có
λ1 + λ2 = 6,

√
λ1 − λ2 = 2 8,

λ1 λ2 = 1.

(1.13)

Với các đẳng thức này, biến đổi từng vế của (1.12) ta có
Cn Cn−1

λn1 + λn2 λn−1
+ λn−1
λ2n−1
+ λ2n−1
+6
1
2
1
2
=
=
2
2
4
8


và

λn1 − λn2 λn−1

λ2n−1
− λn−1
+ λ2n−1
+6
1
1
2
2
+3=
.
8Bn Bn−1 + 3 = 8
λ1 − λ2 λ1 − λ2
4

Từ đây suy ra đẳng thức (1.12).
Định lý 1.3.4. Dãy các số Lucas-cân bằng {Cn } thỏa mãn phương trình sai phân
Cn+1 = 6Cn − Cn−1 , n > 2.
Chứng minh. Ta có
2
2
Cn+1
= 8Bn+1
+1

= 8(6Bn − Bn−1 )2 + 1
2
+1
= 8.36Bn2 − 12.8Bn Bn−1 + 8Bn−1
2
= 36(8Bn2 + 1) − 12(8Bn Bn−1 + 3) + (8Bn−1

+ 1).

Sử dụng Bổ đề 1.3.3 ta thu được
2
2
Cn+1
= 36Cn2 − 12Cn Cn−1 + Cn−1

= (6Cn − Cn−1 )2 .
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

1.4

Một số tính chất của các số λ1 và λ2

Như ở các phần trên ta đã thấy λ1 = 3 +

√

8 và λ2 = 3 −

√
8 là hai nghiệm của

phương trình đặc trưng
λ2 − 6λ + 1 = 0.
Từ đó ta dễ dàng có được các hệ thức (1.13). Trong mục này, chúng ta sẽ thấy một số
tính chất thú vị đối với hai số vô tỷ này và một số mối quan hệ giữa chúng và các số
cân bằng cũng như các số Lucas-cân bằng. Trước tiên chúng ta sẽ thấy rằng hai số vô
tỷ này cũng thỏa mãn một phương trình dạng hồi quy tương tự như phương trình sai

phân xác định các số cân bằng.
9


Mệnh đề 1.4.1. Với mọi số nguyên dương n ta có
λn+1
= 6λn1 − λn−1
và λn+1
= 6λn2 − λn−1
1
1
2
2 .
Chứng minh. Do λ1 và λ2 là hai nghiệm của phương trình
λ2 − 6λ + 1 = 0
nên ta có
λ21 = 6λ1 − 1
và
λ22 = 6λ2 − 1.
Bằng cách nhân cả hai vế của các hệ thức này lần lượt với λn−1
và λn−1
ta thu được
1
2
điều cần phải chứng minh.
Các định lý sau đây cho chúng ta các mối quan hệ giữa các số cân bằng với các số
vô tỷ λ1 và λ2 . Mối quan hệ đầu tiên chính là công thức Binet cho các số cân bằng. Ở
đây ta trình bày chứng minh trực tiếp bằng phương pháp quy nạp cho công thức này.
Định lý 1.4.2. Với mọi số nguyên dương n ta có
1

Bn = √ (λn1 − λn2 ), n = 1, 2, . . . .
2 8
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Với n = 1 ta có
√
√
1
1
√ (λ1 − λ2 ) = √ (3 + 8) − (3 − 8)
2 8
2 8
= 1 = B1 .
Giả sử ta có
1
Bi = √ (λi1 − λi2 ),
2 8
với mọi i = 1, 2, . . . , k. Khi đó ta có
Bk+1 = 6Bk − Bk−1
10


=6

1
1
√ (λk1 − λk2 ) − √ (λk−1
− λk−1
1
2 )
2 8
2 8

1
k
k−1
= √ (6λk1 − λk−1
1 ) − (6λ2 − λ2 )
2 8
1
− λk+1
= √ (λk+1
1
2 ).
2 8
Vậy theo nguyên lý quy nạp định lý hoàn toàn được chứng minh.
Ta thấy rằng 0 < λ2 < 0, 1716. Do đó, khi n càng lớn thì λn2 càng tiến dần về 0.
1
Điều này chứng tỏ rằng giá trị của Bn xấp xỉ với giá trị √ λn1 . Cụ thể ta có định lý
2 8
sau:
Định lý 1.4.3. Với mọi số nguyên dương n, số cân bằng Bn là số nguyên gần nhất với
1
√ λn1 .
2 8
Chứng minh. Theo công thức Binet ta có
1
1
Bn = √ λn1 − √ λn2 .
2 8
2 8
Mặt khác ta có

1
1
1
0 < √ < và 0 < λ2 < .
4
4
2 8
Do đó ta có
1
1
√ λn2 < n+1 , n = 1, 2, . . . .
4
2 8
1
1
Vì n+1 < với mọi số nguyên dương n nên ta suy ra Bn là số nguyên gần nhất với
4
2
1 n
1
√ λ1 . Đặc biệt khi n đủ lớn thì Bn rất gần với √ λn1 .
2 8
2 8
1
Nhận xét 1.4.4. Theo định lý trên Bn là số nguyên gần nhất với √ λn1 . Mặt khác rõ
2 8
ràng
1
Bn < √ λn1 .
2 8

Do vậy ta có
Bn =

1
√ λn1 ,
2 8

trong đó · là kí hiệu hàm sàn.
11


Hoàn toàn tương tự, sử dụng công thức Binet của các số Lucas-cân bằng ta có
định lý sau:
Định lý 1.4.5. Với mọi số nguyên dương n, số Lucas-cân bằng Cn là số nguyên gần
1
nhất với λn1 . Hơn nữa ta có
2
λn
Cn = 1 ,
2
trong đó · là kí hiệu hàm trần.
Định lý sau đây cho ta chặn trên và chặn dưới của λn1 biểu diễn bởi các số cân
bằng và các số Lucas-cân bằng tương ứng.
Định lý 1.4.6. Với mọi số nguyên dương n ta có
√
4 2Bn < λn1 < 2Cn .
Chứng minh. Sử dụng công thức Binet cho số cân bằng Bn ta có
1
1
Bn = √ λn1 − √ λn2 .

2 8
2 8
1
Do √ λn2 là số dương nên ta suy ra
2 8
1
Bn < √ λn1
2 8
hay

√
4 2Bn < λn1 .

(1.14)

Bây giờ sử dụng công thức Binet cho số Lucas-cân bằng Cn ta có
Cn =
Do

λn
λn1
+ 2.
2
2

λn2
dương nên ta suy ra
2
λn1 < 2Cn .

(1.15)

Từ các bất đẳng thức (1.14) và (1.15) ta suy ra điều cần phải chứng minh.

12


Trong tài liệu [10], Ray đã chỉ ra các bất đẳng thức
√
4 2Bn < λn1 < Bn+1 .
Ở đây, chúng tôi đã chỉ ra cận trên tốt hơn (xấp xỉ hơn) cho λn1 theo số Lucas-cân
bằng.
Từ các bất đẳng thức này ta thu được hệ quả sau:
Hệ quả 1.4.7. Với mọi số nguyên dương n ta có
λn−1
1

λn1
λn1
λn+1
1
.
< Bn < √ và
< Cn < √
2
4 2
8 2

Dựa vào công thức truy hồi của các số cân bằng và các số Lucas-cân bằng ta có
các chặn khác của Bn và Cn . Cụ thể ta có định lý sau đây:

Định lý 1.4.8. Với mọi số nguyên n ≥ 3 ta có
5n−1 < Bn < 6n−1 .
Chứng minh. Với n ≥ 2 công thức truy hồi
Bn+1 = 6Bn − Bn−1
cho ta
Bn+1 < 6Bn .
Từ đây suy ra
Bn+1 < 6n B1 = 6n .
Do đó, với n ≥ 3, ta có
Bn < 6n−1 .
Mặt khác, với n ≥ 2, ta lại có
Bn+1 = 6Bn − Bn−1
= 5Bn + (Bn − Bn−1 )
> 5Bn .
13


Suy ra
Bn+1 > 5n B1 = 5n .
Do đó, với n ≥ 3, ta có
Bn > 5n−1 .

Bằng phương pháp chứng minh hoàn toàn tương tự, với chú ý rằng C1 = 3, ta có
đánh giá đối với các số Lucas-cân bằng.
Định lý 1.4.9. Với mọi số nguyên dương n ≥ 3 ta có
3.5n−1 < Cn < 3.6n−1 .

1.5

Một số mối quan hệ giữa số cân bằng và số Lucas-cân

bằng

Trong luận văn thạc sĩ [1] của Hoàng Thị Hường, tác giả đã trình bày một số đẳng
thức thể hiện mối quan hệ giữa các số cân bằng và các số Lucas-cân bằng. Trong mục
này, chúng tôi trình bày lại các kết quả của Ray trong [11] về một số mối quan hệ khác
giữa các số này.
Định lý 1.5.1. Với mọi n ≥ 1 đẳng thức sau là đúng:
B4n − 6 = 2B2n−1 C2n+1
Chứng minh. Sử dụng các đẳng thức (1.13) ta có
2B2n−1 C2n+1

λ2n−1
− λ2n−1
λ2n+1
+ λ2n+1
2
1
2
1
=2
λ1 − λ2
2
λ4n − λ4n
λ2 − λ22
2
= 1
− 1
λ1 − λ2
λ1 − λ2
= B4n − 6.

14


Định lý 1.5.2. Với n ≥ 1 đẳng thức sau là đúng:
B4n+1 + 1 = 2B2n+1 C2n
Chứng minh. Sử dụng các đẳng thức (1.13) ta có
2n
λ2n+1
− λ2n+1
λ2n
1 + λ2
1
2
λ1 − λ2
2
4n+1
4n+1
λ
(λ1 λ2 )n λ1 − (λ1 λ2 )n λ2
− λ2
= 1
+
λ1 − λ2
λ1 − λ2

2B2n+1 C2n = 2

= B4n+1 + 1.

Định lý 1.5.3. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng:
B4n+2 + 6 = 2B2n+2 C2n
Chứng minh. Từ (1.13) ta có
2n
λ2n+2
− λ2n+2
λ2n
1 + λ2
1
2
λ1 − λ2
2
4n+2
4n+2
2
2
λ1
− λ2
2n λ1 − λ2
=
+ (λ1 λ2 )
λ1 − λ2
λ1 − λ2

2B2n+2 C2n = 2

= B4n+2 + 6.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có kết quả sau:
Định lý 1.5.4. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng:

B4n+3 − 1 = 2B2n+1 C2n+2 .
Bổ đề 1.5.5. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng:
B2n = 2Bn Cn .

15


Chứng minh. Từ (1.13) ta có
λn1 − λn2 λn1 + λn2
λ1 − λ2
2
2n
2n
λ − λ2
= 1
λ1 − λ2

2Bn Cn = 2

= B2n .

Bổ đề 1.5.6. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng:
B4n+1 − 1 = 2B2n C2n+1 .
Chứng minh. Tương tự cách chứng minh các kết quả trước, ta có
2n 2n+1
λ2n
+ λ2n+1
1 − λ2 λ1
2
=2

λ1 − λ2
2
λ1 − λ2
λ4n+1
− λ4n+1
1
2
+ (λ1 λ2 )2n
=
λ1 − λ2
λ1 − λ2

2B2n C2n+1

= B4n+1 − 1.

Kết hợp các Bổ đề 1.5.5 và 1.5.6 ta thu được kết quả sau.
Hệ quả 1.5.7. Với n ≥ 1 ta có
B4n+1 − 1 = 2Bn Cn C2n+1 .
Bổ đề 1.5.8. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng:
C4n+1 − 3 = 16B2n B2n+1 .
Chứng minh. Vì (λ1 − λ2 )2 = 32, ta có
16B2n B2n+1

2n 2n+1
+ λ2n+1
λ2n
1 − λ2 λ1
2
= 16

λ1 − λ2
2
4n+1
4n+1
λ
− λ2
λ1 + λ2
= 1
+ (λ1 λ2 )2n
λ1 − λ2
λ1 − λ2

= C4n+1 − 3.

16


Vì B2n = 2Bn Cn đẳng thức sau đúng với mọi n ≥ 1 :
Hệ quả 1.5.9. Với n ≥ 1 ta có
C4n+1 − 3 = 2C2n C2n+1 .
Định lý 1.5.10. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng:
C4n+1 + 3 = 2C2n C2n+1 .
Chứng minh. Từ (1.13) ta có
2n 2n+1
+ λ2n+1
λ2n
1 + λ2 λ1
2
2
2

λ4n+1 + λ4n+1
λ1 + λ2
2
= 1
+ (λ1 λ2 )2n
2
2

2C2n C2n+1 = 2

= C4n+1 + 3.

Bổ đề 1.5.11. Với n ≥ 1 đẳng thức sau đúng:
B4n+3 + 1 = 2B2n+2 C2n+1 .
Chứng minh. Từ (1.13) ta có
λ2n+2
λ2n+1
− λ2n+2
+ λ2n+1
1
2
1
2
λ1 − λ2
2
λ4n+2
− λ4n+2
1
2
+ (λ1 λ2 )2n+1

=
λ1 − λ2

2B2n+2 C2n+1 = 2

= B4n+3 + 1.

Định lý 1.5.12. Với n ≥ 1 ta có
B4n+3 + 1 = 4Bn+1 Cn+1 C2n+1 .
Chứng minh. Thay B2n+2 = 2Bn+1 Cn+1 từ Bổ đề 1.5.5 vào Bổ đề 1.5.11 ta thu được
kết luận của định lí này.
17


Định lý 1.5.13. Với n ≥ 1, đẳng thức sau là đúng
C4n+3 + 3 = 2C2n+1 C2n+2 .
Chứng minh. Từ (1.13) ta có
λ2n+1
+ λ2n+1
λ2n+2
+ λ2n+2
1
2
1
2
2
2
4n+3
λ1 + λ2
λ4n+3

+
λ
2
+ (λ1 λ2 )2n+1
= 1
2
2

2C2n+1 C2n+2 = 2

= C4n+3 + 3.
Định lí được chứng minh.
Định lý 1.5.14. Với n ≥ 1, đẳng thức sau là đúng
C4n+3 − 3 = 16B2n+1 B2n+2 .
Chứng minh. Vì (λ1 − λ2 )2 = 32, ta có
λ2n+1
− λ2n+1
λ2n+2
+ λ2n+2
1
2
1
2
λ1 − λ2
λ1 − λ2
λ1 + λ2
λ4n+3
+ λ4n+3
1
2

− (λ1 λ2 )2n+1
=
2
2

16B2n+1 B2n+2 = 2

= C4n+3 − 3.
Định lí được chứng minh.
Hệ quả sau đây được suy trực tiếp từ Định lý 1.5.14.
Hệ quả 1.5.15. Với n ≥ 1 ta có
C4n+3 − 3 = 32Bn+1 Cn+1 B2n+1 .

18


Chương 2

Số cân bằng Fibonacci và số cân bằng Lucas
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tính giao thoa của các số cân bằng với
các số Fibonacci, cũng như với các số Lucas. Trước khi trình bày nội dung chính,
chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về các số Fibonacci và các số Lucas.

2.1

Số Fibonacci và số Lucas

Dãy số Fibonacci và dãy số Lucas là hai dãy số nổi tiếng được xác định bởi phương
trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất. Các tính chất của hai dãy này đã được
nghiên cứu rất nhiều, chúng ta có thể tham khảo trong [6]. Chúng tôi nhắc lại ở đây

định nghĩa và số hạng tổng quát của hai dãy này.
Định nghĩa 2.1.1. Dãy Fibonacci {Fn }∞
n=0 là dãy xác định bởi phương trình sai phân
Fn+1 = Fn + Fn−1 , n = 1, 2, ...,

(2.1)

với điều kiện ban đầu F0 = 0, F1 = 1. Như vậy, theo kí hiệu ở trên ta có
{Fn }∞
n=0 = F (1, 1, 0, 1).
Phương trình đặc trưng của (2.1) là
λ2 − λ − 1 = 0.
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt
√
√
1+ 5
1− 5
α=
,β =
.
2
2
19


Sử dụng công thức nghiệm (1.5) ta suy ra số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là
√ n
√ n
1
1+ 5

1− 5
Fn = √
−
.
2
2
5
Định nghĩa 2.1.2. Dãy Lucas {Ln }∞
n=0 là dãy L(1, 1, 2, 1), tức là dãy được xác định
bởi phương trình sai phân
Ln+1 = Ln + Ln−1 , n = 1, 2, ...,
với điều kiện ban đầu L0 = 2, L1 = 1.
Công thức (1.5) cho chúng ta số hạng tổng quát của dãy Lucas là
√ n
√ n
1+ 5
1− 5
Ln =
+
.
2
2

2.2

Số cân bằng Fibonacci

Trong mục này, chúng tôi trình bày mối liên hệ giữa các số cân bằng và các số
Fibonacci. Cụ thể, một câu hỏi đặt ra tự nhiên là liệu rằng có tồn tại số nguyên nào vừa
là số cân bằng, vừa là số Fibonacci hay không? Nếu có thì những số đó là những số

nào? Trả lời cho các câu hỏi này chính là kết quả được công bố trên tạp chí Fibonacci
quaterly năm 2004 của Kálmán Liptai [7]. Mục đích của mục này là trình bày lại các
kết quả này của Liptai.
Để thuận tiện cho việc trình bày, từ đây ta lại quay lại việc đánh chỉ số các số cân
bằng như trong phần 1.2 của chương trước. Tức là dãy {Bn }∞
n=0 được xác định bởi
phương trình sai phân
Bn+1 = 6Bn − Bn−1 , n = 1, 2, . . . ,
với điều kiện ban đầu B0 = 1 và B1 = 6. Nói một cách khác ta có
{Bn }∞
n=0 = B(6, −1, 1, 6).
Định nghĩa 2.2.1. Ta gọi một số cân bằng là một số cân bằng Fibonacci nếu số đó
đồng thời là một số Fibonacci.
20


Phương trình có dạng x2 − Dy 2 = N với D, N là hai số nguyên và x, y là các
biến được gọi là phương trình Pell. Định lý sau đây cho ta thấy rằng mỗi số cân bằng
là nghiệm của phương trình Pell nào đó.
Định lý 2.2.2. Các số hạng của dãy B(6, −1, 1, 6) là nghiệm của phương trình
z 2 − 8y 2 = 1

(2.2)

với z là một số nguyên nào đó.
Chứng minh. Ở mục trên ta đã có công thức Binet cho các số cân bằng
λn+1
− λn+1
λn+1
− λn+1

1
2
1
√ 2 , n = 0, 1, 2, ...
Bn =
=
λ1 − λ2
4 2
trong đó λ1 , λ2 là hai nghiệm của đa thức đặc trưng
λ2 − 6λ + 1 = 0.
Theo hệ thức Viét ta lại có λ1 λ2 = 1. Do đó, với y = Bn , ta có
8 2(n+1)
2(n+1)
n+1
(λ1
− 2λn+1
+ λ2
)
1 λ2
32
2
2
λn+1
1
2
− +
2
2

1 + 8y 2 = 1 + 8Bn2 = 1 +

=1+

λn+1
1
2

2

λn+1
λn+1
1
+ 2
= z2.
=
2
2
√
√
Do λ1 = 3 + 2 2 và λ2 = 3 − 2 2 nên sử dụng công thức nhị thức Newton ta có thể
thây rằng z là số nguyên.
Trước khi trình bày kết quả chính của mục này, chúng tôi trình bày một định lý
trong [5] về mối liên hệ giữa các số Fibonacci, các số Lucas và nghiệm của một
phương trình Pell.
Định lý 2.2.3. Phương trình
x2 − 5y 2 = ±4

(2.3)

chỉ có các nghiệm là x = ±Ln , y = ±Fn (n = 0, 1, 2, . . .), trong đó Ln và Fn tương
ứng là các số hạng thứ n của các dãy Lucas và Fibonacci.

21