định lí điểm cân bằng blum-oettli và một số mở rộng .pdf

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-----------------------


ĐOÀN VĂN SOẠN




ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI
VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG









LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên-2009

➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠
➜♦➭♥ ✈➝♥ s♦➵♥
➤Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❜❧✉♠✲♦❡tt❧✐
✈➭ ♠ét sè ♠ë ré♥❣
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ●✐➯✐ tÝ❝❤
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶
❧✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝
◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿❚✳❙ ▲➟ ❱➝♥ ❈❤ã♥❣
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✲✷✵✵✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
▼ô❝ ❧ô❝
❚r❛♥❣
▼ë ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
❈❤➢➡♥❣ ✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣
❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
❈❤➢➡♥❣ ✷ ➤Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐
✈➭ ♠ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✷✳✶✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❇r❡③✐s✲◆✐r❡♥❜❡r❣✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✷✳✷✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾

✷✳✸✳ ▼ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻
❈❤➢➡♥❣ ✸ ♠ë ré♥❣ ✈❡❝t➡ ➤Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣
❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶
✸✳✶✳ ◆ã♥ ✈➭ q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù t❤❡♦ ♥ã♥ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ t➠♣➠ ✹✷
✸✳✷✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❝❤♦ ❤➭♠ ✈Ð❝ t➡ ➤➡♥ trÞ ✳ ✹✺
✸✳✸✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❝❤♦ ❤➭♠ ✈Ð❝ t➡ ➤❛ trÞ ✳ ✳ ✺✽
❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✸
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✹
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ở
t tứ ế ệ t tứ ó ề
ể t tứ ế ệ ớ ề ứ ụ
ợ ứ từ ữ s ủ tế ỉ trớ t tứ
s ợ ố t út sự ú ý ủ ề
ứ tr ĩ ự tí tế ở sự ũ ớ t tứ ế
ệ ứ ụ s rộ ủ ó ì ờ t tì
ết ố ết q ớ tr ột ết q ết q
t ủ sự ết ố ủ rsrrt
tt ố ột ết q tế t ề sự ết ố
ết q ợ t ớ ứ ủ t ó
t ó tết ệ t ó
tết ệ
t ợ ét ở tt ó s
ì x C s g(x, y) + h(x, y) 0 ớ ọ y C,
tr ó C ột t ồ ó tr ột t t X ó
g : C ì C R ợ tết ệ h : C ì C R
t tết ệ R t số tự
ế h = 0 t ợ ết q ề t ệ ở
rộ t tứ ế ệ ế g = 0 t ó ết q ột ở

rộ ủ t tứ
ết q ủ tt ề ết q ó q
ở rộ ợ ố ó ết q ứ ở rộ ớ
ở rộ t trị trị ố ớ ết q ủ tt

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ t❐♣ ❤î♣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
❝➡ ❜➯♥ ①✉♥❣ q✉❛♥❤ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✳ ➜ã ❧➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ tå♥ t➵✐
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝ã ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❦❤ë✐ ♥❣✉å♥
❝❤♦ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ✈➭ ♠ét sè
❦Õt q✉➯ ♠ë ré♥❣✳
◆❣♦➭✐ ♣❤➬♥ ♠ë ➤➬✉✱ ❦Õt ❧✉❐♥ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✸
❝❤➢➡♥❣✳
❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐
t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ë ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯
t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝ ❝æ ➤✐Ó♥ ✈➭ ♥➡✐ ❣✐➯♠✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭②
❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ✈í✐ ♠ô❝ ➤Ý❝❤ ➤Ó t❤✃② râ ❤➡♥ sù ❦Õt ♥è✐ ❝ñ❛ ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ ♥➭② tr♦♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐❬✸❪✱ ❦Õt ♥è✐ ë ❦Õt q✉➯ ✈➭ ❦Õt ♥è✐ ë ý
t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② ë ➤➞②
❝❤ñ ②Õ✉ ➤➢î❝ t❐♣ ❤î♣ tõ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ▼♦s❝♦❬✶✶❪✱ ❆❧❧❡♥❬✶❪✱ ❈❤♦♥❣❬✻❪✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ❦Õt q✉➯ tr✉♥❣ t➞♠ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ➜ã ❧➭ ❦Õt q✉➯ ✈Ò sù
tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➢î❝ t❤✐Õt ❧❐♣ ❜ë✐ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✳ ❑Õt
q✉➯ ♥➭② ❝ï♥❣ ý t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ♥ã ❧➭ sù ❤î♣ ♥❤✃t ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ï♥❣ ý
t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② ë ❝❤➢➡♥❣ ✶✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②
❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝ò♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✈➭ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ ❜è tr➢í❝ ❦Õt
q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✱ ➤ã ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ ❇r❡③✐s✲◆✐r❡♥❜❡r❣✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛
❬✹❪✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❦Õt q✉➯ ❧➭ ♠ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ➤è✐ ✈í✐ ❦Õt q✉➯
❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪✱ ➤ã ❧➭ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ ❈❤❛❞❧✐✲❈❤❜❛♥✐✲❘✐❛❤✐ ❬✼❪✳
❈❤➢➡♥❣ ✸ ➤Ò ❝❐♣ ➤Õ♥ sù ♠ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐❬✸❪ r❛ ❜➭✐ t♦➳♥
❝➞♥ ❜➺♥❣ ❝❤♦ ❤➭♠ ✈❡❝t➡✱ ➤➡♥ trÞ ✈➭ ➤❛ trÞ✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ë ➤➞② ➤➢î❝ t❐♣ ❤î♣ tõ

❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❇✐❛♥❝❤✐✲❍❛❞❥✐s❛✈✈❛ss✲s❝❤❛✐❜❧❡❬✷❪✱❚✃♥✲❚Ü♥❤❬✶✸❪✱❚✃♥✲▼✐♥❤❬✶✹❪✳
✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠✲➜➵✐ ❍ä❝ ❚❤➳✐
◆❣✉②➟♥✳ ❚r➢í❝ ❤Õt t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚✐Õ♥ sÜ ▲➟ ❱➝♥
❈❤ã♥❣✱ ♥❣➢ê✐ t❤➬② ➤➲ t❐♥ t×♥❤ ❤➢í♥❣ ❞➱♥✱ ❣✐ó♣ ➤ì ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ tr♦♥❣ ❦❤♦❛
❤ä❝ ➤Ó t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ tí✐ ❝➳❝ t❤➬②
❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ ❚r➢ê♥❣ ➜❍❙P✲❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❱✐Ö♥ t♦➳♥ ❤ä❝ ❱✐Öt ◆❛♠✱ ❚r➢ê♥❣
➜❍❙P ❍➭ ◆é✐ ➤➲ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ❣✐ó♣ t➠✐ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦❤ã❛ ❤ä❝✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥
❙ë ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦ ❇➽❝ ●✐❛♥❣✱ ❚r➢ê♥❣ ❚❍P❚ ▲ý ❚❤➢ê♥❣ ❑✐Öt ✈➭ ❚r➢ê♥❣
❚❍P❚ ❱✐Öt ❨➟♥ sè ✶ ❇➽❝ ●✐❛♥❣✱ ❣✐❛ ➤×♥❤ ✈➭ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❧✉➠♥ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥✱
➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❣✐ó♣ t➠✐ s✉èt tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤➢➡♥❣ ✶
❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉
❍❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò sù tå♥ t➵✐
♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❧➭ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❞ï♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭
❦❤➠♥❣ ❞ï♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈➭ ý t➢ë♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ë ❤❛✐
❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭② ❧➭ ❝➡ së ❝❤♦ ✈✐Ö❝ t❤✐Õt ❧❐♣ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧Ý
➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② ë ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳ ❱× ✈❐② tr♦♥❣
❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ë ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ ♥➟✉ tr➟♥✳ ◆❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ➤➢î❝ t❐♣ ❤î♣ tõ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❝ñ❛ ▼♦s❝♦
❬✶✶❪✱ ❆❧❧❡♥❬✶❪✱ ❈❤♦♥❣❬✻❪✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➢❛ r❛ ❞➵♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥
❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ♠ét sè tr➢ê♥❣ ❤î♣ r✐➟♥❣ q✉❡♥ ❜✐Õt ❝ã tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ➤➡♥
➤✐Ö✉✳ ✶✳✶
✶✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣
❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤➢î❝ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐❬✸❪ ❤✐Ó✉ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ s❛✉✿
❚×♠ x ∈ C s❛♦ ❝❤♦ f(x, y) ≤ 0 ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ C✱ ✭❊P✮

tr♦♥❣ ➤ã C ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝❤♦ tr➢í❝ ✈➭ f : C × C −→ R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❝❤♦ tr➢í❝✳
➜è✐ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡ t➠♣➠ X✱ t❐♣ C t❤➢ê♥❣
➤➢î❝ ①Ðt ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳
✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❍➭♠ f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉ f(x, y) + f(y, x) ≥ 0 ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ C✳
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭② ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❚♦➳♥ tö
A : C −→ X
∗
❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉ Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C, ë ➤➞②
X
∗
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝ñ❛ X✳
❍➭♠ f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tô❝ ♥Õ✉ ✈í✐ x, y ∈ C ❝❤♦ tr➢í❝ tï② ý ❤➭♠
sè f(x + t(y − x), y) ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ t❤❡♦ t tr➟♥ [0; 1]✳
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭② ❧➭ ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ t♦➳♥ tö ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tô❝✳ ❚♦➳♥ tö
A : C −→ X
∗
❣ä✐ ❧➭ ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tô❝ ♥Õ✉ ❤➭♠ A(x + ty), z ✈í✐ x, y, z ∈ C
❜✃t ❦ú ❝è ➤Þ♥❤ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ t❤❡♦ t tr➟♥ [0; 1]✳
❇➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❜❛♦ ❤➭♠ ♥❤✐Ò✉ tr➢ê♥❣ ❤î♣ r✐➟♥❣ ❧➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉❡♥
❜✐Õt✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❑② ❋❛♥ ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ❤î♣ r✐➟♥❣ q✉❛♥ trä♥❣✳ ❉➢í✐ ➤➞② ❧➭
♠ét sè tr➢ê♥❣ ❤î♣ r✐➟♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ ❦❤➳❝✳
✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉
❈❤♦ ϕ : C −→ R✳ ❚×♠ x ∈ C s❛♦ ❝❤♦ ϕ(x) ≤ ϕ(y) ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ C✳ ❚❛
❝ò♥❣ ✈✐Õt✿ ❚×♠ min{ϕ(x) | x ∈ C}✳
➜➷t f(x, y) = ϕ(x)−ϕ(y)✳ ❑❤✐ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ trë t❤➭♥❤✿ ❚×♠ x ∈ C
s❛♦ ❝❤♦ f(x, y) ≤ 0 ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ C✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ♥➭② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥
❝➞♥ ❜➺♥❣ ✈➭ ë ➤➞② f ❧➭ ❤➭♠ sè ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳
✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛

❈❤♦ ϕ : C
1
× C
2
→ R✳ ❑❤✐ ✃② (x
1
, x
2
) ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ❝ñ❛ ϕ ♥Õ✉
(x
1
, x
2
) ∈ C
1
× C
2
, ϕ(x
1
, y
2
) ≤ ϕ(y
1
, x
2
), ∀(y
1
, y
2
) ∈ C

1
× C
2
. (1.1)
➜➷t C = C
1
× C
2
✈➭ ❝❤♦ ❤➭♠ f : C × C −→ R ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
f((x
1
, x
2
); (y
1
, y
2
)) = ϕ(x
1
, y
2
) − ϕ(y
1
, x
2
).
✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❑❤✐ ✃②✱ x = (x
1

, x
2
) ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✭❊P✮ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø
♥Õ✉ x t❤á❛ ♠➲♥ ✭✶✳✶✮✳ ❉Ô t❤✃② f ❧➭ ❤➭♠ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭②✳
✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣
❈❤♦ X = X
∗
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ T : C → C ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❝❤♦
tr➢í❝✳
❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤é♥❣ ë ➤➞② ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥
❚×♠ x ∈ C s❛♦ ❝❤♦ T (x) = x✳ (1.2)
➜➷t f(x, y) = x −T x, x− y✳ ❚❛ ❝ã x ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣
✭❊P✮ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ (1.2)✳
❚❤❐t ✈❐②
✭✶✳✷✮ ⇒ ✭❊P✮✿ ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳
✭❊P✮ ⇒ (1.2)✿ ❈❤ä♥ y = T x t❛ ❝ã
0 ≥ f(x, y) = x − y 
2
≥ 0 ❙✉② r❛ x = T x✳
❉♦ f(x, y) + f(y, x) = x − T x, x − y + y − T y, y − x
= T y − T x, x − y + x − y, x − y
= T y − T x, x − y+  x − y 
2
= −T x−T y, x−y+  x−y 
2
♥➟♥
♥➟♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭② f ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐
T x − T y, x − y ≤ x − y 
2
.

✹✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥
❈❤♦ T : C −→ X

✳ ❚×♠ x ∈ C s❛♦ ❝❤♦
T x, x − y ≤ 0, ∀y ∈ C✳ (1.3)
✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
t f(x, y) = T x, x y õ r t (1.3) t ớ
t P f ệ ỉ T ệ
t ù
C ó ồ ó ớ ó ự ủ ó
C

= {x

X

| x

, y 0, y C}
T : C X

trớ t ù t tì x X s

x C, T x C

, T x, x = 0. (1.4)
ễ t (1.4) t ớ (1.3)
t
(1.4) (1.3) ể

ế (1.3) ú y = 2x y = 0 từ (1.3) t t ợ T x, x = 0.
ó (1.4)
s tr trò
I ột t ỉ số ữ t ờ ớ i I
trớ t K
i
t ế ợ ờ tứ i t K =

iI
K
i
. ớ ỗ
i I, f
i
: K R tổ tt ủ ờ tứ i ụ tộ
ế ợ ủ tt ờ ớ x = (x
i
)
iI
K t ị ĩ
x
i
= (x
j
)
jI,j=i
ể x = (x
i
)
iI

K ợ ọ ể s
ế ớ ọ i I t ó
f
i
(x) f
i
(x
i
, y
i
), y
i
K
i
(1.5)
ĩ ờ tể tổ tt ủ ì t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ổ ế ợ ủ ì f : K ì K R ị ở
f(x, y) =

iI
(f
i
(x
i
, y
i
) + f
i

(x)).
x K ể s ế ỉ ế x tỏ
t P t ế ú ớ ọ i I tì ể
P ợ tỏ ế ớ i I t ọ y K s x
i
= y
i
, tì
f(x, y) = f
i
(x
i
, y
i
) + f
i
(x)
ó P s r ớ ọ i I. f tr trờ ợ
ệ
t tứ
ớ C ột t ồ F : C ì C R t tứ
t tứ tết ề ệ ố ớ F ể tồ t x C s
F (x, y) 0 ớ ọ y C tr ó ò ỏ F ó tí ệ

t ệ
ể ở rộ ột số ết q tồ t ệ ủ t tứ ế
ệ 1976 s ứ ết q tồ t ệ q
trọ s t ù tết ệ
ị í s
C ột t ồ ó tr t t sr X

g : C ì C R g(x, x) 0 ớ ọ x C s ề ệ s
tỏ
g tụ ệ
ớ ỗ x C, g(x, .) õ ử tụ tr

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ề ệ ứ ồ t t B C y
0
B s
g(x, y
0
) > 0, x C \ B.
ó t ệ ủ t
x C : g(x, y) 0, y C (1.6)
t rỗ ồ tr B
ị í tr í ị í tr ớ = 0 = 0 ể tệ
ệ sử ụ ở s ể ứ ị í tr s ù
ột ết q q ết ủ ề ủ ọ t ó ứ
ột ết q ở rộ ủ tí t t tử ệ ó ổ ề
ổ ề ớ
ớ ỗ y C t t
G(y) = {x C : g(x, y) 0}
H(y) = {x C : g(y, x) 0}
F (y) = G(y)
A í ệ ó ủ t A
ổ ề
T ột t tù ý tr ột t t E ớ ỗ w T
ột t ó F (w) ủ E s ề ệ s ợ tỏ
ớ ỗ t ữ {w
1

, w
2
, ..., w
n
} tì
co{w
1
, w
2
, ..., w
n
}
n

i=1
F (w
i
)
coA í ệ ồ ủ t A
ồ t w
0
T ể F (w
0
)

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ó t ó

wT
F (w) = .

r t ệ ổ ề ò ọ ổ ề í
ợ ị ĩ ớ
X t t sr C ột t rỗ
ủ X trị F : C 2
X
ọ ế ớ ỗ t
ữ {x
1
, x
2
, ..., x
n
} C t ó
co{x
1
, x
2
, ..., x
n
}
n

i=1
F (x
i
).
ề ệ ủ ổ ề ó ĩ F : T 2
X

ổ ề
C ột t ồ ó tr t t sr X
g : C ì C R ớ g(x, x) 0, x C tỏ ề ệ s
g tụ ệ
ớ ỗ x C, g(x, .) õ ử tụ tr


yC
F (y) =

yC
H(y) =

yC
G(y)
ỗ ột t ồ ó ủ C
ứ
G(y) F (y) ớ ọ y C t ỉ ứ

yC
F (y)

yC
H(y)

yC
G(y).

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❚❤❐t ✈❐②✱ ❧✃② ♠ét x ∈ G(y) ❜✃t ❦× t❛ ❝ã g(x, y) ≤ 0✳ ❉♦ g ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥➟♥

g(x, y) ≤ 0 ≤ g(x, y) + g(y, x).
❙✉② r❛ g(y, x) ≥ 0✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ x ∈ H(y) ❤❛② G(y) ⊂ H(y)✳
❚❛ ❝ã ✈í✐ ♠ç✐ y ∈ C✱ H(y) ❧➭ ❧å✐ ✈➭ ➤ã♥❣ ❞♦ g(y, .) ❧➭ ❧â♠ ✈➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝
tr➟♥✳ ❉♦ F (y) ❧➭ ❜❛♦ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ G(y) ✈➭ ❞♦ G(y) ⊂ H(y) ♥➟♥ F (y) ⊂ H(y)✳
❱❐② s✉② r❛

y∈C
F (y) ⊂

y∈C
H(y).
❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

y∈C
H(y) ⊂

y∈C
G(y),
♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝❤ø♥❣ tá✿
g(y, x) ≥ 0 ∀y ∈ C, (1.7)
❦Ð♦ t❤❡♦
g(x, y) ≤ 0 ∀y ∈ C. (1.8)
●✐➯ sö ✭✶✳✽✮ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✱ tø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ x ∈ C t❤á❛ ♠➲♥ (1.7) ✈➭ ♠ét
y ∈ C ➤Ó ❝❤♦
g(x, y) > 0. (1.9)
❳Ðt ✈❡❝t➡ x
t
= ty + (1 − t)x, t ∈ [0; 1]✳ ❚❤❡♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✶✮ ❤➭♠ g(x
t
, y)

❝ñ❛ ❜✐Õ♥ t❤ù❝ t ∈ [0, 1] ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ❦❤✐ t → 0
+
. ❉♦ ➤ã ✈í✐ t > 0 ✭➤ñ
♥❤á✮✱ tõ (1.9) s✉② r❛
g(x
t
, y) > 0, ∀t ∈ (0; t). (1.10)
▲✃② y = x
t
✱ tõ ✭✶✳✼✮ s✉② r❛
✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
g(x
t
, x) 0, t [0, 1]. (1.11)
tí õ ủ g(x, .) từ (1.10) (1.11) t s r
g(x
t
, x
t
) > 0, t (0, t), ề tr ớ tết
ú
ó

yC
H(y)

yC
G(y).
ổ ề ợ ứ

ứ ị í
ổ ề H(y) ồ ó ớ ỗ y C t ó t ệ
ủ t ồ ó ệ ì ó t ó
ủ t B t ề ệ ứ
ứ t ệ rỗ ù ổ ề
ớ ọ t ó {F (y) : y C}
t ớ ỗ y C t ó F (y) t ó F (y
0
) ó ủ
t G(y
0
) tộ t B C F (y
0
) ũ
t {y
1
, y
2
, ..., y
n
} ột t ữ tr C ỉ r
co{y
1
, y
2
, ..., y
n
}
n

i=1
F (y
i
).
F (y) ó ủ G(y) ỉ ỉ r
co{y
1
, y
2
, ..., y
n
}
n

i=1
G(y
i
).
sử ợ tứ ó ột
y co{y
1
, y
2
, ..., y
n
} \
n

i=1
G(y

i
).

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❑❤✐ ➤ã ❝ã
λ
i
≥ 0, i = 1, ..., n,
n

i=1
λ
i
= 1, y =
n

i=1
λ
i
y
i
✈➭ g(y, y
i
) > 0, ∀i = 1, 2, ..., n✳ ❉♦ g(y, .) ❧➭ ❤➭♠ ❧â♠ t❛ ❝ã
0 <
n

i=1
λ
i

g(y, y
i
) ≤ g(y,
n

i=1
λ
i
y
i
) = g(y, y).
➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt g(y, y) ≤ 0✳
❱❐② ❤ä ❝➳❝ t❐♣ ➤ã♥❣ {F (y) : y ∈ C} t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❝ñ❛ ❇æ ➤Ò
❑② ❋❛♥ ♥➟♥

y∈C
F (y) = ∅.
❚❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✷ t❛ ❝ã

y∈C
F (y) =

y∈C
H(y) =

y∈C
G(y) = ∅,
✈❐② t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ❝♦♠♣➽❝✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ➤➲ ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤✳ 
❍Ö q✉➯ ❞➢í✐ ➤➞② tõ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶ ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❦✐♥❤ ➤✐Ó♥

❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳
❍Ö q✉➯ ✶✳✶ ✭❍❛rt♠❛♥✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛❬✶✵❪✮
❈❤♦ C ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ X✱ ➳♥❤
①➵ A : C −→ X
∗
❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❤❡♠✐✲❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝ s❛✉
∃y
0
∈ C :
Ax,x−y
0

x
−→ +∞ ❦❤✐ x −→ +∞, x ∈ C. (1.12)
❑❤✐ ✃② t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥
x ∈ C : Ax, x − y ≤ 0, ∀y ∈ C (1.13)
❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❦❤➳❝ rç♥❣✱ ❧å✐✱ ➤ã♥❣ ✈➭ ❣✐í✐ ♥é✐ tr♦♥❣ C✳
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ứ
ụ ị ý ớ t ế tr X g(x, y) = Ax, x y
ề ệ ứ tr ị ý ợ tỏ (1.12)
y
0
tr (1.12) B = {x C : x R} ớ R > 0 ủ ớ
ề ệ ứ tr ị í tỏ r t ì ở ột số trờ ợ ó
tỏ t ợ ét ó ệ ì
ệ ẹ ề ệ ứ ở ứ tồ t ệ t
ợ q t ớ ột ết q ớ ề ệ ứ
t ệ

ị í
X ột ồ ị sr C X ột
t ồ ó f : C ì C R ột ệ tụ s
ớ ỗ x C, f(x, x) 0 f(x, .) õ ử tụ tr
sử tồ t t ồ B C s ớ ỗ x C \ B ó ột
y B ớ f(x, y) > 0. ề ệ ứ
t x C ớ f(x, y) 0 ớ ọ y C rỗ ồ

ứ
ớ y C t
K(y) = {x B : f(x, y) 0},
G(y) = {x C : f(x, y) 0}, ọ
ọ Q(y) F (y) ợt ó ủ K(y) G(y)

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ề ệ ứ t ó

yC
K(y) =

yC
[G(y) B] = [

yC
G(y)] B =

yC
G(y)
t ổ ề t ó

yC
Q(y)

yC
F (y) =

yC
G(y)


yC
K(y)

yC
Q(y),
ó

yC
K(y) =

yC
Q(y).
y
1
, ..., y
n
C t C
0
= co(B {y
1

, ..., y
n
}) t ó C
0
ồ
x
0
C
0
s f(x
0
, y) 0, y C
0
t ị í ớ C ồ
ĩ
x
0

n

i=1
K(y
i
)
n

i=1
Q(y
i
).

t Q(y), y C, ó tr t B ó tí
ữ tồ t
x

yC
K(y) =

yC
Q(y),
ĩ f(x, y) 0 ớ ọ y C í ồ ủ t x s r từ
ề ệ ứ ổ ề
ý ị í tr ú X t t sr
ì ị í ột ở rộ ủ ị í ớ ột í ụ ù
ị í t ó sự tồ t ệ ủ t tr ị í
ụ ợ ì ề ệ ứ ợ tỏ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
C = R
n
, n t ồ ó t tử A : C R
n

f : C ì C R ợ ị ở
f(x, y) = Ax(x y)
T
Ax = (x
2
, x
1
, x

4
, x
3
, ..., x
n
, x
n1
)
t {x C : f(x, y) 0} ớ ộ ớ ỗ y C ề
ệ ứ ủ ị í tỏ ề ệ ứ tr ị í
tỏ ớ t ồ
B = {x = (x
1
, ..., x
n
) C : 1 x
i
1, i = 1, ..., n}
tết ủ ị í tr ề tỏ

t ó tết ệ
ố ớ t ó tết ệ s ứ
ết q s ở rộ ủ t tứ t
tứ ế ổ ể
ị í s
C ột t ồ ó tr t t sr X
g : C ì C R ớ g(x, x) 0, ớ ọ x C
sử ề ệ s tỏ
ớ ỗ x C, g(x, .) õ
ớ ỗ y C, g(., y) ử tụ ớ tr X

ề ệ ứ ồ t t B C y
0
B s
g(x, y
0
) > 0 ớ ọ x C \ B

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❑❤✐ ➤ã t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✿
x ∈ C : g(x, y) ≤ 0, ∀y ∈ C (1.14)
❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❦❤➳❝ rç♥❣✱ ❝♦♠♣➽❝ tr♦♥❣ B✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
➜➷t G(y) = {x ∈ C : g(x, y) ≤ 0}, y ∈ C✳
❚❛ t❤✃② G(y) ➤ã♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ C ❞♦ tÝ♥❤ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ❝ñ❛ g(., y)✳
❚❤❡♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝ ✸✮✱ G(y
0
) ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ t❐♣ ❝♦♠♣➽❝ B
♥➟♥ G(y
0
) ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣➽❝✳
❍➡♥ ♥÷❛ G ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❑❑▼✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö tr➳✐ ❧➵✐✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝ã {y
1
, ..., y
n
} ⊂ C ♠➭
co{y
1
, ..., y
n

} ⊂
n

i=1
G(y
i
),
t❤× ❦❤✐ ✃② tå♥ t➵✐ ♠ét y =

n
i=1
λ
i
y
i
✈í✐ λ
i
≥ 0, ∀i = 1, ..., n,

n
i=1
λ
i
= 1
s❛♦ ❝❤♦ y ∈ G(y
i
), ∀i = 1, ..., n. ◆❣❤Ü❛ ❧➭ ❝ã g(y, y
i
) > 0∀i = 1, ..., n✳ ❉♦ ➤ã
n


i=1
λ
i
g(y, y
i
) > 0
❞♦ g(y, .) ❧➭ ❤➭♠ ❧â♠ ♥➟♥ s✉② r❛
0 <
n

i=1
λ
i
g(y, y
i
) ≤ g(y,
n

i=1
λ
i
y
i
) = g(y, y),
tr➳✐ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt g(x, x) ≤ 0 ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ C✳ ❱➬② G ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❑❑▼✳
❚❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✶✳✶ t❛ ❝ã

y∈C
G(y) = ∅,

♠➭ t❐♣ ❣✐❛♦ ♥➭② ❧➭ ♠ét t❐♣ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ t❐♣ ❝♦♠♣➽❝ B ♥➟♥ ♥ã ❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣➽❝✱
✈❐② t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❇➭✐ t♦➳♥ (1.14) ❧➭ ❦❤➳❝ rç♥❣ ✈➭ ❝♦♠♣➽❝ tr♦♥❣ B✳ 
✶✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ị í ó ệ q q trọ ệ q ột r ủ
t tứ ệ q ột t tứ ế ổ
ể
ệ q
C t ồ tr t t sr
số f : C ì C R tỏ ề ệ s
ớ ỗ y C ố ị f(., y) ử tụ ớ
ớ ỗ x C ố ị f(x, .) õ
f(x, x) 0 x C.
ó tồ t x C s f(x, y) 0 ớ ọ y C.
ệ q t
C t ồ ó tr rt tự X a(u, v) ột
s tế tí tụ ứ tr X ĩ ó > 0 s
a(u, v) u
2
u X.
t tứ ế ổ ể
u C : a(u, u v) 0 v C
ó ệ
ứ
ụ ị í ớ X ợ tr ị t ế
g(u, v) = a(u, u v).
ớ ỗ v X u a(u, u v) ử tụ ớ tr X ì ó
tụ tr X ữ ồ a(u, v) s tế tí

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ĩ a(u, u) 0 ớ ọ u X
w
0
C tù ý t B = {u X : u R} ớ R > 0 ủ ớ
a(u, v) ứ ó
a(u, u w
0
) + u +
ó ề ệ ứ tr ị í tỏ ớ w
0
t ế
B tr
r ị í ề ệ ứ ợ sử ụ ề ệ ứ ổ ể
ố ớ t ó tết ệ ó ữ trờ
ợ ề ệ ứ tỏ t ợ ét
ó ệ r ột ứ ề ệ ữ t tứ ế
t ù t ố ứ ột ở rộ ủ
t tứ r t ợ tr ó ề ệ ứ ợ
sử ụ ột ề ệ ứ ẹ ề ệ ứ ổ ể
ị í
X t t sr C X t ồ
f : C ì C R s ề ệ s tỏ
f(x, x) 0, x C
ớ ỗ x C f(x, .) tự õ tr C
ớ ỗ y C f(., y) ử tụ ớ tr C
ồ t t ồ B C s ớ ỗ x C \ B ó ột
y B ớ f(x, y) > 0 ề ệ ứ
tồ t x C s f(x, y) 0 ớ ọ y C

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤
➜➷t K(y) = {x ∈ B : f(x, y) ≤ 0}, y ∈ C✳ ❉♦ ✸✮ ♥➟♥ K(y) ➤ã♥❣
tr♦♥❣ B✳ ▲✃② y
1
, ..., y
n
∈ C ✈➭ ➤➷t C
0
= co(B ∪ {y
1
, ..., y
n
})✳ ❑❤✐ ✃② C
0
❧➭
t❐♣ ❧å✐ ❝♦♠♣➽❝✱ ❞♦ ➤ã t❤❡♦ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❑② ❋❛♥❬ ❪ tå♥ t➵✐ x
0
∈ C
0
s❛♦ ❝❤♦
f(x
0
, y) ≤ 0, ∀y ∈ C
0
✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ x
0
∈

n
i=1

K(y
i
)✳ ❱❐② ❤ä {K(y) : y ∈ C}
❝➳❝ t❐♣ ➤ã♥❣ K(y) tr♦♥❣ t❐♣ ❝♦♠♣➽❝ B ❝ã tÝ♥❤ ❣✐❛♦ ❤÷✉ ❤➵♥✱ ❞♦ ➤ã tå♥ t➵✐
x ∈

y∈C
K(y)✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ f(x, y) ≤ 0, ∀y ∈ C✳ 
❚❤Ý ❞ô ❞➢í✐ ➤➞② ❝❤♦ t❤✃② ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✹ ✭✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝ ♥➡✐ ❣✐➯♠ ✮ ❝❤♦ t❛
sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✱ ♥❤➢♥❣ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸ ❝ñ❛ ▼♦s❝♦❬✶✶❪✭✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝ ❝æ ➤✐Ó♥✮
❧➵✐ ❦❤➠♥❣ ➳♣ ❞ô♥❣ ➤➢î❝✳ ❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ➤è✐ ✈í✐ X = C = R ✈➭ ❤➭♠
f : C × C −→ R ❝❤♦ ❜ë✐
f(x, y) =



1, xy < 0
0, xy ≥ 0
❉Ô t❤✃② ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ✶✮✱✷✮✱✸✮ t❤á❛ ♠➲♥ ✈➭ ✹✮ t❤á❛ ♠➲♥ ✈í✐ t❐♣ ❧å✐ ❝♦♠♣➽❝
B = [−1, 1]✱ ♥❤➢♥❣ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝ ❝æ ➤✐Ó♥ ❦❤➠♥❣ t❤á❛ ♠➲♥ ✭✈× ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ C✱
t❐♣ {x ∈ C : f(x, y) ≤ 0} ❦❤➠♥❣ ❣✐í✐ ♥é✐✮✳
✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤➢➡♥❣ ✷
➜Þ♥❤ ❧Ý ➤✐Ó♠ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐
✈➭ ♠ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣
❙❛✉ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣
ë ❤❛✐ ❤➢í♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐➯ t❤✐Õt ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥❤➢ tr×♥❤ ❜➭②
ë ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❧➭ ♠ét sè ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t×♠ ❝➳❝❤ ❦Õt ♥è✐ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ë ❤❛✐ ❤➢í♥❣
♥➭② tr♦♥❣ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝❤✉♥❣✳ ❑Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➡ ❜➯♥ ♠ë ➤➬✉ ë ❤➢í♥❣ ♥➭②

✭t❤❡♦ ❤✐Ó✉ ❜✐Õt ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐✮ ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇r❡③✐s ✲ ◆✐r❡♥❜❡r❣ ✲ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛
❬✹❪ ✭✶✾✼✷✮✳ ❚r♦♥❣ ♠ét ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ë ré♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ♥➭② ➤➲ t×♠ ❝➳❝❤ ❦Õt ♥è✐ ✈í✐ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❑② ❋❛♥✱
♠ét ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ♥❤➢♥❣ ❦❤✐ ✃② ❦❤➠♥❣ ❝ã ø♥❣ ❞ô♥❣
tr♦♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ❙❛✉ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ▼♦s❝♦❬✶✶❪ ♠ë ré♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣
t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❑② ❋❛♥ ✈➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❆❧❧❡♥
❬✶❪✱ ❈❤♦♥❣ ❬✻❪ ♥➡✐ ❣✐➯♠ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝✱ ❦Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪
✭✶✾✾✸✮ ❧➭ sù ❦Õt ♥è✐✱ ❤î♣ ♥❤✃t ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ✈õ❛ ♥➟✉ ✈➭ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝ã ❧✐➟♥
q✉❛♥✳ ❑Õt q✉➯ ❤î♣ ♥❤✃t ❧Ý t❤ó ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲❖❡tt❧✐ ❬✸❪ ➤➲ t❤✉ ❤ót sù q✉❛♥ t➞♠ ❝ñ❛
♥❤✐Ò✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ë ré♥❣ t✐Õ♣ t❤❡♦✱ tr➢í❝ t✐➟♥ ❧➭ ♠ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ♥❤➢ ❦Õt
q✉➯ ❝ñ❛ ❈❤❛❞❧✐✲❈❤❜❛♥✐✲❘✐❛❤✐ ❬✼❪ ✭✷✵✵✵✮✳
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ tr➢í❝ ❦❤✐ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➬♥ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇❧✉♠✲
❖❡tt❧✐ ❬✸❪ ✭ ▼ô❝ 2.2 ✮ ✈➭ ♠ét ♠ë ré♥❣ ✈➠ ❤➢í♥❣ ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❈❤❛❞❧✐✲
✷✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤❜❛♥✐✲❘✐❛❤✐ ❬✼❪ ✭▼ô❝ 2.3✮✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❇r❡③✐s✲◆✐r❡♥❜❡r❣✲
❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ❬✹❪ ✭ ▼ô❝ ✷✳✶ ✮✳ ✷✳✶
✷✳✶✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ❇r❡③✐s✲◆✐r❡♥❜❡r❣✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛
❙❛✉ ❦❤✐ ❦Õt q✉➯ ♥æ✐ t✐Õ♥❣ ❝ñ❛ ❑② ❋❛♥ ❬✾❪ ✭✶✾✼✷✮ ➤➢î❝ ❝➠♥❣ ❜è✱ ♥❤❐♥ t❤✃②
❦Õt q✉➯ ♥➭② r✃t q✉❛♥ trä♥❣ ✈➭ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ❣➬♥ ❣ò✐ ✈í✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥
➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❇r❡③✐s ✲ ◆✐r❡♥❜❡r❣ ✲ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ➤➲ t×♠ ❝➳❝❤ ❦Õt ♥è✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❑② ❋❛♥ tr♦♥❣ ❦Õt q✉➯ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② ❞➢í✐
➤➞② ✭❬✾❪✱✶✾✼✷✮✳
➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✶ ✭❇r❡③✐s✲◆✐r❡♥❜❡r❣✲❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛ ❬✹❪✮
❈❤♦ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝t➡ t➠♣➠ ❍❛✉s❞♦r❢❢✱ C ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ❝ñ❛
X ✈➭ ❤➭♠ f(x, y) ❧➭ ❤➭♠ t❤ù❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ C × C s❛♦ ❝❤♦ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉
t❤á❛ ♠➲♥✿
✶✮ f(x, x) ≤ 0, ∀x ∈ C❀
✷✮ ❱í✐ ♠ç✐ x ∈ C, t❐♣ {y ∈ C : f(x, y) > 0} ❧➭ t❐♣ ❧å✐❀
✸✮ ❱í✐ ♠ç✐ y ∈ C✱ ❤➭♠ f(., y) ❧➭ ❤➭♠ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ tr➟♥ ❣✐❛♦ ❝ñ❛

C ✈í✐ ♠ç✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ❝ñ❛ X❀
✹✮ ◆Õ✉ x, y ∈ C, x
α
❧➭ ♠ét ❞➲② ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö tr♦♥❣ C ❤é✐ tô tí✐ x✱ t❤×
f(x
α
, (1 − t)x + ty) ≤ 0, ∀t ∈ [0, 1] ❦Ð♦ t❤❡♦ f(x, y) ≤ 0❀
✺✮ ❚å♥ t➵✐ t❐♣ ❝♦♠♣➽❝ B ❝ñ❛ X ✈➭ y
0
∈ B ∩ C s❛♦ ❝❤♦ f(x, y
0
) > 0
✈í✐ ♠ä✐ x ∈ C\B. ✭➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❜ø❝✮✳
❑❤✐ ✃② tå♥ t➵✐ x
0
∈ B ∩ C s❛♦ ❝❤♦ f(x
0
, y) ≤ 0 ✈í✐ ♠ä✐ y ∈ C.
◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✶
●✐➯ t❤✐Õt ✹✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt s❛✉✿
✷✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên