Khối đa diện, Đa diện lồi, đa diện đều

/>
ĐA DIỆN – ĐA DIỆN LỒI – ĐA DIỆN ĐỀU
I. Tóm tắc lý thuyết.
1. Khối đa diện.
1.1 Khái niệm hình đa diện.
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính
chất.
i. Hai đa giác phân biệt chỉ có thể không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung
hoặc có một cạnh chung.
ii. Mỗi cạnh cũa đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế gọi là một mặt của đa diện, các đỉnh, các cạnh của đa giác gọi là các
đỉnh, các cạnh của hình đa diện.
1.2 Khái niệm về khối đa diện.
- Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H) được gọi là khối đa diện (H).
- Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau:
miền trong và miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn
một đường thẳng. Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.
1.3 Hai đa diện bằng nhau.
1.3.1 Phép dời hình trong không gian. Phép hiến hình trong không gian được gọi là phép
dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
1.3.2 Một số phép dời hình thường
gặp.
r
a. Phép tịnh tiến theo véc tơ v là phép biến hình biến mỗi
uuuuur r
điểm M thành điểm M ' sao cho MM ' = v .
b. Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) là phép biến hình
biến mỗi điểm thuộc ( P ) thành chính nó, biến mỗi điểm
M không thuộc ( P ) thành điểm M ' sao cho ( P ) là mặt
trung trực của MM ' .
c. Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điếm M

khác O thành M ' sao cho O là trung điểm của MM ' .
d. Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc đường thẳng
∆ thành chính nó, và mỗi điểm M không thuộc ∆ thành M ' sao cho ∆ là đường trung
trực của MM ' .
1.3.4. Nhận xét
- Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
- Phép dời hình biến đa diện ( H ) thành đa diện ( H ' ) và biến đỉnh, cạnh, mặt của
( H ) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của ( H ') .
- Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có phép biến dời hình biến đa diện này này
thành đa diện kia.
1.4 Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
Nếu khối đa diện ( H ) là hợp của hai khối đa diện ( H1 ) , ( H 2 ) sao cho ( H1 ) và ( H 2 ) không
có chung điểm trong thì ta nói có thế chia được khối đa diện ( H ) thành hai khối đa diện
1 Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ - />

/>
( H1 )

và ( H 2 ) , hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện ( H1 ) và ( H 2 ) với nhau để được
khối đa diện ( H ) .
2. Khối đa diện đều, khối đa diện lồi.
2.1 Khối đa diện lồi.
- Khối đa diện ( H ) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của
( H ) luôn thuộc ( H ) .
- Khối đa diện là lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt
phẳng chứa một mặt của nó.

2.2 Khối đa diện đều.
2.2.1 Định nghĩa
Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại { p; q} nếu:

i. Mỗi mặt của nó là đa giác đều p cạnh.
ii. Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
2.2.2. Định lý
Có năm loại khối đa diện đều.

II. Các ví dụ
.
2 Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ - />

/>
Ví dụ 1. Cho khối chóp có đáy là n – giác. Mệnh đề nào đúng sau đây:
A. Số cạnh của khối chóp bằng n + 1
B. Số mặt của khối chóp bằng 2n
C. Số đỉnh của khối chóp bằng n + 1
D. Số cạnh của khối chóp bằng số đỉnh của nó
Hướng dẫn
- Số cạnh khối chóp bằng 2n cạnh gồm n cạnh đáy và n cạnh bên.
- Số mặt khối chóp bằng n+1 gồm n mặt bên và một đáy
- Số đỉnh khối chóp bằng n+1 gồm n đỉnh đáy và 1 đỉnh chóp.
- Số mặt khối chóp bằng số đỉnh vì cùng bằng n+1
Đáp án C
Ví dụ 2. Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là bao nhiêu?
A. 5

B. 6

C. 8

D. 9

Hướng dẫn:
Xét trên 2 mặt đáy đối diện của hình lập phương là ABCD và A’B’C’D’:
- có 2 đường chéo và 2 đường trung bình cùng với các đường tương ứng của mặt đối diện
tạo thành 4 mặt phẳng đối xứng.
- Có 4 cạnh kết hợp với 4 cạnh chéo (chẳng hạn AB đi với C’D’) tạo thành 4 mặt chéo cũng
là 4 mặt phẳng đối xứng
8 mặt phẳng này cũng tương ứng với các mặt tạo bởi các cạnh, các đường chéo và một
đường trung bình dọc của 4 cạnh bên.
Còn 1 mặt phẳng cắt qua trung điểm các cạnh bên cũng là mặt phẳng đối xứng không trùng
với 8 mặt trên.
Vậy khối lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng. Đáp án D
Ví dụ 3. Trong các khối đa diện sau. Hình nào không phải là đa diện lồi

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn:
Dễ dạng nhận thấy đáp án B
III. Các câu hỏi trắc nghiệm
Nhận biết
Câu 1: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh
đề sau trở thành mệnh đề đúng:
3 Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ - />
.

/>
“Số cạnh của một hình đa diện luôn …………..…… số mặt của hình đa diện ấy.”
A. bằng
B. nhỏ hơn hoặc bằng
C. nhỏ hơn
D. lớn hơn
Câu 2. Trong các hình dưới đây hình nào không phải đa diện lồi?

A. Hình (I).

B. Hình (II).

C. Hình (III).

Câu 3: Số cạnh của một hình bát diện đều là:
A. Tám
B. Mười
C. Mười hai
Câu 4: Số đỉnh của một hình bát diện đều là:
A. Sáu
B. Tám
C. Mười

D. Hình (IV).
D. Mười sáu
D. Mười hai

Câu 5: Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là:
A. Mười hai

B. Mười sáu
C. Hai mươi

D. Ba mươi

Câu 6: Số cạnh của hình mười hai mặt đều là:
A. Mười hai
B. Mười sáu
C. Hai mươi

D. Ba mươi

Câu 7: Số đỉnh của hình 20 mặt đều là:
A. Mười hai
B. Mười sáu

D. Ba mươi

C. Hai mươi

Câu 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Tồn tại một hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau;
B. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh;
C. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn luôn bằng nhau;
D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau.
Câu 9: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất
A. Năm cạnh.
B. Bốn cạnh.
C. Ba cạnh.
D. Hai cạnh.

Câu 10: Cho khối chóp có đáy là n-giác. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Số cạnh của khối chóp bằng n +1.
B. Số mặt của khối chóp bằng 2n.
C. Số đỉnh của khối chóp bằng 2n +1.
D. Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.
Câu 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các đỉnh hoặc số các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng:
A. Lớn hơn hoặc bằng 4.
B. Lớn hơn 4.
C. Lớn hơn hoặc bằng 5.
D. Lớn hơn 5.
Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các cạnh của bất kì hình đa diện nào cũng:
A. Lớn hơn hoặc bằng 6.
B. Lớn hơn 6.
C. Lớn hơn hoặc bằng 8.
D. Lớn hơn 8.
4 Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ - />

/>
Câu 13: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thẳng d thành chính nó khi và chỉ
khi:
A. d song song với (P).
B. d nằm trong (P).
C. d vuông góc với (P).
D.d nằm trong (P) hoặc d vuông góc với (P).
Câu 14: Có mấy loại khối đa diện đều?
A. 3.
B. 4.
C. 5.

D. 6.
Câu 15: Khối tám mặt đều thuộc loại
A. { 3;3} .
B. { 3; 4} .
C. { 3;5} .
D. { 4;3}
Câu 16: Khối mười hai mặt đều thuộc loại
A. { 3; 4} .
B. { 4;3} .
C. { 3;5} .
D. { 5;3} .
Thông hiểu
Câu 17: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Khối tứ diện là khối đa diện lồi;
B. Khối hộp là khối đa diện lồi;
C. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi;
D. Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
Câu 18:Cho các tính chất sau:
(1) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh
chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
(2) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng ba đa giác.
(3) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn các tính
chất:
A. 1 và 2;
B. 1 và 3;
C. 2 và 3;
D. 1, 2 và 3.
Câu 19: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. Hai.

B. Ba.
C. Bốn.
D. Năm.
Câu 20: Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là bao nhiêu?
A. 5
B. 7
C. 8
D. 9
Câu 21: Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu
mặt phẳng đối xứng?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Câu 22: Cho hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A.Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh;
B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt;
C.Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt;
D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh
Câu 23. Khối đa diện đều nào sau đây có mặt không phải là tam giác đều?
A. Thập nhị diện đều.
B. Nhị thập diện đều.
C. Bát diện đều.
D. Tứ diện đều.
5 Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ - />

/>
Câu 24. Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của bao nhiêu mặt?
A. 3.
B. 5.

C. 8.
D. 4.
Câu 25. Mỗi đỉnh của hình hai mươi mặt đều là đỉnh chung của bao nhiêu mặt?
A. 10.
B. 20.
C. 8.
D. 5.
Vận dụng
Câu 26: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều;
B. Tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình bát diện đều;
C. Tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương;
D. Tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ giác.
Câu 27: Cho bát diện đều ABCDEF, mệnh đề nào sau đây sai?
A. Các đoạn thẳng AF, BD, CE đôi một vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường;
B. Các tứ giác ABFD, AEFC, BCDE là những hình vuông;
C. Hai khối chóp A.BCDE và F.BCDE là hai khối chóp bằng nhau;
D. Bát diện đã cho có 6 đỉnh, 8 cạnh, 8 mặt.
Câu 28: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là các đỉnh của một hình bát diện đều;
B. Tâm của các mặt của hình lập phương là các đỉnh của hình một bát diện đều;
C. Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương;
D. Tâm của các mặt của hình bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.
Câu 29: Gọi m, c, d lần lượt là số mặt, số cạnh, số đỉnh của một hình đa diện lồi.Trong các
mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. m, c, d đều là số chẵn;
B. Có một hình đa diện mà m, c, d đều là số chẵn;
C. m, c, d đều là số lẻ;
D.Có một hình đa diện mà m, c, d đều là số lẻ.

Câu 30: Cho một đa diện lồi có số mặt và số đỉnh bằng nhau .Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào đúng?
A. Số cạnh phải là số chẵn;
B. Số cạnh phải bằng số mặt;
C. Số cạnh phải là số lẻ;
D.Số cạnh gấp đôi số mặt.
Câu 31: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Với mỗi số nguyên k ≥ 3, luôn tồn tại một hình đa diện có 2k cạnh;
B. Với mỗi số nguyên k ≥ 4, luôn tồn tại một hình đa diện có 2k +1 cạnh;
C. Không tồn tại một hình đa diện có số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh;
D.Luôn tồn tại một hình đa diện có số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
Câu 32: Cho hình chóp có 2018 cạnh. Hỏi hình chóp đó có bao nhiêu mặt?
A. 1008.
B. 1009 .
C. 1010.
D. 1011.

6 Biên soạn: Ths Lê Hoài Vũ - />