8 đề toán cao cấp 2 có lời giải chi tiết (NEU)

GROUP HỘI SINH VIÊN NEU YÊU TCC, VI, VĨ

GIẢI CÁC ĐỀ THI K57
TOÁN CAO CẤP 2

Tác giả: Nguyễn Văn Hinh – 0966547320
FB: Đức Hinh
Chỉnh sửa: Nguyễn Đức Thành, Đỗ Thế Thành


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Nguyễn Văn Hinh

MỤC LỤC
Trang

HÀ NỘI, 2017
2


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Nguyễn Văn Hinh

3


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

limπ ( tan x )

x→

Câu 1: Tính

Nguyễn Văn Hinh

Đề 1
tan 2x

4

Câu 2: CM hàm ngược: f(x) = x – π + cosx.

( f ) ′ ( – 1)
−1

Tính

.

Câu 3: Khai triển Mac – Laurin đến bậc 3 của x với phần dư Peano của hàm số sau:

f(x) =

Câu 4: Tính I =

x+5
−x 2 + 1

4x + 3 − 9x 2

dx
∫
x2
2
3

Câu 5: Cho hàm sản xuất Q =

1
2

24K L

. Tính MPPK, MPPL tại K = 8, L = 16. Nêu ý nghĩa.

Câu 6: Tìm cực trị của hàm số: u = 6x2 + 4y2 + 3z2 – 2xz + 2x – 5y + z
Câu 7: Cho hàm lợi ích U = x0,5y0,5.
Trong đó x là lượng hàng hóa thứ nhất, y là lượng hàng hóa thứ hai. Xác định cơ cấu tiêu dùng
để tối đa hóa lợi ích biết giá của hàng hóa thứ nhất là 2$, giá của hàng hóa thứ hai là 3$ và thu
nhập dành cho tiêu dùng là 64$.
Câu 8: Giải phương trình vi phân:

dy e x – y
=
dx ex + 1

thỏa mãn y(1) = 0

GIẢI
Câu 1:

4


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Đặt y = (tanx)

⇒

π
4

x→

=

Nguyễn Văn Hinh

⇒ lny = tan2x.ln(tanx)

sin 2x.ln(tan x)
π
cos 2x
x→

limπ ( tan 2x ) ln(tan x)

lim ln y
x→

tan2x

4

lim
=

4

sin 2x(1 + tan 2 x)
2cos 2x.ln(tan x) +
tan x
limπ
−2sin 2x
x→
4

limπ
x→

=
⇒I=

4

−2cos 2x.ln(tan x)
2sin 2x

−(1 + tan 2 x)
π

2 tan x
x→

lim
+

4

= –1

e −1

Câu 2:


Miền xác định: R

Ta có: f ′(x) = 1 – sinx ≥ 0 ∀ x ∈ R
⇒ Hàm số f(x) tăng ngặt và liên tục trên R do đó hàm số f(x) có hàm ngược x =

( f ) ′ ( −1)
−1



Ta có:

Tính

f −1 ( f ( x ) )

= x với mọi x thuộc miền xác định của f(x).

Lấy đạo hàm hai vế theo biến x ta có:
f ′(x) ( f −1 ) ′ ( f ( x ) )

1
( f ) ′ ( f ( x ) ) = f ′(x)
−1

=1 ⇒

Ta có: x – π + cosx = – 1 ⇔ x = π
5

=

1
1 − sinx

(∗)

f −1 (y)


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Nguyễn Văn Hinh

1

( f ) ′ ( −1) = 1 − sin
π
−1

Thay x = π vào ( ∗ ) ta được:

=1

( f ) ′ ( −1) = 1
−1

Vậy

Câu 3: Ta có: n = 3, xo = 0

f(x) =

x+5
−x 2 + 1

=

2
3
+
1+ x 1− x

f(0) = 5
−2

( 1+ x)

f′=

2

4

f″=

(1+ x)

3

−12

f‴=

( 1+ x)

4

+

+

+

3

(1− x)

2

⇒ f ′(0) = 1

6

(1− x)

3

⇒ f ″(0) = 10

18

(1− x)

4

⇒ f ‴(0) = 6

⇒ Khai triển Mac – Laurin phần dư Peano của hàm số: f(x) = 5 + x +

10
2!

x2 +

Câu 4:

I =

4x + 8 − 9x 2
dx
∫
x2

Xét tích phân Io =

∫

=

4
∫ x dx

+

∫

8 − 9x 2
dx
x2

8 − 9x 2
dx
x2

6

= 4ln +

∫

8 − 9x 2
dx
x2

6
3!

x3 + o.x3


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

2 2
sin t
3

Đặt x =

, t∈

2 2
cos t.dt
3

⇒ dx =

Nguyễn Văn Hinh

 −π π 
 2 ; 2 

⇒ t = arcsin

3x
2 2

2

∫
⇒ Io =

∫
Io =

Io =

2 2

8 − 9
sin t ÷
 3
 2 2
cos t.dt
2
3

2 2

sin t ÷

3


8cos 2 t 2 2
cos t.dt
8 2
3
sin t
9

 1

3∫  2 − 1÷dt
 sin t 

⇒ Io = – 3cot

∫
=

8 − 8sin 2 t 2 2
cos t.dt
8 2
3
sin t
9

∫
=

2 2 cos t 2 2
cos t.dt
8 2
3
sin t
9

= –3cot t – 3t + C

3x 

 arcsin
÷
2 2


– 3 arcsin

3x
2 2

+ C

Vậy I = 4ln + Io

= 4ln – 3cot

3x 

 arcsin
÷
2 2


– 3 arcsin

3x
2 2

Câu 5:
−1
3

+ MPPK = Q′K =

1
2

16K L
−1

⇒ MPPK(8; 16) =

1

16.8 3 16 2

= 32
7

+ C

=

∫ 3.cot

2

t.dt


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Nguyễn Văn Hinh

⇒ Ý nghĩa: Tại mức K = 8, L = 16 nếu giữ nguyên lao động và tăng tư bản lên 1 đơn vị thì sản
lượng tăng xấp xỉ một lượng MPPK = 32 đơn vị.
−1
2

2
3

+ MPPL = Q′L =

12K L

2
3

⇒MPPL(8; 16) =

12.8 16

−1
2

= 12

⇒ Ý nghĩa: Tại mức K = 8, L = 16 nếu giữ nguyên tư bản và tăng lao động lên 1 đơn vị thì sản
lượng tăng xấp xỉ một lượng MPPL = 12 đơn vị.

Câu 6: u = 6x2 + 4y2 + 3z2 – 2xz + 2x – 5y + z

Điều kiện cần:

⇒M

u′x = 0

u′y = 0
 ′
u z = 0

 −7 5 −4 
 ; ; ÷
 34 8 17 

⇔

12x − 2z + 2 = 0

8y − 5 = 0
6z − 2x + 1 = 0


⇔

−7

 x = 34

5

y =
8

−4

z = 17


là điểm dừng của hàm số

Điều kiện đủ :
u″xx = 12

u″xy = 0

u″xz = – 2

u″yx = 0

u″yy = 8

u″yz = 0

u″zx = – 2

u″zy = 0

u″zz = 6

⇒ Ma trận Hess : H =

 12 0 −2 
 0 8 0÷

÷
 −2 0 6 ÷


8


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Tại M

 −7 5 −4 
 ; ; ÷
 34 8 17 

Vậy (x ; y ; z) =

Nguyễn Văn Hinh

ta có D1 = 12 > 0, D2 = = 96 > 0, D3 = = 544 > 0

 −7 5 −4 
 ; ; ÷
 34 8 17 

là điểm cực tiểu của hàm số và UCT = U

 −7 5 −4 
 ; ; ÷
 34 8 17 

Câu 7:
Bài toán trở thành tìm x, y để hàm U = x0,5y0,5 là max với điều kiện 2x + 3y = 64
Xét hàm Lagrange:
L = x0,5y0,5 + λ(64 – 2x – 3y)

Điều kiện cần:

⇒ M

Ta có:

L′x = 0

L′y = 0
 ′
L λ = 0

⇔

0,5.x −0,5 y 0,5 − 2λ = 0

0,5 −0,5
0,5.x y − 3λ = 0
64 − 2x − 3y = 0


0,5
 32

−0,5  32 
16; ;0, 25.16 .  ÷ ÷
3
 3  ÷



L′′xx
L′′xy

L′′yy

= – 0,25
=

L′′yx

x −1,5 y0,5

= 0,25

= – 0,25

x 0,5 y −1,5

là điểm dừng của hàm số

<0

x −0,5 y −0,5

⇔



 x = 16

32
y =
3


0,5

−0,5  32 
λ = 0, 25.16 .  ÷
 3 


>0

<0

g′x = 2; g′y = 3

9


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

⇒ Ma trận Hess H =
⇒=

0 2

 2 L′′xx
 3 L′′yx


6L′′xy + 6L′′yx − 9L′′xx − 4L′′yy

Vậy (x, y) =

Nguyễn Văn Hinh

 32 
16; ÷
3 


3 
÷
L′′xy ÷
L′′yy ÷


> 0

là túi hàng hóa cần tìm

Câu 8:
x−y

dy e
=
dx e x + 1

⇒

dy
ex

=
dx e y ( e x + 1)

e x dx
e dy = x
e +1
y

⇒

Lây tích phân 2 vế:
y
∫ e dy = ∫

e x dx
ex + 1

⇔

y
∫ e dy = ∫

d(e x )
ex + 1

e y = ln e x + 1 + ln C
⇔
e y = ln e x + 1 + ln C

⇒ nghiệm tổng quát của phương trình là:

(∗)

Thay x = 1, y = 0 vào ( ∗ ) ta được:

1=

ln e + 1 + ln C

⇒ C=

e1−ln e+1
e y = ln e x + 1 + ln e1−ln e+1

Vậy nghiệm riêng của phương trình được biểu diễn là:

10


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Nguyễn Văn Hinh

Đề 2
Câu 1: Xác định khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: y =

x 7 − 2x 2

Câu 2: Tìm đạo hàm riêng tại điểm (0, 3) của hàm số:

w=


2y – 1
2
vôù
i (x,y),x ≠ 0
x y +2arctan
x

0
vôù
i (x,y),x=0


Câu 3: Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình y2 + 2lny = x4. Chứng tỏ hàm số y =
y(x) là nghiệm của phương trình vi phân:
(y2 + 1)2.y″ + 2x3(y2 – 1)y′ = 6x2y(y2 + 1)
Câu 4: Tính các tích phân

a,

∫x

+∞

dx
x 2 -8

∫

b,

1

ln(5x – 2)
dx
x2

Câu 5: Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó trên hai thị
trường khác nhau (được phân biệt giá). Cho biết hàm chi phí cận biên:
MC = 3,5 + 0,05Q (Q = Q1 + Q2)
và cầu của hai thị trường với sản phẩm của công ty:
Thị trường 1: P1 = 24 – 0,15Q1
Thị trường 2: P2 = 18 – 0,075Q2
Xác định sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối đa?
Câu 6: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số:
y = x0,5y0,3 với điều kiện 5x + 2y = 656

11


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Nguyễn Văn Hinh

x.y′ – 2y =

Câu 7: Giải phương trình vi phân:

8x
y

2

Giải
Câu 1:

TXĐ: D =

 − 14 14 
;


2
2 


7 − 2x −
2

y′ =

2x 2
7 − 2x 2

7 − 2x 2 −
Cho y′ = 0 ⇔

2x 2

7 − 2x 2

14
2

±
Ta có: y′ không xác định tại x =
±
⇒ Hàm số có 4 điểm tới hạn: x =

= 0 ⇔


7
(tm)
 x=
2


– 7
(tm)
 x=
2


14
2

±
; x=

7
2

Bảng biến thiên:
x
y′

−

14
2

−
–

7
2

7
2

0

+

12

0

14
2
–


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Nguyễn Văn Hinh

+∞

7 2
4

y

−7 2
4

Vậy hàm số tăng trên khoảng

–∞

− 7 7
;

÷
2 
 2
 − 14 − 7 

;

÷
2 
 2

hàm số giảm trên các khoảng

hàm số đạt cực đại tại x =

hàm số đạt cực tiểu tại x =

7
2

⇒ yCĐ =

− 7
2

 7 14 
;

÷
2 
 2

và

7 2

4

⇒ yCT =

−7 2
4

Câu 2:

Ta có:

f (x,3) − f (0,3)
lim+
x →0
x−0

lim−

x →0

f (x,3) − f (0,3)
x −0

⇒ không tồn tại

x 11arctan
lim+

=

lim−

x →0

=
5
−0
x

x

=

w ′x ( 0, 3)

f (0, y) − f (0,3)
y→3
y−3

lim
Ta có:

x

x →0

x 11arctan
=

5

−0
x

0−0
y →3 y − 3

lim
=

=0
13

11π
2

− 11π
2


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

⇒

Nguyễn Văn Hinh

w ′y (0,3) = 0

Câu 3:
Đặt F(x, y) = y2 + 2lny – x4
Fx′

Ta có:

y′x

=

3

= – 4x ;

− Fx′
Fy′

=

2
2y +
y

=

4x 3 y
2y 2 + 2

( 12x y + 4x y′) ( 2y + 2 ) − 4x y4yy′
( 2y + 2 )
3

2

2

=

= 2y +

4x 3

2

y′′x

Fy′

2
y

3

2

Ta có:

( 12x y + 4x y′) ( 2y
2

2

+ 2 ) − 16x 3 y 2 y′

4

(y2 + 1)2.y″ + 2x3(y2 – 1)y′ =

=

3

6x 2 y3 + 6x 2 y + 2x 3 y 2 y′ + 2x 3 y′ − 4x 3 y 2 y′ + 2x 3y 2 y′ − 2x 3y ′

= 6x2y(y2 + 1)
⇒ đpcm
Câu 4:

a, I =

∫x

Đặt t =

dx
x 2 -8

x2 − 8

+ 2x3y2y′ − 2x3y′

⇒ t2 = x2 – 8 ⇔ x2 = t2 + 8 ⇒ 2tdt = 2xdx
14

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

tdt
2
+8 )

∫ t( t

⇒I=

1
2 2

I=

1
2 2

⇒I=

+∞

∫

b, I =

1

∫t

=

arctan

t
2 2

dt
+8

2

+C

x2 – 8

arctan

Nguyễn Văn Hinh

2 2

+C

ln(5x – 2)
dx
x2
t

ln(5x – 2)
dx
2
x
1

∫
Với t ∈ (1; +∞) ta có tích phân Io =

Đặt

u = ln(5x − 2)


1
dv = x 2 dx

⇒ Io =

⇒

– ln(5x – 2)
x

5

du
=
dx


5x − 2

dv = −1

x

t

1

t

+ 5

dx

∫ x ( 5x – 2 )
1

5 
 –1
 2
÷
∫1  x + 5x2– 2 ÷dx

÷


t

Io =

Io =

– ln(5t – 2)
t

– ln(5t – 2)
t

+ ln3 + 5

t

+ ln3 –

5 dx
2 ∫1 x

t

+

25
dx
∫
2 1 5x – 2

15

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Io =

Io =

– ln(5t – 2)
t
– ln(5t – 2)
t

3ln 3
2

ln ( 5x – 2 )
dx
t →+ ∞
x2
1

=

=–

3ln 3
2

5ln5

2

Vậy I =

–

+

–

5ln 3
2

  − ln(5t − 2) 3ln 3 5 5t − 2 
lim 
−
+ ln
t →+ ∞
t
2
2
t ÷



lim ∫

5ln5
2

5ln 5t − 2
2

5 5t – 2
ln
2
t

+

t

Xét

5ln t
2

+ ln3 –

–

Nguyễn Văn Hinh

–

 ln(5t − 2)
t →+ ∞
t
lim

–

3ln 3
2

–

5
 
lim 5t − 2
t →+ ∞
1

+

5ln5
2

=

5ln5
2

–

3ln 3
2

3ln 3
2

Câu 5: MC = 3,5 + 0,05Q
⇒ TC = 3,5Q + 0,025Q2 + a (a là chi phí cố định)
= 3,5(Q1 + Q2) + 0,025(Q1 + Q2)2 + a
TR = P1Q1 + P2Q2
= (24 – 0,15Q1)Q1 + (18 – 0,075Q2)Q2
= 24Q1 + 18Q2 – 0,15

Q 21

– 0,075

Q2 2

⇒π = TR – TC

= 24

Q1

+ 18

Q2

– 0,075

Q12

– 0,375

Q22

– 3,5(
16

Q1 + Q 2

) – 0,0125(

Q1 + Q 2

)2 – a


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

⇒π = 20,5

Q1

+ 14,5

Q2

Nguyễn Văn Hinh

– 0,175

2
1

Q

– 0,1

Q2

2

– 0,05

Q1Q 2

–a

Bài toán trở thành tìm Q1, Q2 để hàm
π = 20,5

Điều kiện cần:

Q1

+ 14,5

 π′Q1 = 0

 π′Q2 = 0

Q2

– 0,175

Q12

– 0,1

Q22

– 0,05

 π′Q1 = 20,5 – 0,35Q1 – 0,05Q 2

 π′Q2 = 14,5 – 0,2Q 2 – 0,05Q1

⇔

Q1Q 2

⇔

– a là max

Q1 = 50

Q 2 = 60

⇒ M(50, 60) là điểm dừng của hàm số

Điều kiện đủ:

π′′Q1Q1

= – 0,135

π′′Q1Q2

=

π′′Q2Q1

= – 0,05

π′′Q2Q2

= – 0,2

⇒ D = = 0,0675 > 0 và – 0,135 < 0
⇒

( Q1 ,Q2 )

= (50, 60) là điểm cực đại của hàm số

Vậy để tối đa hóa lợi nhuận, công ty bán 50 sản phầm ở thị trường 1 với mức giá P1 = 16,5
bán 60 sản phầm ở thị trường 2 với mức giá P 2 = 13,5

Câu 6: Xét hàm Lagrange:
L = x0,5y0,3 + λ(656 – 5x – 2y)

Điều kiện cần:

⇒M

L′x = 0

L′y = 0
 ′
L λ = 0

( 82; 123; 0,1.82

⇔

0,5.x -0,5 y 0,3 – 5λ = 0

0,5 -0,7
0,5.x y – 2λ = 0
656 – 5x – 2y = 0


1230,3 )

⇔

 x =82

 y = 123
λ = 0,1.82-0,5 .1230,3


-0,5

là điểm dừng của hàm số

17


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Điều kiện đủ :

L′′xx

= – 0,25x-1,5y0,3 < 0

L′′xy
L′′yy

=

L′′yx

= 0,15.x-0,5y-0,7 > 0

= – 0,21.x0,5y-1,7 < 0

g′x = 5;

⇒ Ma trận Hess H =
⇒=

Nguyễn Văn Hinh

g′y = 2

0 5

 5 L′′xx
 2 L′′
yx


2 
÷
L′′xy ÷
L′′yy ÷


10L′′xy + 10L′′yx − 4L′′xx − 25L′′yy

> 0

Vậy (x ; y) = (82 ; 123) là điểm cực đại của hàm số và WCĐ = 820,51230,3
Câu 7 :
8x 2
xy′ − 2y =
y

⇒

8x 2 + 2y 2
xy′ =
y

⇒

8x 2 + 2y 2
y′ =
xy

Đặt y = x.u với u = u(x) ⇒ y′ = u + x.u′
Thay y′ và y vào ( ∗ ) ta được :

u + x.u′ =

⇒ x.u′ =

⇒

8x 2 + 2x 2 u 2
x 2u
8 + 2u 2 − u 2
u

x.du 8 + u 2
=
dx
u

⇒

=

=

8 + 2u 2
u
8 + u2
u

udu
dx
=
2
8+u
x
18

(∗)


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Lấy tích phân 2 vế :

udu
dx
∫ 8 + u2 = ∫ x

Nguyễn Văn Hinh

ln x =

⇒

1
ln u 2 + 8 + ln C
2

1

Tích phân tổng quát : x =

 y2
2
C 2 + 8÷
x


với C là hằng số

19

C ( u + 8)
2

⇒x=

1
2

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Nguyễn Văn Hinh

Đề 3
Câu 1: Tìm khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số: y =

x 3 – 2x 2

Câu 2: Tính đạo hàm riêng tại điểm (2, 0) của hàm số

w=


x–1
2
vôù
i (x,y),y ≠ 0
y 2x + 1arctan
y

0
vôù
i (x,y),y=0


Câu 3: Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình

x x2
+
=3
y2 2

2xy′′ − (3xy 2 + 1)y′ +

Chứng minh rằng hàm y = y(x) là nghiệm của phương trình vi phân

y
=0
x

Câu 4: Tính các tích phân:

a,

∫x

+∞

dx
x2 – 3

∫

b,

1

ln(3x − 1)
dx
x2

Câu 5: Một hãng độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó trên hai thị trường
khác nhau (Phân biệt giá). Cho biết hàm chi phí cận biên
MC = 10,5 + 0,1Q (Q = Q1 + Q2)
Và cầu thị trường đối với sản phẩm của hãng:
P1 = 72 – 0,3Q1
P2 = 54 – 0,15Q2
Xác định sản lượng và giá bán trên mỗi thị trường để hãng thu lợi nhuận tối đa.
Câu 6: Tìm cực trị hàm w = x0,6y0,5 , với điều kiện 3x + 5y = 1210

20


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Nguyễn Văn Hinh

xy′ + 3y =

Câu 7: Giải phương trình vi phân:

2x
y

2

Giải:

Câu 1: TXĐ: D =

− 6 6 
;


2
2 


3 − 2x −
2

y′ =

2x 2
3 − 2x 2

2x 2

3 − 2x 2 −

3 − 2x 2

Cho y′ = 0 ⇔
±
Ta có: y′ không xác định tại x =

6

2

±
⇒ Hàm số có 4 điểm tới hạn: x =

= 0 ⇔


3
(tm)
 x=
2


– 3
(tm)
 x=

2

6
2

±
; x=

3
2

Bảng biến thiên:

x
y′

−

6
2

−
–

3
2

3
2

0

+

21

0

6
2
–

Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Nguyễn Văn Hinh

0

3 2
4

y
−3 2
4

Vậy hàm số tăng trên khoảng

0

− 3 3
;

÷
2 
 2

hàm số giảm trên các khoảng

hàm số đạt cực đại tại x =

hàm số đạt cực tiểu tại x =

3
2

− 6 − 3
;

÷
2 
 2

⇒ yCĐ =

− 3
2

và

 3 6
;

÷
 2 2 

3 2
4

⇒ yCT =

−3 2
4

Câu 2:
f (x,0) − f (2;0)
x →2
x−2

lim

Ta có:

0−0
x →2 x − 2

lim

=

= 0

⇒ w′x(2; 0) = 0

lim+

y→0

Xét:

lim−

y→0

f (2; y) − f (2;0)
y−0

f (2; y) − f (2;0)
y−0

1
−0
y
y−0

3y.arctan
lim+

y →0

=

1
−0
y
y−0

=

3y.arctan
lim

y →0 −

=

22

=

3π
2

−3π
2


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Nguyễn Văn Hinh

⇒ Không tồn tại w′y(2; 0)

Câu 3:

x
x2
+
=3
y2
2

Đặt F(x, y) =

Fx′ =

1
+x
y2

y′x =
⇒

y″=

−Fx′
Fy′

x
x2
+
−3
y2
2

Fy′ =
;

=

−2x
y3

1
+x
y2
2x
y3

 y + xy3 ′

÷
 2x 

=

y + xy3
2x

( y′ + y

3

+ 3xy 2 y′ ) 2x − ( y + xy3 ) 2
4x 2

=

=

xy′ + 3x 2 y 2 y′ − y
2x 2

Ta có:
2xy′′ − (3xy 2 + 1)y′ +

y
x

=

xy′ + 3x 2 y2 y′ − y
x

y′ + 3xy 2 y′ −
=

3xy 2 y′ − y′ +
−

y
x

y
y
− 3xy 2 y′ − y′ +
x
x

=0
⇒ đpcm
Câu 4:

a, Đặt t =

x2 – 3

⇒ t2 = x2– 3 ⇔ x2 = t2 + 3 ⇒ 2tdt = 2xdx
23


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

∫(t

⇒I=

tdt
+3) t

∫(t

2

=

Nguyễn Văn Hinh

dt
+3)

2

1
t
arctan
+C
3
3

I=

1
x2 − 3
arctan
+C
3
3

⇒I=

+∞

∫

b, I =

1

ln(3x – 1)
dx
x2
t

ln(3x – 1)
dx
x2
1

∫
Xét tích phân Io =

Đặt

 u = ln(3x − 1)


1
dv = x 2 dx

⇒ Io =

Io =

Io =

Io =

– ln(3x – 1)
x

– ln(3t – 1)
t

– ln(3t – 1)
t
– ln(3t – 1)
t

⇒

3

du
=
dx

3x − 1

dv = −1

x

t

1

t

+ 3

dx

∫ x ( 3x – 1)
1

t

+ ln2 + 3

 −1

3 

∫  x + 3x – 1 ÷ dx
1

t

+ ln2 –

dx
3∫
x
1

t

+

3ln t
+ ln2 –

dx
3x – 1
1

9∫

+

3ln 3t − 1
24

–

3ln 2


Hội sinh viên NEU yêu TCC, Vi, Vĩ

Io =

– ln(3t – 1)
t

3ln

– 2ln2 +

ln ( 3x – 1)
dx
2

t →+ ∞
x
1
t

lim ∫

Xét

Nguyễn Văn Hinh

=

3t – 1
t

  − ln(3t − 1)
3t − 1 
lim 
− 2 ln 2 + 3ln
t →+∞
t
t ÷


 ln(3t − 1)
t →+ ∞
t
lim

= – 2ln2 –

+ 3ln3

3
 
lim 3t − 1
t →+ ∞
1

3ln3 – 2ln2 –
= 3ln3 – 2ln2
Vậy I = 3ln3 – 2ln2
Câu 5: MC = 10,5 + 0,1Q

⇒ TC = 10,5Q + 0,05Q2 + a (a là chi phí cố định)
= 10,5(Q1 + Q2) + 0,05(Q1 + Q2)2 + a
TR = P1Q1 + P2Q2
= (72– 0,3Q1)Q1 + (54 – 0,15Q2)Q2
= 72Q1 + 54Q2 – 0,3

Q 21

– 0,15

Q22

⇒π = TR – TC

= 72Q1 + 54Q2 – 0,3

Q 21

⇒π = 61,5Q1 + 43,5Q2– 0,35

– 0,15

Q 21

Q22

– 0,2

– 10,5(Q1 + Q2) – 0,05(Q1 + Q2)2– a

Q22

– 0,1Q1Q2 – a

25