8 toan8 HKII 2016

Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài tập Toán 8

MỤC LỤC

Học kì 2

Phần 1. Đại Số

Phần 1. Đại Số ................................................................................................. 1
Chương III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .............................. 1
Phương trình ............................................................................................ 1
Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0 ................................................. 4
Phương trình tích...................................................................................... 8
Phương trình chứa ẩn ở mẫu ................................................................... 11
Phương trình có hệ số chứa tham số........................................................ 13
Giải bài toán bằng cách lập phương trình ................................................ 16
Ôn tập chương 3 ..................................................................................... 24
Các đề kiểm tra chương 3 ....................................................................... 27
Chương IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .................... 31
Bất đẳng thức - Tính chất của bất đẳng thức ........................................... 31
Bất phương trình một ẩn Bất phương trình bậc nhất một ẩn .................... 35
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................................... 42
Bất phương trình tích, thương. Bất phương trình bậc hai.. ....................... 46
Ôn tập chương 4 ..................................................................................... 48
Các đề kiểm tra chương 4 ....................................................................... 51
Phần 2. Hình học .......................................................................................... 55
Chương III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG.................................................... 55

Đoạn thẳng tỉ lệ ...................................................................................... 55
Định lý Ta-lét (Thalès) trong tam giác .................................................... 58
Tính chất đường phân giác của tam giác ................................................. 64
Tam giác đồng dạng ............................................................................... 67
Ôn tập chương 3 ..................................................................................... 80
Các đề kiểm tra chương 3 ....................................................................... 86
Chương IV: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHÓP ĐỀU ................. 90
Hình hộp chữ nhật. Mặt phẳng và đường thẳng trong không gian ........... 90
Hình lăng trụ đứng ................................................................................. 96
Hình chóp đều ...................................................................................... 100
Ôn tập chương 4 ................................................................................... 103
Ôn tập học kì 2 ............................................................................................ 105
Phần 3. Các đề kiểm tra học kỳ II .............................................................. 110
MỤC LỤC................................................................................................... 124
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 124

Chương III:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN


Phương trình
1. Phương trình một ẩn
 Một phương trình với ẩn x luôn có dạng: A(x) = B(x), trong đó vế trái
A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.
 Nếu x0 là một giá trị sao cho A(x0 ) = B(x0 ) là một đẳng thức đúng thì
x = x0 được gọi là một nghiệm của phương trình A(x) = B(x).
 Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm, …, vô
số nghiệm, nhưng cũng có thể không có nghiệm nào (phương trình vô

nghiệm).
 Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập
nghiệm của phương trình đó và thường được ký hiệu bởi chữ S.
 Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm)
của phương trình đó.
 Số nghiệm của phương trình còn phụ thuộc vào việc xét các giác trị
của ẩn trên tập hợp số nào.

2. Hai phương trình tương đương
a) Định nghĩa: Hai phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng
có chung một tập hợp nghiệm.
 Sự tương đương ký hiệu bởi dấu . Phương trình (1) tương đương
với phương trình (2), ta viết: (1)  (2).
 Hai phương trình vô nghiệm được coi là tương đương (tập nghiệm
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 1


Bài tập Toán 8

Học kì 2

của chúng bằng )
 Khi nói hai phương trình tương đương với nhau ta phải chú ý rằng
các phương trình đó được xét trên tập hợp số nào, có khi trên tập
này thì tương đương nhưng trên tập khác thì lại không
b) Hai qui tắc biến đổi tương đương:
 Qui tắc chuyển vế: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia
của một phương trình đồng thời đổi dấu hạng tử ấy thì được một

phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.

A( x )  B( x )  C( x )  A( x )  C( x )  B( x )
 Qui tắc nhân: Nếu ta nhân (hay chia) một số khác 0 vào 2 vế của
một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với
phương trình đã cho.

Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài 4: Hai xe khởi hành cùng lúc đi từ A đến B, đường dài 180 km. Vận tốc
của xe thứ nhất kém xe kia 10 km/h nên đến B trễ hơn xe kia 36 phút. (2
xe chạy không nghỉ). Tìm vận tốc bình quân của mỗi xe.
Bài 5: Cho ABC (AB > AC), có 3 góc nhọn và 2 đường cao BE, CF
(E  AC, F  AB)
a) Chứng minh: AEB  AFC.
b) Chứng minh: AEF  ABC.
c) Tia FE cắt BC tại H. Chứng minh: HE.HF = HB.HC.
d) Vẽ HK // AB, HG // AC (K  tia AC, G  tia BA).
AG
AK
Chứng minh:
+1=
.
AB
AC

A( x )  B( x )  m.A( x )  m.B( x ) ( m  0 )
3.1

Cho hai phương trình:

x2 – 5x + 6 = 0

(1)

x + (x – 2)(2x + 1) = 2.

(2)

a) Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung là x = 2.
b) Chứng minh: x = 3 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau không, vì sao ?
3.2

3.3

Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây vô nghiệm:
a) 2(x + 1) = 3 + 2x

b) 2(1 – 1,5x) + 3x = 0

c) | x | = –1

d) x2 + 1 = 0

Xét tính tương đương của các phương trình:

Khi

(1 – x)(x + 2) = 0

(1)

(2x – 2)(6 + 3x)(3x + 2) = 0

(2)

(5x – 5)(3x + 2)(8x + 4)(x2 – 5) = 0
(3)
a) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập N.
b) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Z.
c) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập Q.
d) Ẩn số x chỉ nhận những giá trị trên tập R.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 2

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 123


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài tập Toán 8

3.4

Đề 19
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 3x  1  x  5

b) (2x  6)(x  20)  0

2x  1 3x  5 x  1
c)


3
4
5

x  3 x  3 2x(x  1)
d)


x 3 x 3
x2  9

e)

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
a) 14x  15  20  7x

b)

Trong các cặp phương trình sau hãy chỉ ra các cặp phương trình tương
đương, không tương đương. Vì sao ?
2
a) 3x + 2 = 1
và
x+1=
3
b) x + 2 = 0

và

(x + 2)(x – 1) = 0

c) x + 2 = 0

và

(x + 2)(x2 + 1) = 0

và

x2 – 4 = 0

e) 2x + 3 = x + 5

và

2x + 3 +

f) 2x + 3 = x + 5

và

g) x + 7 = 9

và

x2 + x + 7 = 9 + x2

h) (x + 3)3 = 9(x + 3)

và

(x + 3)3 – 9(x + 3) = 0

i) 0,5x2 – 7,5x + 28 = 0

và

x2 – 15x + 56 = 0

j) 2x – 1 = 3

và

x(2x – 1) = 3x

d) x2 – 4 +

x  11 x  13 x  15 x  17



4
89
87
85
83

x5 x 2 x 2


6
9
3

Bài 3: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/h, rồi trở về A với
vận tốc 15 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 60 phút. Tính
quãng đường AB?
Bài 4: Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết AB= 9cm, AC = 12cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng BC
3.5

b) Chứng minh: ABC  HAC.

Học kì 2

1
1


x2 2

1
1
=x+5+
x 1
x 1
1
1
2x + 3 +
=x+5+
x2
x2

Tìm giá trị của k sao cho:

c) Gọi E, F là hình chiếu của H trên AB, AC. C/minh: AH2 = AF.AC.

a) Phương trình: 2x + k = x – 1

có nghiệm x = – 2.

d) Tính diện tích AEF.

b) Phương trình: (2x + 1)(9x + 2k) – 5(x + 2) = 40

có nghiệm x = 2

c) Phương trình: 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x + k)

có nghiệm x = 1

d) Phương trình: 5(m + 3x)(x + 1) – 4(1 + 2x) = 80

có nghiệm x = 2

Đề 20
Bài 1: Giải phương trình
a) 3(x – 2) = 2 – (x – 4)

b) x2 – 7x = 0

x  3 x 1
c)

2
x 1
x

d) (3x – 1)(4x+3)=12x(x – 4)

3.6

Tìm m, a và b để các cặp phương trình sau đây tương đương:
a) mx2 – (m + 1)x + 1 = 0

và

(x – 1)(2x – 1) = 0

b) (x – 3)(ax + 2) = 0

và

(2x + b)(x + 1) = 0

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a) 26x – 14  12 + 20x

x
x x 1
x  
6
3
2

Bài 3: Tìm số nguyên x bé nhất thỏa: (x – 2)3 > (x – 2)(x2 – 4x)
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 122

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 3


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài tập Toán 8

Học kì 2

Đề 18

Phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0
Bài 1: Giải các phương trình sau:

Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0
1. Định nghĩa
Phương trình dạng ax + b = 0; với a, b là những hằng số, a  0 được gọi
là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Cách giải phương trình đưa được về phương trình bậc nhất

a)

x

b)

2x  1 3  x 1


12
18
36

c)

x
3
12x  33


x  11 x  12  x  11 x  12 

2

 32   2  x  3  0

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số:

 Quy đồng mẫu thức 2 vế.

x  2 x  5 10x  1


10
15
30

 Khử mẫu thức 2 vế.
 Thực hiện các phép tính và chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa ẩn
sang một vế, các hằng số sang vế bên kia), đưa phương trình vầ dạng
Ax = B.
3.7

Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:
a) 1 + x = 0

b) x + x2 = 0

c) 1 – 2t = 0

d) 3y = 0

e) 0x – 3 = 0

f) (x2 + 1)(x – 1) = 0

g) 0,5x – 3,5x = 0
3.8

3.9

2

h) – 2x + 5x = 0

g) 0x + 0 = 0

Bài 5: Cho ABC vuông tại A có AB = 15cm. AC = 20cm. Vẽ AH vuông góc
với BC tại H.

a) 7x + 12 = 0

b) 5x – 2 = 0

c) 12 – 6x = 0

d) – 2x + 14 = 0

e) 3x + 1 = 7x – 11

f) 2x + x + 12 = 0

g) x – 5 = 3 – x

h) 7 – 3x = 9 – x

i) 5 – 3x = 6x + 7

j) 11 – 2x = x – 1

k) 15 – 8x = 9 – 5x

l) 0,25x + 1,5 = 0

a) Chứng minh HBA và ABC đồng dạng
b) Tính độ dài các cạnh BC, AH
c) Vẽ tia phân giác của góc BAH cắt cạnh BH tại D. Tính độ dài các
cạnh BD, DH

Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của nghiệm ở dạng số thập
phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm:
b) 12 + 7x = 0

c) 10 – 4x = 2x – 3

3.10 Giải các phương trình sau:
1. a) 3x – 2 = 2x – 3
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Một ôtô chạy trên quãng đường AB. Lúc đi từ A đến B ôtô chạy với vận
tốc 50km/h, lúc về từ B đến A ôtô chạy với vận tốc 60km/h, vì vậy thời
1
gian về ít hơn thời gian đi là
giờ. Tính độ dài quãng đường AB.
2
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ có AB = 15cm, AD = 20 cm và
AM = 12cm. Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ.

Giải các phương trình sau:

a) 3x – 11 = 0

Bài 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

d) Trên cạnh HC lấy điểm E sao cho HE = HA, qua E vẽ đường thẳng
vuông góc với cạnh BC cắt cạnh AC tại M, qua C vẽ đường thẳng
vuông góc với cạnh BC cắt tia phân giác của góc MEC tại F. Chứng
minh: Ba điểm H, M, F thẳng hàng.

b) 3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y
Trang 4

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 121


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của A = 6x – 3x2

c) 7 – 2x = 22 – 3x

d) 8x – 3 = 5x + 12

Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), ba đường cao AD, BE,
CF cắt nhau tại H.

e) x – 12 + 4x = 25 + 2x – 1

f) x + 2x + 3x – 19 = 3x + 5

2. a) 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)

a) Chứng minh: AHF  ABD .

b) 2x(x + 2)2 – 8x2 = 2(x – 2)(x2 + 2x + 4)

b) Chứng minh: AE.AC = AF.AB

c) 7 – (2x + 4) = – (x + 4)

  ADF
.
c) Chứng minh: ABE

d) (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

  60 , diện tích ABC bằng 1. Tính SBCEF.
d) Cho BAC

e) x(x + 3)2 – 3x = (x + 2)3 + 1

0

f) (x + 1)(2x – 3) = (2x – 1)(x + 5)

Đề 17

g) (x – 2)3 + (3x– 1)(3x+ 1) = (x + 1)3

Bài 1: Giải các phương trình sau đây :
a) x(x  3)  x(4  x)  2
2

c) (3x  1)  4  0
e)

x 1 x 1 3


2x
x 5 2

3. a) 1,2 – (x – 0,8) = –2(0,9 + x)
b) 3(x  4)  2(4  x)  4

b) 2,3x – 2(0,7 + 2x) = 3,6 – 1,7x

2

d) (x  2)  (2x  1)(x  2)  0
f)

x  1 x  5 x x  10034

 
0
34
10
7
1111

Bài 2: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số :
x4 x2 x2
a)



5
2
6

(2x  1) 2 3
b)
  x(x  1)  3
4
4

c) 3 + 2,25x + 2,6 = 2x + 5 + 0,4x
d) 0,1 – 2(0,5t – 0,1) = 2(t – 2,5) – 0,7
e) 3,6 – 0,5(2x + 1) = x – 0,25(2 – 4x)
f) 5x + 3,48 – 2,35x = 5,38 – 2,9x + 10,42
b)

10x  3
6  8x
1
12
9

3

 13

c) 2  x    5    x 
5


 5


d)

7
20x  1,5
x  5(x  9) 
8
6

e)

7x  1
16  x
 2x 
6
5

f)

x 2x  1 x

 x
3
6
6

g)

3x  2 3x  1 5

  2x
2
6
3

h)

x4
x x 2
x4 
5
3
2

i)

4x  3 6x  2 5x  4


3
5
7
3

k)

5x  2 8x  1 4x  2



5
6
3
5

m)

2x  1 x  2 x  7


5
3
15

n)

3x  11 x 3x  5 5x  3
 

11
3
7
9

4. a)

Bài 3: Một xe ô tô khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc là 60 km/h. Cùng
lúc đó 1 xe gắn máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc chậm hơn
vận tốc xe ô tô là 20 km/h nên xe gắn máy đến B chậm hơn xe ô tô là 2

giờ. Tính chiều dài quãng đường AB.
Bài 4: Cho ABC có 3 góc nhọn và AH là đường cao của tam giác (H  BC)
Từ H vẽ HE  AB tại E và HD  AC tại D
a) Chứng minh: HBA  EHA.
b) Chứng minh: AH2 = AD . AC
B
  1800
c) Chứng minh: ADE  ABC. Suy ra CDE

d) Cho AH =12, BH = 9, HC =16. Tính diện tích ADE.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 120

5x  2 5  3x

3
2

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 5


Bài tập Toán 8

Học kì 2

o)

2 x
1  2x
 0,5x 
 0,25
5
4

q)

1
1
1
(x  3)  3  (x  1)  (x  2)
4
2
3

p)

3x  11 x 3x  5 5x  3
 

11
3
7
9

Học kì 2

Đề 15
Bài1:

Giải các phương trình.
a) 2x – 3 = x + 7

b) 2x(x + 3) = x + 3
x 1 x 1
8
c) 2x  7  x  3  0
d)

 2
x 1 x 1 x 1
Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

1 2(x  3) 3x 2(x  7)
5. a) 14 


2
5
2
3

b)

Bài tập Toán 8

2(3x  1)  1

2(3x  1) 3x  2
5 

4
5
10

x  1 2  x 3x  3


2
3
4
Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 9 m và chu vi
là 58 m. Tính diện tích của khu vườn.

a) 3(x – 2) > 5x + 2

c)

5(x  1)  2 7x  1 2(2x  1)


5
6
4
7

d)

x  1 3(2x  1) 2x  3(x  1) 7  12x



3
4
6
12

e)

3(2x  1) 3x  1
2(3x  2)

1
4
10
5

f)

3(x  3) 4x  10,5 3(x  1)


6
4
10
5

b)

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x2 – 6x + 12
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH.
a) Chứng minh: BAC  BHA.

g) x 

3(x  30)
1 7x 2(10x  2)
 24 

15
2 10
5

h) x 

3
7
10x  3
(2x  1)  (1  2x) 
17
34
2

b) Chứng minh: BC.CH = AC2
c) Kẻ HE  AB và HF  AC (E  AB; F  AC).
Chứng minh: AFE  ABC.
d) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M.
Chứng tỏ rằng: MB.MC = ME.MF

Đề 16

3.11 Tìm x sao cho các biểu thức A và B cho sau có giá trị bằng nhau:
a) A = (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2)

và

B = (x – 4)2

b) A = (x + 2)(x – 2) + 3x2

và

B = (2x + 1)2 + 2x

c) A = (x – 1)(x2 + x + 1) – 2x

và

B = x(x – 1)(x + 1)

d) A = (x + 1)3 – (x – 2)3

và

B = (3x –1)(3x +1).

Bài1:

a) 2x – 1 = 3x + 5

b) x(x + 2) = 3x + 6

c) x  2  2x  6

d)

x  3 x  3 6x  18


x  3 x  3 x2  9

Bài 2: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số.

3.12 Giải các phương trình sau:
7x  1
16  x
a)
 2x 
6
5

a) 2(2x – 1) > 6x + 2

b)

x  2 x  2 3x  4



3
2
6

Bài 3: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50 km/giờ rồi từ tỉnh B
quay trở về tỉnh A với vận tốc 40 km/giờ. Tính quãng đường AB. Biết
rằng thời gian đi ít hơn thời gian về là 36 phút.

(2x  1)2 (x  1) 2 7x 2  14x  5
b)


5
3
15
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Giải các phương trình.

Trang 6

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 119


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m và chu vi
là 140m. Tính diện tích của vườn

Bài tập Toán 8

3.13 Giải các phương trình sau:

a) x 

Bài 5: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE,
CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: CFB  ADB.

b)

3.14 Giải các phương trình sau:

c) Chứng minh: BDF  BAC.

  EMF
.
d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: EDF

a)

Đề 14

b) x(x – 5) = 2(x – 5)
d)

x3
3
1


x  3 x(x  3) x

d)

201  x 203  x 205  x


30
99
97
95

e)

x  45 x  47 x  55 x  53



55
53
45
47

f)

2x
1 x
x
1 

2010
2011 2012

g)

x 2  10x  29 x 2  10x  27 x 2  10x  1971 x 2  10x  1973



1971
1973
29
27

Bài 2: Giải các bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số.
a) 4x – 2 > 5x + 1

b)

x  23 x  23 x  23 x  23



24
25

26
27

 x2   x 3   x 4   x 5 
b) 
 1  
 1  
 1  
 1
 98
  97
  96
  95

x 1 x  2 x  3 x  4
c)



2012 2011 2010 2009

Bài 1: Giải các phương trình.

2
x 20
3

1  2x 3x  1
x 1
2x 

6
2 
3  2
3
2
5

3x  1 

b) Chứng minh: AF.AB = AH.AD.

c)

x 1
1  2x
3x 
5  1
3
3
5

2x 

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 – x + 1

a) 3x  2  x  2

Học kì 2

2x  1 x  1 4x  5



2
6
3

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 12 m. Nếu
giảm chiều rộng 4 m và tăng chiều dài thêm 3 m thì diện tích khu vườn
giảm đi 75 m2. Tính diện tích của khu vườn lúc đầu ?
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của A = x – x2
Bài 5: Cho ABC (AB < AC) có ba góc nhọn, đường cao AH. Kẻ HE  AB
và HF  AC (E  AB ; F  AC )
a) Chứng minh: AEH  AHB .

x  29 x  27 x  25 x  23 x  21 x  19





1970
1972
1974
1976
1978 1980
h)
x  1970 x  1972 x  1974 x  1976 x  1978 x  1980







29
27
25
23
21
19

b) Chứng minh: AE.AB = AH2 và AE.AB = AF. AC

(Đề thi Học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc năm 1978)

c) Chứng minh: AFE  ABC.
d) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M.
Chứng tỏ rằng: MB.MC = ME.MF
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 118

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 7


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài tập Toán 8

Học kì 2

Đề 12

Phương trình tích
Bài1:

a) 2(x + 2) = 5x – 8 b) x(x – 1) = 3(x – 1) c)

Phương trình tích là những phương trình sau khi biến đổi có dạng:
A( x )  B( x )    C( x )  0 (1)
trong đó A(x), B(x), …, C(x) là những biểu thức ẩn x.
 A( x )  0
 B( x )  0
Cách giải: A( x )  B( x )    C( x )  0  


C( x )  0
Giải các phương trình A(x) = 0, B(x) = 0, …, C(x) = 0. Tất cả các nghiệm
tìm được tạo thành tập nghiệm của phương trình (1)
3.15 Giải các phương trình sau:
1. a) (3x – 2)(4x + 5) = 0

d) (2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0

e) (x – 1)(2x + 7)(x2 + 2) = 0

f) (4x – 10)(24 + 5x) = 0

g) (3,5 – 7x)(0,1x + 2,3) = 0

h) (5x + 2)(x – 7) = 0

i) 15(x + 9)(x – 3) (x + 21) = 0

j) (x2 + 1)(x2 – 4x + 4) = 0

x 3
3
1


x  3 x(x  3) x

Bài 2: a) Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm lên trục số.
x  6 x  2 x 1


3
6
2

b) Cho a3 + 6 = – 3a – 2a2 . Tính giá trị của A =

a 1
.
a 3

Bài 3: Một xe ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/giờ rồi quay về A
với vận tốc 50 km/giờ. Thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là
48 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 4 : Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF
cắt nhau tại H

b) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0

c) (4x + 2)(x2 + 1) = 0

Giải các phương trình.

a) Chứng minh: AFH  ADB.
b) Chứng minh : BH.HE = CH.HF
c) Chứng minh: AEF  ABC.
d) Gọi I là trung điểm của BC, Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với
HI, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng
AC tại N. Chứng minh: MH = HN.

2. a) (3x + 2)(x2–1) = (9x2–4)(x+1) b) x(x + 3)(x–3)–(x+2)(x2–2x+4)=0
c) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0

d) (3x–1)(x2+2) = (3x–1)(7x – 10)

e) (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4

f) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0

g) 3x – 15 = 2x(x – 5)

h) (2x + 1)(3x–2) = (5x–8)(2x + 1)

Đề 13
Bài1:

Giải các phương trình.

i) 0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1) j) (2x2+1)(4x–3)=(x – 12)(2x2 + 1)

a) 3(x – 2) = 7x + 8

b) x2(x – 3) = 4(x – 3)

k) x(2x – 9) = 3x(x – 5)

l) (x – 1)(5x + 3) = (3x – 8)(x – 1)

c) 2x  1  x  2

d)

m) 2x(x – 1) = x2 – 1

n) (2–3x)(x+11) = (3x – 2)(2 – 5x)

o)

3
1
x  1  x( 3x  7)

7
7

Gv: Trần Quốc Nghĩa

p)

2
1
1

 2
x 1 x 1 x 1

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

1
1

 2    2  (x 2  1)
x
x


a) 4(x – 2) > 5(x + 1)
Trang 8

Gv: Trần Quốc Nghĩa

b)

x6 2 x 1
  
12
3 4 6
Trang 117


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài 2: Một người đi xe máy từ TP.HCM tới Vũng Tàu (cách nhau 120 km). Ba
mươi phút sau, một người đi ôtô cũng xuất phát từ TP.HCM tới Vũng
Tàu và tới nơi trước người đi xe máy 15 phút. Tính vận tốc của mỗi xe,
biết vận tốc ôtô gấp 1,3 vận tốc xe máy.
Bài 3: Cho a, b là các số thực thỏa mãn 0 ≤ a, b ≤ 1.
Chứng minh rằng: (a 2  ab  3a  b  2)(b 2  ab  a  b)  0
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có M là trung điểm của BC. Trên nửa
mặt phẳng bờ là đường thẳng AC và không chứa điểm B, lấy điểm D
sao cho AM = DM.

Học kì 2

3. a) (2x – 5)2 – (x + 2)2 = 0

b) (3x2+10x–8)2 = (5x2 – 2x + 10)2

c) (x2 – 2x + 1) – 4 = 0

d) 4x2 + 4x + 1 = x2

e) (x + 1)2 = 4(x2 – 2x + 1)2

f) (x2 – 9)2 – 9(x – 3)2 = 0

g) 9(x – 3)2 = 4(x + 2)2

h) (4x2 – 3x – 18)2 = (4x2 + 3x)2

i) (2x – 1)2 = 49

j) (5x – 3)2 – (4x – 7)2 = 0

k) (2x + 7)2 = 9(x + 2)2

l) 4(2x + 7)2 = 9(x + 3)2

m) (x2 – 16)2 – (x – 4)2 = 0

n) (5x2–2x + 10)2 = (3x2 + 10x – 8)2

4. a) 3x2 + 2x – 1 = 0

b) x2 – 5x + 6 = 0

  DCA
.
a) Chứng minh BDC vuông tại D và ABD

c) x2 – 3x + 2 = 0

d) 2x2 – 6x + 1 = 0

b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: IA.IC = ID.IB

e) 4x2 – 12x + 5 = 0

f) 2x2 + 5x + 3 = 0

c) Gọi N là giao điểm của AB và DC. Chứng minh: NA.NB = ND.NC.

g) x2 + x – 2 = 0

h) x2 – 4x + 3 = 0

d) Giả sử IB = 4 cm; IC = 6 cm. Tính tỉ số diện tích SNAD: SNBC.

i) 2x2 + 5x – 3 = 0

j) x2 + 6x – 16 = 0

5. a) 3x2 + 12x – 66 = 0

Đề 11
Bài1:

Bài tập Toán 8

Giải các phương trình.

a) 3(x + 2) = 5x + 8

2

b) (2x – 1) = 9

x2 2
  x 1
2
3

d) 3x2 – 7x + 1 = 0

e) 3x2 – 7x + 8 = 0

f) 4x2 – 12x + 9 = 0

2 ) + 3(x2 – 2) = 0

7. a) 2x3 + 5x2 – 3x = 0

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm lên trục số.
a)

c) x2 + 3x – 10 = 0

6. a) (x –

2x
2

x2  4
c)

 2
x2 x2 x 4

b)

3(x  1)
3
x2

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 60 m. chiều rộng kém chiều dài 8
m. Tính diện tích của vườn.

b) 9x2 – 30x + 225 = 0

b) x2 – 5 = (2x –

5 )(x +

5)

b) 2x3 + 6x2 = x2 + 3x

c) x2 + (x + 2)(11x – 7) = 4

d) (x – 1)(x2 + 5x – 2) – (x3 – 1) = 0

e) x3 + 1 = x(x + 1)

f) x3 + x2 + x + 1 = 0

g) x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0

h) x3 – 7x + 6 = 0

3.16 Cho phương trình (ẩn x): 4x2 – 25 + k2 + 4kx = 0
a) Giải phương trình với k = 0

Bài 4 : Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh: ABD  CBF

b) Giải phương trình với k = – 3

b) Chứng minh: AH.HD = CH.HF

c) Tìm các giá trị của k để phương trình nhận x = – 2 làm nghiệm.

c) Chứng minh: BDF  ABC.

3.17 Cho phương trình (ẩn x): x3 + ax2 – 4x – 4 = 0

d) Gọi K là giao điểm của DE và CF. Chứng minh:HF.CK = HK.CF
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 116

a) Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 1.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 9


Bài tập Toán 8

Học kì 2

b) Với giá trị m vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

Bài tập Toán 8

Học kì 2

a) Chứng minh AHB  CHA
b) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, HC, AC?

3.18 Cho phương trình (ẩn x): x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) = 0

 , M  BC. Tính BM.
c) Vẽ AM là tia phân giác của BAC

a) Xác định a để phương trình có một nghiệm x = – 2.
b) Với giá trị a vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

d) Lấy điểm E trên AC sao cho HE // AB. Gọi N là trung điểm của AB.
CN cắt HE tại I. Chứng minh I là trung điểm của HE?

3.19 Cho biểu thức hai biến: f(x, y) = (2x – 3y + 7)(3x + 2y – 1)

Đề 9

a) Tìm các giá trị của y sao cho phương trình (ẩn x) f(x, y) = 0 nhận
x = – 3 làm nghiệm.
b) Tìm các giá trị của x sao cho phương trình (ẩn y) f(x, y) = 0 nhận y = 2
làm nghiệm.
5
4
và B 
. Hãy tìm các giá trị của m để
2m  1
2m  1
hai biểu thức ấy có giá trị thỏa mãn hệ thức:

3.20 Cho 2 biểu thức: A 

a) 2A + 3B = 0

b) AB = A + B

3.21 Dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng các nghiệm phương trình
sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.

Bài 1: Giải các phương trình sau :
b) x2 – 9x = 0
x 3
48
x 3
c) x  2  3
d)



2
x 3 9 x
x3
Bài 2: Giải và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên trục số :
a) 7x – 17 = 4x – 2

x 1 x  2
x 3

x
2
3
4
Bài 3: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10m. Nếu
tăng chiều rộng thêm 5m và giảm chiều dài 2m thì diện tích tăng thêm
100 m2. Tính kích thước của miếng đất lúc đầu.

a) 8x + 35 > 3

b)

Bài 4: Cho ABC có 3 góc nhọn, 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) ( 3  x 5)(2x 2  1)  0

a) Chứng minh : AEB  AFC

b) (2x  7)(x 10  3)  0

b) Chứng minh : AEF ABC
c) Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh : FC là tia phân giác của góc DFE

c) (2  3x 5)(2,5x  2)  0

d) Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng vuông góc với
AC tại C ở M. Gọi O là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM.
So sánh diện tích của 2 tam giác AHM và IOM

d) ( 13  5x)(3,4  4x 1,7 )  0
e) (x 13  5)( 7  x 3)  0

Đề 10

f) (x 2,7  1,54)( 1,02  x 3,1)  0

Bài 1: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) 3 

x2
x4 x3
x

5
3
2

c) x  2 x  1  3
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 10

Gv: Trần Quốc Nghĩa

2

b)   x  2   x 2  5  4x
d)

3
2
5

 2
x2 x 2 x 4
Trang 115


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài tập Toán 8

Bài 2: Giải các bất phương trình:

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

2x  1 3x  2
a)


3
3
2

2

2

b) 5x – ( 4x – 1) ≤ 2x

Bài 3: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B mất 3h và ngược dòng sông từ B về A
mất 4h. Tìm chiều dài đoạn sông từ A đến B biết vận tốc của dòng nước
là 5km/h
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 15cm , AC = 12cm và trung
tuyến AM
a) Tính độ dài BC và AM
b) Vẽ Ax vuông góc AM và By vuông góc BA. Tia Ax và By cắt nhau
  BAM
 và
tại E. Vẽ BF vuông góc với AE tại F Chứng minh: ABF
∆ABC  ∆FBE.
c) Gọi D là giao điểm của AM và BE. Gọi I là giao điểm của MF và
BE. Chứng minh: ABCD là hình chữ nhật và I là trung điểm của BF
d) Gọi K là giao điểm của ME và AB. Chứng minh D, K, F thẳng hàng

Đề 8
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 2x  x  3  4x  12  0

b) 6  3x  1  5

1
7x  10
3
 3
 2
0
x 1 x 1 x  x 1
Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

c) 2x(x + 3) = 3(x + 3)

d)

 3x  1 3x  2   3x  1

2

 16

xy
4

với mọi x, y > 0.
xy
xy

3.22 Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
1

a) 3x2 – 2x = 0
b)
3
x 1
2
x
2x
1
c)

d) 2

x  1 2x  4
x 9 x 3
3.23 Giải các phương trình sau:
2x  1
1
5x
6
1. a)
1 
b)
1 
x 1
x 1
2x  2
x 1
1
1
1

x

8
c) x   x 2  2
d)

8
x
x
7x x 7
1
x 3
5x  2 2x  1
x2  x  3
e)
3
f)

1
x2
2x
2  2x
2
1 x

c)
e)
g)

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao H  BC.

i)

Biết AB = 15 cm, AH = 12 cm.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Phương trình chứa ẩn ở mẫu: ngoài những phương trình có cách giải đặc
biệt, đa số các phương trình đều giải theo các bước sau:
 Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ).
 Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu.
 Giải phương trình sau khi bỏ mẫu.
 Kiểm tra xem các nghiệm vừa tìm được có thỏa ĐKXĐ không. Chú ý
chỉ rõ nghiệm nào thỏa, nghiệm nào không thỏa.
 Kết luận số nghiệm của phương trình đã cho là những giá trị thỏa
ĐKXĐ.

2. a)

Bài 3: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu
tăng mỗi cạnh thêm 5m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 385 m2. Tính
chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lúc đầu?
Bài 4: Chứng minh:

Học kì 2

Trang 114

2
x 5


1
x  3 x 1
x 6
x

x4 x2
x 3 x 2
1

3
x2 x4
5
3x  2 6x  1

x  7 2x  3
2x  1 5(x  1)

x 1
x 1

Gv: Trần Quốc Nghĩa

b)
d)
f)
h)
j)

x3 x 2


2
x 1
x
2x  5 3x  5
1

0
x2
x 1
x 3 x 2

 1
x2 x4
x  1 x  1 2(x 2  2)


x2 x2
x2  4
x 1
x
5x  2


x  2 x  2 4  x2
Trang 11


Bài tập Toán 8

x2

3
2(x  11)

 2
2 x x2
x 4
1
5
15
3. a)


x  1 x  2 (x  1)(2  x)
6
4
8
c)


x  1 x  3 (x  1)(3  x)

k)

1
3
5


2x  3 x(2x  3) x
x2 1

2
g)
 
x  2 x x(x  2)

e)

3.24 Giải các phương trình sau:
x 1 x 1
16
a)

 2
x 1 x  1 x 1
12
1
c)
 1
3
8 x
x2
4
2x  5 2x
e) 2


x  2x  3 x  3 x  1
2
x 1 x  3
g)



2
 x  6x  8 x  2 x  4
x
2x
x
i)
 2

2x  2 x  2x  3 6  2x

Học kì 2

x 1 x2  x  2 x  1


x2
x 1
x 1
x 1
x
5x
2
b) 1 


3  x (x  2)(3  x) x  2
3x  1 2x  5
4

d)

1
x 1
x3
(x  1)(x  3)

l)

x 3  (x  1)3
7x  1
x


(4x  3)(x  5) 4x  3 x  5
3x
x
3x
h)


x  2 x  5 (x  2)(5  x)

Bài tập Toán 8

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD), O là giao điểm hai đường
chéo. Từ trung điểm M của AB kẻ đường thẳng MO cắt CD tại N.
a) Chứng minh: N là trung điểm của CD.
b) Kéo dài AD và BC cắt nhau tại I. C/minh: I, M, O, N thẳng hàng.
c) Qua O kẻ đường thẳng d song song với AB và CD, cắt AD và BC lần

lượt tại E và F. Chứng minh O là trung điểm EF.

f)

Đề 6
Bài 1: Giải các phương trình sau :
a) 4(2x – 3) = 5x + 3

b)
d)
f)
h)
j)

3
1
7


2
x  x  2 x 1 x  2
x  25
x5
5 x
 2
 2
2
2x  50 x  5x 2x  10x
1
3x 2

2x
 3
 2
x 1 x 1 x  x 1
2
3
1


3
2
2
x  x  x 1 1 x
x 1
5
x3

0
 x 2  5x  6 2  x

3.25 Giải các phương trình sau:
4
3
2
a)


2
25x  20x  3 5x  1 5x  3
1

1
2
b) 2


x  3x  2 x 2  5x  6 x 2  4x  3
1
1
1
1
c) 2
 2
 2

x  9x  20 x  11x  30 x  13x  42 18

c)

2a 2  3a  2
a2  4
10 3a  1 7a  2
c)


3 4a  12 6a  18
Gv: Trần Quốc Nghĩa

b) (3x – 5)(2x + 7) = 0

x3

3
1


x  3 x(x  3) x

d)

2
1
2

 2
x 1 x  1 x 1

Bài 2: Giải các phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số :
a) 3x  4x  1

b)

2  x 5x  4

2
11

Bài 3: Một ôtô chạy trên quãng đường AB. Lúc đi ôtô chạy với vận tốc
42 km/h, lúc về ôtô chạy với vận tốc 36 km/h, vì vậy thời gian về nhiều
hơn thời gian đi là 60 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 4: Cho ABC vuông tại A có AB = 8cm, AC = 6cm.
a) Vẽ đường cao AH. Chứng minh: ABC  HBA.

b) Qua C vẽ đường thẳng song song với AB và cắt AH tại D. Chứng
minh: AHB  DHC.
c) Chứng minh : AC2 = AB. DC
d) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao? Tính diện tích tứ giác ABDC.

Đề 7

3.26 Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2.
a)

Học kì 2

3a  1 a  3

3a  1 a  3
2a  9
3a
d)

2a  5 3a  2

Bài 1: Giải phương trình

b)

Trang 12

a) 2(x – 3) = 4 – 2x

b) 3x(x – 2) = 3(x – 2)

c) (2x – 1)2 = 25

d)

Gv: Trần Quốc Nghĩa

x 1
x 1
2


0
2x  2 2x  2 1  x 2
Trang 113


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài tập Toán 8

Học kì 2

Phương trình có hệ số chứa tham số

Đề 4
Bài 1: Giải các phương trình:
5x  2

5  3x
 x  1
3
2
x
x
2x
c)


2(x  3) 2x  2 (x  1)(x  3)

a)

1. Phương trình có hệ số có chưa tham số:

b) 4x2 + 4x + 1 = x2.

 Các hệ số bằng chữ trong phương trình còn được gọi là tham số.
 Với mỗi giá trị của tham số, ta được 1 phương trình khác, do đó
nghiệm và số nghiệm của các phương trình có thể khác nhau.

d) x  4  3x  5 .

Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
(2x – 1)2 – 8(x – 1)  0

 Giải và biện luận phương trình theo tham số là khảo sát nghiệm và số
nghiệm của phương trình đó theo các giá trị khác nhau của tham số.

Bài 3: Một xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc 35 km/h. Sau đó 24 phút,
trên cùng tuyến đường đó, một ô tô xuất phát từ B về A với vận tốc
45 km/h. Biết quãng đường AB dài 90 km. Hỏi sau bao lâu, kể từ khi xe
máy khởi hành, hai xe gặp nhau ?

 Khi giải phương trình có hệ số chứa tham số ta cần chú ý: Khi chia
cho một biểu thức chứa tham số phải đặt điều kiện cho các tham số để
biểu thức ấy khác 0.

Bài 4: Cho ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ đường cao AH của ABC.
Gọi D là điểm đối xứng của B qua H. Hạ DE vuông góc với AC tại E.

2. Giải và biện luận phương trình có hệ số chứa tham số
 Khai triển, chuyển các hạng tử có chứa ẩn sang một vế, các hạng tử
khác sang một vế, thu gọn để đưa về phương trình dạng Ax = B (1).

a) Chứng minh: CED  CHA. Từ đó suy ra CE.CA = CD.CH

 Phân tích A, B thành nhân tử (nếu được).

b) Chứng minh AH2 = HD.HC

 Biện luận:

c) Đường trung tuyến CK của ABC cắt AH, AD và DE lần lượt tại M,
F và I. Chứng minh AD.AK – AF.DI = AF.AK.

 Nếu A  0: phương trình (1) có nghiệm duy nhất x 

d) Gọi L là giao điểm của BM và AC. Chứng minh SALB = SAHB.

 Nếu A = 0, phương trình (1) có dạng: 0x = B
Nếu B = 0, (1)  0x = 0: phương trình (1) có nghiệm tùy ý

Đề 5

Nếu B  0: phương trình (1) vô nghiệm.

Bài 1: Giải các phương trình:

3. Phương trình có nghiệm theo điều kiện:

x  3 x 1
a) (4x – 5)(x +3) – (2x – 3)(7 + 2x) = 0 b)

2
x 1
x
Bài 2: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

a) (x – 3)2 – 12 < (x – 1)(x + 3)

b)

Trong thực hành, đôi lúc đề không yêu cầu giải và biện luận mà chỉ yêu
cầu một phần nhỏ trong phần giải và biện luận.
Cho phương trình: Ax = B (1)

4x  5 7  x


3
5

 (1) có nghiệm duy nhất  A  0

Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình :
Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều
và gặp nhau sau 2 giờ. Biết vận tốc xe đi từ A nhỏ hơn vận tốc xe đi từ
B là 10 km/h. Tìm vận tốc mỗi xe biết quãng đường AB dài 220 km.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

B
.
A

Trang 112

A  0
 (1) vô nghiệm  
B  0

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 13


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Học kì 2

Bài 2: Một tàu hàng rời ga A lúc 5giờ sáng để đi về phiá ga B. Sau 1 giờ 30
phút một tàu khách rời ga A chạy hướng về B với vận tốc lớn hơn vận
tốc tàu hàng 5 km/h. Vào lúc 9 giờ 30 phút tối cùng ngày khoảng cách
giữa hai tàu là 21 km. Tính vận tốc tàu hàng (biết vận tốc của nó không
bé hơn 50 km/h)?

A  0
 (1) có vô số nghiệm  
B  0
A  0
 (1) có nghiệm khi  A  0 hoặc 
B  0

4. Minh họa giải và biện luận phương trình bằng sơ đồ sau:

Bài 3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng

Ax = B

ab bc ca
   a  b  c.
c
a
b

Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AD, BE và CF cắt
nhau tại H.
a) Chứng minh rằng: AEF  ABC và AEF  DBF

A=0

A0

b) Chứg minh rằng:

0x = B

PT có nghiệm
duy nhất

Bài tập Toán 8

FA DB EC


1
FB DC EA

c) Giả sử SAEF = SBDF = SCED. Chứg minh: ABC  DEF rồi suy ra
DEF đều.

B0

B=0

PT
vô nghiệm

PT có vô số
nghiệm

Đề 3
Câu 1. Giải phương trình :

B
S 
A

S=

S=R

a)

3.27 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:
x  2a
a
ax a
a)
8
b)
 5
3
3
10
2
x
x a

c)
1  a
d)
 2
e) (a 2  2)(x  1)  x  2
a
a 3

2

e) (m  1)x  (m  1)
g) m(m 2 x  1)  1  x
i) m(x  4m)  x  3  2  mx
k) m(mx  1)  (2m  3)x  1
Gv: Trần Quốc Nghĩa

b) 2x  3x  4

Câu 2. Trong một cuộc thi, mỗi thí sinh phảI trả lời 10 câu hỏi. Mỗi câu trả lời
đúng được 10 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 5 điểm. Một học sinh được
tất cả 70 điểm. Hỏi bạn trả lời đúng mấy câu?
Câu 3. Cho hình chữ nhật ABCD, E là một điểm trên cạnh AB. DE cắt AC tại F
và cắt CB tại G.

3.28 Giải và biện luận các phương trình sau:
a) (m 2  1)x  (m 2  m)(m  2)
b) m 2 (x  1)  3mx  (m 2  3)x  1
c) m2 x  6  4x  3m

3

1
2
 
x  2 x x(x  2)

d) m(m  6)x  m  8x  m 2  2
f) (m 2  4)x  m 2  8

a) Vẽ hình và ghi giả thiết kết luận.
b) Chứng minh ΔAFE  ΔCFD.
c) Chứng minh FD2 = FE. FG
Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = 10 cm, BC = 20 cm,
AA = 15 cm. Hãy tính thể tích hình hộp chữ nhật

h) m(mx  3)  2  x
j) m(3x  m)  x  2

Câu 5. Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b

l) m 2 (1  x)  m(x  2)  3
Trang 14

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 111


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Phần 3. Các đề kiểm tra học kỳ II
Đề 1
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) (2x + 7)2 – 9(x + 2)2 = 0

b)

x3
48
x 3


2
x 3 9x
x 3

Bài 2: Giải và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình trên trục số:
x 1 x  2
x3
a) x(x – 8) + x(3x – 2) – 4x2 < –5 b)

x
2
3
4
Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Nếu tăng
thêm mỗi cạnh 12m thì diện tích tăng thêm 576 m2. Tính các cạnh của
khu vườn lúc đầu.

Bài tập Toán 8

m) m(mx  1)  4(m  1)x  2

Học kì 2

n) m 2 (x  1)  m(2x  1)

3.29 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:
a) (a 2  3)x  1  a 2 (x  1)  3ax
b) (x  1)m  2(m  1)x  2m  3
xa
xb
c) a(x  2)  a 2 x  2  0
d)
 2
b
a
x  a  b x  b  a b2  a 2
x a x a x 2
e)


f)


a
b
ab
a  2 a  2 a2  4

x  4 x  4a x  4a  3
xa xb xc
1 1 1
g)


h)


 2   
2
a 1
a 1
a 1
bc
ac
ab
a b c
3.30 Giải và biện luận các phương trình với ẩn là x:
xa x b
1
2
3
a)

2
b)


0

x b x a
x  2 x  2a x  a
x 1
x 1
1
1 1 1
c)

d)
  
x  2  a x 1  a
xa b x a b
x  a 1 x  b 1
a
e)


xa
xb
(x  a)(x  b)

Bài 4: Cho ABC vuông tại A có AB = 20cm; AC = 15cm. AH là đường cao
của ABC
a) Chứng minh: ACH  BCA.
b) Tính BC và AH.
c) Gọi BF là phân giác của ABC, BF cắt AH tại D.
Chứng minh: ABD  CBF
d) Chứng minh: AD = AF

Đề 2

Bài 1 : Giải phương trình và bất phương trình sau:
a) x + 5 + x + 2 + x – 1 = 6
c)

3
15
7


0
2
4x  20 50  2x
6x  30

d)

5x  2 2x 2  1 x  3 1  x 2



12
8
6
4

Gv: Trần Quốc Nghĩa

b) 2(x – 5)  x – 7

Trang 110

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 15


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Giải bài toán bằng cách lập phương trình
1. Các bước giải
 Bước 1: Lập phương trình:
 Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
 Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
 Bước 2: Giải phương trình.
 Bước 3: Trả lời:
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa
mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa, rồi kết luận.

2. Một số kiến thức cần lưu ý
a) Loại toán cấu tạo số:
 Số có hai, chữ số được ký hiệu là ab
Giá trị của số: ab = 10a + b; (Đk: 1 a  9 và 0 b  9, a,b N)
 Số có ba, chữ số được ký hiệu là abc

abc = 100a +10b + c, (Đk: 1  a  9 và 0  b, c  9; a, b, c  N)
b) Loại toán chuyển động:
 Có 3 đại lượng là quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t) liên

hệ bởi công thức: s = v.t
 Chuyển động trên dòng nước chảy:
Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng.

Bài tập Toán 8

Học kì 2

  900 , AB = 39, AC = 65, AD là đường phân giác.
O.18 Cho ABC có B
a) Tính BC, BD.
b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AD tại E và cắt tia AB ở F.
Chứng minh: DA.DE = DB.DC.
c) Chứng minh: DAC  DBE và FEB  FAC.
d) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DF, AC. C/minh: MN  BE.
e) Bỏ giả thiết về số đo các cạnh của ABC, nếu cho AD = CF. Khi đó,
hãy tính số đo các góc của ACF.

O.19 Cho ABC với AB < AC. Phân giác của góc ngoài tại đỉnh A cắt tia CB
tại E.
EB EC
a) Chứng minh tính chất sau:

.
AB AC
b) Với BC = 2, CA = 4, AB = 3. Chứng minh BAE cân.
O.20 Cho ABC có đường cao AH, phân giác AD (H nằm giữa B và C).
a) Chứng minh: AD2 < AB.AC
b) Cho AB = 48, BC = 72, BH = 27. Tính DC.
c) Vẽ phân giác CM và phân giác AN của ADC.

Chứng minh: MN // AC và tính MN.
O.21 Cho hình htang ABCD vuông ở A và D, có cạnh bên BC = AB + CD. Gọi
M là trung điểm của AD.
 qua điểm M.
a) Chứng minh: phân giác của BCD
b) Lấy điểm N trên cạnh BC sao cho CN = CD.
AD 2
4
c) AC cắt BD tại H. NH cắt AD tại K. Chứng minh: NK  AD và H là
trung điểm của NK.

Chứng minh: MN 2  AB.CD 

Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước
c) Loại toán “làm chung – làm riêng” một công việc hoặc với “vòi
nước chảy chung – chảy riêng” đầy bể:
 Có 3 đại lượng:
- Khối lượng công việc
- Phần việc làm (chảy) trong một đơn vị thời gian (năng suất)
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 16

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 109


Bài tập Toán 8

Học kì 2

  900 . Trung trực của AB cắt BC ở D.
O.13 Cho ABC cân tại A và có A
a) Chứng minh: AB2 = BD.BC
b) Nếu cho thêm CD2 = BC.BD. Hãy tính các góc của ABC.
c) AE là đường phân giác của ABD. Vẽ đường trung trực d của BE.
Trên d lấy điểm F sao cho: EF = ED (F thuộc miền ngoài của ABC).
Chứng minh: FEB  ABC.

O.14 Cho ABC vuông tại A, AB > AC. Đường trung trực của cạnh BC cắt
cạnh AB ở D; cắt BC ở E và cắt đường thẳng AC tại F; CD cắt AE ở O.
a) Chứng minh: BAE  BCD và DOE  AOC.
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt tia CD ở K.
OD KD
Chứng minh:

và B, K, F thẳng hàng.
OC KC
  900 ), BE là phân giác của AOB.
O.15 Cho hình thoi ABCD có tâm O ( A
Biết AC = 8, BD = 6.
a) Tính AB, AE.
b) Đường thẳng qua D song song với BE cắt AC ở F. Tứ giác BEDF là
hình gì ? Chứng minh.
c) Một đường thẳng song song với BE cắt các đoạn AB, AD, AC lần lượt
AB AD AC
tại M, N, P. Chứng minh:



.
AM AN AP

O.16 Cho ABC vuông tại A, AB < AC; AH là đường cao. Gọi D, E lần lượt là
hình chiếu của H lên AB, AC.
a) Chứng minh: AB2 = BH.BC và AB.AD = AC.AE.
b) Chứng minh BC, DE cắt nhau tại một điểm J và OA  DE.
c) Gọi I là trung điểm của AH, M là điểm đối xứng của A qua OI.
Chứng minh AM, BC, DE đồng qui.
O.17 Cho ABC có đường cao AH (H  BC), AB = 65, BC = 105, CH = 80.
a) Tính độ dài AC.
b) Các đường cao AH, BI,CK đồng qui tại O.
Chứng minh AOK  ABH và AB.AK = AO.AH = AC.AI
c) Đường thẳng HO và IK cắt nhau tại D.
Chứng minh: AIK  ABC, ODK  IDA.
d) Tính BK, KI.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 108

Bài tập Toán 8

Học kì 2

- Thời gian
 Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta xem toàn bộ
công việc là 1.
- Nếu đội nào làm xong công việc trong x (ngày) thì trong 1 ngày
1

đội đó làm được (công việc).
x
- Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể trong x (giờ) thì trong
1
1 giờ vòi đó chảy được (bể).
x

3. Một số ví dụ minh họa cách chọn ẩn
a) Thông thường ta hay chọn ẩn số dựa vào câu hỏi của đề bài. Bài
toán hỏi điều gì, ta chọn điều đó làm ẩn số.
Ví dụ: Một khu đất hình chữ nhật có chu vi 450m. Nếu tăng chiều dài
1
1
thêm
chiều dài cũ và giảm chiều rộng đi
chiều rộng cũ thì chu vi
5
4
khu đất không thay đổi. Tính diện tích khu đất lúc đầu.
Giải:
 Nửa chu vi khu đất là: 452 : 2 = 225 (m)
 Gọi chiều dài khu đất là x (m). Điều kiện: x > 0.
Khi đó:
- Chiều rộng của khu đất là: 225 – x (m)
1
- Chiều dài khu đất sau khi tăng thêm là: x  x (m)
5
1
- Chiều rộng khu đất sau khi giảm đi là: ( 225  x )  ( 225  x ) (m)
4

 Theo đề bài, ta có phương trình (lập PT theo chu vi):
1  
1


 x  x    ( 225  x )  ( 225  x )   225
5  
4


   x  125 (thỏa điều kiện)
 Vậy: Chiều dài của khu đất là: 125 (m)
Chiều rộng của khu đất là: 225 – 125 = 100 (m)
Diện tích khu đất là: 100  125 = 12500 (m2)
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 17


Bài tập Toán 8

Học kì 2

b) Trong một số trường hợp, ta có thể chọn ẩn số là một đại lượng
trung gian để được phương trình đơn giản hơn, dễ giải hơn.
Ví dụ: Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược
dòng từ bến B đến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến, biết
rằng vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h.
Giải:
 Gọi vận tốc riêng của canô (vận tốc canô lúc nước yên lặng) là

x (km/h). Điều kiện: x > 0.
 Khi đó:
- Vận tốc canô lúc xuôi dòng là: x + 2 (km/h)
- Vận tốc canô lúc ngược dòng là: x – 2 (km/h)
- Quãng đường canô đi xuôi dòng (khoảng cách từ A đến B) là:
4(x + 2) (km)
- Quãng đường canô đi ngược dòng (cũng là khoảng cách từ A
đến B) là: 5(x – 2) (km)
 Ta có phương trình:
5( x  2 )  4( x  2 )
   x  18 (thỏa điều kiện)
 Vậy khoảng cách giữa hai bến là: 4(18 + 2) = 80 km.

Học kì 2

e) 16x 4  32x 3  28x 2  12x  10  0
O.8

Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
x 1 x  2 x  3 x  4
a)



24
18
9
12
3x  4
2x  3 3x  2

b)
 2x  1 

6
8
12
c) x(5  x)  (x  2)(x  3)
d) (x  5)(1  x)  x 2  7x  10
e) (x  3)3  32  (x 2  27)(x  1)
x 1 x  3

x2 x4
1
2x
13  2x
g)

 2
x  3 3x  2 3x  11x  6

f)

O.9

Giải các bất phương trình sau:
a) (x  5) 2  x 2  (x  3)2  (x  2) 2
b) (x 2  12)(x  6)  (x  2)3

3.31 Bài toán cổ: Ngựa và La đi cạnh nhau cùng chở vật nặng trên lưng. Ngựa
than thở về hành lý quá nặng của mình. La đáp: “Cậu than thở nỗi gì ?

Nếu tôi lấy của cậu một bao thì hành lý của tôi nặng gấp đôi của cậu.
Còn nếu cậu lấy của tôi một bao thì hành lý của cậu mới bằng của tôi”.
Hỏi Ngựa và La mỗi con mang bao nhiêu bao ?
3.32 Năm 1999, bố 39 tuổi, con 9 tuổi. Hỏi năm nào thì tuổi bố gấp 3 lần tuổi
con ?
3.33 Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa
thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi của Phương thôi. Hỏi năm nay Phương
bao nhiêu tuổi ?
3.34 Ông của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố Bình và hai lần
tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của cả ba người là
130. Hãy tính tuổi của Bình.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Bài tập Toán 8

Trang 18

c) 5x 2  5  8x
d) (x  1)(x  3)(x  4)(x  6)  9  0
O.10 Giải các bất phương trình sau (với m là tham số):
a) x  1  2m(x  2m)
b) 2m 2 (x  1)  m(3x  5)  2x  3
O.11 Cho ABC có AB = AC > BC, AI là phân giác, CH là đường cao.
a) Chứng minh rằng HBC  ICA.
b) Đường thẳng qua I song song với AB cắt AC ở K. Đường thẳng qua K
song song với BC cắt AB ở J. Chứng minh HIKJ là hình thang cân và
BIH  HKI.
O.12 Cho ABC vuông tại A, AB = 42 cm, AC = 56 cm, đường cao AH, phân
giác AD, trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AB2 = BH.BC, AH2 = BH.CH.
b) Tính BH, BD.
.
c) Chứng minh AD là tia phân giác của HAM
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 107


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Giải các phương trình sau:

3.36 Tìm hai số, biết tổng của hai số bằng 65 và hiệu của chúng là 11.

a) (x 2  1) 2  3x(x 2  1)  2x 2  0
b) (4x 2  7x  3)(8x 2  10x  3)  810

3.37 Tìm hai số, biết tổng của hai số bằng 75 và số này gấp đôi số kia.

x 2  2x  1 x 2  2x  2 7


x 2  2x  2 x 2  2x  3 6
x 2  13x  15 x 2  15x  15
1
d) 2
 2


x  14x  15 x  16x  15
2

3.38 Một số tự nhiên lẻ có hai chữ số và chia hết cho 5. Hiệu của số đó và chữ
số hàng chục của nó bằng 68. Tìm số đó.

c)

O.6

3.39 Tìm một phân số có tử nhỏ hơn mẫu 22 đơn vị, biết rằng nếu thêm 5 đơn
1
vị vào tử và bớt 2 đơn vị ở mẫu thì được phân số mới bằng phân số .
2
Tìm phân số đã cho.

Giải các phương trình sau:
a) 10x 4  27x 3  110x 2  27x  10  0

3.40 Tìm một phân số có tử nhỏ hơn mẫu 11 đơn vị, biết rằng nếu thêm 3 đơn
3
vị vào tử và bớt 4 đơn vị ở mẫu thì được phân số mới bằng phân số .
4
Tìm phân số đã cho.

b) 2x 4  13x 3  24x 2  13x  2  0
c) 3x 5  10x 4  3x 3  3x 2  10x  3  0
d) 6x 5  11x 4  11x  6  0
e) x 4  4x 3  9x 2  8x  4  0

3
. Nếu
5
chia số thứ nhất cho 9 và chia số thứ hai cho 6 thì thương thứ nhất bé hơn
thương thứ hai là 3 đơn vị. Biết rằng các phép chia nói trên là các phép
chia hết.

f) x 4  5x 3  10x 2  15x  9  0

3.41 Tìm 2 số nguyên, biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai bằng

g) x 4  2x 3  6x 2  4x  4  0
h) x 3 (x  3)  3(2x 2  x)  1
i) x 2  1  32x(x 2  1)  0
j) x 4  9  5x(x 2  3)
2

2

3.42 Tìm 4 số tự nhiên có tổng 2007. Biết rằng nếu số I bớt đi 2, số II thêm 2,
số III chia cho 2 và số IV nhân với 2 thì được kết quả bằng nhau. Tìm 4
số đó.

2

k) (x  6x  9)  x(x  4x  9)
l) (x  1)(x  2)(x  4)(x  8)  7x 2

3.43 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào

bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp
153 lần số ban đầu.

m) 4(x  5)(x  6)(x  10)(x  12)  3x 2
O.7

Học kì 2

3.35 An hỏi Bình: “Năm nay cha mẹ của anh bao nhiêu tuổi ?” Bình trả lời:
“Cha tôi hơn mẹ tôi 4 tuổi. Trước đây khi tổng số tuổi của bố và mẹ tôi là
104 tuổi thì tuổi của 3 anh em chúng tôi là 14, 10 và 6. Hiện nay tổng số
tuổi của cha mẹ tôi gấp 2 lần tổng số tuổi của 3 anh em chúng tôi”. Tính
xem tuổi của cha và mẹ Bình là bao nhiêu ?

3x 2  18x  35
x 2  6x  11
 x 2  5x  7
c) C  2
x  4x  4

b) B 

O.5

Bài tập Toán 8

Giải các phương trình sau:
a) x 4  3x 2  6x  2  0

3.44 Tìm một số có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số là 10 và nếu đổi chỗ hai

chữ số cho nhau thì được một số mới lớn hơn số cần tìm là 18 đơn vị.

b) x 4  6x 3  7x 2  6x  2  0
c) 2x 4  6x 3  29x 2  24x  5  0

3.45 Tìm một số có hai chữ số. Nếu thêm chữ số 5 vào bên trái số đó thì được
một số lớn hơn 153 đơn vị so với khi thêm chữ số 5 ở bên phải số đó.

d) 9x 4  24x 3  60x 2  48x  12  0
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 106

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 19


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài tập Toán 8

3.46 Tìm một số có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng
chục. Nếu viết thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số thì được số mới lớn hơn
số đã cho 370 đơn vị.
3.47 Chu vi một miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 80m. Nếu giảm chiều
rộng 3m và tăng chiều dài 8m thì diện tích tăng thêm 32m2. Tính kích
thước miếng đất.

Học kì 2

Ôn tập học kì 2
O.1

1
số học sinh cả lớp. Sang học
8
kì II, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học
sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?

3.48 Học kì I, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng

Giải các phương trình sau:
a) (x  4) 2  (x  2)(x 2  2x  4)  (2x  3)(x 2  4x  24)
b) (x 2  1)3  64(x 2  1) 2
c) (2x 2  5x  2)(x 2  1)  (2x  1)(2  x)(x  7)
x2  1 x2  2 x2  3 x2  4



8
12
6
9
2
3  x x  4 (x  9)  74
e)


 2
x  4 3 x
x  x  12
x  2 1  2x (2  x)(2  x)  5(3x  1)
f)


2x  1 x  2
2x 2  3x  2
x  1 1  3x (7x  11)(x  1)  12
g)


3x  1 x  2
3x 2  5x  2

d)
3.49 Trong môt buổi lao động, lớp 8A gồm 40 học sinh chia thành 2 tốp: tốp
thứ nhất trồng cây và tốp thứ hai làm vệ sinh. Tốp trồng cây đông hơn tốp
làm vệ sinh là 8 người. Hỏi tốp trồng cây có bao nhiêu học sinh ?
3.50 Hai chiếc ôtô khởi hành từ hai tỉnh A và B, ngược chiều nhau. Chiếc xe đi
từ A có vận tốc 40km/h, chiếc xe đi từ B với vận tốc 30km/h. Nếu chiếc
xe đi từ B khởi hành sớm hơn chiếc xe đi từ A là 6 giờ thì 2 xe gặp nhau ở
địa điểm cách đều A và B. Tìm quãng đường AB ?
3.51 Một ôtô đi từ Hà Nội đến Thanh Hóa với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ nghỉ
lại ở Thanh hóa, ôtô lại từ Thanh Hóa về Hà Nội với vận tốc 30km/h. tổng
thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ). Tính quãng
đường Hà Nội – Thanh Hóa.
3.52 Một ôtô phải đi quãng đường AB dài 60km trong một thời gian nhất định.
Ôtô đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định 10km/h và đi nửa

sau quãng đường với vận tốc kém hơn dự định 6km/h. Biết ôtô đến B
đúng thời gian đã định. Tính thời gian ôtô dự định đi quãng đường AB.
3
3.53 Hai ôtô khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc ôtô I bằng
vận tốc
4
ôtô II. Nếu ôtô I tăng vận tốc 5km/h, còn ôtô II giảm vận tốc 5km/h thì
sau 5 giờ quãng đường ôtô I đi được ngắn hơn quãng đường ôtô II đã đi là
25km. Tính vận tốc của mỗi ôtô.

3.54 Ôtô I đi từ A đến B. Nửa giờ sau, ôtô II đi từ B đến A với vận tốc gấp
rưỡi vận tốc ôtô I. Sau đó 45 phút hai ôtô gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi
ôtô, biết quãng đường AB dài 95 km.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 20

O.2

Rút gọn biểu thức rồi tìm giá trị của biến để biểu thức:
9x 2  12x  4
a) A 
có giá trị âm.
27x 3  18x 2  12x  8
 x
x 3  8 x 2  2x  4 
4
b) B  
 3


có giá trị âm.
:
2
2
x  4  2x  x  6
 x 2 x 8

O.3

Tìm giá trị nhỏ nhất của:
a) A  2x 2  2y 2  2xy  4x  4y
5x 2  20x  48
x 2  4x  10
4x 2  10x  7
c) C  2
x  2x  1

b) B 

O.4

Tìm giá trị lớn nhất của:
a) A  x  4y  x 2  y 2

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 105


Bài tập Toán 8

Học kì 2

4.20 Một lăng trụ đứng đáy là hình vuông cạnh a = 3cm, đường cao h = 5cm.
Tính diện tích xung quang, diện tích toàn phần của lăng trụ.
4.21 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD, có đáy là hình chữ nhật với kích
thước là 6cm, 4cm, chiều cao của lăng trụ là 8cm. Tính diện tích toàn
phần và thể tích của lăng trụ.

Bài tập Toán 8

Học kì 2

3.55 Một ôtô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng, dự kiến đến Hải Phòng vào lúc 10
giờ 30 phút. Nhưng mỗi giờ ôtô đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên
mãi đến 11 giờ 20 phút xe mới tới Hải Phòng. Tính quãng đường
Hà Nội – Hải Phòng.
3.56 Hai người cùng khởi hành một lúc từ A đến B dài 60 km. Vận tốc người I
là 12km/h, vận tốc người II là 15km/h. Hỏi sau lúc khởi hành bao lâu thì
người I cách B một quãng đường gấp đôi khoảng cách từ người II đến B ?
3.57 Một tàu chở hàng từ ga Vinh đi Hà Nội, sau đó 1,5 giờ, một tàu chở
khách xuất phát từ ga Hà Nội đi Vinh với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu chở
hàng là 7km/h. Khi tàu khách đi được 4 giờ thì nó còn cách tàu hàng là
25km. Tính vận tốc mỗi tàu, biết rằng hai ga cách nhau 319km.
3.58 Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội đi Tp. Hồ Chí Minh. 1 giờ 48 phút sau, một
đoàn tàu khác khởi hành từ Nam Định cũng đi Tp. Hồ Chí Minh với vận
tốc nhỏ hơn vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 5 km/h. Hai đoàn tàu gặp
nhau (tại một ga nào đó) sau 4 giờ 48 phút kể từ lúc đoàn tàu thứ nhất
khởi hành. Tính vận tốc mỗi đoàn tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên
đường từ Hà Nội đi Tp. Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội là 87 km.

3.59 Ôtô I đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40 km/h. Sau đó 1 giờ, ôtô II đi
từ tỉnh B đến tỉnh A với vận tốc 65 km/h. Hai ôtô gặp nhau khi ôtô I mới
2
đi được
quãng đường AB. Tính quãng đường AB.
5
3.60 Lúc 6 giờ một ôtô khởi hành từ A. Lúc 7 giờ 30 phút, ôtô II cũng khởi
hành từ A với vận tốc lớn hơn vận tốc ôtô I là 20 km/h và gặp ôtô I lúc 10
giờ 30 phút. Tính vận tốc mỗi ôtô.
3.61 Một người đi xe đạp từ A đến B. Lúc đầu, trên đoạn đường đá, người đó
đi với vận tốc 10 km/h. Trên đoạn đường còn lại là đường nhựa, dài gấp
rưỡi đoạn đường đá, người đó đi với vận tốc 15 km/h. Sau 4 giờ người đó
đến B. Tính độ dài quãng đường AB.
3.62 Hai ôtô cùng khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài 163km.
Trong 43 km đầu, hai xe có cùng vận tốc. Nhưng sau đó chiếc xe thứ nhất
tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai
vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đó xe thứ nhất đã đến Hà Nội sớm hơn xe thứ
hai 40 phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe.

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 104

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 21


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài tập Toán 8

Học kì 2

3.63 Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Đi được 24 phút thì gặp
đường xấu nên vận tốc trên quãng đường còn lại giảm còn 40 km/h. Vì
vậy đã đến nơi chậm mất 18 phút. Tính quãng đường AB.
3.64 Anh Nam đi xe đạp tờ A đến B với vận tốc 12 km/h. Đi được 6 km, xe
đạp hư, anh Nam phải đi bằng ôtô và đã đến B sớm hơn dự định 45 phút.
Tính quãng đường AB, biết vận tốc của ôtô là 30 km/h.
3.65 Hai ôtô khởi hành cùng lúc ngược chiều nhau và gặp nhau sau 4 giờ. Ôtô
3
I đi từ A với vận tốc bằng
vận tốc của ôtô II đi từ B. Hỏi mỗi ôtô đi cả
4
quãng đường AB thì mất bao lâu ?
3.66 Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Nhưng sau khi đi được một
giờ với vận tốc ấy, ôtô bị tàu hỏa chắn đường 10 phút. Do đó để kịp đến B
đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính
quãng đường AB.
3.67 Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và quay từ B về A với vận tốc
40 km/h. Tính vận tốc trung bình của ôtô.
3.68 Một người đi từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận
tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng
đường AB.
3.69 Một canô xuôi dòng từ A đến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B về A mất 5
giờ. Tìm đoạn đường AB, biết vận tốc của dòng nước là 2 km/h.

Ôn tập chương 4
Hình
Hình
lăng
trụ
Hình
hộp
chữ
nhật
Hình
lập
phương

Diện tích
xung quanh

Hình vẽ

h

c
a

Diện tích
toàn phần

Sxq = 2p.h
Stp = Sxq+2Sđ
(p: nửa chu vi)

Thể tích

V = Sđáy.h

Sxq = 2(a+b)c

Sxq =
2(ab+bc+ca)

V = abc

Sxq = 4a2

Sxq = 6a2

V = a3

Sxq = p . d

Stp = Sxq+Sđ

b

a

Hình
chóp

h

d

V=

1
Sđáy . h
3

3.70 Lúc 7 giờ sáng, một canô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36 km, rồi
ngay lập tức quay trở về và đến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của
canô khi xuôi dàng, biết vận tốc của dòng nước là 6 km/h.

4.16 Cho hình lăng trụ đứng ABCD, ABCD đáy là hình chữ nhật có các kích
thước là 6 cm, 4 cm, chiều cao của hình lăng trụ là 8 cm. Tính diện tích
toàn phần.

3.71 Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai
thác được 50 tấn than. Khi thực hiện, mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn
than. Do đó, đội không những đã hoàn thành kế hoạch trước một ngày mà
còn vượt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác bao
nhiêu tấn than ?

4.17 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD, có đáy là hình chữ nhật với kích
thước là 4cm, 3cm và chiều cao của lăng trụ là 5cm. Tính diện tích xung
quanh, diện tích toàn phần của lăng trụ.

3.72 Đầu năm học một tổ học sinh được mua một số sách vở, phải trả 72.000đ.
Nếu bớt đi 3 người thì mỗi người còn lại phải trả thêm 4000đ. Hỏi tổ có
bao nhiêu người ?
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 22

4.18 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC, đáy là tam giác ABC vuông tại A có
AB = 6 cm, AC = 8 cm, AA = 20 cm. Tính diện tích xung quanh của lăng
trụ đứng.
4.19 Cho hình lập phương có cạnh bằng 3cm. Tính thể tích hình lập phương
đó.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 103


Bài tập Toán 8

Học kì 2

S

4.12 Cho biết hình chóp lục giác đều S.MNPQR, có
H là tâm của đường tròn ngoại tiếp lục giác đáy
(đường tròn đi qua các đỉnh của lục giác). Tính
diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp
nếu: (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

P
P

H
R

Q

4.13 a) Một hình chóp đều có thể tích là 126 cm3, chiều cao của hình chóp là
6 cm. Tính diện tích đáy của hình chóp.
b) Cho một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích là 1280 cm3, chiều
cao của hình chóp là 15 cm. Tính độ dài cạnh đáy và diện tích xung
quanh của hình chóp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
4.14 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
S
  SEO
  SFO
.
a) Chứng minh: SDO
b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của
hình chóp, nếu biết:
ii) Các mặt bên là các tam giác đều,
OA  3 cm, AB = 3 cm.

F

A

  600 .
iii) OC  2 3 cm và SDO

C

O

D

3.74 Một đội sản xuất dự định phải làm một số dụng cụ trong 30 ngày. Do mỗi
ngày đã vượt năng suất so với dự định 10 dụng cụ nên không những đã
làm thêm được 20 dụng cụ mà tổ đó còn làm xong trước thời hạn 7 ngày.
Tính số dụng cụ mà tổ sản xuất đó phải làm theo kế hoạch.
3.75 Một vòi nước chảy vào bể không có nước. Cùng lúc đó, một vòi chảy từ
4
bể ra. Mỗi giờ lượng nước chảy ra bằng
lượng nước chảy vào. Sau 5
5
1
giờ, nước trong bể đạt tới
dung tích bể. Hỏi nếu bể không có nước và
8
chỉ mở vòi chảy vào thì trong bao lâu thì đầy bể ?
3.76 Hai người cùng làm một công việc trong 3 giờ 20 phút thì xong. Nếu
4
người I làm 3 giờ và người II làm 2 giờ thì tất cả được
công việc. Hỏi
5
mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong công việc đó ?
3.77 Bài toán cổ:
Một đàn em nhỏ đứng bên sông
To nhỏ bàn nhau chuyện chia bòng
Mỗi người năm quả thừa năm quả
Mỗi người sáu quả một người không
Hỏi người bạn trẻ đang dừng bước:
Có mấy em thơ, mấy quả bòng ?

E

B

4.15 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SH = 15 cm, AB = 16 cm.
a) Tính trung đoạn, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích
S
của hình chóp.
b) Gọi H là trung điểm của SH. Cắt hình
chóp bởi một mặt phẳng đi qua H và
song song với mặt phẳng đáy (ABCD) ta
được hình chóp cụt đều ABCD.ABCD.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của A
hình chóp cụt (làm tròn đến chữ số thập
phân thứ hai).
Gv: Trần Quốc Nghĩa

D'

A'

C'

B'

Học kì 2

3.73 Một xí nghiệp ký hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20 ngày. Do
cải tiến kĩ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ

trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà
còn dệt thêm được 24 tấm nữa. Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải
dệt theo hợp đồng.

N

a) Biết cạnh bên SM = 10 cm, cạnh đáy
MR = 6 cm.
M
b) Biết HM = 12 cm, chiều cao SH = 35 cm.

i) SO = 12 cm, AB = 10 cm.

Bài tập Toán 8

D
C

B
Trang 102

3.78 Bài toán cổ Trung Hoa:
Cành sen nhỏ mọc trong hồ nước
Bông sen tròn nửa thước nhô lên.
Bỗng đâu gió thổi sang bên
Bông hoa dạt xuống nằm trên mặt hồ
Cách cành cũ được vừa hai thước
(Cứ sát theo mặt nước mà đo).
Nhờ ai thạo tính giúp cho
Hồ sâu bao thước, lí do thế nào ?

Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 23


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài tập Toán 8

Học kì 2

Ôn tập chương 3

- mp(ABCD) // mp(ABCD)

3.79 Giải các phương trình sau:
a) 11 + 8x – 3 = 5x – 3 + x
b) 4 – 2x + 15 = 9x + 4 – 2x
c) (x – 3)(x + 4) – 2(3x – 2) = (x – 4)2
d) (x + 1)(x2 – x + 1) – 2x = x(x + 1)(x – 1)
e) (x – 1)3 – x(x + 1)2 = 5x(2 – x) – 11(x + 2)
5x  1 2x  3 x  8 x
f)



10
6

15
30
x2 x4 x 6 x8
g)



98
96
94
92
x 1 x  2 x  3 x  4
h)



9
8
7
6
4  3x
x 3
2x 
7x 
5 
2  x 1
i)
15
5
2x  8 3x  1 9x  2 3x  1

j)



6
4
8
12
2
(x  2) (2x  3)(2x  3) (x  4) 2
k)


0
3
8
6
9x  0,7 5x  1,5 7x  1,1 5(0,4  2x)
l)



4
7
6
6

D'

A'

- AABB, … là hình thang cân.

H'

B'

4. Diện tích xung quanh
Diện tích toàn phần của hình chóp đều

C'

A

D
H

 Diện tích xung quanh của hình chóp B
đều bằng tích của nửa chu vi (p) đáy
với trung đoạn (d):

C

Sxq = p . d
 Diện tích toàn phần của hình chóp bằn tổng diện tích toàn phần và
diện tích đáy:
S

Stp = Sxq + Sđáy
 Với hình bên, ta có:

- Sxq = PABCD . SI
A

- Stp = Sxq + SABCD

D
I

H

5. Thể tích của hình chóp đều

B

C

 Thể tích của hình chóp đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy
với chiều cao.
Sđáy: diện tích đáy
1
V = Sđáy . h
h: chiều cao
3
1
 Với hình trên, ta có: V  S ABCD .SH .
3

3.80 Giải các phương trình sau:
 2(x  3) 4x  3 
a) (3x–2) 


= 0
7
5 

 7x  2 2(1  3x 
b) (3,3–11x) 

= 0
3 
 5
 3x  8 
 3x  8 
c) (2x  3) 
 1  (x  5) 
 1
 2  7x 
 2  7x 
d) (x + 2)(x – 3)(17x2 – 17x + 8) = (x + 2)(x – 3)(x2 – 17x +33)
1
1
2
2
e)  x  3   x  5   0
9
25
Gv: Trần Quốc Nghĩa

S

 Ở hình bên: ABCD.ABCD là hình chóp cụt đều:

S

4.11 Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình
chóp tứ giác đều S.ABCD nếu: (làm tròn đến
chữ số thập phân thứ hai)
a) Biết AB = 6 cm, SI = 5 cm.

C

b) Biết SH = 4 cm, SB = 5 cm.
c) Biết AB = 5 cm, SB = 5 cm.

Trang 24

Gv: Trần Quốc Nghĩa

D

B

H
I
A

Trang 101


Bài tập Toán 8

Học kì 2

Bài tập Toán 8

Học kì 2
2

 3x 1   x 2 
f)       
 5 3  5 3

Hình chóp đều

2

2

1 
1

h)  x  1     x  1  
x 
x

2
j) 3x + 7x + 2 = 0
l) 2x2 – 6x + 1 = 0
n) x6 – x2 = 0
p) – x5 + 4x4 = – 12x3

S

1. Hình chóp
 Hình chóp là hình có mặt đáy là
một đa giác và các mặt bên là các
tam giác.
 Hình bên là hình chóp S.ABCD có
đỉnh S, đáy là tứ giác ABCD, các
mặt bên là các tam giác: SAB,
SBC, SCD, SDA – gọi là hình
chóp tứ giác.

D

A
H

C

B

 Đường thẳng SH đi qua đỉnh S và vuông góc với mặt phẳng đáy
(ABCD) gọi là đường cao của hình chóp. Độ dài đường cao gọi là
chiều cao của hình chóp.

2. Hình chóp đều
- Đáy là đa giác đều.

c)

e)

- Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và có chung đỉnh
- Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn
đi qua các đỉnh của đa giác đáy.
S

f)

- Đường cao vẽ từ đỉnh S của mỗi mặt
nên được gọi là trung đoạn.

g)
h)

 Ở hình bên: S.ABCD là hình chóp đều:

2

2

2

3 
3 
1

i)  x     x   x    0
4 

4 
2

2
k) x – 4x + 1 = 0
m) 3x2 + 4x – 4 = 0
o) x3 – 12 = 13x
q) x3 = 4x

3.81 Giải các phương trình sau:
x 1 x 1
4
a)

 2
x 1 x  1 x 1
8x 2
2x
1  8x


b)
2
3(1  4x ) 6x  3 4  8x

d)

 Hình chóp đều là hình chóp:

2

 2x   3x 
g) 
 1    1
 3
  2


3
15
7


2
4(x  5) 50  2x
6(x  5)
13
1
6

 2
(x  3)(2x  7) 2x  7 x  9
x 1
7
5 x
1

 2

2

2x  4x 8x 4x  8x 8x  16
5  2x (x  1)(x  1) (x  2)(1  3x)


3
3x  1
9x  3
13
1
6


(x  3)(2x  7) 2x  7 (x  3)(x  3)
3
2
1


(x  1)(x  2) (x  3)(x  1) (x  2)(x  3)

- Đáy ABCD là hình vuông.
- Cắc mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA là
các tam giác cân bằng nhau.
- SI là trung đoạn của hình chóp

B

A

D

I

H
C

3. Hình chóp cụt đều
 Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng song song với đáy, cắt hình chóp
đều và mặt phẳng đáy gọi là hình chóp cụt đều, mỗi mặt bên của hình
chóp cụt đều là một hình thang cân.
Gv: Trần Quốc Nghĩa

Trang 100

x  a x  a a(3a  1)


a  x a  x a2  x2
a) Giải phương trình với a = – 3.
b) Giải phương trình với a = 1.
c) Giải phương trình với a = 0.

3.82 Cho phương trình (ẩn x):

d) Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x =

Gv: Trần Quốc Nghĩa

1
làm nghiệm.
2

Trang 25