ÔN tập môn DSP TOPIC3 ÔN tập môn DSP TOPIC3

Ôn tập TOPIC 3: Biến đổi Z

TOPIC 3: BIẾN ĐỔI Z
1. Khái niệm chung:
1.1 Biến đổi Z là gì
Biến đổi Z là một phép toán đại số nhằm chuyển đổi một tín hiệu rời rạc (discrete
time signal) nằm ở dạng số thực hoặc số phức, thành một tín hiệu được biểu diễn
trong miền tần số phức
1.2 Tại sao phải biến đổi Z
Quá trình xử lý (tính toán) tín hiệu rời rạc theo miền thời gian, quan hệ vào/ra
thường được thực hiện bằng các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.
Nhưng để giải các phương trình này thường gặp khó khăn, do đó người ta cần đại
số hóa nó sang miền tần số để việc tính toán đơn giản hơn
2. Công thức biến đổi
Tín hiệu rời rạc x(n) khi biến đổi Z sẽ trở thành tín hiệu X(z) và được diễn tả
Z
x  n 
 X z

Trong đó:
o n biến số thực rời rạc, n = …, -1, 0, 1, 2,… ;
o z là biến phức liên tục, z = a + jb = |Z| ej ;
o z nằm trong miền hội tụ (region of convergence_ROC)
Ký hiệu: X(z) ≡Z{x(n)}
Công thức

Z  x  n 



 x k  z

k

 X z

k 

Ví dụ: Tìm biến đổi Z của x1(n) = δ(n)
x1(n) = δ(n) biến đổi Z thành
X1(z) = 1, ROC : mặt phẳng Z (mpZ)
Ví dụ: Tìm biến đổi Z của x2(n) = {8 10 1^ 9 7 2}
x2(n) = {8 10 1^ 9 7 2} biến đổi Z thành
X2(z) = 8z2 + 10z + 1 + 9z–1 + 7z–2 + 2z–3 ; ROC = mpz\(∞, 0)
Ví dụ: Tìm biến đổi Z của x3(n) = δ(n –k)
x3(n) = δ(n –k) biến đổi Z thành
X3(z) = z–k ; ROC = mpz\{0 nếu k>0, ∞ nếu k<0)
NOBI CODE

Page 1


Ôn tập TOPIC 3: Biến đổi Z
3. Một số công thức quan trọng
3.1 Tín hiệu nhân quả

3.2 Tín hiệu phản nhân quả

3.3 Tín hiệu hai phía

Ví dụ: Find the z-transform of the following finite extent signal sequence

h[n] = n ( u[n] – u[n-6] )
hướng dẫn: tín hiệu h(n) được biểu diễn

H ( z) 





n 

5

h  n z  n   h  n z  n
n 0

H ( z )  0  z 1  2 z 2  3z 3  4 z 4  5z 5
NOBI CODE

Page 2


Ôn tập TOPIC 3: Biến đổi Z
4. Tính chất quan trọng của biến đổi Z
4.1 Z-Transform Properties: Linearity
4.2 Z-Transform Properties: Time Shifting
4.3 Z-Transform Properties: Multiplication by Exponential
4.4 Z-Transform Properties: Differentiation
4.5 Z-Transform Properties: Conjugation
4.6 Z-Transform Properties: Time Reversal

4.7 Z-Transform Properties: Convolution
5. Xác định Pole and Zero
The zeros of a z-transform X(z) are the values of z for which X(z)=0.
The poles of a z-tranform are the values of z for which X (z) = .
EX: determine Pole and Zero plot for x(n) = 0.2nu(n)
Hướng dẫn:
Tìm biến đổi Z của x(n) : áp dụng công thức anu(n) => 1/(1 –aZ-1)
Giải nghiệm tử của X(Z) tìm được điểm Zero
Giải nghiệm mẫu của X(Z) tìm được điểm pole
X(z) = 1/(1-0.2z-1) = z/(z-0.2)
 Zero: z = 0
 Pole: P = 0.2
6. Biến đổi Z ngược
Tìm x(n) khi biết trước biểu thức X(z) gọi là biến đổi ngược của Z
Cho hàm X(Z)có dạng sau:
M

X  z 

b z

k

a z

k

k 0
N

k 0

k

k

Ta có thể triển khai thành dạng đại số:

X  z 

M N


r 0

Br z  r 

N

s
Ak
Cm



1
1 m
k 1,k i 1  d k z
m 1 1  d z 
i

o First term exist only if M>N ; Br is obtained by long division
o Second term represents all first order poles
NOBI CODE

Page 3


Ôn tập TOPIC 3: Biến đổi Z

Ak  1  d k z 1  X  z  z d

k

o Third term represents an order s pole

 d s m 
s
1  
Cm 
1

d
w
X
w



  1


i
s m
s m
 s  m ! di   dw 
 w  di
1

Ví dụ: Tìm x(n) khi biết

X  z 

1
 1 1  1 1 
1  z 1  z 
 4  2 

ROC: z 

1
2

Hướng dẫn:

X  z 

A1
A2

 1 1   1 1 

1  z  1  z 
 4   2 

Trong đó:

1
 1 
A1  1  z 1  X  z 

 1
1
 1  1 1 
 4 
z
4
1    
 2 4 
1
 1 
A2  1  z 1  X  z 

2
1
 1  1 1 
 2 
z
2
1    
 4 2 
1

2
X  z 

 1 1   1 1 
1  z  1  z 
 4   2 
Biến đổi ngược ta được
n

z

1
2

n

1
1
x  n  2   u  n -   u  n 
2
4
Ví dụ : Tìm x(n) biết

 1 
X  z   z 2 1  z 1  1  z 1 1  z 1 
 2 
NOBI CODE

Page 4

Ôn tập TOPIC 3: Biến đổi Z
Hướng dẫn:

 1 
X  z   z 2 1  z 1  1  z 1 1  z 1 
 2 
1
1
X  z   z 2  z  1  z 1
2
2

1
1
x  n    n  2    n  1    n    n  1
2
2
 1
 1

 2

x  n    1
 1

 2
 0

n  2

n  1
n0
n 1
n2

7. Hệ thống trong miền Z
Xét hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian LTI system

Tìm đáp ứng ngõ ra:
y(n) = x(n)*(h(n)
ngõ ra y(n) bằng tổng chập ngõ vào x(n) với đáp ứng h(n)
do đổi sang miền Z thì : y(n) => Y(Z) ; x(n) => X(z) ; h(n) = H(z)
(phép chập trong miền thời gian chính là phép tích trong miền Z) do đó
Y(Z) = X(z). H(z)
=> H(z) = Y(z) / X(z)

NOBI CODE

Page 5


Ôn tập TOPIC 3: Biến đổi Z
Xét phương trình :

Được biểu diễn bằng sơ đồ

Hệ thống ở miền Z là:

Dấu hiệu từ phương vi phân, H(z) là tỷ số các hệ số trước x(n) / các hệ số trước y(n)
nhớ phải chuyển y về 1 phía, x về 1 phía.

Ví dụ: cho hệ thống sau

NOBI CODE

Page 6


Ôn tập TOPIC 3: Biến đổi Z
a) Tìm phương trình sai phân
b) Tìm H(Z)
c) Đáp ứng xung h(n)
Hướng dẫn:
a) Từ sơ đồ ta xác định được phương trình sai phân
y(n) = 2y(n-1) + 3x(n)
b) H(z) = 3 / (1 – 2Z-1)
c) h(n) = 3.2nu(n)
Ví dụ:
For the following difference equation :
y(n) = 0.3y(n-1) + 2x(n)
Determine h(n) by using z transform (assume uncausal h(n))
Hướng dẫn:
H(z) = 2/ (1 – 0.3Z-1)
h(n) = -2.0.3nu(-n-1)

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tìm biến đổi Z của tín hiệu x(n)
Dạng 2: Xác định điểm Zero – pole
Dạng 3: Tìm phương trình sai phân từ đồ thị
Dạng 4: Tìm hàm đáp ứng xung h(n) hoặc H(z) từ phương trình sai phân
Dạng 5: Tìm biến đổi ngược của X(Z) với ROC xác định

NOBI CODE

Page 7