Sự tồn tại nghiệm của phương trình monge ampère phức trong các lớp năng lượng đa phức có trọng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
---------------------------------------

SHERLOR NENGZE

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP
NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
-------------------------------

SHERLOR NENGZE

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP
NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN-2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài
liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất
cứ công trình nào.
Tác giả

Sherlor Nengze

i


LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng.
Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Lào - Việt nam
(Thủ đô Viêng Chăn) cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về
mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học

viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 05 năm 2017
Tác giả

ii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

i

LỜI CẢM ƠN

ii

MỤC LỤC

iii

MỞ ĐẦU

1

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

1.1. Hàm đa điều hòa dưới

4

1.2. Hàm đa điều hòa dưới cực đại

8

1.3. Toán tử Monge-Ampère phức

14

1.4. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor

16

1.5. Các lớp năng lượng Cegrell

18

Chương 2.

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-

22

AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP NĂNG LƯỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG
2.1. Các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong £

n

22

2.2. Sự tồn tại nghiệm trong lớp Ec (W)

25

2.3. Sự tồn tại nghiệm trong lớp Ec ( f )

28

2.4. Sự tồn tại nghiệm trong lớp F ( f )

32

KẾT LUẬN

38

TÀI LIỆU THAM KHẢO

39

iii


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Toán tử Monge-Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa
phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế
vị đã được E. Berfod và B.A. Taylor xây dựng năm 1982. Từ đó trở đi lý thuyết
này liên tục phát triển và đạt được nhiều kết quả quan trọng, đồng thời tìm thấy
nhiều ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học.
Năm 1998, Cegrell đã định nghĩa các lớp năng lượng E0(W), F p (W), Ep (W)
trên đó toán tử Monge-Ampère phức là xác định. Năm 2004, Cegrell đã định
nghĩa các lớp E(W), F (W) và chỉ ra rằng lớp E(W) là lớp hàm định nghĩa tự
nhiên của toán tử Monge-Ampère phức. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử
Monge-Ampère xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Tiếp
tục mở rộng lớp năng lượng F (W) , năm 2009, S. Benelkourchi đã đưa ra lớp
năng lượng có trọng Ec (W) và nghiên cứu toán tử Monge-Ampère trên lớp năng
lượng đa phức hữu hạn trong trường hợp tổng quát. Đồng thời giải thích các lớp
này theo nghĩa tốc độ giảm của dung lượng của tập mức dưới và mô tả đầy đủ
miền giá trị của toán tử Monge-Ampère (dd c .)n trong các lớp Ec (W) . Nghiên
cứu các lớp này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so sánh, giải bài toán
Dirichlet,…
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử Monge-Ampère và áp dụng
các kết quả đạt được trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp năng lượng có
trọng, chúng tôi chọn “Sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức
trong các lớp năng lượng đa phức có trọng” làm đề tài nghiên cứu của mình.

4


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các lớp năng lượng đa phức có trọng và sự tồn tại nghiệm của
phương trình Monge-Ampère phức trong các lớp đó
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Trình bày tổng quan và hệ thống một số kết quả cơ bản của lý thuyết đa
thế vị phức.
+ Trình bày lại một cách chi tiết một số kết quả của S. Benelkourchi về sự
tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong các lớp năng lượng
đa phức có trọng.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Nội dung của luận văn
được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [1] và [5].
Chương 1. Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm
đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và
nguyên lý so sánh.
Chương 2. Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương trình bày một
số khái niệm và kết quả về các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng
trong £ n . Tiếp theo trong mục 2.2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương
trình Monge-Ampère phức trong lớp Ec (W) (Định lý 2.2.1). Mục 2.3 trình bày

5


kết quả về sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong lớp

Ec ( f ) (Định lý 2.3.6 và Hệ quả 2.3.7). Cuối cùng mục 2.4. trình bày sự tồn tại
nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức trong lớp F ( f ) (Định lý 2.4.1 và
Hệ quả 2.4.2).
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

6


Chng 1
CC KIN THC CHUN B

1.1. Hm a iu ho di
ng ngha 1.1.1. Gi s Wè Ê n l tp m, u : Wđ

ộ- Ơ , + Ơ
ờở

) l hm na

liờn tc trờn, khụng ng nht bng - Ơ trờn moi thnh phn liờn thụng ca W.
Hm u gi l a iu ho di trờn W (vit u ẻ PSH (W) ) nu vi mi a ẻ W
v b ẻ Ê n , hm l a u (a + l b) l iu ho di hoc bng - Ơ

trờn mi

thnh phn liờn thụng ca tp {l ẻ Ê : a + l b ẻ W}.
nh lý sau õy cho mt c trng ca tớnh a iu ho di i vi cỏc
hm lp C 2 trờn tp m Wè Ê n .
nh lý 1.1.2. Gi s Wè Ê n l tp m v u ẻ C 2(W) . Khi ú u ẻ PSH (W) khi
v ch khi Hessian H u (z ) = (

ả 2u
) ca u ti z xỏc nh dng, ngha l vi
ả z j ả zk

mi w = (w1, w2,..., wn ) ẻ Ê n ,
ả 2u
H u (z )( w, w) = ồ
(z )wj wk 0.
j ,k = 1 ả z j ả z k
n

nh ngha 1.1.3. Tp hp E è
u cú mt lõn cn V

E ầV è

{z ẻ V

n

c gi l a cc nu vi mi im a ẻ E

ca a v mt hm u ẻ PSH (V ) sao cho

: u (z ) = - Ơ

}.

7


Hệ quả 1.1.4. Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không.
Dưới đây là một số kết quả liên quan tới tính đa điều hoà dưới khi qua giới
hạn và tính lồi của họ các hàm đa điều hoà dưới.

Định lý 1.1.5. Giả sử W là tập mở trong £ n .
i ) Nếu u, v Î PSH (W) thì m ax{u, v} Î PSH ( W) và nếu a , b ³ 0 thì

a u + b v Î PSH (W) . Nghĩa là PSH (W) là nón lồi.
ii ) Nếu {u j }j ³ 1 Ì PSH (W) là dãy giảm thì u = lim u j hoặc là hàm đa điều hoà

dưới trên W hoặc º - ¥ .
iii ) Nếu dãy {u j } Ì PSH (W) là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của W tới

hàm u : W® ¡ thì u Î PSH (W) .
iv ) Giả sử {ua }a Î I Ì PSH (W) sao cho u = sup {u a : a Î I } là bị chặn trên

địa phương. Khi đó chính quy hoá nửa liên tục trên u * Î PSH (W) .
Chứng minh. Các khẳng định i ) , ii ) , iii ) suy ra từ định nghĩa 1.1.1. và định lý
hội tụ đơn điệu hay định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân trong trường hợp dãy
hội tụ đều. Ta chứng minh iv ) . Chỉ cần chứng tỏ a Î W, b Î £ n sao cho

{a+ l b:l Î £ , l £ 1} Ì W thì
1
u (a ) £
2p
*

2p

òu

*

(a + e i qb)d q

0

Dễ thấy với mọi z Î W, b Î £ n sao cho {z + l b, l £ 1} Ì W ta có

1
u (z ) £
2p

2p

òu
0

8

*

(z + e i qb)d q


Với a Î W, chọn dãy {z n } Ì W sao cho z n ® a và u(z n ) ® u *(a ) . Từ

{z + l b, l £ 1} Ì W nên với n đủ lớn {z n + l b, l £ 1} Ì W. Khi đó
1
u (z n ) £
2p

2p

òu

*

(z n + e i qb)d q

0

Bổ đề Fatou cho ta

1
u (a ) = lim sup u (z n ) £
2p
n
*

2p

ò limnsup u

*

(z n + e i qb)d q

W

0

Sau đây là kết quả về dán hai hàm đa điều hoà dưới tương tự như hàm điều hoà
dưới.

Mệnh đề 1.1.6. Giả sử WÌ £ n là tập mở, w Ì W là tập con mở thực sự, khác
rỗng của W. Giả sử u Î PSH (W), v Î PSH ( w) và lim supx ® y v(x ) £ v(y ) với
mọi y Î ¶ w Ç W. Khi đó hàm
ìï m ax{u, v } t rong w
w = ïí
ïï u
trong W\ w
î

là hàm đa điều hoà dưới trên W.
Chứng minh. Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W. Chỉ cần chứng tỏ nếu
a Î W, b Î £ n sao cho {a + l b, l £ r } Ì W thì

1
w(a ) £
2p

2p

ò w(a + re

iq

b)d q

0

Với a Î W, b Î £ n , chọn r > 0 đủ bé để

{a + l b, l £ r } Ì w

Khi đó

9


1 2p
u (a ) £
u (a + re i qb)d q £ w(a ) £
ò
2p 0
2p
1
v(a ) £
v(a + re i qb)d q £ w(a ) £
ò
2p 0

1
Từ đó w(a ) £
2p

1 2p
w(a + re i qb)d q
ò
2p 0
2p
1
w(a + re i qb)d q
ò
2p 0

2p

ò w(a + re

iq

b)d q .

0

Chứng minh tương tự cho trường hợp a Î W\ wW, ở đó WwW là bao đóng của w
lấy trong W. Chỉ cần xét trường hợp a Î wW Ç W. Khi đó w(a ) = u (a ) .
Vậy

1
w(a ) = u (a ) £
2p

2p

1
ò u(a + re b)d q £ w(a ) £ 2p
0
iq

2p

ò w(a + re

iq

b)d q

0

và mệnh đề được chứng minh.

W

Mệnh đề 1.1.7. Giả sử u Î PSH (W) , WÌ £ n là tập mở và Y : u(W) ® ¡ là
hàm lồi, tăng lớp C 2 . Khi đó Y o u Î PSH (W) .
Chứng minh. Lại có thể coi u Î C 2(W) . Với mọi w Î W và w Ì £ n , do Y là
hàm lồi tăng ta có
2

< L ( Y o u )(a, w) > = Y¢(u (a )) < Lu (a, w) > + Y¢¢(u (a ))

¶u
(a )wj ³ 0
j=1 ¶ z j
n

å

Suy ra điều phải chứng minh.

W

Hệ quả 1.1.8. Nếu u Î PSH (W) thì eu Î PSH (W) . Nếu u Î PSH (W) , u ³ 0 và

a ³ 1 thì u a Î PSH (W) .
Hệ quả 1.1.9 . Nếu u 1, u 2 là các hàm không âm trên tập mở WÌ £ n và
log u1, log u 2 Î PSH (W) thì u1u 2 Î PSH (W) và log(u1 + u 2 ) Î PSH (W) .

10


Mệnh đề 1.1.10. (Nguyên lý cực đại) Giả sử D là một miền trong £ n và
u Î PSH (D ) , u không đồng nhất hàm hằng. Khi đó u không đạt cực đại toàn

thể trên D. Hơn nữa nếu D là bị chặn thì với mọi z Î D ta có
u (z ) < sup { lim sup u (z )}
wÎ ¶ D

D' z® w

Chứng minh. Giả sử z 0 Î D sao cho u (z 0 ) = m ax{u (z ) : z Î D } . Đặt

D0 = u - 1u(z 0 ) . Khi đó Æ ¹ D0 Ì D . Giả sử a Î D 0 Ç D . Khi đó
u(z 0 ) = lim sup u(z ) £ lim sup u(z ) = u(a ) £ u(z 0 )
D0 ' z ® a

D0 ' z ® a

Vậy a Î D 0 và D 0 đóng trong D . Nếu a Î D 0 , với mọi b Î £ n , chọn r > 0
sao cho {a + l b : l £ r } Ì D . Khi đó

1
u (z 0 ) = u (a ) £

2p

2p

ò u(a + re

b)d q £ u (z 0 )

iq

0

Từ đó, do tính nửa liên tục trên của u suy ra u = u (z 0 ) trên một lân cận của a .
Vậy D 0 là mở và do đó D 0 = D . Điều này kéo theo u = u (z 0 ) trên D và mâu
thuẫn với giả thiết.

W

1.2. Hàm đa điều hòa dưới cực đại
Định nghĩa 1.2.1. Cho WÌ £ n là tập mở và u Î PSH (W) . Ta nói u là hàm đa
điều hòa dưới cực đại trên W và viết u Î MPSH (W) nếu với mọi tập mở,
compact tương đối G Ð W và mọi hàm v nửa liên tục trên trên G , v Î PSH (G )
và v £ u trên ¶ G thì v £ u trên G .
Trường hợp n = 1 thì tập MPSH (W) trùng với tập các hàm điều hòa trên W.
Mệnh đề sau nói về các cách nhận biết một hàm là đa điều hoà dưới cực đại.

11


Mệnh đề 1.2.2. Giả sử WÌ £ n là tập mở và u Î PSH (W) . Khi đó các khẳng

định sau là tương đương.
(i ) Với mọi tập mở, compact tương đối G Ð W và mọi hàm v Î PSH (G ) , nếu
lim sup(u (z ) - v(z )) ³ 0 với mọi x Î ¶ G thì u ³ v trên G .
z® x

(ii )

Nếu v Î PSH (W) và với e > 0 tồn tại tập compact K Ì W sao cho

u - v ³ e trên W\ K thì u ³ v trên W.
(iii ) Nếu v Î PSH (W) , G là tập mở, compact tương đối trong W và u ³ v trên

¶ G thì u ³ v trên G .
(iv ) Nếu v Î PSH (W) , G là tập mở, compact tương đối trong W và với mỗi

x Î ¶ G , lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 thì u ³ v trên G .
z® x

(v ) u là hàm cực đại.

Chứng minh. (i ) Þ (ii ) . Giả sử v Î PSH (W) thỏa mãn giả thiết của (ii ) và giả
sử a Î Wsao cho u (a ) - v(a ) = h < 0 . Đặt
E = {z Î W: u (z ) < v(z ) +

h
}
2

Theo giả thiết có compact K Ì W sao cho với mọi z Î W\ K thì u(z ) ³
v (z ) +

h
. Vậy E Ì K và do đó E là tập compact trong W. Tồn tại tập mở,
2

compact tương đối G Ì W chứa E . Trên ¶ G
lim inf(u - (v +
z® ¶G

12

h
)) ³ 0
2


Bi gi thit (i ) , u v +
u (a ) = v(a ) + h < v(a ) +

h
trờn G v ta gp mõu thun vỡ a ẻ E è G m
2

h
.
2

(ii ) ị (iii ) . Gi s v ẻ PSH (W) , G l tp m, compact tng i trong W v

u v trờn ả G . t

ỡù m ax(u (z ), v(z )) ,
zẻ G
u%(z ) = ùớ
ùù u (z ) ,
z ẻ W\ G
ợ

Mnh 1.1.6. cho u%ẻ PSH (W) . Vi e > 0 , ly K = G l tp compact trong

W v vi z ẻ W\ K , u(z ) - u%(z ) = 0 > - e . Do ú bi gi thit u u%trờn G .
(iii ) ị (iv ) . Gi s v ẻ PSH (W) v G é W sao cho

lim inf(u(z ) - v(z )) 0
G' zđ x

ỳng cho mi x ẻ ả G . Khi ú lim sup v(z ) Ê u ( x) . t
G' zđ x

ỡù m ax(u (z ), v(z )) ,
zẻ G
u%(z ) = ùớ
ùù u (z ) ,
z ẻ W\ G
ợ

Khi ú theo mnh 1.1.6, ta cú u%ẻ PSH (W) . D thy trờn ả G thỡ u = u%. Vy

u u%trờn W v do ú u v trờn G
(iv ) ị (v ) . Gi s G è W l tp m, compact tng i v v l hm na liờn

tc trờn trờn G v v Ê u trờn ả G .
Do tớnh compact tng i ca G trong W, ta cú th coi u l liờn tc trờn G v

vÊ u

trờn

ảG .

Tht

vy

nu

trỏi

li

ta

xột

h

ue = u * c e

ẻ C Ơ (We ) ầ PSH (We ) vi We ẫ G . Nu ta chng t trờn G , v Ê u e thỡ v Ê u

13

trờn G vỡ trờn G ta cú lim u e = u . T gi thit v Ê u trờn ả G nờn
eđ 0

lim sup v(x ) Ê u (y ) vi y ẻ ả G . Do ú hm
G' xđ y

ỡù m ax{u, v } t ren
G
u%= ùớ
ùù u t ren
W\ G
ợ

l a iu ho di trờn W. Ta thy lim inf(u - u%) 0 vi mi x ẻ ả G . Tht
G' zđ x

vy nu khụng cú h < 0 v dóy {z n } è G, z n đ x m u (z n ) - u%(z n ) Ê h < 0
vi mi n . T ú
u (z n ) Ê u%(z n ) + h

Cho n đ Ơ ta cú u (x) Ê m ax(u( x), v( x)) + h = u( x) + h < u( x) v gp mõu
thun. Vy t gi thit u u%trờn G v chng minh (iv ) ị (v ) hon thnh.
(v ) ị (i ) . Gi s G é W, v ẻ PSH (G ) v lim inf(u - v )(z ) 0 vi mi
G' zđ x

x ẻ ả G . Li cú th coi u liờn tc trờn W. Khi ú xột

ỡù v(z ),

ù
v%(z ) = ùớ
ùù lim sup v(t ),
ùợ G ' t đ z
Khi ú v%ẻ PSH (G )

zẻ G
z ẻ ảG

v na liờn tc trờn trờn G . Mt khỏc t

lim inf(u (z ) - v(z )) 0 kộo theo u( x) v%( x) ti mi x ẻ ả G . T ú suy ra
G' zđ x

u u%trờn G v vy thỡ u v trờn G .

W

Gi s Wè Ê n l min b chn v f ẻ LƠ (ả W) . Ta kớ hiu U (W, f ) l lp
cỏc hm a iu hũa di v ẻ PSH (W) sao cho v *
v *(z ) = lim sup v( w)
W' wđ z

14

ảW

Ê f , ú

với mọi z Î W. Với z Î W, ta xác định

u(z ) = uW, f (z ) = sup{v(z ) : v Î U (W, f )}
Hàm U W, f gọi là bao Perron – Bremermann của f trong W.
Định lý 1.2.3. Giả sử W là miền bị chặn và f Î C (¶ W) sao cho u * = u* = f
trên ¶W, ở đó u = u W,f . Khi đó u = u W,f là hàm liên tục trong W.
*
*
Chứng minh. Từ u * = f trên ¶W nên uW
và do đó
Î U (W, f ) . Vậy uW, f = uW
,f
,f

u W, f là nửa liên tục trên trên W. Vậy chỉ cần chứng minh u = u W,f là nửa liên tục
dưới trên W. Cố định z 0 Î W và e > 0 . Do với mọi w Î ¶ W, .
lim inf u (z ) = lim sup u (z ) = f ( w) nên lim u(z ) = f ( w) . Từ đó do ¶W là
z® w

z® w

z® w

compact suy ra có d > 0 sao cho

" z Î W, " w Î ¶ W, z .w £ d Ü u(z ) - f ( w) < e
Lấy z%Î W với z%- z 0 <

(1.1)

d
% W- (z - z%) . Xác định hàm
và đặt W=
0
2

ìï m ax{u (z ), u (z + z + z%) - 2e},
0
v(z ) = ïí
ïï u (z ),
î

%
z Î WÇ W
%
z Î W\ W

% trong W và do đó
Dùng (1.1) ta chứng tỏ v = u trên một lân cận của WÇ ¶ W
% thì rõ ràng v(z ) = u(z ) . Lấy y Î WÇ ¶ W
% và
hàm v Î PSH (W) . Nếu z Î W\ W

xét

%
z Î WÇ ¶ W

với

z- y <

d
.
2

Khi

đó

y + z 0 - z%Î ¶ W. Vậy theo (1.1)

u(z ) - f (y + z 0 - z%) < e

15

z - (y + z 0 - z%) < d

và


hay u (z ) > f (y + z 0 - z%) - e . Mặt khác do z + z 0 - z%Î W và
z + z 0 - z%- (y + z 0 - z%) = z - y <

d
2

nên
u (z + z 0 - z%) < f (y + z 0 - z%) + e

Từ đó
u (z ) > u (z + z 0 - z%) - 2e

% ta được một lân cận của WÇ W
% trong W sao
Như vậy cho y thay đổi trên WÇ W

cho u (z ) > u (z + z 0 - z%) - 2e . Vậy v = u trên lân cận đó. Hơn nữa nếu

% và w Î ¶ W sao cho z - w £
z Î WÇ W

d
thì z + z 0 - z%- w < d và lại từ
2

(1.1), ta có
u (z + z 0 - z%) - 2e £ f ( w) - e £ u (z )

Do đó v(z ) £ u(z ) nếu d (z , ¶ W) £

d
và như vậy v £ u trên W. Ta có:
2

u (z%) ³ v(z%) ³ u (z 0 ) - 2e.

Như vậy u nửa liên tục dưới trên W và định lý được chứng minh.

W

Sau đây là một số tính chất của các hàm đa điều hòa dưới cực đại.
Mệnh đề 1.2.4. Giả sử W là một miền trong £ n . Khi đó
(i ) Giới hạn của dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới cực đại trong W hoặc

bằng - ¥ hoặc là hàm đa điều hòa dưới cực đại trong W.
(ii ) Nếu u Î MPSH (W) thì với mọi G Ð W tồn tại một dãy giảm các hàm đa

điều hòa dưới cực đại trong W hội tụ giảm tới u trên G .

16


Chng minh. (i ) Gi s {u j } ẻ MPSH (W) v u j u trờn W. Gi s u khụng
ng nht - Ơ trờn W. Ly G é W l tp m, compact tng i trong W. Gi
s v l hm na liờn tc trờn G v v ẻ PSH (G ) , v Ê u trờn ả G . Khi ú

v Ê u j trờn ả G v do ú v Ê u j trờn G .
(ii ) Do G é W nờn cú th chn dóy hm a iu hũa di liờn tc v j trờn mt

lõn cn ca G gim ti u . t u j = uG , f

j ảG

. Khi ú theo nh lý 1.2.3. {u j } l

dóy gim cỏc hm a iu hũa di liờn tc trờn G v s dng nh lý dỏn cú th
chng minh chỳng t cc i trờn G . T (i ) suy ra u j u .

W

1.3. Toỏn t Monge-Ampốre phc
Cho u l a iu ho di trờn min Wè Ê n . Nu u ẻ C 2 (W) thỡ toỏn t:

ộ 2 ự
ả u ỳ
dd u := dd u ... dd u = 4 n !det ờờ
dV ,
ỳ
1444444442 444444443
ả
z
ả
z
ờở j k ỳ
ỷ1Ê j ,k Ê n
n
vi dV l yu t th tớch trong C n gi l toỏn t Monge-Ampốre. Toỏn t ny

(

c

n

)

(

)

c

(

c

)

n

cú th xem nh o Radon trờn W, tc l phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn
khụng gian cỏc hm liờn tc vi giỏ compact C 0 (W) trờn W
c
ũ j dd u

(

C 0 (W) ' j a

n

).

W

Bedford v Taylor ó chng minh rng nu u l a iu ho di b chn
a phng trờn W thỡ tn ti dóy

um ] u v

{u }
m

m>1

è P H S (W) ầ C Ơ

{(dd u ) } hi t yu ti o Radon m trờn Wtc l:
n

c

m

17

sao cho


lim ò j dd cum

n

ò j d m, " j Î C (W).
Hơn nữa m không phụ thuộc vào việc chọn dãy {u } như trên, ta ký hiệu:

(

m

)

=

0

W

W

m

(dd cu )n = m
và gọi là toán tử Monge-Ampère của u .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère.
Mệnh đề 1.3.1. Nếu y Î C (¥p, p ) là (p, p )-dạng lớp C ¥ trên tập mở WÌ £ n và

T là (q, q )-dòng với p + q = n - 1 thì

(

y Ù dd cT

n

)

(

)

- dd c y ÙT = d y Ù d cT - d c y ÙT .

{ } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÌ

Mệnh đề 1.3.2. Giả sử mj

¡

n

hội

tụ yếu tới độ đo Radon m. Khi đó
a) Nếu G Ì W là tập mở thì m(G ) £ lim inf mj (G ).
j® ¥

b) Nếu K Ì W là tập compact thì m(K ) ³ lim sup mj (K ).
j® ¥

c) Nếu E compact tương đối trong Wsao cho m(¶ E ) = 0 thì

m(E ) = lim mj (E ).
j® ¥

{

}

Chứng minh. a) Ta có m(G ) = sup m(K ) : K Ð G . Giả sử K Ð G là tập
compact. Lấy j Î C 0 (G ), 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó

m(K ) £ m(j
Từ đó

)=

lim mj (j
j® ¥

)£

m(G ) £ lim inf mj (G ).
j® ¥

18

lim inf mj (G ).
j® ¥


{

}

b) Ta có m(K ) = inf m(V ) : V É K ,V Ì W ,V= V 0 . Giả sử V là một lân
cận mở của K và j Î C 0 (V ), 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó

m(V ) ³ m(j

)=

lim mj (j
j® ¥

)³

lim sup mj (K ).
j® ¥

m(K ) ³ lim sup mj (K ).

Từ đó

j® ¥

c) Viết E = IntE È ¶ E . Khi đó

m(E ) = m(int E ) £ lim inf mj (int E ) £ lim inf mj (E ).
j® ¥

j® ¥

Mặt khác

m(E ) ³ lim sup mj (E ) ³ lim sup mj (E ).
j® ¥

Từ đó

j® ¥

m(E ) ³ lim sup mj (E ) Þ

m(E ) = lim mj (E ).

j® ¥

j® ¥

W

Mệnh đề 1.3.3. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u, v Î P SH (W) Ç L¥loc (W)
sao cho u, v £ 0 trên W và lim u (z ) = 0 . Giả sử T là (n - 1, n - 1)-dòng
z® ¶W

dương, đóng trên W. Khi đó

ò vdd u ÙT
c

£

ò udd v ÙT .
c

W

Đặc biệt, nếu lim v (z ) = 0 thì

z® ¶W

W

ò vdd u ÙT
c

W

=

ò udd v ÙT .
c

W

1.4. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor.
Định lý 1.4.1. (Nguyên lý so sánh) Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và

u, v Î P SH(W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u (z ) - v(z )) ³ 0 . Khi đó
z® ¶W

19


ò

ò

( dd cv )n £

{u < v }

( dd cu )n .

(1.2)

{u < v }

Chứng minh. Theo giả thiết có lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Tức là với mọi e > 0
z® ¶W

tồn tại K Ð W sao cho " z Î W\ K thì u (z ) - v(z ) ³ - e . Hơn nữa khi thay

u bởi u + d, d> 0 , thì

{u + d < v}Z {u < v} khi d ]

0.

Nếu bất đẳng thức (1.2) đúng trên u + d < v thì cho d ]

0 suy ra (1.2) đúng

trên {u < v }. Vì vậy có thể giả sử lim infz ® ¶ W(u (z ) - v(z )) ³ d > 0 . Vậy

{u < v }Ð W.
a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó W¢= {u < v } là tập mở, u, v liên
tục trên W¢ và u = v trên ¶ W¢. Với e > 0 , đặt u e = max {u + e, v }.
Từ giả thiết

lim inf(u(z ) - v(z )) ³ d

z® ¶W

suy ra u (z ) - v(z ) > d - e hay
u (z ) + e ³ v(z ) + d > v(z ) với z gần biên ¶W.

Vậy u e = u (z ) + e gần biên ¶W và u e ] v trên W¢. Theo công thức Stokes ta
có

ò (dd u )
c

n

e

W¢

ò

=

ò (dd u )
c

hay

W¢

(dd cu e )n =

{u < v }

n

ò

(dd cu )n .

{u < v }

Vì u e ] v nên (dd cu e )n ® (dd cv )n . Vậy
20


ò

(dd c v )n £ lim inf
e® 0

{u < v }

ò

ò

(dd c u e )n =

{u < v }

(dd c u )n .

{u < v }

b) Giả sử u, v tùy ý và w là miền sao cho {u £ v + d / 2}Ð w Ð W. Tồn tại
hai dãy u j và v k các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u
và v sao cho u j ³ vk trên ¶ w với mọi i, k . Có thể coi - 1 £ u j , vk £ 0 . Lấy

e > 0 và giả sử G Ì W là tập mở sao cho C n (G , W) < e , u, v là các hàm liên
tục trên W\ G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho

v = j trên F = W\ G . Ta có

ò

{u

j

(dd cv )n .
{u j < v}

j® ¥

{u < v }

Nhưng {u j < v } Ì

ò

(dd cv )n = lim

< j

ò

}È G

(dd cv )n £ ò (dd cv )n +
{u j < v}
{u j < j }

và vì {u j < j

ò (dd v)
c

n

} là tập mở nên

£ lim
k® ¥

G

ò

(dd cvk )n + e ,
{u j < v}

vì C n (G , W) < e và (dd c vk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n .
Từ

{u

j

< j

}Ì {u

j

< v }È G và {u j < v } Ì

{u

j

< vk }

suy ra

ò

(dd cvk )n £ ò (dd cvk )n +
{u j < j }

{u j < v}

ò (dd v )
c

n

k

G

£

(dd cvk )n + e .
{u j < vk }

Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và v k ta thu được

ò

(dd cvk )n = ò (dd cu j )n .
{u j < vk }
{u j < vk }
21

ò


Do đó

ò

ò

(dd cv )n £ lim inf lim inf
j® ¥

{u < v }

(dd cu j )n + 2e
{u j < v j }

k® ¥

£ lim sup
j® ¥

ò

(dd cu j )n + 2e .
{u j £ v}

Hơn nữa

ò

(dd cu j )n £ ò (dd cu j )n + e
{u j £ v}
{u j £ v }ÇF

{

} {u £ v } nên ta có

và do {u £ v }Ç F là tập compact và u j £ v Ì

ò

lim sup
j® ¥

ò

(dd cu j )n £

(dd cu )n £

{u £ v }ÇF

{u j £ v}ÇF

ò

(dd cu )n .

{u £ v }

Do e > 0 tùy ý nên ta được

ò

( dd cv )n £

{u < v }

ò

( dd cu )n .

{u £ v }

Từ đó với mọi h > 0 ta có

ò

ò

( dd cv )n £

{u + h< v }

( dd c (u + h))n =

{u + h£ v }

ò

(dd cu )n .

{u + h£ v }

Nhưng

{u + h < v}Z {u < v} và {u + h £ v}Z {u < v}
khi h ]

0 . Do đó

ò

( dd cv )n £

{u < v }

ò

( dd cu )n .

W

{u < v }

Hệ quả 1.4.2. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u, v Î P SH(W) Ç L¥ (W) sao
cho u £ v và lim u (z ) = lim v(z ) = 0 . Khi đó
z® ¶W

z® ¶W

22

ò (dd v) £ ò (dd u )
c

n

( W)

c

n

.

( W)

Chứng minh. Từ nguyên lí cực đại suy ra u < 0 trên W (nếu ngược lại thì

u = v = 0 và kết luận là hiển nhiên). Khi đó nếu l > 1 thì l u < u trên W.
Vậy l u < v trên W. Từ đó

ò (dd v)
c

£

n

( W)

ò (dd l u )
c

= l

n

n

( W)

ò (dd u )
c

n

.

( W)

Cho l ] 1 ta được điều cần chứng minh.

W

Hệ quả 1.4.3. (Nguyên lý so sánh). Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và

u, v Î P SH(W) Ç L¥ (W)

sao

lim inf(u (z ) - v(z )) ³ 0 .

cho

z® ¶W

Giả

sử

(dd cu )n £ (dd cv)n trên W. Khi đó u £ v trên W.
Chứng minh. Đặt y (z ) = z

2

- M , với M được chọn đủ lớn sao cho y < 0

trên W. Giả sử {u < v } khác rỗng. Khi đó có e > 0 sao cho {u < v + ey }
khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Do Định lí 1.5.1 ta có

ò

{u < v + ey }

³

ò

(dd cu )n ³

ò

{u < v + ey }

ò

ò

(dd cv )n + en

{u < v + ey }

³

(dd c (v + ey ))n

(dd c y )n

{u < v + ey }

(dd cv )n + en 4n n !l n

({u < v + ey })

{u < v + ey }

>

ò

ò

(dd cv )n ³

{u < v + ey }

(dd cu )n

{u < v + ey }

và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy u £ v trên W.

23

W