Bài toán giá trị ban đầu đối với trường thế và trường thế suy rộng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (552.99 KB, 80 trang )
ÌÖ
Ò
ôÓ
Úñ ñÓ ØõÓ
õ
ô
Ó ñÒ
¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹
Ä
ØÖ
Ò
ñ ØÓôÒ
ô ØÖ
Ò
Ò Ø
Úñ ØÖ
Ò Ø
ÐÙ Ò ôÒ Ø Ò × ØÓôÒ
Àñ Æ
¹ ¾¼½¾
Ù
Ú
×ÙÝ Ö Ò
ôÓ
ÌÖ Ò
õ
Úñ
ñÓ ØõÓ
ô
Ó Àñ Ò
¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹
Ä
ØÖ
Ò
ñ ØÓôÒ
ô ØÖ
Ò
Ò Ø
Úñ ØÖ
Ò Ø
ÙÝ Ò Ò ñÒ
Åó ×
¾º
È
Ò
ØÖ Ò
Ù
Ú Ô
×ÙÝ Ö Ò
Ò Úñ Ø
Ô
º¼½º¼
ÐÙ Ò ôÒ Ø Ò × ØÓôÒ
Ì
Ú
Ô Ø
½º
¾º È
Ò
˺ ÌËÃÀº Ä
Ò
À Ò
˺ Ì˺ Æ ÙÝ Ò
Àñ Æ
¹ ¾¼½¾
Ó
Ë Ò
òÒ
Ä
Ò
Ò
Ä
Ñ ÓÒ
Ì
Ü Ò
Ñ
Ø
Ò
ÌËÃÀº Ä
ØÖÓÒ
Ó Ò
À
òÓ Ú
Ò
Ý Ðñ
Ë
Ò
Ò Ú
Ò
ØÖÓÒ
È
ØÖ Ò
Ò
Ø
˺Ì˺ Æ
Ò
Ò
ÙÝ Ò Ì
Ù
ØÖ Ò
ñÒ
Ø
º
ÒñÓ
Î Ò
ô
ô
º
ó
Ø ÕÙò
ô
ÐÙ Ò ôÒ Ðñ Ñ
Ø ÕÙò Ú
ô
Øô
ò
ÐÙ Ò ôÒº
Ìô
ò
Ä
Ò
Ø
Ò
ÙÒ
Úñ
Ú
˺
Ò
ũẹ ề
ỉ ềỉ
ĩề
ủí ỉ é ề
ỉ ề ì ìỳ
ậèậ ề ậ ề ủ ẩ ậèậ ặ í ề
ụ
ềỉ ề é
é
ềũề
ú
ề
ề ỉ
ỉệ
ề
ể
ề
ệ
ệ á
ậ éủ ỉ
ề
ề
ề
ễ
ã
ạẹ ạề
ỉệểề
è
ề
ýể ủ
ề
ề
í ề
ụ
ỉệểề ề
ể
ạẹ ạề
ừ
ừ
ụ
ề
ỉ
ụ
è
í
ề
ũểá
ề
ề
ề
ỉ ế ề
ụể
ề
ềạ
ề á ỉừể
á ề
ề
ề
ẹ ỉ
ỉệểề
ề
ụ
è
ề
ề
ề
ỉ
ề
ỉ ề ỉệểề
ậèậ ẽểé
é ấ ìì á
ủ ụể
ụể
ề
ụ
ĩ ạẹ ạề
ề ề
ỉụ
ề èỉì
ể
í
ủ
ề
á
ề
ỉừ
ừ
ỉệ ề
ụ
ụể ì á
ụ
ề
ề ỉ ủề
ũẹ ề
ụ
ĩ ạẹ ạề
ề ỉệ ề
ừể
ủẹ ệ ề
ì
ỉệ
ể ủ ặ
ì
ẫ
ề ề
ỉề
ỉệ ể
ỉệểề ễ
ậ èậ
ề
ừ ì
ụ
ễ ễ
ụ
ề
ề ễ ụễ ễ
ũ ỉ
ạ
ềá
ụẹ ề
ề ề ỳ
ẹề
ụ
ễ
è ề
ã
ỉ ễ ủ
é
ệ ịá
ạẹ ạề
ỉ
ĩề
ậ èậ ề ậ ềá
ã
éủ
ì ỉệ ỉé ềề ề
ề
ũề
ỉ ếũ ề ủí ề í è ụ
ỉ ủề
ề
ỉ
ỉệ
ậ èậ ặ í ề ẻ ề á
ừ
ủ ặ
ỉ
ễ
ề
ì
ỉệ
ẩ ậ èậ ặ í ề
ề è ũểá
ể ủ ặ
ỉ ĩ ề
ũẹ ề ì
ũể ỉ ề ỉ ề
ề ề
ễ
ế
ụ
ẩ ậ èậ
ề ẻ ề
ũ á ẩ ậ èậ èệ ề ẻ ề á ẩ ậ èậ è ề
ề ẫ á ẩ ậ èậ ặ í ề è ủề ẻ ềá ẩ ậ
èậ ủ è ề ặ ểừềá ẩ ậèậ ặ í ề è
ề á ẩ ậ èậ ặ í ề ề
ặ í ề
ề
ề
ề è ũể
ề
ễ èậ ặ í ề
ề ỉ ủề
ề
ũẹ
íè
ề ì
è ềá èậ èệ ề
ề
ề
ề
è ềá èậ ẩ
ặ ẹá ặ ậ è ậ ặ í ề ẫ
ề á ặ ậ è ậ
ặ
ủ
ụ
ừề ỉệ
è
ụ
ỉệểề ề
ĩ ề ỉệ ề ỉệ ề
ũẹ ề
ề
ẹề
ề
ụẹ
á ẻ ề
ề
ề
ề
ề
è ềá ẩ ậ èậ
ề è ủề á èậ
è ểủ á ặ ậ è ậ
ủể ỉừể ậ
ì
ừ
ề ề
è ề
ẩ
ụ
ề
ũể
ề è
ôÒ
Ò
Ò
Ì
Ù
Ø
Ü Ò
òÑ
Ò
Ò
ØÖ
Àñ Æ
ó ØõÓ
Ò
Ùº
Ò
Ù
Ñ Ò
Ò
ØÖ
¸
Ø
Ò
×Ù
Ø
Ò
À
Ø
Ý Úñ Î
Ù
ÑÙ
Ò
Ò ÌÓôÒ
Ò Ñ Ø
Ð
ô
ôÒ
Ò
Àñ Æ
Ò
Ò
Ò
ô
ôÒ
Ò
Ù
Ò Ø
Ò
Ú
Ø
Ø
òÒ
Úñ Ì Ò
Ò
Ó Ø
Ò
Ò
Ø
õݸ Ú
Ø Ò
Ø
¸ Ñ ¸
ó
òÑ Ø
ÓñÒ Ø
Ò
ñÝ Ò Ý¸ ØÖ
Ø
Ò × Ù ×ú
Ø
Ý Ù ÕÙ ¸ Ò
ÕÙ
ó ØõÓ
Ø
Ô Ø
Ø Ô¸
ÐÙ Ò ôÒ Òñݺ
Ù Ü Ô
ñÝ Ø
Úñ
ÓÒ
Ó
ñÒ
õÓ
Ò¸ Ø
Ò
ô
ÓñÒ Ø
Ò ÐóÒ
Ø Ðñ Ú
Ø Ò
Ò
ñÒ
Ò
Ò
Ò
Ù Ò Ð
¸
Ó
õ
ÌÓôÒ ¹ Ì Ò
ØÖÓÒ
¸ººº ØÖÓÒ
Úñ
ÐÙ Ò ôÒ Òñݺ
×
ô
Ó
Ø Ô Úñ
Ò
Ñ
Ò
½
Å
Ð
Å
Ù
Ò
¿
½º
½º½
½º¾
ô
ô
ò Ø
Ð
½¼
½º½º¾
ÀñÑ
Ò
ÕÙÝ Ò
ô ØÖ
Ã
¾º
Ò
ñ
Ô ØÓôÒ Ø
¾º¾
Ý
¾º¿
ò
Ò
¿º
Æ
Ò
Æ
Ñ
½¾
º º º º º º º º º º º º º º º
½¿
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½¿
Ò
ô ØÖ
Ð
Ò
ØÓôÒ Ø
Ò
Ø
Ð
Ò
Ñ
òÒ Úñ
Ø
Ò
¾
ñ
Ò
ØÖ Ò
Ú ¹Ø
ôÒ
õ ×
Ò Ð
Úñ
Ò
Ô
Ò
Üõ
Ó
ò
Ù Ú
Ò
Ð
Ø
Ò
ÓÖ
º º º º º º º º º º º º º º º º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ñ ØÓôÒ
Ò
Ò
ô ØÖ
Ò
Ù Ðñ Ú
Ø
Ù
º º º º º º º
Ø
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ù
Ó ØÖ
Ø
øÒ
Ø
Ë
Ñ
Ú
ØÖ
Ò
Ù Ðñ Ú
Ø
Ú
Ø
Ø
Ø
¾
¿
Ù
Ò
¾¾
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò
Ò
½
¿
ô ØÖ
Ô
½
º º
ØÓôÒ
Ò
½¿
¾½
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ô ØÖ
Ò
ô ØÖ ØÖÓÒ
Ù ØÖÓÒ
Ò ÙÝ Ò Ð
ñ ØÓôÒ
Ã Ø ÐÙ Ò
Ò
ô
ô
ØÓôÒ Ø
ØÓôÒ
¾º½
º º º º º º º º º º º º
Ò
ôÒ
ýÔ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò
Ø Ú Ò
½º¾º
¿º½
½¼
ÓÖ
ñ ØÓôÒ
½¼
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ð
½º¾º¿
Ò
ÓÖ
òÒ
õ ×
½º¾º¾
¾º
Ñ
½º½º½
½º¾º½
Ò
Ò
×ÙÝ Ö
Ò
½
Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾
¾
¿º¾
ôÒ
¿º¿
Ý
Ò
Ø
Ò Øõ
Ë
¿º
Ã Ø ÐÙ Ò
Ð
º
ÓÖ
ôÒ
º¿
ñ
Ð
Ò
ô
ØÓôÒ Ø
º¾
ô
Ò
Ñ
Ø
ñ
¿
ØÓôÒ
Ð
Ã Ø ÐÙ
Ò
Ð
ô
Ú
Ø
Ø
×ÙÝ Ö
Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ØÓôÒ
ô ØÖ
Ò
Ù
Ú
ô
Ú
Ø
Ø
×ÙÝ Ö
Ò
½
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ô ØÖ
Ò
Ù
Ú
ñÑ
Ò
ÕÙÝ ×ÙÝ Ö
Ò
ØÖÓÒ
ò
¿
Ø
ÓÖ
º½
º
Ú
ØÓôÒ Ø
¿º
Ò
Ìñ
ô ØÖÓÒ
Ú
ô ØÖÓÒ
Ù Ø
ÐÙ
ØÖ Ò
Ñ
Ú
ô ØÖ
Ã Ø ÐÙ Ò
Ò
Ò ×ÙÝ Ö
Ò
Úñ
ô
ñÑ
Ò
ÕÙÝ ×ÙÝ Ö
Ò
ØÖÓÒ
ò
Ø
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ØÓôÒ
Ò
Ô
Ò
Ò
ô
Ù Ú
ñÑ
Ù
Ò
Ò
ÕÙÝ ×ÙÝ Ö
Ò
Ù Ðñ
Ò
º º º º º º º º º º º º º º
ñÑ
Ò
ÕÙÝ ×ÙÝ Ö
Ò
¿
º º º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò ôÒ
Ð
Ò ÕÙ
òÓ
Ò
Ò ÐÙ
Ò ôÒ
¼
¾
¿
Å Ù
Ä
Ø
ÙÝ Ø
Ú
Ò
Ö
ñÑ
Ñ Ø
Ù ØÖ
Ù
Ò
ØÓôÒ
Ø
Ñ
Ø
Ò
Ò
Ññ
Ò
ñÑ
Ò
Ñ
Ø
Ò Ô
Ò Ø Ñ
Ò
Ò
ØÖÓÒ
Ò
Ø
Ù
Ø
Ò
Ò
Ò
٠غ Æ
Ø Ðñ Ò
Ò
Ò
ó
Ô
Ò Ø
õØ
ÓÒ
Ø Ò
Ô
ØÖÓÒ
Ð
Ñ
Ø
Ù
ÓñÒ
ô
Ð Ò
ÙÝ Ø Ô
ݹÊ
Ò
Ò
Ú
Ö Ø
ØÖ Ò
Ò
Ò Ø
Ò
Ò
Ò
Ò
ò
ò
Ù
Ö
Ò
Ò
ñÑ
ñÑ
Ò
Ô
ò
Ù
ݹÊ
Ø
Ù
Ò
Ò
Ò Ô
Ò
Ò
Ò
Ò Ñ ½
Ò
Ò
Ù
Ò
Ò
ô
Ð
Ù Ø
Ò
Ú
Ò
¿¼ ¹ ½
Ò
Ò
¿½¸
Ð
Ø
ØÖ Ò
Ô
Ó Ø
Ù Ø
Ù
(C − R)
Ò
Ó Ñ
Ò
Ò Ö
º ÅÓ × Ð Úñ ƺ Ì
Ò
Ù Ò
Ó
Ø
Ø
ñÑ
Ô Ø
ñÒ
Ø ÕÙÝ Øú
Üô
ÒòÝ × Ò
÷Ñ Ñ
Ñ
׸ Ñ
Ò
Ø
ØÓôÒ Ñ
ô
Ø Ò
òÒ À ÖØÓ
Ò
ñ
Ò
ñÑ
ñÑ
ÒñÓ
Ò
ñÝ
ñÒ
Ò
Ó
Ô Ú
Ó Ò
Ò
º Ì
u, v
ñÑ
Ñ ÒÒ × Ù
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) Ðñ
Ò
Ø
Ø
Ô Ð
Ñ ÒÒº
ó
Ò
Ù
Ðñ Ñ
Ñ ÒÒ ÒñÝ
Úñ
ÎñÓ Ò
ò
ÕÙÝ Ø Ò Ò
ݹÊ
Å
Ò
Ô
Ññ
Ù
Ô
Úñ òÓ
Ô
ô
õÓ
∂u ∂v
−
=0
∂x ∂y
∂u ∂v
+
=0
∂y ∂x
ô
Ô
Úñ
Ø Ø
Ø
Ö
Ò
Ò
Ø
Ò Ô
ñÑ Ò
Ñ
Ø
Ô
Ù
Ý
ñÑ Ø
Ø
Ò Ô
¸ ØÙÝ
ñÑ
Ø
ñÑ
Ðñ Ð
Ø
Ò
Ø
Ð
Ù
Ò
Ò
Ðñ
Ò
Óò ÑóÒ
Ò
Ò
ÙÝ Ø
Ðñ
º
ñÑ
Ò
Ò
Ò
Ð º
ÓÖ ×
Ù
ó Ñ
Ö
Ò
Ù
ݹÊ
Ñ ÒÒ
ĩ ỉ
éễ
ề
ỉ ừề ĩ ẹ ắẳá ắ à
u2 u3 u4
+
+
= 0,
x1 x2 x3
u1 u2 u3
+
= 0,
x3 x2 x1
ỉ
ỉ
ỉ
ủẹ
ề
ặ ẹ ẵ
ể ì é ủ ặ è
ề ỉệểề
ũ ỉ
ễ
ẻậ ẻ ềể ệ
ể éừ
ề
ấ ẹ ềề ỉệểề
ề
ề
ủ
ề ỉ
ỉ ề
ềẹ
ỉ
ẹ ì
ĩ ỉ
ụ
ì ì ễ
ỉệ ề
ề
ấ
é ề
é
ễ
ề
è
ụ
ề
ề
ể
ụ
ỉ
ề
ỉ ếũ ẻ
ẵàá
ạ á
ệỉ á ẵá
ệ
ĩ
ề ỉ
ẹ ỉ ì
ỉ
ề
ỉ
íạ
ừề
(V )
u1 u2 u3 u4
+
+
= 0.
x3 x4 x1 x2
ụ ề ẹ
ỉ
ỉệ ề
ỉ ếũ ỉ
ề ềủí
ủ ề ì
ỉ
ú
u = (u1 , u2 , u3 , u4 )
ề
ủẹ
ề
ĩ ỉ ẹ ỉ
ề
ì
ề
ẹ
ể ì é ắẳá ặ è
ạ á
á ậểẹẹ ề
ề
ệ ề
ề
ụ
á
ềá ề
ề
ỉ í ỉ
í
ề
ể ểệ ì
ắẳá ắ á ấ
ạ á
R4
ề ỉệểề
ỉệ ề
(M T )
ề í é ỉ í ỉ ềủí
ủề ễ ụỉ ỉệ ề ẹừề ẹ ủ
ề
ỉệ ề
u1 u2 u3 u4
+
+
= 0,
x2 x1 x4 x3
ề ỉ ề
ềề ềề
ỉé ễ
u1 u2 u3 u4
+
+
= 0,
x4 x3 x2 x1
ệ
ỉ ếũ ỉ
ể ểệ ì
ú ỉ
ẹ ỉ
R3 ề ề ỉ ểũ ẹúề
ề ỉệểề
u1 u2 u3 u4
+
+
+
= 0,
x1 x2 x3 x4
ể
ề
éủ
ề
ĩ ẹ
ẻậ ẻ ềể ệ
u = (u1 , u2 , u3 , u4 )
(M T ) ỉệểề
ề
(M T )
u1
u3 u4
+
= 0,
x
x
x
1
3
2
u4
u1 u2
+
= 0.
x2 x3
x1
é
ề ế ề
ỉ ệ ẵẳạẵắá
ểé ì
ẹ ỉ ẵ ạẵ á ấ ẩ
ò ×
A
Ðñ Ñ Ø
õ ×
e0 , e1 , ..., em º Ã
Ð
×
ÓÖ
× Ò
Ò
õ ×
Ð
Ò
A
ÓÖ
Rm+1
Ù
Ð
Ú
×
Ò
ØÖ
Ù Ò
Ðñ
{e0 , e1 , ..., em , e1 e2 , ..., em−1 em , ..., e1 e2 ....em }
Úñ
ô
×
Ø
ÑóÒ
ô
Ø Ò
Ø × Ù
½º
e2i = −e0 , ∀i = 1, 2, 3, ..., m.
¾º
ek e0 = e0 ek = ek ∀k.
¿º
ei ej + ej ei = 0 ∀i, j = 1, 2, 3, ..., m
Ó
Ò Ø
Ø
Úñ
i = j.
Ó
{e0 , e1 , ..., em , e1 e2 , ..., em−1 em , ..., e1 e2 ...em } = {eA }
Ú
A = (k1 , k2 , . . . , kt ).
ÌÙÝ Ò
Æ
Ò
e0
´
Ý
Ò
a ∈ A
Ú Ý Ú
Ø
eφ
Ù Ðñ
Ù
Ò
aA eA
a =
1µ
Ó
Ø Ù Ò Ø Ý Ðñ
Ú
aA ∈ Rº
Ø
a
Ã
õÒ
ØÖ Òº
Ðñ Ñ Ø
A
×
Ð
a=
ÓÖ º
È Ô Ò
aA eA , b =
A
Ò
ô
Ô
Ò Ø
A
Üô
Ò
Ø
Ó ÕÙÝ Øú
× Ù
a, b ∈ A ¸
bB eB
B
ab =
aA bB eA eB
A,B
ØÖÓÒ
eA eB = (−1)card(A∩B) (−1)p(A,B) eA△B
p(A, B) =
Ú
Ã
A
´Ô
µ Ã
Æ Ñ ½
Ð
ÓÖ
p(j, B)
j∈A
Ðñ Ñ Ø õ ×
m=2Ø
ØÖÓÒ
÷Ò
Ø
eA eB + eB eA = 0 Ø
ò
Ö
p(j, B) =
Ô¸
A ≡H
½℄¸ Øô
ô
Ý
Ó
Ðñ Ñ Ø
Ò
Ñ Ø
Ò
Ø
õ ×
Î Ò Ã ò
ò Ø
Ö
{i ∈ B|i < j}¸
ÓôÒ
Ò Ú
Ò
e0 º
A△B = (A\B)∪(B\A)º
Ã
m=1
Ø
A ≡C
ÉÙ Ø ÖÒ ÓÒº
ó Ñ
Ö Ò
Ù
ݹÊ
Ø Ðñ Ò Ù Ø Ò Øõ
ô
Ü Ý
Ò
Ñ Ø Ð Ô
ô
×
ñÑ
eA , eB
Ñ ÒÒ ØÖÓÒ
Ø
ô
Ø Ò
ò Ø
ÑóÒ
Ø Ø
Ò
Ù
Ò
Ø
ô
ủẹ
ề
ặ ẹẵ
ễ
ề ề
á ỉụ
ề ỉệểề
ũ ặ í ề
ề ỉệ ề ễ
ỉ
ặ
ề ỉ
ỉ ẹ
ụ
ú
ỉệểề
ề
ề ỉ
ỉá ỉệểề ỉ
ẹ ỉễ
ề
ề
ắ
ú
ệ
ỉí ề ỉ ề
ỉ ề ỉừ ẹ ỉ
ụ
ủẹ
ề
ỳề é ề
n ữề
ụ
ễ ễ
ề
ề ủ
ỉề
ũề
ề ỉ ề ếụỉ
ề
ề ủ
ề ừể ủẹ ệ ề ỉí ề ỉ ề
ễ ẹ ỉ
ỉ
ấ ẹ ềề ẹừề
ễ
ệ
ề
ề
ề ìề
ỉ
ụ
ủ ỉểụề
ẹ ỉ
ề ìí
ề
íạ
ề ỉ
ề
íạấ ẹ ềề í
ễ ẵ è
ềỉ
ề ỉệ ề ỉ ề
ề
ẹ ỉ
ề
íề
ụ ỉệ
ề
ụ
ềủí ỉệểề
ỉ ề
ụ
ừ ì
ề
ề ề
é
ểệ
ề ề
ụ
éủ ẹ ỉ ủ ỉểụề
ì
ề
ũể ìụỉ
ụ
ụ ỉệ
ỉ
ề
ề
ề
ẹ
u
= Lu
t
u(x, 0) = (x).
ặ
ề
ũ ếí ỉ
ề ềủể
ề
é ễ
ỉ
ắ
ủẹ
ỉ ỉệểề ề
ề
é
ũ ỉ
ềủí
ỉ
ủ ỉểụề ỉệ ề ỉệểề
ề
ệ ệữề
á ỉ
éủ
ỉ ếũ ế ề ỉ
éủ
ủ ỉểụề
ề
ụ
ì
ề ễ ũ ỉ
é ễ
ụ
ủẹ
éủ
ỉệ ề ì
ỉụ
ũ ú
ũ ỉ ề
ụ
ẹề
ề é ềủí ủ
ặ ẹẵ
ỉ
ề é
è ễỉ
ũ
ắ
ụề
ủ ẽ èỉì
ú
ề
é ỉ
ắ ú
ỉ ừề ỉ ề ếụỉ ỉệểề
é ề
ụ
ụ
ủẹ
ề
ũ
ề ề
ặ
ủẹ
ề ẹề
ũ ỉ
ỉ
ề
ỉ
ề
ể
ề
ệ
ụ
ỉ ỉ
ề
ụ
éủ
ỉ ỉ ềủí ẽ èỉì
ể é ễ ủẹ
ệ ẹ ỉ
ũ ỉ
ẹ ỉ
ễ ỉ ề ếụỉ
ề
ề
ẹ ỉỉề
ề
ề
ỉệ ề ẹ ỉ
ữề
ủ
ề é
ề ẹề ẹ
ẹể ắẵ ẹủ ỉệểề
ĩ ỉ ỉệểề
ũ ỉ
è ễ ỉ
ỉ ỉ
ề é
ể
ụ
ỉệ
ẹúề ẹ ỉ
íạể é ì
ễ ũ ỉ
é ễ
ỉẹề
ề
íạể é ì
ỉệểề
ề
ũ ỉ
ỉ
ẳạ á
ề
ụ ỉệ
ề
ề é
ủẹ ỉ
ụ ỉệểề ạ ềỉ ệ ểệ ìỉ ẹ ỉ ìà
ể
ề ìễ
ỉệ ề
ễ ệ ểễ ệ ỉểệìà
ề
ẹ ệ ề
íạể é ì
ủ ỉểụề
ề ỉ
ể ẽ èỉì
ạ ììể
ỉ
ề
ỉ
ụ ỉệ
ề ẹề
ề ề
ẽ ẽ éỉ ệ
éủ ỉ ề
ẹề
ề
ỉệ ề ỉ ủề
ẹ ỉ é ễ
ụ
ụ
ềễ
ề
ỉ ỉ
ú ẹ
ề
ụ
ủẹ
ỉệ ề
ễ ỉểụề ỉ é ề
ệ ề
ủ ỉểụề
ỉ
ụ ỉệ
ũ ỉ
ìí ệ ề ặ ẹ ắẳẳá ề ậ ề
ề
ề ủ
é ề
ỉ
ể ẹ ỉ ỉểụề ỉ ễ
ỉểụề ỉ
ề
íạấ ẹ ềề ặ
í
èệểề
ặ
ề ềủí
ề
ề
ề ẹ
ủề
ừ
ẹ
ì
ề
é
ểệ
ỉ
ỉ
ỉ ì
ỉệ
ỉụ
ề
ừề
ũ ề
ẽ èỉì
ỉ
é
ầ
ỉ ệ
ệ
ề
éủ
ề
éủ
ụ
ỉ
ểé ì
ề
é
ỉ
ụ
èệểề
éủ
ấ
ễ
é
ỉ
í ỉ ễ
i,j
ỉ
ề ỉừ
ủ
ấ
ề
ỉ ề
ề
ủ
ỉ
ề
x
ủể
ì
ỉ
ỉệ
ủ
ỉểụề
ụ ỉệ
ề
ẹ
á
ẳá
ủẹ
ề
ề
ề
ậ
ềá ặ
ú
ề
ũ
í ề
ếí ỉ
ỉệểề
ừ
ũề
ủ
ì
ề
ỉểụề
á
ụ ỉệ
ẫ ỉ ệề ểề ủ
ỉệ ề
ừể
ủẹ ệ
ề
ụ
ủẹ éủ ề
ẹ
ề ỉừ
ui
+
xj
ỉểụề ỉ
í ề
ỉ ề
ịì ìí ệ
ề
ủ
ỉ ỉểụề ỉ
ỉụ
ỉểụề
a2ij
ề ì ề
ấ
ủ
ề
ẻ
ỉ
á
ề
ỉểụề ềủí éủ ẹ
ỉ
éủẹ
ễ ỉ
ề
ề
ấ
ũ
ữề
ủẹ
ì
ề
ềủí ỉệểề
ịì ìí ệ
ề
ếí ỉ ủ
ui
+
xj
ề
ỉụ
ữề
ẹ ỉ
ỉ
ỉ ếũ ỉ
ẵ ỉụ
ắ
ụ
ề
á ỉ
ủ
ề
ỉ
ễ
ề
ề
ũ
ễ
ề
ỉểụề
ụ ỉệ
ề
ũ ẽèỉì
b2i ui + d2 ,
i
ịì ủ ì
ỉểụề
ũ ẽèỉì
ụ ỉệ
ũề
èệểề
ú
é
ệ
ừề
i,j
ẹ
ỉ
ẻ ề
b1i ui + d1 ,
ễ
ề
x R3
éủ
ụ
ỉ
L
i
ẹ
a, b
ỉ ỉ
ề
u + [u ì b] = 0,
u = u(t, x),
ề
ệểỉ
ề
ễ
u=0
ệểỉ
ề
ủ
ề
ụ
ỉ ề
u = 0,
ịì ìí ệ
íạể é ì
ẹ
ẹ
ệ
ủẹ
a1ij
ề
ỉ ề
á
ề
u + (a, u) = 0,
ẹ ề
ểệ
ề
Lu =
ỉ
ề
ỉ
ề
íạể é ì
é
ễ
ú
ỉệ ề éủ
ụ
ề
ễ
ụ
ề
ễ ẹủ
ịì
ỉ ẹ
a, b
ắạắ
ễ
ỉủ
í ề
ụ
ủ ẹ
ũ
ũ
ễ ỉ
ỉểụề ỉ
ấ
ụ
í
ụ
ỉụ
ỉ ì
è ề
ễỉ
í
ẻ ề ủ ẹ
ỉệểề
ỉệểề
ỉũ
íạể é ì
í ề è
ề
ú ẹ
ụ ỉệ
ỉệểề
ể ỉệ
ề
ẹ
ỉ
ụ
i,j
ề
ề
ề
ấ
ỉ
ề
ắá ẹ
ỉ
ụ
ui
+
xj
a3ij
ễ
ề
ề
ề
ịì ủ ấ
ề
i
ề
ỉểụề ỉ
ẹ ề
a = b = const
ỉ
b3i ui + d3
ủ ỉ
ịì ìí ệ
ì
ề
ề ỉ
ề
ỉ
ẹ ề
ễ
ề ỉừ
ữề
ểủề ỉ
ệ ỉ ề
ì
ề ì ề
ủ
ụ
í
ì
ề
ụ
ề
Ò
ØÖÓÒ
Ø
Ü Ø Ñ Ø ØÖ
Ø º Îñ
Ò
Ô
Å
Ò
Ø
Ø
Ö Ø Ò
Ò
Ò
Úñ
ô
Ú
Ø
ñÑ Ò
Ø
Ò
Ê
ô
ØÖÓÒ
Ò
Ø
ñÑ Ø
ô ØÖ
ÑóÒ
Ê
Ò
Ð
Ê
Ò
õ ×
×
Ò
ØÖ
Ò
Ú
Ø
ØÓôÒ Ø
Ê
Ò
Ù
Ê
Úñ Ð Ô
ô
Þ× Úñ Ê
Þ× ×ÙÝ Ö Ò
Ì
Ö
Ò
Î
Ù
Ò
ô
ôÒ
ñ ØÓôÒ
Ò
Ò
Ø ñÒ
Ñ
Ð
Ö Ò
Ð
ÓÖ
´
Ö Ò
Öó ØÖÓÒ
ººº
´
Ò
Ò
Ö Ò
Ð
Ò
Ð
Ð
Ò Ð
Ò
ÓÖ º
R3 º
Ì
ØÓôÒ Ø
Ú
Ò
Ò
ظ Øô
ô
Ñ
ØÖ Ò
D
Ò
Ò
Ò
Ð
Ø
Ô Ö
Ò
Ðñ ØÓôÒ Ø
Ðñ Ñ Ø ØÖ
Ò
Ö
Ô Ö
Ñ ÒÒ ØÖÓÒ
ò ÐÙ Ò ôÒ
Ø
Ð Ô
ô
Ö Ò
ó
ØÖÓÒ
Ù
ݹÊ
Ù
ݹ
ØÖ Ò ØÖÓÒ
ØÖÓÒ
Ö÷Ò
Ð
¾º¿º½ ¿º¿º½
Ò
Ð
Ý
Ò
Ò
ó Ñ
Ù
Ò
Ò
ôÒ
ò
Ø ´
Ð
Ð
Ò
ò Ø
Ö Ò
Ò
Ù
ݹÃÓÛ Ð Ú×
ô
Ô ØÓôÒ Ø
ô ØÖÓÒ
Ù
ݹÊ
Ð
Ù
Ò
Ó
Ø
Ó ØÓôÒ Ø
Ú
Ê
ò Ø
Þ× Úñ
Ð
ÓÖ º
º
Ò
Ð
º¿º½µ¸
Ñ Ø
Ð
Ñ ÒÒ ØÖÓÒ
¾º½º½
Ò
Ô Ô
Ò
Ù
Ý ¹ ÃÓÛ Ð Ú×
º¿º½µº Î
ô
Ò
Ö Ò
Ø Ð Ô
ô
Ò
¿º¾º½µ¸ ´
Ú
Ø
Ð
ÓÖ º
Ðñ
ô
Ú
Ø
Ðñ Ñ Ø ØÖ
ØÓôÒ Ø
Ù Úñ Ñ
ô ØÖ
Ö Ò
ÙÐ Ò
Ò
Ú Ô
ô
Ô ØÓôÒ Ø
Ù Úñ Ñ
Ò
Úñ Ø
Ø Ò
Ò
Ò
Ñ
Ó Ò
Ð
Ò
Ù
ØÖÓÒ
ñ ØÓôÒ
ô ØÖÓÒ
ô ØÖ
ò Ø
õÒ
Ò
Ó
Ü Ý
ôÔ
Úñ Ñ Ø
Ò
Du + Hu = 0
Þ× Ø
Ò
ô ÕÙôØ
ô
ó Ø ñÒ
ÐÙ Ò ôÒ
ò Ø
Þ× ×ÙÝ Ö Ò º
Ò
Ø
ò Ø
Þ× ×ÙÝ Ö Ò
Ò
Ê
ô ØÖ
ñÑ
Ô
Ø
Ò
ñ ØÓôÒ
Ö Ò
Þ× ×ÙÝ Ö Ò
Ø Ò Úñ Ô õÑ Ú Ò
ò Ò
Ù Úñ Ñ
Ê
Ø Ñ
ô
ÉÙ Ø ÖÒ ÓÒ
õÒ
ØÖÓÒ
Ê
Ô ØÓôÒ Ø
Þ× Úñ
ó Ò Ù ØÖ Ò¸ ØÖÓÒ
Ö Ò
Þ× Úñ
Ú
ÑóÒ Ñ Ø
Ù
ݹÃÓÛ Ð Ú×
Ìô
Ñ ÒÒ Ñ
Ñ
À Ò Ò
ò Ò
Ò
ÓÖ º ÄÙ Ò ôÒ
ÑóÒ
Ó Ñ Ø ØÖ
ô
ØÓôÒ
Ò
õ ×
ñÑ Ø
÷Ò
ñ
Úñ
ô
Ò
ÉÙ Ø ÖÒ ÓÒº
Ñ Ø Ð Ô
ÓÖ º
Ø
ô ØÖ ØÖÓÒ
ò Ø
Ð
Ø
ô ØÖ ØÖÓÒ
ñÑ Ò
ØÖÓÒ
Þ× ×ÙÝ Ö Ò
Ù
ݹÊ
ñÑ Ø
×ÙÝ Ö Ò
¹Ã
Ó
ô
Ð Ô
ô
Øô
ØÓôÒ Ø
Ò
Ù
Ó
ô
Ð Ô
Ù
Ø ÕÙò
Ò
Ù
ÐÙ Ò ôÒ
ÄÙ Ò ôÒ ÒñÝ Ò ÷Ñ Ò
ÃÓÛ Ð Ú×
Ô Ø
ô
Ò
Ó
Ò
Ð
¿º º½µ Úñ Ø
ÓñÒ
Ó ØÖ
ñ ØÓôÒ
¸
Ò
Ò
Ò
Ð
Ø ÙÝ Ø Ú
Ò
Ø
Úñ ØÖÓÒ
ô ØÖ
¸
Ø Ð Ô
Ò
Ú ØÐ ¸Ø
Ù
Ý
ỉ
é ề ụề
ề ụề ềủí
ề
ẹ
ẵ
ụ
ẫ ỉ ệề ểềá ễ
ề
ỉệ
ề
ề
ụ ề ẹ
ề ễ ụễ
ắ ặ
ấ ịì
ụ
ề
ề
ủẹ
éủ
ỉ
ỉ
ỉ
áỉ
ề
ễ ỉểụề ỉ é ề
ỉ ỉ
ỉ
ụề
ề
ỉệ
ỉ í ỉ ẻ
ệ
ỉ ủ ỉểụề
ỉểụề ỉ
ẹ í ề
ụ
ụ ỉệ
ề
ũ
ề
ũề
ủ ỉểụề
ẹủ
ệ
ụ ỉệ
é
ề
ề
ề
ề ủ
ũ
ũ ỉ
ụ ỉệ
é
ề
éủ ề
ẹ
ể
ễ ỉểụề ỉ
í ề
ểệ á
ỉ ủ ẹ
é ề
ệ ề
ề
ỉ
é
ề
ẹủ
ề
ề
ỉ ỉ
ỉệểề
ũ
ụ ỉệ
ề
ề
éủ ề
ẹ
ấ ịì
ìí ệ ề à ỉ í ỉ
ũ ỉ
ẫ ỉ ệề ểề ậ
ể ủ ỉểụề
ẹủ
íạấ ẹ ềề ỉệểề
ụ ỉệểề
ể é ễ
ụ
ủẹ ề
ề
ụ ề ẹ
ụ ỉệ
ề
ấ ịì ìí
ữề
ỉ ỉ
ỉệ
ề
ìí ệ ề
ề
ệ ề
ỉ
à
ề
ề
ỉ ỉ
ề
ủ ỉểụề
ìí ệ ề
ụ
ủẹ éủ ỉ ủề ễ
éủ ẹ ỉ ỉ
ụ ỉệ
ỉ
ỉệ
ẹ
ụ
ề
ỉệ ề
ủ ỉểụề
ề ặ
ể
ề
ủ ỉểụề
íạể é ì
ệ ề
ũềá
ỉệ ề ỉ
ề
ũ ỉ
ề
é
ề
ểệ
ề
ũẹ
éủ ề
ẹ
ề ẹề
ũể ủ ỉểụề
ẹ ỉ ừề
ỉề
ụ ỉệ
ề
ìí
ỉ ụề
ỉ
ỉ ếũ
ề
é ề ụề
ỉệ ề
ủí ỉệểề ẹ
ụ
ề ỉệ ề é ề ế ề
ề é ề
½¼
Ò ½
ô
ô Ò Ñ
òÒ
ÌÖÓÒ
Ò
Ò
ô
ÒñÝ ×
Ò Ø
ò
Ø
½º½º½
õ
×
Ð
ÓÖ
×
Ò
×
ØÖÓÒ
Ø
×
Ð
Ò
Ð
Ø
ò
ô
Ò
Ñ
ñ
ØÓôÒ
ô ØÖ
×
Ò
òÒ Ú
ò
Ò
Ø
Ð
Ù ØÖÓÒ
ÓÖ
Ò
Ò Ð
Ø
Ðñ
ÙÝ Ø
Ñ
ò Ú
Ø
ØÖ Ò
A
Ò
õ
ØõÓ
Ò
Ò
×
Ò
Ð Ø
Øô
ô
Ø
Rm+1
Ö Ø Ò
Ù
ò Ϻ ú
ô
Ò
×
Ò
Ð
Ò
ÓÖ
¸ Ðñ Ñ
º Ì
ØÖ
ØÖÓÒ
Ù
Ù Ò Ðñ
A
Ó
Ò Ø
Ðñ
Ø
Ó
{e0 , e1 , ..., em , e1 e2 , ..., em−1 em , ..., e1 e2 ...em } = {eA }
Ú
A = (k1 , k2 , . . . , kt )
Ø
Ò
Ò
غ
ÑóÒ
1 ≤ k1 < k2 < ... < kt ≤ n.
Ò
Ö
Ðñ
Ò
õ
ô
×
Ò
Ò
Ð
e0 , e1 , e2 , ..., em º
{e0 , e1 , ..., em , e1 e2 , ..., em−1 em , ..., e1 e2 ...em }.
¸ ÉÙ Ø ÖÒ ÓÒ
ÓÖ
Ò
Ð
ÓÖ
ô
ÓÖ
Ó
Ü Ý
õ
Ð
Ú Ø Ð
ñÝ Ú
Ò Ø
½º½
õ
ØÖ Ò
Ñ
ÓÖ
Ã
½½
ÌÙÝ Ò
À
Ò
Ò Ò
e0
Ý
Ò
dimA = 2m º
Ò Ø
a
Ã
´
Ù Ðñ
Ðñ Ñ Ø ×
a, b ∈ A ¸ a =
Øú
× Ù
Ø
Æ
Ð
eφ
a∈A
Ú Ý Ú
ÓÖ º È Ô Ò
aA eA , b =
A
1µ
Ó
Ø Ù Ò Ø Ý Ðñ
Ù
Ò
ô
Ô
Ò Ø
Ò
Ø
Ò
a=
aA eA Ú
A
Üô
Ò
A
õÒ
ØÖ Òº
aA ∈ Rº
Ø
Ó ÕÙÝ
bB eB
B
ab =
aA bB eA eB
A,B
ØÖÓÒ
eA eB = (−1)card(A∩B) (−1)p(A,B) eA△B
Ú
p(j, B)
p(A, B) =
p(j, B) =
Ý
Ö
{i ∈ B|i < j}¸
Ò
A△B = (A\B)∪(B\A)º
j∈A
ñÒ
Ò
Ø Ø
Ñ Ò
Ö÷Ò
Ô Ô Ò
Ò ÒñÝ
Ø
Ø
Ô Ò
Ò
Ò
Ó
ÓôÒº
½º
e2i = −e0 , ∀i = 1, 2, 3, ..., m
¾º
eA e0 = e0 eA = eA ∀A
¿º
ei ej + ej ei = 0 ∀i, j = 1, 2, 3, ..., m
ò ×
Ø Ò
eA = ek1 ek2 ...ekt º Ì
Ù
eA
Úñ
i = j.
Ðñ Ô
(−1)t ekt .....ek2 ek1 . À
Ò Ø
Ò Ò
Ò Ø
Ðñ Ñ Ø
õ ×
m=2
Ø
1
eA = (−1) 2 t(t+1) eA
ÌÖÓÒ
ØÖ
Ò
Ô
eA = e0
t = 0. À
Ø
Ò Ò
Ò Ðñ
e0 = e0 ,
ei = −ei ∀i = 1, 2, 3, ..., m
eA eA = eA eA = e0
a=
Î
aA eA
A
Ó
Ò
Ñ Ø
×
õ ×
Ø
a=
aA eA
Ðñ Ð
Ò
Ô
Ø
A ≡C
aº Î
Ý
A
Ø
Ô¸
A
ÓôÒ
Ò Ú
e0 º
ÉÙ Ø ÖÒ ÓÒº ÌÖÓÒ
õ ×
∀A.
Ú
ÉÙ Ø ÖÒ ÓÒ Ø
m=1
Ã
ØÖ
Ò
Ô ÒñÝ Ø
ÑóÒ ÕÙ Ò
H
´Ô
µ Ã
ô
×
Ðñ
A ≡H
e0 , e1 , e2 , e1 e2 º
e21 = e22 = (e1 e2 )2 = −e0 .
Ðñ
ô
½¾
½º½º¾
ÀñÑ
Ò
ÕÙÝ Ò
Ω ⊂ Rm º
ò ×
Ø ôÒ
Ò
ô ØÖ
ØÖÓÒ
õ
×
Ð
ÓÖ
Üõ
f :Ω→A
fA (x)eA
f (x) =
fA (x)
Ú
x ∈ Ω Ðñ
Ý
ñÑ ×
Ø
¸
Ðñ
Ð
ñÑ Ò
Ò
ô
A
ØÖ
ØÖÓÒ
ÚºÚºº Ø
õ
×
ô
Ø
ò
ô
Ò
Ð
ñÒ
Ô
Ù
Ü Ø ØÓôÒ Ø
Ú
ÓÖ
º À
Ò
Ò
Ô
Ò
Ò Ò
Ò
Ò
Ò Ðñ Ò Ù
fA (x)
Ù
ô
Ø Ò
Ù
ݹÊ
ô
Ø Ò
Ø
ñÑ Ò
ô
Ø Ò
Ø Ò
Ø
ØÖ
Ò
º Ì
ô ØÖ
ØÖÓÒ
õ
Ò Ø
¸
Ò Ò Ý
×
Ð
ò Ú ¸
ô
Øô
ÓÖ
Ø
Ò
∂
∂
∂
+ e2
+ ... + em
∂x1
∂x2
∂xm
Ñ ÒÒ
∂ ≡ e0
Ì
Ö
D ≡ e1
Ó
ØÓôÒ Ø
Ò
f (x)
ñÑ
∂
∂
∂
+ e1
+ ... + em
.
∂x0
∂x1
∂xm
m
∂2
= −D 2
∂x2i
e 0 ∆m =
i=1
Úñ
m+1
e0 ∆m+1 =
i=1
ÀñÑ
f (x) ∈ C 1 (Ω, A )
Ã
ñÑ
Ø
Ô
Ðñ Ñ
Ò
Ø Ñ
Ò
Ù
Ðñ
ÕÙÝ
ô
Ø Ò
ݸ ÚºÚºº Î
ØÖ
Ò ØÖÓÒ
R3
Ø Ø
Ò
Ø
Ò
Ô
ñÑ
∂2
= −∂ 2
2
∂xi
ÕÙÝ ØÖÓÒ
Ò
Ø
ñÑ Ò
f (x) Üô
Ò
Ñ
Ò
ΩÒ
ñÑ
Ò
Ò
ô ØÖ
ØÖÓÒ
Ò
ØÖÓÒ
ΩÒ
Ù Ø
∂f = 0
Ò
Ñ
Ø
Ò
ô ØÖ
3
fi (x)ei .
i=0
Ì
ÕÙÝ Øú
Ä
Ò Þ Ñ
Ö
Ò
Ò
× Ù
ò ×
Df = 0.
Ð
Ø
ÉÙ Ø ÖÒ ÓÒ Ø
õÒ
f (x) =
Ò Ô
Ó
f (x), g(x) ∈ C 1 (Ω, H)
D(f g) = (Df )g + f (Dg) + 2[Re(f D)]g
Ø
ØÖÓÒ
H
Ø
ÙÝ Ø
Ò Ù
Ω
Ú
Ø
½¿
Ú
3
f=
fi (x)ei .
i=0
½º¾
ñ
½º¾º½
Ø
ØÓôÒ
Ø Ú
ô ØÖ
Ò
Ù ØÖÓÒ
Ò
Ò Ð
Ò
Ø
Ò
ñ ØÓôÒ
ô ØÖ
Ò
Ù
∂t u = L t, x, u, ∂xj u
´½º½µ
u(0, x) = φ(x)
x = (x1 , . . . ., xn )
Ú
ØÖÓÒ
Ô
´½º½µ Ðñ Ñ Ø
Ò
ØÖ Ò
Ðñ Ñ Ø
ñÑ Ð
Ú ¹Ø
Ô
Ñ Ø Ù
Ò Ø
Ø
Ò
Ó
ô
Ò
Ò
Ò º
´½º¾µ
Rn ¸ t
Ðñ
Ò Ø
Ò Úñ Ú
ñ ØÓôÒ ´½º½µ Úñ ´½º¾µ Ø
Ò
L
Ô ò
Ò
Ú
Ò × Ù
t
L τ, x, u(τ, x), ∂xj u(τ, x) dτ
u (t, x) = φ (x) +
´½º¿µ
0
Îñ
Ó
Ò
Ñ
´½º½µ¸ ´½º¾µ
Ø
Üô
Ò
Ò
Ðñ
Ñ
Ø
Ò
ØÓôÒ Ø
t
L τ, x, u(τ, x), ∂xj u(τ, x) dτ
T : u → U (t, x) = φ (x) +
´½º µ
0
Î
Ò
Ô
Ò
Ò
Ò
ØÖ Ò
Ò
½º¾º¾
Ø
Ã
Úñ
Ò
Ä ÛÝ
´½º½µ
Ѻ Å Ø ×
Ø
Ø
Ø
Ò
ô
Ò
Ó
¾ ℄
Ò
Ò
Ω = x : x > 0, x ∈ R1
ó
ô ØÖ
Ö÷Ò
Ò
Ø
Ó
Ö
Ò
ØÖ
º
Ö
Ñ Úñ
Ò
Ù
ñ ØÓôÒ
Ò
ó
Ò
Ò
ñ ØÓôÒ
Ù
Ò
Ò
Ò
ñ ØÓôÒ
ô ØÖ
ÑóÒ
∂t u = −∂x u
Ô ò
L
ô ØÖ
Ò
Ù ´½º½µ · ´½º¾µ Ðñ Ú
Ó Ú
Ù ´½º½µ¸ ´½º¾µ Ðñ
Úñ
ñÑ Ú
Ò
Ô ò
ò
Ù
ØÓôÒ Ø
ò Ú Ú
´½º µ
õÒ Ññ
Ñ
º
Ò
òÒ × Ù Ì Ñ
u = u(t, x)
ẵ
1
x
u (0, x) =
ủẹ
ụ ỉệ
ỉểụề
ề
ụ ỉệ
ề ỉệểề
ề
ẹ
ẹủ ỉệ ề
ề
ề
ỉ
ể ì
ỉ
í
ẹ
ẹ
ẹ
ểũề
ữề
ẹ ỉ
à ặ
à
ụ
s
ỉ
ề
s
ỉ
x
ủề
éủ ẹ ỉ
ệữề
ề ặ
ề
ụ ỉệ
ề ề ề ỉệ ề
ỉ
á
s(x)
ì
ề
ề
ểũề
ỉ
ĩ í
ẹ
ề
ẹ
ẹ
ề
ừề
ỉ
éủ
ủ
ểũề
ề
ẵẵàá ẵắà ề
ủể
ỉ
ề
ỉ
ủề
ẹ
ề ề ề ềủíá
ỉ
ề
ề
ỉ
ễ ũ
ềủíá ĩ ỉ ẹ ỉ ễ ễ ỉ
ừề ỉệ ề
ểũ ẹúề
ụ
ẹ
ẹ
ặ
ề ì
s
x ẹủ x = x0
ẹ
ỉ
ủể
ề
ẹ ỉ
c1
ề
ỉ
ề
ề
ỉừ
ề ỉ
ề ẻ
s á 0 < s < s0 á ỉ
ẹ
ẹ
éủ ẹ ỉ ỉ ễ
ểề
ểẹễ
ỉ
í ề
ữề
x=0
ệ
xỉ
ẹ
ể ỉệ
à è ề ỉừ ẹ ỉ
ủ ỉểụề
ề
ểề
x0
ề ĩụ
ề
ẹ ỉ
ụ
ẹ
s < s
ẹ
ỉ
ẹ
1
xt
ẵ àà ỉ ề ỉừ ỉệ ề ẹ ỉ ẹ
ể
s
ỉừ
u (t, x) =
éủ
ề á ề
ỉểụề ỉ
ẹ ỉ
ỉ ề ỉừ ề
ặ
ẹ
é
ì ể
ể
ề
ề
s , s
ẹ
ỉ
s < s á
ỉ ểũ ẹúề
ểũề
ụ
ỉ
dist (s , s ) c1 (s s )
ỉ
s(x0 ) = 0á ĩ ỉ M
éủ ỉ ễ ì
M = {(t, x) : x , 0 t < (s0 s (x))}
ề
M
ể éủ
s0
ể
d (t, x) = s0 s (x)
éủ ẹ ỉ
ủẹ ỉệ ề
ủẹ ỉệ ề
M
ỉệểề
ề
ỉ
ì
ềủíá
ĩ í
ề
ì
ề
ề
ề
ề
ề
ỉ
ụ ỉệ
ề
ỉ
ề
xá ĩ ỉ B() éủ ẹ
à ỉệ ề ẹ ỉ ễ ứề
ì
ề
x
ề ìễà
ề
ũ ì
ề
ề
ỉệểề
ĩ ẹ ĩ ỉ
ề
ễ
ỉ
ề
ề
B()
M
ủẹ
ủ ỉệ
ỉ ỉ
ẵ à
ỉệ ề ẹ ỉ
u = u(t, x)
ễ
ề
ề
t
ụ
ề
éủ
ỉ ểũ ẹúề
ụ
ã
ụ
ủẹ ì
ụ
M
ề
ẹ
ậ
ề
ỉệ ề ẹ ỉ
ĩụ
ề
ỉệ ề ẹ
ề ề ề
ủẹ ĩụ
ề
ỉệ ề ẹ
ề
B() ỉệểề
ề ì
ỉệ
ề
ễ ỉ
ề
ề
M
ỉ
ề
ẵ
à ặ
ỉ
B( )
ỉ
ề
B( )á ủ
ỉ
ủể
ề
ề
ỉ
ụ
ủẹ ỉ
ủể
B( ) éủ
u
B( )
ề
ủ
ề
ỉ
ề
ễ ỉ
ũ ủể
ể
ề ểé
ủẹ
u B( )
u ủ
ệữề
ềỉ
c2 = 1
ỉ ểũ ẹúề
ệ
u
ỉ
ễ
B()
c2
éủ ỉ
B( )
sup |u| c2 u
ề
u
à
B( )á
ỉệểề
B()
= max sup |u|, sup
s á 0 < s < s0 á
éủ ẹ ỉ ỉ
ừề
Bs
ủ
ề ỉệ ề
Bs
M
ẹ ỉ ễ ứề
|u (x ) u (x )|
ì
x =x
|x x |
ẹ ỉ ẹ
ề
ã
éủ
t = t ỉệểề
ề
ề
ề
s ẻ
t, x
,
0<1
Rn
ú
ể ỉệểề
ẹ
ẹ
t < s0
ĩụ
ề á
B(s )
ể
ề
ể
(t, x) : t = t, s (x) < s
s = s0
ỉ
B (M) éủ ỉ
u(t, x)
à
à
é
u(t, x) ỉ
ỉ
ễ ỉ ỉ
ũ
ụ
ề ỉ
ỉệểề
ủể
ủẹ
ụ ỉệ ỉ
ẵ à
u = u(t, x) ỉ
à
ểũ ẹúề
ụ
ề ì
M
Bs(x)
t ĩụ
ẹ
ề
s(x) < s
ủ
s
ể
ề
ẵ à
à
ề
u
éủ
ừề
ề
ề
ẵ à
= sup
ẹ
ề
ẹ
u (t, ã)
(t,x)M
ề
ã
u (t, ã)
t
ề
s(x)
ề
B (M) éủ ẹ
ỉ
ề
ề
ề
d (t, x)
é
u
d (t, x)
t, x ỉệểề M
ẵắẵ
s(x)
ề
ẵ à
ì
ẵ à
ẵ
ề
ẹ ề
ẹ
ề ề ề
ẻ
ụ
ệữề
M
ẹ
ỉ
ứề
ỉ
M
ẹ
d (t, x) > 0 ĩụ
(t, x) ỉệểề M á
ề
ỉệểề
ề
ỉ ẹ ỉ
úí
í
u1 , u2 , . . . ..
s(x)
ã
ề
M
ẹ ỉ ỉ ễ
ểề
ẵắ à
ể
u (t, ã)
ề
1
u
ỉ
é
à
é ềá
M
ề
ề ỉ
ễ
ề
ẻ
u uà
ề
ẹ ỉ ỉ ễ
ểề
ủ
ề
ỉ
<
ẵ à
ể
u (t, ã) uà (t, ã)
ụ
M è
ẹ ỉệểề
s(x)
1
<
ẵẵẳà
ìí ệ
1
|u uà | c2
ụ
M
ẹ ỉệểề
u u (t, x)
M
ỉệểề
ừề ỉ
ủể
ẵ àá
ể
ẵắ
èểụề ỉ
ề ỉ
ỉ
ỉệũ é
ì
ề
ề
ũ ì
ề
éủ ẹ ỉ
úí
ỉ á
é
ẵẵẳà
í
ỉ
ạỉ
ễ
ụ
ề ềủể ỉ
ũ ì
ú ề
ệữề
ề
ỉ
ìỉ ẹ ỉ ìà
ễ ẹ ỉ
ữề
ì
ề
ỉ ẹ
ẹ
B( )
ễ
ệữề
ề
ủẹ
ỉệểề
ề
éủ
t = t ủ s(x) < sá
B()
u
ể
M á
ẹ
éủ
èệểề
ỉ
ứề
ủẹ
ỉ
ừề
ụ
ừể
ề
í ỉ
ủể
ũề
U = U (t, x)
ủẹ
ễ ẹ ỉ
ề
ề
ề
xj
ỉ ề ỉừ
B (M)
ỉ
ủể
ề
B (M )
ỉ
ỉệ ề
éủ ẹ
ề
ệ
u = u(t, x)
ụ
ềỉ ệ ểệ
éủ ẹ
ủẹ
B()
ủ
ỉ
ề
u = u(t, x)
ẵắắ
c3
ủẹ
ề
í
ề
ẹ ỉ
xj u
ỉệểề
u u
ề
ề
ệữề
dist( , ) ỉ
ụ ỉệểề
{un }
ể ỉ ề
ề
ĩụ
ề
ề
ụ
ụ
ỉểụề ỉ
ẵ à
ủ é
è
Bs(x)
à á
ụề
ỉ
ỉ
ủẹ
ề
ề
ểề ềủể
u B( )
xj u ỉ
ủể
c3
u
dist ( , )
ủể
ủẹ
í
éủ
ểũề
ụ
ủẹ ỉ
ẹúề
ề
ụề
B( ) ủ
ẵẵẵà
B( )
u ủ
ụ
ề
ễ
,
ẵ
ýễ
ề
é
s < s
ề
ềủí
ể ỉ
ừề
t, x éủ ẹ
ỉ
ỉ
s
xj u
s
ỉ
ẹ
á
ề
c3 1
u
c1 s s
ẵẵắà
s
M
t
>0
d (t, x) = s0 s (x)
ề
ỉ
ề
1
s = s (x) + d (t, x)
2
ậí ệ
s s (x) +
ủ
ể
ỉ ề ỉừ ẹ ỉ
ẹ
x
1
1
1
(s0 s (x)) = s (x) + s0 < s0
2
2
2
s(
x) = sá ề
x s
éủ
í ủể
é
ề
ẵ àá
ề
ỉ
í ủể ẵẵắàá
ề
ỉ
ễ
à
à
ỉ
L é
à
s(x)
ề
ỉ
2 u
u
=
d (t, x)
d (t, x)
1
c3
u
c1 s s (x)
L(t, x, u, xj u) ỉệểề
L = L (t, x, 0, 0)
á
ũ ì
ệữề
è
ễ
á
Lu ỉ
s
Luá ề
ẵẵà
ề
4
c3
u
c1 d2 (t, x)
ỉ
ễ ũ
ểũ ẹúề
ụ
éủ
é
ề
ẵẵà
ề
L
s éủ
ểũ ẹúề
ề
ủ
ề ễì
Lu Lv
s
L
ể
éủ
ề ì
ừề
ỉị
A0 u v
s
+
Aj xj u xj v
j
ỉ
ề
ề ỉ
ề
Lu ỉ
ễ ũ
s
xj u
è ẹ éừ á
u (t, ã)
è
ỉ
1
t
= d (t, x)
2
d (t, x) = s0 s (
x)
è
ề
s
ỉệểề
Lu
ỉệ
ề
éủẹ
ẵ
ậ
ề
ẵ à ủ ẵẵàá
Lu
s(x)
L
s(x)
ề ễì
+ A0 u
ỉị ụễ
ể
v = ìí ệ
Aj xj u
+
s(x)
ề
s(x)
j
L
L
ể
s0 d(t, x)
ề
1
4c3
+
d (t, x)
c1
1
+ A0 u
d (t, x)
s0
+ A0 u
d2 (t, x)
ề
ẵ à
j
s0
4c3
+
d2 (t, x)
c1
ủẹ ỉệ ề
t
Aj u
Aj u
j
d(t, x)
ì
1
2
d (t, x)
ề
ẵẵ à
1
d2 (t, x)
ề
1
d
<
d2 (, x)
d (t, x)
0
ủ
ể
t
Lud
0
( L
d (t, x)
s0
+ c4 u )
ẵẵ à
s(x)
c4 = s0 A0 +
é
ề
ẵẵ à
s(x)
ề
ề
4c3
c1
Aj
j
ề
t
( L
Lud
0
ề á
ề
ề
U
ũề
ệữề
ễ
+ ( L
ề ỉ
V (t, x) éủ ũề
ề
é
s0
Lu Lv
ề
s(x)
ề
0 < s < s0
sá
ẵ à
ề
ì
ụề
éủ
ề
ụ ế
ừề ủ
ủẹ
ễ ẹ ỉ ỉ ề ỉừ ủ é
ề ỉ
ẹ ề
éủ
ì
+ c4 u )
u(t, x) ủ v(t, x)
ỉ
+ c4 u )
ụ
ề
U (t, x) ĩụ
ẵắ è
ỉ
ỉ
ũ ì
s0
B (M)
ĩụ
A0 u v
ề
s(x)
ễ
+
ụ
ừể
ề
ỉệ ề
ẵ à è
Aj xj u xj v
ề
ỉ
ề
s(x)
j
A0 u v
A0 u v
4c3
1
+
d (t, x)
c1
s0
2
d (t, x)
+
4c3
c1
Aj u v
j
Aj u v
j
1
d2 (t, x)
1
d2 (t, x)
ỉ
ẵ
ậí ệ
t
t
Lvd
Lud
0
0
ề
ẵắ
è
é
ề
ì
U, V
ẵắ
ĩụ
ýễ
ề
ề
ề
ề
ẵắ ủ ẵắ
B (M) ỉ
ểũ ẹúề ỉ ề
ề
ề ề
ề
ề
ụ
é
ềủí éủ
ỉ ễ ỉ ỉ
ũ
ụ
ề
ỉệểề
ỉệ
ề
ề
c4 u v
ề
ỉ
ề ỉ
ề
ỉểụề
ễ
ụ ỉệ
ũ ỉ
u(t, x) B (M)
B (M)
ề
ỉ
ỉ
ỉ
ẹúề
ụ
í
ỉệ ề
ề
B (M) ẹủ ỉệ
ẹúề
ụ
í
ỉệ ề
u = 0
éé ễỉ
ề ẹừề
ề ẵẵẵà
ụ
ễ
ề
ễ
ẹ
ủẹ
ễ ẹ
ì
L ụề
ể ỉệ
á ề
ẵắ
ỉ
ỉ
L
ễ
ì
B (M)
ỉ ỉểụề ỉ
ỉ ỉểụề ỉ
ủể ỉ
ẹ
ể ỉ
ể
ề
ề
ễ
éủ
ụễ
ủể
ễ
ễ
ề
ề
ề
ỉ ễ
ũ
ề
ẹ ỉ
ụề
ễ ỉ
ủể t
ụ ỉệểề
ỉệểề
ề
ề í ề é
é
ể
ụ
ề
ẽ
ụề
ĩừ
ểá ỉểụề ỉ
ẹ
ệìỉệ ìì
ễ ẹ
ễ
ỉ ễ
ỉ
ỉ
ủể
ì
ỉ
ẵ à ễ ũ
t, x, u = u(t, x)
ủể
ụ
u = 0 ủể
ề
éủ
ề
ề
(Lu) = 0
ỉ ỉ
ề
ỉ
t}
ẹ
ì
L ủ
ỉệ ề
ĩụ
ũỉ
ề
ề
t
ề
ẹ ỉ
ề
ề
ề
ụ
ề
B (M)
ề
ểề
u = 0
ệữề
éé ễỉ
éủ ẹ
ề ề
éé ễỉ
ỉệ ề
éủ ẹ
ỉ
ề
ữề
éé ễỉ
á
ề
x uá
éủ
ề
ề
ề
ĩừ
ẹ ỉệ
ễ
ẵắ
ụ
ề
ỉệ ề
ề
ũ éủ ẹ ỉ ỉểụề ỉ
ĩừ
í ề
ề
ừể
ỉ
ề
éủ ụề
ễ
ệữề
ề
ụễ
B (M) = {u(t, x) B (M) : u(t, .) = 0
ề ề
v(t, x)
ủ
ễ ẹ ỉ
ỉệ ề
ề
ỉ
ễ ũ ỉ ẹ ẹ ỉ ỉ ễ
ểề
ỉ ễ
ễ
ủ
ề
ụ ỉệểề
ễ
ềủíá
ẹ
ũ
ụề
ỉ
ề ỉ ỉệểề
ĩừ
ể
ề
ỉ
ễ ũ
ề
ụề
(1.4)
ỉệểề
í ề é
s(x)
U V
c4 u v
d (t, x)
éủ ỉểụề ỉ
ễ
ề
ễ
ề
ễ ỉểụề ỉ
ẹ
t
ề
é
ĩụ
ủ
xj
ề
ỉ
ề
ắẳ
ề
ề
ẵắ
ỉ ììể
è
ỉ
ề
ề
é
ề ề
ẵắ á ỉểụề ỉ
á
ể
ẵắ
u = 0 ỉ
ề
ẹ
ễ
ề
u = 0
ỉệ ề
éủ
ề
ể
s0
ề é
ề
ẹ
ề
ìễ
à
ể ề
M
ề
é
ũì
ỉ
ì
ề ỉ
ề
L, éủ ẹ
ệữề
ểũ ẹúề
ễ
ề
ề
ề
ẹ ề
ỉ
ễ ỉểụề ỉ
ụề
ẵ à éủ
ể ề
ụ ỉệểề
é
ề
ỉ ề ề
ễ ẹ ỉ
á
ũ ì
ệữề
ủ ỉểụề
ụ
ề
ụ ỉệ
ề
ẹ
t u = Lu
u(0, .) =
éủ
ũ
ỉ ểũ ẹúề
ề
ỉ
ề
ểụ ẵẵà
é
ề
ỉ
á
ỉ
ỉ ẹ
ụ
ỉểụề ỉ
= 0
ỉ
ề ẻ
ề
éủ
ỉ
ề ậ
ữề
ỉệ
ề
L
ẹ
ề á ề
ừề
ỉ
ễ
ẹ ỉ
ề á
ẹ
ỳỉ
z
ề
é
ỉ
ề
ụ ỉệ
ể
ề
ề
ỉ
ề
ề
ề
ề
ỉ
s á ủ ỉệ
ể
ề
ì
èí ề
ề
é
ẵắ
ỉ ủề
ĩ í
ỉ
ề
á ẽ ẽ éỉ ệ
ề ì
ề
ỉ
ụ
ễ ỉểụề ỉ
á ỉểụề ỉ
é
ề
ề
é
ề
é
ỉ
á ề
u = u(t, x)
ẹ
ỉ
ề
ỉ éủ ỉ ề ỉừ ủ
ủẹ
éủ
L
ủẹ
ũ
ề
ễ
ề
ề
ề
ề
ề
ễ
ể
ỉ
ề
ỉ ểũ ẹúề
íạể é ì í
ủẹ
ụ ỉệ
ẹ ềề ặ
ề
ề
ẹể éủ
íạể é ì í
ề
ỉệểề
ề
ỉệ ề
ỉệ ề
íạể é ì í
ủẹ
ỉ ỉ
ừề ẹ
ỉ
ú
ụ
á
ủ ỉểụề
ủ ỉểụề
ể ỉệ
ề á ủ
ũ
ú
ề
ụ ỉệ
ề
ề
ì èệ
ủ ỉểụề
ề ẵà
ề
ể
ề ề
ễ
d (t, z)
ề
ũể ỉểủề
ể ễ
íạấ
ũỉ
éỉ ệ
é ỉ
u = 0 éủ
ề
d(t, z)
ẽ ẽ
ụ
d (t, z) = d (z)
ề ề
ề ề
ũ ề ề
L
ề
ề
ề
ể
ề ềủíá ẽ ẽ éỉ ệ
ề
ề
ụễ
ừề
ĩừ
ể ỉệểề
= 0
ề
ĩ ẹ ề
éủ
ề
ề
ểề
ỉ
ủẹ
ỉ éừ
ề
t
ẹ
ủ ỉểụề
ề
ụ
ề
ụề
ểũ ẹúề
ỉ
ì ể
ể
ụ
ẹ
d(x)
ẵắ
ề
ễ
ẹ ỉ
u = 0
ề ì
ề í ề é
ỉ
ễ ũ ỉ ẹ ỉểụề ỉ
ũ
ỉểụề ỉ
ề
ề
ề
ỉệ
u(t, .) = 0
ề
ệữề
ề
ề
t èệểề
ẹ
ề
ểũề
ề
ề
ụ
z
ữề
é
ì
t
ẹ ỉ ỉệ ề
ỉệ ề
ủ ỉểụề
ụ ỉệ
> 0
ì á ỉệểề
ừ ì èệểề
ề
éủ
ỉệ
ũ
ề
ễ
ẻ
éủ
