De thi vao chuyen lam son thanh hoa cac nam

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2007-2008

MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang
Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2007
Bài 1: (1,5 điểm)

3xy = 2 ( x+y )

Giải hệ phương trình: 5xy = 6 ( y+z ) .

4xz = 3 ( x+z )
Bài 2: (2,0 điểm)
Đội bóng bàn của trường A thi đấu với đội bóng bàn của trường B, mỗi
đấu thủ của trường A thi đấu với mỗi đấu thủ của trường B một trận.
Biết rằng: Tổng số trận đấu bằng 4 lần cầu thủ, số cầu thủ của trường B
là số lẻ. Tính số cầu thủ của mỗi đội.
Bài 3: (3,0 điểm) Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn tâm O. C là
điểm chính giữa cung AB, M là một điểm trên đoạn AB. Tia CM cắt đường
tròn (O) tại D. Chứng minh rằng:
a. AC2 = CM.CD
b. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc đường tròn

côc định.
c. Gọi R1 , R2 theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp hai
tam giác ADM và BDM. Chứng minh R1 + R2 không đổi.
Bài 4: (2 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho : A(0; 3), B(4; 0), C(5; 3/4) cùng với
O(0; 0) tạo thành tứ giác AOBC. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua
A, chia tứ giác AOBC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 5: ( 1,5 điểm)

Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn

a
b
c
+ + = 3.
b
c
a

Chứng minh rằng tích abc là lập phương của một số nguyên.
-------------------------------- Hết -------------------------------


SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2008-2009

MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang
Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008
Câu 1: (1,5 điểm)
Cho phương trình : 4x2 + 2 x - 2 = 0
(1)
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm trái
dấu.
2. Gọi x1 là nghiệm dương của phương trình (1). Chứng minh
rằng:

x1 + 1

x14 + x1 + 1 - x12

= 2

(

)

a x 2 + y 2 + x + y = b

Câu 2: (2,0 điểm) Cho hệ phương trình: 

 y - x = b

1. Giải hệ khi a = 1, b=2.
2. Tìm a sao cho hệ có nghiệm với mọi giá trị của b.
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho phương trình: (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m. (2)
Tìm m sao cho phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả
mãn:

1
1
1
1
+
+
+
= -4.
x1
x2
x3
x4

Câu 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm, K là chân đường
cao hạ từ A của tam giác ABC. Hai trung tuyến AM và HN của tam giác
AHC cắt nhau tại I. Hai đường trung trực của các đoạn thẳng AC và HC cắt
nhau tại J.
1. Chứng minh rằng tam giác AHB và tam giác MNJ đồng dạng
2. Chứng minmh rằng: KH.KA ≤

BC2

4

IM 2 + IJ 2 + IN 2
3. Tính tỉ số
.
IA 2 + IB2 + IH 2
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x4 + y4 – 7 = xy(3 - 2xy). Tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tích xy.
-------------------------------- Hết -------------------------------


SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2008-2009
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang
Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008

Đề chính thức

`

Câu 1: (2,0 điểm)

1
1
+
,
1 + 2a + 1 1 - 2a + 1
49
13
a
7
=
biết rằng:
và
2 =
( z - y ) ( 2x + y + z )
x+y
x+z
( x + z)
Tính giá trị của biểu thức M =

Câu 2: (2,0 điểm)

a + b + c > 0

Cho các số thực a, b, c thoả mãn ab + bc + ca > 0 .
abc > 0

Chứng minh rằng cả ba số đều dương.
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt nằm

trên các cạnh AB và AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2. Tính góc
MCN.
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Điểm D di động trên cạnh AC, điểm E di
động trên tia đối của tia CB sao cho AD.BE = a2 . Các đường thẳng AE và
BD cắt nhau tại M. Chứng minh: MA + MC = MB.
Câu 5: (2,0 điểm)
Giả xử x, y là các số nguyên dương sao cho x2 + y2 + 6 chia hết cho xy.
Tìm thương của phép chia x2 + y2 + 6 cho xy.
-------------------------------- Hết -------------------------------


SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2009-2010
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009

2x 2 + 4
1
1
Câu 1: (2,0 điểm) Cho T =

.
2
1-x
1+ x 1- x
1. Tìm điều kiện của x để T xác định. Rút gọn T.
2. Tìm giá trị lớn nhất của T.

 2x 2 - xy = 1
Câu 2: (2,0 điểm)1. Giải hệ phương trình:  2
.
2
 4x + 4xy - y = 7
2. Giải phương trình:

x-2 +

y + 2009 +

z - 2010 =

1
( x + y + z)
2

Câu 3: (2,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên a để phương trình: x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 0 có
nghiệm nguyên. Hãy tìm các nghiệm nguyên đó.

a ≤ 0


2. Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện:  b ≥ 0
.
19a + 6b + 9c = 12


Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phưông trình sau có nghiệm
x2 – 2(a + 1)x + a2 + 6abc + 1 = 0
x2 – 2(b + 1)x + b2 + 19abc + 1 = 0
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam gi ác ABC c ó ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tòn tâm O
đường kính AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên
cung BC không chứa điểm A.
1. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình chứ nhật.
2. Gọi P và Q lần lượt là các diểm đối xứng của E qua các đường
thẳng AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
3. Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn nhất.
Câu 5: (1,0 điểm)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng
minh
rằng2 với mọi
số thực2 x, y, z2ta luôn2có :
2
2

x
y
z
2x + 2y + 2z
+ 2 + 2 >
.

2
a
b
c
a 2 + b2 + c2

--------------------------- Hết -------------------------------

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2009-2010
MÔN: TOÁN


(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
2
1. Cho số x ( x ∈ R ; x > 0 ) thoả mãn điều kiện : x +
3

1

5

1

1
= 7 . Tính
x2

giá trị các biểu thức : A = x + 3 và B = x + 5 .
x
x
 1
1
+ 2= 2

y
 x

2. Giải hệ phương trình:  1
1
+ 2= 2
 y
x

Câu 2: (2,0 điểm)
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thoả
mãn điều kiện: 0 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Q=

2a 2 - 3ab + b 2
.
2a 2 - ab + ac

Câu 3: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:

x-2 +

y + 2009 +

z - 2010 =

1
( x + y + z) .
2

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 cũng là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm)
1. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường
thẳng đi qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là
giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK ⊥ BN.
2. Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 .
Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một
góc xOy có số đo bằng 450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy
cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng 2 2 - 2 ≤ DE < 1 .
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , trong đó ad – bc = 1.
Chứng minh rằng: P ≥ 3 .
--------------------------- Hết ------------------------------SỞ GD & ĐT

THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2003-2004
THI MÔN TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27 tháng 6 năm 2003


Bài 1. (2 điểm)
Cho A =

x2 + x x - x x + x

x

a, Hãy rút gọn biểu thức A
x - 2 + 1.
b, Tìm x thoả mãn A =
Bài 2. (2 điểm)
Cho phương trình: x2 - 4( m – 1 )x + 4m – 5 = 0. (1)
a, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
x12 + x 22 = 2m .
b, Tìm m để P = x12 + x 22 + x1x 2 có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn O và đường kính DE vuông

góc với BC. Gọi D1E1 và D2E2 là hình chiếu vuông góc của DE trên AB và AC.
1. Chứng minh BE1 = E2C = AD1; D1E1 = AC và D2E2 = AB.
2. Các tứ giác AD1DD2 ; AE1EE2 nội tiếp trong một đường tròn và
D1D2 vuông góc với E1E2.
Bài 4. (2 điểm)
Cho hình chopSABC có SA ⊥ AB; SA ⊥ AC; BA ⊥ BC; BA = BC; AC
= a 2 ; SA = 2a.
a, Chứng minh BC ⊥ mp(SAB)
b, Tính diện tích toàn phần của chóp SABC.
Bài 5. (1,5 điểm)
Cho các số thực a1; a2; ….; a2003 thoả mãn: a1 + a2 + …+ a2003 = 1.
2
2
2
Chứng minh: a1 + a 2 + ... + a 2003 ≥

1
.
2003

--------------------------- Hết -------------------------------

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2003-2004
MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------------------------------------


Bài 1. (2 điểm)
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 2x2 + 2mx + m2 – 2 = 0.

1
1
+
+ x1 + x 2 = 1 .
x1
x2
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2x 2 x 2 + x1 + x 2 - 4 .
1. Với giá trị nào của m thì:

Bài 2. (1,5 điểm)
Giải phương trình: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 120.
Bài 3. (2 điểm)

 x y + y x = 6

Giải hệ phương trình: 

2

2
 x y + y x = 20

.

Bài 4. (3,5 điểm)
Cho M là điểm thay đổi trên đường tròn (O), đường kính AB. Đường tròn
(E) tâm E tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M và AB tại N. Đường thẳng
MA, MB cắt đường tròn (E) tại các điểm thứ hai C và D khác M.
1. Chứng minh CD song song với AB.
2. Gọi giao điểm của MN với đường tròn (O) là K (K khác M).
Chứng minh rằng khi M thay đổi thì điểm K cố định và tích
KM.KN không đổi.
3. Gọi giao điểm của CN với KB là C và giao điểm của DN với KA
là D. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NCD nhỏ nhất.
Bài 5. (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2x 2 + 2x + 1+ 2x 2 - 4x + 4
.
--------------------------- Hết -------------------------------

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2004-2005
MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


----------------------------------------Bài 1. (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + 17 = 0. Biết hai phương
trình có nghiệm chung và a + b nhỏ nhấ. Tìm a và b.
Bài 2. (2 điểm)
Giải phương trình: x + x - 5 + x + x 2 - 5x = 20 .
Bài 3. (2,5 điểm)

 x 3 + y3 = 1
1. Giải hệ phương trình:  7
.
7
4
4
 x + y = x + y
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21.
Bài 4. (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O. M là điểm chính
giữa cung BC không chứa điểm A. Gọi M là điểm đối xứng với M qua O. Các
đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM
lần lượt tại E và F.
1. Chứng minh tứ giác BCÈ nội tiếp được trong đường tròn.
2. Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM.
Bài 5. (2 điểm)
1. Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện :
0 ≤ a ≤ 3,

và
a
+
b
=
11.
Tìm
giá
trị
lớn
nhất
của
tích P = ab.
8 ≤ b ≤ 11
2. Trong mặt phẳng (P) cho ba tia chung gốc và phân biệt Ox, Oy, Oz.
·
Tio Ot không thuộc (P) và ·xOt = ·yOt = xOt
. Chứng minh Ot vuông góc
với mặt phẳng (P).
--------------------------- Hết -------------------------------

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2004-2005

MÔN: TOÁN CHUNG
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------------------------------------


Bài 1. (2 điểm)
1. Giải phương trình: 7 - x = x - 1
2. Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) luôn có hai
nghiệm phân biệt. Biết rằng 5a – b + 2c = 0.
Bài 2. (2,5 điểm)

 x + y-2 = 2

Cho hệ phương trình: 

 2x - y = m

(m là tham số)

1. Giải hệ phương trình với m = -1.
2. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 3. (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộccạnh AB (M khác A và B). Tia CM
cắt tia DA tại N. BVẽ tia Cx vuông góc với CM và cắt tia AB tại E. Gọi H là
trung điểm của đoạn NE.
1. Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong đường tròn.
2. Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích
hình vuông ABCD.
3. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính
các đường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không

đổi.
Bài 4. (1,5 điểm)
Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
1. Chứng minh MN vuông góc với AB và CD.
2. Với giá trị nào của x thì thể tích hình chóp A.BCD lớn nhất.
Bài 5. (1 điểm)
Cho các số dương a, b, c thay đổi và thoả mãn: a + b + c = 4.
Chứng minh: a + b + b + c + c + a > 4 .
--------------------------- Hết -------------------------------

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2005-2006
MÔN: TOÁN

(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp)


Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
----------------------------------------Bài 1: (2 điểm)
Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + m – 6 = 0.
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
2. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để: 3x1 + 2x2 = 5.

Bài 2: (1,5 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thoả mãn điều kiện: 2x2 – 6y2 = xy. Tính giá trị
của biểu thức: A =

x-y
.
3x + 2y

Bài 3: (2 điểm)

1
1 9

x + x + y + y = 2

Giải hệ phương trình: 
.
 x 2 + 1 + y 2 + 1 = 25

x2
y2
4
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và P là điểm di động trên đường
tròn (P ≠ A) sao cho PA ≤ PB. Trên tia đối PB lấy điểm Q sao cho PQ = PA,
dựng hình vuông APQR. Tia PR cắt đường tròn đã cho ở điểm C (C ≠ P).
1. Chứng minh C là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AQB.
2. Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp ∆ APB, chứng minh K thuộc
đường tròn ngoại tiếp ∆ AQB.
3. Kẻ đường cao PH của ∆ APB, gọi R1, R2, R3 lần lượt là bán kính

các đường tròn nội tiếp ∆ APB, ∆ APH và ∆ BPH. Tìm vị trí
điểm P để tổng R1 + R2 + R3 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: (1 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 3.
Chứng minh rằng a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 .
--------------------------- Hết -------------------------------

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2005-2006
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


----------------------------------------Bài 1: (1,5 điểm)



x2 - 1
1  4 1 - x 4 
÷ x +
÷.
4

2
2
1 + x2 
 x - x + 1 x + 1 

Cho biểu thức: M = 

1. Rút gọn M.
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 2: (2 điểm)

 xy 2 - 4y + x = 0
Giải hệ phương trình:  2 4
.
2
2
 x y - 8y + x = 0
Bài 3: (2,0 điểm)
1. Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x2 + 5y2 – 4xy – x + 2y
– 6 = 0. Chứng minh: −1 ≤ x - 2y + 1 ≤ 4 .
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y3 – x3 = 2x + 1.
Bài 4: (3,5 điểm)
1. Cho ∆ ABC có diện tích là 32 cm2, tổng độ dài hai cạnh AB và
BC bằng 16 cm. Tính độ dài cạnh AC.
2. Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC) có đường cao AM và trung
tuyến BO. Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia BO tại
điểm D. Gọi các điểm N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
lên các đường thẳng BD, CD.
a. Chứng minh: NA2 = NP.NM
b. Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp được trong một

đường tròn.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện:

 x 2 + y 2 + z 2 = 4 xyz

 x + y + z = 2 xyz
--------------------------- Hết -------------------------------

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2005-2006
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)


Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
----------------------------------------Bài 1: (2,5 điểm)
1. Cho biểu thức P(x) = x 2 +12x + 12 - 3x. Gọi x1 , x2 là các
nghiểm của phương trình x2 – x – 1 = 0. Chứng minh:

P( x1 ) = P( x 2 ) .
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x2 + 14 y2 + 13xy = 330.
Bài 2: (2,0 điểm)

 x 2 + y 2 + 2xy = 8 2
Giải hệ phương trình: 
 x + y = 4
Bài 3: (2,0 điểm)
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y=

x2 + x + 1 +

x2 - x + 1 .

2. Cho ba số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thoả mãn điều kiện:

1
1 1
+ + = 1 . Chứng minh rằng: ( x-2 ) ( y-2 ) ( z-2 ) ≤ 1 .
x
y z

Dấu " = " xảy ra khi nào?
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB,
BC. CA lần lượt tại các điểm M, N, P.
1. Xét trường hợp AB < AC, gọi D là giao điểm của các tia AO và
MN. Chứng minh AD ⊥ DC.
2. Gọi (T) là tam giác có các đỉnh là M, N, P, Giả sử (T) đồng dạng
với tam giác ABC theo tỉ số k. Tính k?
Bài 5: (1,5 điểm)

Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD. Tiếp tuyến (d1) với đường
tròn cắt các cạnh AB, AD lần lượt tại các điểm M, P. Tiếp tuyến (d 2) với đường
tròn cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại các diểm N, Q. Chứng minh MN // PQ.
--------------------------- Hết -------------------------------

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2007-2008
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)


Đề thi có 01 trang

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: … tháng 6 năm 2007

Bài 1: (1,5 điểm)

3xy = 2 ( x+y )

Giải hệ phương trình: 5xy = 6 ( y+z ) .

 4xz = 3 ( x+z )

Bài 2: (2,0 điểm)
Đội bóng bàn của trường A thi đấu với đội bóng bàn của trường B, mỗi
đấu thủ của trường A thi đấu với mỗi đấu thủ của trường B một trận.
Biết rằng: Tổng số trận đấu bằng 4 lần cầu thủ, số cầu thủ của trường B
là số lẻ. Tính số cầu thủ của mỗi đội.
Bài 3: (3,0 điểm) Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn tâm O. C là
điểm chính giữa cung AB, M là một điểm trên đoạn AB. Tia CM cắt đường
tròn (O) tại D. Chứng minh rằng:
d. AC2 = CM.CD
e. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc đường tròn
côc định.
f. Gọi R1 , R2 theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp hai
tam giác ADM và BDM. Chứng minh R1 + R2 không đổi.
Bài 4: (2 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho : A(0; 3), B(4; 0), C(5; 3/4) cùng với
O(0; 0) tạo thành tứ giác AOBC. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua
A, chia tứ giác AOBC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 5: ( 1,5 điểm)
Cho a, b, c là các số nguyên khác 0 thoả mãn

a
b
c
+ + = 3.
b
c
a

Chứng minh rằng tích abc là lập phương của một số nguyên.
--------------------------- Hết -------------------------------

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2008-2009
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)


Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang
Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008
Câu 1: (1,5 điểm)
Cho phương trình : 4x2 + 2 x - 2 = 0
(1)
1.Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm trái dấu.
2. Gọi x1 là nghiệm dương của phương trình (1). Chứng minh rằng:

x1 + 1

= 2

x14 + x1 + 1 - x12
Câu 2: (2,0 điểm)

(

)

a x 2 + y 2 + x + y = b

Cho hệ phương trình: 

 y - x = b

1. Giải hệ khi a = 1, b=2.
2. Tìm a sao cho hệ có nghiệm với mọi giá trị của b.
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho phương trình: (x2 - 1)(x + 3)(x + 5) = m. (2)
Tìm m sao cho phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả
1

1

1

1

mãn: x + x + x + x = - 4 .
1
2
3
4
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm, K là chân đường

cao hạ từ A của tam giác ABC. Hai trung tuyến AM và HN của tam giác
AHC cắt nhau tại I. Hai đường trung trực của các đoạn thẳng AC và HC cắt
nhau tại J.
1. Chứng minh rằng tam giác AHB và tam giác MNJ đồng dạng
2. Chứng minmh rằng: KH.KA ≤
3. Tính tỉ số

BC2
4

IM 2 + IJ 2 + IN 2
.
IA 2 + IB2 + IH 2

Câu 5: (1,0 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x4 + y4 – 7 = xy(3 - 2xy). Tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tích xy.
--------------------------- Hết ------------------------------SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2008-2009
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Đề thi có 01 trang

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 16 tháng 6 năm 2008

Câu 1: (2,0 điểm)

1
1
+
,
1 + 2a + 1 1 - 2a + 1
49
13
a
7
=
biết rằng:
và
2 =
( z - y ) ( 2x + y + z )
x+y
x+z
( x + z)
Tính giá trị của biểu thức M =

Câu 2: (2,0 điểm)

a + b + c > 0


Cho các số thực a, b, c thoả mãn ab + bc + ca > 0 .
abc > 0

Chứng minh rằng cả ba số đều dương.
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt nằm
trên các cạnh AB và AD sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2. Tính góc
MCN.
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Điểm D di động trên cạnh AC, điểm E di
động trên tia đối của tia CB sao cho AD.BE = a2 . Các đường thẳng AE và
BD cắt nhau tại M. Chứng minh: MA + MC = MB.
Câu 5: (2,0 điểm)
Giả xử x, y là các số nguyên dương sao cho x2 + y2 + 6 chia hết cho xy.
Tìm thương của phép chia x2 + y2 + 6 cho xy.
--------------------------- Hết -------------------------------

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ

Đề chính thức

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC: 2006-2007
MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao )

Bài 1 (2đ): Cho biểu thức:
4a 2
10a + 2
2a + 20
+
+
A=
(a + 1)(a + 2) ( a + 1)(a + 3) (a + 2)(a + 3)
1.Tìm điều kiện của a để B có nghĩa.
2. Rút gọn biểu thức A.
Bài 2 (2đ):Cho phơng trình bậc hai: x2 -4x + m = 0
1. Giải phơng trình khi m =-60.
2. Xác định các giá trị của m sao cho phơng
trình có hai nghiệm x1, x2 (x1x22 - x12 = 8.
Bài 3 (2đ ) :
x + m 2 y = 3
Cho hệ phơng trình: 2
x + y 2 = 2
1. Giải hệ phơng trình khi m = 2
2. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm (x0,
y0) sao cho y0=1.
Bài 4 (3,5đ ) :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn; AD và CE là
hai dờng cao cứăt nhau tại H; O là điểm cách đều
ba đỉnh tam giác ABC. Gọi Mlà điểm đối xứng của
B qua O; I là giao điểm của BM và DE; K là giao
điểm của AC và HM.

a) Chứng minh rằng các tứ giác AEDC và CMID là
các tứ giác nội tiếp đợc trong đờng tròn.
b) Chứng minh rằng OH AC.
c) Cho số đo góc AOK bằng 60 0. Chứng minh
rằng tam giác HBO cân.
Bài 5 (1đ ):
Cho ba số x , y , z khác không và thoả mãn
1 1 1
xy yz zx
+ + = 0 . Hãy tính: A = 2 + 2 + 2
x y z
z
x
y
--------------------------- Ht -------------------------------

S GD & T
THPT

Kè THI TUYN SINH VO LP 10


THANH HO

chớnh thc

CHUYấN LAM SN
NM HC: 2010-2011
MễN: TON CHUNG
Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian

giao )
Bài 1 (2đ): Cho biểu thức:

x
6
1
10 x
+
+
: x 2 +

A=
x + 2
x + 2
x x 4 x 3 x 6
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm x để A < 2
Bài 2 (2đ):
Cho x1, x2 là các nghiệm của phơng trình x2 -7x
+3=0
1. Hãy lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1-x2
và
2x2- x1
2. Tính giá trị của biểu thức: A = 2 x1 x 2 + 2 x 2 x1
Bài 3 (1,5đ ) :
1
4
x + 2y x 2y = 1

Giải hệ phơng trình:
20 + 3 = 1
x + 2 y x 2 y
Bài 4 (3,5đ ) :
Cho hình vuông ABCD, trên đờng chéo BD lấy
điểm I sao cho BI = BA. Đờng thẳng qua I vuông
góc BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H.
1) Chứng minh rằng: AE = ID.
2. Đờng tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm
thứ hai F (F khác A). Chứn minh: DF.DA = EH.EB.
Bài 5 (1đ ):
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lợt là: BC
= a; AC = b, AB = c và chu vi bằng 2p. Chứn minh
rằng:
p
p
p
+
+
9
pa p b p c


S GD & T
THANH HO

Kè THI TUYN SINH VO LP 10 THPT
CHUYấN LAM SN
NM
chớnh thc

HC: 2011-2012
MễN: TON CHUNG
Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )
Bài 1 (2đ): Cho biểu thức:
15 x 11 3 x 2 2 x + 3
A = x + 2 x 3 + 1 x + x + 3
1. Rút gọn biểu thức A. (với x 0; x 1 ).
2
2. Chứng minh rằng A 3
1 2
Bài 2 (2đ): Cho parabol (P) y = 2 x
và đờng thẳng (d): y = mx - m + 2 (với m là tham số)
1. Tìm m để (d) cắt (P)tại điểm có hoành độ x = 4.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt
(P) tại hai điểm phân biệt.
2 3
x + y = 12


Bài 3 (2đ ) : 1. Giải hệ phơng trình: 5 + 2 = 19
x y
3x
x+
=6 2

2. Giải phơng trình:
với x R
x2 9
Bài 4 (3,0đ ) : Gọi C là một điểm trên đoạn thẳng
AB ( C A; C B ). Trên nửa mặt phẳng bờ là đờng

thẳng AB kẻ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên
tia Ax lấy điểm I ( I A ). Đờng thẳng vuông góc với CI
tại C cắt By tại K, đờng tròn đờng kính IC cắt IB tại P.
1. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CPKB nội tiếp đợc trong một đờng tròn. Xác
định tâm của đờng tròn đó.
b) Tam giác ABP là tam giác vuông.
2. Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C trêm
đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có diện tích lớn
nhất
Bài 5 (1đ ):


Cho a, b, c là các số thực dơng thoả mãn: a +b + c =
2. tìmab
giá trị lớnbcnhất củacabiều thức:
P=
+
+
ab + 2c
bc + 2a
ca + 2b