Phương pháp giải một số lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
—————————-

TRẦN NGỌC THĂNG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN
TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2017


Lời mở đầu
1. Giới thiệu bài toán tối ưu đa mục tiêu
Trong những năm 50 của thế kỷ 20, Quy hoạch đa mục tiêu, hay còn được gọi là
Tối ưu đa mục tiêu hoặc Tối ưu véc tơ, đã trở thành một chuyên ngành toán học,
thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả và được phát triển mạnh mẽ suốt gần 70
năm qua. Các thành tựu của Quy hoạch đa mục tiêu được ứng dụng rộng rãi trong
thực tế, đặc biệt là trong lý thuyết ra quyết định, kinh tế, tài chính, kỹ thuật, viễn
thông,... (xem [23], [64], [83], [93], [94],...).
Bài toán quy hoạch đa mục tiêu được phát biểu dưới dạng
Min f (x) = ( f1 (x), f2 (x), . . . , f p (x))

với điều kiện

x ∈ X,

(MOP)

trong đó X ⊂ Rn là tập các phương án chấp nhận được, f j : X → R, j = 1, . . . , p,
p ≥ 2, là các hàm mục tiêu. Do không gian giá trị R p không có thứ tự đầy đủ nên
thay vì khái niệm nghiệm tối ưu thông thường, tối ưu véc tơ sử dụng khái niệm
nghiệm hữu hiệu được xác định theo thứ tự từng phần do G. Cantor (1845-1918)
[21] và F. Hausdorff (1868-1942) [37] đề xuất.
Bài toán (MOP) được gọi là bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi, ký hiệu là
(CMOP), nếu X là tập lồi và f1 , . . . , f p là các hàm lồi. Đây là trường hợp đặc biệt
của bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng, ký hiệu là (GMOP), trong đó
f1 , . . . , f p là các hàm lồi suy rộng và tập chấp nhận được X cũng là tập lồi. Nếu tất
cả các hàm mục tiêu f1 , . . . , f p đều là hàm tuyến tính và X là tập lồi đa diện thì ta
gọi (MOP) là bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính và ký hiệu là (LMOP).
Như đã biết, bài toán (LMOP) là trường hợp đơn giản nhất của bài toán (MOP)
nói chung và của bài toán (CMOP) nói riêng.
Theo tiếp cận trên không gian quyết định (decision space), việc giải bài toán
(MOP) được xem như việc xác định toàn bộ hay một phần của tập nghiệm hữu
hiệu XE hoặc tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E . Đây là một việc khó, vì ngay cả trong
trường hợp đơn giản nhất của (MOP) là bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính
viii


(LMOP), tập nghiệm hữu hiệu XE và tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E đã là các tập
không lồi với cấu trúc rất phức tạp. Theo H.P. Benson [11], khối lượng tính toán
để sinh ra toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu XE hoặc tập nghiệm hữu hiệu yếu XW E của
bài toán (LMOP) tăng rất nhanh khi kích thước của bài toán (tức số biến n, số hàm
mục tiêu p và số ràng buộc biểu diễn tập chấp nhận được) tăng.
Với hy vọng giảm khối lượng tính toán, các thuật toán theo hướng tiếp cận trên
không gian ảnh hay không gian giá trị (outcome space) được thiết kế để xác định
toàn bộ hay một phần của tập ảnh hữu hiệu YE = f (XE ) hoặc tập ảnh hữu hiệu yếu
YW E = f (XW E ). Theo định nghĩa, YE và YW E tương ứng là tập điểm hữu hiệu và tập
điểm hữu hiệu yếu của tập ảnh Y = f (X) của tập chấp nhận được X qua ánh xạ

f . Lý do chính cho hướng tiếp cận này là: i) Các bài toán tối ưu đa mục tiêu nảy
sinh trong thực tế thường có số hàm mục tiêu p nhỏ hơn rất nhiều so với số biến
n, hay thứ nguyên của không gian ảnh R p nhỏ hơn rất nhiều so với thứ nguyên của
không gian quyết định Rn ; ii) Nhiều điểm của tập nghiệm hữu hiệu (tương ứng1 ,
tập nghiệm hữu hiệu yếu) có thể có cùng một ảnh qua ánh xạ f nên tập ảnh hữu
hiệu YE (t.ư., tập ảnh hữu hiệu yếu YW E ) có cấu trúc đơn giản hơn XE (t.ư., XW E );
iii) Trong quá trình đưa ra quyết định, người ta thường lựa chọn phương án dựa
trên giá trị hữu hiệu hơn là dựa trên nghiệm hữu hiệu (xem [11]).
Trong tối ưu đa mục tiêu, việc nghiên cứu để giải bài toán quy hoạch đa mục
tiêu tuyến tính (LMOP) có thể xem gần như hoàn chỉnh. Đã có nhiều cuốn sách
chuyên khảo về bài toán (LMOP) (xem [57], [59], [92], [93],... và danh mục tài
liệu tham khảo kèm theo). Rất nhiều thuật toán đã được đề xuất theo cả hai hướng
tiếp cận trên không gian quyết định và không gian ảnh để giải bài toán này bằng
nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp đơn hình đa mục tiêu, phương
pháp tham số, phương pháp vô hướng hóa, phương pháp nón pháp tuyến, phương
pháp xấp xỉ ngoài hoặc kết hợp của các phương pháp đó, chẳng hạn xem các công
trình của M. Zeleny [94], P. Armand and C. Malivert [7], R.E. Steuer [83], J.P.
Dauer và Y.H. Liu [27], H.P. Benson [11], N.T.B. Kim và D.T. Lục [44], [45], M.
Ehrgott, A. L¨ohne và L. Shao [29],...
1 Từ

sau đây đến hết luận án, cụm từ "tương ứng" sẽ được viết tắt là "t.ư.".

ix


Với bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi và không lồi, đã có một số thuật toán
được đề xuất. Hầu hết các thuật toán theo tiếp cận trên không gian quyết định được
thiết kế dựa trên các phương pháp trọng số [25], phương pháp ε−ràng buộc [36],
phương pháp hàm lợi ích [93], phương pháp lexicographic [20], phương pháp

Tchebycheff [83],... để sinh một phần tập nghiệm hữu hiệu hay hữu hiệu yếu của
bài toán. Theo tiếp cận trên không gian ảnh, các thuật toán thường sử dụng kỹ thuật
xấp xỉ ngoài để xây dựng một dãy các tập xấp xỉ tập ảnh, trong đó ta có thể dễ dàng
xác định được tập hữu hiệu các tập xấp xỉ này. Với cách tiếp cận này, một mặt, thuật
toán sinh ra một phần của tập ảnh hữu hiệu của bài toán, mặt khác, nó sinh ra tập
xấp xỉ của tập ảnh hữu hiệu chứa toàn bộ tập ảnh hữu hiệu (xem [30], [34], [62]
và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo). Trong [65], K. Miettinen đã phân loại
chi tiết và so sánh các phương pháp hiện có để giải các bài toán quy hoạch đa mục
tiêu phi tuyến. Các phương pháp để sinh ra tập xấp xỉ của tập nghiệm hữu hiệu và
tập ảnh hữu hiệu được thống kê trong [78].
Hai bài toán tối ưu toàn cục quan trọng có liên quan chặt chẽ đến bài toán quy
hoạch đa mục tiêu là bài toán tối ưu một hàm thực trên tập nghiệm hữu hiệu của
bài toán quy hoạch đa mục tiêu (gọi tắt là Bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu
hiệu) và bài toán quy hoạch tích cũng như các dạng mở rộng của nó.
Bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu có mô hình toán học như sau
min h(x) v.đ.k. x ∈ XE ,

(P)

trong đó h(x) là một hàm số thực xác định trên Rn và XE là tập nghiệm của bài toán
quy hoạch đa mục tiêu (MOP). Việc giải bài toán này có ý nghĩa đặc biệt vì nó
giúp ta chọn được nghiệm hữu hiệu tốt nhất theo một tiêu chuẩn nào đó mà không
nhất thiết phải xác định được toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu. Tuy nhiên, đây là một
bài toán khó, thậm chí khi h là hàm tuyến tính và XE là tập nghiệm hữu hiệu của
bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính (LMOP), vì tập chấp nhận được XE , nói
chung, là tập không lồi với cấu trúc phức tạp và không có mô tả tường minh.
Bài toán (P) do Philip [73] đưa ra lần đầu tiên vào năm 1972 và đã thu hút được
sự quan tâm đặc biệt của rất nhiều tác giả trong và ngoài nước. Nhiều thuật toán
đã được đề xuất để giải bài toán (P). Các thuật toán này cũng có thể được phân
x

loại theo hai hướng tiếp cận bao gồm tiếp cận trên không gian quyết định Rn (xem
H.P. Benson [10], J.P. Dauer và T.A. Fosnaugh [26, 1995], L.T.H. An, L.D. Mưu
và P.D. Tảo [4], L.T. Lực và L.D. Mưu [60], L.D. Mưu [67], N.T.B. Kim [42], N.V.
Thoại [87], L.D. Mưu và H.Q. Tuyến [70], N.V. Thoại, Y. Yamamoto và D. Zenke
[39], L.T.H. An, P.D. Tảo, N.C. Nam và L.D. Mưu [5], L.D. Mưu và L.Q. Thủy
[69],...) và tiếp cận trên không gian ảnh R p (xem R. Horst và N.V. Thoại [38], J.
Fulop and L.D. Mưu [31], Y. Yamamoto [91], N.T.B. Kim và L.D. Mưu [47], N.V.
Thoại [88], H.P. Benson [16],...). Ta cũng có thể phân loại các thuật toán dựa theo
phương pháp được dùng để xây dựng thuật toán, như thuật toán xấp xỉ ngoài, thuật
toán nhánh cận, thuật toán theo tiếp cận đối ngẫu, thuật toán tìm đỉnh kề, thuật
toán tìm đỉnh không kề,... (xem [92])
Bài toán quy hoạch tích và các dạng mở rộng của nó (gọi chung là bài toán quy
hoạch tích mở rộng) có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau
như kinh tế tài chính, tối ưu hóa quy trình sản xuất, tối ưu danh mục đầu tư, thiết
kế chip VLSI,... Đây cũng là lớp các bài toán tối ưu toàn cục khó và thú vị nên đã
thu hút sự quan tâm đặc biệt của nhiều tác giả. Bài toán quy hoạch tích được phát
biểu như sau

p

min ∏ f j (x),

v.đ.k.

x ∈ X,

(MP)

j=1

trong đó X ⊂ Rn là tập các phương án chấp nhận được và f j , j = 1, . . . , p, p ≥ 2, là
các hàm số thực xác định trên X.
Tương tự như cách phân loại các bài toán quy hoạch đa mục tiêu, nếu X là tập
lồi đóng trong Rn và các hàm f1 , . . . , f p là các hàm lồi trên X thì (MP) được gọi
là bài toán quy hoạch tích lồi, ký hiệu là (CMP). Bài toán (MP) được gọi là bài
toán quy hoạch tích tuyến tính, ký hiệu là (LMP), khi f1 , . . . , f p là các hàm tuyến
tính và X là tập lồi đa diện. Trong [63], T. Matsui đã chỉ ra rằng, ngay cả trường
hợp đơn giản nhất của bài toán (MP), tức là bài toán (LMP) với p = 2 và X là đa
diện khác rỗng, cũng thuộc lớp bài toán NP−khó. Hiện nay đã có nhiều thuật toán
được đề xuất để giải bài toán quy hoạch tích tuyến tính (LMP) (xem H. Konno
và T. Kuno [52], S. Schaible và C. Sodini [80], H.P. Benson và G.M. Boger [17],
T. Kuno [53], N.T.B. Kim [43], N.T.B. Kim, T.T.H. Yên và N.T.L. Trang [48], L.
xi


Shao và M. Ehrgott [82],...) và quy hoạch tích lồi (CMP) (xem N.V. Thoại [86],
T. Kuno, Y. Yajima, và H. Konno [54], H.P. Benson [12], R.M. Oliveira, và P.A.V.
Ferreira [71], Y. Gao, G. Wu và W. Ma [32], N.T.B. Kim, N.C. Nam, L.Q. Thủy
[46], L. Shao và M. Ehrgott [81],...). Theo hiểu biết của tác giả, mặc dù có nhiều
ứng dụng trong thực tiễn nhưng có rất ít công trình nghiên cứu bài toán quy hoạch
tích mở rộng.
2. Mục đích nghiên cứu và ý nghĩa của đề tài
Như đã trình bày, mặc dù bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi và các vấn đề liên
quan đã được nghiên cứu tương đối hoàn chỉnh nhưng cho đến nay vẫn còn rất ít
thuật toán giải bài toán tối ưu đa mục tiêu lồi suy rộng [92]. Hơn nữa, do nhu cầu
ứng dụng, việc nghiên cứu xây dựng các thuật toán hiệu quả để giải bài toán quy
hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng, bài toán quy hoạch tích mở rộng, cũng như bài
toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu là các vấn đề thời sự và luôn cần đầu tư nhiều

công sức.
Luận án này nghiên cứu và đề xuất các thuật toán mới để giải các bài toán sau:
1. Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng
Min f (x) = ( f1 (x), f2 (x), . . . , f p (x))

v.đ.k.

x ∈ X,

(GMOP)

trong đó tập chấp nhận được X ⊂ Rn là tập lồi compact khác rỗng và hàm
mục tiêu f là hàm véc tơ giả lồi vô hướng trên X.
2. Bài toán quy hoạch tích lồi suy rộng tương ứng với bài toán (GMOP)
m

min ∏ f j (x),

v.đ.k.

x ∈ X,

(GMP)

j=1

trong đó các hàm số f j : Rn → R, j = 1, . . . , m và tập chấp nhận được X được
giả thiết như trong phát biểu của bài toán (GMOP).
3. Bài toán quy hoạch tích lõm mở rộng, trong đó hàm mục tiêu có dạng tổng
của một hàm với tích các hàm và tập chấp nhận được là tập lồi compact khác

rỗng. Cụ thể, đó là bài toán
xii


k

max Φ(x) = f0 (x) + ∏ fi (x) v.đ.k. x ∈ X,

(GIMP)

i=1

trong đó X ⊂ Rn là tập lồi compact khác rỗng và f j , j = 0, 1, . . . , k, là các hàm
lõm nhận giá trị dương trên X. Bài toán quy hoạch tích mở rộng liên quan gần
gũi nhất với bài toán (GIMP) và đã được nghiên cứu trong [41] là bài toán
k

min Φ(x) = f0 (x) + ∏ fi (x) v.đ.k. x ∈ X,
i=1

trong đó X ⊂ Rn là tập lồi compact khác rỗng và f j , j = 0, 1, . . . , k, là các hàm
lồi nhận giá trị dương trên X. Trong trường hợp đặc biệt, khi k = 2, thì bài
toán (GIMP) trở thành bài toán cực đại tổng một hàm lõm với tích hai hàm
lõm, và đã có một số thuật toán hữu hiệu được đề xuất để giải bài toán này
(xem [6], [14], [68],...). Theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay, hầu như
chưa có thuật toán nào được đề xuất để giải bài toán (GIMP) trong trường
hợp tổng quát.
4. Hai bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu XE của bài toán quy hoạch hai
mục tiêu lồi. Đó là bài toán
min h(x) = ϕ( f (x)) v.đ.k. x ∈ XE ,

(QP)

trong đó ϕ : R2 → R là hàm tựa lõm trên tập ảnh Y và bài toán
max h(x) = ϕ( f (x)) v.đ.k. x ∈ XE ,

(DP)

với ϕ : R2 → R là hàm đơn điệu tăng trên tập ảnh Y . Dạng hàm mục tiêu
h(x) = ϕ( f (x)) với hàm số thực ϕ : Y → R xuất hiện nhiều trong các bài toán
nảy sinh từ thực tế và cũng đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng
hạn [47], [87], [88], [91] và danh sách tài liệu tham khảo kèm theo.
Tất cả các thuật toán được đề xuất trong luận án đều được chứng minh là hội tụ,
đồng thời được tính toán thử nghiệm và so sánh với một số thuật toán đã có. Ngoài
các bài toán trên, chúng tôi đã nghiên cứu và đề xuất thuật toán giải bài toán cực
đại tổng một hàm lõm với các cặp tích hai hàm lõm trên tập lồi compact khác rỗng,

xiii


cụ thể là bài toán
s

max g(x) = f1 (x) + ∑ f2i (x)f2i+1 (x) v.đ.k. x ∈ X,

(GCMP)

i=1

trong đó X ⊂ Rn là tập lồi compact khác rỗng và f j , j = 1, . . . , 2s + 1, là các hàm

lõm trên X. Bài toán này được H.P. Benson [14] đưa ra lần đầu tiên, sau đó được
nghiên cứu bởi A.M.M. Ashtiani và P.A.V. Ferreira [6]. Bằng phép biến đổi thích
hợp, chúng tôi chuyển bài toán (GCMP) về một bài toán tương đương và đề xuất
phương pháp nón pháp tuyến trên không gian ảnh để giải bài toán này [84]. Kết
quả này đã được nhận đăng ở Pacific Journal of Optimization. Tuy nhiên, do khuôn
khổ có hạn nên luận án không bao hàm kết quả này.
3. Cấu trúc và kết quả của luận án
Luận án bao gồm phần mở đầu, lời cảm ơn, bốn chương, kết luận chung, danh mục
các công trình đã công bố của tác giả có liên quan đến luận án và danh mục tài liệu
tham khảo. Sau đây là nội dung chính của các chương.
Chương 1. “Bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng” dành để giới thiệu
mô hình toán học của bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP) cùng
một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan. Các khái niệm và kết quả được trình
bày trong chương này là cơ sở lý thuyết cho các thuật toán được đề xuất trong các
chương sau của luận án. Mục 1.1 giới thiệu về một số hàm lồi suy rộng như hàm
tựa lồi, hàm giả lồi, hàm véc tơ giả lồi vô hướng cùng các tính chất hữu dụng của
chúng. Định lý KKT về điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch lồi suy rộng một
mục tiêu được trình bày trong mục này là công cụ lý thuyết nhằm xác định siêu
phẳng cắt trong thuật toán xấp xỉ ngoài được đề xuất trong Chương 2 để giải bài
toán (GMOP). Các khái niệm điểm hữu hiệu, điểm hữu hiệu yếu của một tập, điều
kiện nhận biết thông qua khái niệm hướng pháp tuyến và các kết quả về cấu trúc
của các tập điểm này được trình bày ở Mục 1.2. Cuối cùng, Mục 1.3 giới thiệu bài
toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP), cùng các khái niệm cơ bản như
nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu θ -xấp xỉ, nghiệm hữu
hiệu yếu θ -xấp xỉ cũng như cấu trúc của tập giá trị hữu hiệu và của tập giá trị hữu
hiệu yếu của bài toán (GMOP).
xiv


Chương 2. “Thuật toán hướng pháp tuyến giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu

lồi suy rộng” đề xuất một thuật toán hướng pháp tuyến giải bài toán quy hoạch đa
mục tiêu lồi suy rộng (GMOP), trong đó sử dụng kỹ thuật xấp xỉ ngoài trên không
gian ảnh để xác định tập nghiệm hữu hiệu yếu θ −xấp xỉ của bài toán (GMOP).
Cách xác định điểm giá trị hữu hiệu yếu và hướng pháp tuyến tại mỗi bước lặp điển
hình được giới thiệu ở Mục 2.1. Thuật toán chi tiết được mô tả trong Mục 2.2. Tiếp
theo, Mục 2.3 sẽ trình bày chi tiết chứng minh tính hội tụ của thuật toán đề xuất.
Đây là một đóng góp chính và quan trọng về mặt lý thuyết cho các phương pháp
xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu. Các kết quả tính toán thử nghiệm
được giới thiệu trong Mục 2.4 chứng tỏ tính hiệu quả và những ưu điểm của thuật
toán so với một số thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi
trước đó.
Chương 3. “Thuật toán giải một số bài toán quy hoạch tích mở rộng” đưa ra
các thuật toán theo tiếp cận trên không gian ảnh để giải hai bài toán quy hoạch
tích: Bài toán quy hoạch tích lồi suy rộng (GMP) và Bài toán quy hoạch tích lõm
mở rộng (GIMP). Thuật toán giải bài toán (GMP) được giới thiệu trong Mục 3.1.
Thuật toán này được thiết lập dựa trên mối quan hệ của bài toán quy hoạch tích
lồi suy rộng (GMP) và bài toán quy hoạch đa mục tiêu (GMOP) tương ứng. Đây
cũng được xem như là một ứng dụng của thuật toán giải bài toán (GMOP) đã thiết
lập ở Chương 2. Mục 3.2 dành để trình bày thuật toán giải bài toán (GIMP). Bằng
các biến đổi thích hợp, việc giải bài toán này được đưa về việc giải bài toán cực
đại một hàm đơn điệu tăng trên tập các điểm hữu hiệu của một tập lồi đóng trong
R2 . Các tính toán thử nghiệm chứng tỏ tính hiệu quả của thuật toán đề xuất.
Chương 4. “Thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập nghiệm hữu hiệu” đề xuất
các thuật toán trên không gian ảnh để giải hai bài toán (QP) và (DP) nhằm tối ưu
một hàm hợp trên tập nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch hai mục tiêu lồi,
tức bài toán (CMOP) với p = 2. Bằng cách biến đổi các bài toán gốc về bài toán
tương đương trên không gian ảnh và tận dụng cấu trúc đặc biệt của tập ảnh hữu
hiệu và tính chất đặc thù của các hàm mục tiêu, Mục 4.1 đề xuất một thuật toán
nhánh cận giải bài toán (QP) và Mục 4.2 đưa ra một thuật toán nhánh cận kết hợp
với lược đồ xấp xỉ ngoài giải bài toán (DP).

xv


Các kết quả của luận án đã được công bố trong 4 bài báo được đăng ở tạp chí
Pacific Journal of Optimization, Advances in Intelligent Systems and Computing,
Optimization, Journal of Industrial and Management Optimization và đã được
báo cáo tại:
Xêmina Lý thuyết tối ưu và ứng dụng, Bộ môn Toán ứng dụng, Viện Toán ứng
dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 16/03/2013, 11/09/2014,
10/10/2014, 10/03/2016;
Xêmina Bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan,
Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 05/05/2015;
Xêmina Lý thuyết Tối ưu, Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán, ngày 28/05/2012;
Xêmina Bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan, Viện Toán học, ngày
21/03/2012;
Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học Lần thứ 11, Ba Vì, ngày 26/04/2013;
Đại hội Toán học Việt Nam Lần thứ 8, Nha Trang, ngày 10/08/2013;
Hội nghị NAFOSTED về Khoa học Thông tin và Máy tính Lần thứ nhất, Học
viện Kỹ thuật quân sự, Hà Nội, ngày 14/03/2014;
Hội nghị quốc tế về Tính toán Khoa học Hiệu năng cao Lần thứ 6
(6th International Conference on High Performance Scientific Computing),
Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán, Hà Nội, ngày 20/03/2015.

xvi


Chương 1
Bài toán
quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng
Tất cả các bài toán được nghiên cứu trong luận án này đều liên quan gần gũi đến

bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP) và trường hợp riêng của nó
là bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi (CMOP). Để tiện theo dõi, chương này giới
thiệu mô hình toán học của bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng (GMOP)
cùng một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan. Các khái niệm và kết quả được
trình bày ở đây là sự chuẩn bị để thiết lập cơ sở lý thuyết cho các thuật toán được
đề xuất trong các chương sau của luận án.
Một số hàm lồi suy rộng như hàm tựa lồi, hàm giả lồi, hàm véc tơ giả lồi vô
hướng cùng các tính chất hữu dụng của chúng được giới thiệu ở Mục 1.1. Mục này
cũng trình bày về định lý KKT về điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch lồi suy
rộng một mục tiêu. Định lý này được dùng làm công cụ lý thuyết để xác định siêu
phẳng cắt trong thuật toán xấp xỉ ngoài được đề xuất trong Chương 2 để giải bài
toán (GMOP).
Như đã biết, khái niệm nền tảng của tối ưu véc tơ là điểm hữu hiệu và điểm hữu
yếu của một tập, nhờ đó, người ta mới có thể hiểu được thế nào là nghiệm của bài
toán quy hoạch đa mục tiêu. Các khái niệm điểm hữu hiệu, điểm hữu hiệu yếu của
một tập, điều kiện nhận biết thông qua khái niệm hướng pháp tuyến và các kết quả
về cấu trúc của các tập điểm này sẽ được trình bày ở Mục 1.2.
1


Cuối cùng, Mục 1.3 giới thiệu bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng
(GMOP), cùng các khái niệm cơ bản như nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu,
nghiệm hữu hiệu θ -xấp xỉ, nghiệm hữu hiệu yếu θ -xấp xỉ cũng như cấu trúc của
tập giá trị hữu hiệu và của tập giá trị hữu hiệu yếu của bài toán (GMOP).

1.1

Hàm lồi suy rộng

Cho tập lồi khác rỗng S ⊆ Rn và hàm số h : Rn → R. Ta nói h là hàm lồi xác định

trên S nếu
h(λ x1 + (1 − λ )x2 ) ≤ λ h(x1 ) + (1 − λ )h(x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ S, và 0 ≤ λ ≤ 1.
Hàm g được gọi là hàm lõm nếu h := −g là hàm lồi. Hàm lồi có nhiều tính chất
đặc sắc, xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học và trong thực tế. Trong toán
học còn có một lớp hàm có tính chất tương tự hàm lồi hoặc liên quan gần gũi với
hàm lồi và có nhiều ứng dụng. Đó là lớp các hàm lồi suy rộng. Hai dạng hàm lồi
suy rộng được sử dụng trong luận án này là hàm tựa lồi và hàm giả lồi.
Theo định nghĩa [66, tr. 132], hàm h được gọi là hàm tựa lồi xác định trên tập
lồi S nếu
h(x1 ) − h(x2 ) ≤ 0 ⇒ h(λ x1 + (1 − λ )x2 ) ≤ h(x2 ),
tức
h(λ x1 + (1 − λ )x2 ) ≤ max h(x1 ), h(x2 ) ,
với mọi x1 , x2 ∈ S và 0 ≤ λ ≤ 1. Nếu h là hàm tựa lồi thì g := −h là hàm tựa lõm.
Trong trường hợp h khả vi, nếu h tựa lồi trên S thì
h(x1 ) − h(x2 ) ≤ 0 ⇒ ∇h(x2 ), x1 − x2 ≤ 0
với mọi x1 , x2 ∈ S, trong đó ∇h(x2 ) là véc tơ gradient của hàm h tại điểm x2 (xem
Định lý 9.1.4 [66, tr. 134]).
Như đã biết, tính lồi của tập mức dưới (t.ư., tập mức trên) chỉ là điều kiện cần
của hàm lồi (t.ư., hàm lõm), nhưng nó là điều kiện cần và đủ để nhận biết hàm tựa
lồi (t.ư., hàm tựa lõm) (Định lý 9.1.3 [66, tr. 133]). Mọi hàm lồi (t.ư., hàm lõm) đều
2


là hàm tựa lồi (t.ư., hàm tựa lõm), nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng. Chẳng
hạn, hàm h(x) = tan x là hàm tựa lồi trên tập lồi S = − π2 , π2 , nhưng h không phải
là hàm lồi trên S.
Sau đây là một số tính chất hữu ích của hàm lồi, hàm lõm, hàm tựa lồi, hàm tựa
lõm cùng mối liên hệ giữa chúng.
Mệnh đề 1.1. (Hệ quả 5.2 [8, tr. 154]) Cho hàm ϕ xác định và nhận giá trị dương
trên tập lồi khác rỗng S ⊆ Rn . Nếu ϕ là hàm lõm thì 1/ϕ là hàm lồi trên S. Ngược

lại, nếu ϕ là hàm lồi thì 1/ϕ chưa chắc là hàm lõm trên S.
Dễ thấy, hàm ϕ(x) = ex với x ∈ R là hàm lồi trên R nhưng hàm 1/ϕ(x) = e−x
không phải làm hàm lõm trên R.
Khẳng định sau chỉ ra điều kiện đủ để một hàm phân thức là tựa lồi (xem Bảng
5.4 [8, tr. 165] và Bài tập 9.6.3 [66, tr. 149]).
Mệnh đề 1.2. Cho hai hàm số ϕ1 , ϕ2 xác định trên tập lồi khác rỗng S ⊆ Rn .
i) Nếu ϕ1 là hàm lồi, ϕ2 là hàm lõm trên S thỏa mãn ϕ1 (x) ≥ 0 và ϕ2 (x) > 0
với mọi x ∈ S thì hàm phân thức h = ϕ1 /ϕ2 là hàm tựa lồi trên S;
ii) Nếu ϕ1 , ϕ2 là hai hàm afin và ϕ2 (x) = 0 với mọi x ∈ S thì hàm phân thức
h = ϕ1 /ϕ2 là hàm vừa tựa lồi, vừa tựa lõm trên S.
Ví dụ 1.1. Cho các hàm lõm φi , i = 1, . . . , m, trong đó m ≥ 2, nhận giá trị dương
trên tập lồi S ⊆ Rn và các số thực αi > 0, i = 1, . . . , m. Khi đó,
m

h(x) = ∏ φiαi (x)
i=1

là hàm tựa lõm trên S (Định lý 5.15 [8, tr. 161]). Đặc biệt, Mệnh đề 1.3 sau đây
khẳng định rằng, nếu αi = 1 với mọi i = 1, . . . , m, thì trung bình nhân của h lại là
hàm lõm. Tính chất này sẽ được sử dụng trong Chương 3 của luận án để phân tích
và giải bài toán quy hoạch tích mở rộng (GIMP).
Mệnh đề 1.3. (Mệnh đề 2.7 [89, tr. 47]) Nếu φi (x), i = 1, . . . , m, là các hàm lõm

3


nhận giá trị dương trên tập lồi S ⊆ Rn thì hàm
m

h(x) =

1/m

∏ φi(x)
i=1

là một hàm lõm trên S.
Xét bài toán
min h(x) v.đ.k. x ∈ S,

(PS )

trong đó S ⊆ Rn và h là hàm số xác định trên một tập mở chứa S. Như đã biết, nếu
h là hàm lồi và S là tập lồi thì (PS ) là một bài toán quy hoạch lồi. Khi đó, bài toán
(PS ) có tính chất đặc biệt là mọi điểm dừng hay điểm KKT của bài toán này đều
là nghiệm tối ưu địa phương và cũng chính là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán
(xem [3]). Bài toán (PS ) vẫn giữ được tính chất quan trọng này khi S là tập lồi và
hàm mục tiêu h là giả lồi (Định lý 1.1).
Nhận xét 1.1. Dựa trên tính chất đặc biệt trên, ta có thể giải bài toán (PS ) khi S là
tập lồi và hàm mục tiêu h là giả lồi bằng việc sử dụng các thuật toán giải bài toán
quy hoạch lồi thông thường (xem Nhận xét 2.3 [13]).
Theo định nghĩa (xem [66, tr. 141]), hàm số h xác định trên tập mở chứa tập lồi
S được gọi là hàm giả lồi trên S nếu h khả vi trên S và
∇h(x2 ), x1 − x2 ≥ 0 ⇒ h(x1 ) − h(x2 ) ≥ 0,
với mọi x1 , x2 ∈ S. Nếu h là giả lồi thì hàm g := −h là giả lõm.
Ví dụ 1.2. Ta đã biết, hàm h(x) = tan x là hàm tựa lồi khả vi, đơn điệu tăng trên
tập mở S = − π2 , π2 , nhưng h không phải là hàm lồi. Lập luận sau đây chứng tỏ
h là hàm giả lồi trên S. Thật vậy, lấy tùy ý hai điểm bất kỳ x1 , x2 ∈ S thỏa mãn
h (x2 )(x1 − x2 ) ≥ 0. Vì h (x2 ) = 1 + tan2 x2 > 0 nên x1 ≥ x2 . Do h đơn điệu tăng
trên S nên h(x1 ) − h(x2 ) ≥ 0. Theo định nghĩa, h là hàm giả lồi trên S.

Mệnh đề 1.4. (xem [8, tr. 165]) Cho hai hàm số ϕ1 , ϕ2 xác định trên tập lồi khác
rỗng S ⊆ Rn . Nếu ϕ1 là hàm lồi khả vi và ϕ2 là hàm afin nhận giá trị dương trên S
thì hàm phân thức h = ϕ1 /ϕ2 là hàm giả lồi trên S.
4


Định lý 1.1. (Xem Định lý 9.3.3 [66, tr. 142]) Cho h là hàm giả lồi trên tập lồi S
và x∗ là một điểm dừng của bài toán (PS ), tức ∇h(x∗ ), x − x∗ ≥ 0 với mọi x ∈ S.
Khi đó, x∗ là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (PS ).
Các định lý sau chỉ ra rằng lớp các hàm lồi được chứa trong lớp các hàm giả lồi,
và lớp các hàm giả lồi được chứa trong lớp các hàm tựa lồi.
Định lý 1.2. (Định lý 9.3.6 [66, tr. 144]) Cho S là tập lồi trong Rn và hàm h xác
định, khả vi trên một tập mở chứa S. Nếu h là hàm lồi (t.ư., lõm) trên S thì h là giả
lồi (t.ư., giả lõm) trên S. Điều ngược lại chưa chắc đúng.
Định lý 1.3. (Định lý 9.3.5 [66, tr. 143]) Cho S là tập lồi trong Rn và hàm h xác
định trên một tập mở chứa S. Nếu h là hàm giả lồi trên S thì h là tựa lồi trên S.
Điều ngược lại chưa chắc đúng.
Ví dụ 1.3. Xét hàm h(x) = 1 − x3 xác định trên R. Theo định nghĩa, h là hàm tựa
lồi trên R. Tuy nhiên, điểm x = 0 là điểm dừng nhưng nó không phải nghiệm tối
ưu của bài toán min{h(x) | x ∈ R}. Vì vậy, theo Định lý 1.1, h không phải là hàm
giả lồi trên S.
Khác với lớp các hàm lồi, tính giả lồi và tựa lồi của hàm số không được bảo
toàn qua phép cộng, tức tổng của hai hàm giả lồi chưa chắc đã là hàm giả lồi.
Ví dụ 1.4. Cho hai hàm h1 (x) = tan x và h2 (x) = −x xác định trên S = − π2 , π2 .
Theo Ví dụ 1.2, h1 là hàm giả lồi trên S. Vì h2 là hàm tuyến tính trên S nên h2 cũng
là hàm giả lồi trên S. Tuy nhiên, hàm h(x) = h1 (x) + h2 (x) = tan x − x không phải
là hàm giả lồi trên S. Thật vậy, điểm x = 0 là điểm dừng của hàm h do h (0) = 0.
Mặt khác, x = 0 không phải là nghiệm tối ưu của bài toán min{h(x) | x ∈ S} vì
h(0) > h(−π/4). Theo Định lý 1.1, h không phải là hàm giả lồi trên S.
Mệnh đề sau khẳng định lớp các hàm giả lồi và tựa lồi vẫn đóng đối với phép

lấy cực đại.
Mệnh đề 1.5. (Tính chất 18b trong Bảng II [35]) Cho hai hàm số ϕ1 và ϕ2 xác
định trên tập lồi khác rỗng S ⊆ Rn .
5


i) Nếu ϕ1 và ϕ2 là hai hàm tựa lồi thì max{ϕ1 , ϕ2 } cũng là hàm tựa lồi trên S;
ii) Nếu ϕ1 và ϕ2 là hai hàm giả lồi thì max{ϕ1 , ϕ2 } cũng là hàm giả lồi trên S.
Cho tập lồi khác rỗng S ⊆ Rn và hàm véc tơ
f : Rn → R p
x −→ f (x) = ( f1 (x), . . . , f p (x)),
trong đó f1 , . . . , f p là các hàm xác định trên S. Để thuận tiện (xem [9, 56, 58]), hàm
véc tơ f được gọi là hàm véc tơ tuyến tính (t.ư., lồi, tựa lồi, giả lồi) nếu các hàm
f1 , . . . , f p đều là các hàm tuyến tính (t.ư., lồi, tựa lồi, giả lồi).
Chương 2 của luận án nghiên cứu bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng
với giả thiết tập chấp nhận được là tập lồi và hàm véc tơ mục tiêu là hàm giả lồi
vô hướng (scalarly pseudoconvex). Khái niệm hàm giả lồi vô hướng dưới đây được
định nghĩa tương tự khái niệm hàm tựa lồi vô hướng (scalarly quasiconvex) đã được
sử dụng trong [9, 79].
Định nghĩa 1.1. Hàm véc tơ f được gọi là giả lồi vô hướng trên một tập lồi S nếu
p
∑i=1 λi fi là hàm giả lồi trên S với mọi λ = (λ1 , . . . , λ p ) ≥ 0.

Nhận xét 1.2. i) Hiển nhiên là nếu hàm véc tơ f giả lồi vô hướng thì tất cả các hàm
thành phần f1 , . . . , f p cũng là các hàm giả lồi. Như vậy, nếu f là hàm véc tơ giả lồi
vô hướng thì f cũng là hàm véc tơ giả lồi. Tuy nhiên, điều ngược lại, nói chung,
chưa chắc đúng. Chẳng hạn, Ví dụ 1.4 đã chỉ ra rằng, mặc dù hàm f1 (x) = tan x và
f2 (x) = −2x là các hàm giả lồi trên với S = − π2 , π2 nhưng λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) với
λ1 = λ2 = 1 không phải là hàm giả lồi trên S . Như vậy, hàm f (x) = ( f1 (x), f2 (x))
là hàm véc tơ giả lồi nhưng không phải là giả lồi vô hướng.

ii) Nếu f là hàm véc tơ lồi trên S thì f cũng là hàm véc tơ giả lồi vô hướng trên
S. Thật vậy, nếu f là hàm véc tơ lồi trên S thì các hàm thành phần f1 , . . . , f p cũng
p
là các hàm lồi. Do đó, với mọi λ = (λ1 , . . . , λ p ) ≥ 0, hàm ∑i=1
λi fi cũng là hàm lồi
p
trên S. Theo Định lý 1.2, ta suy ra ∑i=1 λi fi là hàm giả lồi trên S với mọi λ ≥ 0,

tức f là hàm véc tơ giả lồi vô hướng trên S.

6


Ví dụ 1.5. Cho hàm véc tơ f (x) = ( f1 (x), f2 (x)), trong đó
5x12 + 10x2
5x1 − 5x22
f1 (x) =
và f2 (x) =
x1 − x2
x2 − x1
là hai hàm số xác định trên tập S = {x ∈ R2 | Ax ≥ b, x ≥ 0} và




1 1
3





 2 −1 


2
, b = 
.
A=
 1 2


4




−3 −5
−15

Hình 1.1: Minh họa tập S

Với mỗi λ = (λ1 , λ2 ) ≥ 0, ta có
λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) =

5λ1 x12 + 5λ2 x22 + 10λ1 x2 − 5λ2 x1
.
x1 − x2

Dễ thấy, hàm tử số ϕ1 (x) = 5λ1 x12 + 5λ2 x22 + 10λ1 x2 − 5λ2 x1 là một hàm lồi khả vi,
và theo hình vẽ minh họa tập S, hàm mẫu số ϕ2 (x) = x1 − x2 > 0 với mọi x ∈ S.

7


Theo Mệnh đề 1.4, hàm λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) = ϕ1 (x)/ϕ2 (x) là giả lồi trên S. Suy ra
f là hàm giả lồi vô hướng trên S.
Cho hàm giả lồi h và các hàm tựa lồi g1 , . . . , gm xác định trên Rn . Xét bài toán
min h(x) v.đ.k. x ∈ S,

(SOP)

trong đó S = {x ∈ Rn | gi (x) ≤ 0, i = 1, . . . , m}. Do mọi tập mức dưới của hàm tựa
lồi là tập lồi nên tập chấp nhận được S là tập lồi.
Như thường lệ, với mỗi điểm x¯ ∈ S, ta ký hiệu
I(x)
¯ = {i ∈ {1, . . . , m} | gi (x)
¯ = 0}
là tập chỉ số của các ràng buộc thỏa mãn chặt tại x.
¯ Số phần tử của tập I(x)
¯ được
ký hiệu là |I(x)|.
¯ Định lý KKT sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc thiết
lập cơ sở lý thuyết của thuật toán giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu lồi suy rộng
được trình bày trong Chương 2. Kết quả này có thể xem là sự kết hợp của Định lý
10.2.7 [66, tr. 156] và Định lý 10.1.2 [66, tr. 151].
Định lý 1.4. Cho hàm giả lồi h và hàm véc tơ tựa lồi g = (g1 , . . . , gm ) khả vi liên
tục trên một tập mở chứa S. Giả sử điều kiện Slater được thỏa mãn, tức
∃ x∗ ∈ S : gi (x∗ ) < 0 với mọi i = 1, . . . , m.
Khi đó, x¯ là nghiệm tối ưu của bài toán (SOP) khi và chỉ khi tồn tại một véc tơ
u¯ ∈ Rq , trong đó q = |I(x)|
¯ , sao cho

∇h(x)
¯ +

u¯ j ∇g j (x)
¯ =0

∑
j∈I(x)
¯

g(x)
¯ ≤0
u¯ ≥ 0.

8


1.2

Điểm hữu hiệu và hướng pháp tuyến

Xét không gian Euclide R p , p ≥ 2, với thứ tự từng phần được xác định bởi nón
p
p
R+
= {y = (y1 , y2 , . . . , y p ) | yi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , p}. Phần trong của R+
được ký
p
hiệu intR+
= {y = (y1 , y2 . . . , y p ) | yi > 0, i = 1, 2, . . . , p}. Như thường lệ, với hai

p
p
điểm bất kỳ a, b ∈ R p , ta viết a ≥ b nếu a − b ∈ R+
và a > b nếu a − b ∈ intR+
.

Cho tập khác rỗng Q ⊂ R p . Ta nói q∗ ∈ Q là điểm hữu hiệu theo nghĩa cực tiểu
của tập Q nếu
p
∃q ∈ Q sao cho q∗ ≥ q và q∗ = q ⇔ (q∗ − R+
) ∩ Q = {q∗ }.

Điểm q∗ được gọi là điểm hữu hiệu theo nghĩa cực đại của tập Q nếu
p
∃q ∈ Q sao cho q ≥ q∗ và q∗ = q ⇔ (q∗ + R+
) ∩ Q = {q∗ }.

Tập tất cả các điểm hữu hiệu theo nghĩa cực tiểu và cực đại của Q được ký hiệu
tương ứng là MinQ và MaxQ. Tương tự, ký hiệu WMinQ và WMaxQ lần lượt là
tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu theo nghĩa cực tiểu và cực đại của Q và được định
nghĩa là
WMinQ = {q∗ ∈ Q | ∃q ∈ Q sao cho q∗ > q}
p
= {q∗ ∈ Q | (q∗ − intR+
) ∩ Q = 0};
/

WMaxQ = {q∗ ∈ Q | ∃q ∈ Q sao cho q > q∗ }
p
= {q∗ ∈ Q | (q∗ + intR+

) ∩ Q = 0}.
/

Dễ thấy
MinQ ⊆ WMinQ ⊆ Q và MaxQ ⊆ WMaxQ ⊆ Q.
Theo định nghĩa, điểm hữu hiệu hay điểm hữu hiệu yếu của một tập phải thuộc
biên của nó. Một tập compact khác rỗng thì luôn có điểm hữu hiệu và điểm hữu
hiệu yếu (Hệ quả 3.11 [57, tr. 50]). Trong ví dụ ở Hình 1.2, ta có q1 ∈ WMinQ
nhưng q1 ∈ MinQ, q2 ∈ WMinQ và q3 ∈ MinQ.

9


Hình 1.2: q1 ∈ WMinQ, q2 ∈ WMinQ và q3 ∈ MinQ

Trong một số nghiên cứu gần đây (xem [30] và [61]), khái niệm hữu hiệu xấp
xỉ và hữu hiệu yếu xấp xỉ được sử dụng rất hiệu quả trong việc giải quyết các bài
p
toán lồi hoặc không lồi. Cụ thể, theo nghĩa cực tiểu, với một véc tơ θ ∈ R+
cho
trước, điểm q∗ ∈ Q được gọi là điểm hữu hiệu θ -xấp xỉ nếu không tồn tại q ∈ Q

sao cho q∗ − θ ≥ q và q∗ − θ = q, tức
p
(q∗ − θ ) − (R+
\ {0}) ∩ Q = 0.
/

Nếu không tồn tại q ∈ Q sao cho q∗ − θ > q, hay
p

(q∗ − θ ) − intR+
∩ Q = 0,
/

thì q∗ được gọi là điểm hữu hiệu yếu θ -xấp xỉ của Q. Tập tất cả các điểm hữu hiệu
θ -xấp xỉ và tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu θ -xấp xỉ của tập Q được ký hiệu tương
ứng là Min(Q, θ ) và WMin(Q, θ ).
Cho một tập đóng khác rỗng Q ⊂ R p và một điểm q∗ ∈ Q. Véc tơ v ∈ R p được
gọi là một hướng pháp tuyến (trong) của Q tại q∗ nếu
v, q − q∗ ≥ 0 với mọi q ∈ Q.
Nói cách khác, véc tơ v là một hướng pháp tuyến của Q tại q∗ ∈ Q nếu q∗ là nghiệm
của bài toán min { v, q | q ∈ Q} . Dễ thấy, véc tơ v ∈ R p \ {0} là hướng pháp tuyến
10


của tập Q tại q∗ khi và chỉ khi v là véc tơ pháp tuyến của siêu phẳng tựa
H = {q ∈ R p | v, q = v, q∗ }
của tập Q tại điểm q∗ . Tập {q ∈ R p | v, q ≥ v, q∗ } được gọi là nửa không gian
tựa của Q tại q∗ . Nếu Q là tập lồi đóng khác rỗng thì luôn tồn tại ít nhất một siêu
phẳng tựa của Q tại mỗi điểm biên q∗ của nó (xem Định lý 2.3 [2, tr. 31]).
Tập tất cả các hướng pháp tuyến của Q tại q∗ được gọi là nón pháp tuyến của
tập Q tại q∗ và ký hiệu là NQ (q∗ ) (xem Định nghĩa 6.3 [77, tr. 199]). Nếu Q là tập
lồi đóng khác rỗng thì NQ (q∗ ) là một nón lồi đóng. Dễ thấy rằng NQ (q∗ ) = {0} khi
và chỉ khi q∗ là điểm trong của Q. Hình 1.3 minh họa các nón pháp tuyến NQ (q1 )
và NQ (q2 ) của tập Q tại các điểm q1 , q2 ∈ Q, tương ứng.
Như đã biết, nón pháp tuyến đóng vai trò quan trọng trong việc thiết lập điều
kiện tối ưu của bài toán tối ưu. Các kết quả về nón pháp tuyến của một tập và ứng
dụng của nó có thể được tham khảo chi tiết trong các cuốn sách chuyên khảo [76]
của Rockafellar và [77] của Rockafellar và Wets.

Hình 1.3: Hai nón pháp tuyến NQ (q1 ) và NQ (q2 )

Định nghĩa 1.2. Cho một hướng pháp tuyến v ∈ R p của tập Q tại q∗ ∈ Q. Khi đó,
p
v được gọi là hướng pháp tuyến dương nếu v ∈ intR+
và ta gọi v là hướng pháp
p
tuyến không âm nếu v ∈ R+
\ {0}.

Khái niệm hướng pháp tuyến dương và hướng pháp tuyến không âm sẽ được sử
dụng để mô tả điều kiện hữu hiệu hay hữu hiệu yếu của một điểm trên một tập,
11


cũng như điều kiện hữu hiệu hay hữu hiệu yếu của một nghiệm của bài toán quy
hoạch đa mục tiêu.

Hình 1.4: Hướng pháp tuyến dương (t.ư., không âm) của Q tại điểm hữu hiệu q3 (t.ư. hữu hiệu yếu q1 )

Kết quả quen thuộc (xem Định lý 2.10, Định lý 2.11 [57, tr. 91]) sau đây cho
ta điều kiện nhận biết điểm hữu hiệu (t.ư. hữu hiệu yếu) của một tập Q thông qua
hướng pháp tuyến của Q tại điểm đó.
Định lý 1.5. Cho tập lồi khác rỗng Q ⊂ R p . Khi đó:
i) Nếu tồn tại một hướng pháp tuyến dương của Q tại q∗ ∈ Q thì q∗ là điểm hữu
hiệu của Q;
ii) Điểm q∗ ∈ Q là điểm hữu hiệu yếu của Q khi và chỉ khi tồn tại một hướng
pháp tuyến không âm của Q tại q∗ .
Hình 1.4 minh họa một hướng pháp tuyến dương v3 của tập Q tại điểm hữu hiệu
q3 và hướng pháp tuyến không âm v1 của tập Q tại điểm hữu hiệu yếu q1 .

Khẳng định (i) của Định lý 1.5 chỉ là điều kiện đủ, tức không phải tại điểm
hữu hiệu nào của Q cũng tồn tại một hướng pháp tuyến dương. Chẳng hạn, xét
Q = {q ∈ R2 | q ≤ 1}. Dễ thấy, điểm q∗ = (−1, 0) là điểm hữu hiệu của Q
nhưng rõ ràng không có ξ ∈ intR2+ để ξ , q − q∗ ≥ 0 với mọi q ∈ Q.
Mệnh đề 1.6. (Xem Mệnh đề 5.24 [58]) Nếu tập Q ⊂ R p là đóng thì tập điểm hữu
hiệu yếu WMinQ là tập đóng. Nếu Q là tập compact thì WMinQ là tập compact.
12


Lưu ý rằng, tập điểm hữu hiệu MinQ chưa chắc là tập đóng, kể cả khi Q là tập
compact. Chẳng hạn, xét tập
Q = {q ∈ R2 | q1 + q2 ≥ 1, q1 ≤ 1, q2 ≤ 1} ∪ {(−1, 1)}.
Dễ thấy Q là tập compact nhưng MinQ không phải là tập đóng. Cụ thể, ta có
MinQ = {(−1, 1)} ∪ {q ∈ R2 | q1 + q2 = 1, q1 ≤ 1, q2 < 1}.
Như đã biết, ngay trong trường hợp đơn giản nhất, khi Q ⊂ R p là tập lồi đa diện,
tập điểm hữu hiệu và tập điểm hữu hiệu yếu của Q tuy là tập liên thông đường gấp
khúc, bao gồm một số diện đóng của Q, nhưng nói chung, chúng là các tập không
lồi và có cấu trúc phức tạp (xem Định lý 2.2 [57, trang 137]).
Trường hợp đặc biệt, khi Q là tập lồi đóng khác rỗng trong R2 thì tập điểm hữu
hiệu của Q có tính chất rất đặc sắc như được mô tả trong kết quả sau. Tính chất này
là công cụ hữu ích trong việc xây dựng các thuật toán để giải bài toán tối ưu trên
tập nghiệm hữu hiệu của bài toán quy hoạch hai mục tiêu lồi, được trình bày trong
Chương 4 của luận án.
Định lý 1.6. (Xem Định lý 1.2 [40] và Định lý 3 [74]) Cho Q ⊂ R2 là một tập lồi
đóng khác rỗng và có điểm hữu hiệu. Khi đó, tập điểm hữu hiệu MinQ đồng phôi
với một đoạn đóng khác rỗng trong R.
p
p
Xét một tập đóng khác rỗng Q ⊂ R p . Dễ thấy Q + R+
và Q − R+

là hai tập
p
đóng có thứ nguyên đầy đủ. Mối quan hệ thú vị của hai tập Q và Q + R+
(t. ư., của
p
hai tập Q và Q − R+
) được phát biểu trong Mệnh đề 1.7 đóng vai trò quan trọng

trong việc xây dựng các thuật toán trong các chương sau. Để đơn giản, ta ký hiệu
p
Q+ = Q + R+
= {y ∈ R p |y ≥ q với q ∈ Q},

(1.1)

p
Q− = Q − R+
= {y ∈ R p |y ≤ q với q ∈ Q}.

Xem minh họa Q và Q+ ở Hình 1.5. Sau đây là một số tính chất hữu dụng của hai
tập Q+ và Q− sẽ được sử dụng về sau (xem [11], [93]).
Mệnh đề 1.7. Cho tập đóng khác rỗng Q ⊂ R p . Khi đó,
i) MinQ = MinQ+ và MaxQ = MaxQ− ;
13


ii) WMinQ = WMinQ+ ∩ Q và WMaxQ = WMaxQ− ∩ Q;
iii) Nếu y∗ ∈ WMinQ+ và q∗ ∈ Q thỏa mãn y∗ ≥ q∗ , thì q∗ ∈ WMinQ;
iv) Nếu y∗ ∈ WMaxQ− và q∗ ∈ Q thỏa mãn y∗ ≤ q∗ , thì q∗ ∈ WMaxQ.

Hình 1.5: Minh họa tập Q và Q+

Theo Mệnh đề 1.7(i), để thuận tiện, ta gọi Q+ và Q− là các tập tương đương
hữu hiệu của Q theo nghĩa cực tiểu và theo nghĩa cực đại, tương ứng. Khái niệm
này đã được sử dụng trong [47].
Tập các điểm hữu hiệu yếu WMinQ+ (t.ư., WMaxQ− ) có mối liên hệ với biên
∂ Q+ của tập Q+ (t.ư., biên ∂ Q− của tập Q− ) như mô tả ở mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.8.

∂ Q+ = WMinQ+ và ∂ Q− = WMaxQ− .

Chứng minh. Do tính tương tự, ta chỉ cần chứng minh ∂ Q+ = WMinQ+ . Thật vậy,
lấy tùy ý một điểm y¯ trên biên của Q+ . Ta sẽ chứng minh y¯ là một điểm hữu hiệu
yếu của Q+ . Thật vậy, giả sử phản chứng y¯ không phải là một điểm hữu hiệu yếu
của Q+ . Theo định nghĩa, tồn tại một điểm y ∈ Q+ thỏa mãn y¯ > y. Khi đó
p
p
y¯ ∈ y + intR+
⊆ Q+ + intR+
⊆ intQ+ .

14


Điều này trái với giả thiết y¯ ∈ ∂ Q+ . Vậy y¯ ∈ WMinQ+ , tức ∂ Q+ ⊆ WMinQ+ . Hơn
nữa, như đã biết, mọi điểm hữu hiệu yếu của một tập đều thuộc biên của nó, tức là
WMinQ+ ⊆ ∂ Q+ . Suy ra điều phải chứng minh.
m
M
M

M
Ký hiệu ym = (ym
1 , . . . , y p ) và y = (y1 , . . . , y p ), trong đó với mỗi i ∈ {1, . . . , p},
M
tọa độ ym
i và yi tương ứng là giá trị tối ưu của bài toán

min yi v.đ.k. y ∈ Q

(Pm (i))

max yi v.đ.k. y ∈ Q.

(PM (i))

và bài toán

Dễ thấy là ym và yM luôn được xác định trong trường hợp Q là các tập compact
khác rỗng. Như thường lệ, điểm ym và yM tương ứng được gọi là điểm lý tưởng
theo nghĩa cực tiểu và điểm lý tưởng theo nghĩa cực đại của tập Q. Dễ chứng minh
rằng, nếu ym ∈ Q thì MinQ = {ym }. Tương tự, nếu yM ∈ Q thì MaxQ = {yM }.
Chọn hai điểm b, yO ∈ R p thỏa mãn
ym > b > yO .

(1.2)

p
Khi đó, qua mỗi điểm v ∈ (b + R+
) \ Q+ , ta có thể xác định được một điểm hữu

hiệu yếu của tập Q+ nằm trên tia xuất phát từ yO và đi qua v (xem Hình vẽ 1.6).

Hình 1.6: Cách xác định một điểm hữu hiệu yếu của tập Q+

15