Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy. (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÁO CÁO TÓM TẮT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

GIẢM BẬC CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẠCH ĐIỆN
PHỤ THUỘC THAM SỐ DỰA TRÊN NỘI SUY
Mã số: ĐH2014-TN07-01

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thanh Sơn

THÁI NGUYÊN, 05/2017


Thành viên tham gia và đơn vị phối hợp
I. NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
TT
1
2
3

Họ và tên
TS. Nguyễn Thanh Sơn
TS. Mai Viết Thuận
ThS. Nguyễn Song Hà

Đơn vị công tác
Khoa Toán-Tin, Trường ĐHKH
Khoa Toán-Tin, Trường ĐHKH
Khoa Toán-Tin, Trường ĐHKH

Vai trò
Chủ nhiệm
NCV chủ chốt
NCV+Thư ký

II. ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH
Đơn vị phối hợp
Viện Toán học, ĐH
Tổng hợp Augsburg,
CHLB Đức

Nội dung phối hợp
Định hướng và hợp tác nghiên cứu,
cung cấp phần mềm PABTEC

Đại diện
GS.TS. Tatjana
Stykel


1

Mục lục
Thành viên tham gia và đơn vị phối hợp
Thông tin kết quả nghiên cứu

2

Information on research results

3

Mở đầu

4

1

2

3

Phương trình mạch điện và giảm bậc của mô hình
1.1 Phương trình mạch điện . . . . . . . . . . . . .
1.2 Giảm bậc của mô hình . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Giảm bậc của hệ động lực . . . . . . .
1.2.2 Phương pháp giảm cơ sở . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

5
5
5
5
5

Giảm bậc của phương trình mạch điện dựa trên nội suy
2.1 Nội suy trong miền tần số . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nội suy trên đa tạp các không gian chiếu . . . . . . .
2.3 Nội suy trong miền thời gian . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

6
6
7
8
9
9

Chặt cân bằng phụ thuộc tham số
3.1 Giới thiệu phương trình Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Phương pháp giảm cơ sở cho phương trình Lyapunov . . . . .
3.2.1 Thuật toán greedy cho hệ tuyến tính . . . . . . . . . .
3.2.2 Ước lượng sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Xấp xỉ hạng thấp của nghiệm RB của phương trình Lyapunov .
3.3.1 Giai đoạn offline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Giai đoạn online . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Mở rộng cho hệ không đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Ước lượng sai số theo chuẩn Frobenius . . . . . . . .
3.4.2 Ước lượng sai số theo chuẩn logarit . . . . . . . . . .
3.5 Chặt cân bằng phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

10
10
10
10
11
12

12
12
13
13
14
14
15
15

.
.
.
.

.
.
.
.


2
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Trường Đại học Khoa học

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Giảm bậc của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy.
- Mã số: ĐH2014-TN07-01.
- Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thanh Sơn.
- Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.

- Thời gian thực hiện: Tháng 01 năm 2014 tới tháng 12 năm 2015.
2. Mục tiêu:
- Nghiên cứu giảm bậc phương trình mạch điện phụ thuộc tham số bằng nội suy.
- Áp dụng các kết quả lý thuyết vào mô hình thực tế.
- Nâng cao năng lực nghiên cứu, giảng dạy của cá nhân chủ nhiệm đề tài.
- Duy trì và tăng cường quan hệ với các đối tác, hình thành nhóm nghiên cứu trong nước.
3. Tính mới và sáng tạo:
- Đề xuất sử dụng PABTEC và nội suy cho phương trình mạch điện phụ thuộc tham số.
- Đề xuất sử dụng phương pháp giảm cơ sở cho phương trình Lyapunov và những kết quả lý thuyết
thu được.
- Đề xuất phương pháp mới: chặt cân bằng phụ thuộc tham số.
4. Kết quả nghiên cứu:
- Mở rộng một số phương pháp PMOR tiêu chuẩn cho hệ đại số.
- Phát triển phương pháp chặt cân bằng phụ thuộc tham số từ kết quả giải số phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số.
- Minh họa tất cả các vấn đề lý thuyết bằng chương trình MATLAB với các mô hình thực tế.
5. Sản phẩm:
5.1. Sản phẩm khoa học.
1. Son N.T. , Stykel T. (2015), “Model order reduction of parameterized circuit equations based
on interpolation”, Advances in Computational Mathematics, 41 (5), pp. 1321-1342. (SCIE)
2. Son N. T., Stykel T. (2017), “Solving parameter-dependent Lyapunov equations using the reduced basis method with application to parametric model order reduction”, SIAM Journal of Matrix
Analysis and Applications, (to appear). (SCI)
5.2. Sản phẩm đào tạo.
Chủ nhiệm đề tài đã hướng dẫn 3 học viên cao học bảo vệ thành công trong năm 2015:
1. Lê Thị Phương Giang (2015), Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời
gian bằng phương pháp chặt cân bằng, luận văn thạc sĩ, trường ĐHKH - ĐHTN.
2. Nguyễn Văn Lộc (2015), Giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian sử
dụng phân tích trực giao, luận văn thạc sĩ, trường ĐHKH - ĐHTN.
3. Phạm Thị Thùy Nhung (2015), Phương pháp giảm cơ sở giải phương trình elliptic bức tuyến
tính phụ thuộc tham số, luận văn thạc sĩ, trường ĐHKH - ĐHTN.
6. Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả

nghiên cứu: :
- Có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên, nghiên cứu sinh chuyên ngành
Toán ứng dụng.


3

- Có thể được sử dụng trong quá trình thiết kế, mô phỏng mạch điện, quá trình truyền dẫn nhiệt.
- Hai đóng góp khoa học, đào tạo ba thạc sĩ toán học, và góp phần hoàn thiện bài giảng môn "Mô
hình và lập mô hình toán học"
INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
- Project title: Model order reduction of parameterized circuit equations based on interpolation.
- Code number: ĐH2014-TN07-01.
- Coordinator: Dr. Nguyen Thanh Son.
- Implementing institution: TNU - University of Sciences.
- Duration: from January 2014 to December 2015.
2. Objectives
- Investigating the application of PMOR methods to parameterized circuit equations.
- Applying the theoretical results to practical models.
- Enhancing the research and training ability of the coordinator.
- Maintaining and enhancing the cooperations, establishing a group working on MOR.
3. Creativeness and innovativeness:
- The idea of using PABTEC and interpolation for parameterized circuit equations;
- The idea of using the reduced basis method for parametric Lyapunov equations;
- A novel method: parametric balanced truncation.
4. Research results:
- Extending standard interpolation based PMOR methods for circuit equations.
- Developing the parametric balanced truncation method based on the result of solving parametric
Lyapunov equations.

- Illustrating all theoretical results with practical models.
5. Products:
5.1. Scientific results.
1. Son N.T., Stykel T. (2015), “Model order reduction of parameterized circuit equations based
on interpolation”, Advances in Computational Mathematics, 41 (5), pp. 1321-1342. (SCIE)
2. Son N. T., Stykel T. (2017), “Solving parameter-dependent Lyapunov equations using reduced
basis method with application to parametric model order reduction”, SIAM Journal of Matrix Analysis
and Applications, (to appear). (SCI)
5.2. Training results.
Supervising 3 master students those successfully defended their theses in 2015:
1. Lê Thị Phương Giang (2015), Model Order Reduction of Linear Time-Invariant Systems Using
the Balanced Truncation Method, Master thesis, TNU - University of Sciences.
2. Nguyễn Văn Lộc (2015), Model Order Reduction of Linear Time-Invariant Systems Using
Proper Orthogonal Decomposition, Master thesis, TNU - University of Sciences.
3. Phạm Thị Thùy Nhung (2015), The Reduced Basis Method for Solving Parametric Linear
Coercive Elliptic Equations, Master thesis, TNU - University of Sciences.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results:
- Materials for bachelor, master and PhD students whose major is Applied Mathematics.
- The derived results can be used in design, simulation of electrical circuits, heat transfer.
- Publishing two papers, supervising three master students, compilling the lecture notes “Mathematical Models and Modelling”.


4

Mở đầu
Yêu cầu ngày càng khắt khe của đời sống và công nghệ đòi hỏi phải chế tạo những mạch điện
tích hợp rất nhỏ nhưng có số lượng lớn các thành phần. Hiện tại, một bộ vi xử lý Core i7 của Intel với
diện tích 263 mm2 chứa 731 triệu transistors. Vi mạch tích hợp là bộ phận thiết yếu và có mặt hầu
hết trong các công cụ của cuộc sống như máy vi tính, điện thoại di động, các thiết bị tự động, tên lửa
thông minh, radar, v.v.,... Sử dụng phương pháp MNA (Modified Nodal Analysis), ta mô hình hóa

mạch điện dạng
E(p)x(t)
˙
= A(p)x(t) + Bu(t),

(1)

y(t) = B T x(t),

với


E(p) = 

AC C(p)ATC
0
0

0

0







L(p) 0 , A(p) = 
0

0

−AR G(p)ATR −AL −AV
ATL

0

0

ATV

0

0





(2)

trong đó E(p), A(p) ∈ RN ×N được gọi là các ma trận hệ thống, B ∈ RN ×m là ma trận đầu vào,
x(t) ∈ RN là véctơ trạng thái, véctơ tham số p ∈ P ⊂ Rd .
Trong những mạch tích hợp, cỡ của véctơ, còn được gọi là bậc của mô hình (1) rất lớn, nó làm
cho việc mô phỏng là rất khó thực hiện được hoặc rất mất thời gian, ngay cả với những máy tính hiện
đại. Từ đó, xuất hiện nhu cầu thay thế mô hình (1) bởi một mô hình có bậc thấp hơn
ˆ x
ˆ x(t) + B(p)u(t),
ˆ

E(p)
ˆ˙ (t) = A(p)ˆ
ˆ x(t),
yˆ(t) = C(p)ˆ

(3)

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
trong đó E(p),
A(p)
∈ Rr×r , B(p)
∈ Rr×m , C(p)
∈ Rm×r và r
N sao cho (3) xấp xỉ (1) với mọi
giá trị của p trong một miền tham số cho trước. Bài toán này được gọi là giảm bậc của mô hình phụ
thuộc tham số (Parametric Model Order Reduction - PMOR). Thêm vào đó trong phương trình mạch
điện, E(p) không khả nghịch. Điều này một mặt gây ra rất nhiều khó trong việc tính toán, mô phỏng
nhưng cũng là đặc điểm thú vị hấp dẫn các nghiên cứu chuyên sâu.
Chúng tôi sử dụng một cách tiếp cận dựa trên nội suy và phương pháp chặt cân bằng bảo toàn
tính thụ động cho mạch điện- PABTEC (PAssivity preserving Balanced Truncation for Electrical
Circuits). Đây là một phương pháp được thiết kế riêng chuyên để giảm bậc của phương trình mạch
điện không phụ thuộc tham số.
Trong một hướng đi khác, chúng tôi muốn giải bài toán này bằng phương pháp chặt cân bằng
(BT - Balanced truncation method) một cách linh hoạt và uyển chuyển hơn. Như đã biết, để sử dụng
phương pháp BT, ta phải giải một cặp phương trình Lyapunov đối ngẫu để có các gramian điều khiển
(controllability gramian) và gramian quan sát (observability gramian). Đối với hệ phụ thuộc tham
số, chúng ta phải thực hiện tất cả các bước trên trong sự thay đổi của tham số. Để thực hiện được điều

đó, chúng tôi sử dụng phương pháp giảm cơ sở cho phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số và sau
đó, sử dụng thủ tục phân tích offline-online để xây dựng ROM phụ thuộc tham số.


5

Chương 1

Phương trình mạch điện và giảm bậc của mô
hình
1.1

Phương trình mạch điện

Việc xây dựng mạch điện bằng phương pháp Phân tích nốt cải biên (Modified nodal analysis) cần
đến một số khái niệm của tô pô: Đồ thị định hướng, đỉnh, cạnh, đường nối, dãy mở, vòng, đồ thị liên
thông, ma trận liên thuộc và một số quy luật điện như: Định luật Kirchhoff về cường độ dòng điện và
Định luật Kirchhoff về hiệu điện thế, Quy luật về cấu thành nhánh cho mạch tuyến tính.

1.2

Giảm bậc của mô hình

Chúng tôi sẽ điểm qua những phương pháp giảm thiểu số chiều phổ biến áp dụng cho những bài
toán cỡ lớn phụ thuộc tham số.

1.2.1

Giảm bậc của hệ động lực

Các phương pháp phổ biến bao gồm: phương pháp phân tích trực giao (Proper orthogonal decomposition - POD) [Volkwein/2008], Phương pháp không gian con Krylov [Grimme/1997], Phương
pháp chặt cân bằng [Tombs et al./1987]. Đối với các mạch điện RLC, đối tượng nghiên cứu của đề
tài, phương pháp PABTEC (PAssivity preserving Balanced Truncation for Electrical Circuits) [Reis
et al./2010] được sử dụng vì nó bảo toàn tính thụ động. Các phương pháp giảm bậc của hệ động lực
phụ thuộc tham số có thể được tìm thấy trong quyển luận án [Son/2012] và hai bài báo tổng quan
[Baur et al./2015, Benner et al./2015].

1.2.2

Phương pháp giảm cơ sở

Khác với những phương pháp giảm bậc trình bày ở mục trên, để xử lý những bài toán phụ thuộc
tham số có số chiều cao, phương pháp giảm cơ sở làm việc trực tiếp với dạng biến phân của bài toán.
Ý tượng chủ đạo là xây dựng một không gian con số chiều thấp sao cho sai số của nghiệm xấp xỉ
khi chiếu lên không gian đó vẫn đảm bảo nhỏ hơn một ngưỡng cho trước và số chiều của không gian
giảm càng nhỏ càng tốt. Điều kiện tiên quyết để phương pháp này thành công là một ước lượng sai số
chặt và một chiến thuật tính ước lượng đó nhanh và hiệu quả. Cuối cùng, cơ sở giảm được tìm thông
qua một thuật toán greedy. Độc giả có thể tham khảo các tài liệu [Hesthaven et al./2016, Quarteroni
et al./2016] để tìm hiểu chi tiết phương pháp.


6

Chương 2

Giảm bậc của phương trình mạch điện dựa
trên nội suy
Nội dung chính của chương này là trình bày các kết quả thu được từ việc sử dụng kết hợp các cách
thức nội suy và phương pháp PABTEC để giảm số chiều của phương trình mạch điện phụ thuộc tham
số.

Cho p0 , . . . , pk ∈ P là các véctơ tham số khác nhau được lựa chọn như là các điểm nội suy trong
miền tham số. Tại mỗi điểm pj , ta giảm bậc của hệ vi phân đại số
Ej x˙ j (t) = Aj xj (t) + Bu(t),

(2.1)

yj (t) = B T xj (t)

với Ej = E(pj ) và Aj = A(pj ), j = 0, . . . , k , bởi một hệ giảm bậc
ˆj x
ˆj u(t),
E
ˆ˙ j (t) = Aˆj x
ˆj (t) + B
yˆj (t) = Cˆj x
ˆj (t)

(2.2)

bằng phương pháp PABTEC [Reis et al./2010, 2011]. Trong trường hợp này, các ma trận hệ số trong
(2.2) có dạng
ˆj = ZjT Ej Wj ,
E

Aˆj = ZjT Aj Wj ,

ˆj = ZjT B,
B

Cˆj = B T Wj ,

trong đó các ma trận chiếu Zj , Wj ∈ RN ×r lần lượt xác định những không gian con chiếu.

2.1

Nội suy trong miền tần số

ˆ j (s)), trong đó H
ˆ j (s) = Cˆj (sE
ˆj − Aˆj )−1 B
ˆj là hàm truyền của hệ giảm
Sử dụng dữ liệu (pj , H
ˆ
địa phương (2.2) tại j = 0, . . . , k , ta xây dựng hàm truyền giảm bậc H(p, s) tại p ∈ P bất kỳ bằng
nội suy. Sử dụng nội suy hữu tỉ hoặc nội suy đa thức nhiều biến, ta xây dựng hàm truyền giảm bậc
toàn cục
k

ˆ s) =
H(p,

ˆ j (s),
fj (p)H

(2.3)

j=0

với các hàm trọng fj (p) thỏa mãn fj (pi ) = δij là các hàm đenta Kronecker. Dễ dàng nhận thấy
ˆ s) thỏa mãn điều kiện nội suy H(p

ˆ j , s) = H
ˆ j (s) tại j = 0, . . . , k .
H(p,
Để đánh giá chất lượng của phương pháp giảm bậc, ta sử dụng chuẩn sau
H

L∞ (P)⊗H∞

:= sup sup H(p, s) 2 ,
p∈P s∈C+


7

với ·

2

là ký hiệu chuẩn phổ của ma trận. Khi đó, sai số xấp xỉ có thể được ước lượng như sau
k

ˆ
H −H

L∞ (P)⊗H∞

≤ Ek (H, p, s)

L∞ (P)⊗H∞

với

|fj (p)| ,

+ max ∆j sup
0≤j≤k

p∈P j=0

k

Ek (H, p, s) = H(p, s) −

fj (p)H(pj , s)
j=0

là sai số nội suy, và
ˆ j (·)
∆j = H(pj , ·) − H

H∞

ˆ j (s)
:= sup H(pj , s) − H

2

(2.4)

s∈C+

là sai số địa phương theo chuẩn H∞ . Sử dụng nội suy spline tuyến tính và giả sử rằng hàm truyền
H(p, s) thỏa mãn điều kiện Lipschitz
H(p1 , ·) − H(p2 , ·)

H∞

≤ L p1 − p2

(2.5)

với mọi p1 , p2 ∈ P và hằng số Lipschitz L > 0, ta thu được ước lượng sau
ˆ
H −H

L∞ (P)⊗H∞

≤ Lh + max ∆j ,
0≤j≤k

(2.6)

với ∆j được xác định ở (2.4), và h là bán kính lớn nhất của những miền con của P sinh bởi lưới điểm
nội suy p0 , . . . , pk .

2.2

Nội suy trên đa tạp các không gian chiếu

Trước tiên, chúng tôi muốn lưu ý rằng tập các không gian con có cùng số chiều r của RN lập

thành một đa tạp Riemann. Nó được gọi là đa tạp Grassmann và ký hiệu bởi G(r, N ). Vì vậy, nội suy
tập các không gian chiếu thực ra là nội suy trên đa tạp này. Một thủ tục 4 bước đã được đề xuất trong
[Amsallem/2008] mà ở đó quá trình nội suy thực sự được thực hiện trên không gian tiếp xúc của đa
tạp Grassmann.
Ta ký hiệu TW0G(r, N ) là không gian tiếp xúc của đa tạp G(r, N) tại W0 ∈ G(r, N), LogW0(W)
là logarit của W ∈ G(r, N), ExpW0 (Y) là mũ của Y ∈ TW0 G(r, N ). Tiếp theo, chúng tôi trình bày
lại ở đây thủ tục để nội suy các không gian chiếu phải W0 , . . . , Wk tương ứng sinh bởi W0 , . . . , Wk .
Bước 1 Chọn điểm tiếp xúc cho không gian tiếp xúc, chẳng hạn, W0 .
Bước 2 Ánh xạ W1 , · · · , Wk lên TW0 G(r, N ) bởi LogW0 . Để thực hiện, ta phải tính phân tích giá
trị kỳ dị (SVD)
T
(I − W0 (W0T W0 )−1 W0T )Wj (W0T Wj )−1 (W0T W0 )1/2 = UWj ΣWj VW
j

với j = 1, . . . , k . Khi đó, ảnh YWj = LogW0 (Wj ) được sinh bởi các cột của ma trận
T
YWj = UWj arctan(ΣWj )VW
,
j

và YW0 = LogW0 (W0 ) = 0.

j = 1, . . . , k,

(2.7)


8

Bước 3 Nội suy trên TW0 G(r, N ) bằng một kỹ thuật nào đó: với gia trị tham số p ∈ P, các cột của

ma trận
k

YW (p) =

fj (p)YWj ,

(2.8)

j=1

trong đó fj (p) là các hàm trọng phụ thuộc vào phương pháp nội suy mà ta sử dụng, sinh ra
không gian con YW (p) thuộc TW0 G(r, N ).
Bước 4 Ánh xạ YW (p) trở về đa tạp Grassmann G(r, N ) bởi ExpW0 . Để đạt mục đích này, trước tiên
ta phải tính phân tích SVD
YW (p) = UW (p)ΣW (p)VW (p)T

(2.9)

W (p) = W0 (W0T W0 )−1/2 VW (p) cos(ΣW (p)) + UW (p) sin(ΣW (p))

(2.10)

và sau đó biểu diễn ma trận

của không gian con cần tìm W(p) = ExpW0 (YW (p)).
Một thủ tục tương tự để nội suy các không gian chiếu trái Z1 , . . . , Zk lần lượt sinh bởi Z0 , . . . , Zk ,
để nhận được Z(p) với ma trận cơ sở
Z(p) = Z0 (Z0T Z0 )−1/2 VZ (p) cos(ΣZ (p)) + UZ (p) sin(ΣZ (p)).

(2.11)

Khi đó, các ma trận của hệ giảm bậc (2.2) có thể được xác định bằng phép chiếu
ˆ
ˆ
E(p)
= Z T (p)E(p)W (p), A(p)
= Z T (p)A(p)W (p),
T
ˆ
ˆ
B(p)
= Z (p)B,
C(p)
= CW (p).

(2.12)

Tiếp đó, chúng tôi trình bày một mở rộng của [Son/2013] cho hệ phương trình mạch điện nhằm
đẩy nhanh tốc độ tính toán thông qua một thủ tục offline-online. Cụ thể xin xem trong bản Báo cáo
tổng kết.

2.3

Nội suy trong miền thời gian

Chúng tôi sử dụng hai phương pháp [Panzer et al./2010] và [Amsallem et al./2011] để thực hiện
các bước nội suy trên những đa tạp các ma trận của hệ giảm bậc một cách thích hợp.
Cho RW và RZ tương ứng là các ma trận cỡ N × r có cột là các véctơ kỳ dị trái của ma trận
[W0 , . . . , Wk ] và [Z0 , . . . , Zk ], tương ứng với r giá trị kỳ dị lớn nhất. Sau đó, các hệ giảm bậc địa

phương (2.2) được chuyển về dạng
ˆj Tj x
ˆj u(t),
Mj E
˜˙ j (t) = Mj Aˆj Tj x
˜j (t) + Mj B
yˆ(t) = Cˆj Tj x
˜j (t),

(2.13)

T W )−1 và M = (Z T R )−1 , và các ma trận vừa tính được được sử dụng như là các
với Tj = (RW
j
j
Z
j
dữ liệu cho nội suy để thu được hệ giảm bậc toàn cục tại giá trị bất kỳ p.
Ý tưởng thứ hai trình bày trong [Amsallem et al./2011] dựa trên việc tối tiểu hóa sự khác nhau
giữa các không ma trận chiếu. Phương pháp này cũng có thể mở rộng được lên cho hệ vi phân đại số.


9

Trước tiên, ta chọn một ma trận chiếu gốc, chẳng hạn, W0 và Z0 , cho ma trận phải và trái và giải bài
toán tối thiểu
Qj = argmin Wj Q − W0

2
F,

Q∈GL(r)

Rj = argmin Zj R − Z0

2
F

R∈GL(r)

với j = 1, . . . , k , trong đó GL(r) ký hiệu tập các ma trận khả nghịch cỡ r × r. Sau đó, Wj và Zj
được thay thế bởi Wj Qj và Zj Rj , tương ứng sinh ra các không gian con Wj và Zj nhưng gần W0 và
Z0 nhất trong tập tất cả các ma trận sinh ra cùng không gian con Wj và Zj . Ma trận của hệ giảm địa
phương trở thành
˜j = RjT E
ˆj Qj ,
E

A˜j = RjT Aˆj Qj ,

˜ j = RT B
ˆ
B
j j,

C˜j = Cˆj Qj .

(2.14)

Bước cuối cùng là nội suy các hệ đã được điều chỉnh này. Do các ma trận này thường có những tính

chất đặc biệt nào đó, chẳng hạn, tính khả nghịch, tính đối xứng xác định dương, nội suy trực tiếp có
thể không thực hiện được giống như trong trường hợp của đa tạp Grassmann. Vì lí do này, ta nên sử
dụng thủ tục 4 bước giống như ở mục trước.

2.4

Ví dụ số

Trong mục này, ta xét hai mạch điện. Đây là các mô hình được cung cấp bởi công ty NEC Display
Solutions Europe có trụ sở chính ở Munich. Các thông tin và kết quả tính toán số được trình bày chi
tiết trong Báo cáo tổng kết. Ở đây, chúng tôi chỉ đưa ra một vài kết luận dựa trên những kết quả số
thu được.
• Nội suy không gian chiếu cho kết quả tốt nhất.
• Nội suy trong miền thời gian với ma trận được điều chỉnh [Amsallem et al./2011] cho kết quả
tốt hơn cách tiếp cận [Panzer et al./2010].
• Nội suy trong miền tần số bởi spline tuyến tính cho kết quả tốt hơn bởi nghịch đảo khoảng cách.

2.5

Kết luận

Trong chương này, bài toán giảm bậc của mạch điện phụ thuộc tham số dựa trên nội suy đã được
trình bày. Chúng tôi đã mở rộng và phát triển 3 phương pháp nội suy phổ biến cho giảm bậc của hệ
tiêu chuẩn phụ thuộc tham số cho hệ vi phân đại số phụ thuộc tham số: Nội suy trong miền tần số,
nội suy không gian chiếu và nội suy trong miền thời gian. Bên cạnh khía cạnh tính toán, khám phá
cấu trúc đặc biệt của mô hình mạch điện, chúng tôi cũng tìm hiểu việc bảo toàn các tính chất quan
trọng của mạch điện như tính thụ động và tính khả đảo.


10

Chương 3

Chặt cân bằng phụ thuộc tham số
Như đã trình bày trong Chương 1, khi sử dụng chặt cân bằng, người ta phải giải một cặp phương
trình Lyapunov đối ngẫu, sử dụng nghiệm của nó để xây dựng phép biến đổi cân bằng và rồi chặt đi
những trạng thái có ít vài trò hay không quan trọng. Trong trường hợp hệ phụ thuộc tham số, phương
trình Lyapunov và các bước sau đó đều phụ thuộc tham số. Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt cách tiếp
cận sử dụng phương pháp giảm cơ sở để giải bài toán này.

3.1

Giới thiệu phương trình Lyapunov

Đối tượng chính trong chương này phương trình Lyapunov đại số phụ thuộc tham số (Parametric
algebraic Lyapunov equations - PALE)
A(µ)X(µ)E T(µ) + E(µ)X(µ)AT(µ) = −B(µ)B T(µ),

(3.1)

trong đó A(µ), E(µ) ∈ RN ×N và B(µ) ∈ RN ×m với m
N cho trước. Ma trận hệ số và vế phải
của phương trình phụ thuộc vào tham số µ nằm trong một miền compact D ⊂ Rd . Ta sẽ giả sử trong
toàn bộ chương này, ma trận E(µ) là khả nghịch, và mọi giá trị riêng suy rộng của chùm ma trận
λE(µ) − A(µ) có phần thực âm so với mọi giá trị của tham số µ ∈ D. Với các giả thiết này, phương
trình (3.1) có một nghiệm duy nhất đối xứng, nửa xác định dương X(µ) với mọi µ ∈ D.

3.2

Phương pháp giảm cơ sở cho phương trình Lyapunov

Với những giá trị đã được chọn µ1 , . . . , µk ∈ D, ta xây dựng một ma trận cơ sở giảm
Vk = [ x(µ1 ), . . . , x(µk ) ],

(3.2)

trong đó x(µj ) là nghiệm của phương trình tại µ = µj với j = 1, . . . , k . Khi đó, với mỗi µ ∈ D, một
ˆ (µ), với x
ˆ (µ) là nghiệm của
nghiệm xấp xỉ có thể được tính bằng phép chiếu Galerkin x(µ) ≈ Vk x
hệ tuyến tính giảm chiều
ˆ
ˆ x(µ) = b(µ)
L(µ)ˆ
(3.3)
ˆ
ˆ
với L(µ)
= VkT L(µ)Vk và b(µ)
= VkT b(µ).

3.2.1

Thuật toán greedy cho hệ tuyến tính


11
Algorithm 1 Thuật toán greedy cho hệ tuyến tính
Input: ngưỡng tolrb , tập thế Dtrain , giá trị tham số đầu µ1 ∈ Dtrain .
Output: một ma trận cơ sở Vk .

1: giải L(µ1 )x(µ1 ) = b(µ1 ).
2: giải ∆max
> tolrb , M1 = {µ1 }, V1 = x(µ1 ), và k = 2.
1
3: while ∆max
k−1 ≥ tolrb do
4:
µk = arg max ∆k−1 (µ)
µ∈Dtrain \Mk−1

5:
6:
7:
8:
9:
10:

∆max
= ∆k−1 (µk )
k
Mk = Mk−1 ∪ {µk }
giải L(µk )x(µk ) = b(µk )
Vk = [ Vk−1 , x(µk ) ]
k ←k+1
end while

3.2.2

Ước lượng sai số

Trước tiên, chúng tôi sẽ ràng buộc thêm một số điều kiện cho bài toán đang xét. Thật vậy, ta giả
sử rằng ma trận A(µ), E(µ) và B(µ) là phụ thuộc afin vào tham số µ, tức là,
nA

(A1)

nE

θjA (µ)Aj , E(µ) =

A(µ) =
j=1

nB

θjE (µ)Ej , B(µ) =
j=1

θjB (µ)Bj ,
j=1

trong đó Aj , Ej và Bj là độc lập với µ, nA , nE và nB là rất nhỏ so với N , θjA (µ), θjE (µ) và θjB (µ)
liên tục trong D và tính toán giá trị của các hàm đó tại mỗi µ ∈ D là rất rẻ.
Thêm vào đó, ta đòi hỏi ma trận −A(µ) và E(µ) là bức tham số, tức là,
(A2)

Ej = EjT ≥ 0 và θjE (µ) > 0 với mọi µ ∈ D và j = 1, . . . , nE ,

(A3)

−Aj = −ATj ≥ 0 và θjA (µ) > 0 với mọi µ ∈ D và j = 1, . . . , nA .

Với µ
¯ ∈ D cố định, ta định nghĩa các hàm sau đây
L,¯
µ
θmin
(µ) =

min

i=1,...,nE
j=1,...,nA

L (µ)
θij
L (¯
θij
µ)

L,¯
µ
, θmax
(µ) =

max

i=1,...,nE
j=1,...,nA

L (µ)
θij
L (¯
θij
µ)

, θL,¯µ (µ) =

L,¯
µ
θmax
(µ)
L,¯
µ
θmin
(µ)

.

Bổ đề 3.1. Cho E(µ) và A(µ) thỏa mãn (A1)– (A4) và µ
¯, µ
¯1 , µ
¯2 ∈ D.
1. Với mọi µ ∈ D, hằng số bức α(µ) bị chặn dưới bởi
L,¯
µ
A,¯
µ1 ;E,¯
µ2
L

α(µ) ≥ αLB (µ) := max αLB
(µ), αLB
(µ), αLB
(µ) > 0,

(3.4)

trong đó
L,¯
µ
αLB
(µ)

L,¯
µ
= 2 θmin
(µ) λmin −A(¯
µ) λmin E(¯
µ) ,

A,¯
µ1 ;E,¯
µ2
A,¯
µ1
E,¯
µ2
αLB
(µ) = 2 θmin
(µ) θmin

(µ) λmin −A(¯
µ1 ) λmin E(¯
µ2 ) ,
nE nA
L (µ)
αLB

L
θij
(µ) λmin (−Aj ) λmin (Ei ).

=2
i=1 j=1

2. Với mọi µ ∈ D, hằng số liên tục γ(µ) bị chặn trên bởi
L,¯
µ
A,¯
µ1 ;E,¯
µ2
L
γ(µ) ≤ γUB (µ) := min γUB
(µ), γUB
(µ), γUB
(µ) ,

(3.5)


12

trong đó
L,¯
µ
γUB
(µ)

L,¯
µ
= 2 θmax
(µ) λmax −A(¯
µ) λmax E(¯
µ) ,

A,¯
µ1 ;E,¯
µ2
A,¯
µ1
E,¯
µ2
γUB
(µ) = 2 θmax
(µ) θmax
(µ) λmax −A(¯
µ1 ) λmax E(¯
µ2 ) ,
nE nA
L (µ)
γUB

L
θij
(µ) λmax (−Aj ) λmax (Ei ).

=2
i=1 j=1

Định lý sau đây sẽ cung cấp một ước lượng sai số hậu nghiệm theo chuẩn Euclid cho nghiệm thu
ˆ (µ).
được bằng phương pháp giảm cơ sở Vk x
Định lí 3.1. Giả sử các giả thiết (A1)– (A4) được thỏa mãn, cho αLB (µ) và γUB (µ) tương ứng như
ˆ (µ) thỏa mãn chặn
trong (3.4) và (3.5). Khi đó, sai số ek (µ) = x(µ) − Vk x
ek (µ) ≤ ∆k (µ) ≤

γUB (µ)
ek (µ) ,
αLB (µ)

(3.6)

trong đó ước tử sai số ∆k (µ) được cho bởi
∆k (µ) =

3.3
3.3.1

rk (µ)
.

αLB (µ)

(3.7)

Xấp xỉ hạng thấp của nghiệm RB của phương trình
Lyapunov
Giai đoạn offline

Ta tóm tắt quy trình này trong thuật toán dưới đây.
Algorithm 2 Thuật toán greedy cho phương trình Lyapunov
Input: ngưỡng sai số tolrb , tập thế Dtrain , tham số đầu µ1 ∈ Dtrain .
Output: ma trận cơ sở Vk .
1: Giải PALE (3.1) tại µ = µ1 để có X(µ1 ) ≈ Z1 Z1T .
2: Đặt ∆max
> tolrb , M1 = {µ1 }, V1 = Z1 , và k = 2.
1
3: while ∆max
k−1 ≥ tolrb do
4:
µk = arg max ∆k−1 (µ)
µ∈Dtrain \Mk−1

5:
6:
7:
8:
9:
10:

∆max

= ∆k−1 (µk )
k
Mk = Mk−1 ∪ {µk }
Giải PALE (3.1) tại µ = µk để có X(µk ) ≈ Zk ZkT
Vk = [ Vk−1 , Zk ]
k ←k+1
end while

3.3.2

Giai đoạn online

Một khi ma trận giảm cơ sở Vk được xây dựng sao cho ước tử sai số không vượt quá một ngưỡng
cho trước, nghiệm của phương trình PALE (3.1) tại mỗi µ ∈ D có thể nhận trong giai đoạn online
T =: X
ˆ
ˆ RB (µ), với X(µ)
ˆ
như sau X(µ) ≈ V X(µ)V
là nghiệm của phương trình Lyapunov giảm
k

k

ˆ X(µ)
ˆ
ˆ T(µ) + E(µ)
ˆ X(µ)
ˆ
ˆ B

ˆ T(µ)
A(µ)
E
AˆT(µ) = −B(µ)

(3.8)


13
ˆ
ˆ
ˆ
với E(µ)
= VkT E(µ)Vk , A(µ)
= VkT A(µ)Vk và B(µ)
= VkT B(µ). Do −A(µ) và E(µ) là đối xứng
xác định dương, phương trình này có nghiệm một nghiệm duy nhất đối xứng nửa xác định dương
ˆ
ˆ Zˆ T(µ). Khi đó X
ˆ RB (µ) có thể được viết dưới dạng tích X
ˆ RB (µ) = Z (µ)Z T (µ)
X(µ)
= Z(µ)
RB
RB
ˆ .
với ZRB (µ) = Vk Z(µ)
Cho
ˆ k (µ) = A(µ)X
ˆ RB (µ)E T(µ) + E(µ)X

ˆ RB (µ)AT(µ) + B(µ)B T(µ)
R
(3.9)
ˆ RB (µ). Khi đó sai số X(µ) − X
ˆ RB (µ) có thể được ước
là thặng dư tương ứng với nghiệm xấp xỉ X
lượng tương tự như trường hợp hệ tuyến tính
ˆ RB (µ)
X(µ) − X

F

≤

ˆ k (µ)
R
α(µ)

F

≤

ˆ k (µ) F
R
ˆ k (µ)
=: ∆
αLB (µ)

(3.10)

với αLB (µ) như trong (3.4).

3.4

Mở rộng cho hệ không đối xứng

Giả sử chùm ma trận λE(µ) − A(µ) là tán chặt (strictly dissipative), tức là,
E(µ) = E T(µ) > 0,

A(µ) + AT(µ) < 0

(3.11)

với mọi µ ∈ D. Những điều kiện này đảm bảo tính giải được của phương trình Lyapunov giảm (3.8)
với mọi ma trận chiếu Vk . Ta định nghĩa
S(µ) =
LS (µ) =

3.4.1

1
A(µ) + AT(µ) ,
2
1
L(µ) + LT (µ) = −E(µ) ⊗ S(µ) − S(µ) ⊗ E(µ).
2

(3.12)

Ước lượng sai số theo chuẩn Frobenius

Bổ đề 3.2. Cho E(µ) và A(µ) thỏa mãn (A1), (A2), (A3´) and (A4´), và µ
¯, µ
¯1 , µ
¯2 ∈ D.
1. Với mọi µ ∈ D, giá trị kỳ dị nhỏ nhất của L(µ) bị chặn dưới bởi
L,¯
µ
A,¯
µ1 ;E,¯
µ2
L
σmin L(µ) ≥ α
˜ LB (µ) := max α
˜ LB
(µ), α
˜ LB
(µ), α
˜ LB
(µ) > 0,

(3.13)

trong đó
L,¯
µ
α
˜ LB
(µ)

L,¯
µ
= 2 θmin
(µ) λmin −S(¯
µ) λmin E(¯
µ) ,

A,¯
µ1 ;E,¯
µ2
A,¯
µ1
E,¯
µ2
α
˜ LB
(µ) = 2 θmin
(µ) θmin
(µ) λmin −S(¯
µ1 ) λmin E(¯
µ2 ) ,
nE nA
L (µ)
α
˜ LB

L
θij
(µ) λmin (−Sj ) λmin (Ei )

=2
i=1 j=1

với S(µ) như trong (3.12) và Sj = (Aj + ATj )/2.
2. Với mọi µ ∈ D, giá trị kỳ dị lớn nhất của L(µ) bị chặn trên bởi
L,¯
µ
A,¯
µ1 ;E,¯
µ2
L
σmax L(µ) ≤ γ˜UB (µ) := min γ˜UB
(µ), γ˜UB
(µ), γ˜UB
(µ) ,

(3.14)


14

trong đó
L,¯
µ
γ˜UB
(µ)

L,¯
µ
= 2 θmax

(µ) σmax A(¯
µ) λmax E(¯
µ) ,

A,¯
µ1 ;E,¯
µ2
A,¯
µ1
E,¯
µ2
γ˜UB
(µ) = 2 θmax
(µ) θmax
(µ) σmax A(¯
µ1 ) λmax E(¯
µ2 ) ,
nE nA
L (µ)
γ˜UB

L
θij
(µ) σmax (Aj ) λmax (Ei ).

=2
i=1 j=1

ˆ RB (µ) là
Định lí 3.2. Giả sử E(µ) và A(µ) thỏa mãn (A1), (A2), (A3´) và (A4´), và cho XRB (µ) và X

ˆ RB (µ)
các xấp xỉ giảm cơ sở của nghiệm của PALE (3.1). Khi đó, sai số X(µ)−XRB (µ) và X(µ)− X
được ước lượng như sau
X(µ) − XRB (µ)

F

ˆ RB (µ)
X(µ) − X

F

mat(rk (µ)) F
γ˜UB (µ)
=: ∆ns
X(µ) − XRB (µ)
k (µ) ≤
α
˜ LB (µ)
α
˜ LB (µ)
ˆ k (µ) F
R
ˆ ns (µ) ≤ γ˜UB (µ) X(µ) − X
ˆ RB (µ) F ,
≤
=: ∆
k
α
˜ LB (µ)

α
˜ LB (µ)

≤

F,

trong đó α
˜ LB (µ) và γ˜UB (µ) như trong (3.13) và (3.14).

3.4.2

Ước lượng sai số theo chuẩn logarit

Ta định nghĩa chuẩn 2-logarit của chùm ma trận λE(µ) − A(µ)
E(µ), A(µ) = λmax E(µ), S(µ)

và chuẩn ma trận có trọng
X

E(µ)

= GT (µ)XG(µ)

F,

với G(µ) là nhân tử Cholesky của E(µ) = G(µ)GT (µ).
ˆ RB (µ) lần lượt là các nghiệm chính xác và xấp xỉ của PALE (3.1). Khi
Định lí 3.3. Cho X(µ) và X
ˆ

đó, sai số X(µ) − XRB (µ) được ước lượng bởi
ˆ RB (µ)
X(µ) − X

≤

E(µ)

ˆ k (µ)
R

F

E,A,¯
µ
αLB
(µ)

ˆ E,A,¯µ (µ) ≤
=: ∆
k

E,A,¯
µ
γUB
(µ)
E,A,¯
µ
αLB
(µ)

ˆ RB (µ)
X(µ) − X

E(µ) ,

trong đó
E,A,¯
µ
αLB
(µ)

=

E,A,¯
µ
γUB
(µ) =

A,¯
µ
(µ)
θmin
2 E,¯µ
λmin E(¯
µ) λmin E(¯
µ), −S(¯
µ) ,
θ (µ)
A,¯

µ
2 θmax
(µ)σmax A(¯
µ)

θE,¯µ (µ)

λmax E(¯
µ)
,
λmin E(¯
µ)

(3.15)
(3.16)

ˆ k (µ) là thặng dư xác định bởi (3.9).
và R

3.5

Chặt cân bằng phụ thuộc tham số

Cho một hệ điều khiển (mô hình) phụ thuộc tham số
E(µ)x(t,
˙ µ) = A(µ)x(t, µ) + B(µ)u(t, µ),
y(t, µ) = C(µ)x(t, µ),

(3.17)

15

trong đó A(µ), E(µ) và B(µ) thỏa mãn (A1), và ma trận đầu ra C(µ) ∈ Rl×N với l
thuộc afin vào tham số µ,

N cũng phụ

nC

θjC (µ)Cj .

C(µ) =
j=1

Nhờ những kết quả đạt được trong việc giải phương trình Lyapunov, chúng tôi phát triển phương
pháp Chặt cân bằng phụ thuộc tham số được thể hiện ở thủ tục sau đây.
Offline: Cho hệ phụ thuộc tham số (3.17),
• Tính các ma trận giảm cơ sở VX và VY .
• Tính và lưu trữ các ma trận độc lập tham số VXT Ej VX , VYT Ej VY , VYT Ej VX , VXT Aj VX , VYT Aj VY ,
VYT Aj VX , VXT Bj , VYT Bj , Cj VX , Cj VY .

Online: Cho µ ∈ D,
ˆ
ˆ
ˆ
˘
• Tính A(µ)
= VXT A(µ)VX , E(µ)
= VXT E(µ)VX , B(µ)

= VXT B(µ) và A(µ)
= VYT A(µ)VY ,
˘
˘
E(µ)
= VYT E(µ)VY , C(µ)
= C(µ)VY .
• Giải các phương trình Lyapunov giảm để có các nhân tử Cholesky ZX (µ) và ZY (µ).
• Tính phân tích SVD.
• Tính mô hình giảm bậc.

3.6

Ví dụ số

Trong mục này, ta trình bày hai ví dụ số để minh họa cho các tính chất của phương pháp chúng
tôi đề xuất. Mô tả cụ thể các mô hình và kết quả tính toán số được trình bày trong Báo cáo tổng kết.
Ở đây, chúng tôi chỉ đưa ra một số nhận xét.
• Phương pháp giảm cơ sở cho kết quả tốt đối với cả phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số
đối xứng và không đối xứng cỡ lớn.
• Phương pháp chặt cân bằng phụ thuộc tham số được đề xuất cho một phương án rất cạnh tranh
để giải bài toán giảm bậc phụ thuộc tham số so với việc áp dụng trực tiếp phương pháp giảm cơ
sở cho hệ phụ thuộc tham số hay phương pháp chặt cân bằng dựa trên nội suy

3.7

Kết luận

Trong chương này, chúng tôi đã mở rộng phương pháp chặt cân bằng tiêu chuẩn lên cho trường
hợp phụ thuộc tham số dựa vào kết quả về giải phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số bằng

phương pháp giảm cơ sở. Chúng tôi đã sử dụng phương pháp min-θ và thu được một số cận dưới cho
giá trị kỳ dị nhỏ nhất của toán tử Lyapunov, ước lượng sai số và phát triển một thuật toán greedy để
xây dựng cơ sở giảm. Chúng tôi đã có thể giải quyết cả bài toán đối xứng và không đối xứng nhờ sử
dụng chuẩn logarit của ma trận.