Chuyên đề bất đẳng thức

Trần Sĩ Tùng

WWW.ToancapBa.Net

Tuyển tập Bất đẳng thức

PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
3

1.

Cho a, b > 0 chứng minh:

2.

Chứng minh: a + b ≤
2

3.
4.
5.

a3 + b3  a + b 
≥
÷
2
 2 

a2 + b2
2

3
3
Cho a + b ≥ 0 chứng minh: a + b ≥ 3 a + b
2
2
a
b
+
≥ a+ b
Cho a, b > 0 . Chứng minh:
b
a
1
1
2
+
≥
Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1:
2
2
1+ ab
1+ a
1+ b

6.

Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2( a + b + c ) ; a , b , c ∈ R

7.

Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e)

8.

Chứng minh: x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx

9.

a. Chứng minh:

a + b+ c
≥
3

b. Chứng minh:

a2 + b2 + c2  a + b + c 
≥
÷
3
3



ab + bc + ca
; a,b,c ≥ 0
3
2

10. Chứng minh:

a2
+ b2 + c2 ≥ ab − ac + 2bc
4

11. Chứng minh: a2 + b2 + 1≥ ab + a + b
12. Chứng minh: x2 + y2 + z2 ≥ 2xy − 2xz + 2yz
13. Chứng minh: x4 + y4 + z2 + 1≥ 2xy(xy2 − x + z + 1)
1
4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0
14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: a3 + b3 ≥

1
WWW.ToancapBa.Net


Tuyển tập Bất đẳng thức

Trần Sĩ Tùng

II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1.

Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; a,b,c ≥ 0

2.

Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) ≥ 9abc ; a,b,c ≥ 0

3.

Chứng minh: ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c ) ≥ ( 1+ 3 abc )
m

4.
5.
6.
7.
8.

3

với a , b , c ≥ 0

m

a
b
Cho a, b > 0. Chứng minh:  1+ ÷ +  1+ ÷ ≥ 2m + 1 , với m ∈ Z+
b

 a
bc ca ab
+
+

≥ a + b + c ; a,b,c ≥ 0
Chứng minh:
a
b
c
x6 + y9
≥ 3x2y3 − 16 ; x,y ≥ 0
4
1
4
≥ 3a2 − 1.
Chứng minh: 2a +
1+ a2
Chứng minh: a1995 > 1995( a − 1)
,a>0
Chứng minh:

Chứng minh: a2 ( 1+ b2 ) + b2 ( 1+ c2 ) + c2 ( 1+ a2 ) ≥ 6abc .
a
b
c
1 1 1 1
+ 2
+ 2
≤  + + ÷
10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2
2
2
2
2 a b c 

a +b
b +c
a +c
11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ab ≥ a b − 1 + b a − 1.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
9.

13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ≥ 33 ( a − b) ( b − c ) c .
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ≥ 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc
1 
1 
1

c)  1+ ÷ 1+ ÷ 1+ ÷ ≥ 64
 a  b c 
1
x+
≥3
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( x − y) y
16. Chứng minh:
a)

x2 + 2
x2 + 1

17. Chứng minh:
18. Chứng minh:

≥ 2 ,∀x ∈ R

x+ 8

b)

x−1

≥ 6 , ∀x > 1

ab
bc
ca
a + b+ c
+
+
≤
; a, b, c > 0
a + b b+ c c + a
2
x2
4

1+ 16x

+

y2
4

1+ 16y

≤

1
, ∀x , y ∈ R
4
2

c)

a2 + 5
a2 + 1

≥4


Trần Sĩ Tùng

WWW.ToancapBa.Net

Tuyển tập Bất đẳng thức

a
b
c
3
+
+

≥ ;a,b,c>0
b+ c a + c a + b 2
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
1
1
1
1
+
+
≤
a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a. a + b + c + d ≥ 44 abcd
với a , b , c , d ≥ 0
19. Chứng minh:

(Côsi 4 số)

với a , b , c ≥ 0 ,
(Côsi 3 số )
a + b + c ≥ 3 abc
3
3
3
2
2
2
22. Chứng minh: a + b + c ≥ a bc + b ac + c ab ; a , b , c > 0
23. Chứng minh: 2 a + 33 b + 44 c ≥ 99 abc
x 18

24. Cho y = +
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
2 x
x
2
,x > 1 . Định x để y đạt GTNN.
25. Cho y = +
2 x−1
3x
1
+
, x > −1 . Định x để y đạt GTNN.
26. Cho y =
2 x+1
x
5
1
,x > . Định x để y đạt GTNN.
27. Cho y = +
3 2x − 1
2
x
5
+
28. Cho y =
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
1− x x
3

b.

29. Cho y =

x3 + 1
x2

, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.

x2 + 4x + 4
, x > 0.
x
2
2
Tìm GTNN của f(x) = x + 3 , x > 0.
x
Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN.
5
Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
. Định x để y đạt GTLN
2
5
Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ x ≤ 5 . Định x để y đạt GTLN
2
1
5
Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − ≤ x ≤
. Định x để y đạt GTLN
2
2

x
Cho y = 2
. Định x để y đạt GTLN
x +2

30. Tìm GTNN của f(x) =
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.

3
WWW.ToancapBa.Net


Tuyển tập Bất đẳng thức
38. Cho y =

Trần Sĩ Tùng

2

x

( x2 + 2) 3

. Định x để y đạt GTLN

39. ĐỀ THI TUYỂN

SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2012
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P = 3 x − y + 3 y − z + 3 z − x − 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 .
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1.
Chứng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

4


Trần Sĩ Tùng

WWW.ToancapBa.Net

2.
3.

Chứng minh: sinx + cos x ≤ 2
Cho 3a – 4b = 7.
Chứng minh:

4.

Cho 2a – 3b = 7.

Chứng minh:

5.

Cho 3a – 5b = 8.

Chứng minh:

6.

Cho a + b = 2.

Chứng minh:

7.

Cho a + b ≥ 1

Chứng minh:

Tuyển tập Bất đẳng thức

3a2 + 4b2 ≥ 7.
725
3a2 + 5b2 ≥
.
47
2464
7a2 + 11b2 ≥
.
137
a4 + b4 ≥ 2.

1
a2 + b2 ≥
2

I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
Lời giải:
3

1.

Cho a, b > 0 chứng minh:
(*) ⇔

2.

3
3
2
a3 + b3  a + b 
−
≥ 0 ⇔ ( a + b) ( a − b) ≥ 0 . ĐPCM.
÷
8
2
2



2
2

Chứng minh: a + b ≤ a + b ()
2
2
 a + b ≤ 0 , () luôn đúng.



2
2
2
2
(
)2
a + b > 0 , () ⇔ a + b + 2ab − a + b ≤ 0 ⇔ a − b ≥ 0 , đúng.
4
2
4

Vậy: a + b ≤
2
3.

4.

5.

a3 + b3  a + b 
≥
÷ (*)
2

 2 

a2 + b2 .
2
3

3
3
3
3
(
)
Cho a + b ≥ 0 chứng minh: a + b ≥ 3 a + b ⇔ a + b ≤ a + b
8
2
2
2
2
2
2
⇔ 3( b − a) ( a − b ) ≤ 0 ⇔ −3( b − a) ( a + b) ≤ 0 , ĐPCM.

a

+

b

≥ a + b ()
b

a
() ⇔ a a + b b ≥ a b + b a ⇔ ( a − b) a − ( a − b) b ≥ 0
Cho a, b > 0 . Chứng minh:

⇔ ( a − b) ( a − b ) ≥ 0 ⇔ ( a − b ) 2 ( a + b ) ≥ 0 , ĐPCM.
1
1
2
+
≥
Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1:
()
2
2
1
+
ab
1+ a
1+ b

5
WWW.ToancapBa.Net


Tuyển tập Bất đẳng thức
⇔

1
1+ a2

+

1
1+ b2

−

Trần Sĩ Tùng
2

1
1
ab − a
ab − b2
−
≥ 0⇔
+
≥0
1+ ab 1+ ab
( 1+ a2 ) ( 1+ ab) ( 1+ b2 ) ( 1+ ab)

6


Trần Sĩ Tùng

⇔

WWW.ToancapBa.Net

a ( b − a)

b( a − b)

+

( 1+ a ) ( 1+ ab) ( 1+ b2 ) ( 1+ ab)
2

Tuyển tập Bất đẳng thức

≥0 ⇔

b− a  a
b 
−
≥0
1+ ab  1+ a2 1+ b2 ÷


( b − a) 2 ( ab − 1)
b − a  a + ab2 − b − ba2 
≥
0
≥ 0 , ĐPCM.
⇔

÷
1+ ab  ( 1+ a2 ) ( 1+ b2 ) ÷
( 1+ ab) ( 1+ a2 ) ( 1+ b2 )



Vì : a ≥ b ≥ 1 ⇒ ab ≥ 1 ⇔ ab – 1 ≥ 0.
⇔

6.

Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2( a + b + c ) ; a , b , c ∈ R
⇔ ( a − 1) 2 + ( b − 1) 2 + ( c − 1) 2 ≥ 0 . ĐPCM.

7.

Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e)
2
2
2
2
⇔ a − ab + b2 + a − ac + c2 + a − ad + d2 + a − ae + e2 ≥ 0
4
4
4
4
2

2

2

2

⇔  a − b÷ +  a − c ÷ +  a − d÷ +  a − e ÷ ≥ 0 . ĐPCM
2

2

2

2

8.

Chứng minh: x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx
⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy − 2yz − 2zx ≥ 0
⇔

9.

( x − y) 2 + ( x − z ) 2 + ( y − z ) 2 ≥ 0

a. Chứng minh:

a + b+ c
≥
3

ab + bc + ca
; a,b,c ≥ 0
3

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca



2

2
2
2
  a + b + c ÷ = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≥ ab + bc + ca
3
9
3



⇔

a + b+ c
≥
3

ab + bc + ca
3
2

b. Chứng minh:

a2 + b2 + c2  a + b + c 
≥
÷

3
3



3( a2 + b2 + c2 ) = a2 + b2 + c2 + 2( a2 + b2 + c2 )



≥ a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc + ca) = ( a + b + c )
⇒
10. Chứng minh:

2

a2 + b2 + c2  a + b + c 
≥
÷
3
3



a2
+ b2 + c2 ≥ ab − ac + 2bc
4
7
WWW.ToancapBa.Net

2

Tuyển tập Bất đẳng thức

Trần Sĩ Tùng
2

2

⇔ a − a ( b − c ) + b2 + c2 − 2bc ≥ 0 ⇔  a − ( b − c ) ÷ ≥ 0 .
4
2

2
2
11. Chứng minh: a + b + 1≥ ab + a + b
⇔ 2a2 + 2b2 + 2 − 2ab − 2a − 2b ≥ 0
⇔ a2 − 2ab + b2 + a2 + 2a + 1+ b2 + 2b + 1≥ 0
⇔ ( a − b) 2 + ( a − 1) 2 + ( b − 1) 2 ≥ 0 .
12. Chứng minh: x2 + y2 + z2 ≥ 2xy − 2xz + 2yz
⇔ x2 + y2 + z2 − 2xy + 2xz − 2yz ≥ 0 ⇔ (x – y + z)2 ≥ 0.
13. Chứng minh: x4 + y4 + z2 + 1≥ 2x(xy2 − x + z + 1)
⇔ x4 + y4 + z2 + 1− 2x2y2 + 2x2 − 2xz − 2x ≥ 0
⇔ ( x2 − y2 ) + ( x − z ) 2 + ( x − 1) 2 ≥ 0 .
2

1
4
° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b3 = (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3

14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: a3 + b3 ≥
2

⇒ a3 + b3 = 3 a − 1 ÷ + 1 ≥ 1 .

2
4 4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a.
ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).

ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 ⇔ (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2
a > b− c , b > a − c , c > a − b


b.

⇒ a2 > b2 − 2bc + c2 , b2 > a2 − 2ac + c2 , c2 > a2 − 2ab + b2
⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
2

a2 > a2 − ( b − c ) ⇒ a2 > ( a + c − b) ( a + b − c )
2

⇒ b2 > ( b + c − a) ( a + b − c )



b2 > b2 − ( a − c )



c2 > c2 − ( a − b) ⇒ c2 > ( b + c − a) ( a + c − b)
⇒ a2b2c2 > ( a + b − c ) 2 ( a + c − b) 2 ( b + c − a) 2

2

⇔ abc > ( a + b − c ) ( a + c − b) ( b + c − a)
c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0
⇔ 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0
⇔ 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0
⇔ (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0 ⇔ [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0
⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng
° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác
⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
8


Trần Sĩ Tùng

1.

WWW.ToancapBa.Net
Tuyển tập Bất đẳng thức
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; a, b, c ≥ 0
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:
⇒ a + b ≥ 2 ab , b + c ≥ 2 bc , a + c ≥ 2 ac

⇒ ( a + b) ( b + c ) ( a + c ) ≥ 8 a2b2c2 = 8abc .

2.

Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) ≥ 9abc ; a,b,c ≥ 0
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
⇒ a + b + c ≥ 33 abc , a2 + b2 + c2 ≥ 33 a2b2c2

⇒ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 ) ≥ 93 a3b3c3 = 9abc .
3.

Chứng minh: ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c ) ≥ ( 1+ 3 abc ) , với a , b , c ≥ 0.
 ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c ) = 1+ a + b + c + ab + ac + bc + abc.
3



a + b + c ≥ 33 abc , ab + ac + bc ≥ 33 a2b2c2



( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c ) ≥ 1+ 33 abc + 33 a2b2c2 + abc = ( 1+ 3 abc )
m

4.

m



5.

m

a
b
Cho a, b > 0. Chứng minh:  1+ ÷ +  1+ ÷ ≥ 2m + 1 , với m ∈ Z+
b

 a
m

m

m

≥ 2 4m = 2m + 1
bc ca ab
+
+
≥ a + b + c ; a, b, c > 0
Chứng minh:
a
b
c
 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
bc ca
abc2
bc ba
b2ac

+
≥2
= 2c ,
+
≥2
= 2b ,
a
b
ab
a
c
ac
ca ab
a2bc
+
≥2
= 2a
b
c
bc
bc ca ab
+
+
≥ a + b+ c .
⇒
a
b
c

6.

m

b
b a
 a
 b
 a 

 1+ ÷ +  1+ ÷ ≥ 2  1+ ÷ . 1+ ÷ = 2  2 + + ÷
b
a b

 a
 b  a


Chứng minh:

x6 + y9
≥ 3x2y3 − 16 ; x,y ≥ 0 ()
4

() ⇔ x6 + y9 + 64 ≥ 12x2y3 ⇔ ( x2 ) + ( y3 ) + 43 ≥ 12x2y3
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:
3

3

9

WWW.ToancapBa.Net

3


Tuyển tập Bất đẳng thức

( x2 )
7.

3

+(y

)

3 3

Trần Sĩ Tùng

+ 43 ≥ 3x2y3 4 = 12x2y3 .

4
Chứng minh: 2a +

1
1+ a2

4
4

2
() ⇔ a + a + a + 1+

≥ 3a2 − 1 ()
1

1+ a2

≥ 4a2 .
1

4
4
2
Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a , a , a + 1,

a4 + a4 + a2 + 1+
8.

1
2

1+ a

≥ 44 a4a4 ( a2 + 1)

1
1+ a2

1+ a2

= 4a2

Chứng minh: a1995 > 1995( a − 1) ()
,a>0
1995
1995
() ⇔ a
> 1995a − 1995 ⇔ a
+ 1995 > 1995a
1995 1995

a1995 + 1995 > a1995 + 1994 = a1995 + 1
+ ...
1+412
4+
31≥ 1995

a

= 1995a

1994 soá

9.

Chứng minh: a ( 1+ b ) + b ( 1+ c ) + c2 ( 1+ a2 ) ≥ 6abc .
°
a2 ( 1+ b2 ) + b2 ( 1+ c2 ) + c2 ( 1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2


Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:
2

2

2

2

°

6

a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 ≥ 6 a6b6c6 = 6abc
a
b
c
1 1 1 1
+ 2
+ 2
≤  + + ÷
10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2
2
2
2
2 a b c 
a +b
b +c
a +c
a

a
1
b
b
1
c
c
1
≤
=
≤
=
≤
=
°
, 2
, 2
2
2
2
2
2ab
2b
2bc
2c
2ac
2a
a +b
b +c
a +c

a
b
c
1 1 1 1
+
+
≤  + + ÷
° Vậy: 2
a + b2 b2 + c2 a2 + c2 2  a b c 
11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ab ≥ a b − 1 + b a − 1.
°

a = ( a − 1) + 1≥ 2 a − 1, b = ( b − 1) + 1≥ 2 b − 1

°

ab ≥ 2b a − 1, ab ≥ 2a b − 1

° ab ≥ a b − 1 + b a − 1
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
° x = ( x − 1) + 1= ( x − 1) + x + y + z − 3
2
= ( x − 1) + ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ 44 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1)

Tương tự:

2
y ≥ 44 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ;

⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).

10

z ≥ 44 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1)

2


Trần Sĩ Tùng

WWW.ToancapBa.Net

Tuyển tập Bất đẳng thức

3(

13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ≥ 3 a − b) ( b − c ) c .
° a = ( a − b) + ( b − c ) + c ≥ 33 ( a − b) ( b − c ) c
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ≥ 16abc.
2

°
b)
°
c)

2

(1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc
(1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥ 2 bc.2 ac.2 ab = 8abc

1 
1 
1

 1+ ÷ 1+ ÷ 1+ ÷ ≥ 64
 a  b c 
4

1   a + a + b + c  4 a2bc

1
+

÷= 
÷≥
a
a
 a 


°

4

2
° 1+ 1 ≥ 4 ab c
°
b
b
1 

1 
1

  1+ ÷ 1+ ÷ 1+ ÷ ≥ 64
 a  b c 

VT = ( x − y) + y +

1

1+

( x − y) y

≥ 33

4

1 4 abc2
≥
c
c

1
≥3
( x − y) y

x+

15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:



2

 b+ c 
 b+ c 
 1− a 
2

÷ ≥ bc ⇔ 16abc ≤ 16a 
÷ = 16a 
÷ = 4a ( 1− a)
 2 
 2 
 2 
2
2
4a ( 1− a) = ( 1− a) ( 4a − 4a2 ) = ( 1− a) 1− ( 1− 2a)  ≤ 1− a = b + c

°

( x − y) y
=3
( x − y) y

16. Chứng minh:
x2 + 2
≥ 2 ⇔ x2 + 2 ≥ 2 x2 + 1 ⇔ x2 + 1+ 1≥ 2 x2 + 1
a)
x2 + 1

b)
c.

x+ 8
x−1

x − 1+ 9
x−1

= x − 1+

( a2 + 1) + 4 ≥ 2 4( a2 + 1)

17. Chứng minh:
°

=

9
x−1

≥2

= 4 a +1 ⇔
2

x−1

9
x−1

a2 + 5
a2 + 1

=6

≥4

ab
bc
ca
a + b+ c
+
+
≤
; a, b, c > 0
a + b b+ c c + a
2

Vì : a + b ≥ 2 ab
⇒

ab
ab
≤
=
a + b 2 ab

ab
bc

bc
,
≤
=
2
b + c 2 bc
11
WWW.ToancapBa.Net

bc
ac
ac
,
≤
=
2
a + c 2 ac

ac
2


Tuyển tập Bất đẳng thức

Trần Sĩ Tùng

°

a + b + c ≥ ab + bc + ca , dựa vào: a + b + c ≥ ab + bc + ca .

°

ab
bc
ca
+
+
≤
a + b b+ c c + a

2

18. Chứng minh:
°

2

x

4

1+ 16x
2

°


y

x2

1+ 16x
=

4

=

4

+

1+ 16y
x2
1+ 16x

+

4

2

x

1+ ( 4x)
1+ ( 4y)

1
, ∀x , y ∈ R
4

2

=

1
8

2

=

1
8

1+ 16y

2

4

≤

4

≤

y2
1+ 16y

y2

2

y

≤

2

ab + bc + ac a + b + c
≤
2
2

≤

2

2

x2
2.4x
y2
2.4y

1
4

a
b

c
3
+
+
≥ ;a,b,c>0
b+ c a + c a + b 2
Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.
1
° a + b + c = (X + Y + Z)
2
Y + Z− X
Z+ X − Y
X+Y −Z
° a=
,b=
,c =
2
2
2

a
b
c
1  Y X   Z X   Z Y 
+
+
=  + ÷ +  + ÷ +  + ÷ − 3
°
b + c a + c a + b 2  X Y   X Z   Y Z 


1
3
≥ [ 2 + 2 + 2 − 3] = .
2
2
Cách khác:
a
b
c
 a
  b
  c

+
+
=
+ 1÷ + 
+ 1÷ + 
+ 1÷ − 3
°
b+ c a + c a + b  b+ c   a + c   a + b 
1
1
1 
 1
= [ ( a + b) + ( b + c ) + ( c + a) ] 
+
+
÷− 3
2

 b+ c a + c a + b
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
1
[ ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) ]  1 + 1 + 1 ÷ ≥ 9 − 3 = 3
°
2
2
 b+ c a + c a + b 2
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
1
1
1
1
+ 3
+ 3
≤
3
3
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
19. Chứng minh:

°

a3 + b3 = ( a + b) ( a2 − ab + a2 ) ≥ ( a + b) ab
⇒ a3 + b3 + abc ≥ ( a + b) ab + abc = ab( a + b + c ) , tương tự

°

b3 + c3 + abc ≥ ( b + c ) bc + abc = bc ( a + b + c )
12


Trần Sĩ Tùng
°

WWW.ToancapBa.Net

Tuyển tập Bất đẳng thức

c + a + abc ≥ ( c + a) ca + abc = ca ( a + b + c )
1
1
1
1
 a + b+ c 
+
+
=
 VT ≤

÷
ab( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a + b + c  abc 
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a. a + b + c + d ≥ 44 abcd
với a , b , c , d ≥ 0
(Côsi 4 số)
3

3



a + b ≥ 2 ab , c + d ≥ 2 cd



a + b + cd ≥ 2( ab + cd ) ≥ 2 2
3

b.

a + b + c ≥ 3 abc


a + b+ c +
⇔

(

)

ab. cd ≥ 44 abcd

với a , b , c ≥ 0 ,

(Côsi 3 số )

a + b+ c

a + b+ c
≥ 4.4 abc
3
3

a + b+ c 4
a + b+ c
⇔
≥ abc
3
3

4

a + b+ c
 a + b+ c 

÷ ≥ abc
3
3



3

⇔  a + b + c ÷ ≥ abc ⇔ a + b + c ≥ 33 abc .
3


3

3
22. Chứng minh: a + b + c3 ≥ a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > 0
°
°

a3 + abc ≥ 2a2 bc , b3 + abc ≥ 2b2 ac , c3 + abc ≥ 2c2 ab
a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ 2( a2 bc + b2 ac + c2 ab )

⇒ 2( a3 + b3 + c3 ) ≥ 2( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) ,

vì : a3 + b3 + c3 ≥ 3abc
Vậy:

a3 + b3 + c3 ≥ a2 bc + b2 ac + c2 ab

23. Chứng minh: 2 a + 33 b + 44 c ≥ 99 abc
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:
°
VT = a + a + 3 b + 3 b + 3 b + 4 c + 4 c + 4 c + 4 c ≥ 99 abc
x 18
24. Cho y = +
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
2 x


Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: y =

x 18
x 18
+

≥2 .
=6
2 x
2 x

x 18
=
⇔ x2 = 36 ⇔ x = ± 6 , chọn x = 6.
2 x
Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6
x
2
,x > 1 . Định x để y đạt GTNN.
25. Cho y = +
2 x−1
x−1
2
1
+
+
 y=
2
x−1 2
°

Dấu “ = ” xảy ra ⇔

13
WWW.ToancapBa.Net

Tuyển tập Bất đẳng thức

Trần Sĩ Tùng

 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm

x−1 2
,
:
2 x−1

x−1
2
1
x−1 2
1 5
+
+ ≥2
.
+ =
2
x−1 2
2 x−1 2 2
x = 3
x−1
2
2
=
⇔ ( x − 1) = 4 ⇔ 

° Dấu “ = ” xảy ra ⇔
2
x−1
 x = −1(loaïi)
5
Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng
2
3x
1
+
, x > −1 . Định x để y đạt GTNN.
26. Cho y =
2 x+1
3(x + 1)
1
3
+
−
 y=
2
x+1 2
3( x + 1)
1
,
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
:
2
x+1
y=

3( x + 1)
1
3
3( x + 1) 1
3
3
+
− ≥2
.
− = 6−
2
x+1 2
2
x+1 2
2
Dấu “ = ” xảy ra ⇔
y=

°


6
−1
x =
(
)
3 x+1
1
2
2

3
=
⇔ ( x + 1) = ⇔ 
⇔

2
x+1
3
6
− 1(loaïi )
x = −
3

3
6
Vậy: Khi x =
− 1 thì y đạt GTNN bằng 6 −
2
3
x
5
1
,x > . Định x để y đạt GTNN.
27. Cho y = +
3 2x − 1
2
2x − 1
5
1
+

+
 y=
6
2x − 1 3
2x − 1
5
,
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
:
6
2x − 1
2x − 1
5
1
2x − 1 5
1
30 + 1
y=
+
+ ≥2
.
+ =
6
2x − 1 3
6 2x − 1 3
3
Dấu “ = ” xảy ra

30 + 1
x=


2x − 1
5
2
2
=
⇔ ( 2x − 1) = 30 ⇔ 
⇔

6
2x − 1
− 30 + 1
(loaïi )
x =

2
14


Trần Sĩ Tùng

WWW.ToancapBa.Net

Tuyển tập Bất đẳng thức

30 + 1
30 + 1
thì y đạt GTNN bằng
3
2

x
5
+
28. Cho y =
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
1− x x
°
Vậy: Khi x =

f(x) =

x
5( 1− x) + 5x
x
x−1
x 1− x
+
=
+5
+5≥ 2
5
+5= 2 5+5
1− x
x
1− x
x
1− x
x

Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔

2

x
1− x
5 − 5 (0 < x < 1)
 x 
=5
⇔
÷ = 5⇔ x=
1− x
x
4
 1− x 

Vậy: GTNN của y là 2 5 + 5 khi x = 5 − 5
4
x3 + 1
29. Cho y =
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
x2
°

°
°
°

x3 + 1

x x 1

xx 1
3
+ + 2 ≥ 33
=3
2
2 2 x
22x
4
x
x
x x
1
Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ = = 2 ⇔ x = 3 2 .
2 2 x
3
Vậy: GTNN của y là 3 khi x = 3 2
4
2

= x+

1

2

=

30. Tìm GTNN của f(x) =

x2 + 4x + 4

, x > 0.
x

x2 + 4x + 4
4
4
= x + + 4 ≥ 2 x. + 4 = 8
x
x
x
4
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ x = ⇔ x = 2 (x > 0).
x
° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.
2
2
31. Tìm GTNN của f(x) = x + 3 , x > 0.
x
°

°
°
°

3

 x2   1 2
x2 x2 x2 1
1
x + 3 =

+
+
+ 3 + 3 ≥ 55  ÷  3 ÷ =
3
3
3 x
 3  x 
x
x
2

2

2

x
1
=
⇔ x = 5 3 ⇔ x = 2 (x > 0).
3 x3
5
Vậy: GTNN của y là 5
khi x = 5 3 .
27
Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔

15
WWW.ToancapBa.Net

5

5

27


Tuyển tập Bất đẳng thức
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)

Trần Sĩ Tùng
2

f(x) = –10x2 + 11x – 3 = −10 x2 − 11x ÷ − 3 = −10 x − 11 ÷ + 1 ≤ 1
10 
20 
40 40


11
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x =
20
11
1
° Vậy: Khi x =
thì y đạt GTLN bằng
.
20
40
Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN.
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6):
° 6 = x + ( 6 − x) ≥ 2 x ( 6 − x) ⇒ x(6 – x) ≤ 9

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3
° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.
5
Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
. Định x để y đạt GTLN.
2
1
 y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x)
2
5

 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,  −3 ≤ x ≤ ÷ :

2
121
1
°11 = ( 2x + 6) + ( 5 − 2x) ≥ 2 ( 2x + 6) ( 5 − 2x) ⇒ (2x + 6)(5 – 2x) ≤
8
2
1
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 6 = 5 – 2x ⇔ x = −
4
121
1
° Vậy: Khi x = − thì y đạt GTLN bằng
.
8
4
5
Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ x ≤ 5 . Định x để y đạt GTLN.

2
1
 y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x)
2
 5

 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,  − ≤ x ≤ 5÷:
 2

625
1
°( 2x + 5) + ( 10 − 2x) ≥ 2 ( 2x + 5) ( 10 − 2x) ⇒ (2x + 5)(10 – 2x) ≤
8
2
5
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 5 = 10 – 2x ⇔ x =
4
625
5
° Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng
8
4
1
5
Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − ≤ x ≤
. Định x để y đạt GTLN
2
2
°

33.

34.

35.

36.

16


Trần Sĩ Tùng
WWW.ToancapBa.Net
 y = 3(2x + 1)(5 – 2x)

Tuyển tập Bất đẳng thức

5
 1
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,  − ≤ x ≤ ÷ :
 2
2
° ( 2x + 1) + ( 5 − 2x) ≥ 2 ( 2x + 1) ( 5 − 2x) ⇒ (2x + 1)(5 – 2x) ≤ 9
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 1 = 5 – 2x ⇔ x = 1
° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9.
x
37. Cho y = 2
. Định x để y đạt GTLN
x +2
1

x
1
≥
° 2 + x2 ≥ 2 2x2 = 2x 2 ⇔
⇒y≤
2 2 2 + x2
2 2
°

Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x2 = 2 vàx >0 ⇒ x= 2

°

Vậy: Khi x = 2 thì y đạt GTLN bằng

38. Cho y =
°

x2

1
2 2

.

. Định x để y đạt GTLN

( x2 + 2) 3

2

( 2 )
3
x2 + 2 = x2 + 1+ 1≥ 3 x2.1.1 ⇔ x + 2 ≥ 27x ⇒
3

x2

( x2 + 2)

3

≤

1
27

2

°

Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = 1⇔ x = ± 1

°

Vậy: Khi x = ± 1 thì y đạt GTLN bằng

1
.
27

39. x

+ y + z = 0 nên z = -(x + y) và có 2 số không âm hoặc không
dương. Do tính chất đối xứng ta có thể giả sử xy ≥ 0
Ta có P = 3 x − y + 3 2 y + x + 3 2 x + y − 12( x 2 + y 2 + xy ) =
P = 3 x − y + 3 2 y + x + 3 2 x + y − 12[( x + y ) 2 − xy ] ≥
2 y + x + 2 x+ y

3

x− y

+ 2.3

≥ 3 x − y + 2.3

− 12[( x + y ) 2 − xy ]

2
3 x+ y
2

− 2 3 x + y . Đặt t = x + y ≥ 0 , xét f(t) =

2.( 3)3t − 2 3t
f’(t) = 2.3( 3)3t .ln 3 − 2 3 = 2 3( 3.( 3) 3t ln 3 − 1) > 0
⇒ f đồng biến trên [0; +∞) ⇒ f(t) ≥ f(0) = 2
Mà 3 x − y ≥ 30 = 1. Vậy P ≥ 30 + 2 = 3, dấu “=” xảy ra ⇔ x = y =
z = 0.
17

WWW.ToancapBa.Net


Tuyển tập Bất đẳng thức

Trần Sĩ Tùng

Vậy min P = 3.
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

18


Trần Sĩ Tùng
1.

2.

WWW.ToancapBa.Net

Tuyển tập Bất đẳng thức

Chứng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki
() ⇔ a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + c2b2 + c2d2
⇔ a2d2 + c2b2 − 2abcd ≥ 0 ⇔ ( ad − cb) 2 ≥ 0 .
Chứng minh: sinx + cos x ≤ 2
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

3.

2
2
3. 3a + 4. 4b ≤ ( 3 + 4) ( 3a2 + 4b2 ) ⇔ 3a + 4b ≥ 7.
725
Cho 2a – 3b = 7.
Chứng minh:
3a2 + 5b2 ≥
.
47
2
3
2a − 3b =
3a −
5b

3
5
2
3
, 3a , −
, 5b:
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
3
5

735
 4 9
.
5 b ≤  + ÷( 3a2 + 5b2 ) ⇔ 3a2 + 5b2 ≥
47

 3 5
3
5
2464
Cho 3a – 5b = 8.
Chứng minh: 7a2 + 11b2 ≥
.
137
3
5
3a − 5b =
7a −
11b

7
11
3
5
, 7a , −
, 11b :
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
7
11
2

3a −

3

2464

 9 25  ( 2
2
2
2
.
11b ≤  +
÷ 7a + 11b ) ⇔ 7a + 11b ≥
137
 7 11 
7
11
Cho a + b = 2.
Chứng minh: a4 + b4 ≥ 2.
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
°

6.

2

3a + 4b =

°
5.

3

7a−

5

°

2 = a + b ≤ ( 1+ 1) ( a2 + b2 )

⇔

a2 + b2

°

2 ≤ ( a2 + b2 ) ≤ ( 1+ 1) ( a4 + b4 )

⇔

a4 + b4

≥ 2
≥ 2
7.

= 2

Cho 3a – 4b = 7.
Chứng minh: 3a + 4b ≥ 7.
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4b :
2

°
4.

( 12 + 12 ) ( sin2 x + cos2 x)

sinx + cos x = 1. sinx + 1. cos x ≤

°

Cho a + b ≥ 1

Chứng minh: a2 + b2 ≥

1
2

19
WWW.ToancapBa.Net


Tuyển tập Bất đẳng thức
°

1≤ a + b ≤

Trần Sĩ Tùng

( 12 + 12 ) ( a2 + b2 )

⇔ a2 + b2 ≥

1

2

PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1.

(CĐGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR:

2.
3.

4.

5.

6.

7.

x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ≥ y2 + yz+z2

(CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z.
(CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
A= x + y + z + + +
x y z
(CĐSPHCM khối ABTDM 2006)
5

Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
4
4 1
thức:
A= +
.
x 4y
(CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
a
b
c
d
+
+
+
<2
a + b+ c b+ c + d c + d+ a d+ a + b
(CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
 1 2 
 2 + x + 1÷
2 x
 ≥ 16.
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)
(CĐKTKTCN1 khối A 2006)
20


Trần Sĩ Tùng

WWW.ToancapBa.Net

Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:

Tuyển tập Bất đẳng thức

a + b+ c a + b+ c a + b+ c
+
+
≥9
a
b
c

8.

(CĐKTYTế1 2006)
Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y ≤ 0; x2 + x = y + 12.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.
10. (Học viện BCVT 2001)
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 thì:
1
1
1
b
c 
 a

+ b + c ≥ 3 a + b + c ÷
a
3
3
3
3
3 
3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh:
a
b
c
3 3
+ 2
+ 2
≥
2
2
2
2
2
b +c
c +a
a +b
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
a2 + b2 + c2 = 2
Cho các số a, b, c thoả: 
ab + bc + ca = 1
4

4 4
4 4
4
≤ a ≤ ; − ≤ b ≤ ;− ≤ c ≤
3
3 3
3 3
3
(Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Cho ∆ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
1
1
1
 1 1 1
+
+
≥ 2 + + ÷
p− a p− b p− c
a b c
(ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
2 y
2 x
2 z
1
1
1
+ 3
+
≤

+
+
3
2
x +y
y + z2 z3 + x2 x2 y2 z2
(ĐH PCCC khối A 2001)
Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb+ c a + logc+ a b + loga+b c > 1
(ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi α > 1 ta luôn có: xα + α – 1 ≥ αx.
Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:
Chứng minh: −
13.

14.

15.
16.

a3
3

+

b3
3

+

c3

3

≥

b
c
a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng:
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)

a b c
+ +
b c a
a b − 1 + b a − 1 ≤ ab

21
WWW.ToancapBa.Net

(*)


Tuyển tập Bất đẳng thức
Trần Sĩ Tùng
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3
thì:
3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
2

Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng:

2

2

a3 + b3 > c 3

20. (ĐHQG HN khối A 2000)
Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c
21. (ĐHQG HN khối D 2000)
Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng minh
b2 + 2a2
c2 + 2b2
a2 + 2c2
+
+
≥ 3
ab
bc
ca
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
rằng:

3

Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:

a3 + b3  a + b 

≥
÷
2
 2 

23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:
a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
bc
ca
ab
+ 2
+ 2
P= 2
2
2
a b + a c b c + b a c a + c2b
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:

(

(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1+ 3 abc

)

3

26. (ĐH Y HN 2000)
Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện

2 3
+ = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
x y

tổng x + y.
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

18xyz
2 + xyz

29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: nn + 1 > (n + 1)n
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: A = a + 1+ b + 1
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
22


Trần Sĩ Tùng
WWW.ToancapBa.Net
Tuyển tập Bất đẳng thức
Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác
1

1
1
9
+
+
≥
không:
x2 y2 z2 x2 + y2 + z2
BĐT cuối cùng luôn đúng ⇒ BĐT cần chứng minh đúng.
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
a2 b2 c2 a b c
Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:
+
+
≥ + +
b2 c2 a2 b c a
33. (ĐH Hàng hải 1999)
Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:
x
y
z
3
1
1
1
+
+
≤ ≤
+
+

2
2
2
2
1
+
x
1
+
y
1
+
z
1+ x
1+ y
1+ z
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng:
2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3
(*)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ∆ABC có 3 góc nhọn
đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 (a, b, c là các cạnh của ∆ABC, R là bán
2R
kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào?
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
5
Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y =
. Tìm giá trị

4
4 1
nhỏ nhất của biểu thức:
S= +
x 4y
37. (Đại học 2002 dự bị 5)
Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
a c b2 + b + 50
Chứng minh bất đẳng thức:
và tìm giá trị nhỏ nhất của
+ ≥
b d
50b
a c
biểu thức: S = + .
b d
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
3
Cho tam giác ABC có diện tích bằng . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh
2
BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B,
C. Chứng minh rằng:
1
1
 1 1 1  1
 a + b + c ÷ h + h + h ÷ ≥ 3

 a
b
c

x+ y+ z ≤

23
WWW.ToancapBa.Net


Tuyển tập Bất đẳng thức
39. (Đại học khối A 2003)
Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng:
x2 +

1
2

x

+ y2 +

1
2

y

+ z2 +

1
z2

Trần Sĩ Tùng

≥ 82

40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = sin5x +
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:
(1)
 4p(p − a) ≤ bc


A
B
C 2 3−3
(2)
sin sin sin =
2
2
2
8

a + b+ c
trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p =
.
2
42. (Đại học khối A 2005)
1 1 1
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : + + = 4 .
x y z
1

1
1
+
+
≤1
Chứng minh rằng:
2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z
43. (Đại học khối B 2005)
Chứng minh rằng với mọi x ∈R, ta có:
x

x

3 cosx

x

 12   15   20 
x
x
x
 5 ÷ + 4 ÷ + 3 ÷ ≥ 3 + 4 +5
    

Khi nào đẳng thức xảy ra?
44. (Đại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
1+ x3 + y3
1+ y3 + z3
1+ z3 + x3

+
+
≥3 3
xy
yz
zx
Khi nào đẳng thức xảy ra?
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 6
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
2

y
9 

Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: ( 1+ x)  1+ ÷ 1+
÷ ≥ 256
x  
y÷


Đẳng thức xảy ra khi nào?
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
3
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng:
4
24


Trần Sĩ Tùng

WWW.ToancapBa.Net
3

3

Tuyển tập Bất đẳng thức

3

a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng nếu 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤

1
.
4

Đẳng thức xảy ra khi nào?
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
x2
y2
z2
3
+
+
≥
1+ y 1+ z 1+ x 2

Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:

50. (Đại học khối A 2006)
Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện:
(x + y)xy = x2 + y2 – xy.
1
1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A= 3 + 3 .
x
y
51. (Đại học khối B 2006)
Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=

( x − 1) 2 + y2 + ( x + 1) 2 + y2 + y − 2
LỜI GIẢI

1.

(CĐGT II 2003 dự bị)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm:


y 3 
3
3 
y z 
z ÷ , B  0;
y+

z ÷ , C  − ;0 ÷
A  x + ;
÷

÷
2 2 
2 
2 2 

 2
2

Ta có:

AB =

2
 3 
y

x
+
+
y = x2 + xy + y2

÷
 2 ÷
÷
2





AC =

2
 3 
z

x
+
+
z = x2 + xz + z2

÷
 2 ÷
÷
2




2

2

2


BC =  y − z ÷ +  3 (y + z)÷ = y2 + yz+z2


÷
 2 2
 2

Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC

2.

⇒ x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ≥ y2 + yz+z2
(CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
x3 + y3 + z3 ≥ 3 3 x3y3z3 ⇒2(x3 + y3 + z3) ≥ 6
25
WWW.ToancapBa.Net