Các kiến thức cơ bản toán học

A.Các kiến thức cơ bản
1. Các định nghĩa:
•

(n ∈ Z + , n ≥ 1, a ∈ R)

a n = a.a...a
n thua so

•
•
•

•
•

1

a = a ∀a
a 0 = 1 ∀a ≠ 0
1
a−n =
(n ∈ Z + , n ≥ 1, a ∈ R / { 0})
n
a
m
an

a

−

n

= n am

m
n

=

1
m
an

( a > 0; m, n ∈ N )

=

1
n m

a

2. Các tính chất :

•
•

a m .a n = a m + n
am

n

= am −n

•

a
(a m )n = (a n )m = a m.n

•

(a.b)n = a n .b n

•

a n an
( ) =
b
bn

3. Hàm số mũ:

Dạng : y = a x ( a > 0 , a ≠ 1 )

•

Tập xác định : D = R

•
•

T = R + ( ax > 0
Tập giá trị :
Tính đơn điệu:
*a>1

∀x ∈ R )

: y = a x đồng biến trên R

* 0 < a < 1 : y = a x nghịch biến trên R
•

Đồ thị hàm số mũ :

1


y

y=ax

y

y=ax
1

1

x

x

a>1

0
Minh họa:
1

3.5

y

y

y

1

x

O

f(x)=2^x

x

O

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

y

f(x)=(1/2)^x

x

x
-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-4.5

4.5

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5
-3

-3

-3.5

-3.5

Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0

1. Hàm số logarith:

log a N = M

Điều kiện có nghĩa:

-4

-0.5

-0.5

dn

⇔

log a N có nghĩa khi

aM = N

a > 0

a ≠ 1
N > 0


2

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5


2. Các tính chất:

•

log a 1 = 0
log a a = 1

•

log a a M = M

•
•

a log a N = N
log a (N1 .N 2 ) = log a N1 + log a N 2

•

log a (

•

log a N α = α . log a N

•

Đặc biệt: log a N 2 = 2. log a N

•

N1
) = log a N1 − log a N 2
N2

3


3. Công thức đổi cơ số :

•
•
•

log a N = log a b. log b N

log a N
log a b
1
log a b =
log b a
log b N =

a

* Công thức đặc biệt:

log

ak

N=

1
log a N
k

logb c
log a
=c b

Dạng y = log a x ( a > 0 , a ≠ 1 )

4. Hàm số logarít:
•
•
•

vaø

Tập xác định : D = R +
Tập giá trị
T=R

Tính đơn điệu:
: y = log a x đồng biến trên R +

*a>1

* 0 < a < 1 : y = log a x nghịch biến trên R +
•

Đồ thị của hàm số lôgarít:

y

O

y

y=logax

y=logax

1

x

1

x

O

a>1

0
aM = aN

1. Định lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì :

6

⇔ M=N


2. Định lý 2: Với 0 < a <1 thì :

aM < aN ⇔ M > N (nghịch biến)

3. Định lý 3: Với a > 1 thì :

aM < aN ⇔ M < N (đồng biến )

4. Định lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N

5. Định lý 5: Với 0 < a <1 thì :

loga M < loga N ⇔ M >N (nghịch biến)

6. Định lý 6: Với a > 1 thì :

loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến)

_ Hoàn toàn có thể sử dụng các công thức và định lí trên để chứng minh 1 số lượng rất lớn bài tập
hàm số mũ và logarith

7


B. Các phương pháp giải toán hàm số mũ và loga.
I.Các phương pháp cơ bản
1. Biến đổi phương trình về dạng cơ bản:
Cần nhớ định nghĩa cũng như các công thức biến đổi cơ bản của hàm số mũ và logarithm
Chú ý:
_ Với

và khác ta có

_ Với

và khác ta có

2. Đặt n phụ chuyển về phương trình đại số:
(Chú ý điều kiện của Nn số)
Những dạng cơ bản:
1. Dạng 1:

là đa thức theo biến
2. Dạng 2:

Chia 2 vế cho
3. Dạng 3:

và đặt ẩn phụ

3. Biến đổi thành phương trình tích hoặc tổng bình phương:

8


Ví d 1:
Giải phương trình:
Bài làm:

(loại)V

4. Logarith

hóa (giải phương trình hàm số mũ) và mũ hóa (giải phương
trình loga):

Với

và khác ta có

Với

và khác ta có

5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
_ Giải phương trình
(1)

_ m là 1 nghiệm của (1)
_ Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận m là nghiệm duy nhất.
Chú ý: Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì

Ví dụ 1: Giải phương trình: f(x) =

x + 3 7 + log2 x = 4
9


f(x) là hàm tăng => nhận thấy phương trình có nghiệm x = 2

x > 2 => f(x) > f(2) = 4 
 => x = 2
x < 2 => f(x) < f(2) = 4 

là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

3x
9x
f(x) =
+
=2
1 + 2 x 1 + 3x
1
1
<=>
x

x +
x
x = 2
1 2 1 3
  +    + 
3  3  4  4

6. Phương

pháp đối lập (đánh giá):

XÐt phương trình
Nếu tồn tại hằng số M thỏa mãn

Ví dụ 1: Giải phương trình: f(x) =

x + 3 7 + log 2 x = 4

f(x) là hàm tăng => nhận thấy phương trình có nghiệm x = 2

x > 2 => f(x) > f(2) = 4 
 => x = 2
x < 2 => f(x) < f(2) = 4 

7. Phương pháp dùng
Ví dụ 1: Giải phương trình:
4

là nghiệm duy nhất của phương trình

tính chất nghịch biến

x + 4 1 − x = 1 ®iÒu kiÖn : 0 ≤ x ≤ 1


 => VT ≥ 1 =>
4
1 − x ≥ 1 − x 
4

Ta có :

x ≥x

x = 0
x = 1


10


Ví du 2: Giải phương trình:

4

sin x + 4 cos x = 1

Ta có:

sin x = 8 sin 2 x ≥ sin 2 x 

 => VT ≥ 1
2
2
8
4
cos x = cos x ≥ cos x 
4

=>

π

sin 2 x = 0
x = + 2kπ

=>
2
 2

=
sin
x
1

 x = 2kπ

8. Phương pháp chứng minh hàm f(x) ↑

Kết hợp biểu thức f(A) - f(B) = B - A ta dễ dàng giải được bài toán.
A > B => VT > 0 => B > A

A < B => VT < 0 => B < A
Ví dụ 1 : giải phương trình :

2 x +2 − 2 2x +1 = 25x − 2 4x +1
Bài làm
Giả sử : x + 2
=> VT

≥ 2x + 1 ( x ≤ 1 )

≥ 0 => 5x ≥ 4x + 1 => x ≥ 1

=> x = 1

9. Phương pháp đổi cơ số
Với phương pháp này ta sử dụng công thức đổi cơ số đơn giản:

log c
a

b

=c

log a
b

Ví dụ 1 : giải phương trình

x + log x + x log2 3 + x log2 5 = 11 (1)

2

Bài làm:
(1)

<=> 2 log2 x + log 2 x + 3log2 x + 5log2 x = 11
11


Đặt

log 2 x = t => 2t + t + 3t + 5t = 11

t > 1 => f(t) > f(1) = 11
t < 1 => f(t) < f(1) = 11
=> t = 1 =>
Ví dụ 2 :

log 2 x = 1 => x = 2

8log3 x + xlog32 = 2

<=>

8log3 x + 2log3 x = 2

Đặt

2log3 x

=>

t3 + t − 2 = 0

=t
<=> t = 1 <=>

2log3 x

= 1 <=>

log 3 x = 0 <=> x = 1

10. Phương pháp khử phép nhân
 9 
log3  2 
log3 9x
x  =3
+
 3 
log3 3x
log3 

 x
3

Ví dụ 1 :

<=>

Đặt

2 + 3log3 x 2 − 2 log3 x
+
=3
1
1
log
x
+
3
1 − log3 x
2

(*)

log 3 x = t

(*) <=>

2 + 3t 2 − 2t
4t 2 + 2t + 4
11
1
+
= 3 <=>
= 3 <=> t 2 + t + 1 = 0
1
1
1

2
2
1− t 1+ t
1 + t − t2
2
2
2

<=> pt vô nghiệm

11. Đặt biến trung gian
Đây cũng là 1 trong những biến thể của phương pháp đặt Nn phụ. Việc đặt biến trung gian giúp
tao giải quyết bài toán gọn ghẽ và dễ dàng.

12


Ví dụ : Giải phương trình :

 3 
3
log 2 
 = log3 4x
 x

 3 
3
log 2 
 = log3 4x
 x

Đặt

=y

=>

3
9
99
y
3
= 2 => x = y => x = y
4
64
x
y
3
4x 3 = 3y => x 3 =
4

=>

3y 9 3
= y => 192 y = 4.93
4 64

=> y => x

12. Phương pháp so sánh với 1:

a > 1 ; b ≥ a => log a b ≥ 1
Ví dụ : Giải phương trình

log

2

x +2

2x 2 + 1 = log

2

5x + 2

4x 2 + 3

Bài làm:
Giả sử
<=>

2x 2 + 1 ≥ x 2 + 2 <=> x 2 ≥ 1 <=> VT ≥ 1

log

5x 2 + 2

4x 2 + 3 ≥ 1 => 4x 2 + 3 ≥ 5x 2 + 2 => x 2 ≤ 1

=> x2 = 1 => x =

±1

13. Phương pháp thứ tự:
Ví dụ 1:

log5 6 > log7 8
<=> log5 6 − log5 5 > log 7 8 − log 7 7
<=> log 7

6
8
> log7
5
7
13


6 8
6
8
8
> => log5 > log5 > log7
5 7
5
7
7

Mµ

Ví dụ 2: Giải phương trình:

Ta có:

log

2 + 5x2

2 + 6x 2 = log

2 + 7x 2

2 + 8x 2

2 + 6x 2 2 + 8x 2
≥
2 + 5x 2 2 + 7x 2

=>

 2 + 6x 2 
 2 + 8x 2 
 2 + 8x 2 
≥ log 2 
≥ log 2 
log 2 
2 
2 
2 
2 + 5x

2 + 5x
2 + 7x
 2 + 5x 
 2 + 7x 
 2 + 7x 

=>

log

2 + 5x2

2 + 6x 2 ≥ log

2 + 7x2

2 + 8x 2

=> dÊu “ = “ x¶y ra khi x = 0

14. Phương pháp nhân logarit
Đây cũng là 1 trong những phương pháp áp dụng các công thức cơ bản trong giải toán logarith

log a b.log b c = log a c
Ví dụ 1:
Giải phương trình :

( 2x + 1) .log 1

x + 1.log 2 16.log

x

2

<=>

1
x +1

x =1

2.(2x + 1).log2 (x + 1).log(x +1) x.log x 2 = 1

<=> 2x + 1 =

1
2

<=> x =

−

1
4

II.
Các phương pháp nâng cao
1. Phương pháp chỉ ra 1 nghiệm:
_ Thường kết hợp phương pháp này với phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số hoặc
phương pháp đạo hàm.

14


_ Chỉ ra 1 nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất của phương trình.

III.

1 trong những thủ thuật CM phương trình chỉ có 1 nghiệm:

_ x>m không phải là nghiệm của phương trình
_ x_ Nếu x=m không phải là nghiệm của phương trình thì phương trình vô nghiệm
_ Nếu x=m là nghiệm của phương trình thì phương trình có nghiệm duy nhất x=m

2. Phương pháp sử dụng đạo hàm (phương pháp CM phương trình có
đúng n nghiệm):
Chú ý: Phương pháp này chỉ sử dụng với trường hợp
Sử dụng định lí:
có n nghiệm thì
IV.
Nếu
Từ đó ta có hệ quả:
_ Hệ quả 1: Nếu
vô nghiệm thì

là hàm số liên tục trên R

có không quá n+1 nghiệm

có duy nhất 1 nghiệm hoặc vô nghiệm (Chỉ cần chỉ ra nghiệm và kết

luận)

ko đổi dấu (chỉ dương hoặc âm) thì
_ Hệ quả 2: Nếu
ra 2 nghiệm và kết luận)

Ví dụ 1:
Giải phương trình:

Bài làm:

Nhận thấy:

. Nên để phương trình có nghiệm thì

Ta có:
Xét hàm số

,

là hàm liên tục trên R

15

có tất cả 2 nghiệm (Chỉ cần chỉ


. Vì vậy đồ thị
tối đa 2 điểm. Nên phương trình đề ra có không quá 2 nghiệm.

hoặc
đều thõa mãn.
Nhẩm nghiệm
hoặc
Đáp số:

cắt đường thẳng

tại

3. Phương pháp xét khoảng nghiệm:
Đây có thể coi là phương pháp nâng cao hơn 1 chút so với phương pháp chỉ ra 1 nghiệm và chỉ ra
n nghiệm. Chúng ta sẽ chia khoảng tập xác định của nghiệm thành nhiều khoảng và chứng minh
phương trình vô nghiệm trên các khoảng đó từ đó đưa ra kết luận về nghiệm (thường dùng cho
những phương trình có 2 hoặc 3 nghiệm).
Với phương pháp này chúng ta phần lớn áp dụng để giải lớp bài toán có dạng như sau:
Giải phương trình:

Chắc hẳn bài toán này có thể giải được 1 cách dễ dàng bằng phương pháp dùng định lí Lagrange
(phần dưới). Nhưng tuy nhiên nếu như sử dụng định lí Lagrange chúng ta cần phải CM lại. Và
với định lí Lagrangre ta có thể áp dụng cho rất nhiều, rất nhiều các lớp bài tập khác.
Bây giờ chúng ta đến với 1 bài toán cụ thể. Hi vọng từ bài toán cụ thể này bạn đọc có thể làm
được bài toán tổng quát.
Ví dụ 1:
Giải phương trình

Bài làm:
Xét
_ với
_ Nếu

có
hoặc

do vậy

thì

trên

từ đó

vậy phương trình ko có

nghiệm nếu
_ Nếu

thì

trên

từ đó

nếu
_ Nếu
hoặc
thì
Vậy nghiệm pt đề bài cho là

và

Qua bài toán trên ta cần phải tự rút ra 2 điểm lớn cần chú ý:
_ Tại sao xét hàm
_ Tại sao xÐt
16

vậy phương trình ko có nghiệm


_ Tại sao so sánh 2 giá trị f(2) và f(3)

4. Phương pháp sử dụng giới hạn:
_ Thường sử dụng để chứng minh phương trình vô nghiệm.
_ sử dụng tính chất đông biến hoặc nghịch biến của hàm số kết hợp giới hạn để chứng minh
phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1:

Giải phương trình:

Bài làm:
Xét hàm số:

, với

do đó hàm số đồng biến
l¹i cã

, vậy phương trình vô nghiệm

suy ra,

Ví dụ 2:
CMR với mọi

thì hệ sau có nghiệm duy nhất:

Bài làm:
. Suy ra

Đặt VT = f(x). ĐK x>-1.
17


Do đó PT có tối đa 1 nghiệm.

Do
Do đó theo tính liên tục PT có ít nhất 1 nghiệm trên
hay hệ có nghiệm duy nhất

. Vậy PT có nghiệm duy nhất,

5. Phương pháp sử dụng định lí Lagrange
Cho hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng (a,b) thì luôn tồn tại
sao cho:

Ví dụ 1:
Giải phương trình:

Bài làm:

Xét hàm

, ở đây coi

là một số ko đổi bằng

Ta có :

Theo định lý Lagrange:
Tồn tại

thỏa mãn

18


mà i khác j nên đẳng thức
do đó

chỉ xảy ra khi

và

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

.

6. Phương pháp hằng số biến thiên
_ Đây là 1 dạng biến thể của phương pháp đặt Nn phụ. Như chúng ta đã biết, đặt Nn phụ là 1 trong

những phương pháp đơn giản nhưng hiệu quả để giải rất nhiều bài toán. Nhưng vấn đề đặt ra là
đặt như thế nào? Với 1 bài toán cho ở dạng biến đổi về phương trình tích mà thao tác trên Nn phức
tạp ta có thể chuyển sang thao tác trên hằng số. Từ đó chúng ta có phương pháp “Hằng số biến
thiên”
_ Phương pháp hằng số biến thiên có thể kết hợp rất tốt với phương pháp đặt Nn phụ.
Ví dụ 1:
Giải phương trình:

Bài làm:
Điều kiện: 0
Phương trình đã cho trở thành:
Đặt a=5 phương trình trở thành:

Coi (*) là phương trình bậc 2 với Nn a ta có:

Vậy (*) có hai nghiệm:
19


Vậy PT đã cho có 2 nghiệm
Ví dụ 2:
Giải phương trình:

Bài làm:
ðặt

,điều kiện
Khi đó phương trình tương dương với:

ðặt

ta được:
, ta xét phương trình này theo u và được:

Suy ra:

_ Phương pháp hằng số biến thiên cũng có thể kết hợp với phương pháp dùng định lí Lagrange để
tạo nên 1 phương pháp giải mạnh.
Ví dụ 2:
Giải phương trình

Bài làm:

20


Giả sử

là nghiệm của PT , ta có ngay :

. Xét hàm số

, hàm này liên tục trên đoạn [7 ; 9] và do (1) nên f(7) = f(9) , đồng
. Do đó theo định

thời có đạo hàm trong khoảng (7 ; 9) là
hay

lí Lagrange thì

. Do
. Từ đó dễ dàng
ta có
thấy (2) xảy ra khi và chỉ khi
. Như vậy nếu
là nghiệm PT thì x = 0
hoặc x = 2 . Thử lại thấy 2 giá trị này thỏa mãn PT . Vậy PT có hai nghiệm là x = 0 và x = 2 .

7. Phương pháp tham số biến thiên (tráo đổi vai trò giữa n và tham số):
Về cơ bản đây cũng là 1 trong những phương pháp đặt Nn phụ. Tham số được đặt làm Nn phụ.
Phương pháp này thường dùng để giải các bài toán biện luận nghiệm của phương trình hàm số
mũ hoặc logarith có tham số. Thường kết hợp với các định lí về tam thức bậc 2 để giải nhanh và
ngắn gọn
Ví dụ 1: Chúng ta cùng quay lại bài tập ví dụ ở mục 6 khi đề bài thay hằng số bằng tham số:
Cho phương trình:

Tìm m để phương trình có duy nhất 1 nghiệm.
Bài làm
Điều kiện: 0
Phương trình đã cho trở thành:

Ta coi m là Nn số còn t là tham số. Đặt a=m ta có phương trình bậc 2:

21


Vậy (*) có 2 nghiệm:
Nhận xét: Để phương trình đề bài cho chỉ có duy nhất 1 nghiệm thì 2 PT (1) và (2) chỉ có 1

nghiệm duy nhất.
TH1: (1) có duy nhất 1 nghiệm, (2) vô nghiệm

Loại
TH2: (1) vô nghiệm, (2) có duy nhất 1 nghiệm

Loại.
Vậy ko tồn tại m để phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm.

8. Phương pháp cô lập tham số:
Sử dụng khi bài toán bắt ta tìm giá trị m để phương trình

. Sau đó khảo sát hàm h(x) và biện

kiện K cho trước. Ta biến đổi phương trình về dạng
luận phương trình

có nghiệm x thỏa mãn điều

bằng bảng biến thiên.

9. Phương pháp biện luận theo đồ thị:
khi gặp bài toán biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x,m) = g(x,m) .
Ta đặt : y

= f(x, m)

khi đó bài toán trở thành biện luận theo m số nghiệm của phương trình

y = g (x,m)

Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

log 3 x − 2 − log 2 (x + 1) = m
2

(1)

3

x ≥ −1;x ≠ 2
(1) <=> log 3 x − 2 + log 3 (x + 1) = m

§K :

2

2
m

<=>

log 3 x − 2 .(x + 1) = m
2

3
<=>   = x − 2 .(x + 1)
2
22

=> số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của

3
y=  
2
XÐt y =

=> y’

m

víi y =

x − 2 .(x + 1)

Trên miền D:

( −1; +∞ ) / 2

= x 2 − x − 2khix > 2
x − 2 .(x + 1) 
2
= −(x − x − 2)khi − 1 < x < 2

= 2x − 1khix > 2

= −2x + 1khi − 1 < x < 2

Vẽ đồ thị:

Từ đồ thị ta thấy:
m

V

3 9
i   〉 <=> m > 2
2 4

V

3 9
i   〈 <=> m < 2
2 4

thì phương trình có nghiệm duy nhất

m

thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt

23


m

V i

9
3

  = <=> m = 2
4
2

thì phương trình có 2 nghiệm

10.Phương pháp lượng giác hóa:
Nếu

thì ta có thể đặt:

•
•
Ví dụ 1: Giải phương trình:

Bài làm:
ĐK :
Khi đó VP > 0 .
Nếu
Nếu
Đặt

.
, với

)(

ta có :

)=0

Vậy nghiệm của phương trình là

24


Nếu

thì ta có thể đặt :

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Bài làm :
ĐK :

Đặt
Phương trình đã cho trở thành :

(thỏa mãn)

11.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:
1. Bất đẳng thức Berlouli:

t α + (1 − t)α ≥ 1∀α ∉ [ 0,1]
t > 0: α
t + (1 − t)α ≤ 1∀α ∈ [ 0,1]

α = 0
α = 1


x
x
Ví dụ 1: Giải phương trình 3 + 2 = 3x + 2 (1)
x
x
(1) <=> 3 + (1 − 3)x  +  2 + (1 − 2)x  = 2
Dấu “=” xảy ra <=>

Áp dụng bất đẳng thức Bernouli => VT

≥

2 => Dấu “=” xảy ra khi

Ví dụ 2: Giải phương trình

25

α = 0
α = 1



Áp dụng bất đẳng thức Bernouli =>

6 x ≥ 1 + 5x∀x ∉ [ 0,1]
 x
6 ≤ 1 + 5x∀x ∈ [ 0,1]

6 x ≥ 1 + 5x = 3log6 6 x + (2x + 1) ≥ 3log6 (5x + 1) + 2x + 1∀x ∉ [ 0,1]

=> 
x
x
6 ≤ 1 + 5x = 3log6 6 + (2x + 1) ≤ 3log6 (5x + 1) + 2x + 1∀x ∈ [ 0,1]
α = 0
=> Dấu “=” xảy ra khi 
α = 1
2. Bất đẳng thức trị tuyệt đối
Dấu “=” xảy ra khi a,b cùng d u.
Ví dụ 1:
Giải phương trình:
Bài làm:
Sử dụng bất đẳng thức

ta có VP

Dấu “=” xảy ra khi

và

VT

cùng dấu.

3. Các bất đẳng thức cơ bản : Cauchy; Bunhiacopxki,…..
Ví dụ 1:
Cho a, b, c > 1. CM : a

log b c

+ b logc a + c loga b ≥ 3 3 abc .

Bài làm:
Do a, b, c > 1 nên log b c; log c a; log a b; log c b; log a c; log b a > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:

blogc a + c loga b = blogc a + bloga c ≥ 2 blogc a .bloga c = 2 blogc a +loga c
log c a + log a c ≥ 2 log c a.log a c = 2

⇒ blogc a + c loga b ≥ 2 b 2 = 2b
Tương tự ta cũng có: a

logb c

+ b logc a ≥ 2a; c loga b + a logb c ≥ 2c .
26


Cộng vế 3 bất đẳng thức ta có:

a logb c + b logc a + c loga b ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc (đpcm)
cauchy

12. Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai:
Đây là phương pháp sử dụng các tính chất của tâm thức bậc 2 để giải toán hàm số mũ và loga.
Phương pháp này thường song hành với phương pháp đặt Nn phụ.
Ví dụ : Cho phương trình
Tìm

(1)

để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

1;3 3 



Bài làm :

log 23 x + log32 x + 1 − 2m + 1 = 0
Điều kiện

. Đặt

(1)

t = log32 x + 1 ≥ 1 ta có
(2)

Vậy (1) có nghiệm

∈ 1;3 3  khi và chỉ khi (3) có nghiệm∈ [1;2 ] .Đặt



Hàm số f(t) là hàm tăng trên đoạn [1;2]. Ta có f(1) = 2 ; f(2) = 6. Phương trình

⇔ f(t) = 3m + 2

có nghiệm ∈

[1;2]

13. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức:
1 trong những hằng đẳng thức mà chúng ta hay sử dụng nhất:

u + v = 1 + uv ⇔ (u − 1)(v − 1) = 0
27

t 2 + t = 3m + 2