Bài toán thác triển hàm chính quy nhận giá trị trong đại số ma trận và ứng dụng trong công nghệ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Nguyễn Thị Thu

BÀI TOÁN THÁC TRIỂN HÀM CHÍNH QUY
NHẬN GIÁ TRỊ TRONG ĐẠI SỐ MA TRẬN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÔNG NGHỆ

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

Người hướng dẫn: GS TSKH Lê Hùng Sơn

Hà Nội - 2016


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới GS. TSKH Lê Hùng Sơn, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình
học tập để em hoàn thành khóa luận này.
Nhân dịp này, Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong Viện Toán - Tin ứng dụng và các Thầy Cô giáo trong viện Sau Đại học,
trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã dạy bảo em tận tình và tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho em trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã
luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện
khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 20 tháng 03 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Thu


Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1. Định lý thác triển đối với hàm chỉnh hình nhiều biến phức . . .

6

1.1. Không gian Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Hàm chỉnh hình nhiều biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. Công thức tích phân Borel - Pompeiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4. Định lý thác triển hàm Hartogs cho hàm nhiều biến phức . . . . . . . .

14

Chương 2. Tính chất ma trận đối với định lý thác triển nghiệm hệ phương
trình đạo hàm riêng cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.1. Các tính chất ma trận đối với tính giải được của hệ phương trình riêng tuyến
tính cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.2. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2. Hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 có hệ số hàm . . .

32

2.2.1. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.2. Một số tiêu chuẩn ma trận đối với tính giải được của bài toán (2.1’) . . . . .

33

2.2.3. Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2


Chương 3. Áp dụng tiêu chuẩn của ma trận đối với hệ Cauchy - Riemann
trong R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.1. Hệ Cauchy - Riemann trong C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.1.2. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.2. Bổ sung điều kiện vào hệ Cauchy - Riemann để có định lý thác triển . . .
61
3.3. Sự tồn tại của T và T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3


LỜI MỞ ĐẦU
Trong nhiều năm qua, bài toán thác triển có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết
cũng như kỹ thuật, đặc điểm quan trọng của bài toán là: khi biết tính chất của hàm
trên một địa phương nào đó, thì có thể biết được tính chất của hàm trên toàn cục. Vì
vậy nếu giải quyết được bài toán thác triển này sẽ giúp ta dự đoán được các tính chất
quan trọng của các hiện tượng khi biết thể hiện của nó trong một địa phương nhất
định. Bài toán này thực sự thu hút được sự chú ý khi lý thuyết về hàm phức nhiều
biến ra đời. Một kết quả nổi bật của nó là bài toán thác triển hàm chính quy nhận
giá trị trong đại số ma trận và ứng dụng của nó. Dựa trên ý tưởng này, người ta tìm
kiếm tiêu chuẩn để nghiệm của hệ phương trình đạo hàm riêng trên địa phương có
thể thác triển được ra toàn miền xác định. Dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo
-GS.TSKH Lê Hùng Sơn, tôi đã nghiên cứu bài toán thác triển sau đây:
Cho miền K € Rn ,

➦

là lân cận của ❇ K. Xét hệ:

♣l q ➳ ➳ A♣l q ❇ui
L♣uq ✏
ij
❇x j
i✏1 j✏1
m

n

✏ f ♣l q ,

l ✏ 1, L

♣l q ✏ const ; i ✏ 1, m ; j ✏ 1, n ; l ✏ 1, L ; u ✏ u ♣x , x , . . . , x q là các hàm
i
i 1 2
n
giải tích thực theo x1 , x2 , . . . , xn và u ✏ ♣u1 , u2 , . . . , un q là hàm ẩn, f ♣l q là các hàm giải

trong đó: Ai j

tích thực trên K
Vấn đề này được nghiên cứu theo hướng tiếp cận sử dụng một số tiêu chuẩn ma

♣l q

♣l q

trận trong hai trường hợp: Ai j ♣xq là các hằng số và Ai j ♣xq là các hàm số giải tích.
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:
• Chương 1: Trình bày tóm tắt một số kiến thức,tính chất,định lý và kết quả
cơ bản liên quan đến hàm chỉnh hình nhiều biến phức, và định lý thác triển
Hartogs.
• Chương 2: Trình bày ý tưởng, hướng tiếp cận sử dụng một số tiêu chuẩn ma
trận và một số ví dụ minh họa cho các tiêu chuẩn đó.Đặc biệt quan trọng là các
4


Định lý 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7.
• Chương 3: Trình bày một số tiêu chuẩn của ma trận đối với hệ Cauchy- Riemann trong R2
Do luận văn được hoàn thành trong điều kiện hạn chế về kiến thức nên không tránh
khỏi những thiếu sót, vì vậy tôi rất mong nhận được những nhận xét và đóng góp từ
các thầy cô và các bạn.Tôi cũng hy vọng, mình có thêm cơ hội để nghiên cứu sâu hơn
bài toán này và đặc biệt có thêm kết quả ứng dụng đối với hệ phương trình đạo hàm
riêng cấp 1 hệ số hàm. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Thu

5


Chương 1

Định lý thác triển đối với hàm
chỉnh hình nhiều biến phức
1.1.

Không gian Cn

Xét không gian Ơclit số chiều chẵn R2n , các điểm của nó là các bộ có thứ tự

2n số thực (x1 , x2 , . . . , x2n ). Ta đưa vào trong đó cấu trúc phức, bằng cách đặt zv ✏

xv   ixn v ♣v ✏ 1, . . . , nq. Ký hiệu lại xn v ✏ yv nên zv ✏ xv   iyv ♣v ✏ 1, . . . , nq. Không
gian mà điểm là những bộ n số phức (hữu hạn).
z ✏ ♣z1 , . . . , zn q ✏ tzv ✉
được gọi là không gian phức n chiều, ký hiệu Cn .
Có thể xem, với n tùy ý, không gian Cn là tích của n mặt phẳng phức:
Cn ✏ C
✂☎☎☎✂ C
❧♦♦♦♦♦♠♦♦♦♦♦♥
n lần

6


1.2.

Hàm chỉnh hình nhiều biến phức

Giả sử D ⑨ Cn được lập nên từ các điểm hữu hạn và f nhận trong D chỉ các giá

trị hữu hạn ( f : D Ñ C). Giả sử f khả vi tại điểm z € D theo nghĩa giải tích thực (R2n

- khả vi), tức là tồn tại vi phân
df

✏ ❇❇xf dx1  ☎☎☎  ❇❇xf
1

dx2n

2n

Khi đưa vào
xv ✏
Khi đó
df

zv   zv
,
2

xn v ✏

zv ✁ zv
2i

✏ ❇❇zf dz1  ☎☎☎  ❇❇zf dzn   ❇❇zf dz1  ☎☎☎  ❇❇zf dzn
1

trong đó v ✏ 1, . . . , n, đặt

1

n

n

❇ f ✏ 1 ✂ ❇ f ✁i ❇ f ✡,
❇zv 2 ❇xv ❇xn v
❇ f ✏ 1 ✂ ❇ f  i ❇ f ✡.
❇zv 2 ❇xv ❇xn v
Định nghĩa 1.1. Hàm w ✏ f ♣zq gọi là chỉnh hình (hay giải tích) trong miền mở
D ⑨ C nếu hàm có f ✶ ♣xq tại mọi điểm trong D
Hàm w ✏ f ♣zq gọi là chỉnh hình tại z nếu nó chỉnh hình trong một lân cận nào đó

của z.
Những điểm mà tại đó w ✏ f ♣zq không chỉnh hình gọi là các điểm bất thường.
Định nghĩa 1.2. Hàm f , xác định trong lân cận nào đó của điểm z € C, nếu được

gọi là khả vi tại điểm đó theo nghĩa giải tích phức (C✁khả vi), nếu nó R2n ✁ khả vi
tại đó và tại điểm này

❇ f ✏ 0 ♣v ✏ 1, . . . , nq
❇zv
7

♣✝q


tức là vi phân có dạng

✏ ❇❇zf dz1  ☎☎☎  ❇❇zf dzn

df

1

n

Khi viết điều kiện (*) đối với mỗi thành phần fv , ta nhận được hệ 2n2 phương
trình thực đối với 2n hàm thực, tức là hệ xác định thừa khi n → 1. Hệ xác định thừa
này cũng như các hệ thừa khác đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình
đạo hàm riêng.
Định nghĩa 1.3. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 € Cn nếu f khả vi tại mọi
điểm của lân cận nào đó của z0 .
Hàm f chỉnh hình tại mỗi điểm của tập mở nào đó Ω ⑨ Cn (đặc biệt là các miền)
được gọi là hàm chỉnh hình trên tập Ω.
Nhận thấy: Hàm chỉnh hình trong miền D ⑨ Cn là hàm chỉnh hình (Cn - khả vi) theo
mỗi biến zv riêng biệt. Khẳng định ngược lại cũng đúng: nếu hàm f chỉnh hình theo
mỗi biến zv riêng biệt trong miền D ⑨ Cn nào đó, thì nó khả vi trong D (theo nghĩa
R2n ) theo tập hợp các biến.
Tính chất 1.1. Xét hàm f liên tục trong miền D ⑨ Cn theo tập hợp các biến và tại
mỗi điểm z0 € D, chỉnh hình theo mỗi tọa độ. Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện

❇ f ✏ 0 ♣v ✏ 1, . . . , nq
❇ zv
trong đa tròn đóng U ✏ tz € Cn : ⑤zv ✁ av ⑤ ↕ rv ✉ thì tại mỗi điểm z € Unó được biểu
diễn bởi tích phân bội Cauchy:
f ♣zq ✏

1
2πi

➺

➺

1 . . . dζn
☎☎☎ ♣ζ f✁♣ζzqdζ
1
1 q . . . ♣ζn ✁ zn q
Γ

trong đó Γ là khung của đa tròn, tức là tích các vòng tròn biên γv ✏ t⑤ζv ✁ av ⑤ ✏ rv ✉.
Tính chất 1.2. Xét hàm f liên tục trong miền D ⑨ Cn theo tập hợp các biến và tại
mỗi điểm z0 € D, chỉnh hình theo mỗi tọa độ. Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện

❇ f ✏ 0 ♣v ✏ 1, . . . , nq
❇ zv
8


trong đa tròn đóng U

✏ tz € Cn : ⑤zv ✁ av ⑤ ↕ rv thì tại mỗi điểm z € Unó được biểu

diễn bởi chuỗi lũy thừa kép:
f ♣zq ✏

✽
➳
⑤k⑤✏0

với các hệ số
ck ✏

1
♣2πiqn

➺
Γ

ck ♣z ✁ aqk
f ♣ζ qdζ
♣ζ ✁ aqk 1

trong đó k ✏ ♣k1 , . . . , kn q là véc tơ số nguyên (kv ➙ 0) và ♣z ✁ aqk ✏ ♣z1 ✁ a1 qk1 ☎☎☎♣zn ✁
an qkn .

Tính chất 1.3. (Định lý Aben)
Nếu chuỗi lũy thừa (trong tính chất 1.2) hội tụ tại điểm z € Cn nào đó thì trên tập tùy
ý K ❸ tz : ⑤zv ✁ av ⑤ ➔ ⑤ζv ✁ av ⑤✉ chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều.

Tính chất 1.4. Xét hàm f liên tục trong miền D ⑨ Cn theo tập hợp các biến và tại
mỗi điểm z0 € D, chỉnh hình theo mỗi tọa độ nếu hàm f thỏa mãn điều kiện

❇ f ✏ 0 ♣v ✏ 1, . . . , nq
❇ zv
trong đa tròn đóng U ✏ tz € Cn : ⑤zv ✁ av ⑤ ↕ rv ✉ thì tại mỗi điểm z € Unó có các đạo
hàm riêng mọi cấp liên tục theo tập hợp biến.
Tính chất 1.5. Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a, được khai triển thành chuỗi lũy
thừa (dạng trong tính chất 1.2), thì các hệ số của chuỗi này được xác định theo các

công thức của Taylo:
ck ✏

✞
✞
 ☎☎☎ 
k
n
❇
1
✞
☎
✞
k
k
k1 ! ☎☎☎ kn ! ❇ z 1 ☎☎☎❇ znn ✞
1
k1

✏

z a

trong đó k! ✏ k1 ! ☎☎☎ kn !

✏

✞

1 ❇ ⑤k⑤ f ✞✞

☎
k! ❇ zk ✞z✏a

Tính chất 1.6. (Bất đẳng thức Cauchy). Nếu hàm f chỉnh hình trong đa tròn đóng
U

✏ t: ⑤zv ✁ av ⑤ ↕ rv ✉ và ⑤ f ⑤ ↕ M trên khung Γ của nó, thì các hệ số trong khai triển
9


Taylo của f tại điểm a thỏa mãn bất đẳng thức

⑤ck ⑤ ↕ M
rk
trong đó rk ✏ r1k1 ☎☎☎ rnkn
Định lý 1.1. (Định lý Hartogs). Nếu hàm f chỉnh hình tại mọi điểm của miền D ⑨ Cn
theo mỗi biến zv , thì nó chỉnh hình trong D.

€ H ♣Dq cùng với mọi đạo hàm riêng triệt
tiêu tại điểm z0 nào đó của miền D ⑨ Cn , thì f ✑ 0 trong D.
Nếu hàm f € H ♣Dq bằng không trong lân cận thực của điểm z0 € D, tức là trên tập
tz ✏ x   iy € Cn : ⑤x ✁ x0 ⑤ ➔ r , y ✏ y0 ✉, thì f ✑ trong D.
Định lý 1.2. (Định lý duy nhất). Nếu f

Định lý 1.3. (Nguyên lý môđun cực đại). Nếu hàm f
điểm nào đó a € D, thì f

✏ hằng số trong D.

€ H ♣Dq và ⑤ f ⑤ đạt cực đại tại

Định lý 1.4. (Liuvin). Nếu hàm f chỉnh hình trong Cn và giới nội, thì nó là hằng số.

€ H ♣Dq hội tụ đều đến hàm f trên mỗi
tập con compact của D, khi đó f € H ♣Dq và với k ✏ ♣k1 . . . , kn q tùy ý
❇⑤k⑤ fµ ÝÑ ❇⑤k⑤ f
❇zk
❇zk
trên k ❸ D tùy ý.

Định lý 1.5. (Weierstrass). Giả sử hàm f µ

Định lý 1.6. Giả sử f chỉnh hình trong lân cận U nào đó của điểm a € Cn và f ♣aq ✏ 0,

nhưng f ♣✶ a, zn q ✙ 0, khi đó trong lân cận V nào đó của điểm này

f ♣zq ✏ t♣zn ✁ an qk   c1 ♣✶ zq♣zn ✁ an qk✁1  ☎☎☎  ck ♣✶ zq✉ϕ ♣zq
trong đó k ➙ 1 là cấp của không điểm của f ♣✶ a, zn q tại điểm zn

✏ an , các hàm cv

chỉnh hình trong ✶V, cv ♣✶ aq ✏ 0, còn ϕ chỉnh hình trong V và không triệt tiêu trong

đó.
10


Tiếp theo, ta xét một bổ đề tổng quát thể hiện sự phụ thuộc chỉnh hình của tích
phân vào tham số.

✏ ζµ ♣l q là đường cong đo được trong mặt phẳng ζµ ♣µ ✏
1, . . . , mq, L ✏ L1 ✂ ☎☎☎ ✂ Lm và D là miền trong Cm ; giả sử ζ ✏ ♣ζ1 , . . . , ζm q và z ✏
♣z1 . . . zn q. Nếu hàm g♣ζ , zq liên tục trên L ✂ D, chỉnh hình theo z trong D với ζ € L
❇g trên L ✂ D, thì tích phân
tùy ý và có đạo hàm riêng liên tục
❇z

Bổ đề 1.1. Giả sử Lµ : ζµ

G♣zq ✏

➺

v

dζ1 ☎☎☎

L1

➺

g♣ζ , zqdζm ✏

Lm

➺

g♣ζ , zqdζ

Γ

chỉnh hình trong D và

❇G ✏ ➺ ❇g♣ζ , zq dζ ♣v ✏ 1, . . . , nq
❇ zv
❇zv
L

1.3.

Công thức tích phân Cauchy

1.3.1.

Công thức tích phân Borel - Pompeiu

Định nghĩa 1.4. Hàm En ♣xq định nghĩa như sau gọi là nhân Cauchy xác định trong
Cn 1 ③t0✉:

En ♣xq ✏

♣x ✘ 0q

1
x
,
ωx ⑤x⑤n 1

trong đó hàm En ♣xq là nghiệm cơ bản của toán tử Cauchy Riemann trong giải tích
Clifford, ωn là diện tích mặt cầu đơn vị Sn trong Rn 1 :

ωn ✏ 2
với

Γ♣n   1q ✏

Γn 1 ♣ 21 q
Γ♣ n 2 1 q

✽➩
❄
e✁t t n dt ✏ n! , Γ♣ 12 q ✏ π , Γ♣n   1q ✏ nΓ♣nq
0

trong C thì nhân Cauchy có dạng đơn giản:
E1 ♣zq ✏

1 1
,
2π z
11

♣z € Cq


Mệnh đề 1.1. Nhân Cauchy chỉnh hình trái và phải.
Chứng minh. Ta có

❇ ⑤x⑤xn 1 ✏ ♣❇xq ⑤x⑤1n 1  ♣❇♣⑤x⑤2 q✁   qx
n 1
2

và với

❇x ✏

n
➳

✏

ei ei ✏ n   1

i 0

❇⑤x⑤ ✏ 2
2

n
➳

✏

xi ei ✏ 2x

i 0

thì

❇ ⑤x⑤xn 1 ✏ 0
Chứng minh tương tự cho trường hợp chỉnh hình phải.

Định lý 1.7. (Công thức tích phân Borel - Pompeiu)
Xét miền Ω ⑨ Rn 1 có biên trơn. Với f

€ C1 ♣Ωq thì:

✩
✫ f ♣xq x € Ω
En ♣ξ ✁ xqdξ ✝ f ♣ξ q✁ En ♣ξ ✁ xqDx f ♣ξ qdσξ ✏
✪ 0
x € Rn 1 ③Ω
❇Ω
Ω
➺

➺

Định nghĩa 1.5. Xét f

€ C1 ♣Ωq và ❇Ω trơn. Toán tử F ♣Ωq định nghĩa bởi
♣F❇Ω f q :✏

➺

❇Ω

En ♣ξ ✁ xqdξ ✝ f ♣ξ q

gọi là toán tử Cauchy - Bitsadze. Toán tử TΩ định nghĩa bởi

♣TΩ f q♣xq ✏ ✁

➺

En ♣ξ ✁ xq f ♣ξ qdσξ

Ω

gọi là toán tử Teodorescu.
Chú ý 1.1. Công thức Borel - Pompeiu có thể được viết dưới dạng:

✩
✫ f ♣xq x € Ω
♣F❇Ω f q♣xq ♣TΩ ♣❇ f qq♣xq ✏ ✪
0
x € Rn Ω
12


Định lý 1.8. Cho hàm f

€ C02 ♣Hq. Khi đó

✩
✫ f ♣xq x € Ω
Dx ♣TΩ f ♣xqq ✏
✪ 0
x € V ecH③Ω

Chứng minh. Ta có:
Dx ♣TΩ f q♣xq

➩

✏✁Dx E ♣ξ ✁ xq f ♣ξ qdξ ✏✁Dx

➩

Dx N ♣ξ ✁ xq f ♣ξ qdξ

✩
✫ f ♣xq x € Ω
➩
✏✁∆ N ♣ξ ✁ xq f ♣ξ qdξ ✏ ✪
Ω
0
x € V ecH③Ω
Ω

Ω

(Dx E ✏ ∆N với N là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace)
Chú ý 1.2. Như vậy toán tử Teodorescu là toán tử ngược của toán tử Dirac trên miền
Ω.

1.3.2.

Công thức tích phân Cauchy

Định lý 1.9. (Định lý Weierstrass)
Giả sử tun ✉n✏1,2,... là các hàm chính quy trong miền Ω và các hàm đó đều hội tụ đều

về hàm u. Khi đó hàm u cũng là hàm chính quy.
Chứng minh. Lấy điểm x0 tùy ý trong Ω. Giả sử quả cầu đóng ⑤x ✁ x0 ⑤ ↕ R nằm
trong Ω. Khi đó tại mỗi điểm ξ nằm trong của cầu ấy thì un có thể biểu diễn bằng
công thức tích phân Cauchy
un ♣ξ q ✏
Cho n Ñ ✽ thì:

u♣ξ q ✏

➺

⑤x✁x0 ⑤✏R
➺

⑤x✁x0 ⑤✏R

E ♣x, ξ qdσ ✝ un

E ♣x, ξ qdσ ✝ u

Do E ♣x, ξ q phụ thuộc liên tục vào ξ , hàm u trở thành hàm chính quy với ⑤ξ ✁ x0 ⑤ ➔ R.

Nói cách khác, với mỗi điểm x0 € Ω thì đều tồn tại một lân cận mà trong đó u là hàm
13


chính quy.
Như vậy u là hàm chính quy trong toàn Ω.

1.4.

Định lý thác triển hàm Hartogs cho hàm nhiều
biến phức

Định lý 1.10. (Hartogs) Giả sử cho các miền ✶ D ⑨ Cn✁1 ♣✶ zq và Dn ⑨ C♣zn q, hàm f
tùy ý chỉnh hình trong lân cận (theo nghĩa Cn ) của tập
M ✏ ♣✶ D ✂❇ Dn q❨♣t✶ z0 ✉✂ Dn q

(1.1)

trong đó ✶ z0 € ✶ D, thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D ✏✶ D ✂ Dn .
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta coi Dn giới nội bởi một số hữu hạn đường
cong trơn. Hàm
f˜♣zq ✏

1
2πi

chỉnh hình trong miền D ✏ ✶ D ✂ Dn .

➺

❇ Dn

f ♣✶ z, ξn q
dξn
ξn ✁ zn

(1.2)

Thật vậy, khi ξn € ❇ Dn và ✶ z € ✶ D, điểm ♣✶ z, ξn q € M do đó f ♣✶ z, zn q chỉnh hình. Suy
ra hàm f˜ chỉnh hình đối với ✶ z trong ✶ D♣zn ❘ ❇ Dn q (tính chất hàm chỉnh hình).
Mặt khác: với ✶ z € ✶ D, hàm f˜ chỉnh hình đối với zn € Dn .

Với z thuộc lân cận t✶ z0 ✉✂ Dn , hàm f chỉnh hình theo giả thiết và
f ♣zq ✏

1
2πi

➺

❇ Dn

f ♣✶ z, zn q
dξn
ξn ✁ zn

(Công thức tích phân Cauchy đối với hàm một biến zn )
Vậy với z thuộc lân cận này, f˜ ✏ f ♣zq.

ñ f˜ ✏ f khắp nơi mà f chỉnh hình (Định lý duy nhất đối với hàm nhiều biến phức).
Mà f˜ € H ♣Dq ñ f˜ là thác triển giải tích cần tìm của f .
14


Nhận xét 1.1. Từ chứng minh trên ta nhận thấy, điều kiện của định lý Hartogs có thể
giảm đi, nếu chỉ đòi hỏi f là hàm:
1. Chỉnh hình trong lân cận tập t✶ z0 ✉✂ Dn .
2. Liên tục theo zn và chỉnh hình theo ✶ z trên tập ✶ D ✂❇ Dn .

Hơn nữa, nếu trong (1.2) ta xét tích phân bội Cauchy theo ❇ ✶ D thì vai trò của ✶ D và
Dn có thể thay đổi cho nhau (tương ứng, các biến ✶ z và zn ).

Tập mỏng: Cho D ⑨ Cn , M ⑨ D, M được gọi là tập mỏng nếu với mỗi điểm z € D,

tồn tại lân cận Uz ⑨ D và hàm chỉnh hình ϕ, trong đó

✩
✫ ϕ ✙0
✪ ϕ ✏0

❅z € Uz
❅z € M ❳ Uz

Theo định lý duy nhất, tập mỏng M không thể có điểm trong, nó không đâu trù mật
trong D và phần bù trong D của M là liên thông.
Định lý 1.11. Giả sử M là tập mỏng trong miền D ⑨ Cn và hàm f chỉnh hình trong

D③M. Nếu f giới nội địa phương thì nó thác triển được một cách duy nhất thành hàm
f chỉnh hình trong D.
(Giới nội địa phương được hiểu là ❅z € D, ❉ lân cận Uz sao cho f giới nội trong

D③M ❳ Uz )

Chứng minh. Rõ ràng hàm f thác triển được là duy nhất (theo hệ quả của định lý duy
nhất).
Ta chứng minh tính thác triển được: do D③M là tập liên thông, ta chỉ cần chứng

minh tính thác triển chỉnh hình của hàm f vào bất kỳ điểm a € M. Không giảm tổng

quát, giả sử a ✏ 0.

Xét hàm ϕ xác định M trong lân cận U0 thỏa mãn điều kiện:ϕ ♣✶ z, 0q ✙ 0, trong

đó ✶ z ✏ ♣z1 , . . . , zn✁1 q.

Với ρn → 0, đủ nhỏ, hàm φ ♣✶ 0, zn q ⑧✏ 0 trên đường tròn t⑤zn ⑤ ✏ ρn ✉.
15


ñ các số ρr ♣r ✏ 1, n ✁ 1q có thể đủ nhỏ, sao cho φ ♣✶ z, zn q ⑧✏ 0 với ❅✶ z €✶ V ✏ t⑤zr ⑤ ➔ ρ ✉
và ❅zn € ❇ Dn ✏ t⑤zn ⑤ ✏ ρn ✉.
ñ ♣✶ z, zn q ❘ M trong đó: ✶ z € ✶V , zn € ❇Dn .
ñ f chỉnh hình trong lân cận ✶V ✂❇Dn .
Mặt khác, với ✶ z €✶ V cố định tùy ý, hàm φ ♣✶ z0 ,✶ zn q có hữu hạn không điểm trong
hình tròn Dn ✏ t⑤zn ⑤ ↕ ρn ✉, nghĩa là f ♣✶ z0 , zn q có trong Dn hữu hạn điểm kỳ dị.
Do f giới nội trong Dn nên các điểm kỳ dị là khử được, nghĩa là f ♣✶ z0 , zn q thác
triển được thành hàm chỉnh hình trong Dn . Hàm thác triển f˜ chỉnh hình trong lân
cận tập ♣✶V ✂ ❇ Dn q ❳ ♣✶ 0 ✂ Dn q và theo định lý Hartogs, f˜ chỉnh hình trong đa tròn

V

✏ ✶ V ✂ Dn .

Trong định lý tiếp theo ta tăng hạn chế buộc cho f bằng cách thác triển liên tục
nó vào D, nhưng đồng thời giảm đòi hỏi cho tập M (Giả sử: f không phải trên tập
mỏng mà trên mặt trơn 2n ✁ 1 chiều).
Định lý 1.12. Nếu hàm f liên tục trong miền D ⑨ Cn và chỉnh hình khắp nơi trong

D, trừ ra tập M nằm trên mặt trơn 2n ✁ 1 chiều S thì nó chỉnh hình trong toàn tập D.

Chứng minh. Tương tự như định lý trên, giả sử trong lân cận U của điểm 0 € M, mặt
S biểu diễn bởi phương trình yn ✏ ϕ ♣✶ z, xn q, trong đó ϕ là hàm thực trơn.
Vì ϕ ✏ ♣✶ 0, 0q ✏ 0 nên theo tính liên tục: Với ❅β

→ 0 nhỏ tùy ý, ❉ lân cận ✶V của điểm
✶ 0 và α → 0 sao cho ⑤ϕ ♣✶ z, xn ⑤ ➔ β với ❅✶ z € V và ⑤xn ⑤ ➔ α.
ñ f chỉnh hình trong ✶V ✂t⑤xn ⑤ ➔ α, ⑤yn ⑤ ➔ γ ✉, với γ → β đủ nhỏ.
Mặt khác, với ✶ z0 €✶ V cố định, hàm f ♣✶ z0 , zn q chỉnh hình theo zn trong hình chữ nhật
Dn ✏ t⑤xn ⑤ ➔ α, ⑤yn ⑤ ➔ γ ✉ khắp nơi, trừ tại đường cong nhẵn yn ✏ ϕ ♣✶ z0 , xn q và liên
tục trong Dn .

ñ f ♣✶ z0 , zn q chỉnh hình trong Dn .
ñ f chỉnh hình trong ✶V ✂ D✶n (theo định lý Hartogs).

16


Chương 2

Tính chất ma trận đối với định
lý thác triển nghiệm hệ phương
trình đạo hàm riêng cấp 1
Ở phần này, ta sẽ đưa ra một số tiêu chuẩn để nghiệm của hệ phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính cấp 1, hệ số hằng dạng (2.1) ở lân cận của biên có thể thác triển
ra toàn miền xác định.

2.1.

Bài toán

Cho miền K € Rn ,

➦

là lân cận của ❇ K. Xét hệ:

➳ ➳ ♣l q ❇ui
L ♣l q ✏
Ai j
❇x j
i✏1 j✏1
m

n

✏0

(2.1)

♣l q ✏ const ; i ✏ 1, m ; j ✏ 1, n ; l ✏ 1, L ; u ✏ u ♣x , x , . . . , x q là các hàm
i
i 1 2
n

trong đó: Ai j

giải tích thực theo x1 , x2 , . . . , xn và u ✏ ♣u1 , u2 , . . . , um q là hàm ẩn.
17

Định nghĩa 2.1. (Định nghĩa thác triển nghiệm). Cho u ✏ tu1 ♣xq, u2 ♣xq, . . . , um ♣xq✉

là một nghiệm của hệ (2.1) trong miền K và ur ✏ tur1 , ♣xqur2 ♣xq, . . . , urm ♣xq✉ là một

r với K ❸ Kr ❸ R. Khi đó ur được gọi là thác triển liên
nghiệm của hệ đó trong miền K
tục của u nếu ur ✏ u trong K.

Định lý 2.1. (Định lý duy nhất).

⑨ K, δ ✘ ∅. Giả sử u ✏ tu1 ♣xq, u2 ♣xq, . . . , um ♣xq✉ là một nghiệm (giải
tích thực) của hệ (2.1) trong miền K € Rn . Khi đó, nếu:

Cho tập mở σ

u✏0

với x € σ

u✑0

với x € K

thì

Nếu hệ (2.1) là hệ elliptic thì nghiệm của hệ (2.1) cũng là hàm giải tích (thực) theo
x1 , x2 , . . . , xn . Do đó ta có thể áp dụng định lý duy nhất cho nghiệm của hệ phương
trình elliptic.
Tức là, định lý duy nhất 2.1 thỏa mãn đối với các nghiệm đủ trơn của hệ (2.1).

Từ định lý duy nhất ta thấy thác triển ur của u xác định duy nhất.
Bài toán 2.1. Giả sử định lý duy nhất nghiệm 2.1 đúng cho hệ (2.1). Câu hỏi đặt ra
là: Khi nào mọi nghiệm của hệ (2.1) trong Σ có thể thác triển liên tục thành nghiệm
của chính hệ đó trong toàn miền K. Nghĩa là:
m ➳
n
➳
♣1q ❇ui
Ai j
❇x j
i✏1 j✏1

✏0

trên K

♣l q

Tính giải được của bài toán 2.1 sẽ phụ thuộc vào các hệ số A♣i jq và m, n, L. Vì
vậy ta sẽ đi nghiên cứu hai tính chất ma trận đối với tính giải được của bài toán 2.1.

18


2.1.1.

Các tính chất ma trận đối với tính giải được của hệ phương
trình riêng tuyến tính cấp 1

Trước tiên, ta ký hiệu

♣1q q , l ✏ 1, L
mn
Ñ
Ýλ ✏ ♣λ ♣1q , . . . λ ♣Lq q,

A ♣l q ✏ ♣Ai j

Ñ
Ýλ ✏
i

✓

Ñ
Ý

(2.3)

i

i

với

(2.2)

L
➳
♣λi♣lq q2

l ✏1

✛ 12

Ñ
Ý

A ♣l q là ma trận cỡ m ✂ n và λ i là véc tơ L - chiều. Nếu véc tơ λ i được chọn trước
thì ta định nghĩa ma trận cỡ m ✂ n như sau:

L
➳
♣l q
Di ✏
λi A ♣ l q
l ✏1

(2.4)

Hơn nữa, ta định nghĩa ma trận:
B ✏ ♣ D1 , . . . , Dm q

có cỡ m ✂♣m.nq

☎ ☞
D
✝ .1 ✍
✝ ✍
C ✏ ✝ .. ✍
✆ ✌

và ma trận:

có cỡ m2 ✂ n

Dm

Ñ
Ý

Ñ
Ý

Định lý 2.2. Giả sử rằng m ↕ n và tồn tại m véc tơ λ 1 , . . . , λ m sao cho các điều
kiện sau được thỏa mãn:
i) RankDi ✏ 1

với ❅i ✏ 1, m

ii) RankB ✏ m,
iii) RankC

✏ m.
19


Khi đó, mỗi nghiệm giải tích (thực) u của hệ (2.1) trong

➦

có thể thác triển liên tục

được thành một nghiệm của hệ đó trong toàn K.
Chứng minh. Giả sử tồn tại các ánh xạ tuyến tính

✏ A♣xq ,

(2.5)

u✶ ✏ A1 ♣uq

(2.6)

ξ
và

Trong đó:

✏ ♣ξ1 , . . . , ξn q,
u✶ ✏ ♣u✶1 , . . . , u✶m q,

x ✏ ♣x1 , . . . , xn q,

ξ

u ✏ ♣u1 , . . . , um q.

Nếu ký hiệu
K ✶ ✏ A♣K q

➳✶

(2.7)

➳

✏ A♣ q

(2.8)

thì dễ thấy dàng thấy rằng K ✶ là một miền trong Rn € ♣ξ1 , . . . , ξn q và

của ❇ K ✶ . Khi đó, các hàm u1 ♣xq, . . . , um ♣xq được cho trong

➦

➦✶

là một lân cận

và giải tích (thực) theo

➦
x1 , . . . , xm , theo đó u✶1 ♣ξ q, . . . , u✶m ♣ξ q được cho ✶ là giải tích (thực) theo ξ1 , . . . , ξm .
Nếu hệ (2.1) bao hàm các phương trình

❇u✶1 ✏ 0, . . . , ❇u✶m ✏ 0
(2.9)
❇ ξ1
❇ ξm

➦
thì u✶i chỉ phụ thuộc vào ξi . Khi đó u✶i ♣ξ q được cho trong một lân cận ✶ của K ✶ , ta có

thể thác triển hàm này thành hàm giải tích (thực) trong toàn K ✶ . Ta ký hiệu các mở
rộng của u✶ ♣ξ q bởi

và xét

u˜✶i ♣ξ q, . . . , u˜✶i ♣ξ q

(2.10)

1 ✶
u˜ ✏ A✁
1 ♣u˜ q,

(2.11)

20


trong đó u˜✶ ✏ ♣u˜✶1 , . . . , u˜✶m q, u˜ ✏ ♣u˜1 , . . . , u˜m q . Dễ dàng chỉ ra rằng các hàm số u˜i xác
định trong toàn K và giải tích thực theo x1 , . . . , xn . Mặt khác ta có
u˜i ✏ ui

trong

Khi u ✏ ♣u1 , . . . , um q là nghiệm của (2.1) trong
L ♣l q ♣u˜q ✏ L ♣l q ♣uq ✏ 0

➳

(2.12)

➦

, ta có:

trong

➳

,

l ✏ 1, L

(2.13)

Lại có L ♣l q ♣u˜q giải tích thực theo x1 , . . . , xn .
Kết hợp định lý duy nhất 2.1 và (2.13), ta lấy
L ♣l q ♣u˜q ✏ 0 trong toàn K, với l ✏ 1, L

(2.14)

Điều kiện (2.13) có nghĩa u˜ ✏ ♣u˜1 , . . . , u˜m q là một nghiệm của (2.1) trong toàn K. Do
đó u˜ là thác triển của u trong toàn K.
Bài toán được suy ra từ việc chứng minh sự tồn tại của các ánh xạ A và A1 .
Ký hiệu

♣1q s

D 1 ✏ r Dk j

✏

✏

k 1,m, j 1,n

(2.15)

Từ giả thiết (i) của định lý ta có
RankD1 ✏ 1

(2.16)

Do đó tồn tại ít nhất một phần tử của D1 không bị triệt tiêu. Không mất tính tổng
quát, giả sử rằng
D111 ✘ 0

(2.17)

D111 ✏ a11 ☎ α11

(2.18)

nghĩa là

trong đó
a11 ✘ 0

α11 ✘ 0

21

(2.19)


Mặt khác, ký hiệu

♣1q

D12
a11
thì

♣1q

✏ α21 , ☎☎☎ , Da1n
11

✏ αn1

♣1q ✏ a α , . . . , D♣1q ✏ a α
11 11
11 n1
1n

(2.20)

D12

♣1q sao cho

Từ (2.16), tồn tại các hằng số γk

rD♣k11q , . . . , D♣kn1q s ✏ γk♣1q rD♣111q , . . . , D♣1n1q s,
♣1q

k ✏ 2, n

(2.21)

♣1q

Ở đây rDk1 , . . . , Dkn s là hạng thứ k của ma trận D1 .
Từ (2.18), (2.19), và (2.21) ta có

♣1q ✏ γ ♣1q D♣1q ✏ γ ♣1q a α
11 j1
1j
k
k

Dk j
Đặt

♣1q

γk a11 ✏ a1k ,

ta lấy

♣1q ✏ a α ,
1k j1

Dk j

với k ✏ 1, m, j ✏ 1, n

(2.22)

k ✏ 1, m

(2.23)

k ✏ 1, m, j ✏ 1, n

(2.24)

Do đó, phải chứng minh sự tồn tại của hai m ✁ tuple.

♣a11 , . . . , a1m q

và

♣α11 , . . . , α1m q

thỏa mãn điều kiện (2.19) và (2.20). Bằng lập luận tương tự như phần trước, ta có thể
chứng minh sự tồn tại của 2♣m ✁ 1qm ✁ tuple dạng sau:

♣ai1 , . . . , aim q ,
thỏa mãn điều kiện

♣1q ✏ a α
ik ji

Dk j

22

♣α1i , . . . , αni q

(2.25)

i ✏ 2, m

(2.26)


Từ (2.26), (2.24) và giả thiết (ii) của Định lý 2.2 ta có

✔
a α
✖ 11 j1 1
✖a α
✖ 12 j1 1
det ✖
✖ ..
✖ .
✕

a1m α j1 1
trong đó, 1 ↕ jl

☎☎☎
☎☎☎

a21 α j2 2
a22 α j2 2
..
.

..
.

☎☎☎

a2m α j2 2

✔
a
✖ 11
✖a
✖ 12
α j1 1 α j2 2 α jm m ✂ det ✖
✖ ..
✖ .
✕
✔
a

✖ 11
✖a
✖ 12
det ✖
✖ ..
✖ .
✕
a1m

a21
a22
..
.
a2m

☎☎☎
☎☎☎

a21
a22
..
.

..
.

☎☎☎

a2m

☎☎☎

a1k2 α22
..
.

a1km α1m a1km α2m
trong đó, 1 ↕ kl

amm

am1

..
.

a1k1 α21

✜
am1
✣
✣
am2 ✣
✣
.. ✣ ✘ 0
. ✣
✢

✜
✣

✣
am2 ✣
✣
.. ✣ ✘ 0
. ✣
✢

☎☎☎
☎☎☎

(2.28)

amm

Từ (2.24), (2.26) và giả thiết (iii) cho ta

✔
a α11
✖ 1k1
✖ a α12
✖ 1k2
Rank ✖
✖ ..
✖ .
✕

(2.27)

amm α jm m

↕ m, l ✏ 1, L. Do (2.27) ta có

a1m
hay

✜
am1 α jm m
✣
✣
am2 α jm m ✣
✣✘0
..
✣
✣
.
✢

☎☎☎
☎☎☎
..
.

☎☎☎

✜
a1k1 αn1
✣
✣
a1k2 αn2 ✣
✣ ✏ m,

..
✣
✣
.
✢

(2.29)

a1km αnm

↕ m, l ✏ 1, L. Theo ký hiệu
Ñ
Ýα 1 ✏ ♣α11 , α21 , . . . , αn1 q
Ñ
Ýα 2 ✏ ♣α12 , α22 , . . . , αn2 q
☎☎☎
Ñ
Ýα m ✏ ♣α1m , α2m , . . . , αnm q
23

(2.30)


khi đó ta lấy hệ m véc tơ với n thành phần

tα1 , α2 , . . . , αm ✉.
Ýα 1 , Ñ
Ýα 2 , . . . , Ñ
Ýα m ✉ là độc lập tuyến tính. Do
Điều kiện (2.29) nghĩa là hệ véc tơ tÑ

m ↕ n, ta có thể thêm vào hệ này ♣n ✁ mq véc tơ (với n thành phần)
Ýα m 1 , Ñ
Ýα m 2 , . . . , Ñ
Ýα n ✉
tÑ
sao cho hệ sau là độc lập tuyến tính

Ýα 1 , Ñ
Ýα 2 , . . . , Ñ
Ýα m , Ñ
Ýα m 1 , Ñ
Ýα m 2 , . . . , Ñ
Ýα n ✉
tÑ
Do đó:

✔
α11
α21
✖ .
..
✖ .
✖ .
.
✖
✖
✖ α1m
α2m
det ✖
✖

✖α1m 1 α2m 1
✖
✖ ..
..
✖ .
.
✕
α1n

α2n

☎☎☎
..
.

☎☎☎
☎☎☎
..
.

☎☎☎

(2.31)

✜
αn1
.. ✣
✣
. ✣

✣
✣
αnm ✣
✣✘0
✣
αnm 1 ✣
✣
.. ✣
. ✣
✢

(2.32)

αnn

trong đó:

Ñ
Ýα m 1 ✏ ♣α1m 1 , α2m 2 , . . . , αnm 1 q
(2.33)
☎☎☎
Ñ
Ýα n ✏ ♣α1n , α2n , . . . , αnn q
Ta phải chứng minh sự tồn tại của n2 số Di j , i ✏ 1, n, j ✏ 1, n thỏa mãn các điều kiện
(2.26), (2.32).
Ta định nghĩa các phép biến đổi tọa độ như sau:

➳
u✶ ✏
αi j u j

j ✏1
m

xl

✏

n
➳

✏

αlk ξk

k 1

24

i ✏ 1, m

(2.34)

l ✏ 1, n

(2.35)