Bài toán thác triển trong giải tích clifford và các ứng dụng trong công nghệ

Mục lục
Mục lục .......................................................................................................... 1
Lời cam đoan ................................................................................................. 4
Lời cảm ơn .................................................................................................... 5
Mở Đầu.......................................................................................................... 6
Chương 1:Định lý thác triển Hartogs đối với hàm giải tích nhiều biến phức
....................................................................................................................... 8
1.1 Hàm nhiều biến phức .......................................................................... 8
1.1.1 Không gian

n

............................................................................. 8

1.1.2 Một số miền đơn giản trong không gian

n

............................... 8

1.1.3 Hàm chỉnh hình .......................................................................... 11
1.1.4 Tính chất của hàm chỉnh hình .................................................... 13
1.2 Định lý Hartogs về thác triển ............................................................ 17
1.2.1 Định lý 1 (Hartogs) .................................................................... 17
1.2.2 Định lý 2 ..................................................................................... 19
1.2.3 Định lý 3 ..................................................................................... 20
Chương 2:Đại số Clifford phụ thuộc tham số ............................................. 21
2.1 Đại số Clifford................................................................................... 21
2.1.1 Số Phức ...................................................................................... 21
2.1.2 Đại số Clifford............................................................................ 22
2.1.2.1 Định nghĩa đại số Clifford An ............................................ 22

1


2.1.2.2 Một số tính chất của An ...................................................... 23
2.1.2.3 Số chiều của đại số Clifford An .......................................... 24
2.1.2.4 An là một không gian Metric ............................................. 24
2.1.2.5 Một số tính chất khác của đại số An ................................... 25
2.2 Đại số Clifford phụ thuộc tham số .................................................... 28
2.2.1 Định nghĩa .................................................................................. 28
2.2.2 Cơ sở và số chiều ....................................................................... 29
2.2.3 Một số tính chất của đại số Clifford phụ thuộc tham số ............ 30
2.2.4 Mở rộng đại số Clifford ............................................................. 31
2.2.5 Đại số Clifford bậc cao .............................................................. 32
Chương 3:Giải tích Clifford ........................................................................ 34
3.1 Giải tích Clifford ............................................................................... 34
3.1.1 Toán tử Cauchy – Riemann ....................................................... 34
3.1.2 Hàm chính quy ........................................................................... 34
3.1.3 Khái niệm hàm chỉnh hình và hàm chính quy suy rộng ............ 36
3.1.3.1 Tổng quát ............................................................................ 36
3.1.3.2 Cấu trúc mối quan hệ hàm .................................................. 38
3.1.3.3 Định nghĩa 1 ........................................................................ 39
3.1.4 Công thức Cauchy – Pompeiu ................................................... 41
3.1.4.1 Công thức tích phân Gauss ................................................. 41
3.1.4.2 Công thức tích phân Green ................................................. 43
3.1.4.3 Công thức Cauchy – Pompeiu cho toán tử Cauchy-Rieman
......................................................................................................... 44
3.1.4.4 Công thức tích phân Cauchy cho hàm chính quy ............... 46
3.2 Giải tích Clifford mở rộng ............................................................ 46
3.2.1 Toán tử Cauchy – Riemann trong An (2, j ,  ij ) ..................... 46

2


3.2.2 Toán tử Cauchy – Riemann ....................................................... 48
3.2.3 Toán tử Cauchy – Rieman trong đại số Clifford bậc cao .......... 50
3.3 Giải tích Clifford trong A n (2,  j ,  ij ) ............................................... 52
3.3.1 Công thức Cauchy – Pompeiu ................................................... 53
Chương 4:Định lý thác triển Hartogs trong giải tích Clifford phụ thuộc
tham số ........................................................................................................ 57
4.1 Đại số Clifford A 2 (4,1,0) ................................................................. 57
4.1.1 Định nghĩa A 2 (4,1,0) .................................................................... 57
4.1.2 Cơ sở của A 2 (4,1,0) .................................................................. 57
4.2 Giải tích clifford phụ thuộc tham số A 2 (4,1,0) ................................ 57
4.2.1 Định nghĩa 1 ............................................................................... 57
4.2.2 Định nghĩa 2 ............................................................................... 58
4.2.3 Định nghĩa 3 ............................................................................... 58
4.2.4 Tính chất..................................................................................... 59
4.2.5 Định lý 1 ..................................................................................... 65
4.2.6 Định lý 2 ..................................................................................... 65
Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 67
Phụ lục ......................................................................................................... 68
Phụ lục 1 .................................................................................................. 68
Phụ lục 2 .................................................................................................. 71

3


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu độc lập của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo GS.TSKH. Lê Hùng Sơn. Tất cả các

nguồn tài liệu tham khảo đã được công bố đầy đủ. Nội dung của luận văn là
trung thực , kết quả đạt được là hoàn toàn mới.
Tác giả luận văn
Dương Thị Hồng Nhung

4


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo
hướng dẫn – GS.TSKH.Lê Hùng Sơn. Người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ
bảo, định hướng và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành và có kết quả
như luận văn này. Thái độ nghiêm túc trong công việc, cũng như sự nhiệt
tình trong giảng dạy của Thầy đã giúp tôi có thêm động lực để hoàn thành
luận văn trong thời gian vô cùng khó khăn. Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn
chân thành đến các thành viên, bài giảng trong các xê – mi – na:
+ Xê – mi – na “Đại số và giải tích Clifford ” dưới sự chủ trì của
Thầy W.Tutschke
+ Xê – mi – na “Giải tích phức và phương trình vi phân” dưới sự chủ
trì của GS.TSKH. Lê Hùng Sơn
Tôi xin trân trọng cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Viện Đào tạo Sau
Đại học, các thầy cô Viện Toán Tin Ứng dụng Đại Học Bách Khoa Hà Nội,
những người đã dạy dỗ và tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn
này.
Cuối cùng, Tôi muốn bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới bố, mẹ, anh,
chị, chồng và đặc biệt là con trai tôi, những người luôn ở bên để động viên
và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi.
Tác giả
Dương Thị Hồng Nhung

5


Mở Đầu
Các định lý thác triển đối với hàm giải tích không những đạt được
những tính hoàn chỉnh và đẹp đẽ về mặt cấu trúc mà còn được ứng dụng
khá rộng rãi trong các lĩnh vực của toán học cũng như kỹ thuật. Chúng ta
đã biết đến những ứng dụng của định lý thác triển Hartogs đối với hàm giải
tích một biến phức và hàm nhiều biến phức như các bài toán ứng dụng
trong dự báo thời tiết, thiên tai, trong thủy lợi,…. Ngày nay, những vấn đề
này lại càng được quan tâm hơn nữa, chính vì vậy mà những ứng dụng của
nó lại càng quan trọng. Ta đã biết đến hàm nhận giá trị trong không gian
phức có những tính chất vô cùng quan trọng và thỏa mãn định lý thác triển,
thì đối với hàm nhận giá trị trong đại số Clifford, cũng như đại số Clifford
phụ thuộc tham số cũng có những tính chất tương tự, đồng thời thỏa mãn
một số định lý thác triển. Việc nghiên cứu đại số Clifford, đại số Clifford
phụ thuộc tham số là vô cùng bức thiết bởi những tính chất và cấu trúc đẹp
đẽ của nó.
Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Lê Hùng Sơn, Tôi đã nhận thấy
tầm quan trọng của định lý thác triển và nghiên cứu đề tài: ”Bài toán thác
triển trong giải tích Clifford và các ứng dụng trong công nghệ”. Nội dung
của luận văn gồm 4 chương:
Chương 1: Định lý thác triển Hartogs đối với hàm giải tích nhiều
biến phức
Chương 2: Đại số Clifford phụ thuộc tham số
Chương 3: Giải tích Clifford
Chương 4: Định lý thác triển đối với hàm giải tích nhận giá trị trong
giải tích Clifford phụ thuộc tham số

6

Trong phạm vi của luận văn này, Tôi đã nghiên cứu và nhận thấy
hàm nhận chỉnh hình nhận giá trị trong đại số Clifford phụ thuộc tham số
A 2 (4,1,0) cũng thỏa mãn định lý thác triển Hartogs.

Do luận văn được hoàn thành trong điều kiện còn hạn chế về kiến
thức cũng như thời gian nên không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy, Tôi
mong nhận được những nhận xét và đóng góp từ các thầy cô và bạn bè để
luận văn ngày một hoàn chỉnh. Tôi cũng hy vọng có cơ hội nghiên cứu sâu
hơn đề tài này và đặc biệt có thêm kết quả ứng dụng.

7


Chương 1

Định lý thác triển Hartogs đối với hàm
giải tích nhiều biến phức
1.1 Hàm nhiều biến phức
n

1.1.1 Không gian

Xét không gian Ơ‟Clit

x

2n

2n

: x  (x1 , x 2 ,..., x 2 n )

Ta đưa vào trong đó cấu trúc phức bằng cách đặt: z  x  ix n
Với   1, n . Và ký hiệu lại : x n  y  z  x  iy ,   1, n
Khi đó không gian mà điểm đó là những bộ n số phức (hữu hạn)
z  (z1 ,z 2 ,...,z n )  {z v } gọi là không gian phức n chiều

Có thể xem, với n tùy ý, không gian
n



n

n

là tích n mặt phẳng phức

 .... 
n

1.1.2 Một số miền đơn giản trong không gian

n

Ta hiểu miền là tập mở liên thông. Trong đó tính mở của tập hợp
nghĩa là tập chứa cùng với mỗi điểm, mỗi lân cận nào đó, còn tính liên
thông của tập mở nghĩa là có thể nối mỗi cặp điểm z ' ,z '' của nó bởi đường

z(t ) : I 

n

I  [0,1] là đoạn của trục thực
z(t ) là hàm liên tục, z(0)  z' , z(1)  z" ,  t  I tùy ý

8


a. Hình cầu

B(a,r) : {z 

n

;|z-a|< r}

Biên hình cầu: B là mặt cầu 2n  1 chiều trong không gian

S

2 n 1

2n

n

 {z 

n

:| z  a |2  r 2}
 1

b. Đa tròn (hay đa trụ)
Đa tròn (hay đa trụ) bán kính r tâm a 
U(a,r)  {z 

n

n

được định nghĩa:

:|z -a v |
Tổng quát hơn, xét đa tròn tâm a 
U(a,r)  {z 

n

n

, bán kính r  (r1 ,...,rn )

:|z -a v |
Biên của đa tròn là tập tất cả các điểm có ít nhất một tọa độ z thuộc biên
của hình tròn thứ  , thành phần của U , còn các tọa độ z  còn lại (    )

thay đổi tùy ý trong hình tròn đóng. Biên này được phân thành n tập:
   {z :| z   a  | r ,| z   a  | r ,   }
n

Suy ra: U    ;   {z:|z -a |=r , =1, n} gọi là khung của đa tròn.
 1

Ví dụ: Mô tả chi tiết hơn song tròn bán kính 1, tâm tại gốc tọa độ
U  {z 

2

:|z1|<1,|z 2 |<1}

Vật thể đó là 4 chiều , giao của 2 hình trụ
x12  x 32  1
x 22  x 42  1

Biên của nó là vật thể 3 chiều U  1  2
9


1  {|z1|=1,|z 2 |  1}
 2  {|z 2 |=1,|z1|  1}

c. Các miền đa tròn(hay đa trụ)
Là tích của n miền phẳng D  D1 D2  ...  Dn (Đa tròn là trường
hợp riêng của các miền như vậy)
Nếu  D là đơn liên thì D đồng phôi với hình cầu
Biên  D của miền đa tròn D được phân thành n tập 2n  1 chiều.

n

  {z, z D ,z   D ,   } và D   
 1

Miền chung của mọi  là tập n chiều
  {z: z D , =1, n} gọi là khung của miền đa tròn D

d. Miền Rây nác (miền n-tròn)
Miền Rây nác tâm a 

n

được định nghĩa là miền có tính chất với

mỗi điểm z 0  {z0 } của miền, miền chứa cả điểm tùy ý
z  {a +(z0 -a )ei } ; 0    2

Miền Rây nác đầy đủ tâm a 

n

z0 , z  {z } mà | z  a || z0  a |;  1, n đều thuộc miền đó
e. Miền Hartogs
Miền Hartogs với mặt phẳng đối xứng {z n =a n } được định nghĩa là
miền có tính chất: Với mỗi điểm z 0  {z0 } miền chứa các điểm tùy ý
z  {z10 ,z 02 ,...,z 0n1 ,a n +(z 0n -a n )ei } ,với 0    2

Nếu điểm z0 đã thuộc nó thì mọi điểm z mà z  z0 , (  1, n)
Còn | z n  a n || z 0n  a n | thì gọi là miền Hartogs đầy đủ

10


Các miền Hartogs với mặt phẳng đối xứng {z n =0} có thể minh họa trong
không gian 2n  1 chiều. Nếu dùng biến đổi  :

n



n 1





được xác

định bởi công thức: z   (z)  {z1 ,...,z n1 ,|z n |}
Ta ký hiệu: z  (z1 ,z 2 ,...,z n1 ) là hình chiếu của z trong không gian
và qua D hình chiếu của D trong

n 1

n 1

(tức tập các điểm , z,'z  D ). Khi đó

miền Hartogs đầy đủ chứa cùng với một điểm ('z 0 ,| z 0n |) và toàn bộ đoạn

{('z 0 ,| z 0n |);| z n || z 0n |}

1.1.3 Hàm chỉnh hình
Xét miền D 

(tập các điểm hữu hạn)

n

Hàm phức: f : D 
Giả sử f khả vi tại điểm z  D theo nghĩa giải tích thực

2n

- khả vi nghĩa

là tồn tại vi phân:
df 

f
f
f
dx1 
dx 2  ... 
dx 2 n
 x1
 x2
 x 2n

(1.1)

Khi ta đưa vào biến phức :
 z  x  ix n

 z  x  ix n

Tức là:

x 

z  z
z z
và x n   
2i
2

(1.2)

Khi đó (1.1) được viết lại là:
df 

f
f
f
f
f
dz1 
d z2  ... 
dz n 
d z1  ... 

d z n  f  f
 z1
 z2
 zn
 z1
zn

Với   1, n
11


Đặt
f
1  f
f 
 
i

 z 2   x
 x n 

f
1  f
f 
 
i

 x n 
 z 2   x

Và ký hiệu:
f 

f
f
f
dz1 
dz 2  ... 
dz n
 z1
 z2
 zn

f 

f
f
f
d z1 
d z2  ... 
d zn
 z1
z2
zn

Định nghĩa 1.1: Hàm f xác định trong lân cận nào đó của điểm z 
được gọi là khả vi tại điểm đó theo nghĩa giải tích phức (
nó khả vi tại đó theo nghĩa

2n

và tại điểm này:

n

n

- khả vi ) nếu

f
 0 hay f  0
 z

Tức là vi phân có dạng:

df 

f
f
f
dz1 
dz 2  ... 
dz n
 z1
 z2
 zn

Định nghĩa 1.2: Hàm khả vi theo nghĩa
đó của điểm z0 

n

n

tại mỗi điểm của lân cận nào

được gọi là chỉnh hình tại điểm z 0 . Hàm chỉnh hình

tại mọi điểm của tập mở 

n

được gọi là chỉnh hình trên tập  .

Chú ý: Các hàm chỉnh hình trong miền D 

n

lập thành một vành. Ký

hiệu: H (D)
Nhận xét: Hàm chỉnh hình trong miền D 

n

là hàm chỉnh hình (

n

- khả

vi ) theo mỗi biến riêng biệt z và ngược lại, hàm f chỉnh hình theo mỗi

12


biến riêng biệt trong miền D 

n

thì nó khả vi trong D (theo nghĩa

2n

)

theo tập hợp các biến (chỉnh hình theo định nghĩa 1.2)

1.1.4 Tính chất của hàm chỉnh hình
Để thay cho tính chỉnh hình ta xét điều kiện tổng quát hơn:
(A)Hàm f liên tục trong miền D 

n

theo tập hợp các biến và tại

mỗi điểm z0  D chỉnh hình theo mỗi tọa độ
Tính chất 1.1: Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (A) trong đa tròn đóng
U  {z 

n

:|z -a |  r } thì tại mỗi điểm z  U nó được biểu diễn bởi tích

phân bội Côsi

f (z) 

1
f ( )d 1...d n
...
2 i    ( 1  z1 )...( n  zn )

(1.3)

 : Khung đa tròn, tức là tích các vòng tròn biên    {|  -a |=r }

Chứng minh: Với 'z U tùy ý, trong đó 'z,'U là ký hiệu hình chiếu của

z, U trong không gian

n 1

(z1 ,...,z n1 )

Hàm f  f ('z,z n ) chỉnh hình theo z n trong hình tròn {|z n  a n | r}. Do đó
theo công thức tích phân Côsi

f (z) 

1
f ('z,z n )
d n

2 i  n  n  z n

Với  n   n và 'z  'U tùy ý, hàm dưới dấu tích phân có thể biểu diễn bởi
tích phân Côsi theo biến z n1 , do f liên tục theo tập hợp các biến, do đó
tích phân lặp có thể biểu diễn như tích phân bội  n1   n . Tương tự ta có
(đpcm).
Tính chất 1.2: Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (A) trong đa tròn đóng U thì
tại mỗi thời điểm z  U nó được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa kép :

13




f (z)   ck (z  a) k

(1.4)

|k |  0

Với các hệ số
ck 

1
f ( )d
k 

(2 i )  (  a) k 1

Trong đó : k  (k1 ,....,k n ) là vectơ số nguyên ( k  0 )
(z  a) k  (z1  a1 ) k1 ...(z n  a n ) kn

Chứng minh: Nếu ta xem d  d 1...d n và

1
1

  z ( 1  z1 )...( n  z n )
Khi đó, từ tính chất (1.1) ta có (1.3) tương đương:

f (z) 

1
(2 i ) n




f ( )d
 z

(1.5)

Ta đưa công thức tích phân Côsi về dạng lũy thừa
1
1
1

1  z a k

.

. (
)
  z   a (1  z1  a1 )...(1  z n  a n )   a |k 0|   a
 1  a1
 n  an

Với k  (k1 ,....,k n ) là vectơ số nguyên, | k | k1  ...  k n , k  0 và
k

k1

 zn  a n 
 z1  a1 
 z a 

...




 a 


  1  a1 
  n  an 

Suy ra:

kn


1
(z  a) k

  z |k 0| (  a) k 1

Thay vào (1.5) ta có:

1
f ( )(z  a)k d
f (z) 
 ck .(z a)k
n 
k 1
(2 i)  (  a)

14


Tính chất 1.3(định lý Aben)
Nếu chuỗi lũy thừa (trong tính chất 1.2) hội tụ tại điểm z 

n

nào

đó thì trên tập tùy ý K  {z:|z -a |<|  -a |} chuỗi này hội tụ tuyệt đối và
đều
Tính chất 1.4
Nếu hàm f thỏa mãn đk (A) trong đa tròn đóng U thì tại mỗi điểm

z  U , nó có các đạo hàm riêng mọi cấp liên tục theo tập hợp biến.
Tính chất 1.5
Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a , được khai triển thành chuỗi lũy
thừa (dạng trong tính chất 1.2) thì các hệ số của chuỗi lũy thừa này được
xác định theo công thức Taylor
ck 

1
 k1 ... kn f
1 |k | f
|

|
z a
k1!k 2!....k n!  z1k1 ... z knn
k!  z k z a

Với k!  k1!...k n!
Tính chất 1.6(Bất đẳng thức Côsi)
Nếu hàm f chỉnh hình trong đa tròn đóng U  {|z -a |
| f | M trên khung tròn  của nó thì các hệ số trong khai triển Taylor của

f tại điểm a thỏa mãn bất đẳng thức : | ck |

M
với r k  r1k1 ....rnkn
k
r

Định lý 1.1(Hartogs):Nếu hàm f chỉnh hình tại mọi điểm của miền

D

n

theo mỗi biến z thì nó chỉnh hình trong D

Chứng minh: Không giảm tổng quát, ta chỉ cần chứng minh tính chỉnh hình
0
của hàm f tại điểm z  D tùy ý và đồng thời ta cũng có thể xem

z0  0 . Như vậy, giả sử f chỉnh hình theo mỗi biến trong đa tròn U(0,R)
. Ta sẽ chứng minh nó chỉnh hình trong đa tròn nào đó tâm 0.
15


Ta sẽ chứng minh quy nạp theo số biến. Đối với
U(„0,R)

một biến, điều này là hiển nhiên.

2R/3

Giả sử, nó đúng với n  1 biến và ký hiệu

R/3

„V

„U

R
'U  U('0, ) . Từ giả thiết ta có, hàm f ('z,z n )
3

liên tục theo 'z trong 'U đối với

zn  Un  {| z n | R} tùy ý và theo z n trong U n
đối với 'z  'U tùy ý.
Theo bổ đề Ôsgut, f giới nội, nghĩa là chỉnh hình trong đa tròn nào
đó W  'W  Un , trong đó 'W('a,r)  'U .
 2 
Bây giờ ta xét đa tròn V  'V  U n , trong đó 'V  U  'a, R  . Ta
 3 

thấy V  U(0,R) , do đó f chỉnh hình theo 'z

trong 'V

đối với

z n  Un  {| z n | R} tùy ý mà hơn nữa nó lại chỉnh hình theo z trong W .

Theo bổ đề Hartog, từ đó ta suy ra nó chỉnh hình theo z trong đa tròn V

chứa điểm z  0 . Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.2(duy nhất): Nếu hàm f  H (D) và mọi đạo hàm của f đều
triệt tiêu tại điểm z 0 nào đó, z0  D 

n

thì f  0 trong D

Nếu hàm f  H (D) , f  0 trong lân cận thực của điểm z0  D 
trên tập {z  x  iy 

n

n

tức là

,| x  x 0 | R, y  y 0 } thì f  0 trong D

Định lý 1.3(nguyên lý modun cực đại):Nếu hàm f  H (D) và | f | cực
đại tại điểm nào đó a  D thì f =const trong D
Định lý 1.4( Liuvin): Nếu hàm f chỉnh hình trong
là hằng số

16

n

và giới nội thì nó

Định lý 1.5(Vâyơstraxơ): Giả sử dãy hàm f   H (D) hội tụ đều đến hàm

f trên mỗi tập con compact của D , khi đó f  H (D) và với
k  (k1 ,...,k n ) tùy ý

|k| f 
 zk

|k| f

 zk

trên k  D tùy ý
Định lý 1.6 :Giả sử f chỉnh hình trong lân cận U nào đó của điểm a 

n

và f (a)  0 nhưng f ('a, z n )  0 khi đó trong lân cận V nào đó của điểm
này



f (z)   z n  a n   c1  'z   z n  a n 
k

k 1



 ...  ck  'z   (z)

trong đó k  1 là cấp của không điểm của f ('a,z n ) tại điểm z n  a n , các
hàm c chỉnh hình trong 'V , c ('a)  0 còn  chỉnh hình trong V và không
triệt tiêu trong đó.

1.2 Định lý Hartogs về thác triển
1.2.1 Định lý 1 (Hartogs)
Giả sử cho các miền 'D 

n 1

chỉnh hình trong lân cận (theo nghĩa

và D n 

('z)
n



 z n  , hàm

f tùy ý

) của tập :

M   'D  Dn   'z0   Dn



Trong đó 'z 0  'D , thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D  'D D n
Chứng minh: Không giảm tổng quát, ta coi D n giới nội bởi một số hữu hạn
đương cong trơn. Hàm

f ( z) 

1
2i



Dn

f (' z,  n )
 n  zn

chỉnh hình trong miền D  'D D n
17

(1.6)


Thật vậy, khi n  Dn và 'z  'D , điểm ('z,  n )  M do đó f ('z,z n ) chỉnh
hình. Suy ra f chỉnh hình đối với 'z trong 'D (z n  Dn ) (tính chất hàm
chỉnh hình)
Mặt khác: với 'z  'D , hàm f chỉnh hình đối với z n  D n
Với z thuộc lân cận ' z 0   Dn , hàm f chỉnh hình theo giả thiết và

f (z) 

1
2i



Dn

f (z,  n )
n  zn

(công thức tích phân Côsi với hàm một biến z n )
Vậy với z thuộc lân cận này, f  f (z) . Suy ra, f  f khắp nơi, mà hơn
nữa f chỉnh hình(theo định lý duy nhất đối với hàm nhiều biến phức)
Mà f  H (D) nên f là thác triển giải tích cần tìm của f .
Nhận xét: Từ chứng minh trên ta nhận thấy, điều kiện của định lý Hartogs
có thể giảm đi, nếu chỉ đòi hỏi f là hàm:
1.Chỉnh hình trong lân cận tập 'z0   Dn
2.Liên tục theo z n và chỉnh hình theo ' z trên tập ' D  Dn
Hơn nữa, nếu trong (1.6) ta xét tích phân bội Côsi theo  'D thì vai trò của
'D và D n có thể thay đổi cho nhau (tương ứng, các biến 'z,z n )

Định nghĩa:( Tập mỏng)
Cho D 

n

, M  D , M được gọi là tập mỏng nếu với mỗi điểm z  D ,

tồn tại lân cận U z  D và hàm chỉnh hình  trong đó:

  0  z  U z

  0  z  M  U z
Theo định lý duy nhất, tập mỏng M không thể có điểm trong, nó không
đâu trù mật trong D , phần bù trong D của M là liên thông.
18


1.2.2 Định lý 2
Giả sử M là tập mỏng trong miền D 

n

và hàm f chỉnh hình

trong D\ M . Nếu f giới nội thì nó thác triển được một cách duy nhất thành
hàm f chỉnh hình trong D
(Giới nội địa phương được hiểu là  z  D ,  lân cận U z sao cho f giới
nội trong D\ M  U z )
Chứng minh:
Rõ ràng, hàm f thác triển được là duy nhất(theo hệ quả của định lý
duy nhất).
Ta sẽ chứng minh tính thác triển được: do D\ M là tập liên thông,
nên ta chỉ cần chứng minh tính thác triển chỉnh hình của hàm f vào điểm
bất kỳ a M . Không giảm tổng quát, giả sử a  0
Xét hàm  xác định M trong lân cận U 0 thỏa mãn điều kiện:

 ('z,0)  0 trong đó 'z  (z1 ,...,z n1 )
Với n  0 đủ nhỏ, hàm  ('0,z n )  0 trên đường tròn | z n |  n  nên

ta có các số r (r  1, n  1) có thể chọn đủ nhỏ, sao cho  ('z,z n )  0 với
 'z  'V  | z r |  r  và zn  Dn  | z n | n 
 ('z,z n )  M trong đó: 'z  'V , z n  Dn

 f chỉnh hình trong lân cận 'V   Dn
Mặt khác, với 'z  'V cố định tùy ý, hàm  ('z 0 ,'z n ) có hữu hạn
không điểm trong hình tròn D n  | z n |  n  , nghĩa là f (' z 0 , zn ) có trong
D n hữu hạn điểm kỳ dị. Do f giới nội trong D n nên các điểm kỳ dị là khử

được,nghĩa là, f ('z 0 , z n ) thác triển được thành hàm chỉnh hình trong D n .

19


Hàm thác triển f chỉnh hình trong lân cận tập ('V   Dn )  ('0  Dn ) và
theo định lý Hartogs, f chỉnh hình trong đa tròn V  'V  Dn .
Trong định lý tiếp theo, ta tăng hạn chế buộc cho f bằng cách thác
triển liên tục nó vào D , nhưng đồng thời giảm đòi hỏi cho tập M . (giả sử:

f không phải trên tập mòng mà trên mặt trơn 2n  1 chiều).

1.2.3 Định lý 3
Nếu hàm f liên tục trong miền D 

n

và chỉnh hình khắp nơi

trong D , trừ ra tập M nằm trên mặt trơn 2n  1 chiều S , thì nó chỉnh hình
trong toàn D .

Chứng minh:
Tương tự như định lý trên, giả sử trong lân cận U của điểm 0M ,
mặt S biểu diễn bởi phương trình yn   ('z, x n ) trong đó  là hàm thực
nhẵn.
Vì  ('0,0)  0 nên theo tính liên tục:
  0 nhỏ tùy ý,  lân cận 'V của điểm '0 và   0 sao cho

|  ('z, x n ) |  với  ' z  'V và | x n | 

 f chỉnh hình trong 'V  | x n |  ,| y n |   với    đủ nhỏ.
Mặt khác, với 'z0  'V cố định, hàm f ('z 0 , z n ) chỉnh hình theo zn
tronh hình chữ nhật Dn  | x n |  ,| y n   | khắp nơi, trừ tại đường cong
nhẵn yn   ('z 0 , x n ) và liên tục trong D n
 f ('z 0 ,z n ) chỉnh hình trong D n

 f chỉnh hình trong 'V  Dn theo định lý Hartogs (đpcm).

20


Chương 2

Đại số Clifford phụ thuộc tham số
2.1 Đại số Clifford
2.1.1 Số Phức
a. Nhắc lại rằng:

: z  x  iy x, y 

 trong đó i

Hoặc ta có thể viết dưới dạng khác:
: z   x, y  x, y)



Trong đó tổng, tích được xác định bởi:

(a  b)  (c  d)  (a  c,b  d)
(a  b).(c  d)  (ac  bd,ad bc)
Ví dụ: (0,1).(0,1)  1  i 2

(1,0).(1,0)  1
(1,0).(a,b)  (a,b)
Như vậy: Số phức có thể được viết dưới dạng:

a  bi  (a,b)  a(1,0)  b(0,1)
b. Xem xét số phức dưới dạng khác
Ta có số phức như dạng đa thức tuyến tính.

(a,b)  a  bx  P(x)
Nếu coi vectơ (1,0) như số thực 1
(0,1) như biến số x
Khi đó tổng, tích hai số phức được xem xét như sau:
21

là đơn vị ảo.


(a + bx) + (c + dx) = (a + c) + (b + d) x

  a  bx   a   b  .x

Ta có: (0,1) . (0,1) = -1 = x2
(a + bx) . (c+dx) = ac + (bc + ad) x + bd x2 = (ac – bd) + (ad + bc)x
Như vậy: Nếu coi x2 = -1 thì ta sẽ đưa được đa thức bậc 2 về bậc 1 tuyến
tính.
2.1.2 Đại số Clifford

k2

G/s P(x) = … + cxk + ….

Với giả thiết x2 = -1 ta giảm bớt bậc của P(x) và viết lại như sau:
Q(x) = … - cxk-2 + … và cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ giảm bớt bậc của đa
thức P(x)
Chú ý rằng: P(x) – Q(x) = cxk-2 (x2+1)
Như vậy ta có thể định nghĩa số phức như là lớp thương của đa thức chứa
x. Tức là: p(x), q(x)  P(x)
p(x) ~q(x)  p(x) - q(x) : x2 + 1
=> P(x)/~ 
Ví dụ: a + bx+ cx2 + dx3 + ex4 được hiểu như là số phức sau:
a + bx +cx2 + dx . x2 + e.x2.x2 = (a-c+e) + (b-d)x
2.1.2.1 Định nghĩa đại số Clifford An
Xét không gian

n 1

với cơ sở chính tắc {e0, ….en}

a

n 1

: a = (a0, a1,…, an)

b

n 1

: b = (b0, b1,…, bn )

, aj 
, bj 
22


Ta có:
a + b = (a 0 + b 0 , a1 + b1 ,..., a n +b n )


a   a 0 ,..., a n 

Ta cũng có thể xem xét một điểm thuộc không gian

n 1

như là một

đa thức của  x j với j  1,n
a

n 1

b

n 1

 a 0  a1x1  ....  a n x n  P1  x1..., x n 
 b 0  b1x1  ...b n x n

Khi đó ta định nghĩa P(x1,…, xn) với quan hệ tương đương:
p(x1,…, xn) ~ q(x1,…, xn)
x 1
mà p(x)  q(x) 
 x x x x
2

i

j

j

i

Thì P(x)/~  là đại số Clifford.
2.1.2.2 Một số tính chất của An
Tính chất 1: Bình phương của tất cả n vectơ cơ sở ej = xj đều là -1 với
j  1, n

Tức: e02  1  x 02  1
e 2j  1  x 2j  1j  1,n

Vậy a+bx là số phức thì a-bx được gọi là số phức liên hợp và khi đó:
bx) (a - bx) = a2 - b2x2 = a2+b2
Tổng quát: a 

n 1

n

: a  a 0   a jx j
j1

n

Khi đó: a  a 0   a jx j là số phức liên hợp của a.
j1

23

(a +


n
n


 2 n 2 n
Và:  a 0   a j x j   a 0   a j x j   a 0   a j  a j a k  x jx k  x k x j 

j1
j1
j1
j1




Tính chất 2: Nếu j  k : x j x k  x k x j  0
2.1.2.3 Số chiều của đại số Clifford An
Ký hiệu lại :

x1  e1
......
x j  e j . j  1, n
x i x j  eij
=> a  An = P(x1,…, xn)/~ thì:

a



11 ... m  n

a  ... x  ...x 
1

m

1

m

Hay: a  a 0  a1e1  ...  a nen  a12e12  ...  a1ne1e 2 ...e n
=> dim A n = 1  c1n  cn2  ...  cnn  2n
Và cơ sở của A n  1,e1 ,...,e n ,e12 ,...,e1e 2 ...e n 
2.1.2.4 An là một không gian Metric
Đại số Clifford An được hiểu như là một không gian Euclid 2n - chiều
với vectơ cơ sở:

1,e1,...,en ,e12 ,...,e1e2 ...e n 
Khi đó: a  A n
Tức: a  a 0  a1e1  ...  a nen  a12e12  ...  a1ne1e 2 ...e n

24


Và được hiểu như: a  (a 0 ,a1,...,a n ,a12 ,...,a n1n ,...,a1...n ) là một điểm
trong không gian Euclid 2n chiều.
1/ 2

2
Khi đó: a   a AeA =   a A 
 A

A

2
  a o2  a12  ...  a 1..n


1/ 2

Với A là hoán vị của 1 …,  m ; 1  1  ...   m  n
a,b  A n : a   a Ae A ;b   b Ae A
A

A

 a  b    a A  bA  eA
A

1/2

2
Và khoảng cách euclid: a  b    a A  b A     a,b 
A


=> A n ,   a,b  là không gian Metric.
2.1.2.5 Một số tính chất khác của đại số An
a. a 

n 1

n

:

a  a o   a je j

j1

n

Phần tử liên hợp: a  a o   a je j
j1

 a.a   a o   a je j  a o   a je j 
 a o2   a i2 
i=j



1 j k  n

a i a j  ei e j  e jei   a

2

b. Tích của các vectơ cơ sở e A ,e B dễ dàng tính theo đúng định nghĩa.
Ví dụ như:
e1e2  e12
e12e2  e1e2e2  e1e22   e1
e13e1  e1e3e1   e1e1e3  e3 (e3e1   e1e3 )

25