Một số toán tử chuẩn hợp nhất trong logic mờ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
…………………………………………

NGUYỄN THANH XUÂN

MỘT SỐ TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT
TRONG LOGIC MỜ
Chuyên ngành: Toán tin – Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
TOÁN TIN – TOÁN ỨNG DỤNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS.TSKH. BÙI CÔNG CƯỜNG

Hà nội - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
…………………………………………

NGUYỄN THANH XUÂN

MỘT SỐ TOÁN TỬ CHUẨN HỢP NHẤT
TRONG LOGIC MỜ
Chuyên ngành: Toán tin – Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
TOÁN TIN – TOÁN ỨNG DỤNG

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS.TSKH. BÙI CÔNG CƢỜNG

Hà nội - 2012


Mục lục
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................3
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................................4
CHƢƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................7
T- chuẩn và T- đối chuẩn ....................................................................................................... 7

I.

1.1

. Toán tử t - chuẩn ........................................................................................................ 7

1.2

. Toán tử t – đối chuẩn ................................................................................................. 8

Phép phủ định mạnh và một số tính chất ............................................................................... 9

II.

1.3
III.

. Phép phủ định mạnh .................................................................................................. 9
Chuẩn hợp nhất ................................................................................................................ 10

1.4

. Chuẩn hợp nhất ........................................................................................................ 10

1.5

. Tính chất biểu diễn được của chuẩn hợp nhất ...................................................... 14

IV.

Phép kéo theo ................................................................................................................... 14

1.6

. Toán tử kéo theo ....................................................................................................... 14

1.7

. Một số phép kéo theo quan trọng được sử dụng rộng rãi .................................... 15

1.8

. Điều kiện Lipschits ................................................................................................... 16

CHƢƠNG II: PHÉP QL-KÉO THEO TỪ CHUẨN HỢP NHẤT ...........................17
2.1.

Phép QL – kéo theo .................................................................................................... 17

2.2.

Điều kiện cần để

2.3.

Phép lũy đẳng: ............................................................................................................ 21

2.4.

Điều kiện đủ để

3.1.

Mối quan hệ giữa QL - kéo theo và D - kéo theo ..................................................... 26

3.2.

Tính chất của phép D – kéo theo............................................................................... 27

3.3.

Một vài tính chất của QL-kéo theo và D-kéo theo................................................... 31

là toán tử kéo theo ................................................................... 18

là toán tử kéo theo ................................................................. 22

Kết luận .....................................................................................................................35
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................36
Tiếng Việt .................................................................................................................................... 36
Tiếng Anh .................................................................................................................................... 36


Luận văn thạc sĩ

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TSKH.Bùi Công Cƣờng
đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình tìm kiếm tài liệu cũng nhƣ hoàn thành của
mình. Sự chỉ bảo tận tình của thầy trong suốt quá trình từ những ý tƣởng ban đầu
cho đến khi luận văn đƣợc hoàn thành là trợ giúp lớn nhất đối với em.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo đã giảng dạy em, đặc biệt là
các thầy, cô giáo của khoa Toán Tin ứng dụng. Những kiến thức thu nhận đƣợc từ
các thầy, cô đã hỗ trợ em rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin cảm ơn các bạn học cùng lớp Toán Tin, Đại học Bách Khoa
Hà Nội, các anh chị và các bạn thuộc Seminar Lý thuyết mờ và Mạng Nơron, những
đóng góp của mọi ngƣời đã giúp em có thể hoàn chỉnh đƣợc luận văn này.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới cha mẹ, chị gái của em, sự cổ vũ
động viên của mọi ngƣời là động lực rất lớn giúp em có thể hoàn thành đƣợc luận
văn này.
Do hạn chế về trình độ, kiến thức cũng nhƣ tài liệu tham khảo, luận văn
của em còn rất nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp từ
các thầy, cô, cũng nhƣ từ các bạn để có thể hoàn thiện kiến thức của mình, cũng nhƣ
tiếp tục hƣớng nghiên cứu này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội - 2012

3

LỜI NÓI ĐẦU
Con ngƣời giao tiếp bằng ngôn ngữ tự nhiên, mà bản chất của ngôn ngữ tự
nhiên là mơ hồ và không chính xác. Tuy vậy, trong hầu hết tình huống, con ngƣời
vẫn hiểu những điều mà ngƣời khác muốn nói với mình. Khả năng hiểu và sử dụng
đúng ngôn ngữ tự nhiên, thực chất là hiểu và xử lý đúng thông tin không chính xác
chứa trong đó, có thể coi là thƣớc đo mức độ hiểu biết, thông minh của con ngƣời.
Con ngƣời cũng luôn mơ ƣớc máy tính, ngƣời bạn, ngƣời giúp việc đắc lực của
mình, ngày càng thông minh và hiểu biết hơn. Vì vậy, nhu cầu làm cho máy tính
hiểu và xử lý đƣợc những thông tin không chính xác, xấp xỉ, áng chừng là một nhu
cầu bức thiết.
Logic mờ ra đời đã cung cấp một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và xây
dựng các hệ thống có khả năng xử lý thông tin không chính xác. Nhờ có logic mờ
mà con ngƣời xây dựng đƣợc những hệ điều khiển có tính linh động rất cao. Chúng
có thể hoạt động tốt ngay trong điều kiện có nhiều nhiễu hoặc những tình huống
chƣa đƣợc học trƣớc. Nhờ có logic mờ mà con ngƣời xây dựng đƣợc những hệ
chuyên gia có khả năng suy luận nhƣ những chuyên gia hàng đầu và có khả năng tự
hoàn thiện thông qua việc thu nhận tri thức mới.
Chuẩn hợp nhất là một dạng đặc biệt của toán tử gộp, nó đã đƣợc ứng dụng
rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của hệ chuyên gia, mang nơ ron, mà các hệ mờ. Nó
đặc biệt bởi cấu trúc của nó là một sực kết hợp đặc biệt của hai toán tửt – chuẩn và t
– đối chuẩn. Trong lý thuyết tập mờ, hàm kéo theo thƣờng đƣợc xây dựng từ những
toán tử t – chuẩn và t – đối chuẩn theo những cách khác nhau nhƣ: phép kéo theo
mạnh, QL – Kéo theo, D – Kéo theo. Các phép QL – Kéo theo, D – Kéo theo gần
đây đƣợc nghiên cứu trong các công trình [11,17,16]. Sự quan trọng của phép kéo
theo không chỉ thể hiện ở chỗ nó biểu diễn cho giá trị chân lý của các mệnh đề mờ
dạng IF-THEN trong hệ mờ, mà nó còn biểu diễn cho giá trị chân lý của các suy

Luận văn thạc sĩ

diễn trong lý thuyết lập luận xấp xỉ, điều khiển mờ. Đó là lý do khiến cho việc
nghiên cứu các toán lớp toán tử kéo theo trở nên quan trọng và có ý nghĩa thời sự.
Luận văn nghiên cứu hai lớp toán tử kéo theo đƣợc sinh ra từ lớp toán tử hợp
nhất. Lớp thứ nhất là lớp QL – Kéo theo sẽ đƣợc xác định bởi
[0,1] ở đây N là phép phủ định mạnh, U và U’

, với mọi x,y

lần lƣợt là phép hội và phép tuyển hợp nhất. Lớp thứ hai là D – kéo theo dạng
[0,1]. Tuy nhiên với cách định

, với mọi x,y
nghĩa nhƣ vậy thì không phải lúc nào toán tử

và

cũng là toán tử kéo theo. Vì

vậy trọng tâm của luận văn là nghiên cứu những điều kiện cần và đủ để các toán
tử và

định nghĩa nhƣ trên là toán tử kéo theo.
Bằng các chứng minh toán học chặt chẽ chúng tôi chỉ ra rằng toán tử

QL – Kéo theo nếu và chỉ nếu toán tử

là

là D – Kéo theo và điều kiện cần cho những

khẳng định này là chuẩn hợp nhất U’ phải là một t – đối chuẩn, hơn nữa U’ phải là
phép lũy đẳng liên kết với phép phủ định mạnh

trong trƣờng hợp liên tục.

Luận văn dài 30 trang, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo,
luận văn đƣợc chia thành 3chƣơng.
Chƣơng I: Kiến thức chuẩn bị. Trong chƣơng này chúng tôi đƣa ra những
khái niệm cơ bản về t-chuẩn và t-đối chuẩn, phép phủ định mạnh và toán tử binary.
Đặc biệt khái niệm chuẩn hợp nhất đƣợc giới thiệu trong chƣơng này và đƣợc sử
dụng xuyên suốt nội dung của bản luận văn.
Chƣơng II: Nghiên cứu phép QL-kéo theo từ chuẩn hợp nhất
Chƣơng III: Nghiên cứu về phép D-kéo theo từ chuẩn hợp nhất.Một vài tính
chất của QL-kéo và D-kéo theo

Tác giả

5


Nguyễn Thanh Xuân


Luận văn thạc sĩ

CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chƣơng này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về một số lớp
toán tử thƣờng đƣợc sử dụng trong logic mờ: lớp toán tử t - chuẩn, t - đối chuẩn...

I. T- chuẩn và T- đối chuẩn
1.1 . Toán tử t - chuẩn
Định nghĩa 1.1. Hàm hai biến

được gọi là t-chuẩn nếu

thỏa mãn các điều kiện sau:

1)
2)

,
,

,

,

3) nếu

,

4)

,

.

Ví dụ 1.1

Chúng ta thƣờng gặp một số t chuẩn có dạng nhƣ sau:
1. Lớpt-chuẩn tích đại số

2. Lớpt-chuẩn min

3. Lớpt-chuẩn Einstein

4. Lớp t-chuẩn Yager
{

}

5. Lớp t-chuẩn Dubois – Prade

7


6. Lớpt-chuẩn Dombi
(

⁄

)

,

1.2 . Toán tử t – đối chuẩn
Định nghĩa 1.2. Hàm hai biến s

được gọi là s-chuẩn (hoặc

t-đối chuẩn) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

1)
2)
3) Nếu
4)
Ví dụ 1.2:
1. Lớp s-chuẩn tổng đại số:

2. Lớp s-chuẩn tổng Enstein

3. Lớp -chuẩn max

4. Lớp s-chuẩn Yager
⁄

với

5. Lớp s- chuẩn Dubois –prade
với
6. Lớp s-chuẩn Dombi


Luận văn thạc sĩ

(

⁄

)

II. Phép phủ định mạnh và một số tính chất
1.3 . Phép phủ định mạnh
Định nghĩa 1.3. Hàm

là một phép phủ định mạnh nếu thỏa mãn:

I.
(

II.

)

Ví dụ . Trong ví dụ này ta chọn
Xét
Suy ra:
Hơn nữa:
(

(

)

)

Do đó,

là một phép phủ định mạnh.

Mệnh đề 1.1.
là một song ánh, tăng. Khi đó

Cho

(

)

là một phép phủ định mạnh.
Định nghĩa 1.4.
là một song ánh, tăng,

Cho
hai

biến.

Khi
(

đó

toán

tử

) được gọi là - biến đổi của F.

9

là một hàm
cho

bởi


Hơn nữa, cho

ta kí hiệu

là một song ánh

tăng.

III. Chuẩn hợp nhất
Trong phần sau, chúng tôi xin giới thiệu khái niệm chuẩn hợp nhất
(uninorm). Chuẩn hợp nhất là một sự tổng quát hóa của các t – chuẩn và t – đối
chuẩn. Chuẩn này là một sự biến thiên trơn, liên tục giữa hai toán tử gộp “and” và
“or”, tùy theo sự biến thiên của phần tử trung lập (Identity element).

1.4 . Chuẩn hợp nhất
Định nghĩa 1.5 .Hàm số hai biến

được gọi là chuẩn hợp

nhất(uninorm) nếu bốn tiên đề sau được thỏa mãn:
1. Tiên đề giao hoán:

.

2. Tính đơn điệu:

.

3. Tính chất kết hợp: (

)

.

4. Tồn tại

Ta gọi e là phần tử

trung lập.
Nhận xét 1.1:
Rõ ràng chuẩn hợp nhất

là t-chuẩn nếu

Với mỗi chuẩn hợp nhấtta có

và t-đối chuẩn nếu

.

.

Nếu

thì

đƣợc gọi là chuẩn hợp nhất liên kết (conjunctive).

Nếu

thì

đƣợc gọi là chuẩn hợp nhất phân chia (disjunctive).

Một số lƣợng phong phú các chuẩn hợp nhất đƣợc đƣa ra trong các tài liệu
[13],[15].
Giả sử T là toán tử t – chuẩn và S là toán tử t – đối chuẩn, ta có hai lớp toán
tử chuẩn hợp nhất thƣờng gặp nhƣ sau:


Luận văn thạc sĩ

*) Lớp chuẩn hợp nhất Umin

{
ư

}

(1.1)

}

(1.2)

á

*) Lớp chuẩn hợp nhất Umax

{
ư

á

Ví dụ 1.3:Trong ví dụ này chúng ta chọn

.

Áp dụng vào công thức (1.2) ta có:
{

}
ư

á

sau khi rút gọn ta có
{

}
ư

(1.3)

á

Sau đây ta sẽ kiểm tra toán tử U(x,y) trong công thức (1.3) thỏa mãn 4 tiên đề của
chuẩn hợp nhất.
-) Tiên đề giao hoán:
{

}
ƣ

11

á


{

}
ƣ

Từ đó ta có

, với mọi x,y

á

[0,1].

-) Tính đơn điệu:

.

{

}
ƣ

á

{

}
ƣ

Nếu

á

thì ta có:

;

Nên

.

.

-) Tính chất kết hợp:
(

)

( {

})
ƣ

ế
ế
ƣờ

({

Suy ra: (

á

} )
ợ

á

)

-) Tồn tại sao cho:
{

Vậy từ đó ta suy ra

ế
ế

}

theo công thức (3) là một chuẩn hợp nhất.


Luận văn thạc sĩ

Tƣơng tự ta cũng chứng minh đƣợc các ví dụ sau là một chuẩn hợp nhất.
Ví dụ 1.4:
Trong ví dụ này chúng ta chọn
Áp dụng vào công thức (1.1) ta có:
(

)
(

)

{

á }

ư

sau khi rút gọn ta có

ư

{

á }

là một chuẩn hợp nhất
Ví dụ 1.5:
Áp dụng vào công thức (1.1) ta có:
{

}

{

}

{

}
ƣ

13

á


{

}
ƣ

á

là một chuẩn hợp nhất.
Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến một số tính chất của chuẩn hợp
nhất nhƣ tính biểu diễn đƣợc của chuẩn hợp nhất, nó đƣợc định nghĩa trong phần 2
nhƣ sau.

1.5 . Tính chất biểu diễn được của chuẩn hợp nhất
Định nghĩa 1.6.Chuẩn U v i phần tử trung lập

được gọi là biểu diễn

được nếu tồn tại một hàm liên tục v tăng chặt
sao cho:
(

)

và thỏa một trong hai điều kiện sau:
1)

.

2)

.

IV. Phép kéo theo
Các phép toán kéo theo có vai trò quan trọng trong logic mờ. Chúng tạo nên
các luật mờ để thực hiện các phép suy diễn trong tất cả các hệ mờ.

1.6 . Toán tử kéo theo
Định nghĩa 1.7Ánh xạ

được gọi là một toán tử kéo theo

nếu nó thỏa mãn:
I.1) I giảm theo biến thứ nhất v tăng theo biến thứ hai,
I.2)

.


Luận văn thạc sĩ

Chú ý rằng từ định nghĩa ta có

v i mọi

Nhận xét 1.2:
Hai tính chất quan trọng của phép kéo theo là:
 Tính đối xứng tƣơng phản đối với phép phủ định mạnh
(

)

.

 Nguyên lý trao đổi:
(

)

(

)

.

1.7 . Một số phép kéo theo quan trọng được sử dụng rộng rãi
Trong lô-gíc mờ, khi biểu diễn giá trị của mệnh đề IF – THEN ngƣời ta hay
sử dựng phép kéo theo đƣợc xây dựng nhƣ sau.
Giả sử ta có mệnh đề mờ: IF A THEN B, với A là tập mờ có hàm thuộc  A
(x) và B là tập mờ có hàm thuộc  B (y).Dùng phép kéo theo I(  A (x),  B (y)) để
đánh giá giá trị của mệnh đề nhƣ sau:

A
A

B
B

A
A

B
A

(1.4)

B

(1.5)

trong đó S là toán tử t – đối chuẩn, T là toán tử t – chuẩn còn N là phép phủ định
mạnh.

a. Phép kéo theo Dienes – Rescher
Nếu áp dụng công thức (1.4) với t – đối chuẩn max và
bù chuẩn, ta có phép kéo theo Dienes – Rescher

b. Phép kéo theo Lukasiewicz
Nếu áp dụng công thức (1.4) với t – đối chuẩn Yager với
là hàm bù chuẩn cho ta có phép kéo theo Lukasiewicz:

15

là hàm


c. Phép kéo theo Zadeh
Nếu áp dụng công thức (1.5) với t – đối chuẩn max, t – chuẩn min hoặc tích
và

ta có phép kéo theo Zadeh:

d. Phép kéo theo Mamdani

1.8 . Điều kiện Lipschits
Định nghĩa 1.8.
được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschits nếu:

Ánh xạ
|

|

|

|

|

|

Chú ý 1.1.Giả sử T là t-chuẩn. Khi đó T thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu:
.
Hơn nữa, dễ dàng chứng minh đƣợc rằng T là tăng theo mỗi biến và liên kết.

.


Luận văn thạc sĩ

CHƯƠNG II: PHÉP QL-KÉO THEO TỪ CHUẨN
HỢP NHẤT
Trong chƣơng này chúng tôi trình bày cách xây dựng phép QL – Kéo theo từ

các toán tử chuẩn hợp nhất. Một số kết quả về dạng biểu diễn tƣờng minh của phép
QL – kéo theo cũng đƣợc chúng tôi trình bày trong các mệnh đề củachƣơng này.

2.1. Phép QL – kéo theo
Giả sử

lần luợt là chuẩn hợp nhấtliên kết và phân chia v i phần tử trung

lậpl e v e

ứ

. Cho N là phép phủ định mạnh.

Ta ký hiệu , l p toán tử QL, được định nghĩa như sau:
(

)

(2.1)

Nhận xét 2.1
Dễ thấy điều kiện

Hơn nữa

trong Định nghĩa 1.7 đƣợc thỏa mãn. Thật vây:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.
.

.

tăng theo biến thứ 2.

Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ chỉ ra những điều kiện cần và đủ để IQ là
toán tử kéo theo. Cụ thể là đƣa ra các điều kiện để IQ giảm theo biến thứ nhất. Sau
đây, chúng ta chứng minh một số điều kiện cần để IQ là toán tử kéo theo:

17

2.2. Điều kiện cần để

là toán tử kéo theo

Mệnh đề 2.1.(Điều kiện cần)
Cho U và

lần lượt là chuẩn hợp nhấtliên kết và phân chia, N là phép phủ

định mạnh sao cho toán tử QL tương ứng là
là 1 phép kéo theo. Khi đó

, được xác định trong công thức (2.1)

là một toán tử t- đối chuẩn thỏa mãn:
(

)

(2.2)

Chứng minh:
Ta có:

(

Thay

vào ta đƣợc:

)

.
(vì

là chuẩn hợp

nhấtphân chia).
. Hơn nữa

Từ

giảm theo biến thứ nhất

vì
Với

ta lại có:
(

)

Từ đó suy ra:
Để chứng minh

.

.

là t- đối chuẩn ta chỉ cần chứng minh

. Thật vậy từ
. (Mệnh đề đƣợc

(1) và (2) ta có
chứng minh)

Chú ý rằng điều kiện (2.2) chỉ là một điều kiện cần chứ không phải là điều
kiện đủ.Sau đây chúng tôi sẽ chỉ ra điều đó qua ví dụ 2.1.
Ví dụ 2.1.
Giả sử U’ là toán tử t – đối chuẩn Lukasiewicz
.


Luận văn thạc sĩ

Khi đó:

.

Mặt khác ta có
ọ
lạikhông phải là một phép kéo theo.
Mệnh đề 2.2. Cho

: [0,1]

định nghĩa toán tử

[0,1] là một song ánh tăng. V i mọi

như sau:
(
{

Cho

, ta

(

(

) ))
ế

(

(

))

là chuẩn hợp nhất liên kết v i phần tử trung lập là

ánh tăng sao cho toán tử

(2.3)

ế

và

là song

l h m kéo theo. Khi đó U l h m không liên tục trên

v do đó nó không biểu diễn được.
Chứng minh:
Giả sử

cho bởi (2.3) là phép kéo theo. Trong chứng minh này ta sử dụng

kết quả của bổ đềsau:
Bổ đề 2.1Giả sử U là chuẩn hợp nhấtliên tục trên

v i phần tử trung hòa là

. Khi đó mộttrong hai trường hợp sau thỏa mãn:
a) Tồn tại

, hai t-chuẩn liên tục

nhấtbiểudiễn được UR, sao cho U được biểu diễn như sau:

19

và chuẩn hợp


x y

T ( , )
(u- )T (

x-

,

u-

= u ( -u)UR (

y-

)

u-

x-u y-u
-u

,

-u

nếu x,y

,

nếu x,y

,u

) nếu x,y

u,

(2.4)

nếu min x,y
, và max x,y =
nếu x,y
,
,
}
trƣờng hợp khác

min x,y hoặc
{min x,y

Tồn tại

, hai t-đối chuẩn liên tục

hợp nhấtbiểu diễn được

v ( -v)S (

sao cho

x-v

( - )S (

-v
x-

x,y = vUR (x , y)
v v

max x,y hoặc
{min x,y

,

y-v
-v

,

y-

)
)

và t chuẩn

có biểu diễn:

nếu x,y

v,

nếu x,y

,

nếu x,y

,v

(2.5)

nếu max x,y
, ) và min x,y =
nếu x,y
, , ,
}
trƣờng hợp khác (b)

Bây giờ ta đi chứng minh mệnh đề.
Áp dụng Bổ đề 2.1 ta có: nếu
hoặc (2.5). Giả sử

liên tục trên

có biểu diễn (2.4), chọn
(

thì

có biểu diễn (2.4)
, khi đó:

sao cho

)

(

)

.

Bởi vậy:
.
Hơn nữado

là song ánh tăng chặt nên
I

,U

,x =

, do đó

(U( ,x)) =

(U( ,x)) =U ,x =

Luận văn thạc sĩ

Do đó mâu thuẫn với tính giảm của

theo biến thứ nhất.

Trƣờng hợp U có biểu diễn (2.5) ta chứng minh tƣơng tự.
Do đó, U không liên tục trên
Cuối cùng, bởi vì một chuẩn hợp nhấtbiểu diễn đƣợc thì phải liên tục trên [0,1]2,
cho nên U là không thể biểu diễn đƣợc.Điều phải chứng minh.

2.3. Phép lũy đẳng:
gọi là một phép lũy đẳng nếu:

Hàm

Định lý 2.1: Cho

là hàm hai biến trên [0,1].

với phần tử trung hòa

là một chuẩn hợp nhất lũy đẳng

khi và chỉ khi tồn tại một hàm giảm

ớ

và thỏa mãn:
|

Với mọi

|

, sao cho:

min(x,y)
x,y = {max(x,y)
min(x,y) hoặc max(x,y)

nếu ynếu y>g(x) hoặc y=g(x) và x>g(g(x)) }
nếu y=g(x) hoặc x=g(g(x))

l lũy đẳng trên tập (x,y), sao cho y=g(x) với x=g(g(x))
Cho một chuẩn hợp nhất lũy đẳng U, h m g được biểu diễn như trên thường được
gọi là hàm liên kết của U.

21


2.4. Điều kiện đủ để

là toán tử kéo theo

Mệnh đề 2.3.
Giả sử U là chuẩn hợp nhấtlũy đẳng liên kết v i phần tử trung tính

là một song ánh tăng. Khi đó
nếu và chỉ nếu U thuộc l p

là một phép kéo theo

. Tức là
ế

{

ườ

(2.6)

ợ

Chứng minh
Giả sử

là một phép kéo theo và g là hàm liên kết của U. Chúng ta sẽ

chứng minh U có biểu diễn (2.6).
Đầu tiên ta chứng minh

. Thật vậy, giả sử ngƣợc lại rằng
. Khi đó

và lấy y sao cho

và do đó

(

)

Trong khi đó
(

)

Do đó mâu thuẫn với tính giảm của
Vì g là hàm giảm nên

(

)

vì

.

theo biến thứ nhất. Từ đó suy ra

với mọi

. Từ Định lý 2.1 ta có

Từ đó suy ra U có biểu diễn (2.6).
Ngƣợc lại, giả sử U đã có biểu diễn (2.6). Khi đó:
{

ế
ườ

Biểu diễn trên thỏa mãn những đòi hỏi của phép kéo theo.

ặ
ợ


Luận văn thạc sĩ

Ví dụ 2.1.
Cho U là chuẩn hợp nhấttrong mệnh đề 14 và

là một song ánh tăng. Trong

chứng minh của mệnh đề 14 ta có phép kéo theo-QL đƣợc cho bởi:
ế
ườ

{

ặ
ợ

Biểu diễn của phép kéo theo này đƣợc mô tả bởi Hình 1.

Hình 1: Biểu diễn của phép kéo theo
Mệnh đề 2.4.

Giả sử

là chuẩn hợp nhất trong l p
là một song ánh tăng. Kí hiệu

hạn chế của hàm
nếu

trên đoạn

. Khi đó

được cho bởi công thức:

23

là

là một phép kéo theo nếu và chỉ

biến đổi của T thỏa mãn điều kiện Lipschitz v i

trường hợp này

v i

. Hơn nữa, trong


{

(

ế
ế

)

(2.7)

ế
(

trong đó

(

)).

Chứng minh
Giả sử

là một phép kéo theo. Lấy y

và

. Vì

giảm

theo biến thứ nhất nên từ phƣơng trình (2.3) ta nhận đƣợc:
(
(

Do đó:

)
)

(

(

(

)

))

Bất đẳng thức trên vẫn đúng cho hàm

.

vì nó dung với mọi giá trị nhỏ hơn hoặc
ta đƣợc:

bằng e. Lấy
(
với mọi
Vì vậy

sao cho

)

.

biến đổi của

thỏa mãn điều kiệnLipschitz.

Ngƣợc lại để chứng minh
không giảm theo biến thứ nhất của

là một phép kéo theo ta chỉ cần kiểm tra tính
. Hơn nữa, bởi vì

ta chỉ cần chứng minh điều đó đúng với

với mọi

Ta chia phép chứng minh

thành 3 trƣờng hợp:
 Trƣờng hợp 1:

Khi đó từ những lí luận trên ta suy ra
(x,y).