Tối ưu hóa hàm tuyến tính trên tập hữu hiệu của bài toán quy hoạch đa mục tiêu,

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------------LÊ LỆ HẰNG

LÊ LỆ HẰNG

TỐI ƯU HÓA HÀM TUYẾN TÍNH
TRÊN TẬP HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN
QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU
TOÁN TIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN

2010B
HÀ NỘI – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

LÊ LỆ HẰNG

TỐI ƯU HÓA HÀM TUYẾN TÍNH TRÊN TẬP HỮU HIỆU
CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: TOÁN TIN

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. TRẦN VIỆT DŨNG

HÀ NỘI – 2012


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
PGS.TS. Trần Việt Dũng người đã tận tình và nghiêm khắc dạy bảo để luận văn
này được hoàn thành.Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng
dụng và Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội,
Trường Đại học Kinh tế và Kỹ thuật Công nghiệp đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cảm ơn các thầy cô và đồng
nghiệp đã trao đổi cùng tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu để giúp
cho luận văn được hoàn thiện hơn.
Bên cạnh đó, sự quan tâm của gia đình, bạn bè là nguồn động viên không thể
thiếu để giúp tác giả hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn.

Học viên : Lê Lệ Hằng
Lớp : Toán Tin - Toán ứng dụng 2010

i


MỤC LỤC
Trang

LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. i
MỤC LỤC .................................................................................................................. ii
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................ iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT. ................................................................ v
CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO .......................................... 1
1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu ......................................................... 1
1.1.1 Phát biểu bài toán ......................................................................................... 1
1.1.2 Cấu trúc tập nghiệm ..................................................................................... 8
1.1.3 Biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả .............................................. 10
1.2 Bài toán tối ưu trên tập Pareto .......................................................................... 12
CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH .............................. 14
2.1 Phát biểu bài toán ............................................................................................. 14
2.2 Bài toán tương đương ....................................................................................... 14
2.3 Thuật toán giải bài toán song tuyến tính ........................................................... 18
2.4 Ví dụ minh họa ................................................................................................. 22
CHƯƠNG 3: THUẬT TOÁN SONG TUYẾN TÍNH GIẢI BÀI TOÁN (Q) ............. 25
3.1 Cơ sở lý thuyết của thuật toán .......................................................................... 26
3.2 Thuật toán ........................................................................................................ 28
3.3 Sự hội tụ ........................................................................................................... 30
3.4 Ví dụ minh họa ................................................................................................. 31
KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................ 35
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 36

ii


LỜI MỞ ĐẦU
Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu là bài toán tối ưu đồng thời p ≥ 2
hàm mục tiêu tuyến tính , trong đó 〈 , 〉 , trong đó
với nhau trên một tập lồi đa diện khác rỗng

∈

∈

, = 1, … , , độc lập

. Đây là bài toán có ý nghĩa

quan trọng trong thực tế, đặc biệt trong lý thuyết quyết định, kinh tế, tài chính, quản
lý, công nghiệp,.... .Cho đến nay, rất nhiều tác giả đã đề xuất các thuật toán để xác
định toàn bộ hoặc một phần tập nghiệm hữu hiệu EP của bài toán quy hoạch tuyến
tính đa mục tiêu, chẳng hạn xem [2], [3], [4], [6].Một bài toán quan trọng có liên
quan chặt chẽ với bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu là bài toán tối ưu trên
tập Pareto, ký hiệu là (Q) . Đó là bài toán tối ưu một hàm thực f(x) trên tập nghiệm
hữu hiệu EP của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu. Việc giải bài toán này
giúp ta chọn được nghiệm hữu hiệu tốt nhất theo một chuẩn nào đó mà không nhất
thiết phải xác định toàn bộ tập EP. Bài toán này được Philip đề xuất năm 1972. Đây
là bài toán khó và thuộc lớp bài toán tối ưu toàn cục, tức là nghiệm tối ưu địa
phương chưa chắc đã là nghiệm tối ưu toàn cục. Tuy nhiên, do nhu cầu ứng dụng,
bài toán (Q) đã thu hút được sự quân tâm đặc biệt của rất nhiều tác giả. Nhiều thuật
toán theo các tiếp cận khác nhau đã được đề xuất để giải bài toán này, như
H.Benson [5], H.Benson và Sayin [6] và một số tác giả khác, xem danh mục tài liệu
tham khảo kèm theo.Mục đích chính của luận văn này là trình bày thuật toán để giải
bài toán tối ưu trên tập Pareto. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba
chương.
 Chương 1 "Bài toán tối ưu trên tập Pareto". Trình bày một số khái niệm
và tính chất cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP)
như điểm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu, cấu trúc tập
nghiệm của bài toán, biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả. Tiếp đó,
giới thiệu mô hình toán học của bài toán tối ưu trên tập Pareto.
iii

 Chương 2 "Bài toán song tuyến tính". Trình bày một số khái niệm, tính
chất cơ bản, dạng tương đương của bài toán song tuyến tính cũng như thuật
toán giải bài toán quy hoạch song tuyến tính theo phương pháp siêu phẳng
cắt do R.Horst và H.Tuy [9] đề xuất.
 Chương 3 "Thuật toán song tuyến tính giải bài toán (Q) ". Trình bày cơ
sở lý thuyết và thuật toán song tuyến tính để giải bài toán (Q) . Nội dung cơ
bản chương này dựa trên bài báo của J.Jorge [11] đăng năm 2005 trên tạp chí
Journal of Global Optimization.
Luận văn được hoàn thành tại Viên Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học
Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần Việt Dũng. Mặc dù đã
rất cố gắng, song luận văn chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong nhận
được sự góp ý của các thầy cô và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2012

iv


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT.
R

Tập số thực

Rn

Không gian Euclid n chiều

∈

Thuộc tập G

∉

Không thuộc tập G

∃

Tồn tại x

∄

Không tồn tại x

∀

Với mọi x

∅

Tập rỗng
⊂

F là tập con thực sự của tập A

⊆

F là tập con của tập A hoặc có thể bằng tập A

A≠B

Tập A khác tập B

∩

Giao của tập A và B

EP

Tập tất cả các nghiệm hữu hiệu của bài toán (MLOP)
Tập tất cả các diện hữu hiệu của bài toán (MOLP)

〈 , 〉

Tích vô hướng của x và y

| |

Giá trị tuyệt đối của x
Điểm trong tương đối của tập A

[

(

)

Nón pháp tuyến của tập X tại điểm x0

,

]

Đoạn thẳng nối hai điểm v1 và v2
Bao a fin của tập A
v


{ ,…
( , )

}

Nón sinh bởi các véc tơ c1,...ck
Hình tròn mở tâm a, bán kính  > 0

intA

Phần trong tương đối của A

xt

Véc tơ chuyển vị của véc tơ x

At

Ma trận chuyển vị của ma trận A

v.đ.k

Viết tắt của cụm từ "với điều kiện"

(Q)

Kí hiệu của Bài toán tối ưu trên tập Pareto

(LPx)

Kí hiệu của Bài toán quy hoạch tuyến tính

(BLP)

Kí hiệu của Bài toán quy hoạch song tuyến tính

(BLPT)

Kí hiệu của Bài toán tương đương với bài toán quy hoạch song

tuyến tính
(MOLP)

Kí hiệu của Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

vi


Chương 1:
BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN TẬP PARETO
Mục đích chính của chương này là giới thiệu vài nét cơ bản về bài toán tối ưu
trên tập Pareto như mô hình toán học, nghiệm hữu hiệu, điều kiện hữu hiệu, cấu trúc
tập nghiệm, biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả... Nội dung chính của

Chương 1 được tham khảo trong [1], [2], [3], [4], [9].

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu
1.1.1 Phát biểu bài toán
Thông thường, trong RP với p ≥ 2, người ta sử dụng thứ tự sau:
Cho

=

≥

⟺

≥

>

⇔

≥
≠

>

,

,….,

⇔

≥

,

=

,….,

,

. Ta nói:

, ∀ = 1, … , , à ∃

∈ {1, . . , }:

>

;

≫

⇒

, ∀ = 1, … , .
Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu được phát biểu như sau:
VMax Cx, với

∈ ,

Trong đó C là ma trận mục tiêu cấp pxn, p ≥ 2 với p hàng là
1, … . , ;
∈

∈

(MOLP)
∈

, =

là tập lồi đa diện khác rỗng. Theo định nghĩa, tập lồi đa diện

là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng. Nói cách khác, tập

lồi đa diện X là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Tập
lồi đa diện bị chặn được gọi là đa diện.
Đinh nghia 1.1. Một điểm
(MOLP) nếu ∄

∈ :

≥

∈

được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán
à

≠

.

Nghiệm hữu hiệu còn được gọi là nghiệm tối ưu Pareto.
Ký hiệu:
1


◊ EP là tập tất cả các nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP) .
=

◊

=

,…,

∈

≥ 0, = 1, … ,

Định lý sau đây cho phép ta tìm được một nghiệm hữu hiệu của bài toán
(MOLP) thông qua việc giải một quy hoạch tuyến tính thông thường .
Định lý 1.1. | | Điểm

∈

là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP) khi và chỉ

∈

khi tồn tại một véc tơ

≫0) sao cho x0 là nghiệm tối ưu của bài

tức là (

toán quy hoạch tuyến tính vô hướng sau:
{〈 ,
Cho

⊂

〉,

∈ }.

. Ký hiệu riA là tập các điểm trong tương đối của A , tức
={

Trong đó (

∈ |∃ (

, )∩

⊂ }

, ) là hình tròn mở tâm a0, bán kính

> 0 và affA là bao affin của

tập A.
⊂

Định nghĩa 1.2. Cho tập lồi khác rỗng

. Một tập con lồi khác rỗng

⊆

được gọi là một diện của A nếu bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong A và có một điểm
trong tương đối
∈ ,

∈
=

đều nằm trọn trong F , nghĩa là
+ (1 − ) , 0 <

< 1;

∈ , ∈

⇒

∈ , ∈ .

Hệ quả 1.1. Xét bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP). Cho tập F là

(tức là

∈

) thì F⊂

và x0 là nghiệm hữu hiệu

∈

một diện của tập lồi đa diện X. nếu một điểm
.

Định nghĩa 1.3. Một diện F là một diện hữu hiệu (efficient face) nếu tất cả các phần
tử của F đều là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP).
Đặt
=

{ ,…,

}: =

∈

=

,

Thông thường, K được gọi là nón sinh bởi { , … ,

Cho tập lồi khác rỗng
(

⊂

), được định nghĩa là:

≥ 0, = 1, … ,

}.

. Nón pháp tuyến của M tại
(

): = { ∈
2

|〈 , −

∈

〉 ≤ 0, ∀ ∈

ký hiệu là
}.


∈

Sau đây là điều kiện để một điểm

là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP)

được phát biểu theo ngôn ngữ nón pháp tuyến.
∈

Mệnh đề 1.1. Một điểm
khi

(

)∩

điểm x0 và

là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP) khi và chỉ

≠ ∅, trong đó
{ ,…,

=

(

) là nón pháp tuyến của tập lồi đa diện X tại

}.

Mệnh đề 1.2. Giả sử tập lồi đa diện X là tập nghiệm của hệ bất đẳng thức tuyến
tính

〈 , 〉≥

, = 1, … ,

và

∈ .

∈ (

)},

(1.1)

Khi đó
(

{−

)=

trong đó
(

): = { ∈ {1, … ,

}〈 , 〉≥

}.

Trong thực tế tính toán người ta sử dụng dạng tương đương sau của Mệnh đ ề 1.1
Mệnh đề 1.3. Một điểm

∈

là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP), trong đó

X được xác định bởi (1.1), khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm.
−
∈ (

= 0,

≥ 0, ∀ ∈ (

),

)

Ví dụ 1.1. Xét bài toán quy hoạch tuyến tính hai mục tiêu
−

+3

−

−3

với các ràng buộc
− −2

⎧
⎪−2 −
⎨− + 2
⎪
,
⎩
Ta có

=

−1

3

−1

−3

⇒

= (−1,3)
= (−1, −3)
3

≥ −8
≥ −7
≥ −1
≥0

> 0, ∀ = 1, … , .

nón

=

{ ,

} , tập chấp nhận được và nón pháp tuyến tại một số điểm của

tập chấp nhận được minh họa ở Hình 1.1.
Từ Hình 1.1, ta thấy
(

)∩

≠∅⇒

∈

(

)∩

=∅⇒

∉

X2
Nx (v1)

v1=(0,4)

Nx (v2)

a1

v2=(2,3)

a5

a2

c1
a3
0

a4

X1

1

c2
Hình 1.1
Ví dụ 1.2. Xét bài toán quy hoạch tuyến tính hai mục tiêu
−

+

với các ràng buộc

−

=

Ta có
nón

=

{ ,

−1

1

0

1

−

≥ −4

−

≥ −2

,

≥0

= (−1,1)

⇒

= (0,1)

} , tập chấp nhận được và nón pháp tuyến tại một số điểm của

tập chấp nhận được minh họa ở Hình 1.2.
4


Từ Hình 1.2, ta thấy
(

)∩

≠∅⇒

∈

(

)∩

=∅⇒

∉

X2

4

Nx (v2)
v2=(1,3)

v1=(0,4) 2

a1

a4
a

a3

2

-2

X1
4 v3=(4,0)
Nx (v3)

0
Hình 1.2

Định lý 1.2. (Điều kiện hữu hiệu) Cho

∈ . Khi đó,

∈

. khi và chỉ khi với

x=x0, quy hoạch tuyến tính (LPx) sau.
〈 , 〉

(LPx)

v.đ.k.Cz-s=Cx
∈
s≥0
có một giá trị tối ưu vx=0, trong đó

= (1, … ,1) ∈

..

Sau đây là điều kiện tồn tại nghiệm:
Như là một hệ quả trực tiếp của Định lý 1.1, dễ thấy rằng nếu tập chấp nhận được
⊂

của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) là đa diện, tức là

tập lồi đa diện X bị chặn, thì bài toán (MOLP) luôn có nghiệm hữu hiệu. Cụ thể:

5


⊂

Mệnh đề 1.4. Nếu

là đa diện thì tập nghiệm hữu hiệu EP của bài toán

(MOLP) là tập compact khác rỗng.
Nếu

⊂

là tập lồi đa diện không bị chặn thì bài toán (MOLP) chưa chắc đã có

nghiệm hữu hiệu. Kết quả sau cho phép xác định được sự tồn tại nghiệm hữu hiệu
của bài toán (MOLP) và tìm được một nghiệm hữu hiệu đầu tiên trong trường hợp
⊂

là tập lồi đa diện xác định bởi hệ bất đẳng thức (1.1).

Mệnh đề 1.5. Tập nghiệm hữu hiệu EP của bài toán (MOLP) bằng rỗng khi và chỉ
khi hệ
−

+

=0

≥ 0, = 1, … ,

(1.2)

≥ 0, = 1, … ,
không có nghiệm. Nếu hệ (1.2) có nghiệm ( , … ,
max〈

, ,…,

) thì bài toán

λ c , x〉, x ∈ X

(LP)

có nghiệm tối ưu và mỗi nghiệm tối ưu của (LP) là một nghiệm hữu hiệu của bài
toán (MOLP).
Ví dụ 1.3. Xét lại bài toán cho ở Ví dụ 1.1
−

+3

−

−3

Ta có
= (−1,3) ,
= (−1, −2) ,

= (−2, −1) ,
+

+

= (−1, −3) ;

= (−1,2) ,
+

+

= (1,0) ,
+

≥ 0, = 1, … ,5
> 0, = 1,2
6

+

= (0,1) và hệ
=0


⇔

⇔

⎧
⎪
⎨
⎪

⎩

−1
−2
+
+
−2
−1
≥ 0, = 1, … ,5,

1
+
0

0
+
1

−1
+
3

−1
= 0,
−3

, = 1,2.

−
⎧

⎪ −2
⎨
⎪
⎩

−1
+
2

−2

−

−

+2

+
+

−

−

+3

−3

=0
=0

≥ 0, = 1, … ,5
> 0, = 1,2

Dễ thấy (0,0,0,2,0,1,1) là một nghiệm của hệ trên. Khi đó. theo Mệnh đề 1.5 ta có
bài toán quy hoạch tuyến tính sau
max{〈 , 〉}, ∈
trong đó
=

+

−1
−1
−2
+
=
3
−3
0

=

Theo hình học giải quy hoạch tuyến tính (Hình 1.3), ta có
{〈 , 〉, ∈ } = [
7

,

]

trong đó [

,

] là đoạn thẳng nối điểm v1 và v5.

X2
Nx (v1)
v1=(0,4)

Nx (v2)

a1

v2=(2,3)

Nx (v0)

a2
a5

v3=(3,1)
Nx (v3)

a3
v5=(0,0)
Nx (v )

X1

1v4=(1,0)

0

5

a4

Nx (v4)
Hình 1.4
Từ Hình 1.4, ta thấy
(

)∩

=

≠∅⇒

∈

(

)∩

=

≠∅⇒

∈

(

)∩

∈

[

≠∅⇒
,

]⇒[

,

∈
]⊂

Như vậy, ta thấy mỗi nghiệm tối ưu của bài toán (LP) là một nghiệm hữu hiệu của
bài toán (MOLP).

1.1.2 Cấu trúc tập nghiệm
Định lý 1.3 [2] Tập nghiệm hữu hiệu EP của bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục
tiêu (MOLP) là liên thông đường gấp khúc và là hợp của một số hữu hạn các diện
đóng của tập lồi đa diện ràng buộc X.

8

⊂

Nhắc lại rằng, một tập
với mỗi cặp điểm ,

∈

được gọi là liên thông đường gấp khúc nếu

có thể tìm được một số hữu hạn điểm

cho x1=x, xs=y và đoạn thẳng [ ,
Ví dụ 1.4. Xét bài toán

{

,

,…,

∈

sao

] ⊆ , = 1, … , − 1.
∈ } trong đó
=

1

0

0

1

và X được xác định bởi hệ (1.1) với m=6 và được minh họa như Hình 1.5.

-a5

v1

v2
a5

a6

a4

1

3

a

a2

a

-a4
v3

Hình 1.5
Ta có K=cone{ ,

}=

. Bằng hình học, dễ thấy
=[

,

]∩[

,

]

.Như vậy Ep là hợp của hai cạnh và Ep không lồi ngay cả trong bài toán đơn giản
này.

9


1.1.3 Biểu diễn diện hữu hiệu thông qua tập mô tả
Định nghĩa 1.4. Một tập chỉ số J ⊆ I = {1,2, … , p} được gọi là tập mô tả cho diện
F của tập X khi và chỉ khi F=F(J’) với
( )=

∈

= 0, ∀ ∈

.

Ngược lại, mọi diện khác rỗng của X đều được biểu diễn dưới dạng này.
Giả sử

={ ∈

,

= ,

≥ 0} , trong đó

×

∈

và

∈

là các ma

trận.
Khi đó tập X được viết rõ thông qua tập mô tả là

( )=

∈

= ,

=0

Dễ thấy rằng, nói chung, tập mô tả càng rộng thị diện mô tả càng hẹp.
Định nghĩa 1.5. Một tập con J ⊆ J là một tập mô tả cực đại khi và chỉ khi không
tồn tại tập con J ⊆ J thỏa mãn F(J'')=F(J').
Ví dụ 1.5. Cho X là đa diện được xác đinh bởi
={ ∈

|

−

= 0,

Ta có, X là đoạn thẳng trong R3 nối diểm

à

= 0}

+

, trong đó

=(0,0,1) và

=(1,1,0).

Dễ thấy, các diện của X có thể được chỉ rõ trong cách biểu diễn sau:
= (∅)
{ ̅ } = ({1}) = ({2}) = ({1,2}),
{ } = ({3}),
∅ = ({1,3}) = ({2,3}) = ({1,2,3})
Ta thấy ′ = ∅ là một tập mô tả cực đại cho X vì điểm
Định lý 1.4. [10] Mọi diện khác rỗng

⊂

= (0.5,0.5,0.5) ∈ X

có duy nhất một tập mô tả cực đại.

Chứng minh. Theo Định nghĩa 1 thì mọi diện

⊂

khác rỗng đều được biểu diễn

bởi một tập mô tả. Giả sử phản chứng là tập mô tả đó không duy nhất, tức là có tồn
tại hai tập chỉ số J',J'' ⊂ J sao cho J' ≠ J'' là các tập mô tả cực đại cho diện F .
Do đó, F=F(J')=F(J''). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng có tồn tại chỉ
số ∈

à

∉ ′′.
10


Vì ∈

nên ta có xt = 0 với mọi x∈ .
∉ ′′ mà J'' là một tập mô tả cực đại, do đó có tồn tại điểm

Mặt khác, vì
( )=

> 0. Điều này vô lý.

sao cho

∈
□

Một diện F ⊂ X được gọi là hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu
(MOLP) nếu tất cả thành phần của F là hữu hiệu. Nghĩa là
Ký hiệu

⊆

.

là tập diện hữu hiệu của bài toán (MOLP).

Nhắc lại rằng, Ep có thể được mô tả là hợp của tất cả các diện hữu hiệu của bài toán
(MOLP).
Lấy

∈

ta định nghĩa một họ các bài toán chứa tham số được kết hợp để giải bài

toán (MOLP) như sau
{

=
Ký hiệu

| ∈ }

là tập các nghiệm tối ưu của bài toán

, ta có các kết quả sau.

Định lý 1.5. [8] Điểm ̅ là một nghiệm hữu hiệu của Bài toán (MOLP) khi và chỉ
khi tồn tại

∈

sao cho ̅ là nghiệm tối ưu của bài toán ( ). Nói cách khác
̅∈

| ̅∈

⇔∃ ∈

Áp dụng lý thuyết đối ngẫu, Định lý 1.5 có thể dẫn về một khẳng định để kiểm tra
một diện có phải là diện hữu hiệu hay không thông qua tập mô tả của nó. Khẳng
định này được thể hiện thông qua định lý sau.
Định lý 1.6. [10] Cho J' là một tập mô tả cực đại, khi đó F(J') là diện hữu hiệu khi
và chỉ khi ∃ ∈

,∃ ∈

,∃ ∈

thỏa mãn

+

+

= 0 và sJ-J’ = 0.

Chứng minh.''⇒'' Cho ̅ là một điểm trong tương đối của F(J') . Vì J' là một tập mô
tả cực đại, ta có ̅
Vì ̅ ∈

> 0.

nên theo Định lý 1.5, tồn tại

∈

sao cho

̅∈

. Áp dụng lý

thuyết đối ngẫu cho quy hoạch tuyến tính và đặc biệt là tính bù, ta suy ra: ∃ ∈
,∃ ∈

,∃ ∈

thỏa mãn
+

+

= 0 và sJ-J’ = 0.

11


''⇐'' Cho ̅ ∈

, ̅∈

∀ ∈ ( )⇒

̅ = 0. Áp dụng lý thuyết đối ngẫu cho quy hoạch tuyến tính, ta có

( ′⊆

,

thỏa mãn ̅

∈

+

+ ̅ = 0 và ̅

= 0. Vì

và do đó, theo Định lý 1.5 ta có ( ) ∈

□

1.2 Bài toán tối ưu trên tập Pareto
Bài toán tối ưu trên tập Pareto được phát biểu như sau
{ ( )=

:

∈

}

(Q)
trong đó

, f(x) là hàm mục tiêu, và Ep là tập nghiệm hữu hiệu của bài toán

∈

quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) , đóng vai trò như tập ràng buộc.
∈

Định nghĩa 1.6. Ta gọi một điểm

là nghiệm tối ưu địa phương hay cực đại

địa phương của bài toán (Q) nếu tồn tại một  lân cận
sao cho (

) ≥ ( ), ∀ ∈ (

Định nghĩa 1.7. Điểm
toán (Q) nếu (

∈

, )∩

(

, ) của điểm

∈

.

là nghiệm tối ưu toàn cục hay nghiệm tối ưu của bài

)≥ ( ) à (

)≠ ( )∀ ∈

.

Như đã biết, tập nghiệm hữu hiệu Ep là liên thông nhưng nói chung, Ep là
một tập con không lồi của X và có cấu trúc phức tạp. Vì vậy, bài toán (Q) là một
bài toán quy hoạch không lồi, tức là một nghiệm địa phương bất kỳ của bài toán
nhưng chưa chắc là nghiệm toàn cục.
Bài toán (Q) được Philip đề xuất lần đầu tiên vào năm 1972. Do nhu cầu
ứng dụng, bài toán này đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả. Nhiều thuật toán
đã được đề xuất để giải bài toán này (xem [5], [6], ....) và danh mục tài liệu tham
khảo kèm theo. Sau đây là ví dụ thực tế có mô hình toán học là bài toán tối ưu trên
tập Pareto.
Ví dụ 1.6. Một Tổng công ty gồm 12 nhà máy, sản xuất 6 loại sản phẩm khác nhau.
Gọi xj là số đơn vị sản phẩm loại j , j=1,...,6 mà tổng công ty cần sản xuất. Véc tơ
x=(x1, x2, x3, x4, x5, x6) được gọi là phương án sản xuất. Ký hiệu

⊂

là tập tất

cả các phương án sản xuất thỏa mãn điều kiện cho phép của tổng công ty. Như
12

thường lệ, X còn được gọi là tập chấp nhận được. Với mỗi phương án chấp nhận
được

∈ , giả sử rằng 〈 , 〉 là lợi nhuận mà tổng công ty thu được, 〈 , 〉 là

mức sử dụng lao động ở nhà máy j, j=1,...,12, trong đó ,

∈

. Mục đích của

Tổng công ty là xác định được phương án sản xuất cho lợi nhuận lớn nhất trong khi
vẫn duy trì được mức sử dụng lao động cao ở mỗi nhà máy. Khi đó, mô hình toán
học của bài toán này như sau:
{〈 , 〉,

∈

}

trong đó, Ep là tập nghiệm hữu hiệu của bài toán 12 mục tiêu

,

là ma trận (12x6) với các hàng cj, j=1,...,12 và tập chấp nhận được

⊂

Ký hiệu V(X) là tập tất cả các đỉnh của tập lồi đa diện

⊂

∈ , với C
.
. Sau đây là

tính chất nghiệm tối ưu của bài toán (Q) . Nhận thấy hàm mục tiêu f(x) là hàm
tuyến tính là cũng là hàm lõm nên Bài toán (Q) là một bài toán quy hoạch lõm trên
tập liên thông
đường gấp khúc Ep. Do đó ta có tính chất nghiệm tối ưu của Bài toán (Q).
Định lý 1.7. [9] Bài toán (Q) đạt nghiệm tối ưu tại ít nhất một đỉnh hữu hiệu x0 của
bài toán (MOLP), tức

∈

∩ ( ).

Chương này đã giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến bài
toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (MOLP) và bài toán tối ưu trên tập Pareto
(Q). Chương 2 của luận văn sẽ trình bày bài toán quy hoạch song tuyến tính (BLP)
và thuật toán giải bài toán (BLP) .

13


Chương 2:
BÀI TOÁN QUY HOẠCH SONG TUYẾN TÍNH
Chương này dành để trình bày thuật toán giải bài toán quy hoạch song tuyến.
Sau khi phát biểu bài toán và trình bày một số tính chất về nghiệm của bài toán, chi
tiết thuật toán giải bài toán quy hoạch song tuyến tính được mô tả theo phương pháp

siêu phẳng cắt. Những kiến thức trình bày chương này được tham khảo trong tài
liệu [9], [13].

2.1 Phát biểu bài toán
Cho một ánh xạ song tuyến

( , ): =

+

(

)+

, ∈ ,

∈ ;

với X,Y là hai tập lồi đa diện khác rỗng, bị chặn và được cho như sau

∈

trong đó,

, ∈

={ ∈

:

≤ , ≥ 0},

={ ∈

:

≤ ,

, ∈

, ∈

≥ 0},

, C, A, B lần lượt là ma trận cấp n'×n,

m×n, m’×n'.
Bài toán quy hoạch song tuyến tính ký hiệu là (BLP), là phải tìm một cặp véc tơ
(x*,y*) ∈

×

sao cho giá trị hàm F(x,y) tại đó đạt giá trị nhỏ nhất
min { ( , ):

∈ ,

∈ }

(BLP)

2.2 Bài toán tương đương
Ký hiệu V(X), V(Y) lần lượt là tập đỉnh của X, Y.
Cho Y là tập đa diện khác rỗng và bị chặn. Theo quy hoạch tuyến tính, với
mỗi

∈ , nghiệm của bài toán
min { ( , ):

∈ }

đạt tại ít nhất một đỉnh của Y . Bài toán quy hoạch song tuyến tính có thể viết lại
như sau
14


( , ) = min min ( , ) = min min

min

∈ , ∈

∈

∈

∈

trong đó ( ) = min ( , ) = min
∈

∈ ( )

∈ ( )

∈

( , ).

∈ ( ), ( ,

Do | ( )| hữu hạn, nên với mỗi

( , ) = min ( )

) là một hàm affine. Do đó, f(x)

là một hàm tuyến tính từng khúc.
Vậy bài toán (BLP) tương đương bài toán sau
min{ ( ):

∈ }

(BLPT)
với ( ) = min { ( , ):

∈ } hoặc ( ) = min { ( , ):

∈ ( )}

Mệnh đề 2.1. Hàm mục tiêu f(x) trong Bài toán (BLPT) là một hàm lõm.
,

Chứng minh. Cho bất kỳ
(

∈

∈ [0,1], ta cần chứng minh

à

+ (1 − )

)≥

(

) + (1 − ) (

).

.Thật vậy, ta có
(
=

+ (1 − )

= ( +

(
) à

+ (1 − )

∈

+ (1 − )

(

=
trong đó,

) = min (

+ (1 − )

) + min〈 + (
∈

+ (1 − )

) + min〈
∈

= (1 − )( +

, )
), 〉

+ , 〉

). Giả sử, y* là nghiệm của quy

hoạch tuyến tính
min〈
∈

+ , 〉

thì
〈

+ ,

∗〉

= min〈
∈

+ , 〉=〈 ,

∗〉

+〈 ,

∗〉

≥ min〈 , 〉 + min〈 , 〉.

∈

∈

Do đó
(

+ (1 − )

)≥

+ (1 − )

+ min〈 , 〉 + min〈 , 〉
∈

∈

hay
(

+ (1 − )

)≥

(

15

) + (1 − ) (

).

□


Nhận xét 2.1. Do bài toán quy hoạch song tuyến tính (BLP) có thể đưa về bài toán
quy hoạch lõm (BLPT) nên thay vì giải bài toán quy hoạch song tuyến tính (BLP) ta
giải bài toán quy hoạch lõm. Tức là ta có thể dùng các phương pháp giải bài toán
quy hoạch lõm để giải bài toán quy hoạch song tuyến tính.
Sau đây là một số tính chất chung về nghiệm của bài toán quy hoạch song
tuyến tính.
Mệnh đề 2.2. Nếu bài toán quy hoạch song tuyến tính có nghiệm tối ưu (x*,y*) thì x*
∗

là đỉnh của X, y* là đỉnh của Y, tức là

∗

∈ ( ),

∈ ( ).

Chứng minh. Ta có
min

∈ , ∈

( , ) = min min ( , ) .
∈

∈

Do Y là một đa diện khác rỗng và bị chặn, nên ∀ ∈

thì nghiệm của bài toán quy

hoạch tuyến tính
min ( , )
∈

phải đạt tại đỉnh của Y, tức là
min

( , ) = min min

min

( , ) = min min ( , ) .

∈ , ∈

∈

∈ ( )

( , ),

tương đương với
∈ , ∈

∈ ( )

∈

Mặt khác, do X là một đa diện khác rỗng và bị chặn, nên với mỗi
nghiệm của quy hoạch tuyến tính
min ( , )
∈

phải đạt tại đỉnh của X , tức là
min

∈ , ∈

( , ) = min

∈ ( )

min

∈ ( )

( , ),

hay
min

∈ , ∈

( , )=

min

∈ ( ), ∈ ( )

16

( , ).

∈ ( ) thì


Vậy, nếu bài toán quy hoạch song tuyến tính (BLP) có nghiệm tối ưu thì nghiệm đó
phải là một cặp đỉnh thuộc X×Y.

□

Mệnh đề 2.3. (Điều kiện cần) Nếu (x*,y*) là nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch
song tuyến tính thì
∗)

min ( ,
∈

Chứng minh. Với x=x*, ta có min

= ( ∗,

∗)

= min ( ∗ , ).
∈

( ∗, ) ≤ ( ∗,

∈

∗)

.

Mặt khác, do (x*,y*) là nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính nên ta
có
( ∗,

∗)

≤ min ( ∗ , )

( ∗,

∗)

= min ( ∗ , ).

∈

Suy ra
∈

Tương tự, ta có
( ∗,

∗)

= min ( ,
∈

∗)

= min ( ∗ , ).

□

∈

Mệnh đề 2.4. Cho một cặp véc tơ (x*,y*) thỏa mãn (BLPT). Nếu
y*=argmin F(x*,y)
(nghĩa là, y* là nghiệm tối ưu duy nhất của quy hoạch tuyến tính min F(x*,y) với
∈ , thì x* là nghiệm cực tiểu địa phương của quy hoạch min f(x) với

∈ .

Chứng minh. Theo giả thiết, vì y* là nghiệm tối ưu duy nhất của bài toán
min ( ∗ , ) nên F(x*, y*) < F(x*,y) với mọi
∈

hàm F(x,y), nên với mỗi

∈

và

≠

∗

∈

∗

≠

và

. Do tính liên tục của

, tồn tại một lân cận Uy của x* thỏa mãn

F(x*,y*)Đặt

=∩

Với ∀ ∈

:

∈ ( ),

≠

∗

..

, ta cũng có
( ∗,

Mặt khác, ( ∗ ,
( ∗,

∗)

∗)

< ( , ), ∀ ∈ ( ),

= min{ ( ∗ , ):

∗)

≤ min{ ( , ):

≠

∈ } = ( ∗ ), ê
∈ ( )} =
17

∗

.

ớ ∀ ∈

{ ( , ):

∈ },