Số pi (ký hiệu π) là một hằng số toán học

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.13 MB, 22 trang )

Số pi (ký hiệu: π) là một hằng số toán học
Số pi (ký hiệu: π) là một hằng số toán học có giá trị bằng
tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với đường kính
của đường tròn đó. Hằng số này có giá trị xấp xỉ bằng
3,14159265358979. Nó được biểu diễn bằng chữ cái Hy
Lạp π từ giữa thế kỉ 18.

lẫn bên ngoài giới khoa học: một số sách viết riêng về
số π đã được xuất bản; có cả Ngày số pi; và báo chí
thường đặt những tin về kỉ lục tính toán chữ số mới
của π trên trang nhất. Một số người còn cố gắng ghi
nhớ giá trị của π với độ chính xác ngày càng tăng, đạt
tới kỉ lục trên 67.000 chữ số.

π là một số vô tỉ, nghĩa là nó không thể được biểu diễn
chính xác dưới dạng tỉ số của hai số nguyên. Nói cách
khác, nó là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Hơn nữa, π còn là một số siêu việt - tức là nó không 1
phải là nghiệm của bất kì đa thức với hệ số hữu tỉ nào.
Tính siêu việt của π kéo theo sự vô nghiệm của bài toán 1.1
cầu phương. Các con số trong biểu diễn thập phân của
π dường như xuất hiện theo một thứ tự ngẫu nhiên,
mặc dù người ta chưa tìm được bằng chứng nào cho
tính ngẫu nhiên này.

Đại cương
Định nghĩa

Trong hàng ngàn năm, các nhà toán học đã nỗ lực mở
rộng hiểu biết của con người về số π, đôi khi bằng
việc tính ra giá trị của nó với độ chính xác ngày càng

cao. Trước thế kỉ 15, các nhà toán học như Archimedes
và Lưu Huy đã sử dụng các kĩ thuật hình học, dựa
trên đa giác, để ước lượng giá trị của π. Bắt đầu từ
thế kỉ 15, những thuật toán mới dựa trên chuỗi vô
hạn đã cách mạng hóa việc tính toán số π, và được
những nhà toán học như Madhava của Sangamagrama,
Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, và
Srinivasa Ramanujan sử dụng.
Trong thế kỉ 21, các nhà toán học và các nhà khoa học
máy tính đã khám phá ra những cách tiếp cận mới kết hợp với sức mạnh tính toán ngày càng cao - để mở
rộng khả năng biểu diễn thập phân của số π tới 1013
chữ số[1] . áng 10 năm 2014, kỷ lục này được nâng lên
13.300.000.000.000 chữ số bởi một nhóm nghiên cứu lấy
tên là houkouonchi.[2] Các ứng dụng khoa học thông
thường yêu cầu không quá 40 chữ số của π, do đó động
lực của những tính toán này chủ yếu là tham vọng của
con người muốn đạt tới những kỉ lục mới, nhưng những
tính toán đó cũng được sử dụng để kiểm tra các siêu
máy tính và các thuật toán tính nhân với độ chính xác
cao.

Chu vi của một đường tròn lớn hơn khoảng 3 lần so với đường
kình. Giá trị chính xác gọi là số π.

π thông thường được định nghĩa là tỉ số giữa chu vi của
đường tròn C với đường kính của nó d [3] :

π=

Do định nghĩa của π liên hệ với đường tròn, ta có thể

tìm thấy nó trong nhiều công thức lượng giác và hình
học, đặc biệt là những công thức liên quan tới đường
tròn, đường elip, hoặc hình cầu. Nó cũng xuất hiện
trong các công thức của các ngành khoa học khác, như
vũ trụ học, lý thuyết số, thống kê, phân dạng, nhiệt
động lực học, cơ học và điện từ học. Sự có mặt rộng
khắp của số π khiến nó trở thành một trong những
hằng số toán học được biết đến nhiều nhất, cả bên trong

C
d

Tỉ số C/d là hằng số, bất kể kích thước của đường
tròn. Ví dụ, nếu một đường tròn có đường kính gấp đôi
đường kính của một đường tròn khác thì nó cũng có
chu vi lớn gấp đôi, bảo toàn tỉ số C/d. Định nghĩa này
về π không phổ quát, bởi vì nó chỉ đúng trong hình
học Euclid (phẳng) và không đúng trong hình học phi
Euclid (cong)[3] . Vì lý do này, một số nhà toán học ưa
dùng những định nghĩa khác về π dựa trên vi tích phân
hoặc lượng giác vốn không phụ thuộc vào đường tròn.
1

2

1

Một định nghĩa như thế là: π bằng hai lần số x dương,
nhỏ nhất mà với nó cos(x) bằng 0[3][4] .

1.2

Tên gọi

ĐẠI CƯƠNG

vào đó họ thường dùng chữ cái c hoặc p[8] . Điều này
thay đổi khi Euler bắt đầu dùng nó năm 1736. Vì Euler
thường xuyên trao đổi thư từ với những nhà toán học
khác trên toàn châu Âu, việc sử dụng ký tự Hy Lạp
này lan rộng nhanh chóng[8] . Năm 1748, Euler sử dụng
π trong cuốn sách rất phổ biến của ông, Introductio in
analysin inﬁnitorum (Dẫn nhập Giải tích vô hạn), trong
đó ông viết: "để cho ngắn gọn chúng ta sẽ viết số này là
π; nghĩa là, π bằng một nửa chu vi của đường tròn bán
kính bằng 1".[9] Cách ký hiệu này kể từ đó được chấp
nhận rộng rãi ở phương Tây[8] .

1.3 Tính chất
π là một số vô tỉ, có nghĩa là nó không thể được biểu
diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên, như 22/7 hay
các phân số khác thường được dùng để xấp xỉ π[10] . Vì
π là số vô tỉ, biểu diễn thập phân của nó có số chữ số vô
hạn, và nó không kết thúc ở dạng lặp lại vô hạn (vô hạn
tuần hoàn) các chữ số. Có nhiều cách để chứng minh π
là số vô tỉ; phương pháp thường dùng là sử dụng phép
vi tích phân và phương pháp chứng minh bằng phản
chứng. Mức độ xấp xỉ hóa π bằng số hữu tỉ (gọi là độ vô
tỉ, hay hằng số Liouville-Roth) vẫn chưa được xác định

chính xác; người ta ước lượng rằng độ vô tỉ của π lớn
hơn e hoặc ln(2), nhưng nhỏ hơn số Liouville.[11] .

Leonhard Euler đã phổ biến cách dùng chữ cái Hy Lạp π trong
một tác phẩm xuất bản năm 1748.

1

Nhà toán học đầu tiên dùng π với định nghĩa như trên
là William Jones, trong cuốn "Synopsis Palmariorum
Matheseos" (tạm dịch, Nhập môn Toán học mới) năm
1706[6] . Cụ thể, ký tự π lần đầu tiên xuất hiện trong cụm
từ “1/2 Periphery (π)" trong đoạn bàn về một đường
tròn với bán kính bằng 1. Có thể ông đã chọn π bởi vì
nó là chữ cái đầu tiên trong cách ký âm tiếng Hy lạp
περιφέρεια của từ periphery (nghĩa là viền ngoài, cũng
tức là chu vi)[7] . Jones viết rằng các phương trình của
π được lấy từ "bản viết có sẵn của John Machin thiên
tài", dẫn đến phỏng đoán rằng Machin có lẽ đã sử dụng
ký tự Hy Lạp này trước Jones, tuy nhiên không có bằng
chứng trực tiếp về điều này[8] . Ngoài ra, ký tự π đã xuất
hiện trước đó trong các ký hiệu hình học; chẳng hạn,
vào năm 1631 William Oughtred đã dùng nó để biểu
diễn nửa chu vi của hình tròn[8] .

r=

Ký hiệu được các nhà toán học sử dụng để biểu diễn tỉ
số giữa chu vi của một đường tròn và đường kính của
nó là chữ cái Hy Lạp π. Chữ cái này được biểu diễn bằng

từ Latin pi[5] . Không được nhầm lẫn ký tự in thường π
(hoặc dưới dạng chữ không có nét chân chữ π) với ký
tự in hoa Π (Π trong toán học dùng để biểu diễn một
tích dãy số hay dãy hàm).

√π

Bởi π là một số siêu việt, bài toán cầu phương hình tròn không
thể giải được với số bước làm hữu hạn bằng những công cụ cổ
điển là thước kẻ và compa].

π là một số siêu việt, tức là nó không phải là nghiệm
của bất cứ phương trình đại số với hệ số hữu tỉ nào,
3
[12]
x5
như 120
− x6 + x = 0
. Tính chất siêu việt của π có hai
hệ quả quan trọng: thứ nhất, π không thể được biểu
√
diễn bằng tổ hợp các số hữu tỉ và căn bậc n như 3 31
√
[11]
2
hay 10
. ứ hai, vì không có số siêu việt nào có
Sau khi Jones giới thiệu ký hiệu này năm 1706, nó đã thể được xác định bằng phép dựng hình bằng thước
không được các nhà toán học khác chấp nhận; thay kẻ và compa, nên không thể giải bài toán "cầu phương

1.5

Giá trị gần đúng

3

hình tròn". Nói cách khác, nếu chỉ sử dụng compa và
thước kẻ thì không thể xây dựng một hình vuông mà
diện tích của nó bằng diện tích của một hình tròn cho π = 3 +
trước[13] . Cầu phương hình tròn là một trong những bài
toán hình học quan trọng trong thời cổ đại[14] . Một số
nhà toán học nghiệp dư thời hiện đại có lúc tuyên bố
họ thành công dù điều này là không thể[15] .
Các chữ số của π không có một quy luật rõ ràng nào
và vượt qua những kiểm thử về tính ngẫu nhiên thống
kê, trong đó có kiểm thử tính chuẩn tắc; một số vô hạn
được gọi là 'chuẩn tắc' khi mọi dãy số khả dĩ (với độ dài
bất kì) có tần suất xuất hiện là như nhau[16] . Người ta
vẫn chưa thể khẳng định hoặc bác bỏ giả thuyết rằng
π là 'chuẩn tắc'[16] . Kể từ khi máy vi tính ra đời, người
ta đã tính được số π với số lượng chữ số lớn, đủ để thực
hiện các phân tích thống kê. Yasumasa Kanada đã thực
hiện các phân tích thống kê chi tiết về các chữ số thập
phân của π, và thấy rằng chúng phù hợp với tính chuẩn
tắc; chẳng hạn, tần suất xuất hiện các chữ số từ 0 tới 9
được sử dụng để kiểm tra ý nghĩa thống kê, và không
tìm thấy bằng chứng về một hình mẫu nào[17] . Bất chấp
việc các chữ số của π đã vượt qua các bài kiểm tra về
tính ngẫu nhiên, π dường như vẫn chứa những dãy số

có vẻ có quy luật đối với những người không phải nhà
toán học, như điểm Feynman, là một dãy sáu chữ số 9
liên tiếp bắt đầu từ vị trí thứ 762 trong biểu diễn thập
phân của π[18] .

1
1

7+

1

15+

1

1+

1

292+

1

1+
1+

1
1+

..

.

Chặt cụt phân số liên tục này ở bất kì điểm nào sẽ tạo
nên một phân số xấp xỉ với π; hai phân số như vậy
(22/7 và 355/113) từng được sử dụng trong lịch sử để
tính gần đúng hằng số này. Các số gần đúng được sinh
ra theo cách này là được gọi là 'xấp xỉ hữu tỉ tốt nhất';
nghĩa là, chúng gần với π hơn bất kì phân số nào khác
có mẫu số bằng hoặc nhỏ hơn[19] . Mặc dầu phân số
liên tục đơn giản cho π (ở trên) không thể hiện một
nguyên tắc nào[20] , các nhà toán học đã khám phá ra vài
phân số liên tục tổng quát (tổng quát hóa phân số liên
tục thường trong dạng chính tắc) có quy luật, chẳng
hạn[21] :

4

π=
1+

= 3+

12
32
2+
52
2+
72

2+
92
2+
2+

..

6+

12
32
52
6+
72
6+
92
6+

.

6+

..

Phân số liên tục

3+
5+

7+

.

Một số giá trị gần đúng của π bao gồm:
• Dạng phân số: Các giá trị xấp xỉ bao gồm (theo thứ
tự độ chính xác tăng dần) 22/7, 333/106, 355/113,
52163/16604, và 103993/33102[19] .
• Dạng thập phân: 100 chữ số thập phân đầu của
π là 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288
41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286
20899 86280 34825 34211 70679….[22]
• Dạng nhị phân:
• Dạng thập lục phân:[23]
• Dạng lục thập phân: Xấp xỉ cơ số 60 của số pi là
3:8:29:44:1

Hằng số π được biểu diễn trong bức tranh khảm bên ngoài tòa
nhà khoa Toán ở Đại học Công nghệ Berlin.

2 Lịch sử
2.1 Thời Cổ đại

Giống như tất cả các số vô tỉ khác, π không thể được
biểu diễn bằng một phân số thường; nhưng mặt khác,
mọi số vô tỉ, bao gồm cả π, có thể được biểu diễn bởi
một chuỗi vô hạn những phân số lồng vào nhau, được
gọi là phân số liên tục:

12
2

1+

1.5 Giá trị gần đúng
1.4

4

=

Kim tự tháp Kheops ở Giza (xây dựng vào khoảng thời
gian 2589-2566 tr.CN) được thiết kế với chu vi khoảng
1760 cubit (1 cubit bằng khoảng 0,5 mét) và chiều cao
khoảng 280 cubit. Dựa vào tỉ lệ 1760/280 ≈ 6.2857, xấp

4

2 LỊCH SỬ

xỉ bằng 2π ≈ 6.2832, một số nhà Ai Cập học kết luận
rằng những nhà xây dựng kim tự tháp đã biết đến số π
và chủ ý thiết kế kim tự tháp theo tỉ lệ đường tròn[24] .
Tuy nhiên nhiều người không đồng tình với ý kiến
này và khẳng định mối quan hệ với số π đơn thuần là
một sự trùng hợp, bởi không có bằng chứng cho thấy
những người xây dựng kim tự tháp đã biết đến số π, và
kích thước của kim tự tháp còn dựa trên nhiều yếu tố
khác[25] .

vi của các đa giác này, ông chứng minh rằng 223/71 <
π < 22/7 (3,1408 < π < 3,1429). Có thể chính cận trên
22/7 của phép tính đã dẫn đến việc nhiều người cho
rằng π bằng 22/7[34] . Khoảng năm 150 CN, nhà khoa
học Hy Lạp-La Mã Ptolemaeus, trong bộ Almagest của
mình, đã đưa ra giá trị π bằng 3,1416, có lẽ là lấy lại
kết quả tính toán của Archimedes hoặc của Apollonius
xứ Pergaeus[35] . Các nhà toán học, bằng cách sử dụng
thuật toán đa giác, đã tính được tới chữ số thứ 39 của
Những ước lượng sớm nhất về π được tìm thấy ở Ai Cập π vào năm 1630, một kỉ lục mà đến năm 1699 mới được
phá vỡ khi chữ số thứ 71 được tính ra bằng phương
và Babylon có niên đại từ thiên niên kỉ thứ 2 trước Công
[36]
nguyên, với sai số tương đối cùng vào cỡ một phần pháp chuỗi vô hạn .
trăm. Ở Babylon, một tấm đất sét có niên đại khoảng
1900-1600 tr.CN đã ghi lại một phát biểu hình học,
trong đó ám chỉ ước lượng số π bằng 25/8 = 3,1250[26] .
Ở Ai Cập, cuộn giấy Rhind, có niên đại khoảng 1650
tr.CN, bản sao của một văn bản có từ khoảng 1850
tr.CN, có ghi một công thức tính diện tích hình tròn,
trong đó gán cho giá trị của π bằng (16/9)2 ≈ 3,1605[26] .
Ở Ấn Độ vào khoảng 600 năm trước Công nguyên, bộ
Kinh Shulba (viết bằng tiếng Phạn với nhiều nội dung
toán học) đã cho số π bằng (9785/5568)2 ≈ 3,088.[27] .
Vào năm 150 tr.CN hoặc sớm hơn, có tài liệu của Ấn
√
Độ đánh giá π bằng 10 ≈ 3,1622[28] .
Hai bài thơ trong Kinh thánh Hebrew (được viết giữa
thế kỉ 8 và thế kỉ 3 tr.CN) mô tả một hồ nước dùng trong
nghi lễ tại Đền Solomon có đường kính 10 cubit và chu

vi 30 cubit, bài thơ ngụ ý rằng π bằng 3 nếu hồ có hình
tròn[29][30] . Học giả người Do ái Rabbi Nehemiah giải
thích sự sai khác nằm ở độ dày của hồ. Công trình về
hình học của ông, Mishnat ha-Middot, viết vào khoảng
năm 150 CN và coi π bằng 21/7[31] .

2.2

Thời kì của phép xấp xỉ đa giác
Archimedes đã phát triển cách tiếp cận đa giác để tính toán số
π.

π có thể ước lượng bằng cách tính chu vi của các đa giác nội
tiếp và ngoại tiếp đường tròn.

uật toán chặt chẽ đầu tiên được ghi chép để tính
giá trị của π là một cách tiếp cận hình học sử dụng
đa giác, được phát minh vào khoảng năm 250 tr.
CN bởi nhà toán học người Hy Lạp Archimedes[32] .
uật toán đa giác của Archimedes thống trị suốt hơn
1000 năm, khiến cho π đôi khi được gọi là “hằng số
Archimedes”[33] . Archimedes đã tính toán các giới hạn
trên và dưới của π bằng cách vẽ hai đa giác đều có cùng
số cạnh, một nội tiếp và một ngoại tiếp với cùng một
hình tròn, sau đó từ từ tăng số cạnh lên gấp đôi cho đến
khi đạt đến đa giác đều 96 cạnh. Bằng cách tính chu

Ở Trung Hoa cổ đại, các giá trị của π bao gồm 3,1547
√
(khoảng năm thứ nhất sau Công nguyên), 10 (100 sau

Công nguyên, xấp xỉ 3,1623) và 142/45 (thế kỉ thứ 3,
xấp xỉ 3,1556)[37] . Vào khoảng năm 265, nhà toán học
triều Tào Ngụy tên là Lưu Huy đã phát minh ra thuật
toán lặp dựa trên đa giác (thuật toán π Lưu Huy) và sử
dụng nó với một đa giác 3072 cạnh để thu được giá trị
của π bằng 3,1416[38][39] . Cũng chính Lưu Huy sau đó
đã phát triển một phương pháp nhanh hơn để tính π
và thu được giá trị 3,14 với một đa giác 96 cạnh, bằng
cách lợi dụng tính chất là hiệu diện tích các đa giác liên
tiếp tạo nên một dãy cấp số nhân với hệ số 4[38] . Vào
khoảng năm 480, một nhà toán học Trung ốc khác
là Tổ Xung Chi đã tính toán ra π ≈ 355/113, sử dụng
thuật toán Lưu Huy cho đa giác 12.288 cạnh. Với giá
trị chính xác ở bảy chữ số thập phân đầu tiên, giá trị
3,141592920… là giá trị gần đúng chính xác nhất của π
mà con người tính được trong suốt hơn 800 năm sau

2.3

Các chuỗi số vô hạn

5

đó[40] .
Trong khi đó, nhà thiên văn người Ấn Độ Aryabhata
sử dụng giá trị 3,1416 trong sách Āryabhaṭīya của ông
(499 sau Công nguyên)[41] . Fibonacci vào khoảng năm
1220 đã tính ra giá trị 3,1418 bằng một phương pháp
đa giác khác với phương pháp của Archimedes[42] . Văn

hào người Ý Dante dường như đã sử dụng giá trị của π
√
là 3+ 2/10 ≈ 3,14142[42] .
Nhà thiên văn Ba Tư Jamshīd al-Kāshī đã tìm ra 16 chữ
số vào năm 1424 bằng cách sử dụng đa giác có 3×228
cạnh[43][44] , xác lập một kỉ lục thế giới mới tồn tại được
khoảng 180 năm[45] . Nhà toán học Pháp François Viète
vào năm 1579 tính được 9 chữ số bằng một đa giác
3×217 cạnh[45] . Nhà toán học xứ Vlaanderen Adriaan
van Roomen đạt tới chữ số 15 vào năm 1593[45] . Năm
1596, nhà toán học người Hà Lan Ludolph van Ceulen
đạt tới 20 chữ số, một kỉ lục được chính ông về sau nới
rộng lên thành 35 chữ số (kết quả số π được gọi là “số
Ludolph” trong tiếng Đức cho tới tận đầu thế kỉ 20)[46] .
Khoa học gia người Hà Lan Willebrord Snellius đạt tới
34 chữ số vào năm 1621[47] và nhà thiên văn học người
Áo Christoph Grienberger đạt tới 39 chữ số vào năm
1630[48] , đến nay vẫn là kết quả chính xác nhất được
tính thủ công bằng thuật toán sử dụng đa giác.

2.3

Các chuỗi số vô hạn

Việc tính toán số π được cách mạng hóa bởi sự phát
triển kĩ thuật chuỗi số vô hạn trong các thế kỉ 16 và
17. Một chuỗi vô hạn là một tổng các số hạng của một
dãy vô hạn[49] . Chuỗi vô hạn cho phép các nhà toán
học tính toán π với độ chính xác lớn hơn nhiều độ
chính xác đạt được từ phương pháp của Archimedes

và các kĩ thuật hình học khác[49] . Mặc dù chuỗi vô hạn
được sử dụng cho số π nổi tiếng nhất bởi các nhà toán
học châu Âu như James Gregory và Gofried Leibniz,
cách tiếp cận này được khám phá lần đầu tiên ở Ấn Độ
vào giữa những năm 1400 và 1500 CN[50] . Bản ghi chép
đầu tiên mô tả một chuỗi vô hạn có thể tính toán số π
nằm trong một bài thơ tiếng Phạn của nhà thiên văn
Ấn Độ Nilakantha Somayaji trong tập Tantrasamgraha
của ông, ra đời khoảng năm 1500[51] . Trong tập sách,
chuỗi này được chép lại mà không có chứng minh,
nhưng phép chứng minh đã được trình bày trong một
công trình Ấn Độ sau đó, Yuktibhāṣā, do Jyesthadeva
biên soạn vào khoảng năm 1530. Nilakantha quy chuỗi
này là phát hiện của một nhà toán học Ấn Độ trước
đó, Madhava của Sangamagrama, người sống trong
khoảng những năm 1350-1425[51] . Một số chuỗi vô hạn
được mô tả, bao gồm các chuỗi sin, tang, và cosin,
ngày nay được biết dưới tên chuỗi Madhava hay chuỗi
Gregory-Leibniz[51] . Madhava đã sử dụng những chuỗi
vô hạn để đánh giá π tới 11 chữ số vào khoảng năm
1400, nhưng kỉ lục này đã bị đánh bại bởi một thuật
toán đa giác của Jamshīd al-Kāshī năm 1430[52] .

Isaac Newton đã sử dụng chuỗi vô hạn để tính toán π tới 15 chữ
số, về sau viết trong một lá thư rằng “Tôi lấy làm hổ thẹn để kể
với anh bao nhiêu con số tôi đã thực hiện cho những tinh toán
này”[53] .

tích vô hạn (thay vì một tổng vô hạn, vốn phổ biến hơn
trong phép tính số π) được tìm thấy bởi nhà toán học

Pháp François Viète năm 1593[54] :
√
√
√
√
√
√
2+ 2+ 2
2
2
2+ 2
=
×
×
× ···
π
2
2
2
Dãy số vô hạn thứ hai ở châu Âu của John Wallis (1655)
cũng là một tích vô hạn nữa[54] . Khám phá ra phép vi
tích phân, bởi nhà khoa học Anh Isaac Newton và nhà
toán học Đức Leibniz vào thập niên 1660 đã dẫn tới
sự phát triển nhiều chuỗi vô hạn để đánh giá π. Chính
Newton cũng dùng một chuỗi arcsin để tính ra một xấp
xỉ 15 chữ số cho số π vào khoảng năm 1665 hoặc 1666,
và về sau này viết rằng “Tôi lấy làm hổ thẹn để kể với
anh bao nhiêu con số tôi đã thực hiện cho những tinh
toán này, chẳng có việc gì hơn để làm vào lúc đó cả"[53] .
Ở châu Âu, công thức Madhava được khám phá lại bởi

nhà toán học Scotland James Gregory năm 1671, và bởi
Leibniz năm 1674[55][56] :

arctan z = z −

z3
z5
z7
+
−
+ ···
3
5
7

Công thức này, tức chuỗi Gregory-Leibniz, tương
Dãy số vô hạn đầu tiên được khám phá ở châu Âu là một đương π/4 khi đánh giá với z = 1[56] . Năm 1699, nhà

6

2 LỊCH SỬ

toán học Anh Abraham Sharp sử dụng chuỗi GregoryLeibniz để tính π tới 71 chữ số, phá vỡ kỉ lục trước đó với
4
4
4
4
39 chữ số xác lập bởi một thuật toán đa giác[57] . Chuỗi π = 3+
−

+
−
+· · ·
2 × 3 × 4 4 × 5 × 6 6 × 7 × 8 8 × 9 × 10
Gregory-Leibniz đơn giản, nhưng nó hội tụ rất chậm
(có nghĩa là, tiệm cận với giá trị chính xác một cách từ Bảng sau so sánh tốc độ hội tụ của hai chuỗi này:
từ qua từng số hạng), do đó người ta không dùng nó
Sau 5 số hạng, tổng của chuỗi Gregory-Leibniz nằm
trong các phép tính toán số π hiện đại[58] .
trong sai số tuyệt đối cỡ 0,2 của π, trong khi tổng của
Năm 1706 John Machin sử dụng chuỗi Gregory-Leibniz chuỗi Nilakantha sai số chỉ cỡ 0,002. Như vậy chuỗi
để tạo nên một thuật toán hội tụ nhanh hơn nhiều[59] : Nilakantha hội tụ nhanh hơn và hữu dụng hơn trong
việc tính toán số π. Những chuỗi thậm chí hội tụ còn
nhanh hơn bao gồm các chuỗi kiểu Machin và chuỗi
1
1
π
Chudnovsky, trong đó chuỗi Chudnovsky tạo ra 14 chữ
= 4 arctan − arctan
4
5
239
số thập phân đúng cho mỗi số hạng thêm vào[63] .
Machin đã đạt tới 100 chữ số của π với công thức
này[60] . Các nhà toán học khác tạo nên những biến thể
của nó, ngày nay được biết dưới tên “các công thức kiểu
Machin”, được dùng để thiết lập một số kỉ lục tiếp theo
cho số chữ số của π[60] . Các công thức kiểu Machin duy
trì là phương pháp được biết đến nhiều nhất để tính
toán π khi tiến tới ngưỡng cửa kỉ nguyên máy tính, và

chúng đã tạo nên các kỉ lục trong 250 năm, lên đến đỉnh
điểm vào một phép gần đúng 620 chữ số năm 1946 bởi
Daniel Ferguson - đây chính là kết quả cao nhất mà con
người từng đạt được mà không có sự giúp đỡ của một
thiết bị tính toán nào[61] .
Một kỉ lục đáng chú ý được thiết lập bởi thiên tài tính
toán Zacharias Dase vào năm 1844 khi ông 20 tuổi. Ông
đã sử dụng một công thức kiểu Machin để tính toán 200
chữ số của π trong đầu dưới sự chỉ đạo của nhà toán
học Đức Carl Friedrich Gauss[62] . Nhà toán học Anh
William Shanks nổi tiếng vì dành 15 năm để tính toán
π tới 707 chữ số (hoàn thành năm 1873), nhưng về sau
người ta tìm thấy một lỗi sai ở chữ số thứ 528, kéo tất
cả những số đằng sau sai theo[62] .
2.3.1

Tốc độ hội tụ

2.4 Tính vô tỉ và tính siêu việt
Không phải tất cả các tiến bộ toán học liên quan tới π
đều nhằm vào việc tăng độ chính xác của phép xấp xỉ.
Khi Euler giải Bài toán Basel vào năm 1735, tìm ra giá
trị chính xác của tổng các căn bậc hai, ông đã thiết lập
một mối liên hệ giữa π và các số nguyên tố mà về sau
góp phần vào sự phát triển và nghiên cứu hàm Riemann
zeta[67] :

π2
1
1

1
1
= 2 + 2 + 2 + 2 + ···
6
1
2
3
4
Nhà khoa học ụy Sĩ Johann Heinrich Lambert vào
năm 1761 chứng minh rằng π là số vô tỉ, có nghĩa nó
không bằng tỉ số của bất kì hai số hữu tỉ nào[10] . Phép
chứng minh của Lambert khai thác một biểu diễn phân
số liên tục của hàm tang [68] . Nhà toán học Pháp AdrienMarie Legendre vào năm 1794 chứng tỏ rằng π2 cũng
là số vô tỉ. Năm 1882, nhà toán học Đức Ferdinand von
Lindemann chứng tỏ rằng π là số siêu việt, xác nhận
một phỏng đoán được cả Legendre và Euler đưa ra trước
đó[69]

Một số chuỗi vô hạn cho π hội tụ nhanh hơn những
chuỗi khác. Cho trước hai chuỗi vô hạn cho π, các nhà
toán học thông thường sử dụng chuỗi hội tụ nhanh hơn 2.5 Kỉ nguyên máy tính và các thuật toán
lặp
bởi như thế đồng nghĩa với việc giảm được số lượng
[63]
phép tính cho bất kì độ chính xác yêu cầu nào . Một
Sự phát triển của máy tính vào giữa thế kỉ 20 một lần
chuỗi vô hạn cho π là chuỗi Gregory-Leibniz: [64]
nữa đã cách mạng hóa cuộc săn lùng những chữ số của
π. Các nhà toán học Hoa Kỳ là John Wrench và Levi
Smith đã đạt tới 1120 chữ số vào năm 1949 với một máy

4
4
4 4 4 4 4
+
− ···
π= − + − + −
tính bàn[70] . Sử dụng một chuỗi vô hạn arctang, một
1 3 5 7 9 11 13
nhóm đứng đầu bởi George Reitwiesner và John von
Khi các số hạng riêng lẻ của chuỗi vô hạn này được Neumann đã đạt được 2037 chữ số với một phép tính
cộng thêm vào tổng, tổng số tiến gần hơn dần dần tới đòi hỏi 70 giờ làm việc của máy tính ENIAC[71] . Kỉ lục,
π, và - với một số lượng số hạng đủ - nó sẽ tiến đến π luôn dựa vào các chuỗi arctang, liên tục bị phá vỡ sau
gần như mong muốn. Nó hội tụ khá chậm, sau 500 000 đó (7 480 chữ số năm 1957, 10 000 chữ số năm 1958, 100
số hạng, nó chỉ sinh ra 5 chữ số chính xác của π[65] .
000 năm 1961) cho đến khi 1 triệu chữ số đạt được vào
[72]
Một chuỗi vô hạn cho π được công bố bởi Nilakantha năm 1973 .
vào thế kỉ 15 hội tụ nhanh hơn nhiều chuỗi Gregory- Hai tiến bộ khác khoảng năm 1980 một lần nữa tăng
tốc khả năng tính toán số π. ứ nhất, khám phá ra
Leibniz[66] :

2.6

Động lực tính toán số π

7
Một thuật toán lặp (iterative algorithm) lặp lại một
phép tính đặc trưng, mỗi lần lặp lại sử dụng đầu ra
từ bước lặp trước làm đầu vào của nó, và sinh ra một

kết quả trong mỗi bước hội tụ về giá trị mong muốn.
Cách tiếp cận này thực ra đã được khám 160 năm trước
đó bởi Carl Friedrich Gauss, trong một phương pháp
mà ngày nay gọi là phương pháp AGM (arithmeticgeometric mean method, phương pháp trung bình hình
học-đại số) hay thuật toán Gauss-Legendre[76] . Vì được
sửa đổi bởi Salamin và Brent, nó cũng còn được gọi là
thuật toán Brent-Salamin.

John von Neumann tham gia vào nhóm nghiên cứu đầu tiên sử
dụng một máy tính số, ENIAC, để tính toán số π.

Các thuật toán lặp được sử dụng rộng rãi sau 1980 bởi
nó nhanh hơn các thuật toán chuỗi vô hạn: trong khi
các chuỗi vô hạn thường tăng số chữ số chính xác dần
dần một cách cộng thêm, các thuật toán lặp lại thường
“nhân” số chữ số chính xác ở mỗi bước. Ví dụ, thuật
toán Brent-Salamin nhân đôi số chữ số trong mỗi lần
lặp. Năm 1984, hai anh em người Canada John và Peter
Borwein tạo nên một thuật toán lặp nhân bốn lần số
chữ số trong mỗi bước; và năm 1987, một thuật toán
nhân năm lần mỗi bước[77] . Các phương pháp lặp được
sử dụng bởi nhà toán học Nhật Bản Yasumasa Kanada
để lập lên một số kỉ lục giữa 1995 và 2002[78] . Sự hội tụ
nhanh có được kèm theo một cái giá: các thuật toán lặp
đòi hỏi bộ nhớ nhiều hơn đáng kể so với các chuỗi vô
hạn[78] .

uật toán lặp Gauss-Legendre:
Khởi tạo

Số chữ số thập phân

các thuật toán lặp để tính π nhanh hơn nhiều các chuỗi
vô hạn; và thứ hai, sự phát minh ra thuật toán nhân 2.6
nhanh cho phép nhân những số lớn một cách nhanh
chóng[73] . Những thuật toán như vậy là đặc biệt quan
trọng trong việc tính toán số π thời hiện đại, bởi hầu
hết thời gian vận hành máy tính là dành cho các phép
nhân[74] . Chúng bao gồm thuật toán Karatsuba, phép
nhân Toom-Cook, và các phương pháp dựa trên biến
đổi Fourier[75] .

Động lực tính toán số π

10

14

10

12

10

10

10

8

10

6

10

4

100
1
2000
TCN

a0 =1

b0 = √12

t0 = 14

p0 =1

Lặp

n
an+1 = an +b
2

√
bn+1 = an bn

tn+1 =tn −pn (an −an+1 )2

pn+1 =2pn

Sau đó một phép ước lượng π được tính từ

π≈

(an +bn )2
4tn

Các thuật toán lặp được công bố một cách độc lập trong
năm 1975-1976 bởi nhà vật lý Hoa Kỳ Eugene Salamin
và nhà khoa học Australia Richard Brent[76] . Các thuật
toán này chấm dứt sự phụ thuộc vào các chuỗi vô hạn.

Độ chính xác của số Pi

250
TCN

480

1400

1450

1500

1550

1600

1650

1700

1750

1800

1850

1900

1950

2000

Năm

Khi các nhà toán học khám phá ra những thuật toán mới, và
máy tính trở nên sẵn dùng, số các chữ số được biết về π tăng
nhanh chóng.

Đối với hầu hết các tính toán số liên quan tới π, một ít
chữ số thôi đã cung cấp độ chính xác cần thiết. Chẳng
hạn, theo Jörg Arndt và Christoph Haenel, 39 chữ số
là đủ để thực hiện các tính toán vũ trụ học, bởi đây là
độ chính xác cần thiết để tính thể tích vũ trụ hiện biết

với độ chính xác cỡ một nguyên tử[79] . Bất chấp điều
này, nhiều người đã làm việc rất vất vả để tính toán π
tới hàng nghìn, hàng triệu và nhiều hơn thế các chữ
số[80] . Nỗ lực này một phần có thể quy cho sự thúc ép
con người phá vỡ các kỉ lục, và những thành tích như
thế với π thường xuất hiện trên trang nhất báo chí trên
khắp thế giới[81][82] . Chúng cũng có những lợi ích thực
tiễn, như là kiểm tra các siêu máy tính, kiểm tra các
thuật toán giải tích số (bao gồm các thuật toán nhân

8

2 LỊCH SỬ

chính xác cao); và trong địa hạt toán học thuần túy,
chúng cung cấp dữ liệu để đánh giá tính ngẫu nhiên
các chữ số của π[83] .

∞

∑ (−1)k (6k)!(13591409 + 545140134k)
1
.
= 12
π
(3k)!(k!)3 6403203k+3/2
k=0

2.7

Các chuỗi hội tụ nhanh

Nó sinh ra khoảng 14 chữ số của π mỗi số hạng[88] , và đã
được dùng cho một vài phép tính lập kỉ lục về π, trong
đó có kỉ lục vượt một tỉ chữ số năm 1989 bởi anh em nhà
Chudnovsky. Vào ngày 31 tháng 9 năm 2012[89] Fabrice
Bellard đã lập kỉ lục khi sử dụng công thức Chudnovsky
để tính chữ số thứ 2,7 nghìn tỉ của số π[90] trước khi bị
Shigeru Kondo vượt mặt khi tính ra chữ số thứ 5 nghìn
tỉ vào năm 2010[91] và sau đó là chữ số thứ 10 nghìn tỉ
của π vào năm 2011.[92]
Năm 2006, nhà toán học Canada Simon Plouﬀe đã sử
dụng “thuật toán hệ thức nguyên PSLQ” (PSLQ: Partial
Sum of Least Squares - tổng riêng phần của các bình
phương cực tiểu) để tạo ra một vài công thức mới cho
π, tuân theo mẫu sau:

πk =

(
)
∞
∑
a
b
c
1
+
+

nk q n − 1 q 2n − 1 q 4n − 1
n=1

trong đó q là hằng số Gelfond eπ , k là một số lẻ, và a, b, c
là những số hữu tỉ mà Plouﬀe đưa vào[93] .

2.8 Thuật toán miệng vòi

Srinivasa Ramanujan, làm việc một mình ở Ấn Độ, đã tạo nên
nhiều chuỗi số mới để tính số π.

Các phép tính số π hiện đại không chỉ sử dụng duy
nhất thuật toán lặp. Các chuỗi vô hạn mới được phát
hiện vào những thập niên 1980 và 1990 cũng hội tụ
nhanh không kém các thuật toán lặp, nhưng đơn giản
hơn và tốn ít bộ nhớ hơn[78] . Chúng đã manh nha xuất
hiện vào năm 1914, khi nhà toán học Ấn Độ Srinivasa
Ramanujan công bố hàng chục công thức mới cho số π,
chúng đáng nhớ do tính tao nhã, chiều sâu toán học và
sự hội tụ nhanh[84] . Một trong các công thức của ông,
dựa trên các phương trình module:
√ ∞
2 2 ∑ (4k)!(1103 + 26390k)
1
=
π
9801
(k!)4 3964k
k=0

Chuỗi này hội tụ nhanh hơn rất nhiều hầu hết mọi
chuỗi arctang, bao gồm cả công thức Machin[85] . Bill
Gosper là người đầu tiên sử dụng nó để tạo nên những
tiến bộ trong tính toán π, lập nên kỉ lục 17 triệu chữ
số vào năm 1985[86] . Các công thức của Ramanujan báo
trước các thuật toán hiện đại phát triển bởi anh em nhà
Borwein và anh em nhà Chudnovsky[87] . uật toán
Chudnovsky được phát triển vào năm 1987 là:

Hai thuật toán được khám phá vào năm 1995 đã mở ra
một hướng đi mới cho nghiên cứu về số π. Chúng gọi
là các thuật toán “miệng vòi” (spigot algorithms) bởi vì,
giống như nước nhỏ giọt khỏi một miệng vòi, chúng tạo
ra từng chữ số riêng lẻ của π không được tái sử dụng
sau khi đã được tính ra[94][95] . Điều này đối lập với các
chuỗi vô hạn hay những thuật toán lặp, là những thuật
toán lưu giữ và sử dụng tất cả những chữ số trung gian
cho đến khi kết quả cuối cùng được tạo ra[94] .
Các nhà toán học Hoa Kỳ Stan Wagon và Stanley
Rabinowitz đã tạo nên một thuật toán miệng vòi đơn
giản vào năm 1995[95][96][97] . Tốc độ của nó là tương
đương với các thuật toán arctang, nhưng không nhanh
bằng các thuật toán lặp[96] .
Một thuật toán miệng vòi khác, thuật toán trích xuất
chữ số Bailey-Borwein-Plouﬀe (BBP digit extraction
algorithm), được phát hiện vào năm 1995 bởi Simon
Plouﬀe[98][99] :

π=

(
)
∞
∑
4
2
1
1
1
−
−
−
16i 8i + 1 8i + 4 8i + 5 8i + 6
i=0

Công thức này, không giống những công thức trước
đó, có thể sinh ra bất kì chữ số hệ thập lục phân của
π mà không tính toán tới các chữ số đứng trước nó[98] .
Các chữ số nhị phân hay bát phân riêng rẽ có thể trích

3.1

Hình học và lượng giác

9

xuất từ các chữ số hệ thập lục phân. Các biến thể của
thuật toán này đã được phát hiện, nhưng cho tới nay
chưa tìm thấy thuật toán trích xuất chữ số nào sinh ra

nhanh chóng các chữ số thập phân[100] . Một ứng dụng
quan trọng của các thuật toán trích xuất chữ số là hợp
thức hóa những tuyên bố mới về kỉ lục tính toán số π:
sau khi một kỉ lục được tuyên bố, các kết quả thập phân
được chuyển sang hệ thập lục phân, và sau đó một thuật
toán trích xuất chữ số được dùng để tính toán một số
ngẫu nhiên những chữ số gần cuối, nếu chúng phù hợp,
điều này cung cấp một phương pháp tin cậy rằng tính
toán tổng thể là đúng[92] .

Diện tích = r 2

Giữa năm 1998 và 2000, dự án tính toán phân bố PiHex
Diện tích đường tròn =
sử dụng công thức Bellard (một bản chỉnh sửa của thuật
π× r 2
toán BBP) để tính toán bit thứ một triệu tỉ(1015 ) của π,
đã cho ra kết quả là 0[101] . áng Chín năm 2010, một
nhân viên của Yahoo! đã sử dụng ứng dụng Hadoop của
công ty trên một ngàn máy tính trong một thời gian 23
ngày để tính toán 256 bit của π ở vị trí bit 2 triệu tỉ Diện tích của một đường tròn bằng π diện tích màu xám.
(2×1015 )[102] .
Không thể nào tính được phần khiếm khuyết còn lại
của số π khi cố gắng nhìn xa hơn, phần còn lại siêu
nhỏ đấy tiến rất gần số 0 mặc dù không bao giờ bằng 0
được. Nếu giá trị bằng 0 đồng nghĩa với việc nói rằng
một số thực a/∞ = 0 (a ∈ N), như thể phủ nhận sự tồn tại
của một hạt bụi trong vũ trụ và hạt bụi đó có thể là nơi
mà bạn đang sống. [[(a/∞ > 0 (a ∈ N)]]. Tuy nhiên xét π được định nghĩa là tỉ lệ giữa chu vi và đường kính của một
về mặt tương đối, tạo ra một cái gì đó với mức độ tương đường tròn.

đối chính xác trong khoa học, kĩ thuật hay nghiên cứu
nào đó dù là định hướng duy vật hay duy tâm thì nó
• Diện tích của một hình tròn với bán kính r là πr2
được chấp nhận như hoàn thiện và từ đó có thể được
tiếp tục phát triển.
• ể tích của một hình cầu với bán kính r là 43 πr3
Đi về phía cân bằng 08:23, ngày 24 tháng 5 năm 2013
• Diện tích mặt cầu với bán kính r là 4πr2
(UTC)

3

Sử dụng

Do π liên hệ chặt chẽ với đường tròn, nó xuất hiện trong
nhiều công thức thuộc các lĩnh vực hình học và lượng
giác, đặc biệt là những công thức liên quan tới đường
tròn, hình cầu, hoặc elip. Một số ngành khoa học khác
cũng có các công thức liên quan tới π, như thống kê,
phân dạng, cơ học, vũ trụ học, lý thuyết số, và điện từ
học.

π xuất hiện trong các tích phân xác định mô tả chu vi,
diện tích, hoặc thể tích các hình tạo ra từ đường tròn.
Chẳng hạn, một tích phân xác định nửa diện tích của
một đường tròn với bán kính bằng 1 được cho bởi[104] :
∫

√
π

1 − x2 dx =
2
−1
1

√

Trong công thức này, hàm 1−x2 biểu diễn nửa trên của
đường tròn (căn thức là hệ quả của định lý Pythagoras),
∫1
và tích phân −1
tính diện tích giữa nửa đường tròn và
trục x.

Trong lượng giác, các hàm lượng giác liên hệ với các
góc, và các nhà toán học thường sử dụng radian như
một đơn vị đo. Mặt khác, π đóng một vai trò quan
π xuất hiện trong những công thức về chu vi, diện tích trọng trong các góc đo bằng radian, do radian được
và thể tích các hình hình học liên quan tới đường tròn, định nghĩa sao cho một đường tròn chiếm một góc bằng
[105]
, hoặc nói cách khác, góc 180° bằng với π
như các hình elip, hình cầu, hình nón, hình xuyến. Một 2π radian
[103]
radian, và 1° = π/180 radian[105] .
:
vài công thức phổ biến hơn cả trong số đó là

3.1

Hình học và lượng giác

• Chu vi của một đường tròn với bán kính r là 2πr

Các hàm lượng giác phổ biến thường có chu kì là bội
của π; chẳng hạn, sin và cosin có chu kỳ 2π[106] , do

10

3

SỬ DỤNG

một đường tròn nội tiếp một hình vuông, và đặt ngẫu
nhiên các chấm lên hình vuông. Tỉ lệ các chấm nằm
trong hình tròn trên tổng số chấm xấp xỉ bằng π/4. [109]

Các hàm sin và cosin lặp lại với chu kì 2π.

đó với bất kì góc θ và bất kì số nguyên k nào,
[106]
sin(θ+2πk) và cos θ=cos(θ+2πk).

3.2

sin θ=

Phương pháp Monte Carlo để tính gần đúng π rất chậm
so với những phương pháp khác. Năm 1901 nhà toán
học Italia Mario Lazzarini đã tung một cây kim 3048

lần để thu được kết quả ước lượng π bằng 355/113[110] ,
một thí nghiệm nhằm minh họa cho phương pháp hơn
là nỗ lực lập kỉ lục về số π. Mô phỏng trên máy tính
hiện đại cho phép thực hiện “gieo” ngẫu nhiên nhanh
hơn nhiều cách tung kim bằng tay như vậy, nhưng nhìn
chung nó không bao giờ được dùng để tính π khi đòi
hỏi độ chính xác và tốc độ[111] .

Phương pháp Monte Carlo
3.3 Số phức và giải tích

Kim Buﬀon. Các
cây kim a và b được thả ngẫu nhiên.

Mối liên hệ giữa lũy thừa ảo của số e với các điểm trên đường
tròn đơn vị có tâm ở gốc tọa độ của mặt phẳng phức được cho
bởi Công thức Euler.

Các chấm
ngẫu nhiên được đặt trên một hình vuông nội tiếp với
nó.
Phương pháp Monte Carlo, dựa trên phép thử ngẫu
nhiên, có thể dùng để ước lượng số π.
Họ phương pháp Monte Carlo, vốn dùng để tính toán
kết quả của những phép thử ngẫu nhiên nhiều lần, có
thể dùng để tạo nên các phép xấp xỉ số π[107] . Kim
Buﬀon là một kĩ thuật như vậy: nếu một cây kim có
chiều dài ℓ được thả n lần lên một bề mặt trên đó vẽ các
đường thẳng song song cách nhau t đơn vị, và nếu x
lần trong số đó nó dừng lại cắt qua một vạch (x > 0), thì

người ta có thể tính gần đúng π dựa trên phép tính[108] :

Bất kỳ số phức z nào đều có thể biểu diễn bằng một cặp
số thực. Trong hệ tọa độ cực, một số (bán kính r) được
dùng để biểu diễn khoảng cách từ z tới gốc tọa độ của
mặt phẳng phức và một số khác (góc φ) để biểu diễn
một phép quay ngược chiều kim đồng hồ từ tia dương
của trục thực tới z[112] :

z = r · (cos φ + i sin φ)
Ở đây i2 = −1. Sự xuất hiện thường xuyên của π trong
giải tích phức liên quan tới biểu diễn hàm mũ của một
biến phức, được mô tả bằng công thức Euler[113] :

eiφ = cos φ + i sin φ
2nℓ
π≈
xt
Ở đây hằng số e là cơ số của lôgarit tự nhiên. Công
Một phương pháp Monte Carlo khác để tính π là vẽ thức này lập lên một mối liên hệ giữa lũy thừa ảo của

3.4

Lý thuyết số và hàm zeta Riemann

11
√

e và các điểm trên đường tròn đơn vị có tâm ở gốc của bán nguyên, thì kết quả sẽ chứa π, chẳng hạn Γ(1/2)= π

√
mặt phẳng phức. Đặt φ = π trong công thức Euler sinh và Γ(5/2)= 3 4 π [120] . Hàm gamma có thể được sử dụng
ra Đồng nhất thức Euler, một công thức được các nhà để tạo ra một phép tính gần đúng n! cho số n lớn:
√
toán học ca ngợi do chứa đựng năm hằng số toán học n!∼ 2πn( ne )n còn được gọi là xấp xỉ Stirling[121] .
[113][114]
quan trọng nhất
:

3.4 Lý thuyết số và hàm zeta Riemann
eiπ + 1 = 0
Có n số phức z khác nhau thỏa mãn z = 1 , và chúng
được gọi là “nghiệm bậc n của đơn vị"[115] . Chúng được
cho bởi công thức:
n

Hàm zeta Riemann ζ (s) được dùng trong nhiều lĩnh vực
của toán học. Khi tính cho s=2 , nó có thể viết lại thành

ζ(2) =
e2πik/n

(k = 0, 1, 2, . . . , n − 1)

Công thức tích phân Cauchy chi phối các hàm giải tích
phức và thiết lập mối quan hệ quan trọng giữa các
phép tích phân và vi phân, bao gồm một điều đáng
chú ý là giá trị của một hàm phức trong một miền
đóng hoàn toán được xác định bởi những giá trị trong
miền[116][117] :

f (z0 ) =

1
2πi

γ

f (z)
dz
z − z0

Sự hiện diện của π trong fractal (phân dạng) tập

1
1
1
+ 2 + 2 + ···
2
1
2
3

Tìm một nghiệm đơn cho chuỗi vô hạn này là một bài
toán nổi tiếng trong toán học gọi là bài toán Basel.
Leonhard Euler giải nó vào năm 1735 khi ông chỉ ra
nó bằng π62 [67] . Kết quả của Euler dẫn đến một kết
luận quan trọng trong lý thuyết số là xác suất để hai
số ngẫu nhiên nguyên tố cùng nhau (nghĩa là không
có ước chung nào ngoài 1) bằng 6/π2 .[122][123] . Xác suất

này dựa trên một nhận xét rằng bất kì số nào chia hết
cho một số nguyên tố p là 1/p (chẳng hạn, cứ bảy số
nguyên liên tiếp thì có một số chia hết cho 7). Do đó
xác suất để hai số cùng chia hết bởi số nguyên tố này
là 1/p2 , và xác suất để ít nhất một trong hai số không
chia hết là 1−1/p2 . Đối với các số nguyên khác nhau,
các sự kiện có thể chia hết là độc lập với nhau; do đó
xác suất để hai số nguyên tố cùng nhau cho bởi một
tích lấy trên tất cả các số nguyên tố[124] :
)
∞ (
∏
1
1− 2 =
p
p

(∞
∏
p

1
1 − p−2

)−1
=

1+

1

22

1
1
6
=
= 2
ζ(2)
π
+ 312 + · · ·

Xác suất này có thể dùng cùng với một phương pháp
sinh số ngẫu nhiên để tính gần đúng π sử dụng cách
tiếp cận Monte Carlo[125] .

3.5 Vật lý
Mặc dù không phải là một hằng số vật lý, π xuất hiện
thường xuyên trong các phương trình mô tả các nguyên
lý cơ bản của vũ trụ, thường do mối liên hệ giữa π với
đường tròn và với hệ tọa độ cầu. Một công thức đơn
Mandelbrot được một người Mỹ tên là David Boll khám giản trong lĩnh vực cơ học cổ điển cho ta chu kỳ dao
phá vào năm 1991[118] . Ông đã kiểm tra biểu hiện của động gần đúng T của một con lắc đơn với chiều dài L,
tập Mandelbrot ở gần vùng “cổ" ở (−0.75, 0). Xem xét dao động với biên độ nhỏ (g là gia tốc trọng trường trên
những điểm có tọa độ (−0.75, ε), khi ε tiến tới 0, số lần bề mặt Trái Đất)[126] :
tự lặp lại hình dạng của tập cho đến khi phân kì đối với
điểm đó nhân với ε hội tụ về π. Điểm (0.25, ε) ở đỉnh của
√
một “thung lũng” lớn ở phía phải của tập Mandelbrot
L
cũng biểu hiện tương tự: số lần tự lặp lại trước khi phân T ≈ 2π

g
kì nhân với căn bậc hai của ε tiến tới π[118][119] .
π có thể tính được từ tập Mandelbrot, bằng cách tính số vòng
lặp cần thiết trước khi điểm (−0.75, ε) phân kỳ.

Hàm gamma mở rộng khái niệm về giai thừa - vốn Một trong những công thức tối quan trọng của cơ học
thông thường chỉ được định nghĩa cho các số nguyên - lượng tử là nguyên lý bất định Heisenberg chỉ ra rằng
sang mọi số thực. Nếu hàm gamma được tính ở các số độ bất định trong phép đo vị trí của một hạt (Δx) và

12

3

động lượng (Δp) không thể đồng thời nhỏ tùy ý ở cùng
một thời điểm (ở đây h là hằng số Planck)[127] :

2.5

SỬ DỤNG

Area=sqrt(pi)
e^(-x^2)

2

∆x ∆p ≥

h
4π

1.5

1

Trong ngành vũ trụ học, π xuất hiện trong một công
thức nền tảng, đó là phương trình trường Einstein tạo
nên cơ sở của thuyết tương đối tổng quát và mô tả
tương tác cơ bản của lực hấp dẫn như một kết quả
của không-thời gian bị uốn cong bởi vật chất và năng
lượng[128] :

0.5

0

-0.5

Rik −

gik R
2

+ Λgik =

-2

-1

0

1

2

8πG
c4 Tik

Trong đó Rik là tenxơ độ cong
Ricci, R là độ cong vô hướng, gik
là tenxơ metric, Λ là hằng số vũ
trụ học, G là hằng số hấp dẫn,
c là vận tốc ánh sáng trong chân
không, và Tik là tenxơ ứng suấtnăng lượng.

Một đồ thị Hàm Gauss
2
ƒ(x) = e−x . Vùng tô màu giữa hàm số và trục x có diện tích √π
.

Diện tích dưới đồ thị của đường cong phân bố chuẩn
được cho bởi tích phân Gauss[132] :

∫ ∞
√
2
Trong lĩnh vực điện từ học, định luật Coulomb mô tả
e−x dx = π
điện trường giữa hai điện tích (q1 và q2 ) cách nhau một
−∞

khoảng r (với ε0 biểu diễn cho hằng số điện môi trong
trong khi tích phân tương tự đối với phân bố Cauchy là
chân không)[129] :
∫

|q1 q2 |
F =
4πε0 r2

−∞

Việc π xấp xỉ bằng 3 góp phần vào thời gian sống
tương đối lâu của ortho-positronium (hệ lượng tử có
một electron và một positron nằm trên cùng một quỹ
đạo quay xung quanh một khối tâm). Nghịch đảo thời
gian sống τ1 đối với bậc thấp nhất trong hằng số cấu
trúc tế vi α được cho bởi công thức[130] :
1
τ

∞

= 2 π 9π−9 mα6
2

1
dx = π
x2 + 1

3.7 Kỹ thuật và địa chất

π hiện diện trong một số công thức trong kĩ thuật cấu
trúc, như công thức tính độ cong vênh do Euler tìm
ra, cho ta biết tải trọng theo trục tối đa F mà một cột
dài, mảnh có độ dài L, suất đàn hồi E, và momen quán
tính diện tích I có thể mang được mà không bị cong
vênh[133] :

trong đó m là khối lượng electron.

3.6

Xác suất thống kê

Các lĩnh vực xác suất và thống kê sử dụng thường
xuyên phân bố chuẩn như một mô hình đơn giản cho
các hiện tượng phức tạp; chẳng hạn các nhà khoa
học thông thường giả định rằng các sai số quan sát
trong hầu hết các thí nghiệm tuân theo một phân bố
chuẩn[131] . π được tìm thấy trong hàm Gauss (là hàm
mật độ xác suất của phân bố chuẩn với giá trị trung
bình μ và độ lệch chuẩn σ[132] :

f (x) =

2
2
1
√ e−(x−µ) /(2σ )
σ 2π

F =

π 2 EI
L2

Lĩnh vực thủy động lực học cũng chứa π trong định luật
Stokes, cho phép tính gần đúng lực ma sát F tác dụng
lên một vật thể nhỏ dạng cầu bán kính R chuyển động
với vận tốc v trong một chất lỏng với độ nhớt động
η[134] :

F = 6πηRv
Biến đổi Fourier là một phép toán biểu diễn thời gian
như một hàm của tần số, được biết như phổ tần số của
nó. Nó có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật, đặc
biệt trong xử lý tín hiệu[135] :

4.2

Trong văn hóa đại chúng

13

phải biểu diễn các chữ số của π, trong tiếng Anh gọi
là pilish. Truyện thơ ngắn Cadaeic Cadenza chứa 3835
fˆ(ξ) =
f (x) e−2πixξ dx
chữ số đầu tiên của π theo cách này[144] , và toàn bộ
−∞

cuốn sách Not a Wake chứa 10 000 từ, mỗi từ biểu diễn
[145]
.
Dưới các điều kiện lý tưởng (dốc thoải đều trên một nền một chữ số của π
xói mòn một cách đồng đều), độ uốn khúc của một con
sông tiến gần tới π. Độ uốn khúc (sinousity) là tỉ số giữa
độ dài thực và khoảng cách theo đường kẻ giữa thượng 4.2 Trong văn hóa đại chúng
nguồn và cửa sông. Các dòng chảy nhanh hơn dọc các
cạnh bên ngoài của chỗ uốn dòng sông gây ra nhiều
xói lở hơn dọc các cạnh trong, do đó đẩy các chỗ uốn
ra xa hơn, và gia tăng sự uốn vòng lặp lại tổng thể của
dòng sông. Tuy nhiên, sự uốn vòng quá mức dẫn tới ở
một số chỗ, dòng cuộn thành một đường vòng quanh,
tạo ra những hồ có hình chữ U (box-ow lake), làm giảm
độ uốn khúc tổng thể. Sự cân bằng giữa hai nhân tố đối
lập này khiến cho dẫn tới độ uốn khúc của dòng sông
trung bình gần bằng π[136][137] .
∫

4
4.1

∞

Ngoài địa hạt khoa học
Ghi nhớ các chữ số

Nhiều người đã cố gắng nhớ càng nhiều càng tốt các
chữ số của π, một sự luyện tập được gọi là piphilology
(kết hợp từ pi và philology tức ngữ văn học)[138] . Một kĩ

thuật phổ biến là ghi nhớ một câu chuyện hay một bài
thơ, trong đó độ dài các từ ứng với số các chữ số: từ thứ
nhất có 3 chữ cái, từ thứ hai có 1, từ thứ ba có 4, thứ
tư có 1, thứ năm có 4, và tiếp tục như vậy. Một trong
những ví dụ sớm nhất về biện pháp hỗ trợ ghi nhớ này
được đề xuất bởi nhà khoa học Anh James Hopwood
Jeans: “How I want a drink, alcoholic of course, aer
the heavy lectures involving quantum mechanics”[138] .
Một bài thơ (tiếng Anh: poem) dùng cho việc ghi nhớ
này đôi khi được gọi là một piem. Ngoài tiếng Anh, các
bài thơ để ghi nhớ π cũng được sáng tác trong một số
ngôn ngữ khác[138] ; như trong tiếng Việt, soạn giả Vô
Biên trên diễn đàn khoahocnet từng giới thiệu bài “Pi
trường Tân thanh” (lẩy Kiều để ghi nhớ 50 chữ số đầu
tiên, với quy luật có sửa đổi một chút do đặc thù tiếng
Việt[139] .
Kỉ lục về ghi nhớ các chữ số của π, được xác nhận bởi
Sách Kỷ lục Guinness, là 67 890 chữ số, được Lữ Siêu,
một người Trung ốc đọc thuộc lòng trong 24 giờ và
4 phút vào ngày 20 tháng 11 năm 2005[140][141] . Năm
2006, một kĩ sư Nhật về hưu tên là Haraguchi Akira
tuyên bố là đã đọc thuộc lòng 100 000 chữ số, nhưng
tuyên bố này không được sách Kỷ lục Guinness kiểm
chứng[142] . Những người lập nên kỉ lục về ghi nhớ các
chữ số của π thường không dựa vào các bài thơ, mà sử
dụng các phương pháp khác, như nhớ các khuôn dạng
số hay phương pháp loci (ghi nhớ bằng cách liên hệ số
với vị trí)[143] .

Bánh Pi (tiếng Anh: Pi Pie) Đại học Delft

Có lẽ do π có định nghĩa đơn giản mà lại hiện diện ở
khắp các lĩnh vực, nó được thể hiện trong văn hóa đại
chúng nhiều hơn bất kì khái niệm toán học nào khác.
Tại bảo tàng Palais de la Découverte ở Paris có một căn
phòng hình tròn được gọi là “phòng pi” trên tường thể
hiện 707 chữ cái của π, dưới dạng những ký tự làm bằng
gỗ gắn vào trần vòm. Các chữ số này dựa trên tính toán
năm 1853 của William Shanks có chứa một lỗi sai bắt
đầu từ chữ số thứ 528. Lỗi này được phát hiện năm 1946
và được sửa lại vào năm 1949[146]
e to the u, du / dx
e to the x, dx
Cosine, secant, tangent, sine
3.14159
Integral, radical, mu dv
Slipstick, slide rule, MIT!
GOOOOOO TECH!
Lời cổ vũ của trường MIT[147]

Nhiều trường học ở nước Mỹ cử hành kỉ niệm Ngày
số pi vào 14 tháng 3 (trong ngôn ngữ Anh-Mỹ, ngày
này viết là 3/14)[148] . Ngày 9 tháng 3 năm 2009, Hạ
viện Hoa Kỳ đã chính thức chọn ngày 14 tháng 3 hàng
Một vài tác giả sử dụng các chữ số của π để thiết lập năm là ngày số Pi nhằm khuyến khích học sinh, giáo
nên một dạng hạn từ mới, trong đó độ dài từ yêu cầu viên nghiên cứu toán học.[149] π và chuỗi chữ số của nó

14

6 CHÚ THÍCH THAM KHẢO

thường được những người tự xem mình là “lập dị" sử
dụng trong những trò đùa của nhóm những người ưa
thích toán học và công nghệ. Một vài lời cổ vũ (trong
thi đấu thể thao, văn nghệ…) của Học viện Công nghệ
Massachuses (MIT) cũng xuất hiện số “3,14159”[147] .
Trong vụ bán đấu giá các tài liệu về bằng phát minh
công nghệ có giá trị của tập đoàn Nortel năm 2010,
Google đã liên tục đặt giá một cách khác thường dựa
trên các hằng số toán học và khoa học, bao gồm π[150] .
Những người ủng hộ một hằng số toán học mới là tau
(τ), bằng 2 lần π, lập luận rằng một hằng số dựa trên
tỉ số giữa chu vi đường tròn với bán kính của nó thay
vì với đường kính sẽ có tính tự nhiên hơn và sẽ đơn
giản hóa nhiều công thức[151][152] . Trong khi những đề
xuất của họ, như việc tổ chức kỉ niệm ngày 28 tháng 6
như “Ngày Tau” được tường thuật trên truyền thông,
họ không được các sách vở khoa học phản ánh[153][154] .
Trong tiểu thuyết “Contact”, Carl Sagan đề xuất rằng
Đấng Sáng tạo ra vũ trụ đã chôn giấu một thông điệp
ẩn sâu trong các chữ số của π[155] . Các chữ số của π
cũng được đưa vào lời ca của bài hát “Pi” trong album
Aerial của Kate Bush[156] . Pi cũng được dùng để đặt tên
cho một bài hát trong album "Horses and Grasses" phát
hành năm 2005 của ban nhạc Mỹ Hard 'n Phirm.[157][158]
Năm 1897, nhà toán học nghiệp dư Edwin J. Goodwin đã
nỗ lực thuyết phục cơ quan lập pháp bang Indiana (Hoa
Kỳ) thông qua Dự luật Indiana Pi, trong đó mô tả một
phương pháp cầu phương hình tròn, và chứa những nội

dung giả thiết những giá trị sai của π như 3,2.[159] Dự
luật này nổi danh như một nỗ lực thiết lập một chân
lý khoa học bằng sắc lệnh lập pháp. Dự thảo đã được
Hạ nghị viện Indiana thông qua, nhưng bị ượng nghị
viện bác bỏ[160] .
Trong tập Midnight thuộc sêri Doctor Who, vị Tiến sĩ
chạm trán với ực thể Nửa đêm (Midnight Entity), kẻ
nhập xác một số nhân vật. Nhân vật Sky Silvestry khi
bị nhập xác đã bắt chước kiểu nói của Tiến sĩ bằng cách
lặp lại khớp nhau số π tới 30 chữ số thập phân[161] . Điều
này đòi hỏi các diễn viên David Tennant và Leslie Sharp
học chuỗi số để có thể nhắc lại nó.
Tiểu thuyết của Yann Martel xuất bản năm 2001,[162]
được dựng thành phim năm 2012[163] (Lý An đạo diễn)
nói về nhân vật chính tên Pi có thể nhớ được rất nhiều
chữ số thập phân của Pi.
Trong uyền trưởng Đơn Vị, một tác phẩm của nhà
văn Liên Xô Vladimir Lyovshin, Pi là một nhân vật
cùng đi với Số Không, thuyền trưởng Đơn Vị và Hoa
Tiêu trong cuộc hải trình.

5

Xem thêm
• Các số vô tỷ và các số được cho rằng là số vô tỷ
γ – ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – ρ – δS – e – π – δ

6 Chú thích tham khảo
[1] Notable Large Computations: Pi Alexander J. Yee, cập
nhật 25/4/2012: kỷ lục 10,000,000,000,050 chữ số thập

phân được ghi cho Shigeru Kondo & Alexander Yee. Để
chạy kết quả này, các ông đã phải sử dụng máy tính 2 x
Intel Xeon X5680 @ 3.33 GHz - (12 nhân vật lý, 24 siêu
phân luồng), 96 GB DDR3 với 1066 MHz, ổ đĩa cứng 24
x 2 TB và tính toán trong 371 ngày, từ 10/10/2010 đến
16/10/2011. Xem ảnh cấu hình máy tính tại đây
[2] e ﬁrst scalable multi-threaded Pi-benchmark for
multi-core systems… Last updated: ngày 8 tháng 2 năm
2015
[3] Arndt & Haenel 2006, tr. 8
[4] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical
Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X., p 183.
[5] Holton, David; Mackridge, Peter (2004). “Greek:
an Essential Grammar of the Modern Language”.
Routledge. ISBN 0-415-23210-4., p. xi.
[6] Arndt & Haenel 2006, tr. 165. Một bản sao tác phẩm
của Jones có thể tìm thấy trong Berggren, Borwein &
Borwein 1997, tr. 108–109
[7] Xem Schepler 1950, tr. 220: trước đó ở thế kỉ 17,William
Oughtred đã sử dụng ký tự π để biểu diễn chu vi của
một đường tròn.
[8] Arndt & Haenel 2006, tr. 166
[9] Leonhard Euler. Introductio in analysin inﬁnitorum. tr.
166.
[10] Arndt & Haenel 2006, tr. 5
[11] Salikhov, V. (2008). “On the Irrationality
Measure of pi”. Russian Mathematical Survey
53
(3):
570.

Bibcode:2008RuMaS..63..570S.
doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543.
[12] Mayer, Steve. “e Transcendence of π”. Bản gốc (PDF)
lưu trữ 29/9/2000. Truy cập ngày 4 tháng 11 năm 2007.
Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |archivedate= (trợ
giúp)
[13] Posamentier & Lehmann 2004, tr. 25
[14] Eymard & Lafon 1999, tr. 129
[15] Beckmann 1989, tr. 37
Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001). Science and Its
Times: Understanding the Social Signiﬁcance of Scientiﬁc
Discovery. Gale Group. ISBN 0-7876-3933-8., p 185.
[16] Arndt & Haenel 2006, tr. 22–23
Preuss, Paul (ngày 23 tháng 7 năm 2001). “Are e Digits
of Pi Random? Lab Researcher May Hold e Key”.
Lawrence Berkeley National Laboratory. Truy cập ngày
10 tháng 11 năm 2007.
[17] Arndt & Haenel 2006, tr. 22, 28–30
[18] Arndt & Haenel 2006, tr. 3
[19] Eymard & Lafon 1999, tr. 78

15
[20] “Sloane’s A001203: Continued fraction for Pi”, e
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS
Foundation. Khôi phục 12 tháng 4 năm 2012.
[21] Lange, L. J. (tháng 5 năm 1999). “An Elegant Continued
Fraction for π”. e American Mathematical Monthly 106
(5): 456–458. JSTOR 2589152. doi:10.2307/2589152.
[22] Arndt & Haenel 2006, tr. 240

[23] Arndt & Haenel 2006, tr. 242
[24] “Chúng ta có thể kết luận rằng mặc dù những người
Ai Cập cổ đại không định nghĩa chính xác giá trị của
π, trên thực tế họ đã dùng nó"Verner, M. (2003). “e
Pyramids: eir Archaeology and History”., p. 70.
Petrie (1940). “Wisdom of the Egyptians”., p. 30.
. Xem thêm Legon, J. A. R. (1991). “On Pyramid
Dimensions and Proportions”. Discussions in Egyptology
20: 25–34..
Xem thêm Petrie, W. M. F. (1925). “Surveys of the
Great Pyramids”. Nature Journal 116 (2930): 942–942.
Bibcode:1925Natur.116..942P. doi:10.1038/116942a0.
[25] Egyptologist: Rossi, Corinna, Architecture and
Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University
Press, 2004, pp 60–70, 200, ISBN 978-0-521-82954-0.
Skeptics: Shermer, Michael, e Skeptic Encyclopedia
of Pseudoscience, ABC-CLIO, 2002, pp 407–408, ISBN
9781576076538.
Xem thêm Fagan, Garre G., Archaeological Fantasies:
How Pseudoarchaeology Misrepresents e Past and
Misleads the Public, Routledge, 2006, ISBN 978-0-41530593-8.
Một danh sách các cách giải thích về hình dạng kim
tự tháp không liên quan tới π có thể xem tại Roger
Herz-Fischler (2000), e Shape of the Great Pyramid,
Wilfrid Laurier University Press, tr. 67–77, 165–166,
ISBN 9780889203242
[26] Arndt & Haenel 2006, tr. 167
[27] Arndt & Haenel 2006, tr. 168–169
[28] Arndt & Haenel 2006, tr. 169
[29] Đó là các bài 1 Các nhà vua 7:23 và 2 Biên niên sử 4:2;

xem Arndt & Haenel 2006, tr. 169, Schepler 1950, tr. 165,
vàBeckmann 1989, tr. 14–16.

[35] Arndt & Haenel 2006, tr. 176
Boyer & Merzbach 1991, tr. 168
[36] Arndt & Haenel 2006, tr. 15–16, 175, 184–186, 205.
Grienberger đạt được 39 chữ số năm 1630; Sharp 71 chữ
số năm 1699.
[37] Arndt & Haenel 2006, tr. 176–177
[38] Boyer & Merzbach 1991, tr. 202
[39] Arndt & Haenel 2006, tr. 177
[40] Arndt & Haenel 2006, tr. 178
[41] Arndt & Haenel 2006, tr. 179
[42] Arndt & Haenel 2006, tr. 180
[43] Azarian, Mohammad K. (2010). “al-Risāla al-muhītīyya:
A Summary” (PDF). Missouri Journal of Mathematical
Sciences 22 (2): 64–85.
[44] O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999).
“Ghiyath al-Din Jamshid Mas’ud al-Kashi”. MacTutor
History of Mathematics archive. Truy cập ngày 11 tháng
8 năm 2012.
[45] Arndt & Haenel 2006, tr. 182
[46] Arndt & Haenel 2006, tr. 182–183
[47] Arndt, Haenel & 2006 p183
[48] Grienbergerus, Christophorus (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (bằng tiếng Latin). lưu 1/2/2014. Kết
quả của ông là 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279
50288 4196 < π < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279
50288 4199.
[49] Arndt & Haenel 2006, tr. 185–191
[50] Roy 1990, tr. 101–102

Arndt & Haenel 2006, tr. 185–186
[51] Roy 1990, tr. 101–102
[52] Joseph 1991, tr. 264
[53] Arndt & Haenel 2006, tr. 188. Newton được Arndt trích
dẫn.

[30] Các giả thiết rằng hồ có hình lục giác hoặc có một
vành cong bao ngoài được đưa ra để giải thích độ chênh
lệch với giá trị thực khá lớn. XemBorwein, Jonathan
M.; Bailey, David H. (2008). Mathematics by Experiment:
Plausible Reasoning in the 21st century (ấn bản 2). A. K.
Peters. ISBN 978-1-56881-442-1., pp. 103, 136, 137.

[54] Arndt & Haenel 2006, tr. 187

[31] e Scientiﬁc & the Divine. James A. Arieti, Patrick A.
Wilson (2003). Rowman & Lileﬁeld. pp. 9–10. ISBN
978-0-7425-1397-6.

[58] Arndt & Haenel 2006, tr. 156

[32] Arndt & Haenel 2006, tr. 170

[60] Arndt & Haenel 2006, tr. 72–74

[33] Arndt & Haenel 2006, tr. 175, 205

[61] Arndt & Haenel 2006, tr. 192–196, 205

[34] Arndt & Haenel 2006, tr. 171

[62] Arndt & Haenel 2006, tr. 194–196

[55] Arndt & Haenel 2006, tr. 188–189
[56] Eymard & Lafon 1999, tr. 53–54
[57] Arndt & Haenel 2006, tr. 189

[59] Arndt & Haenel 2006, tr. 192–193

16

6 CHÚ THÍCH THAM KHẢO

[63] Borwein, J. M.; Borwein, P. B. (1988).
“Ramanujan and Pi”. Scientiﬁc American 256
(2):
112–117.
Bibcode:1988SciAm.258b.112B.
doi:10.1038/scientiﬁcamerican0288-112.
Arndt & Haenel 2006, tr. 15–17, 70–72, 104, 156,
192–197, 201–202

[83] Arndt & Haenel 2006, tr. 18

[64] Arndt & Haenel 2006, tr. 69–72

[87] Arndt & Haenel 2006, tr. 110–111

[65] Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Dilcher, K. (1989).

“Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions”.
American Mathematical Monthly 96 (8): 681–687.
doi:10.2307/2324715.

[88] Eymard & Lafon 1999, tr. 254

[66] Arndt & Haenel 2006, tr. 223, (công thức 16.10). Chú ý
rằng (n − 1)n(n + 1) = n3 − n.
Wells, David (1997). e Penguin Dictionary of Curious
and Interesting Numbers . Penguin. tr. 35. ISBN 978-0140-26149-3.
[67] Posamentier & Lehmann 2004, tr. 284
[68] Lambert, Johann, “Mémoire sur quelques propriétés
remarquables des quantités transcendantes circulaires
et logarithmiques”, in lại trong Berggren, Borwein &
Borwein 1997, tr. 129–140
[69] Arndt & Haenel 2006, tr. 196
[70] Arndt & Haenel 2006, tr. 197
[71] Arndt & Haenel 2006, tr. 197. Xem thêm Reitwiesner
1950.
[72] Arndt & Haenel 2006, tr. 197

[84] Arndt & Haenel 2006, tr. 103–104
[85] Arndt & Haenel 2006, tr. 104
[86] Arndt & Haenel 2006, tr. 104, 206

[89] Pi Computation Record
[90] Arndt & Haenel 2006, tr. 110–111, 206
Bellard, Fabrice, “Computation of 2700 billion decimal
digits of Pi using a Desktop Computer”, 11 Feb 2010.
[91] />[92] “Round 2… 10 Trillion Digits of Pi”, Alexander J. Yee

& Shigeru Kondo trên NumberWorld.org, Cập nhật
22/10/2011. Truy cập 7/1/2013.
[93] Plouﬀe, Simon (tháng 4 năm 2006). “Identities inspired
by Ramanujan’s Notebooks (part 2)” (PDF). Truy cập
ngày 10 tháng 4 năm 2009.
[94] Arndt & Haenel 2006, tr. 77–84
[95] Gibbons, Jeremy, “Unbounded Spigot Algorithms for
the Digits of Pi”, 2005. Gibbons đã tạo ra một phiên bản
cải tiến của thuật toán Wagon.
[96] Arndt & Haenel 2006, tr. 77

[75] Arndt & Haenel 2006, tr. 132, 140

[97] Rabinowitz, Stanley; Wagon, Stan (tháng 3 năm
1995). “A spigot algorithm for the digits of Pi”.
American Mathematical Monthly 102 (3): 195–203.
doi:10.2307/2975006. Một chương trình máy tính đã
được tạo ra thực hiện thuật toán Wagon với chỉ 120 ký
tự của phần mềm.

[76] Arndt & Haenel 2006, tr. 87

[98] Arndt & Haenel 2006, tr. 117, 126–128

[77] Arndt & Haenel 2006, tr. 111 (5 times); pp. 113–114 (4
times).
Xem Borwein & Borwein 1987 để có thêm chi tiết về các
thuật toán.

[99] Bailey, David H.; Borwein, Peter B.; and Plouﬀe, Simon

(tháng 4 năm 1997). “On the Rapid Computation
of Various Polylogarithmic Constants” (PDF).
Mathematics of Computation 66 (218): 903–913.
doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.

[73] Arndt & Haenel 2006, tr. 15–17
[74] Arndt & Haenel 2006, tr. 131

[78] Bailey, David H. (ngày 16 tháng 5 năm 2003). “Some
Background on Kanada’s Recent Pi Calculation” (PDF). [100] Arndt & Haenel 2006, tr. 128. Plouﬀe đã tạo ra một thuật
Truy cập ngày 12 tháng 4 năm 2012.
toán trích xuất chữ số thập phân, nhưng nó chậm hơn
các tính toán đầy đủ, trực tiếp tất cả các số đứng trước.
[79] Arndt & Haenel 2006, tr. 17. “39 chữ số của π là đủ để
tính toán thể tích vũ trụ tới nguyên tử gần nhất.”
[101] Arndt & Haenel 2006, tr. 20
Liên quan tới các chữ số thêm vào để bù cho sai số làm
Bellards formula in: Bellard, Fabrice. “A new formula to
tròn trong tính toán, Arndt kết luận rằng một vài trăm
compute the nth binary digit of pi”. Bản gốc lưu trữ ngày
chữ số sẽ đáp ứng đủ bất kỳ ứng dụng toán học nào.
12 tháng 9 năm 2007. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm
[80] Arndt & Haenel 2006, tr. 17–19
[81] Schudel, Ma (ngày 25 tháng 3 năm 2009). “John W.
Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi”. e
Washington Post. tr. B5.

2007.
[102] Palmer, Jason (ngày 16 tháng 9 năm 2010). “Pi record
smashed as team ﬁnds two-quadrillionth digit”. BBC

News. Truy cập ngày 26 tháng 3 năm 2011.

[103] Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 200, 209
[82] “e Big estion: How close have we come to
knowing the precise value of pi?”. e Independent. [104] Weisstein, Eric W., "Semicircle" từ MathWorld.
Ngày 8 tháng 1 năm 2010. Truy cập ngày 14 tháng 4
[105] Ayers 1964, tr. 60
năm 2012.

17
[106] Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 210–211

[128] Yeo, Adrian, e pleasures of pi, e and other interesting
numbers, World Scientiﬁc Pub., 2006, p 21, ISBN 978[107] Arndt & Haenel 2006, tr. 39
981-270-078-0.
Ehlers, Jürgen, Einstein’s Field Equations and eir
[108] Ramaley, J. F. (tháng 10 năm 1969). “Buﬀon’s Noodle
Physical Implications, Springer, 2000, p 7, ISBN 978-3Problem”. e American Mathematical Monthly 76 (8):
540-67073-5.
916–918. JSTOR 2317945. doi:10.2307/2317945.
[109] Arndt & Haenel 2006, tr. 39–40
Posamentier & Lehmann 2004, tr. 105

[129] Nave, C. Rod (ngày 28 tháng 6 năm 2005). “Coulomb’s
Constant”. HyperPhysics. Georgia State University.
Truy cập ngày 9 tháng 11 năm 2007.

[110] Badger, Lee (tháng 4 năm 1994). “Lazzarini’s
[130] C. Itzykson, J-B. Zuber, antum Field eory,

Lucky Approximation of π”. Mathematics Magazine
McGraw-Hill, 1980.
(Mathematical Association of America) 67 (2): 83–91.
JSTOR 2690682. doi:10.2307/2690682.
[131] Feller, W. An Introduction to Probability eory and Its
Applications, Vol. 1, Wiley, 1968, pp 174–190.
[111] Arndt & Haenel 2006, tr. 43
Posamentier & Lehmann 2004, tr. 105–108
[132] Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 106–107, 744, 748
[112] Ayers 1964, tr. 100
[113] Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 592

[133] Low, Peter, Classical eory of Structures Based on the
Diﬀerential Equation, CUP Archive, 1971, pp 116–118,
ISBN 978-0-521-08089-7.

[114] Maor, Eli, E: e Story of a Number, Princeton University
[134] Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics,
Press, 2009, p 160, ISBN 978-0-691-14134-3 (“ﬁve most
Cambridge University Press, 1967, p 233, ISBN 0-521important” constants).
66396-2.
[115] Weisstein, Eric W., "Roots of Unity" từ MathWorld.
[135] Bracewell, R. N., e Fourier Transform and Its
Applications, McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07-116043-4.
[116] Weisstein, Eric W., “Cauchy Integral Formula”,
MathWorld.
[136] Hans-Henrik Stølum (ngày 22 tháng 3 năm 1996). “River
Meandering as a Self-Organization Process”. Science
[117] Joglekar, S. D., Mathematical Physics, Universities Press,
271 (5256): 1710–1713. Bibcode:1996Sci…271.1710S.

2005, p 166, ISBN 978-81-7371-422-1.
doi:10.1126/science.271.5256.1710.
[118] Klebanoﬀ,
Aaron
(2001).
“Pi
in
the
Mandelbrot set” (PDF). Fractals 9 (4): 393–402. [137] Posamentier & Lehmann 2004, tr. 140–141
doi:10.1142/S0218348X01000828. Truy cập ngày 14
[138] Arndt & Haenel 2006, tr. 44–45
tháng 4 năm 2012.
[139] “Số “Pi” và nàng ơ” (ông cáo báo chí). Vô Biên.
[119] Peitgen, Heinz-Oo, Chaos and fractals: new frontiers
3 tháng 8 năm 2012. Truy cập ngày 11 tháng 8 năm
of science, Springer, 2004, pp. 801–803, ISBN 978-0-3872012. Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |accessdate=
20229-7.
(trợ giúp)
[120] Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 191–192
[121] Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tr. 190
[122] Arndt & Haenel 2006, tr. 41–43

[140] “Chinese student breaks Guiness record by reciting
67,890 digits of pi”. News Guangdong. Ngày 28 tháng 11
năm 2006. Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2007. Ông
đọc sai số thứ 67 891, đáng lẽ là “0” lại đọc là “5”

[123] Định lý này được chứng minh bởi Ernesto Cesàro năm [141] “Most Pi Places Memorized”, Guinness World Records.
1881. Xem một chứng minh chặt chẽ hơn ở Hardy, G.
Truy cập ngày 3 tháng 4 năm 2012.

H., An Introduction to the eory of Numbers, Oxford
University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, định lý [142] Otake, Tomoko (ngày 17 tháng 12 năm 2006). “How can
anyone remember 100,000 numbers?”. e Japan Times.
332.
Truy cập ngày 27 tháng 10 năm 2007.
[124] Ogilvy, C. S.; Anderson, J. T., Excursions in Number
eory, Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, ISBN [143] Raz, A.; Packard, M. G. (2009). “A slice of pi: An
exploratory neuroimaging study of digit encoding and
0-486-25778-9.
retrieval in a superior memorist”. Neurocase 6: 1–12.
[125] Arndt & Haenel 2006, tr. 43
[144] Keith, Mike. “Cadaeic Cadenza Notes & Commentary”.
[126] Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl,
Truy cập ngày 29 tháng 7 năm 2009.
Fundamentals of Physics, 5th Ed., John Wiley & Sons,
:{|style="border: none; text-align: center;" |1997, p 381, ISBN 0-471-14854-7.
|One||/||A||Poem||/||A||Raven||/||Midnights||so||dreary,||tired||and||weary,
|- |3 ||.||1||4 || ||1||5 || ||9 Ỗ ||2 ||6 ||5 ||3 ||5
[127] Imamura, James M (ngày 17 tháng 8 năm 2005).
“Heisenberg Uncertainty Principle”. University of [145] Keith, Michael; Diana Keith (ngày 17 tháng 2 năm 2010).
Oregon. Bản gốc lưu trữ ngày 12 tháng 10 năm 2007.
Not A Wake: A dream embodying (pi)'s digits fully for
Truy cập ngày 9 tháng 9 năm 2007.
10000 decimals. Vinculum Press. ISBN 978-0963009715.

18

7

THAM KHẢO

[146] Posamentier & Lehmann 2004, tr. 118
Arndt & Haenel 2006, tr. 50

[161] Midnight Entity, Tardis Index File. accessed ngày 22
tháng 7 năm 2012

[147] MIT cheers. Truy cập ngày 12 tháng 4 năm 2012.

[162] ISBN 0547350651

[148] Great Pi Day Activities for Teachers Pi Day March 14, [163] Life of Pi
2008
[149] “Supporting the designation of Pi Day, and for other
purposes” (ông cáo báo chí). Hạ viện Hoa Kỳ, Library
of Congress. 9*3*2009. Truy cập ngày 11 tháng 8
năm 2012. Kiểm tra giá trị ngày tháng trong: |date=,
|accessdate= (trợ giúp)
[150] “Google’s strange bids for Nortel patents”.
FinancialPost.com. Reuters. Ngày 5 tháng 7 năm
2005. Truy cập ngày 16 tháng 8 năm 2011.
[151] Abbo, Stephen (tháng 4 năm 2012). “My Conversion
to Tauism” (PDF). Math Horizons 19 (4): 34.
doi:10.4169/mathhorizons.19.4.34.
[152] Palais, Robert (2001). “π Is Wrong!” (PDF).
e Mathematical Intelligencer 23 (3): 7–8.
doi:10.1007/BF03026846.
[153] Hartl, Michael. “e Tau Manifesto”. Truy cập ngày 28
tháng 4 năm 2012.

[154] Palmer, Jason (ngày 28 tháng 6 năm 2011). “'Tau day'
marked by opponents of maths constant pi”. BBC News.
Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2012.
[155] Arndt & Haenel 2006, tr. 14. Phần này của câu chuyện
bị lược đi trong kịch bản chuyển thể phim từ tiểu thuyết
này.
[156] Gill, Andy (ngày 4 tháng 11 năm 2005). “Review of
Aerial”. e Independent. hầu hết sự thỏa mãn tự kỉ của
nhà toán học bị ám ảnh-ép buộc bị mê hoặc bởi “Pi” (thứ
tạo nên cơ hội được nghe Bush chậm rãi hát những khúc
dài con số được xem xét, dài hàng tá chữ số)
[157] Hard 'n Phirm (2005). “Horses and Grasses. Hard 'N
Phirm” (bằng tiếng Anh). Bản gốc lưu trữ ngày 10
tháng 10 năm 2010. Kiểm tra giá trị ngày tháng trong:
|archivedate= (trợ giúp)
[158] Hard 'n Phirm: “Pi”. Đạo diễn: Keith Schoﬁeld
[159] Edward J. Goodwin (July 1894) “adrature of the
circle,” American Mathematical Monthly, 1(7): 246-248.
• See: Purdue Agricultural Economics.
• Reprinted in: Lennart Berggren, Jonathan
Borwein, and Peter Borwein, Pi: A Source Book,
3rd ed. (New York, New York: Springer-Verlag,
2004), page 230.
• See also: Edward J. Goodwin (1895) "(A) e
trisection of an angle; (B) Duplication of the cube,”
American Mathemtical Monthly, 2: 337.
[160] Arndt & Haenel 2006, tr. 211–212
Posamentier & Lehmann 2004, tr. 36–37
Hallerberg, Arthur (tháng 5 năm 1977). “Indiana’s
squared circle”. Mathematics Magazine 50 (3): 136–140.

JSTOR 2689499. doi:10.2307/2689499.

7 Tham khảo
• Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi
Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-54066572-4. bản dịch tiếng Anh của Catriona và
David Lischka.
• Ayers, Frank (1964). Calculus. McGraw-Hill. ISBN
978-0-070-02653-7.
• Mathematics from the Birth of Numbers của Jan
Gullberg, ISBN 0-393-04002-X
• A History of Mathematical Notation của Florian
Cajori, ISBN 0-486-67766-4
• Blatner, David (1999). e Joy of Pi. Walker &
Company. ISBN 978-0-8027-7562-7.
• Borwein, Jonathan Michael và Borwein, Peter
Benjamin, “e Arithmetic-Geometric Mean and
Fast Computation of Elementary Functions”,
SIAM Review, 26(1984) 351–365
• Borwein, Jonathan Michael, Borwein, Peter
Benjamin, và Bailey, David H., Ramanujan,
Modular Equations, and Approximations to Pi
or How to Compute One Billion Digits of Pi”,
e American Mathematical Monthly, 96(1989)
201–219
• Chudnovsky, David V. và Chudnovsky, Gregory
V., “Approximations and Complex Multiplication
According to Ramanujan”, trong Ramanujan
Revisited (G.E. Andrews et al. Eds), Academic
Press, 1988, pp 375–396, 468–472
• Cox, David A., “e Arithmetic-Geometric Mean

of Gauss”, L' Ensignement Mathematique, 30(1984)
275–330
• Engels, Hermann, “adrature of the Circle in
Ancient Egypt”, Historia Mathematica 4(1977)
137–140
• Euler, Leonhard, “On the Use of the Discovered
Fractions to Sum Inﬁnite Series”, in Introduction to
Analysis of the Inﬁnite. Book I, dịch từ tiếng Latin
sang tiếng Anh bởi J. D. Blanton, Springer-Verlag,
1964, pp 137–153
• Heath, T. L., e Works of Archimedes, Cambridge,
1897; in lại trong e Works of Archimedes with e
Method of Archimedes, Dover, 1953, pp 91–98

19
• Huygens, Christiaan, “De Circuli Magnitudine
Inventa”, Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden
1724, pp 384–388
• Lay-Yong, Lam và Tian-Se, Ang, “Circle
Measurements in Ancient China”, Historia
Mathematica 13(1986) 325–340
• Lindemann, Ferdinand, “Ueber die Zahl pi”,
Mathematische Annalen 20(1882) 213–225
• Matar, K. Mukunda, và Rajagonal, C., “On the
Hindu adrature of the Circle” (Phụ lục của K.
Balagangadharan). Journal of the Bombay Branch
of the Royal Asiatic Society 20(1944) 77–82
• Niven, Ivan, “A Simple Proof that pi Is Irrational”,
Bulletin of the American Mathematical Society, 53:7

(July 1947), 507
• Ramanujan, Srinivasa, “Modular Equations and
Approximations to pi”, Journal of the Indian
Mathematical Society, XLV, 1914, 350–372. In lại
trong G.H. Hardy, P.V. Sehuigar, và B. M. Wilson
(eds), Srinivasa Ramanujan: Collected Papers, 1962,
pp 23–29
• Shanks, William, Contributions to Mathematics
Comprising Chieﬂy of the Rectiﬁcation of the Circle
to 607 Places of Decimals, 1853, pp. i–xvi, 10
• Shanks, Daniel và Wrench, John William,
“Calculation of pi to 100,000 Decimals”,
Mathematics of Computation 16(1962) 76–99
• Trope, Johannes, Geschichte Der ElementarMathematik in Systematischer Darstellung (e
history of elementary mathematics), BiblioBazaar,
2009 (in lại), ISBN 978-1-113-08573-3
• Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis
Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica
(in lại), Georg Olms Verlag, 1970, pp 398–401, 436–
446

• Borwein, Jonathan Michael, Borwein, Peter
Benjamin, và Bailey, David H., Ramanujan,
Modular Equations, and Approximations to Pi
or How to Compute One Billion Digits of Pi”,
e American Mathematical Monthly, 96(1989)
201–219
• Chudnovsky, David V. và Chudnovsky, Gregory
V., “Approximations and Complex Multiplication
According to Ramanujan”, trong Ramanujan

Revisited (G.E. Andrews et al. Eds), Academic
Press, 1988, 375–396, 468–472
• Cox, David A., “e Arithmetic-Geometric Mean
of Gauss”, L' Ensignement Mathematique, 30(1984)
275–330
• Engels, Hermann, “adrature of the Circle in
Ancient Egypt”, Historia Mathematica 4(1977)
137–140
• Euler, Leonhard, “On the Use of the Discovered
Fractions to Sum Inﬁnite Series”, trong
Introduction to Analysis of the Inﬁnite. Book
I, dịch từ tiếng Latin bởi J. D. Blanton, SpringerVerlag, 1964, pp 137–153
• Heath, T. L., e Works of Archimedes, Cambridge,
1897; in lại trong e Works of Archimedes with e
Method of Archimedes, Dover, 1953, pp 91–98
• Huygens, Christiaan, “De Circuli Magnitudine
Inventa”, Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden
1724, pp 384–388
• Lay-Yong, Lam và Tian-Se, Ang, “Circle
Measurements in Ancient China”, Historia
Mathematica 13(1986) 325–340

• Wagon, Stan, “Is Pi Normal?", e Mathematical
Intelligencer, 7:3(1985) 65–67

• Lindemann, Ferdinand, “Ueber die Zahl pi”,
Mathematische Annalen 20(1882) 213–225

• Wallis, John, Arithmetica Inﬁnitorum, sive Nova
Methodus Inquirendi in Curvilineorum adratum,

aliaque diﬃciliora Matheseos Problemata, Oxford
1655–6. In lại trong tập 1 (pp 357–478) của Opera
Mathematica, Oxford, 1693

• Matar, K. Mukunda, and Rajagonal, C., “On the
Hindu adrature of the Circle” (Appendix by K.
Balagangadharan). Journal of the Bombay Branch
of the Royal Asiatic Society 20(1944) 77–82

• Zebrowski, Ernest, A History of the Circle:
Mathematical Reasoning and the Physical Universe,
Rutgers Univ Press, 1999, ISBN 978-0-8135-2898-4

8

• Borwein, Jonathan Michael và Borwein, Peter
Benjamin, “e Arithmetic-Geometric Mean and
Fast Computation of Elementary Functions”,
SIAM Review, 26(1984) 351–365

Tài liệu đọc thêm
• Blatner, David (1999). e Joy of Pi. Walker &
Company. ISBN 978-0-8027-7562-7.

• Niven, Ivan, “A Simple Proof that pi Is Irrational”,
Bulletin of the American Mathematical Society, 53:7
(July 1947), 507
• Ramanujan, Srinivasa, “Modular Equations and
Approximations to pi”, Journal of the Indian
Mathematical Society, XLV, 1914, 350–372. In lại

trong G.H. Hardy, P.V. Sehuigar, và B. M. Wilson
(eds), Srinivasa Ramanujan: Collected Papers, 1962,
23–29

20

9 LIÊN KẾT NGOÀI

• Shanks, William, Contributions to Mathematics
Comprising Chieﬂy of the Rectiﬁcation of the Circle
to 607 Places of Decimals, 1853, pp. i–xvi, 10
• Shanks, Daniel và Wrench, John William,
“Calculation of pi to 100,000 Decimals”,
Mathematics of Computation 16(1962) 76–99
• Trope, Johannes, Geschichte Der ElementarMathematik in Systematischer Darstellung (e
history of elementary mathematics), BiblioBazaar,
2009 (in lại), ISBN 978-1-113-08573-3
• Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis
Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica
(in lại), Georg Olms Verlag, 1970, 398–401, 436–
446
• Wagon, Stan, “Is Pi Normal?", e Mathematical
Intelligencer, 7:3(1985) 65–67
• Wallis, John, Arithmetica Inﬁnitorum, sive Nova
Methodus Inquirendi in Curvilineorum adratum,
aliaque diﬃciliora Matheseos Problemata, Oxford
1655–6. In lại trong tập 1 (tr. 357–478) của Opera
Mathematica, Oxford, 1693
• Zebrowski, Ernest, A History of the Circle:

Mathematical Reasoning and the Physical Universe,
Rutgers Univ Press, 1999, ISBN 978-0-8135-2898-4
• e Life of Pi: History and Computation Jonathan
Michael Borwein, 21/6-17/7/2003

9

Liên kết ngoài

(tiếng Anh)
• Pi (mathematics) tại Encyclopædia Britannica
(tiếng Anh)
• Digits of Pi tại DMOZ
• Weisstein, Eric W., "Pi" từ MathWorld.
• Representations of Pi tại Wolfram Alpha
• Pi Search Engine tìm kiếm 2 tỉ chữ số của π,
và e

√
2,

• Dữ liệu Pi tại PlanetMath, với giấy phép sử dụng
GFDL.
(tiếng Việt)
• Pi tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Lịch sử số Pi - Phần 1 1 tháng 6 năm 2008, Lịch sử
số Pi - Phần 2 3 tháng 6 năm 2008, Số Pi - Phần 3:
Hỗn độn số Pi 4 tháng 6 năm 2008 và Số Pi - Phần
4: Một số công thức tính giá trị của Pi 27 tháng 6
năm 2008

• Lịch sử con số Pi bí ẩn diệu kỳ Vietsciences, Võ
ị Diệu Hằng, 13 tháng 5 năm 2006

21

10
10.1

Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh
Văn bản

• Pi Nguồn: Người đóng góp: DHN, MuDavid, Vinhtantran, Newone, Trungda, Escarbot,
Vietuy, Handyhuy, SieBot, Qbot, AlleinStein, Magicknight94, Luckas-bot, achx, Nguyentrongphu, Porcupine, Xqbot, Trần Nam
Hạ 2001, DangTungDuong, Prenn, Hungda, Abcvn123, Earthandmoon, Tuankiet65, Tnt1984, DixonDBot, TuHan-Bot, Isaac Newton,
EmausBot, Michel Djerzinski, CNBH, Khangdu, FoxBot, Cheers!, Nhoc maruko9x, ChuispastonBot, Milk Coﬀee, WikitanvirBot,
Ripchip Bot, Cheers!-bot, F~viwiki, Violetbonmua, MerlIwBot, AvicBot, AvocatoBot, enhitran, Alphama, Value, AlphamaBot,
Lathanhvien, Android236, Addbot, OctraBot, Nongtinh3, CVQT, itxongkhoiAWB, Chanduongpro, Tuanminh01, AlphamaBot4,
TuanminhBot, Leduyquang03, Én bạc AWB, Tranngocnhatminh, Duyenxinhdep, Dangminhbk, Hungv8a5 và 29 người vô danh

10.2

Hình ảnh

• Tập_tin:1000_bài_cơ_bản.svg Nguồn: />BA%A3n.svg Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: File:Wikipedia-logo-v2.svg Nghệ sĩ đầu tiên: is ﬁle: Prenn
• Tập_tin:Archimedes_pi.svg Nguồn: Giấy phép: CC-BYSA-3.0 Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra Nghệ sĩ đầu tiên: Leszek Krupinski (disputed, see File talk:Archimedes
pi.svg)
• Tập_tin:Buffon_needle.gif Nguồn: Giấy phép: CC BY 2.5
Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra Nghệ sĩ đầu tiên: Claudio Rocchini

• Tập_tin:Circle_Area_vi.svg Nguồn: Giấy phép: CC0
Người đóng góp: translated from Circle Area.svg Nghệ sĩ đầu tiên: Circle Area.svg: Limaner
• Tập_tin:Commons-logo.svg Nguồn: Giấy phép: Public
domain Người đóng góp: is version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions
used to be slightly warped.) Nghệ sĩ đầu tiên: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier
PNG version, created by Reidab.
• Tập_tin:Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg Nguồn: />Archimedes_1620.jpg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: />popup.htm Nghệ sĩ đầu tiên: Domenico Fei
• Tập_tin:E\char"005E\relax{}(-x\char"005E\relax{}2).svg Nguồn: />28-x%5E2%29.svg Giấy phép: CC BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra Nghệ sĩ đầu tiên: Autopilot
• Tập_tin:Euler’{}s_formula.svg
Nguồn:
/>Giấy phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Là ảnh phái sinh từ Euler’s formula.png: class='image'>alt='Euler’s
formula.png'
src=' />wikipedia/commons/thumb/e/eb/Euler%27s_formula.png/40px-Euler%27s_formula.png' width='40' height='37' srcset='https:
//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Euler%27s_formula.png/60px-Euler%27s_formula.png
1.5x,
/>2x'
dataﬁle-width='741' data-ﬁle-height='681' /></a>
Nghệ sĩ đầu tiên: Original: Gunther
Derivative work: Wereon
• Tập_tin:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg
Nguồn:
/>GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: />Nghệ sĩ đầu tiên: is a copy of a painting by Sir Godfrey Kneller(1689). is copy was painted by Barrington Bramley.
• Tập_tin:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif
Nguồn:
/>JohnvonNeumann-LosAlamos.gif Giấy phép: Public domain Người đóng góp: />NeumannL.GIF (Archive copy at the Wayback Machine (archived on 11 March 2010)) Nghệ sĩ đầu tiên: LANL
• Tập_tin:Leonhard_Euler.jpg Nguồn: Giấy phép: Public
domain Người đóng góp:

src=' />approximations.svg.png' width='50' height='26' srcset=' />pi_approximations.svg/75px-Record_pi_approximations.svg.png 1.5x, />25/Record_pi_approximations.svg/100px-Record_pi_approximations.svg.png 2x' data-ﬁle-width='1024' data-ﬁle-height='528' /></a>
Nghệ sĩ đầu tiên: Record_pi_approximations.svg: Nageh
• Tập_tin:Sine_cosine_one_period.svg Nguồn: />Giấy phép: CC BY 3.0 Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra Nghệ sĩ đầu tiên: Geek3
• Tập_tin:Squaring_the_circle.svg Nguồn: Giấy phép:

Public domain Người đóng góp: Pd-self image by Plynn9 Nghệ sĩ đầu tiên: Original PNG by Plynn9; SVG by Alexei Kouprianov
• Tập_tin:Srinivasa_Ramanujan_-_OPC_-_1.jpg
Nguồn:
/>Ramanujan_-_OPC_-_1.jpg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: link Nghệ sĩ đầu tiên: Không rõhref=' />title='wikidata:Q4233718'>alt='wikidata:Q4233718'
src='https:
//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png' width='20' height='11'
srcset=' />1.5x,
/>2x'
data-ﬁlewidth='1050' data-ﬁle-height='590' /></a>

10.3

Giấy phép nội dung

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0

Số pi (ký hiệu π) là một hằng số toán học

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về