Tài liệu bài giảng Ma trận 2

Khoỏ h c Toỏn cao c p:

i s tuy n tớnh (Th y Lờ Bỏ Tr n Ph

ng)

nh th c Ma tr n

MA TR N (PH N 02)
TI LI U BI I N
Giỏo viờn: Lấ B TR N PH

NG

õy l ti li u túm l c cỏc ki n th c i kốm v i bi gi ng Ma tr n (Ph n 02) thu c khúa h c Toỏn cao c p Ph n i
s tuy n tớnh Th y Lờ Bỏ Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn.
cú th n m v ng ki n th c bi Ma tr n (Ph n
02). B n c n k t h p xem ti li u cựng v i bi gi ng ny.

II. Các phép toán trên ma trận
2.1 Phép nhân một số với một ma trận
Cho ma trận A = [aij]m x n ,khi đó tích kA là một ma trận và đ- ợc xác định nh- sau :
k A = [ kaij ]m x n , k là số thực hoặc số phức.
Nh- vậy muốn nhân một ma trận với một số ,ta nhân số đó với tất cả các phần tử của ma trận
3 2
3 0 3 6 0
1 2 0 3 1
Ví dụ.
3.

.
3 1 2 3 3 3 1 3 (2) 9 3 6
Từ định nghĩa trên ta suy ra với các số thực k, h,và với hai ma trận cùng cỡ A, B ta có :
k A B kA kB;
(k h) A kA hA ;

k(hA) (kh) A;
1.A A, 0.A O .
2.2. Cộng hai ma trận
Tổng của hai ma trận cùng cỡ A = [aij]m x n , B = [bij]m x n là một ma trận ký hiệu là A + B
và đ- ợc xác định nh- sau : A + B = [aij+bij]m x n.
Nh- vậy muốn cộng hai ma trận cùng cỡ ta chỉ việc cộng các phần tử ở cùng vị trí với nhau.
Từ định nghĩa trên ta suy ra, nếu A , B , C là các ma trận cùng cỡ thì :
A + B = B + A;
A + (B + C) = (A + B) + C;
A+ O = A;
A + (- A ) = O .
Chú ý :
Phép cộng hai ma trận cùng cỡ có thể mở rộng cho phép cộng nhiều ma trận cùng cỡ.
2.3. Nhân hai ma trận
Cho 2 ma trận A aij , B aij (l-u ý : số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B). Tích của
m p
p n
ma trận A với ma trận B, kí hiệu A.B, là ma trận C có cỡ m n và đ- ợc xác định nh- sau :

A.B =C = [cij] m x n

c11 c12
c

c22
21



cm1 cm2

c1n
c2 n


cmn
p

Trong đó các phần tử cij đ- ợc tính theo công thức : cij a i1b1 j a i 2b2 j ...a ip bpj a ik bkj .
k 1

Tức cij bằng tổng các tích các phần tử t- ơng ứng ở dòng thứ i của ma trận A với các phần tử ở cột thứ j
của ma trận B.
Hocmai.vn Ngụi tr

ng chung c a h c trũ Vi t

T ng i t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khoỏ h c Toỏn cao c p:

i s tuy n tớnh (Th y Lờ Bỏ Tr n Ph

ng)

nh th c Ma tr n

Cách tính cij có thể hình dung theo sơ đồ sau :
ai1 ai2 . aip

b1j
b2j


bpj

Ví dụ .
1 2
1 2 3 4
3 4



1. A 0 1 2 1 , B
0 2
2 3 5 6


1 0
1 2
1 2 3 4

1.1 2.3 3.0 4.1 1.2 2.4 3.2 4.0 11 16
3
4


0.1 1.3 2.0 1.1 0.2 1.4 2.2 1.0 4 8 .
AB
. 0 1 2 1


0 2
2 3 5 6
2.1 3.3 5.0 6.1 2.2 3.4 5.2 6.0 17 22
1 0
1 2i
1

i 1 i 2i
2. Cho hai ma trận A =
; B =

.
2
2 i

1 2 i 1
1 2i . i 1.(1) 1 2i . 1 i 1.(2 i) 1 2i . 2i 1.1
Khi đó AB
.

2. i 2 i .(1) 2. 1 i 2 i .(2 i) 2. 2i 2 i .1
1 i 1 2i 3 2i

.
2 i 5 2i 2 3i
Chú ý :
1) Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện đ- ợc khi số cột của ma trận đứng tr- ớc bằng số dòng của ma
trận đứng sau. Do đó khi phép nhân AB thực hiện đ- ợc thì BA ch- a chắc đã thực hiện đ- ợc.
+) B. A không tồn tại,vì số cột của B khác số dòng của A.
2) Trong tr- ờng hợp A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì phép nhân AB và BA đều thực hiện
đ- ợc.
3) Khi phép nhân AB và BA đều thực hiện đ- ợc thì ch- a chắc AB = BA.
4) Có những ma trận A O, B O mà A.B = O .

5) Nếu A là ma trận vuông cấp n và I là ma trận đơn vị cùng cấp với A,thì IA AI A.

. ... A An .
6) Nếu A là ma trận vuông ,thì ta kí hiệu tích của n ma trận AA

3. Các phép biến đổi ma trận
Đối với một ma trận ta đ- ợc sử dụng các phép biến đổi sau:
- Đổi chỗ hai dòng bất kỳ cho nhau
- Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng một số khác 0
- Nhân tất cả các phần tử của một dòng với cùng một số khác 0 rồi cộng vào các phần tử
t- ơng ứng của một dòng khác (cộng vào dòng nào thì phải đặt vào dòng đó) .
Chú ý: Các phép biến đổi nói trên còn đ- ợc gọi là các phép biến đổi sơ cấp đối với các dòng của ma trận.

Giỏo viờn : Lờ Bỏ Tr n Ph
Ngu n
Hocmai.vn Ngụi tr

ng chung c a h c trũ Vi t

T ng i t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn
- Trang | 2 -