CÔNG THỨC TOÁN 10 và 11

Đặng Minh Thế

x A  x B  xC

xG 
3
6. Trọng tâm G : 
y A  y B  yC
yG 
3

 
    0
7. Trực tâm H: Giải hệ: AH.BC
BH.AC  0

EB
AB
8. E chân phân giác trong:   
, F chân
AC
EC

FB AB
p.giác ngoài:  
FC AC

HÌNH HỌC 10
I. Đònh lý:

a  (a1 , a2 )

Cho A( x A , yA ), B ( x B , yB ) ,

2.


AB  (x B  x A , y B  y A ) ; (ngọn – gốc).

AB  AB  (x B  x A )2  (y B  y A )2 .

3.


a  a12  a2 2

1.

II. Tính chất Vectơ:


Cho a  (a1 ,a2 ) , b  (b1 , b2 )

A

 
4. a  b  a1  b1
a2  b 2

5. ka  (ka1 , ka2 )
 

6. a  b  (a1  b1; a2  b 2 )


7. ma  nb  (ma1  nb1; ma2  nb 2 )

8. a.b  a1b1  a2 b 2





a

k.b
9. a cùng phương b  
 a1b2  a2 b1  0
 

10. a  b  a.b  0  a1b1  a2 b 2  0

 
a1b1  a2 b2
a.b
11. cos(a; b)    
a b
a12  a2 2 b12  b2 2


12. AB  (a1 ,a2 ) , AC  (b1 , b 2 ) 
1

SABC  a1b2  a2 b1
2



F

3.
4.
5.

E

C

9. Tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
2
 2
Giải hệ:  IA 2  IB2
 IA  IC

ĐƯỜNG THẲNG
I. Phương trình đường thẳng:
 qua M(x 0 ; y 0 )
1. Phương trình tổng quát : 

 pvt : n = (A; B)

 : A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) = 0
 : Ax + By + C = 0

 qua M(x 0 ;y 0 )

 vtcp : a = (a1;a2 )

2. Phương trình tham số : 

Các dạng tốn thường gặp


1. A, B, C thẳng hàng  AB cùng phươngAC.
2.

B

 x = x 0 + a1t
(t  R)
 y = y 0 + a2 t

 : 

A, B, C lập thành tam giác


 AB không cùng phương AC.

 
A,B,C,D là hình bình hành  AD  BC.

 qua M(x 0 ;y 0 )


 vtcp : a = (a1;a2 )

3. Phương trình chính tắc : 

 x  xB yA  yB 
M trung điểm AB: M  A
;

2 
 2

 :

M chia AB theo tỉ số k1:
 x  kx B y A  ky B 
M A
;

1 k 
 1 k

x - x0 y - y0
=
a1
a2

II. Vi trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho (D1 ) : A1x + B1y + C1 = 0 và
(D2 ) : A 2 x + B2 y + C2 = 0

1. (D1 )  (D 2 ) 
Trang 1

A1 B1

A 2 B2


Đặng Minh Thế

2. (Δ1 ) // (Δ 2 ) 
3. (Δ1 )  (Δ 2 ) 

A1 B1 C1


A2 B2 C2

ĐƯỜNG TRÒN
I. Phương trình đường tròn:

A1 B1 C1


A2 B2 C2

 tâm I(a; b)
1. P.trình chính tắc đ.tròn (C): bán kính R


III. Góc của hai đường thẳng:

cos  

 (C): ( x  a ) 2  ( y  b)2  R 2

A1 A2  B1 B2

2. P. trình tổng quát đường.tròn (C):

A12  B12 A22  B22

tâm I(a; b)

2
2
 bán kính R = a2 + b2 - c (ĐK: a  b  c  0 )


IV. Khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng:

 (C): x 2  y 2  2ax  2by  c  0

Cho (Δ) : Ax  By  C  0 và M ( x0 ; y0 )
 d(M, ) 

II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Ax0  By0  C

1. Phương trình tiếp tuyến TẠI M ( x0 ; y0 ) :

A2  B 2



qua M ( x0 ; y0 )


: 
 pvt : IM  ( x0  a; y0  b )

Chú ý:
° Trục Ox có pttq : y  0

 : ( x0  a )( x  x0 )  ( y0  b)( y  y0 )  0

° Trục Oy có pttq : x  0
° Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy :
ax  c  0  b  0 

2. Điều kiện tiếp xúc: d ( I , )  R

° Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox :
by  c  0  a  0 

I. Đònh nghóa:

ELÍP

Cho F1 ,F2 cố đònh và F1F2 = 2c (c > 0)

° Đường thẳng đi qua gốc tọa độ : ax  by  0
c  0

M  ( E )  MF1  MF2  2a (a  c  0)
II. Phương trình chính tắc:

° Đường thẳng cắt Ox tại A  a; 0  và Oy tại

x 2 y2

 1 (a  b  0)
a2 b2

B  0; b 

 a, b  0  :

x y
 1
a b

III. Hình dạng Elíp:
y

° Đường thẳng qua điểm M  x0 ; y0  và có hệ

b B2

số góc k là : y  y0  k  x  x0 

A1  c
 a F1

° Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  và
song song với đường thẳng  : ax  by  c  0
có pttq là :
a  x  x0   b  y  y 0   0

O

c

F2

A2
a x

 b B1

IV. Các vấn đề đặc biệt:

° Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  và

1. Tiêu điểm : F1 (c; o), F2 (c; o) .

vuông góc với đường thẳng  : ax  by  c  0
có pttq là :

2. Tiêu cự : F1 F2  2c .

b  x  x0   a  y  y0   0

3. Đỉnh trục lớn: A1 (a ;0), A2 (a ;0) .

° Cho (Δ) : Ax  By  C  0

4. Đỉnh trục bé : B1 (0; b), B2 (0; b) .

1. ( d ) // (Δ)  ( d ) : Ax  By  m  0

5. Độ dài trục lớn: A1 A2  2a .

2. ( d )  (Δ)  ( d ) : Bx  Ay  m  0

6. Độ dài trục bé : B1 B2  2b .
Trang 2


Đặng Minh Thế

7. Tâm sai : e 

c
1.
a

8. Bán kính qua tiêu điểm :

 MF1  a  exM
MF  a  ex
M
 2

9. Phương trình cạnh hình chữ nhật cơ sở:



x  a
y  b .

10. Phương trình đường chuẩn x  

a2
c

V. Phương trình tiếp tuyến của Elíp:
1. Phương trình tiếp tuyến TẠI M ( x0 ; y0 ) :
x . x 0 y. y 0
 2 1
a2
b

2. Điều kiện tiếp xúc:
x 2 y2

 1 (a  b  0) và
a2 b2
(Δ) : Ax  By  C  0

Cho:

 (Δ) tiếp xúc (E)  A2 a 2  B 2b 2  C 2
* Chú ý: Cho (Δ) : Ax  By  C  0

(d ) // (Δ) : Ax  By  C  0  (d ) : Ax  By  m  0
(d )  (Δ) : Ax  By  C  0  (d ) : Bx  Ay  m  0

Trang 3


Đặng Minh Thế
  0

° Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng âm   P  0
S  0


ĐẠI SỐ 10
a  0
  x   , ax 2  bx  c  0  
  0
a  0
  x   , ax 2  bx  c  0  
  0

Các công thức cơ bản :
A  B
 A = B  

 A  B

a  0
  x   , ax2  bx  c  0  
  0
a  0
  x   , ax2  bx  c  0  
  0



B  0

A = B   A  B
 A  B


 A  B  (A – B) (A + B) < 0

Chú ý: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a  0)
 f  x   0 vô nghiệm  f  x   0, x  



A  0
A B  
A  B



B  0
A B  
A  B



A  0

A  B  B  0
 A  B2


 f  x   0 vô nghiệm  f  x   0, x  
 f  x   0 vô nghiệm  f  x   0, x  
 f  x   0 vô nghiệm  f  x   0, x  
2

Cho phương trình : ax + bx + c = 0
a  0
° Pt có 2 nghiệm phân biệt  
  0
a  0
° Pt có nghiệm kép  
  0

A  B
 A  A  B

a  0

a  0

° Pt vô nghiệm  b  0  
  0
c  0


 A  B  (A – B) (A + B) > 0

A  B
 A B  
 A  B

° Pt có 2 nghiệm trái dấu  P  0
  0
° Pt có 2 nghiệm cùng dấu  
P  0



 A  0( B  0)
A = B 
A  B

° Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng dương



B  0
A =B  

2
A  B



B  0

A  0
A >B  
B  0

  A  B 2

  0

 P  0
S  0


4


Đặng Minh Thế
ĐẠI SỐ 11

 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

LƯỢNG GIÁC

 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

A.Các Hằng Đẳng Thức Lượng Giác Cơ Bản:

 tan(a – b) =

tan a  tan b
1  tan a.tan b

 tan(a + b) =

tan a  tan b
1  tan a.tan b

 sin2   cos2   1   R 



 tan .cot   1    k ,k  Z 
2




1


 1  tan2      k,k  Z 
2
2
cos 





1
 1  cot 2    k,k  Z 
sin 2 

B. Giá Trò Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:

cot        cot 

3. Cung – Góc phụ nhau:



cos     = sin
2




   = cot ;
2




cot     = tan
2



 tan 

 cot 2a 

 sin3a = 3sina – 4sin3a
 cos3a = 4cos3a – 3cosa
 tan3a =

3tan a  tan3 a
1  3tan2 a

 cot3a 

cot 3 a  3cot a
3cot 2 a  1

4. Cung– Góc hơn kém  :    và 
 sin        sin 

cot 2 a 1
2 cot a

3. Công thức nhân ba:


  và 
2



 sin     = cos ;
2


2 tan a
1  tan 2 a

 tan2a =

2. Cung – Góc bù nhau:    và 

tan        tan  ;

cota.cotb  1
cotb  cota

 cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1
= 1 – 2 sin2a

 tan      tan  ; cot      cot 

cos        cos 

 cot(a + b) =

 sin2a = 2sina.cosa

sin      sin 

sin       sin  ;

cota.cotb  1
cotb  cota

2. Công thức nhân đôi:

1. Cung – Góc đối nhau:  và  :
 cos     cos  ;

 cot(a – b) =

4. Công thức hạ bậc:

; tan       tan 

 cos        cos 

; cot       cot 

 cos2a =

1  cos 2a
2

5. Cung – Góc hơn kém

 
:   và 

2 2

 sin2a =

1  cos 2a
2

2
 tan a 

1  cos2a
1  cos2a



    cos  ;
2



 sin 



     sin 
2



 sina.cosa 

 cos 





     cot  ; cot       tan 
2

2


 tan 

C. Công thức lượng giác
1. CÔNG THỨC CỘNG

1
sin 2a
2

3
 sin a 

 s in3a  3sin a
4

3
 cos a 

cos3a  3cos a
4

5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t = tan

Với mọi cung có số đo a, b ta có:
 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

(Giả sửû: x    k 2 , đặt t = tan

 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

5

x
)
2

x
2


Đặng Minh Thế
2



sinx =



tanx =

x    k2
cos x  cos   
,k  
x    k2

2t
1 t
,  cosx =
2
1 t2
1 t
2t
1 t2

(x


2

tan x  tan   x    k, k  

 k , k Z )

cot x  cot   x    k, k  

6. Công thức biến đổi tổng thành tích

* TH đặc biệt:

 ab
 ab
 cos a  cos b  2 cos 
 cos 

 2 
 2 

sin x  1  x 

 ab  ab
 sin 

 2   2 

 cos a  cos b  2 sin 

sin x  1  x  

sin x  0  x  k

 ab ab
 sin 

 2   2 

cos x  1  x    k2

cos x  1  x  k2

 sin a  sin b  2 cos 

cos x  0  x 

sin(a  b)

 tan a  tan b
(a,b   k , k  Z)
cos a.cosb
2

với cos  

2

cot x  1  x  

A B

; sin  

A B


 k .
2

10. Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác

B
2


 k
4

cot x  0  cos x  0  x 

A2  B 2 .cos( x   )
2


 k
4

tan x  0  sin x  0  x  k

A sin x  B cos x  A2  B 2 .sin( x   )

A


 k
2

tan x  1  x  

sin(a  b)
(a,b  k, k Z)
 cot a  cot b
sin a.sinb
sin(a  b)
 cot a  cot b 
(a,b  k , k  Z )
sin a.sin b




 k2
2

 ab
 ab
 cos 

 2 
 2 

 sin a  sin b  2 sin 




 k2
2

a sin 2 x  b sin x  c  0 (a  0) .

2

Đặt t  sin x (t  (1,1))  at 2  bt  c  0

7. Công thức biến đổi tích thành tổng

Rồi từ PT cơ bản sin x  t  x

1
 cos( a  b )  cos( a  b ) 
2
1
sin a.sin b   cos( a  b )  cos( a  b ) 
2
1
sin a.cos b  sin( a  b )  sin( a  b ) 
2
cos a.cos b 

Tương tự cho các phương trình:
a cos 2 x  b cos x  c  0

a tan 2 x  b tan x  c  0

a cot 2 x  b cot x  c  0

11. Phương trình bậc nhất: a sin x  b cos x  c .
a 2  b 2 được:

Chia hai vế PT cho

8. Các hằng đẳng thức khác :

sin 4 x  cos4 x  1  2sin 2 x.cos2 x

a

sin 6 x  cos6 x  1  3sin 2 x.cos 2 x

a b
2

2

sin x 

b
a b
2

2

cos x 

c
a  b2
2

 sin x cos   cos x sin   t  sin( x   )  t





sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x  
4
4






sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x  
4
4



là phương trình cơ bản
12. Phương trình thuần nhất:
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d

TH1: cos x  0  sin 2 x  1 pt có dạng a  d






cos x  sin x   2 sin  x    2 cos  x  
4
4



Khi a  d (đúng)  x 

9. Phương trình lượng giác cơ bản :


 k  là nghiệm
2

Khi a  d (sai) thì cos x  0 khơng thỏa

 x    k2
sin x  sin   
, k 
 x      k2

TH2: cos x  0 . Chia 2 vế cho cos 2 x ta được:

6


Đặng Minh Thế
a tan x  b tan x  c  d (1  tan x )  ...  tan x  t
 x  ...

2

2

2. Quy tắc cộng
Quy tắc cộng cho cơng việc với nhiều phương án:
Giả sử một cơng việc có thể tiến hành theo một
trong k phương án, mỗi phương án có thể được thực
hiện bởi ni cách (i = 1,…, k ). Khi đó cơng việc có
thể thực hiện bởi n1 + n2 + …+ nk cách

* CÔNG THỨC ĐẠO HÀM:

1. (kx)'  k



(ku)'  k.u' .

2. (x  )'  .x 1



(u  )'  .u '.u



( u)' 

3. ( x ) ' 

1
2 x

'

1

.

.

2 u

6. (cos x)'   sin x

1
sin2 x

3. Quy tắc nhâân:



Quy tắc nhân cho cơng việc có nhiều cơng
đoạn:
Giả sử một cơng việc bao gồm k cơng đoạn, mỗi
cơng đoạn có thể được thực hiện theo ni cách (i =
1,…,k
).
Khi đó cơng việc có thể thực hiện theo n1n2…nk

cách

u'
(tan u)' 
cos2 u

 u'
.
sin2 u

(cot u)' 



1
x

(e u )'  u'.e u .
u'
 (ln u)' 
u

1
11. (loga x)’ =
x ln a

u'
 (loga u)’ =
u ln a

12. (ax )'  ax .ln a 

AB  A  B  AB

(cos u)'  u'.sin u



9. (e x )'  e x

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì thì số
phần tử của A  B là

(sin u)'  u'.cos u .


1
7. (tan x)' 
cos2 x

(ln x)' 

A B  A  B

u'
1
   2 .
u
 u



5. (sin x)'  cos x 

10.

Chú ý: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn khơng
giao nhau thì số phần tử của A  B là

'

1
1
4.     2
x
x

8. (cot x)' 

u'



4. Giai thừa: Với n, p  ℕ
n! = 1.2.3…(n-1).n
Qui ước: 0! = 1
n! = (n–1)!n

(au )'  u '.au .ln a

n!
= (p+1).(p+2)…n
p!

* TIẾP TUYẾN CỦA (C): y  f ( x ) .
Gọi M ( x 0 , y0 )  (C )

(với n>p)

n!
= (n–p+1).(n–p+2)…n
(n  p)!

a) PT tiếp tuyến tại M: y  f '( x 0 )( x  x 0 )  y0
b) PTTT có hệ số góc k: Giải phương trình
f '( x 0 )  k  x 0 , y0 ?  PTTT

(với n>p)

Tiếp tuyến (t)//(d)  kt  kd

5. Hốn vị: Kết quả của sự sắp xếp n phần tử
khác nhau theo một thứ tự nào đó gọi là một hốn
vị
của n phần tử đó. Kí hiệu Pn .Ta có cơng thức tính
như sau: Pn = n.(n- 1). . . .2.1= n! (n  N*).

Tiếp tuyến (t )  (d )  kt .kd  1

Chú ý: Hốn vị vòng quanh:

HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần
tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một
hốn vị vòng quanh của n phần tử.

y  f '( x 0 )( x  x 0 )  y0

1. Số phần tử của tập hợp
Số phần tử của tập hợp A = { a, b, c, d} là

Số các hốn vị vòng quanh của n phần tử là:
Qn = (n – 1)!

n(A) = A = 4

A  B = { a, b, c, d, g, h, k }

6. Chỉnh hợp: Cho A là một tập hợp gồm n phần
tử, một tập con của A gồm k (1  k  n) phần tử
khác nhau và được sắp xếp theo một thứ tự nào đó
gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử,
kí hiệu Ank , được tính theo cơng thức:

là n( A  B )  A  B  7

Ank  n( n  1).( n  2).......( n  k  1)

B = { a, c, g, h, k} là n(B) = B = 5

A  B = {a, c} là n( A  B )  A  B  2

A\ B = { b, d } là n(A\B)= |A\B|
7

(1)


Đặng Minh Thế

Ank 

n!
,
 n  k !

Liên hệ giữa
Ann  Pn  n !

(1  k  n)

chỉnh

hợp

và

tổ

(2)

CẤP SỐ CỘNG

hợp:
(3)

1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn
hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với
một số không đổi d.

7. Tổ hợp: Cho A là một tập hợp gồm n phần
tử, một tập con của A gồm k (0  k  n) phần tử
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
n!
C nk , được tính theo công thức: Cnk 
k ! n  k  !

* Số d được gọi là công sai của cấp số cộng .

Ta có các tính chất sau:

2. Số hạng tổng quát:

 Cnk  Cnn  k

3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng:
U  U k 1
với k  2

U k  k 1
2

U n  U 1  n  1 d

 d  U n 1  U n 

 Cnk  Cnk11  Cnk1 (0  k  n)
 Cn0  Cnn  1 , Cn1  Cnn 1  n .

4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
n
n
Sn  U1  U n  hay S n  2U 1  n  1d 
2
2

* Công thức liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ
hợp
Ank  k !Cnk

CẤP SỐ NHÂN

8. Công thức Newton:
( a  b) n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  .....  Cnk a n  k b k  ....  Cnn b n
Tính chất:

+ Trong khai triển của (a+b)n có n+1 số hạng.

* Số q được gọi là công bội

+ Số mũ của a giảm dần từ n đến 0.
+ Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n .

U n 1  U n .q

Ta có :

+ Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn
bằng n
k
n

1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn
hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với
một số không đổi q.
với n  N *

2. Số hạng tổng quát :
U n  U 1 .q n 1

nk
n

+ Các hệ số có tính đối xứng C  C
(Hệ số
các số hạng cách đều hai biên thì bằng nhau)

3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân

U k2  U k 1.U k 1 hay U k  U k 1 .U k 1

+ Số hạng tổng quát của sự khai triển, kí hiệu
là

4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: Cho cấp
số nhân có công bội q khác 1.

Tk + 1, có dạng

Ta có :

Tk 1  Cnk an  k bk , k = 0, …, n

(chỉ số k + 1 là số thứ tự tính từ trái qua phải của
số hạng tương ứng trong sự khai triển).

S n  U1  U 2  ...  U n  U1

+ Tổng các hệ số trong khai triển (a+b)n là :
Cn0  Cn1  Cn2  ........  Cnn  2 n

8

q

n



1
q 1


Đặng Minh Thế
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ABC vuông ở A ta có :
a)

Định lý Pitago : BC 2  AB 2  AC 2

2
2
b) BA  BH .BC ; CA  CH .CB
c) AB. AC = BC. AH

d)
e)
f)

A

1
1
1


2
2
AH

AB
AC 2

b

c

AH 2  HB.HC

BC = 2AM
b
c
b
c
g) sin B  , cosB  , tan B  , cot B 
a
a
c
b
h) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =

M

H

B

C

a

b
b
, b = c. tanB = c.cot C

sin B cos C

2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
a 2  b 2  c 2  2bc cos A

* Định lý hàm số Côsin:

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

* Định lý hàm số Sin:

A

MN // BC

3. Định lý Talet

N

M

a)

AM AN MN


;
AB AC BC

b)

AM AN

MB NC

B

C

3. Diện tích trong hình phẳng
1. Tam giác thường:
a) S =

1
ah
2

p(p  a)(p  b)(p  c) (Công thức Hê-rông)

b) S =

c) S = pr (r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a:

a) Đường cao: h =

a 3
;
2

b) S =

a2 3
4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông:

a) S =

1
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
2

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông)
a) S =

1 2

a (2 cạnh góc vuông bằng nhau)
2

b) Cạnh huyền bằng a 2

9


Đặng Minh Thế
5. Nửa tam giác đều:
A

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

a 3
c) AC =
2

b) BC = 2AB

6. Tam giác cân: a) S =

a2 3
d) S =
8

B

60 o

30 o

C

1
ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
2

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Diện tích hình thang: S 

S = ab (a, b là các kích thước)

8. Hình chữ nhật:
9. Hình thoi:

1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2

1
S  d1d 2 ( d1 , d2 là 2 đường chéo)
2

10. Hình vuông:

a) S  a 2 b) Đường chéo bằng a 2

11. Hình bình hành:

S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

12. Đường tròn: a) C  2 R ; R: bán kính đường tròn)
b) S   R 2 (R: bán kính đường tròn)
A

4. Các đường trong tam giác
1. Đường trung tuyến: G là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
B

2
1
b) BG = BN; BG = 2GN; GN = BN
3
3

N

M
G
P

C

2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

10


Đặng Minh Thế

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
A. QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:

a

Đường thẳng và mặt phẳng
gọi là song song với nhau nếu
chúng không có điểm nào
chung.

a / / (P)  a  (P)  
(P)

II. Các định lý:
d

ĐL1: Nếu đường thẳng d
không nằm trên mp(P) và
song song với đường thẳng a
nằm trên mp(P) thì đường
thẳng d song song với mp(P)

ĐL2: Nếu đường thẳng a

song song với mp(P) thì mọi
mp(Q) chứa a mà cắt mp(P)
thì cắt theo giao tuyến song
song với a.

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến
của chúng song song với
đường thẳng đó.

d  (P)

d / /a  d / /(P)
a  (P)


a/ /(P)

 d / /a
a  (Q)
(P)  (Q)  d


a
(P)

(Q)

a

d

(P)

(P)  (Q)  d

 d / /a
(P)/ /a
(Q)/ /a


11

d
a
Q
P


Đặng Minh Thế

§2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.

(P)/ /(Q) (P) (Q) 

P
Q

II.Các định lý:

ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai
đường thẳng a, b cắt nhau và
cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) và (Q) song song
với nhau.

a,b  (P)

 (P)/ /(Q)
a  b  I
a / /(Q),b / /(Q)


ĐL2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng
song song thì song song với
mặt phẳng kia.

(P) / /(Q)
 a / /(Q)

a  (P)

P

a
b I

Q

a
P
Q

R

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P)
và (Q) song song thì mọi mặt
phẳng (R) đã cắt (P) thì phải
cắt (Q) và các giao tuyến của
chúng song song.

(P) / /(Q)

(R)  (P)  a  a / / b
(R)  (Q)  b


a

P

b

Q

B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa:
a

Một đường thẳng được gọi là
vuông góc với một mặt phẳng
nếu nó vuông góc với mọi
đường thẳng nằm trên mặt

a  mp(P)  a  c, c  (P)
P

12

c


Đặng Minh Thế
phẳng đó.

II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường thẳng
cắt nhau a và b cùng nằm trong
mp(P) thì đường thẳng d vuông
góc với mp(P).

ĐL2: (Ba đường vuông góc)

Cho đường thẳng a không
vuông góc với mp(P) và đường
thẳng b nằm trong (P). Khi đó,
điều kiện cần và đủ để b vuông
góc với a là b vuông góc với
hình chiếu a’ của a trên (P).

d

d  a ,d  b

a ,b  mp(P) d  mp(P)
a,b caét nhau


b
a

P

a

a  mp(P), b  mp(P)
b  a  b  a'
a'

P

b

§2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
II. Các định lý:
ĐL1: Nếu một mặt phẳng chứa
một đường thẳng vuông góc
với một mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông góc với
nhau.

ĐL2: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau thì bất
cứ đường thẳng a nào nằm
trong (P), vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q) đều vuông
góc với mặt phẳng (Q).

Q
a

a  mp(P)
 mp(Q)  mp(P)

a  mp(Q)

P

P

(P)  (Q)


(P)  (Q)  d  a  (Q)
 a  (P),a  d


a

d

13

Q


Đặng Minh Thế
P

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau và A là
một điểm trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và
vuông góc với (Q) sẽ nằm
trong (P)
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến
của chúng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba.

 ( P )  (Q )


 A  (P )
 a  (P )

A

a

 a  (Q )

a
A

Q

P

 (P)  (Q)  a

 a  (R)
 (P)  (R)
 (Q)  (R)


R

§3. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường
thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường

thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu của điểm M
trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

O

O

a

H

P

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song:

a

Khoảng cách giữa đường thẳng a và
mp(P) song song với a là khoảng cách
từ một điểm nào đó của a đến mp(P).

O

H

P

d(a;(P)) = OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
song song:

O
P

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Q

d((P);(Q)) = OH

14

H

H

Q
a


Đặng Minh Thế
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau:

a

là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.

A

b
B

d(a;b) = AB

§4. GÓC

a

a'

1. Góc giữa hai đường thẳng a và b

b'

là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’
cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng
phương với a và b.

b

2. Góc giữa đường thẳng a không
vuông góc với mặt phẳng (P)

a

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó
trên mp(P).
a'

P

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt
phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng a và mp(P) là 900.
3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b

a

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm
trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với
giao tuyến tại 1 điểm

b

Q

P

4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện
tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’
là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên
mp(P’) thì

a

Q

P

S

S'  Scos 

A

trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng
(P),(P’).

C


B

15