Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

NGÔ TRƢỜNG MINH

ĐIỀU KHIỂN CẬN TỐI ƢU CHO
HỆ PHI TUYẾN KHÔNG DỪNG CÓ RÀNG BUỘC

Chuyên ngành: ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

HÀ NỘI - 2015


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

MỤC LỤC

MỤC LỤC ..........................................................................................................................
LỜI CAM ĐOAN ..............................................................................................................
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN HỆ KHÔNG DỪNG ......................................................... 1
1.1

Giới thiệu về hệ phi tuyến không dừng. ............................................................. 1

1.2

Những tính chất động học điển hình .................................................................. 2

CHƢƠNG 2: CÁC PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN CẬN TỐI ƢU CHO HỆ
KHÔNG DỪNG ............................................................................................................. 16
2.1

Đặc điểm của bài toán tối ƣu ............................................................................ 16

2.2

Xây dựng bài toán tối ƣu .................................................................................. 21

2.3

Phƣơng pháp giải bài toán phi tuyến không dừng ............................................ 22

2.4

Hàm Hamilton và tính chất biến phân .............................................................. 24

2.5

Thừa số Lagrange và hàm Hamilton. ............................................................... 32

2.6

Phƣơng pháp giải bài toán ràng buộc Arthur E. Bryson &Yu-Chi Ho ............ 41

2.6.1

Bất đẳng thức ràng buộc về các biến điều khiển. ...................................... 41

2.6.2

Bất phương trình ràng buộc của điều khiển và biến trạng thái ................ 44

2.6.3

Bất đẳng thức ràng buộc về chức năng của các biến trạng thái ............... 45

CHƢƠNG 3 BÀI TOÁN HỆ PHI TUYẾN KHÔNG DỪNG ....................................... 50
3.1

Lời giới thiệu .................................................................................................... 50

3.2

Giải quyết vấn đề .............................................................................................. 51

3.3

Kết quả của bài toán ......................................................................................... 56

3.4

Ví dụ ................................................................................................................. 62

3.5

Kết luận ............................................................................................................. 63

KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN .......................................................................................... 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 65

Ngô Trƣờng Minh – 13BĐKTĐH


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

Danh mục hình vẽ

Hình 1.1 Cấu trúc mô hình của hệ phi tuyến Hamerstein ............................................... 3
Hình 1.2 Tìm nghiệm hệ phương trình (1.3) bằng phương pháp đồ thị .......................... 4
Hình 1.3 Điều kiện để kiểm tra tính ổn định .................................................................... 8
Hình 2.1: Sơ đồ hệ thống điều khiển .............................................................................. 16
Hình 2.2 Nghiệm tối ưu địa phương/ toàn cục............................................................... 17
Hình 2.3 Mô hình động cơ điện một chiều kích từ độc lập ............................................ 19
Hình 2.4 Minh họa công thức biến phân........................................................................ 25
Hình 2.5 Các đường đồng mức và vector gradient ........................................................ 39
Hình 2.6 Cho một bài toán tìm thời gian ngắn nhất (barchistochorone) với một bất
đẳng thức có biến trạng thái bị ràng buộc..................................................................... 47
Hình 2.7 Tìm thời gian ngắn nhất (barchistochorone) với tan   1 với một vài giá trị
2

h / l , biến trạng thái bị ràng buộc .................................................................................. 49

Ngô Trƣờng Minh – 13BĐKTĐH

Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Ngô Trƣờng Minh
Học viên lớp cao học điều khiển và tự động hóa 2013B – trƣờng đại học
Bách khoa Hà Nội.
Xin cam đoan: đề tài “Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng
có ràng buộc” do thầy giáo TS. Đào Phƣơng Nam hƣớng dẫn là của riêng tôi.
“Tôi cam đoan rằng, ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác
nhƣ đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là do chính
tôi thực hiện và chƣa có phần nội dung nào của luận văn này đƣợc nộp để lấy một
bằng cấp ở trƣờng này hoặc trƣờng khác”.

Ngô Trƣờng Minh – 13BĐKTĐH


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN HỆ KHÔNG DỪNG
1.1 Giới thiệu về hệ phi tuyến không dừng.
Thƣờng xu hƣớng đơn giản hóa vấn đề là chỉ nghiên cứu hệ dừng, tuy nhiên
có những bài toán điều khiển không thể tránh đƣợc hệ không dừng. Ví dụ: điều
khiển xe bám đƣờng đi khi đƣờng đi thay đổi (không phải đƣờng thẳng).

Lịch sử nghiên cứu: Phân tích và điều khiển hệ phi tuyến luôn là vấn đề thời
sự, thu hút đƣợc sự quan tâm của những ngƣời làm trong lĩnh vực kỹ thuật hệ
thong. Những phƣơng pháp phân tích và tổng hợp hệ thống trên cơ sở lý thuyết
các hệ thống điều khiển phi tuyến đã đƣa con ngƣời đến gần hơn nữa trong các
ứng dụng thực tế cũng nhƣ khả năng nâng cao đƣợc chất lƣợng cho các hệ thống
điều khiển hiện tại. Nó chính là chiếc cầu nối giữa lý thuyết và thực tiễn. Chính
vì thế, ngay từ khi lý thuyết điều khiển đƣợc khai sinh, mảng lý thuyết các hệ
thống điều khiển phi tuyến đã khẳng định đƣợc vị trí của mình. Nhiều phƣơng
pháp phân tích và điều khiển hệ phi tuyến đã ra đời và phát triển song song cùng
lý thuyết điều khiển tuyến tính cơ bản. Đó là các phƣơng pháp phân tích mặt
phẳng pha, phƣơng pháp phân tích và điều khiển hệ Hammerstein, hệ Wiener,
phƣơng pháp cân bằng điều hòa, lý thuyết Lyapunov hay phƣơng pháp điều
khiển trƣợt. (Tài liệu [1] trang 3)
Đặc biệt trong những năm gần đây, với sự trợ giúp của nhiều ngành khoa học
khác nhau, chuyên ngành phân tích và điều khiển hệ phi tuyến đã có những
bƣớc nhảy vọt về mặt chất lƣợng, cả trong lý thuyết lẫn ứng dụng. Nền móng
cho sự phát triển về mặt lý thuyết trƣớc tiên có thể kể đến là phép đổi trục tọa độ
vi phôi xây dựng trên nền hình học vi phân, đã tạo ra khả năng nghiên cứu, phân
tích hệ phi tuyến theo hƣớng tận dụng các kết quả đã có của điều khiển tuyến
tính…Bên cạnh sự phát triển về chất lƣợng trên, trƣờng phái phân tích và điều
khiển hệ phi tuyến kinh điển cũng đã đƣợc bổ sung thêm nhiều kỹ thuật hữu ích
khác rất gần với ứng dụng, nhƣ kỹ thuật gain –scheduling, kỹ thuật điều khiển

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

1


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

dự báo theo mô hình (Model Predictiv Control - MPC)… Không những thế, lý
thuyết các hệ thống điều khiển phi tuyến đã còn đƣợc ứng dụng thành công cho
lớp đối tƣợng phi tuyến có tính chất động học đặc biệt nhƣ các hệ thụ động, các
hệ hồi tiếp chặt tham số, hệ tiêu tán…Sự tiến bộ to lớn của chuyên ngành phân
tích và điều khiển hệ phi tuyến cần phải nhanh chóng ứng dụng vào thực tiễn.
Đó cũng là điều mà tác giả khi trình bày luận văn này với tên đề tài là “ Điều
khiển cận tối ƣu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc”.
Đây là một luật điều khiển có phản hồi xây dựng bài toán theo phƣơng pháp
gần đúng cho hệ điều khiển tối ƣu. Đƣợc áp dụng cho đối tƣợng hệ phi tuyến
không dừng có thời gian ràng buộc tới hệ điều khiển cho hệ bất phƣơng trình.
Đây là một luật điều khiển có hiệu quả khi hệ thống có nhiễu loạn dẫn đến sự sai
lệch so với giá trị đặt ban đầu khi mô hình không bền vững.
1.2 Những tính chất động học điển hình
Tất nhiên chúng ta khó có thể tìm hiểu sâu đƣợc đối tƣợng tới mức trả lời hết
đƣợc tất cả những câu hỏi về chất lƣợng động học của nó, tuy nhiên có một số
câu hỏi cơ bản về chất lƣợng điển hình của đối tƣợng nói riêng và hệ thống nói
chung mà bất cứ một bài toán phân tích nào cũng phải trả lời đƣợc, đó là các câu
hỏi về:
- Điểm trạng thái cân bằng và điểm trạng thái dừng
- Tính ổn định của hệ tại những điểm cân bằng đó
- Khả năng tự dao động của hệ cũng nhƣ tần số, biên độ và tính ổn định của
các dao động này
- Có hay không hiện tƣợng hỗn loạn trong hệ
- Có hay không khả năng phân nhánh trong hệ
- Và những tính chất khác nhƣ bậc tƣơng đối, tính động học không …
Điểm trạng thái cân bằng và điểm dừng. Đƣơng nhiên, sẽ hoàn hảo nếu ta có
đƣợc các kết luận về tính chất động học của hệ thống cho toàn bộ không gian
trạng thái (không gian vector của trạng thái

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

2

x

) Song rất có thể là điều đó là


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

không thực hiện đƣợc. Nếu nhƣ vậy, ngƣời ta đành phải chấp nhận khảo sát tính
chất của hệ trong một số vùng trạng thái đặc biệt mang tính chất điển hình và
một trong các vùng đó là lân cận của những điểm trạng thái cân bằng và điểm
trạng thái dừng. (Tài liệu [1] trang 35)
d x
  f ( x, u )
Định nghĩa 1.1: Xét hệ phi tuyến dừng  dt
Khi đó
 y  g ( x, u )


a) Điểm trạng thái cân bằng x e (equilibrium point) là điểm trạng thái mà tại đó
và nếu không bị kích thích ( u  0 ) hệ sẽ không thay đổi trạng thái. Nhƣ vậy
điểm trạng thái cân bằng x e sẽ chính là nghiệm của :

dx

 f ( x, u )
0
dt
u 0

(1.1)
b) Điểm trạng thái dừng x d là điểm trạng thái mà tại đó và với một kích thích cố
định u  u d cho trƣớc, hệ sẽ không thay đổi trạng thái. Nhƣ vậy điểm trạng
thái dừng x d là nghiệm của : d x  f ( x, u )
dt

0

(1.2)

u  ud

Ví dụ: Xác định điểm trạng thái dừng cho hệ Hammerstein

Hình 1.1 Cấu trúc mô hình của hệ phi tuyến Hamerstein
Xét hệ phi tuyến Hamerstein có cấu trúc nhƣ hình vẽ. Giả sử khâu tuyến tính
với hàm truyền G(s) có G(0) là hữu hạn. Do khâu phi tuyến là khâu tĩnh nên các
trạng thái

x

của hệ Hamerstein cũng chính là trạng thái của khâu tuyến tính

G(s). Giả sử hệ đang ở trạng thái dừng x d , tức là ứng với tín hiệu vào  (t )  d

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

3


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

xác định cho trƣớc, sẽ có d x d  0 . Khi đó các tín hiệu có bên trong hệ là e(t),
dt

u(t) và y(t) cũng sẽ xác lập tại các giá trị dừng ed , ud , yd và giữa chúng có quan
hệ: ud  f (ed ) , yd  G(0)ud và ed  d  yd

 ud  f (ed ) và ed  d  G(0)ud

(1.3)

Giải hệ phƣơng trình (1.3) ta đƣợc nghiệm (ud, ed) của bài toán. Hình 1.2
minh họa cách tìm nghiệm bằng phƣơng pháp đồ thị. Nghiệm (ud, ed) của bài
toán xác định điểm dừng cho hệ Hammerstein chính là giao điểm của hai đồ thị
u = f(e) và e  d  G(0)u
Số các điểm dừng cũng là số các giao điểm đó. Nhƣ vậy, tùy thuộc vào hệ
mà cụ thể là khâu phi tuyến tĩnh và vào khâu tuyến tính động cũng nhƣ vào tín
hiệu đầu cho trƣớc  (t )  d , bài toán có thể vô nghiệm (hệ không có điểm
trạng thái dừng ứng với  (t )  d ), song cũng có thể có một hay nhiều điểm
trạng thái dừng.

Hình 1.2 Tìm nghiệm hệ phương trình (1.3) bằng phương pháp đồ thị

Tiêu chuẩn xét tính ổn định cho hệ không dừng
Xét tính ổn định của hệ không dừng, cân bằng tại gốc và có mô hình không
bị kích thích, không dừng có mô hình: d x  f ( x, t) với f (0, t )  0 , t  0 thỏa
dt

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

4


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

mãn mọi điều kiện đầu x(t0 )  x0   .Để thực hiện đƣợc điều này, ngƣời ta đƣa
thêm vào một số khái niệm sau: (Tài liệu [1] trang 80)
Định nghĩa 1.2:
a) Hàm thực  (r ), r  0 đƣợc gọi là thuộc lớp K nếu nó đơn điệu tăng và
 (0)  0 Nếu còn có lim  (r )   thì hàm  (r ) đƣợc gọi là thuộc lớp
r 

b) Hàm nhiều biến

V ( x, t )

K

đƣợc gọi là hợp thức nếu tồn tại hai hàm  1 ,  2 thuộc

lớp K sao cho  1 ( x )  V ( x, t )   2 ( x )
c) Hàm thực, đơn điệu giảm  ( z), z  0 thỏa lim  ( z )  0 đƣợc gọi là thuộc lớp L
z 
d) Hàm thực, liên tục  ( z, t ) với z, t  0 sẽ đƣợc gọi là thuộc lớp KL nếu khi t
cố định thì nó thuộc lớp K và khi z cố định thì nó thuộc lớp L
e) Hàm thực, liên tục  ( z, t ) với z, t  0 sẽ đƣợc gọi là thuộc lớp KL∞ nếu khi t
cố định thì nó thuộc lớp K∞ và khi z cố định thì nó thuộc lớp L
Ngoài ra, định lý Lyapunov có phát biểu:cho hệ tự trị
dx
 f ( x) ,
dt

x  n và f (0)  0 . Gọi V ( x) thỏa mãn

- Xác định dƣơng, tức là

V ( x)  0 , V ( x)  0 và V ( x)  0

- Đơn điệu tăng theo x và có lim V ( x)  
x 
Ký hiệu: W(t ) 
a) Nếu

W( x)

(1.4)
(1.5)
(1.6)

d.n

dV V ( x)

f ( x)  L f V ( x) ký hiệu đạo hàm Lie. Khi đó:
dt
x

xác định dƣơng trong một lân cận  của gốc thì hệ là ổn định tiệm

n
cận tại gốc tọa độ với miền ổn định  . Nếu có thêm    thì hệ là ổn định

tiệm cận toàn cục (GAS – global asymptotically stable).
b) Khi

W( x)  0 ,  x  

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

( xác định bán dương) thì hệ là ổn định tại gốc tọa độ.

5


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

Ta còn nhận thấy khi hệ đã ổn định tiệm cận hoặc ổn định, thì hoặc sẽ có
x(t )  0

0
hoặc nó sẽ ở lại trên một đƣờng đồng mức nào đó bao gốc (  90 ) ,

nếu nhƣ nó không tiến về gốc tọa, nên cũng sẽ luôn có lim dV  0 . Suy ra:
t 

dt

Định lý (LaSalle): Xét hệ phi tuyến không bị kích thích và cân bằng tại gốc
mô tả bởi (tài liệu [1] trang 80)
dx
 f ( x, t) với
dt

Ký hiệu

V ( x, t )

f (0, t )  0 , t  0 .

(1.7)

là hàm trơn thỏa mãn (hàm hợp thức):

 1 ( x )  V ( x, t )   2 ( x ) với  1 ,  2  K và t  t0

(1.8)

Và  là một miền hở nào đó chứa gốc tọa độ, cũng nhƣ:

dV V V
V


f ( x, t ) 
 L f V ( x, t )   W( x, t )
dt t  x
t
a) Nếu

W( x, t )  0 với

mọi

x 

(1.9)

và với mọi t  t0 thì hệ sẽ ổn định tại t0 .

b) Nếu W( x, t )   ( x ) với x   , t  t0 và   K thì hệ sẽ ổn định tiệm cận tại t0
với miền ổn định  và khi đó hàm

V( x, t ) sẽ

đƣợc gọi là Hàm Lyapunov.

c) Nếu hệ ổn định hoặc ổn định tiệm cận thì sẽ luôn có lim W( x, t )  0
t 

Chứng minh: (Tài liệu [1] trang 81)
a) Từ (1.9) ta suy ra hàm

V( x, t ) không

tăng theo t . Vậy cũng phải có với mọi

t  t0 : V( x(t ), t)  V ( x(t0 ), t0 )  V ( x0 , t0 )
Bây giờ ta chọn một số dƣơng



tùy ý. Vì  1 (r ),  2 (r ) thuộc lớp K nên luôn

tồn tại một hằng cố dƣơng  ( , t0 ) khác thỏa mãn  1 ( )   2 ( ) . Gọi

x(t ) là

quỹ đạo trạng thái có điểm đầu x(t0 )  x0   thỏa mãn x0   ( , t0 ) . Vậy thì:

 1 ( )   2 ( )  V( x0 , t 0 )  V( x(t), t)

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

6

một


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

Nói cách khác, quỹ đạo trạng thái

x(t ) đi

từ x 0 không thể ra ngoài lân cận



đƣợc nữa, vì nếu không, với x   ta sẽ thu đƣợc điều nghịch lý:
V ( x, t )   1 ( x )   1 ( ) Vậy hệ ổn định tại 0 (đ.p.c.m)

b) Với W( x, t )   ( x )  0 thì hệ là ổn định. Ngoài ra, khi

x  0 thì

với  ( x )  0

0
hay L f V ( x, t )   ( x )  0 vẫn phải có góc   90 nên quỹ đạo trạng thái

vẫn cắt các đƣờng đồng mức của

V( x, t ) từ

x(t )

ngoài vào trong. Do đó ta sẽ có

thêm lim x(t )  0 .
t 

c) Vì hệ ổn định nên có x   . Do

V( x, t )

không tăng theo t nên

V( x, t )

cũng



bị chặn, hay

 W( x, t ) dt   lim V( x, t ) là một số hữu hạn. Vậy, theo định lý

t0

t 

Barbalat, cần để tích phân vô hạn hội tụ là hàm dƣới dấu tích phân phải tiến
về 0, ta có điều phải chứng minh.
Đƣơng nhiên định lý LaSalle hoàn toàn áp dụng đƣợc cho hệ không dừng với
mô hình (1.7), còn gọi là hệ bất biến theo thời gian. Vậy nên tiêu chuẩn
Lyapunov (định lý 1.7) chỉ là một trƣờng hợp riêng của định lý LaSalle và trong
nhiều tài liệu, đƣợc gọi là trƣờng hợp bất biến của LaSalle

Tiêu chuẩn Lyapunov và định lý LaSalle chỉ là điều kiện đủ. Điều này nói
rằng nếu ta không tìm đƣợc một hàm Lyapunov cho hệ thì vẫn không ổn định
(không tìm đƣợc không có ngĩa là nó không tồn tại). Chỉ tới khi ta chứng minh
đƣợc rằng thực sự không tồn tại hàm Lyapunov thì mới có thể khẳng định đƣợc
là hệ không ổn định.
Mặc dù không khẳng định đƣợc hệ (1.7) có ổn định hay không khi ta không
tìm ra đƣợc một hàm Lyapunov

V ( x, t )

cụ thể, song hoàn toàn tƣơng tự ta có thể

đƣa ra một điều kiện đủ để kiểm tra tính không ổn định của hệ (1.7)

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

7


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

Hình 1.3 Điều kiện để kiểm tra tính ổn định
Xét một hàm

V ( x, t ) hợp

thức có vector gradient luôn chỉ từ trong ra ngoài

trong toàn bộ không gian trạng thái Hình 1.3 nếu đạo hàm
dV V

 L f V ( x, t )  0
dt
t

Của

V ( x, t ) tính

(1.10)

dọc theo quỹ đạo trạng thái của hệ (1.7) là số dƣơng thì quỹ

đạo trạng thái của hệ sẽ phải luôn cắt các đƣờng đồng mức của
hƣớng từ trong ra ngoài, do đó nó sẽ phải tiến tới

.

V ( x, t )

theo

Suy ra:

Định lý: hệ (1.7) sẽ không ổn định Lyapunov tại 0 nếu tồn tại hàm hợp phức
V ( x, t )

và đạo hàm (1.10) của nó xác định dƣơng. (Tài liệu [1] trang 82)

Khác với tiêu chuẩn Lyapunov (định lý 1.47) mà ở đó hàm V ( x) chỉ cần thỏa
mãn hai tích chất (1.5) và (1.6) thì ở định lý LaSalle, hàm

V ( x, t ) phải

là hàm

hợp thức, túc là thỏa mãn (1.8). Ta có thể dễ dàng thấy điều kiện hợp thức (1.8)
chứa đựng luôn cả hai điều kiện (1.5) và (1.6), nhƣng điều ngƣợc lại thì không.
Điều này dẫn tới việc nếu chỉ sử dụng một hàm

V ( x)

thỏa mãn (1.5) và (1.6)

cho hệ không dừng (1.7) thay cho hợp thức (1.9) khi áp dụng đính lý LaSalle sẽ
rất có thể dẫn đến những kết quả sai lầm.
Ví dụ: Xét hệ tự trị, không dừng:

dx d  (t ) x

dt
dt  (t )

Dễ thấy ngay đƣợc hệ có quỹ đạo trạng thái:

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

8

Luận văn tốt nghiệp

0

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

dx
d
d x
x
  2    x(t )  c (t ) , c là hằng số
dt
dt
dt   

Do đó nếu hàm  (t ) bị chặn nhƣng không tiến về 0, hệ sẽ ổn định (không ổn
định tiệm cận). Chọn một hàm nhƣ vậy và thỏa mãn thêm:
t

  ( ) d , t
2

0
t
2


Thì hàm : V1 ( x, t )  x 2      ( )2 dt  là xác định dƣơng (nhƣng không hợp

 (t ) 



0

thức). Với hàm xác định dƣơng này ta có:
t

dV1 2 x(dx / dt ) 2  2 x 2 (d  / dt ) 
2
2
2




(

)
dt

  x  x
4

dt

0




Xác định âm, song hệ chỉ là ổn định chứ không ổn định tiệm cận.
Tƣơng tự, nếu ta lại chọn hàm xác định dƣơng (không hợp thức)
t

V2 ( x, t ) 

x2
 ( ) 2 dt Thì tuy rằng đạo hàm của nó:
 (t )2 0

dV2 2 x(dx / dt ) 2  2 x 2 (d  / dt )

 ( )2 dt  x 2  x 2
4

dt

0
t

Là xác định dƣơng nhƣng hệ lại ổn định.
Ổn định tiệm cận đều và ổn định theo hàm mũ. (Tài liệu [1] trang 83)
Với tiêu chuẩn Lyapunov cho hệ tự trị, dừng hay định lý LaSalle cho hệ
không tự trị, không dừng (1.7) ta có thể kiểm tra đƣợc tính ổn định tiệm cận tại
0

của một hệ phi tuyến nói chung, tuy nhiên lại vẫn không biết đƣợc dạng tiến

về 0 của quỹ đạo trạng thái tự do

x(t ) của

nó, do đó cũng không thể kết luận đƣợc

về chất lƣợng ổn định của nó, chẳng hạn vẫn không thể biết đƣợc nó ổn định
nhanh hay chậm, có ổn định đều hay không hoặc trƣớc khi tiến về

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

9

0

có khi nào


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

nó rời xa điểm gốc tọa độ hay không … Để khắc phục nhƣợc điểm này ngƣời ta
đã đƣa ra một vài tiêu chuẩn để đánh giá chất lƣợng ổn định của hệ nhƣ:
- Hệ (1.7) ổn định càng nhanh nếu nó có giá trị W( x) với
khi đó góc cắt  giữa quỹ đạo trạng thái tự do
(nếu

x(t )

x(t ) và

x  0 càng

lớn, vì

đƣờng đồng mức cao

càng cắt vuông góc với đƣờng đồng mức, nó sẽ tiến về 0 càng

nhanh).
- Hệ là ổn định đều theo nghĩa nếu có t1  t2 thì cũng có x(t1 )  x(t2 ) khi giá trị
W( x, t ) là đơn điệu theo t .

Song những tiêu chuẩn đánh giá này, do dựa chủ yếu vào dạng hàm hợp thức
V( x, t ) đƣợc

chọn, nên chỉ mang tính định tính và không thể đƣợc gọi là đã đánh

giá đúng chất lƣợng ổn định của hệ.
Mong muốn có những tiêu chuẩn đánh giá chất lƣợng ổn định hệ phi tuyến
một cách thống nhất và chính xác, ngƣời ta đã so sánh với tính ổn định của hệ
tuyến tính, xác định xem quỹ đạo trạng thái tự do của hệ tuyến tính ổn định có
những đặc điểm gì để từ đó đặt ra những khái niệm và chất lƣợng ổn định cho hệ
phi tuyến nói chung.
Xét hệ tuyến tính ổn định (tiệm cận) với mô hình không bị kích thích:
dx
 Ax , A là ma trận bền ( có tất cả giá trị riêng nằm bên trái trục ảo)
dt
At

Khi đó nghiệm x(t )  e x0 với x0  x(0) là trạng thái đầu, sẽ có các tính chất

sau:
- Luôn có
x(t )   x0  với   K và t  0 , vì x(t )  e At

đó   e At là số thực dƣơng hữu hạn (vì A bền).

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

10

x0  e At x0   x0 trong


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

- Nếu tất cả các giá trị riêng của A là những số thực thì sẽ có x(t )   ( x0 , t )
với   KL và t  0 , vì khi t1  t2 thì e At  e At
1

2

Tƣơng ứng, trong hệ phi tuyến ngƣời ta cũng có các định nghĩa về chất lƣợng
quỹ đạo trạng thái tự do của một hệ phi tuyến ổn định nhƣ sau:
Định nghĩa 1.3: Xét hệ phi tuyến không dừng, cân bằng tại gốc và có mô
hình không bị kích thích (1.7). Khi đó hệ sẽ đƣợc gọi là: (Tài liệu [1] trang 84)
a) ổn định đều tại t0 (uniformly stabil) nếu tồn tại miền  và hàm   K để có

x(t )   ( x0 ) với mọi t  t0 và x(t0 )  x0  

b) ổn định toàn cục tại t0 nếu nó ổn định đều với miền ổn định  là toàn bộ
không gian trạng thái và   K .
c) Ổn định tiệm cận đều tại t0 nếu tồn tại miền  chứa gốc tọa độ (miền ổn định)
và hàm   KL để có:
x(t )   ( x0 , t  t0 ) với mọi t  t0 và x(t0 )  x0  

d) Ổn định tiệm cận đều toàn cục tại t0 nếu nó ổn định tiệm cận đều với miền
ổn định  là toàn bộ không gian trạng thái và   KL
e) Ổn định theo hàm mũ tại t0 nếu nó ổn định tiệm cận đều toàn cục và thỏa mãn

 ( x0 , t  t0 )   x0 eb(t t0 ) với  , b là hai số dƣơng và x(t0 )  x0  
f) Ổn định toàn cục theo hàm mũ nếu nó ổn định theo hàm mũ, có  là toàn bộ
không gian trạng thái.
Trong định nghĩa trên ta có đề cập tới khái niệm ổn định tại t0 . Đây là khái
niệm ổn định Lyapunov đƣợc bổ sung thêm cho hệ không dừng (1.7) và thực
chất đƣợc xác định ở thời điểm t0 theo nghĩa: Hệ không dừng (1.7) sẽ ổn định
đều nếu với mọi   0 và với mọi t0 bất kỳ bao giờ cũng tồn tại  ( ) chỉ phụ

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

11


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

thuộc  (chứ không phụ thuộc t0 ) sao cho quỹ đạo trạng thái tự do

x(t ) của

nó với

điều kiện đầu x(t0 )  x0   , luôn thỏa mãn: x0   ( )  x(t )   , t  t0
Rõ ràng hệ đã ổn định đều thì cũng sẽ ổn định Lyapunov, song ngƣợc lại thì
không phải lúc nào cũng đúng. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ: Xét hệ không dừng có mô hình không bị kích thích: (Tài liệu [1] trang
85)
dx
x

dt t  1

Hệ này có quỹ đạo trạng thái tự do:
x(t ) 

1  t0
x(t0 )
1 t

Thỏa mãn x(t )  x(t0 ) khi t  t0 (bị chặn) và lim x(t )  0 , nên nó là ổn định
t 8

tiệm cận (toàn cục) theo nghĩa Lyapunov, song lại không ổn định đều, vì với
mọi   0 ta không xác định đƣợc  không phụ thuộc t0 .
Định lý: Xét hệ phi tuyến không bị kích thích và cân bằng tại gốc mô tả bởi
(1.7). Ký hiệu

V ( x, t )

là hàm trơn thỏa mãn: (Tài liệu [1] trang 85)

 1 ( x )  V ( x, t )   2 ( x ), t  0
V V

f ( x, t )   3 ( x ), t  0
t  x
Với mọi x thuộc lân cận    x  n x    . Khi đó hệ sẽ:
a) Ổn định đều nếu  1 (r ),  2 (r )  K và  3 (r )  0 khi r [0,  )
b) Ổn định tiệm cận đều nếu  1 (r ),  2 (r ) và  3 (r ) đều là những hàm thuộc lớp K
khi r [0,  )

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

12


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

c) Ổn định tiệm cận đều toàn cục nếu  1 (r ),  2 (r ) và  3 (r ) là những hàm thuộc
lớp K  và  không phụ thuộc



a
d) Ổn định theo hàm mũ nếu  i (r )  ki r khi r [0,  ) và a  0 với i  1, 2,3

e) Ổn định tiệm cận toàn cục theo hàm mũ nếu  không phụ thuộc  và c) đúng
với mọi   0
Chứng minh: Do hàm

V ( x, t ) với

các tính chất đã nêu trên thỏa mãn điều kiện

(1.8) và (1.9) của định lý LaSalle với mọi t0  0 nên ta có ngay khẳng định a).
Khẳng định b) đƣợc suy ra từ kết quả của định lý LaSalle vì  3 ( x ) là xác định
dƣơng. Khẳng định c) là hiển nhiên. Với d) thì hệ ổn định đều và có
x (t )  m x0 e at với mọi x 0   và m là một số dƣơng thích hợp

Định lý Khalil: Xét hệ (1.7). ký hiệu

V ( x, t ) là

hàm trơn thỏa mãn: (Tài liệu

[1] trang 86)
a x  V ( x, t )  b x với a,b,k >0 và t
k

k

Nếu có : V  L f V ( x, t )   c x k với c  0, x   và t
t

(1.11)

Thì hệ (1.7) sẽ ổn định (địa phƣơng) theo hàm mũ. Nếu (1.11) còn thỏa mãn
với mọi hằng số dƣơng  thì tính ổn định đó sẽ là toàn cục.
Chứng minh:
Từ (1.11) ta có

dV V V
c
k


f ( x, t )   c x   V ( x, t ) hay dV   c V ( x, t )
dt t  x
b
dt
b

Nhƣng do b, c>0 nên điều kiện đầu V ( x(t0 ), t0 )  V ( x0 ), t0 )  V0 ta cũng sẽ có
nghiệm

V ( x), t )

của bất phƣơng trình vi phân trên thỏa mãn:

V ( x, t )  ec /b )(t t0 ) V0  V ( x, t )  ec /b )(t t0 ) b x0

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

13

k


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

1/ k

a x e
k

 c / b )( t t0 )

b x0

k

b
 x(t )   
a

x 0 e ( c / bk )(t t0 )

Định lý Lipschitz : Cần và đủ để hệ không dừng (1.7) với vector hàm f ( x, t )
thỏa mãn Lipschitz, ổn định (địa phƣơng) theo hàm mũ tồn tại hàm

V ( x, t)

sao

cho:

2
2

a
x

V
(
x
,
t
)

b
x
a, b  0

 V
2
 L f V ( x, t )  c x c  0, x   , t  0

 t

V ( x, t )
 d x ,d  0



x


(1.12)

Chứng minh:
Điều kiện đủ đƣợc suy ra một cách hoàn toàn tƣơng tự nhƣ ở phần chứng
minh định lý Khalil. Chẳng hạn từ (1.12) ta có ngay:
c
c
 ( t t0 )
dV
c
2  ( t  t0 )
  V  V ( x, t )  V( x0 , t 0 )e b
 b x0 e b
với x0  x(t0 )
dt
b

Suy ra: a x(t )  V ( x, t )  b x 0 e
2

2

c
 ( t t0 )
b

c

 ( t t0 )
b
2b
 x(t ) 
x0 e
a

Chuyển sang điều kiện cần, ta phải chỉ rằng nếu quỹ đạo trạng thái tự do

x(t )

của hệ (1.7) thỏa mãn:
x(t )  q x0 e p (t t0 ) với p  0, q  0 và x0  x(t0 )

Thì sẽ tồn tại hàm

V ( x, t) có

ba tính chất nêu trong (1.12). Và để làm đƣợc

f
điều này, ta sẽ sử dụng lại ký hiệu  ( x) chỉ nghiệm của phƣơng trình vi phân

(1.7) tại thời điểm  ứng với điều kiện ban đầu

x  x(t )

Cùng với ký hiệu đó, ta xây dựng hàm xác định dƣơng.

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

14

tùy ý nhƣng cho trƣớc.


Luận văn tốt nghiệp

t T

V ( x, t ) 



Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

2

f ( x) d

t

Có T>0 là hằng số thời gian tùy chọn. Từ giả thiết rằng hệ là ổn định (địa
phƣơng) theo hàm mũ ở đây ta phải có:
x e L ( t )  f ( x)  q x e p ( t ) ,  x  

Trong đó L là hằng số Lipschitz của vector hàm f ( x, t ) , định nghĩa bởi. Rõ
ràng hàm

V ( x, t)

này thỏa mãn bất phƣơng trình thứ nhất trong (1.12) ứng với:

2 pT
1  e2/T
2 1 e
a
,b  q
2L
2p

Tiếp tục, ta tính đạo hàm của hàm

V ( x, t) theo

t sẽ đƣợc:

2
2
dV ( x, t)
2
 tfT ( x)  tf ( x)  (1  q 2e2 pT ) x
dt

2 2 pT
Sẽ thấy điều kiện thứ hai trong (1.12) là đƣợc thỏa mãn với c  1  q e
.

Cuối cùng, khi tính đạo hàm của
t T

V ( x, t)
2
xk
t

V ( x, t)

n

f ( x)(i )

i 1

xk

 f ( x)(i )

T
theo x  ( x1 , x2 ,...xn ) ta sẽ có:

d

f
Trong đó f ( x)(i ) , i  1, 2,..., n là ký hiệu chỉ phần tử thứ i của  ( x) . Ký

hiệu tiếp Q  (qki ),A  (aki ) là hai ma trận kiểu
qki 

f ( x)(i )

Nên :

xk

, aki 

n  n có

các phần tử qki , aki là:

f k ( x, t)
thì do: dQ  AQ  Q  ek ( t ) trong đó A   k
xi
dt

t T
2q(e( k  p )T  1)
V ( x, t)
( k  p )( t )
d

với
 2  q xe
d
k q
x
t

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

15


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

CHƢƠNG 2: CÁC PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN CẬN TỐI ƢU CHO
HỆ KHÔNG DỪNG
2.1 Đặc điểm của bài toán tối ƣu
a) Khái niệm
Một hệ điều khiển đƣợc thiết kế ở chế độ làm việc tốt nhất là hệ luôn ở trạng
thái tối ƣu theo một tiêu chuẩn chất lƣợng nào đó (đạt đƣợc giá trị cực trị).
Trạng thái tối ƣu có đạt đƣợc hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lƣợng đặt ra,
vào sự hiểu biết về đối tƣợng và các tác động lên đối tƣợng, vào điều kiện làm
việc của hệ điều khiển…

Hình 2.1: Sơ đồ hệ thống điều khiển
Trong đó:

-  :tín hiệu đầu vào
-

u

: Tín hiệu điều khiển

- y : tín hiệu đầu ra
-

e  z

-

n1 , n 2

: tín hiệu sai lệch

: tín hiệu nhiễu

Chỉ tiêu chất lƣợng Q của một hệ thống có thể đƣợc đánh giá theo sai lệch
của đại lƣợng đƣợc điều khiển y so với trị số mong muốn  , lƣợng quá điều
khiển (trị số cực đại  max so với trị số xác lập  (∞) tính theo phần trăm), thời
gian quá độ… hay theo một chỉ tiêu hốn hợp trong điều kiện làm việc nhất định
nhƣ hạn chế về công suất, tốc độ, gia tốc… Do đó việc chọn một luật điều khiển

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

16


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

và cơ cấu điều khiển để đạt đƣợc chế độ làm việc tối ƣu cón tùy thuộc vào lƣợng
thông tin ban đầu mà ta có đƣợc.
Ở đây chúng ta có thể thấy đƣợc sự khác biệt của chất lƣợng tối ƣu khi lƣợng
thông tin ban đầu thay đổi (Hình 2.2)

Hình 2.2 Nghiệm tối ưu địa phương/ toàn cục
Khi tín hiệu điều khiển u giới hạn trong miền [u1, u2], ta có đƣợc giá trị tối ƣu
cực đại Q*1 của chỉ tiêu chất lƣợng J ứng với tín hiệu điều khiển u*1 .
Khi tín hiệu điều khiển u không bị ràng buộc bởi điều kiện u1 ≤ u ≤u2, ta có
giá trị tối ƣu Q*2 > Q*1 ứng với u2*. Nhƣ vậy giá trị tối ƣu thực sự bây giờ là Q*2.
Tổng quát hơn, khi ta xét bài toán trong một miền [um , un] nào đó và tìm
đƣợc giá trị tối ƣu Q*1 thì đó là giá trị tối ƣu cục bộ. Nhƣng khi bài toán không
có điều kiện ràng buộc đối với u thì giá trị tối ƣu là Q* = extremum (Q*i) với Q*i
là các giá trị tối ƣu cục bộ, giá trị Q* chính là giá trị tối ƣu toàn cục.
Điều kiện tồn tại cực trị:
- Đạo hàm bậc một của Q theo u phải bằng 0 :

𝜕𝑄
𝜕𝑢

=0

- Xét giá trị đạo hàm bậc hai của Q theo u tại điểm cực trị:
𝜕2𝑄
𝜕𝑢 2
𝜕2𝑄
𝜕𝑢 2

> 0 : điểm cực trị là giá trị cực tiểu
< 0 : điểm cực trị là giá trị cực đại

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

17

Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

b) Điều kiện thành lập bài toán tối ƣu
Để thành lập bài toán tối ƣu thì yêu cầu đầu tiên là hệ thống phải có đặc tính
phi tuyến có cực trị.
Bƣớc quan trọng trong việc thành lập một hệ tối ƣu là xác định chỉ tiêu chất
lƣợng Q. Nhiệm vụ cơ bản ở đây là bảo đảm cực trị của chỉ tiêu chất lƣợng Q.
Ví dụ nhƣ khi xây dựng hệ tối ƣu tác động nhanh thì yêu cầu đối với hệ là nhanh
chóng chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác với thời gian quá độ nhỏ
nhất, nghĩa là cực tiểu hóa thời gian quá độ. Hay khi tính toán động cơ tên lửa
thì chỉ tiêu chất lƣợng vƣợt đƣợc khoảng cách lớn nhất với lƣợng nhiên liệu đã
cho.
Chỉ tiêu chất lƣợng Q phụ thuộc vào tín hiệu ra x(t), tín hiệu điều khiển u(t)
và thời gian t. Bài toán điều khiển tối ƣu là xác định tín hiệu điều khiển u(t) làm
cho chỉ tiêu chất lƣợng J đạt cực trị với những điều kiện hạn chế nhất định của u
và x .
Chỉ tiêu chất lƣợng J thƣờng có dạng nhƣ sau:
𝑇

𝑄=

𝐿 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡
0

Trong đó L là một phiếm hàm đối với tín hiệu x, tín hiệu điều khiển u và thời
gian t.

Ví dụ: Về bài toán điều khiển động cơ điện một chiều kích từ độc lập kt =
const với tín hiệu điều khiển u là dòng điện phần ứng iu và tín hiệu ra x là góc
quay  của trục động cơ.
Ta có phƣơng trình cân bằng moment của động cơ:
𝑘𝑀 𝑖𝑢 − 𝑀𝑐 = 𝑀𝑞
𝜔=

𝑑𝜔

(2.1)

𝑑𝑡

𝑑𝜑

(2.2)

𝑑𝑡

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

18


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

Hình 2.3 Mô hình động cơ điện một chiều kích từ độc lập
Trong đó kM = CM = const; Mq là moment quán tính;  là tốc độ góc;  là

góc quay. Giả sử bỏ qua phụ tải trên trục động cơ (Mc = 0) thì :
𝑘𝑀 𝑖𝑢 = 𝑀𝑞

𝑑2𝜔

(2.3)

𝑑𝑡 2

Nếu xét theo thời gian tƣơng đối bằng cách đặt: 𝜏 = 𝑡
Thì (2.3) có dạng:
Từ đó ta có :

𝑑2𝑥
𝑑𝜏 2

𝑑2𝜑
𝑑𝜏 2

𝑘𝑀
𝑀𝑞

= 𝑖𝑢

(2.4)

= 𝑢

(2.5)

Vậy phƣơng trình trạng thái của động cơ điện là một phƣơng trình vi phân
cấp hai.
 Bài toán tối ƣu tác động nhanh ( thời gian tối thiểu) :
Tím luật điều khiển u(t) với điều kiện hạn chế 𝑢 ≤ 1 để động cơ quay từ vị
trí ban đầu có góc quay và tốc độ đều bằng 0 đến vị trí cuối cùng có góc quay
bằng 0 và tốc độ bằng 0 với một khoảng thời gian ngắn nhất.
Vì cần thời gian ngắn nhất nên chỉ tiêu chất lƣợng Q sẽ là:
𝑇

𝑄=

𝐿 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑇
0

Rõ ràng từ phƣơng trình trên ta phải có L[x(t), u(t),t] = 1.

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

19


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

Nhƣ vậy, đối với bài toán tối ƣu tác động nhanh thì chỉ tiêu chất lƣợng Q có
dạng: 𝑄 =

𝑇
0

1𝑑𝑡 = 𝑇

 Bài toán năng suất tối ƣu:
Năng suất ở đay đƣợc xác định bởi góc quay lớn nhất của động cơ trong thời
gian T nhất định. Khi đó chỉ tiêu chất lƣợng J có dạng:
𝑄=

𝑇
𝐿
0

𝑇
𝜑
0

𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 = 𝜑 𝑇 − 𝜑0 =

𝑡 𝑑𝑡

Do đó L[x(t), u(t),t] = 𝜑 𝑡 = 𝑥 (𝑡) và ta có chỉ tiêu chất lƣợng Q đối với bài
𝑇
0

toán năng suất tối ƣu nhƣ sau: 𝑄 =

𝑥 𝑡 𝑑𝑡

 Bài toán năng lƣợng tối thiểu:
Tổn hao năng lƣợng trong hệ thống: 𝑃 =

𝑇
𝑈𝑢 𝑖𝑢
0

𝑑𝑡

Dựa vào phƣơng trình cân bằng điện áp: Uu = iuRu + ke
Và phƣơng trình cân bằng moment:𝑘𝑀 𝑖𝑢 − 𝑀𝑐 = 𝑀𝑞
Ta tính đƣợc : 𝑃 =

𝑇
𝑈𝑢 𝑖𝑢
0

𝑑𝑡 =

𝑘 𝑒 𝑀𝑐
𝑘𝑀

𝑑𝜔
𝑑𝑡

𝜑 𝑇 − 𝜑0 +

𝑇
𝑅𝑢 𝑖𝑢2 𝑑𝑡
0

Để có đƣợc năng lƣợng tiêu hao là tối thiểu, ta chỉ cần tìm cực tiểu của J:

𝑇

𝑄=
0

𝑇

𝐿 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 = 𝜑 𝑇 − 𝜑0 =

0

𝑖𝑢2 𝑑𝑡

Mà dòng điện phần ứng iu ở đây chính là tín hiệu điều khiển u. Vì vậy chỉ
tiêu chất lƣợng Q đối với bài toán năng lƣợng tối thiểu có dạng: 𝑄 =

𝑇 2
𝑖
0 𝑢

𝑑𝑡

c) Tối ƣu hóa tĩnh và động
Chúng ta cần phân biệt hai dạng bài toán tối ƣu hóa tĩnh và tối ƣu hóa động.
Tối ƣu hóa tĩnh là bài toán không phụ thuộc vào thời gian. Còn đối với bài toán
tối ƣu hóa động thì thời gian cũng là một biến mà chúng ta cần phải xem xét
đến.

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

20


Luận văn tốt nghiệp

Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa

2.2 Xây dựng bài toán tối ƣu
a) Tối ƣu hóa không có điều kiện ràng buộc
Một hàm chỉ tiêu chất lƣợng vô hƣớng L(u) = 0 đƣợc cho trƣớc là một hàm
của một vector điều khiển hay một vector quyết định u ∈ 𝑅 𝑚 . Chúng ta cần
chọn giá trị của u sao cho L(u) đạt giá trị nhỏ nhất.
Để giải bài toán tối ƣu, ta viết chuỗi Taylor mở rộng cho độ biến thiên của
L(u) nhƣ sau: 𝑑𝐿 = 𝐿𝑇𝑢 𝑑𝑢 +

1
2

𝑑𝑢𝑇 𝐿𝑢𝑢 𝑑𝑢 + 𝑂(3)

(2.6)

Với O(3) có thể côi là số hạng thứ 3. Grad của L theo u là một vector m cột:

𝐿𝑢 ≜

𝜕𝐿
𝜕𝑢

𝜕𝐿/𝜕𝑢1

𝜕𝐿/𝜕𝑢2
=
⋮
𝜕𝐿/𝜕𝑢𝑚

(2.7)

Và đạo hàm cấp 2 của L theo u là một ma trận m x m
𝐿𝑢𝑢 ≜

𝜕2𝐿
𝜕𝑢 2

=(

𝜕2𝐿
𝜕𝑢 𝑖 𝜕𝑢 𝑗

)

(2.8)

Luu đƣợc gọi là ma trận uốn.
Một điểm cực trị hoặc điểm dừng xuất hiện khi biến thiên dL với thành phần
thứ nhất tiến về 0 với mọi biến thiên du trong quá trình điều khiển. Vì vậy, để có
cực trị thì :
Lu = 0

(2.9)

Giả sử đang ở tại điểm cực trị, có Lu = 0 nhƣ (2.9) . Để điểm cực trị trở thành
điểm cực tiểu, chúng ta cần có:
1

𝑑𝐿 = 𝑑𝑢𝑇 𝐿𝑢𝑢 𝑑𝑢 + 𝑂(3)

(2.10)

2

Là xác định dƣơng với mọi biến thiên du . Điều này đƣợc đảm bảo nếu ma
trận uốn Luu là xác định dƣơng:
Luu >0

Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH

(2.11)

21