Mô hình hóa bài toán điện từ bằng phương pháp miền nhỏ hữu hạn ứng dụng cho mô hình từ có cấu trúc vỏ mỏng

Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội
LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại lớp Cao học Kỹ thuật điện khóa 2013-2015, Trường
Đại học Bách Khoa Hà Nội, tôi đã được đào tạo và tích lũy nhiều kiến thức cho bản
thân cũng như phục vụ công việc. Đặc biệt là khoảng thời gian thực hiện đề tài: “Mô
hình hóa bái toán điện từ bằng phƣơng pháp miển nhỏ hữu hạn - Ứng dụng cho
mô hình từ có cáu trúc vỏ mỏng’’.
Tôi xin bày tỏ lòng tri ân tới các Thầy, Cô Bộ môn Thiết Bị Điện – Điện Tử –
Viện Điện - Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi
trong học tập, nghiên cứu và làm luận văn.

Đặc biệt xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Đặng Quốc
Vương đã dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành
luận văn này.
Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng, song với kiến thức còn hạn chế và thời gian
có hạn, luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận
được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 4 năm 2016
Học viên

Nguyễn Văn Thiện

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
1


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của chính bản thân tôi. Các nội
dung của luận văn là do tôi thực hiện và chưa được công bố trong bất kỳ luận văn của
tác giả nào khác. Tôi xin chịu trách nhiệm về những nội dung cam đoan trên.

Hà Nội, ngày 15 tháng 4 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Văn Thiện

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
2


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

MỤC LỤC
MỤC LỤC ................................................................................................................................3
DANH MỤC HÌNH ẢNH .....................................................................................................6
DANH MỤC BẢNG...............................................................................................................9

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................ 10
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 12
1. Đặt vấn đề ...................................................................................................................... 12
2. Phương pháp bài toán/miền nhỏ hữu hạn .................................................................. 15
3. Mục tiêu của luận văn ................................................................................................. 16
4. Nội dung chính của luận văn ....................................................................................... 17
Chƣơng 1. MÔ HÌNH CHO BÀI TOÁN TRƢ ỜNG ĐIỆN TỪ................................ 18
1.1. Mở đầu ........................................................................................................................ 18
1.2. Hệ phương trình Maxwell ........................................................................................ 18
1.2.1. Các đặc tính vật liệu .......................................................................................... 19
1.2.2. Điều kiện bờ và điều kiện biên ........................................................................ 20
1.2.3. Điều kiện biên .................................................................................................... 22

1.3. Cấu trúc toán học liên tục và không gian hàm....................................................... 23
1.3.1 Không gian hàm Helmhotz ................................................................................ 23
1.3.2. Sơ đồ Tonti ......................................................................................................... 25
1.4. Hệ phương trình Maxwell trong miền tần số ......................................................... 27
1.5. Mô hình bài toán điện tĩnh và từ tĩnh ...................................................................... 28
1.5.1. Mô hình bài toán điện tĩnh................................................................................ 28
1.5.2. Mô hình bài toán từ tĩnh.................................................................................... 29
1.6. Mô hình bài toán từ động ......................................................................................... 31
Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP MIỀN NHỎ HỮU HẠN VÀ PHƢƠNG TRÌNH
YẾU NHẬN .......................................................................................................................... 34
2.1. Mở đầu ........................................................................................................................ 34
2.2. Phương pháp miền nhỏ hữu hạn .............................................................................. 34

2.2.1. Bài toán từ động (hoặc từ tĩnh) ....................................................................... 34
2.2.2. Phương pháp kết nối các bài toán nhỏ với nhau ............................................ 35
2.2.3. Phương pháp ánh xạ cho sự kết nối các bài toán nhỏ. .................................. 36
2.3. Kết nối bài toán nhỏ trong mô hình cấu trúc vỏ mỏng ......................................... 37
2.3.1. Nguyên tắc chung .............................................................................................. 37
HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
3


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

2.3.2. Bài toán nhỏ: “Mô hình cuộn dây –SPu”........................................................ 38
2.3.3. Bài toán nhỏ: “Mô hình miền mỏng dẫn từ -SPp” ........................................ 38
2.4. Phương trình yếu nhận viết cho véctơ từ thế a ...................................................... 39
2.4.1. Phương trình yếu nhận cho bài toán từ động ................................................. 39
2.4.2. Phương trình yếu nhận cho bài toán từ tĩnh ................................................... 40
2.4.3. Phương trình yếu nhận cho các bài toán nhỏ ................................................. 41
2.4.3.1. Mô hình cuộn dây –SP 1 ........................................................................... 41
2.4.2.2. Mô hình miền mỏng dẫn từ –SP 2 ........................................................... 41
2.5. Phương trình yếu nhận viết cho cường độ từ trường h ......................................... 42

2.5.1. Phương trình yếu nhận cho bài toán từ động ................................................. 42
2.5.2. Phương trình yếu nhận cho bài toán từ tĩnh ................................................... 44
2.5.3. Phương trình yếu nhận cho các bài toán nhỏ ................................................. 45
2.5.3.1. Mô hình cuộn dây –SP1 ............................................................................ 45
2.5.3.2. Mô hình miền mỏng dẫn từ - SP 2 ........................................................... 45
Chƣơng 3. BÀI TOÁN ỨNG DỤNG............................................................................... 47
3.1. Giới thiệu .................................................................................................................... 47
3.2. Bài toán ứng dụng 1: Mô hình 2D và 3D (thanh dẫn – màn chắn điện từ) [35] 48
3.3. Bài toán 2: Mô hình 3D (cuộn dây –mặt bích máy biến áp) [34]........................ 55
KẾT LUẬN ........................................................................................................................... 65
HƢỚNG PHÁT TRIỂN TIẾP THEO ............................................................................ 66
PHỤ LỤC .............................................................................................................................. 67

A. Rời rạc hóa các phần tử............................................................................................... 67
A.1. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) ............................................................ 67
A.2. Định luật Green .................................................................................................... 67
A.3. Các biểu thức yếu nhận ....................................................................................... 68
A.4. Phần tử hữu hạn.................................................................................................... 70
A.4.1. Định nghĩa về phần tử hữu hạn................................................................... 70
A.4.2. Ánh xạ phần tử hữu hạn............................................................................... 71
A.4.3. Bậc tự do ........................................................................................................ 72
A.4.4. Không gian hữu hạn ..................................................................................... 72
B. Mô hình phần tử hữu hạn ............................................................................................ 74
B.1. Các hàm nội suy ................................................................................................... 75
B.1.1. Hàm nút .......................................................................................................... 75

B.1.2. Hàm cạnh ....................................................................................................... 75
HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
4


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

B.1.3. Hàm mặt ......................................................................................................... 76

B.1.4. Hàm khối........................................................................................................ 76
B.1.5. Đặc điểm của hàm cơ bản ............................................................................ 76
B.2. Các phần tử tham chiếu. ...................................................................................... 79
B.2.1. Tứ diện ........................................................................................................... 79
B.2.2. Khối sáu mặt.................................................................................................. 79
B.2.3. Khối lăng trụ.................................................................................................. 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 81

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
5

Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 0.1: Mô hình máy biến áp ........................................................................................... 13
Hình 0.2: Mô hình mạch từ và cuộn dây máy biến áp...................................................... 14
Hình 0.3: Mô hình màn chắn điện từ .................................................................................. 14
Hình 0.4: Mô hình chia bài toán đ ầy đủ thành các bái toán nhỏ ..................................... 16
Hình 1.1: Điều kiện chuyển tiếp bề mặt giữa hai miền khác nhau Ω 1 và Ω2 ................. 21

Hình 1.2: De Rham complex trong không gian 3 chiều được xác định trong Ω [9] .... 24
Hình 1.3: Mặt cắt của miền đa liên ..................................................................................... 30
Hình 2.1: Từ bài toán nhỏ SP u sang bài toán nhỏ SP p ................................................. 38
Hình 3.1: Sơ đồ thuật toán áp dụng phần mềm Gmsh và GetDP .................................... 48
Hình 3.2: Mô hình 2D-3D của máng cáp và tấm chắn (các kích thước được cho trong
bảng 3.1). ............................................................................. Error! Bookmark not defined.
Hình 3.3: Mô hình chia lưới 3D của thanh dẫn và GTS - CPS ....................................... 50
Hình 3.4: Sự phân bố của mật độ từ trường đối với SP1 (bài toán 1, trường hợp không
có GTS+CPS) ........................................................................................................................ 50
Hình 3.5: Sự phân bố véctơ từ thế với các lưới khác nhau của các bài toán nhỏ a1 thanh dẫn alone, a2 – GTS- CPS, aprojection – nguồn VS được ánh xạ từ a1 đến a2, a= a1 +
a2 là nghiệm xếp chồng của bài toán 1 và bài toán 2 ( = 6.48.10 6 MS/m,

r

= 256, và f

= 50Hz). .................................................................................................................................. 51
Hình 3.6: So sánh kết quả sự phân bố mật độ từ thông theo trục x tại y = 0.5m (xem
hình 3.2) giữa kết quả đo được và kết quả tính toán bằng phương pháp SPM (trường
hợp không GTS+CPS), với

= 6.48.10 6 MS/m,

r

= 256, và f = 50Hz. ....................... 52

Hình 3.7: So sánh sự phân bố mật độ từ thông theo trục x tại y = 0.5m (xem hình 4.2)
giữa kết quả đo được và kết quả tính toán bằng phương pháp SPM (trường hợp
GTS+CPS) ( = 6.48.10 6 MS/m,

r

= 256, và f = 50Hz). ................................................ 52

Hình 3.8: So sánh kết quả sự phân bố mật độ từ thông theo trục x tại y = 1.0m (xem

hình 3.2) giữa kết quả đo được và kết quả tính toán bằng phương pháp SPM (trường
hợp không GTS+CPS) ( = 6.48.10 6 MS/m,

r

= 256, và f = 50Hz). ............................ 53

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
6

Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

Hình 3.9: So sánh sự phân bố mật độ từ thông theo trục x tại y = 1.0m (xem hình 3.2)
giữa kết quả đo được và kết quả tính toán bằng phương pháp SPM (trường hợp
GTS+CPS), với

= 6.48.10 6 MS/m,

r

= 256, và f = 50Hz. ........................................... 54

Hình 3.10: Sự phân bố của mật độ dòng điện xoáy trong GTS và CPS, với
MS/m,

r

= 6.48.106

= 256, và f = 50Hz ............................................................................................... 54

Hình 3.11: Sự phân bố của mật độ dòng điện xoáy dọc theo GTS và CPS, với
= 6.48.10 6 MS/m,

r

= 256, và các giá trị khác nhau của tần số.................................. 55

Hình 3.12: Kích thước hình học của mặt bích MBA (trên cùng) và mô hình thí nghiệm
(dưới) [21] (toàn bộ kích thước được tính bằng mm) ....................................................... 56
Hình 3.13: Mô hình chia lưới 3D của mặt bích và thanh dẫn.......................................... 57
Hình 3.14: Sự phân bố của mật độ dòng điện 3 pha trong các thanh dẫn với ia = Imax
sin( t), i b = Imax sin( t-2 /3) và ic = Imax sin( t+2 /3).................................................... 57

Hình 3.15: Sự phân bố của mật độ từ thông trong không khí (trên-SP1) (trong một mặt
cắt) được sinh ra bởi hệ thống dòng điện 3 pha (trên, SP1); sự phân bố của mật độ từ
thông (giữa, SP2) và dòng điện xoáy trong mặt bích (giữa, SP2); (chiều dày của mặt
bích d = 6mm, (

r1

=

r2

= 300,

1=

2

=4.07 MS/m, f = 50Hz). .................................. 58

Hình 3.16: Sự phân bố của mật độ tổn thất công suất dọc theo phía dưới của mặt bích
với

r1

=

r2

= 300,

1=

2

=4.07 MS/m, d =6mm, và f = 50 Hz. .................................. 59

Hình 3.17: Sự phân bố của từ trường với trường hợp hai vùng vật liệu có độ thử thẩm
khác nhau (

r1

= 300,

r2

= 1,

1=

2

=4.07 MS/m, d =6mm, f = 50 Hz, Imax =200A). 60

Hình 3.18: Sự phân bố của từ trường với trường hợp hai vùng vật liệu có độ thử thầm
khác nhau (

r1

= 300,

r2

= 1,

1=

2

=4.07 MS/m, d =6mm, f = 50 Hz, Imax =200A). 61

Hình 3.19: Sự phân bố của dòng điện xoáy dọc theo phía dưới của mặt bích với r1
=300, r2= 1, 1= 2 =4.07 MS/m, d =6mm, f= 50 Hz. .................................................. 61

Hình 3.20: Sự phân bố của tổn thất công dọc theo phía dưới của mặt bích với r1 =
300, r2= 1, 1= 2 =4.07 MS/m, d =6mm, f= 50 Hz .................................................... 62
Hình 3.21: Sự phân bố của tổn thất công suất với trường hợp hai vùng vật liệu có độ
thử thầm khác nhau (

r1

= 300,

r2

= 1,

1=

2

=4.07 MS/m, d =6mm, f = 50 Hz, Imax

=200A). ................................................................................................................................... 62
Hình A. 1: Miền không gian áp dụng phần tử hữu hạn (K, P K,
HV: Nguyễn Văn Thiện

K)................................ 70

KTĐ 2013 - 2015
7


Viện Điện
Hình A.2: Một phần lưới 2D của miền

` ĐHBK Hà Nội
.......................................................................... 73

Hình B.1: Tập hợp các phần tử hình học khác nhau ......................................................... 74

Hình B.2: Các dạng hình học: nút, cạnh và mặt (i, j, k, l

N) ....................................... 74

Hình B.3: Định nghĩa miền phẳng xác định biểu thị ký hiệu N

_

............................... 75

F , j,i

Hình B.4: Mô tả hìnhhọc của hàm cạnh seij ....................................................................... 78
Hình B.5: Véctơ a×b trong hàm s f ..................................................................................... 78
Hình B.6: Mô tả hình học của hàm mặt phẳng sf .............................................................. 78
Hình B.7: Khối tứ diện tham chiếu T ................................................................................. 79
Hình B.8: Khối sáu mặt tham chiếu H................................................................................ 80
Hình B.9: Khối lăng trụ tham chiếu P ................................................................................ 80

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
8

Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

DANH MỤC BẢNG
Bảng 3.1: Kích thước hình học của GTS và CPS ............................................................. 49
Bảng 3.2: Sự so sánh giữa kết quả tính toán của tổn hao công suất (Joule losses) từ
phương pháp SPM và từ phương pháp PTHH [25], với hai vùng vật liệu giống nhau
(

r1

=

r2

= 300,

1=

2

=4.07 MS/m). ............................................................................. 60

Bảng 3.3: Sự so sánh giữa kết quả tính toán của tổn hao công suất (Joule losses) từ
phương pháp PTHH và từ phương pháp bài toán nhỏ (subproblem) [25], với hai vùng
vật liệu giống nhau (

r1

=

r2

= 300,

1=

2

=4.07 MS/m). ........................................... 63

Bảng 3.4: Sự so sánh thời gian tính toán giữa phương pháp FEM và phương pháp
SPM. Lưới M, M1, M2 được chỉ ra ở hình 3.13 và hình 3.18, dẫn tới nghiệm của hệ
thông tuyến tính với n, n 1, n 2 phương trình…………..……………………………. 63

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
9


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
a
b

c
d
e
E2
E3
f
H(Curl; Ω)
H(div; Ω)
h
i
j
L2(Ω) ; L2(Ω)

m
p
t
X=(x,y)
X=(x,y,z)
γ

vector (Wb/m)
T
(m/s)
2

Cảm ứng điện (C/m )

(Hz)

2

)

2

)
2

3

Hệ số điện dẫn suất

o
r

Bước sóng ánh sáng

λ
o

/

r

o

)

( 1/ )
3

ϕ

e

)

Mật độ điện dẫn (S/m)
Từ thế vô hướng (V)
phân cực

m

từ hóa (độ từ cảm)

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
10


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội
(rad/s)
3

Ω
1D
2D
3D
BC
IBC
IC
PE
PM
PTHH
SI

Một chiều
Hai chiều
Ba chiều

SP

Bài toán nhỏ

SPs

Các bài toán nhỏ

SPM

Phương pháp miền nhỏ hữu hạn

SSs

Các nguồn mặt

VSs

Các nguồn khối

biên
Dẫn điện lý tưởng
Dẫn từ lý tưởng
P
Hệ đo lường Quốc tế

Curl
Div
Grad
re, im
x

,

y

,

curl
Gradient

z

t

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
11


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

MỞ ĐẦU

1. Đặt vấn đề
Bài toán trường điện từ xuất hiện ở khắp mọi nơi trong cuộc sống hàng ngày
của chúng ta, bất cứ nơi đâu có sử dụng máy điện nói riêng và thiết bị điện nói chung
là ở đó tồn tại mô hình trường điện từ. Vì vậy, mà bài toán trường điện từ đóng vai trò
đặc biệt quan trọng trong kỹ thuật điện và khoa học ứng dụng. Việc xây dựng mô hình
để nghiên cứu và tính toán quá trình biến đổi trường điện từ trong máy điện/thiết bị
điện bắt buộc và không thể thiếu đối với các nhà thiết kế, nhà nghiên cứu. Mục đích
của việc nghiên cứu không phải thiết lập, xây dựng các mô hình vật lý mà đưa các lý
thuyết vật lý vào mô hình toán học để mô tả quá trình biến đổi trường điện từ xảy ra
trong máy điện/thiết bị điện thông qua công cụ máy tính, từ đó giúp cho nhà nghiên
cứu, nhà thiết kế giải thích được các hiện tượng vật lý và quá trình biến đổi xảy ra
trong máy điện và tìm được phương án thiết kế tối ưu theo yêu cầu. Ngoài ra, việc mô

phỏng bằng máy tính còn cho phép ta giải quyết các bài toán mà việc giải bằng giải
tích thông thường không thể làm được.
Các hiện tượng điện từ xảy ra trong các thiết bị điện đều được mô tả bởi hệ
phương trình Maxwell cùng với các luật trạng thái của chúng [25, 26, 27]. Đây là các
phương trình đạo hàm riêng đối với véctơ cường độ điện trường e và cường độ từ
trường h, phân bố trong không gian và biến đổi theo thời gian. Để giải được các bài
toán điện từ và mô phỏng các hiện tượng vật lý, các nhà thiết kế và các nhà nghiên cứu
thường sử dụng các phương pháp nghiên cứu khác nhau [8], đó là:
 Phương pháp giải tích.
 Phương pháp mạch từ không gian thay thế.
 Phương pháp phần tử hữu hạn.
Trong đó, phương pháp giải tích thực chất là phương pháp phân ly biến số [8],

có nghĩa là bài toán được giả thiết rằng nghiệm của nó làm hàm số phụ thuộc vào một
biến số trong khi đó các tham số khác không thay đổi [8]. Phương pháp này có ưu
điểm là tìm được nghiệm cụ thể, dễ ràng phân tích các yếu tố ảnh hưởng và giải thích
được các hiện tượng xảy ra trong thiết bị điện hay tính toán các đại lượng liên quan.
Ngoài ra, nghiệm của bài toán cũng phản ánh các điều kiện biên của bài toán, đặc tính
HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
12


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

của nguồn trường cung cấp. Tuy nhiên, đối với bài toán có mô hình và điều kiện biên
giữa các môi trường tiếp giáp phức tạp thì việc áp dụng phương pháp giải tíchsẽ gặp
khó khăn (gây ra sai số lớn) và đôi khi không thể thực hiện được.
Phương pháp mạch từ không gian thay thế [8] là phương pháp chuyển từ mô
hình Maxwell sang mô hình Kirchhoff một cách tường minh và giữ nguyên tính chất
vật lý của bài toán. Với phương pháp này, một bài toán có cấu trúc phức tạp được chia
thành các miền con có hình dạng hợp lý và tạo thành một lưới các phần tử trong không
gian 2D hoặc 3D. Ưu điểm của phương pháp là đảm bảo được độ chính xác cao, tuy
nhiên với mô hình có số bậc tự do lớn hơn 100, thì việc áp dụng phương pháp này trở

nên khó khăn và không đáp ứng được [8].
Để khắc phục được nhược điểm trên, trong những năm gần đây các nhà nghiên
cứu thường áp dụng phương pháp số để phân tích và tính toán bài toán trường. Phương
pháp này áp dụng đối với các bài toán đa biến mà phương pháp giải tích và mạch từ
không gian thay thế không thể thực hiện được. Một trong những phương pháp số hay
được áp dụng, đó là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH); phương pháp sai phân hữu
hạn; phương pháp phần tử biên. Trong đó, phương pháp PTHH là phương pháp phổ
biến nhất được áp dụng để giải bài toán trường trong máy điện, đặc biệt bài toán với
mô hình từ động.

Hình 0.1: Mô hình máy biến áp

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
13


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

Tuy nhiên, việc ứng dụng trực tiếp của phương pháp PTHH vào các bài toán
thực tế có cấu trúc vỏ mỏng vẫn là một thách thức lớn [28]. Đặc biệt mô hình hóa các

bài toán này càng trở nên khó khăn hơn khi mà kích thước của một số bộ phận có cấu
trúc rất nhỏ so với kích thước tổng thể của thiết bị. Có thể lấy ví dụ như mặt bích/vỏ
thùng dầu máy biến áp (Hình 0.1); mạch từ và cuộn dây máy biến áp (Hình 0.2); màn

Hình 0.2: Mô hình mạch từ và cuộn dây máy biến áp

Hình 0.3: Mô hình màn chắn điện từ

chắn điện từ (Hình 0.3). Trong các bài toán từ động, cấu trúc vỏ mỏng là dẫn điện, nếu
áp dụng phương pháp PTHH để tính và mô phỏng trường điện từ cần phải tạo ra một
hệ lưới mịn/mau để thỏa mãn sao cho kích thước của một mắt lưới/phần tử phải nhỏ
hơn sự phân bố của trường trên bề mặt “δ-skindepth”, điều này sẽ càng trở nên khó

khăn hơn và chi phí đặt cho việc nghiên cứu tính toán khi mà tần số tăng lên là rất
nhiều. Vì vậy việc áp dụng trực tiếp phương pháp PTHH vào để tính toán và mô phỏng
HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
14


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

trường điện từ với các bài toán có cấu trúc vỏ mỏng đôi khi làkhông thực hiện được,
đặc biệt với những mô hình có cấu trúc phức tạp.
Để giải quyết được vấn đề này, các tác giả Dr. Đặng Quốc Vƣơng và Prof.
Patrick Dularđã nghiên cứu, phát triển và đưa ra một phương pháp mô hình các bài
toán nhỏ/phương pháp miền nhỏ hữu hạn (SPM) để phân tích sự phân bố của từ
trường, dòng điện xoáy đối với mô hình có cấu trúc vỏ mỏng [10, 15, 16]. Tuy nhiên,
hiện nay ở Việt Nam việc áp dụng các phương pháp nàyvào bài toán thực tế để tính
toán và mô phỏng sự phân bố của trường và dòng điện xoáy trong máy điện vẫn là một
vấn đề mới mang tính chất thời sự và đang được quan tâm.
Trong nội dung và phạm vi của đề tài, tác giả đã kế thừa phương phương SPM
đã được phát triển [5, 11] để tính toán sự phân bố từ trường, dòng điện xoáy và tổn hao
vùng dẫn có cấu trúc vỏ mỏng (lõi thép), vỏ máy biến áp và màn chắn điện từ

ối với từ thế véctơa, cường độ
điện trườngh và
trong vùng dẫn.
Từ những phân tích ở trên, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS.
Đặng Quốc Vƣơng và sự giúp đỡ của các thầy, cô trong Bộ môn Thiết Bị Điện – Điện
Tử, tác giả đã chọn đề tài: “Mô hình hóa bái toán điện từ bằng phƣơng pháp miền
nhỏ hữu hạn- Ứng dụng cho mô hình từ có cáu trúc vỏ mỏng’’làm đề tài luận văn
Thạc sỹ ngành kỹ thuật điện.
2. Phƣơng pháp bài toán/miền nhỏ hữu hạn
Đã có một vài bài báo nghiên cứu về phương pháp SPM như đã trình bày ở trên
[28, 2, 3, 13]. Phương pháp SPM được đưa ra để tránh việc chia lưới cho toàn bộ bài
toán, thay vào đó việc chia lưới sẽ được thực hiện trên từng bài toán nhỏ, sau đó

nghiệm cuối cùng của bài toán sẽ là sự xếp chồng các nghiệm của các bài toán
nhỏthông qua phương pháp xếp chồng nghiệm. Phương pháp SPM có ưu điểm điểm
nổi trội so với phương pháp PTHH là: giảm kích thước/bậc tự do của ma trận và tăng
tốc độ tính toán cũng như kết quả đạt được với độ chính xác cao. Đặc biệt là các kết
quả thu được từ các bải toán nhỏ (SPs) thông qua phương pháp SPM, kết hợp với sự
mô phỏng trên máy tính đã giải quyết được các vấn đề mà phương pháp PTHH không
HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
15

Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

làm được. Phương pháp này đã trở thành công cụ hữu hiệu cho các nhà nghiên cứu và
các kỹ sư khi giải các bài toán trường điện từ.
Phương pháp SPM được thực hiện theo nguyên tắc/trình tự: chia một bài toán
lớn (ví dụ một hệ thống bao gồm các, cuộn dây, mạch từ, khe hở không khí và vỏ)
thành một loạt các bài toán nhỏ SPs như trên hình 0.4. Mỗi bài toán nhỏ SP được giải
và thực hiện trên miền và lưới riêng của nó mà không phụ thuộc vào lưới của miền/bài
toán khác, điều này thuận lợi cho việc chia lưới và có thể làm tăng tính hiệu quả tính
toán. SPs có thể bị ảnh hưởng bởi SPs khác thông qua các nguồn mặt (SSs) và các

nguồn khối (VSs). Trong đó: SSs thể hiện sự thay đổi của các điều kiện biên của các
SPs thông qua các bề mặt, VSs thể hiện sự thay đổi các tính chất vật liệu (ví dụ µ,
…) của các miền con.

Bài toán
đầy đủ

Bài toán
nhỏ 1

Bài toán
nhỏ 2

Bài toán
nhỏ 3

….

Hình 0.4: Mô hình chia bài toán đầy đủ thành các bái toán nhỏ

Phương pháp SPM được sử dụng hiệu quả cho các bài toán tính toán sự phân bố
trường điện từ trong hệ thống điện, thiết bị điện nói chung và máy biến áp nói riêng.
Trong phạm vi của luận văn này, phương pháp SPM được kế thừa và áp dụng để giải
quyết các bài toán trường có cấu trúc vỏ mỏng mà hiện nay các nhà máy chế tạo thiết

bị điện đang rất quan tâm.
Phương pháp SPM có thể thực hiện cho cả hai công thức (công thức kép), đó là
công thức với véctơ mật độ từ thôngb (b = curl a) và công thức véctơ cường độ từ
trường h, cùng với các điều kiện biên ràng buộc (i.e., SS- nguồn mặt, VS- nguồn khối)
như đã đề cập ở trên.

3. Mục tiêu của luận văn
Áp dụng phương pháp SPM để giải quyết bài toán trường điện từ trong thiết bị
điện nói chung và máy điện nói riêng. Xây dựng mô hình toán cho các bài toán từ tĩnh,
bài toán từ động trong không gian hai chiều, không gian ba chiều với véctơ mật độ từ
thôngb và véctơ cường độ từ trường h.
HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
16


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

4. Nội dung chính của luận văn
Trong chƣơng 1, tác giả trình bày tổng quan về hệ phương trình Maxwell ở các
dạng khác nhau, cùng với các điều kiện biên và các luật trạng thái. Các mô hình toán

học như không gian hàm liên tục, không gian hàm rời rạc cũng được phân tích một
cách ngắn gọn. Sơ đồ Tonti được giới thiệu để thiết lập côngthức kép cho mật độ từ
thôngb và cường độ từ trường h. Tiếp theo, mô hình bài toán từ tĩnh, mô hìnhbài toán
từ động cũng được xây dựng, đây là cơ sở để tác giả thực hiện các chương tiếp theo.
Trong chƣơng 2, phương pháp SPM mô tả cách tiếp cận mô hình các bài toán
nhỏ SPs. Trình bày cách thức kết nối các bài toán nhỏ SPs thông qua các nguồn mặt
SSs với điều kiện biên và nguồn khối VSs với sự thay đổi đặc tính vật liệu.Ngoài ra,
nghiệm của mỗi bài toán nhỏ SP được xem như là nguồn của bài toán kế tiếp, được
thực hiện thông qua phương pháp ánh xạ “Projection method”. Tiếp theo, tác giả trình
bày cách thiết lập mô hình toán với công thức véctơ mật độ từ thông b(b =curl a) và
véctơ cường độ từ trường h. Hai công thức sẽ được viết dưới dạng phương trình yếu
nhận trong miền nghiên cứu Ω. Sau đó, việc chia miền nghiên cứu Ω thành các miền

con, đó là: Ω =Ω1 Ω2 Ω3 … . Sự rời rạc hóa các miền con/miền nghiên cứu cũng
được đưa ra trong các phương trình yếu nhận cho cả hai bài toán từ tĩnh và từ động.
Mối quan hệ các nguồn mặt SS và nguồn khối VS giữa các bài toán nhỏ cũng được
trình bày trong các phương trình yếu nhận.
Trong chƣơng 3, một số bài toán ứng dụng được đưa vào để minh chứng và
kiểm tra tính đúng đắn của phương pháp SPM đã được đề cập ở các chƣơng 2.

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
17

Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

Chƣơng 1. MÔ HÌNH CHO BÀI TOÁN TRƢỜNG ĐIỆN TỪ
1.1. Mở đầu
Tất cả các hiện tượng điện từ xảy ra trong các thiết bị điện, hệ thống điện đều
được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell. Trong chương này, tác giả trình bày tổng
quan về hệ phương trình Maxwell ở các dạng khác nhau trong không gian và thời gian,
cùng với các điều kiện biên và các luật trạng thái [3, 13]. Các đặc tính vật liệu, điều
kiện biên và điều kiện bờ giữa các bài toán cũng được được trình bày. Các mô hình

toán học như không gian hàm liên tục, không gian hàm rời rạc cũng được phân tích
một cách ngắn gọn. Sơ đồ Tonti được giới thiệu để thiết lập công thức kép cho mật độ
từ cảm b và cường độ từ trường h.

1.2. Hệ phƣơng trình Maxwell
Hệ phương trình Maxwell mô tả các quan hệ (các định luật) giữa các đại lượng
véctơ trường (i.e., h, e, b, d) và được viết trong không gian 3 chiều Eculidean

3

như

sau:
curl h – ∂t d = j,

(1.1)

curl e + ∂t b =0,

(1.2)

div b = 0,

(1.3)

div d = .

(1.4)

Phương trình (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) là các phương trình xuất phát từ các định
luật Ampere, định luật Faraday, định luật Gauss đối với véctơ từ trường và định luật
Gauss đối với véctơ điện trường. Các véctơtrường h, e, b, dlần lượt là véctơ cường độ
từ trường (A/m), véctơ cường độ điện trường (V/m), véctơmật độ từ thông (T) và
véctơ cảm ứng điện (C/m2 ). Mật độ điện tích (C/m3) và mật độ dòng điện j(A/m2)
đặc trương cho nguồn gây ra bởi các trường trong các môi trường có các hệ số: từ
thẩm

(H/m); hệ số điện dẫn suất γ; hằng số điện môi

(F/m). Khi miền nghiên cứu

không đổi theo thời gian, các đạo hàm theo thời gian trong hệ phương trình Maxwell
trở nên bằng không và các hiện tượng điện và từ không liên kết với nhau.
Bằng cách lấy div hai vế của phương trình (1.1), sau đó thay vào (1.4), ta được
HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
18

Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

phương trình bảo toàn điện tích được viết như sau:
div j + ∂t = 0.

(1.5)

Nếu như mật độ dòng điệnjtồn tại mọi thời điểm, điện tích có thể đạt được bằng

cách lấy tích phân hai về của phương trình (1.5) trong một miền khối V. Sau đó áp
dụng lý thuyết Gauss, phương trình (1.5) được viết lại như sau:

j.nds

dx.

(1.6)

t V

V

Phương trình (1.6) cho ta thấy toàn bộ điện tích nằm trong miền khối V thay đổi
theo dòng chảy điện ngang qua bề mặt của ∂V.
Một cách tương tự, từ định luật Gauss (1.3) có thể được rút ra từ phương trình
(1.2) nếu giả thiết ban đầu divb = 0.
1.2.1. Các đặc tính vật liệu
Hệ phương trình Maxwell (1.1) đến (1.4) có số lượng phương trình ít hơn so với
các ẩn số, cho nên vẫn chưa thể giải được. Vì vậy, hệ phương trình này chỉ được xác
định duy nhất khi được kết hợp với các luật trạng thái của chúng. Trong môi trường
chân không, giá trị của véctơ mật độ từ thông b và véctơ cảm ứng điện d được xác
định:

Trong đó:

0

b=

0.h

(1.7)

d=

0.e

(1.8)

là hệ số từ thẩm của môi trường chân không và là hằng số không

đổi giữa b và h, 0là hệ số điện môi của môi trường chân không và cũng là hằng số
không đổi giữa d vàe.
Các giá trị của

0 và

0 được

chọn theo hệ thống đơn vị SI và phụ thuộc vào

nhau. Trong hệ thống SI, độ từ thẩm

0 chân

không được xác định

0

= 4 .10 -7 (Hm-1)

và hằng số điện môi chân không được xác định ε0 = 1/(μ oc2) (Fm-1), ở đây c là vận tốc
của ánh sáng. Độ từ thẩm và hằng số điện môi có thể được biểu diễn theo tham số từ
hóa m và sự phân cực điện p. Như vậy, b và d trong phương trình (1.7) và (1.8) được
viết lại như sau:
b = μoh + m

(1.9)

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
19


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội
d = ε0.e + p

(1.10)

Trong môi trường từ tuyến tính, hệ số m được xác định m = χ mb, trong đóχm là

hệ số từ hóa (độ từ cảm), p được xác định p = ε0. χe e, trong đóχe là hệ số phân cực. Từ
các mối quan hệ đã kể trên, mối quan hệ (1.7) và (1.8) được viết lại như sau:
b = μo(1+ χm)h = μoμrh = μh

(1.11)

d = ε0(1+ χe)e = ε0 εre = εe

(1.12)

Trong đó, μhệ số từ thẩm (H/m) và ε là hằng số điện môi (F/m), μr, εrlà hệ số từ
thẩm tương đối và hằng số điện môi tương đối của vật liệu.

Khi xét đến sự xuất hiện của sự phân bố của mật độ dòng điện xoáy trong vùng
dẫn và mật độ dòng điện chảy trong cuộn dây, theo định luật bảo toàn dòng điện, j
được xác định như sau:
j = jc + js

(1.13)

Trong đó,jc là mật độ dòng điện dẫn (xoáy) và được biểu diễn theo định luật
Ohm:
jc= ζe

(1.14)

Và σlà mật độ điện dẫn (S/m), luôn có giá trị dương (hoặc bằng 0 với vật liệu
không dẫn điện). js là mật độ dòng điện nguồn cho trước (ví dụ: cuộn dây). Nguồn
dòng này không phụ thuộc vào các điện trường và từ trường trong miền nghiên cứu mà
chỉ phụ thuộc vào giá trị đặt ban đầu.
Đối với các vật liệu phi tuyến,μ, ε và ζsẽ không còn là các hằng số và chúng có
thể là “tensors” khi kể đến các trạng thái không đẳng hướng.
Các mối quan hệ (1.11), (1.12) và (1.14) là các luật trạng thái. Trong phạm vi của luận
văn này, ở đây chỉ xét đến những vật liệu tuyến tính và đẳng hướng và giả thiết rằng
các thông số của vật liệu không thay đổi theo thời gian.
1.2.2. Điều kiện bờ
Trong các bài toán kỹ thuật điện, các thiết bị điện từ làm bằng các vật liệu khác

nhau, vì thế miền giải bài toán trường sẽ chứa nhiều các miền con, các miền con này
có các đặc tính vật lý và nguồn khác nhau.
Từ miền này qua miền kia tại biên giới, trường phải tuân theo các quy tắc nhất
HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
20


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

định phù hợp với các định luật của trường. Các quy tắc ấy là điều kiện biên giới hay là
các điều kiện chuyển tiếp bề mặt (ICs) hay điều kiện bờ.
Để khảo sát các điều kiện ICs của sự phân bố trường điện từ qua hai vật liệu
khác nhau (hình 1.1) [18], bằng cách lấy tích phân hai lớp của hai vếcủa phương trình
Maxwell (1.1) – (1.4) trên một bề mặt S với đường bao quanh∂S. Áp dụng định
lýStoke và div để phân tích định luật Ampere (1.1) và định luật Faraday (1.2), chúng
ta có hệ tích phân được xác định [18, 4, 5]:
S

S

h.dr

S

e.dr

(j

S

t

t

d ).ds

b.ds.

(1.15)
(1.16)

Hình 1.1: Điều kiện chuyển tiếp bề mặt giữa hai miền khác nhau Ω1 và Ω2

Một cách tương tự, áp dụng lý thuyết Gauss cho các phương trình (1.3) và (1.4)

trên một miền khối V với biên ∂V, lấy tích phân hai vế:
V

V

b.ds
d .ds

0

V

(1.17)

.dV ,

(1.18)

Phương trình (1.17) cho thấy thông lượng b qua một bề mặt kín Svới đường
biên ∂V là bằng 0.Phương trình (1.18) ngụ ý rằng thông lượng d qua bề mặtS, với
đường biên∂V bằng tổng điện tích trong bề mặt đó.
Xét Ω =Ω1

Ω2 là một một miền nghiên cứu hữu hạn trong không gian ba chiều

Eculidean, Г là bề mặt biên giữa hai miền liên tục Ω 1 và Ω2 trong hình 1.1. Véctơ pháp
tuyến n trên bề mặt Г có hướng từ Ω 1 đến Ω2. Tại mặt biên Г có thể tồn tại các mật độ
điện tích mặt ρs và mật độ dòng điện mặt js. Các điều kiện chuyển tiếp bề mặt cho các
trường điện từ trên mặt tiếp giáp giữa hai miền khác nhau (hình 1.1) [18] có thể viết
như sau:
HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
21

Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

n (h2 h1 )

js ,

n (e2 e1 )

0,

n. b2 b1

0,

n. d2 d1

ρ

s

(1.19)
(1.20)

(1.21)

,

(1.22)

Trong đó, các chỉ số dưới 1 và 2 của các đại lượng thể hiện các trường trên các
phía của bề mặt biên trong miền tương ứng Ω 1 và Ω2. Các biểu thức trên được đơn
giản bằng cách lấy tích phân hai vế của các phương trình Maxwell cho các khối và các
mặt thông qua thể thông qua mặt chuyển tiếp Г.
Các phương trình (1.19)-(1.22)cho ta quan hệ giữa các thành phần pháp tuyến
hoặc tiếp tuyến của trường. Điều này có nghĩa là thành phần pháp tuyến của b và thành

phần pháp tuyến của elà liên tục qua mặt chuyển tiếp Г. Còn thành phần pháp tuyến
của d và thành phần tiếp tuyến của h là không liên tục qua mặt chuyển tiếp Г, nếu mật
độ điện tích khối ρs và mật độ dòng điện js khác 0. Chúng chỉ liên tục khi mật độ điện
tích khối ρs và mật độ dòng điện js bằng 0.
Các điều kiện chuyển tiếpICs (1.19) – (1.22) được sử dụng cho việc giải các
phương trình Maxwell với các miền khác nhau, sau đó kết nối các nghiệm để đạt được
các trường trong toàn bộ không gian của miền nghiên cứu.
1.2.3. Điều kiện biên
Khi xây dựng mô hình toán cho bài toán nghiên cứu, cần xác định biên giới của
toàn miền và được ký hiệu là BC.
Các điều kiện biên BCs thường được sử dụng cho các thành phần pháp tuyến và
tiếp tuyến của trường điện từ được xác định như sau:

Một vật liệu dẫn từ lý tưởng (PM) được ký hiệu là Ωpm (tức là μ ~ ∞). Do đó,
phương trình (1.11) ngụ ý h ~ 0 trên miền Ωpm. Điều đó có nghĩa rằng điều kiện
chuyển tiếp IC (1.19) trở thành điều kiện biên BC, tức là:

n h

pm

0,

(1.23)

Trong đó: Гpm = ∂Ωpm là đường bao của Ωpm
Một vật liệu dẫn điện lý tưởng (PE) được ký hiệu Ω pe (tức là ζ ~ ∞). Điều này
HV: Nguyễn Văn Thiện
KTĐ 2013 - 2015
22


Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

có nghĩa rằng điều kiện (1.20) cũng trở thành điều kiện BC, tức là:

n e

pe

0

(1.24)

Trong đó: Гpe = ∂Ωpe là đường bao của Ωpe.

1.3. Cấu trúc toán học liên tục và không gian hàm

Phương trình Maxwell (1.1) - (1.7) là các phương trình đạo hàm riêng với sự
phân bố của các trường véctơ (từ trường h, điện trường e, từ thế véctơa…) hoặc các
trường vô hướng (điện thế vô hướng v, từ thế vô hướng ) trong miền nghiên cứu Ω.
Các trường này có thể được biểu diễn theo các dạng vi phân, e.g. hvà e là 1-forms; bvà
j là2-forms. Điều này có nghĩa là thông lượng của trường h và e dọc theo đường cong
khép kín được thể hiện đầy đủ ý nghĩa vật lý, và trường bvàjthông qua bề mặt cũng thể
hiện đầy đủ ý nghĩa vật lý. Hơn nữa các toán tử đạo hàm grad, curl và div cũng xuất
hiện trong các phương trình (1.1)-(1.7).
1.3.1 Không gian hàm Helmhotz
Một cấu trúc toán học được thể hiện thông qua hệ phương trình đạo hàm riêng
cần được xác định. Cụ thể hơn, chúng ta cần xác định các miền của các toán tử đạo
hàm, chúng là các không gian hàm của các trường véctơ có hướng và trường vô hướng

được xác định trong miền Ω.
Các nghiệm của các phương trình (1.1) - (1.4) thuộc về các không gian khả tích
vô hướng và các trường véctơ L2(Ω) và L2(Ω) (xem phụ lục A).
Để xây dựng được các công thức cho các miền nghiên cứu bất thường (nontrivial domain), sự phân tích toán học Helmholtz của L2(Ω) thành năm không gian con
vuông góc lẫn nhau. Các không gian hàm nhỏ sẽ được sử dụng trong việc thiết lập các
công thức liên tục và trong tiến trình rời rạc hóa được miêu tả cụ thể trong mức 2
(forms-2) và mức 3 (forms-3) trên hình 1.2.

HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
23

Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

Hình 1.2: De Rham complex trong không gian 3 chiều được xác định trong Ω [9]

Hình 1.2 chỉ ra miền, không gian rỗng và phạm vi của các toán tử đạo hàm xuất
hiện trong các công thức (1.1) – (1.4): grad, curl and div (xem phụ lục A).Các không
gianL2(Ω) vàL2(Ω)được biểu diễn theo trục ngang trên bốn mức (0, 1,2 và 3 đối
vớiL2 (Ω), L2(Ω),L2 (Ω) vàL2(Ω), một cách tương ứng), và các không gian con của các

không gian này được biểu diễn thông qua các moduls nhỏ trên trục (e.g., ở mức độ 2
trên trục chúng ta có thể đọc từ phải qua trái). Các mũi tên trong hình vẽ tương ứng với
các ứng dụng của các toán tử grad, curl và div.
Không gian H1(Ω) là tập hợp của các phần tử có curl bằng không, nhưng nó
không phải là các gradient. Kích thước H1(Ω) là hữu hạn và bằng số lượng của
“loops”, nếu tồn tại các bề mặt cắt trong miền nghiên cứu không mở Ω của không gian
thực ba chiều

3

. Không gian H2(Ω)là tập hợp của các phần từ có div bằng không,

nhưng nó không phải là các curl. Kích thước của không gian này cũng là hữu hạn và
bằng số lượng rỗng trong miền Ω. Các không gian hàm này có thể được xác định như
sau:
H1( )

u L2 ( ) : curl u 0,div u 0, n.u |

H2 ( )

u L2 ( ) : curl u 0,div u 0, n u |

(1.25)

0
0

(1.26)

Các miền của các toán tử (grad, curl và div) được xác định trong không gian
HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
24

Viện Điện

` ĐHBK Hà Nội

hạn chế, tức là chúng được xác định như là các không gian con của L2(Ω) và L2(Ω)để
thỏa mãn gần đúng các điều kiện biên.
1.3.2. Sơ đồ Tonti
Gọi Гh và Гe là hai phần bổ sung của biên Г của miền Ω, vì vậy ta có:
h

và

e

h

e

,

(1.27)

Trong đó, các trường vô hướng ωh và ωe, hoặc các trườngvectorωh và ωe được

đưa vào một cách tương ứng.Cấu trúc liên tục được biểu diễn bởi sơ đồ “de Rham
complexes hình 1.2, và được cho tương ứng với sơ đồ Tonti:

(1.28)

Các miền của ba toán tử gradh , curl h và divh được xác định[18]:

H h1 ( )

H h1 (grad, )
def

H h (curl, )
def

H h (div, )

def

L2 ( ) : grad

ω L2 ( ) : curl ω
ω

L2 ( )}

L2 ( )}

(1.29)
(1.30)

L2 ( ) : div ω L2 ( )}

(1.31)

Và các miền của ba toán tử grade , curl e và dive được xác định bởi [18]:

1
e

H ( )

def

1
e

H (grad, )
def

H e (curl, )
def

H e (div, )

L2 ( ) : grad

ω L2 ( ) : curl ω
ω

L2 ( )}

L2 ( ) : div ω L2 ( )}

L2 ( )}

(1.32)
(1.33)
(1.34)

Các không gian trên là các miền của các toán tử được xem xét. Chúng ta có thể
ký hiệu H1h(grad, Ω) bằng H1h (Ω), H1 e(grad, Ω) bằng H1 e(Ω). Với các điều kiện đồng
nhất BCs, chúng ta sẽ có các không gian tương ứng với các miền của các toán tử đạo

hàm đã được xác định ở trên. Điều này sẽ được xem xét như các không gian hàm cho
các hàm thử (test function)được sử dụng trong các phương trình yếu nhận “weak
formulations”. Các không gian này được ký hiệu là: H10 h(Ω), H0h(curl; Ω), H0h(div;
HV: Nguyễn Văn Thiện

KTĐ 2013 - 2015
25