DE THI GIAI 19-4

a)
HUỲNH ĐÌNH TÁM
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 1
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 : ( 2 đ )
Cho phương trình ( có ẩn số là x )
4x
2
+ 2 (3- 2m)x +-3m +2 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trò của tham số m .
b) Tìm m để có tích của hai nghiệm đạt giá trò nhỏ nhất .
Câu 2 : ( 2 điểm).
Giải các phương trình và các hệ phương trình :
x
2
+ y
2
=2 (xy + 2)
x + y = 6
b)
11
)5(
25
2
2
=
+
+

x
x
x
Câu 3 : (2 điểm )
a) Cho a> c , b> c , c > 0 . Chứng minh :
abcbccac
≤−+−
)()(
b) Cho a> 0 , b> 0 . Chứng minh :

ab
ba
ab
≤
+
2
Câu 4: (1 điểm)
Tìm số chính phương có 4 chử số biết rằng khi tăng thêm mỗi chử số một đơn vò thì số
mới được tạo thành cũng là một số chính phương .
Câu 5 : ( 1,5 điểm )
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R ), gócC bằng 45
0
,
Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC và BC lần lượt tại M và N .
a) Chứng minh MN vuông góc với OC .
b) Chứng minh :
2
AB
MN
=

Câu 6 : ( 1,5 điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ( O;R) . Điểm M lưu động
trên cung nhỏ BC . Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB,
AC.
(H thuộc đường thẳng AB , K thuộc đường thẳng AC )
a)Chứng minh 2 tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhau .
b) Tìm vò trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất .
HUỲNH ĐÌNH TÁM
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 2
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 : ( 4 điểm)
a)Đònh m để hai phương trình
x
2
+ x + m = 0 và x
2
+ mx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm chung .
b)Cho a , b , c , là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng phương trình :
b
2
x
2
+ ( b
2
+ c
2
–a

2
) x + c
2
= 0 vô nghiệm .
Câu 2 : (4 điểm )
Giải phương trình và hệ phương trình :
a) x
3
-y
3
= 3( x- y)
x

+ y = -1
b)
6
23
13
253
2
22
=
++
+
+−
xx
x
xx
x
Câu 3: (4 điểm)

a) Chứng minh 2(a
4
+ b
4
)
2233
2 baabab ++≥
với mọi a , b .
b) Chứng minh
ababba
>−+−
222
2
với a>b>0 .
Câu 4 : ( 2 điểm )
Tìm các số nguyên dương có 2 chữ số, biết số đó là bội của tích 2 chữ số của chính số đó .
Câu 5 : ( 4 điểm )
Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, AB< AD . Tia phân giác của góc BAD cắt BC
tại M và cắt DC tại N.Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác NCN
a) Chứng minh rằng : DN = BC và CK vuông góc MN .
b) Chứng minh rằng BKCD là một tứ giác nội tiếp .
Câu 6 : ( 2 điểm )
Cho tam giác ABC có góc A = 2 góc B . Chứng minh rằng :
BC
2
= AC
2
+ AB . AC
HUỲNH ĐÌNH TÁM
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI

GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 3
(Thời gian làm bài : 150 phút . )
Câu 1 :
a) Rút gọn biểu thức sau :

2
158
2
158
−
+
+
=
A
b) Giải phương trình :

435
=−++
xx
Câu 2:
Chứng minh rằng ( n
3
+ 17 n ) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n .
Câu 3 :
Giả sử x
1
, x
2

là 2 nghiệm của phương trình
mx
x
xx
+=
−
−
3
1
4
2
, trong đ01 m là tham
số. Tìm m để biểu thức |x
1
- x
2
| đạt giá trò nhỏ nhất
Câu 4 :
Cho hình vuông ABCD . Hai điểm I, J lần lượt thuộc hai cạnh BC và CD sao cho
góc IAJ = 45
0
. Đường chéo BD cắt AI và AJ theo tương ứng tại H và K . Tính tỉ
số
IJ
HK
Câu 5 :
Cho 2 đường tròn (O
1
;R
1

) ; (O
2
;R
2
) có R
1
>R
2
tiếp xúc ngoài với nhau tại A .
Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O
1
;R
1
) tại M và cắt đường tròn (O
2
;R
2
)
tại N ( Các đểm M, N khác A )
a) Xác đònh vò trí của đường thẳng d để đoạn thẳng MN lớn nhất .
b) Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đường thẳng MN
khi đường thẳng d quay quanh điểm A

HUỲNH ĐÌNH TÁM
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 4
(Thời gian làm bài : 150 phút . )
Câu 1:

a) Tìm chữ số tận cùng của số (19
6
)
2005 .
.
b) Tìm tất cả các số tụ nhiên n sao cho n
2
-14n -256 là số chính phương
Câu 2:
Giải hệ phương trình :

2
1
2
1
=+
=+
x
y
y
x
Câu 3 :
Tìm các số nguyên a,b, c thoả mãn
a
2
+ b
2
c
2
+2 < ab +3b +2c

Câu 4 :
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a (a > 0 ) và một điểm M chuyển động
trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng nếu M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC .
b) Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của biểu thức MA + MB + MC
Câu 5 :
Cho hình vuông ABCD có AB = 14 cm .
Trong hình vuông có đánh dấu 76 điểm phân biệt . Chứng minh rằng tồn tại một
đường tròn có bán kính 2 cm chứa trong nó ít nhất 4 điểm trong các số điểm trên .
HUỲNH ĐÌNH TÁM
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 5
( Thời gian làm bài : 150 phút )
Câu 1 : Giải hệ phương trình

2
3
22
=+
=++
yx
xyyx


Câu 2 :
Giải phương trình

1123234

=−+++
xxx
Câu 3 :
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x
2
+ 17y
2
+34xy + 51 ( x + y ) = 1740
Câu 4
Cho 2 đường tròn (O) , (O’) nằm ngoài nhau có tâm tương ứng là O và O’ . Một
tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và (O’) tại B .
Một tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn cắt AB tại I , tiếp xúc với (O) tại C
và (O’) tại D . Biết rằng C nằm giữa I và D .
a) hai đường thẳng OC , O’B cắt nhau tại M . Chứng minh rằng OM > O’M.
b) Kí hiệu (S) là đường tròn điqua A,C, B và (S’) là đường tròn đi qua A,D,B .
Đường thẳng CD cắt (S) tại E khác C và cắt ( S’) tại F khác D . Chứng minh AF
vuông góc với BE .
Câu 5
Giả sử x,y, z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện
xy
2
z
2
+ x
2
z + y = 3 z
2
Hãy tìm giá trò lớn nhất của biểu thức