Chuyên đề 1 - KSHS

Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

Chuyên đề 1: HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
I. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỚ
Dạng 1: Tìm m để hàm sớ 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒎) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng D.
Trong đó khoảng D có thể là : R, (−∞; a), (a; + ∞), (a; b)…
Phương pháp giải
Bước 1: Ghi điều kiện để y = f(x, m) đồng biến (nghịch biến) trên D:
Đề yêu cầu y = f(x, m) đồng biến trên D ⇔ y′ = f′(x, m) ≥ 0 , ∀ x ∈ D
Đề yêu cầu y = f(x, m) nghịch biến trên D ⇔ y′ = f′(x, m) ≤ 0 , ∀ x ∈ D

 m  g(x)
Bước 2: Độc lập (tách) m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại bằng 𝑔(𝑥) ta được: 
 m  g(x)
Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số 𝑔(𝑥) trên khoảng D.

 m  g(x)  m  Max g(x) 
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên của 𝑔(𝑥) kết luận: 
 m  g(x)  m  Min g(x) 
Dạng 2: Không độc lập được m ở bước 2 của dạng 1:
Bước 1: Ghi điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D.
Bước 2: Ta đặt y ′ = g(x, m). Sau đó tính 

và xét sự tăng giảm của hàm số g(x) dựa vào

bảng biến thiên và hệ sớ a của g(x).
a>0
• Hàm sớ đờng biến với mọi x ∈ R ⇔ y ′ = g(x, m) ≥ 0 ∀ x ∈ R ⇔ {
∆≤ 0

a<0
• Hàm sớ nghịch biến với mọi x ∈ R ⇔ y ′ = g(x, m) ≤ 0 ∀ x ∈ R ⇔ {
∆≤ 0
• Nếu yêu cầu bài toán cho đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (α; β), trong đó
α, β là những số cụ thể thì phương trình g(x, m) = 0 có hai nghiệm x1, x2 (x1 < x2)
thỏa một trong những điều kiện sau:
Δ>0
S
○ x1 < x2 ≤ α ⇔ { 2 < α
a. f(α) ≥ 0

○ α ≤ x1 < x2 ≤ β ⇔

Δ>0
S
○ α ≤ x1 < x2 ⇔ { 2 > α
a. f(α) ≥ 0

Δ>0
S
α<2<β

○ x1 < α < β < x2 ⇔ {

a. f(α) < 0
a. f(β) < 0

a. f(α) < 0
a. f(β) > 0

○ α < x1 < β < x2 ⇔ {

a. f(α) > 0
a. f(β) < 0

a. f(α) ≥ 0
{a. f(β) ≥ 0

○ x1 < α < x2 < β ⇔ {
Bước 3: Kết luận.

Dạng 3: Tìm m để hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙, 𝒎) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng có độ dài bằng l.
Phương pháp giải
Bước 1: Tính y′ = f′(x, m)
Bước 2: Hàm số y = f(x, m) đơn điệu trên khoảng (x1, x2) ⇔ y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt:
1


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số
a≠0
⇔{
∆> 0

Phạm Văn Ý

b

S  a
Bước 3: Tính theo Viet: 
P  c


a
Bước 4: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l ⇔| x1 – x2 | = l ⇔ (x1 – x2)2 = l2
⇔ ( x1 + x2 )2 – 4x1x2 = l2 ⇔ S2 – 4P = l2

(1)

Bước 5: Giải pt (1) từ bước 4 và so sánh điều kiện ở bước 2, suy ra giá trị m cần tìm.

BÀI TẬP:
1) Tìm m để hàm số y = −x 3 + 3x 2 + 3mx − 1 nghịch biến trên (0; + ∞)?
2) Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 − mx − 4 đồng biến trên khoảng (−∞; 0)?

(ĐH_A, A1_2013)
ĐS: m ≤ −1

ĐS: m ≤ −3
3) Tìm m để hàm số y = 2x 3 − 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng
(2; + ∞)?
ĐS: m ≤ 1
4) Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2?
ĐS: m = 0
1
5) Tìm m để hàm số y  x 3  2x 2  mx  10 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1?
3
ĐS: m = −

15
4

6) Tìm m để hàm số y = x 3 − 2mx 2 − (m + 1)x + 1 nghịch biến trên đoạn [0; 2]?
ĐS: m ∈ ∅
4
2
7) Tìm m để hàm số y = x − 2(m − 1)x + m − 2 đồng biến trên (1; 2)?
ĐS: 1 < m ≤ 2
1
8) Tìm m để hàm số y  (m  1)x 3  (2m  1)x 2  3(2m  1)x  1 đồng biến trên khoảng (−∞; −1)?
3
4
ĐS: m ≥ 11
9) Tìm m để hàm số y = mx 4 + (m − 1)x 2 + 1 − 2m nghịch biến trên (−∞; −2)?
1
ĐS: m ≤ − 7
10) Tìm m để hàm số y = −x 3 + x 2 − (2 − m)x + 1 tăng trên đoạn có độ dài bằng 2?
ĐS: m ∈ ∅
1 3
11) Tìm m để hàm số y  x  mx 2  4x  3 đồng biến trên R?
3
ĐS: −2 ≤ m ≤ 2
12) Tìm m để hàm số y = −x 3 + (m + 1)x 2 + mx + 1 nghịch biến trên R?
5  21
5  21
ĐS:
m
2
2

2

Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

II. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO (CẮT NHAU)
1. Tương giao giữa đồ thị hàm số nhất biến và đường thẳng:
Bài toán tổng quát:
ax  b
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d: y = αx + β cắt (C) tại hai
cx  d
điểm phân biệt A, B thoả mãn điều kiện K nào đó? (C)

Cho hàm số: y 

Phương pháp giải:
 d
Bước 1: TXĐ: D  R \  
 c

Bước 2: + Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

ax + b
cx + d

= αx + β

⇔ g(x) = 0

(1)

d
+ Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B thì pt (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác  :
c

a≠0
⇔ { ∆> 0
d
g(− c ) ≠ 0

giải hệ này ta tìm được điều kiện theo m.

(2)

b

S  a
+ Vì A, B  d . Gọi A ( x1; αx1 + β), B ( x2; αx2 + β). Theo Viet ta có: 
P  c

a
theo phương trình hoành độ giao điểm (1).

(3)

Bước 3: Biến đổi điều kiện của K cho trước về dạng tổng tích và thế (3) vào K giải m.
Bước 4: So sánh m vừa giải được với điều kiện (2).
Chú ý:
- Đối với bài toán mà hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị ta cần thêm điều kiện:
d

d
(x A  )(x B  )  0 .
c
c

d
d
- Hai điểm A, B thuộc cùng một nhánh đồ thị ta cần thêm điều kiện: (x A  )(x B  )  0 .
c
c

BÀI TẬP:


tại hai điểm phân

biệt A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng d’: x − 2y − 2 = 0?
11
ĐS: m = − 5

1) Tìm m sao cho đường thẳng d: y = −3x + m cắt đồ thị hàm số (C):

2) Tìm m để đường thẳng d: y = −x + m cắt (C):
dài đoạn thẳng AB là nhỏ nhất?








tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ
ĐS: m = 2

3


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

3) Tìm m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị hàm số (C):






tại hai điểm phân biệt A,
ĐS: m = −1

B sao cho độ dài đoạn AB = √30?
4) Tìm trên đồ thị (C):





hai điểm B, C thuộc hai nhánh đồ thị sao cho tam giác ABC vuông

cân tại đỉnh A với A(2;0)?



ĐS:

5) Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2m + 1 cắt đồ thị hàm số (C):






và C(3;3)

tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau?

(ĐH_D_2011)
ĐS: m = −3

2.Tương giao giữa đồ thị hàm số bậc ba và đường thẳng:
Bài toán tổng quát
Tìm m để đường thẳng d: y = αx + β cắt đồ thị (C) : y = ax 3 + bx 2 + cx + d tại ba điểm
phân biệt thoả mãn điều kiện K cho trước?
Phương pháp giải:
Bước 1:
+ Lập pt hoành độ giao điểm của d và (C): ax 3 + bx 2 + cx + d = αx + β

(1)

+ Đoán nghiệm pt (1) và dùng Hoocner để phân tích thành: (x – x0)(ax 2 + b′ x + c′) = 0
x  x0
⇔  2
ax  b ' x  c'  0

 2

Đặt: g(x)  ax 2  b ' x  c'
+ Để pt (1) có 3 nghiệm phân biệt thì pt (2) phải có 2 nghiệm phân biệt khác x0:
a≠0
⇔{ ∆> 0
g(xo ) ≠ 0

(3)

+ A, B, C ∈ d suy ra A ( x0; αx0 + β), B ( x1; αx1 + β ), C ( x2; αx2 + β)
+ Tính theo Viet: S= x1 + x2 , P= x1.x2
Bước 2:
+ Biến đổi điều kiện K theo tổng và tích của x1, x2
+ Thế tổng và tích vào điều kiện K, giải tìm m.
+ So sánh m với điều kiện (3). Suy ra giá trị m cần tìm.
Lưu ý: Nếu không đoán được nghiệm của phương trình (4) ta có thể dùng cách sau:
+ d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ y = h(x) có 2 cực trị và yCĐ.yCT < 0
+ d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ y = h(x) có 2 cực trị và yCD.yCT = 0
+ d cắt (C) tại 1 điểm ⇔ y = h(x) đồng biến trên R hoặc y = h(x) có 2 cực trị và yCD.yCT > 0

4

Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

BÀI TẬP:
1) Cho đường thẳng d: 𝑦 = 𝑥 + 4 và điểm K(1; 3). Tìm m để d cắt (Cm): y = x 3 + 2mx 2 +
(m + 3)x + 4 tại ba điểm phân biệt A(0; 4) B, C sao cho tam giác KCB có diện tích bằng 8√2?
1  137
ĐS: m 
2
2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A( -1;0) và cắt đồ thị hàm số (C) : y = x 3 − 5x 2 + 3x +
9 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G(2; 2) là trọng tâm tam giác OBC (với O là gốc toạ độ)?
3
3
ĐS: y  x 
4
4
3
2
3) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x − 2x + (1 − m)x + m cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt có hoành độ x1, x2, x3 thoả mãn điều kiện x12 + x22 + x32 < 4?
(ĐH_A_2010)
1
ĐS: m  ( ;1) \ 0
4
3
2
(m

4) Cho hàm số y = 2x − 3mx +
− 1)x + 1 có đồ thị là (Cm). Tìm m để đường thẳng d: y =
8
1 − x cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt?
ĐS: m  0  m 
9
♦ Bài toán các hoành độ tạo thành 1 cấp số cộng
► Dạng không nhẩm được nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
Phương pháp giải
Phương trình hoành độ giao điểm : ax3 + bx2 + cx + d = 0

(1)

Bước 1: Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 (x1 < x2 < x3 ) thì x1, x2,
x3 là nghiệm của pt hoành độ giao điểm.
Bước 2: Khi đó phương trình hoành độ giao điểm được viết lại dưới dạng a(x – x1)(x – x2)(x –
x3) = 0 ⇔ a [ x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x2x3 + x3x1) x – x1x2x3] = 0
(2)
Bước 3: Đồng nhất hệ số của phương trình (2) với hệ số của phương trình (1) ta được:
𝑏
x1 + x2 + x3 = − 𝑎
và vì x1, x2, x3 tạo thành cấp số cộng nên ta có: x1 + x3 = 2x2
𝑏

(3)
(4)

𝑏

Từ (3) và (4) ta suy ra: 3x2 = − 𝑎 ⇒ x2 = − 3𝑎

𝑏

Bước 4: Thế x2 = − 3𝑎 vào phương trình hoành độ giao điểm (1) và tìm được giá trị m.
Bước 5: Giải lại phương trình (1) với m vừa tìm được, suy ra 3 nghiệm phân biệt. Nhận xét 3
nghiệm đó có thoả điều kiện (4) hay không? Nếu thoả thì nhận giá trị m đó, ngược lại
không tìm được m thoả ycbt.
Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 3x 2 − 9x + m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
với các hoành độ lập thành cấp số cộng?
ĐS: m = 11

5


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

► Dạng nhẩm được nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
Phương pháp giải
Phương trình hoành độ giao điểm : ax3 + bx2 + cx + d = 0

(1)

Bước 1: Ta đoán được 1 nghiệm của phương trình (1) là x = x0. Phương trình (1) được viết lại
dưới dạng sau: (x – x0 )( ax2 + b’x + c’ ) = 0 ⇔ x = x0 hoặc ax2 + b’x + c’ = 0
(2)
Đặt g(x) = ax2 + b’x + c’
Bước 2: Để phương trình (1) có 3 nghiệm tạo thành cấp số cộng thì phương trình (2) phải có hai
𝑎≠0
nghiệm phân biệt x1, x2 khác x0 và thoả x1 + x2 = 2x0 ⇔ { ∆> 0

(3)
𝑔(𝑥0 ) ≠ 0
𝑏′

𝑏′

Bước 3: Theo Viet ta có: S = − 𝑎 suy ra − 𝑎 = 2x0. Giải phương trình này tìm được giá trị m.
So sánh điều kiện (3) và nhận hoặc loại giá trị m đó.

BÀI TẬP:
1) Tìm m để (Cm): y = x 3 − (2m + 1)x 2 − 9x cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập
1
thành một cấp số cộng?
ĐS: m  
2
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 2mx − m − 1 cắt đồ thị hàm số (Cm): y = −x 3 + (2m +
1)x 2 − m − 1 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?
 1 1 
ĐS: m   ; ;1
 2 4 
3
2
3) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x + mx − x − m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt lập
thành cấp số cộng?
ĐS: m 3;0;3
3.Tương giao của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương và đường thẳng:
Bài toán tổng quát
Tìm m để đường thẳng d: y = d cắt đồ thị hàm số (Cm): y = ax 4 + bx 2 + c tại n điểm phân
biệt thoả mãn điều kiện K cho trước?
Phương pháp giải:

Cách 1: Nếu ax 4 + bx 2 + c không chứa tham số m thì ta dùng phương pháp đồ thị hàm số này
đề biện luận số giao điểm của d và (Cm).
Cách 2: Nếu ax 4 + bx 2 + c có chứa tham số m thì ta dùng cách sau:
Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm): ax 4 + bx 2 + c −d = 0

(1)

Bước 2: Đặt t = x2 (t ≥ 0). Phương trình (1) ⇔ at 2 + bt + c − d = 0

(2)

Bước 3: Tuỳ vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị m. Cụ thể:
+ Để d cắt (Cm) tại bốn điểm phân biệt thì pt (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt:
∆> 0
⇔ {S > 0
P>0
+ Để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt thì pt (2) phải có hai nghiệm t1, t2 thoả 0 = t1 < t2
c−d =0
⇔{
S>0
6


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

+ Để d cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt thì pt (2) phải có hai nghiệm t1, t2 trái dấu hoặc
∆= 0
nghiệm kép dương t1 = t2 >0 ⇔ a(c – d) < 0 hoặc {

S>0
+ Để d cắt (Cm) tại một điểm thì pt (2) phải có nghiệm kép t1 = t2 = 0 hoặc t1 = 0 và t2 < 0
∆= 0
c−d=0
⇔{
hoặc {
b=c−d=0
S<0
+ Để d cắt (Cm) tại bốn điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng thì phương trình (2) phải có
hai nghiệm dương phân biệt thoả t1 = 9t2 :
∆> 0
• {S > 0
(i)
P>0
• Kết hợp Viet ta giải hệ t1 = 9t2 và t1 + t2 , t1.t2 theo m, suy ra m. So sánh điều kiện (i)
suy ra giá trị m cần tìm.
+ Biến đổi điều kiện K về dạng tổng tích của t1, t2.

(*)

+ Thế tổng tích vào (*) và giải tìm m.
+ So sánh giá trị m vừa tìm được với điều kiện ở bước 3, suy ra giá trị m cần tìm.
BÀI TẬP:
1) Tìm m để (Cm):y = −x 4 + 2(m + 2)x 2 − 2m − 3 cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có
13
hoành độ lập thành cấp số cộng?
ĐS: m = 3 ∪ m = − 9
2) Tìm m để đường thẳng d: y = −1 cắt (Cm): y = x 4 − (3m + 2)x 2 + 3m tại bốn điểm phân
1
biệt có hoành độ nhỏ hơn 2? (ĐH_D_2009)

ĐS: − 3 < m < 1 và m ≠ 0
3) Tìm tham số m để đường thẳng d: y = m cắt đồ thị (C) : y = −x 4 + 5x 2 − 4 tại bốn điểm phân
7
biệt A, B, C, D sao cho AB = BC = CD?
ĐS: m = − 4
4) Tìm m để (Cm): y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có
1
hoành độ nhỏ hơn √3?
ĐS: m = − 2 ∪ m ≥ 1

7


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

III. BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Bài toán tổng quát
Cho hàm số (C): y = f(x, m). Tìm tham số m để hàm số có n cực trị thoả mãn điều kiện K cho
trước?
Phương pháp giải
Bước 1: Tính y’. Cho y’ = 0.
Bước 2: Hàm số có n cực trị ⇔ y’ = 0 có n nghiệm phân biệt. Cụ thể như sau:
♦ Hàm số bậc 3 (C): y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đạo hàm y’ = 0
⇔ 3ax 2 + 2bx + c = 0

(1)

a≠0

+ Có hai cực trị ⇔pt (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ {
∆> 0
′
Chú ý: Ta phân tích: 𝑦 = 𝑦 . 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) , suy ra đường thẳng y = 𝑅(𝑥) là đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị.
♦ Hàm số bậc 4 trùng phương (C): y = ax 4 + bx 2 + c có đạo hàm y’ = 0

x  0
⇔ 4ax 3 + 2bx = 0 ⇔ 
2
 4ax  2b  0

x  0
⇔ 2
x   b
2a

+ Có 3 cực trị ⇔ pt (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ 

(2)
b
0
2a

+ Có 1 cực trị ⇔ pt (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 ⇔ 

b
0
2a

Chú ý: Hàm số bậc 4 có 3 điểm cực trị A( 0; c), B(x1; y1), C(x2; y2) và ta luôn có y1 = y2, thì tam
giác ABC luôn cân tại A.
+ Để tam giác ABC vuông ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗
AB. ⃗⃗⃗⃗⃗
AC = 0
+ Để tam giác ABC đều ⇔ AB = BC.
+ Diện tích tam giác S 

1
AH.BC với H là trung điểm của BC và H (0; y1)
2

Bước 3: Biến đổi điều kiện K, thông thường như sau:
+ Đối với hàm bậc 3, tính nghiệm x1, x2 của pt (1) theo Viet và suy ra y1= R(x1),
y2 = R(x2)
+ Đối với hàm bậc 4, tính cụ thể hai nghiệm x1, x2 từ pt (2) x   

b
, thế x vào
2a

phương trình đầu tiên của hàm số bậc 4 tìm ra các y1, y2.
Bước 4: Giải điều kiện K và suy ra m. So sánh giá trị m với điều kiện ở bước 2 và được giá trị m
cần tìm.

8


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

BÀI TẬP:
2 3
2
x  mx 2  2(3m2  1)x  có hai điểm cực trị x1, x2 sao cho: x1x2 +
3
3
2
(ĐH_D_2012)
ĐS: m 
3

1) Tìm m để hàm số (C): y 
2(x1 + x2) =1?

2) Tìm m để (Cm): y = 2x 3 + 9mx 2 + 12m2 x + 1 có cực đại và cực tiểu thoả mãn: xCĐ2 = xCT?
ĐS: m = −2
1
3) Tìm m để hàm số (Cm): y  x 3  mx 2  (m2  m  1)x  1 có cực trị trong khoảng (1; + ∞)?
3
m  1
ĐS: 
m  2

4) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 3mx 2 + 3m3 có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích
tam giác OAB bằng 48 (với O là gốc toạ độ)? (ĐH_B_2012)
ĐS: 𝑚 = ±2
5) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 3mx 2 + 2 có hai điểm cực trị A, B và đường thẳng AB đi
qua điểm I(1; 0) ?

ĐS: m = ±1
6) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 4 − 2mx 2 + m4 + 2m có cực đại và cực tiểu sao cho các cực
đại và cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích bằng 1 ?
ĐS: m = 1
7) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam
giác vuông ? (ĐH_A_2012)
ĐS: m = 0
8) Tìm m để (Cm): y = x 4 + (3m + 1)x 2 − 3 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có độ
2
5
dài cạnh đáy bằng 3 độ dài cạnh bên ?
ĐS: m = − 3
9) Tìm m để hàm số (Cm): y = 2x 4 − m2 x 2 + m2 − 1 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm
A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn ?
ĐS: m = ±1
10) Tìm m để hàm số (Cm): y = x 4 − 2(m2 + 1)x 2 + 1 có ba điểm cực trị sao cho khoảng cách từ
điểm cực đại đến đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu của đồ thị là nhỏ nhất ? ĐS: m = 0

9


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

IV. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
1. Kiến thức cần nhớ:
Phương trình tiếp tuyến của (C): 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm M(xo; yo) có dạng ∆: y = f’(xo) (x – xo) + yo
Trong đó f’(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến.
⇒ để viết một pttt ta cần tìm ba thành phần xo , yo , f’(xo)

2.Các dạng toán tiếp tuyến thường gặp:
a) Viết pttt ∆ của (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:
- Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm. Tính y’, suy ra f’(xo)
- Do tiếp tuyến có hệ số góc là k suy ra: k = f’(xo)

(i)

- Giải phương trình (i) tìm ra xo ⇒ yo = f(xo), suy ra pttt ∆: y = k (x – xo) + f(xo)
Lưu ý: Hệ số góc k = f’(xo) của tiếp tuyến thường cho gián tiếp như sau:
+ Phương trình tiếp tuyến ∆ // d: y = ax + b ⇒ k = a
1

+ Phương trình tiếp tuyến ∆  d: y = ax + b ⇒ k = − 𝑎
+ Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với trục hoành một góc 𝛼 ⇒ tan 𝛼 = |k|
+ Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc 𝛼 ⇒






b) Viết pttt ∆ của (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) biết tiếp tuyến đi qua (kẻ từ) điểm A(xA , yA):
- Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm. Tính yo = f(xo) và tính f’(xo)

(tính theo x0 hết)

- Pttt ∆ tại M(xo; yo) là ∆: y = f’(xo)(x – xo) + f(xo)
- Do A(xA , yA) ∈ ∆ ⇒ yA = f’(xo)(xA – xo) + f(xo)

(ii)

- Giải (ii) tìm ra được xo ⇒ yo ⇒ pttt ∆.
c) Viết pttt ∆ của (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A, B sao cho
∆OAB vuông cân tại O:
- Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm. Tính k = f’(xo) theo xo .
- Pttt ∆ tại M(xo; yo) là ∆: y = f’(xo)(x – xo) + f(xo)
- Để ∆OAB vuông cân tại O ⇔ ∆ tạo với Ox một góc 45o ⇔ tan45o = |k|

(iii)

- Giải phương trình (iii) theo xo và tìm ra xo và thế vào pttt.
d) Viết pttt ∆ của (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙) biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A, B sao cho
∆OAB có diện tích S cho trước:
- Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm. Tính k = f’(xo) theo xo
- Pttt ∆ tại M(xo; yo) là ∆: y = f’(xo)(x – xo) + f(xo)
- Gọi A, B lần lượt là giao điểm của ∆ với trục Ox và Oy. Suy ra A 
B





và



- Tính độ dài OA, OA theo xo và tính diện tích


10

và giải tìm xo suy ra pttt.




Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

e) Tìm trên đường thẳng d: y = ax + b những điểm mà từ đó vẽ được 1, 2, 3…tiếp tuyến đến với
đồ thị (C): y = f(x)
- Gọi M(xM ; axM + b) là điểm thuộc đường thẳng d.
- Pttt đi qua M có hệ số góc là k có dạng: y = k(x – xM) + axM + b
- Điều kiện tiếp xúc: {

f(x) = k(x − xM ) + axM + b (i)
f ′ (x) = k
(ii)

- Lấy (ii) thế vào (i) ta được phương trình: f(x) = f’(x)(x – xM) + axM + b

(iii)

- Số tiếp tuyến kẽ từ M là số nghiệm của phương trình (iii), giải tìm xM, suy ra các điểm M.
f) Tìm những điểm M(xM ; yM) mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và hai tiếp
tuyến vuông góc với nhau:
- Pttt ∆ đi qua M (xM ; yM) có hệ số góc là k có dạng: y = k(x – xM) + yM
- Điều kiện tiếp xúc: {

f(x) = k(x − xM ) + yM
f ′ (x) = k

(i)
(ii)

- Lấy (ii) thế vào (i) ta được phương trình: f(x) = f’(x)(x – xM) + yM

(iii)

- Qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) thì (iii) phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
 .

- Để hai tiếp tuyến vuông góc nhau ⇔

Chú ý: Đối với bài toán qua M kẽ được hai tiếp tuyến vuông góc và tiếp điểm nằm về hai phía của
trục hoành thì pt (iii) có hai nghiệm phân biệt và f(x1).f(x2) < 0.
BÀI TẬP:
1) Lập phương trình tiếp tuyến của (C): y = x 3 − 3x 2 + 1 biết tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng d: 9x – y + 6 = 0 ?
ĐS: y = 9x – 26
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 𝑦 = −𝑥 4 − 𝑥 2 + 6 , biết tiếp tuyến đó vuông góc với



đường thẳng d:
3) Gọi M ∈ (C):



 ? (ĐH_D_2010)

ĐS: y = −6𝑥 + 10


có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt


tại hai điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB ? (CĐ_A, A1, B, D 2013)

ĐS:



(đvdt)


, biết rằng tiếp tuyến đó cắt trục

hoành, trục tung lần lượt tại A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O ? (ĐH_A 2009)

4) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):



ĐS: y = −x − 2
5) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x 3 − 3x 2 + 2 tại điểm M. Biết điểm M cùng với
hai cực trị của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằng 6 ?
ĐS: y = 9x + 7, y = 9x – 25
6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x 3 − 6x 2 + 9x , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:

4
x + y +1 = 0 một góc 𝛼 sao cho cosα =
và tiếp điểm có hoành độ nguyên?
√41

ĐS: y = 9x, y = 9x – 32

11


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

V. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ
Bài toán tổng quát
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Tìm điểm M ∈ (C) thoả mãn điều kiện K cho trước ?
Phương pháp giải
+ Gọi M(xo ; f(xo) ) ∈ (C).
+ Từ điều kiện K cho trước biến đổi dẫn đến phương trình hoặc bất phương trình theo xo , giải
tìm xo ⇒ yo = f(xo) ⇒ M(xo ; f(xo) ).
Một số kiến thức cần nhớ
- Khoảng cách giữa hai điểm A(; yA) và B(xB ; yB) là AB = √(xB − xA )2 + (yB − yA )2 .
- Khoảng cách từ M (xo; yo) đến đường thẳng Δ: ax + by + c = 0 là
- Diện tích tam giác ABC là: S 












.



2
1
1
AB.AC.sin ¢ 
AB 2 .AC 2  AB.AC .
2
2



- A, B đối xứng nhau qua điểm I ⇔ I là trung điểm AB ⇔ 











- A, B đối xứng nhau qua đường thẳng Δ ⇔ 
(với I là trung điểm AB)
 

- A, B đối xứng với nhau qua trục hoành ⇔ 


- A, B đối xứng với nhau qua trục tung ⇔ 







BÀI TẬP:
1) Tìm trên (C):



  ?




hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng MN với



,

ĐS: A(2;0) và B(0; -4) hoặc A(0;-4) và B(2; 0)

2) Tìm các điểm M ∈ d: 𝑦 = −2x + 19, biết rằng tiếp tuyến của đồ thị (C): y = (x + 2)(x − 1)2 đi
1 207
qua điểm M vuông góc với đường thẳng d’: x + 9y − 8 = 0 ?
ĐS: M1(3 ; 13) hoặc M2(11 ; 11 )
3) Tìm hai điểm A, B ∈ (C): 
ΔOAB vuông tại O ?



sao cho tiếp tuyến tại hai điểm A, B song song với nhau và
ĐS: A(-1; 1) và B(3; 3) hoặc A(3; 3) và B(-1; 1)


sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ

M đến tiệm cận đứng?
ĐS: M(4;6) hoặc M(2;-4)

4) Tìm M ∈ (C): 

12


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý


. Tìm trên đồ thị (C) điểm M có

hoành độ dương, sao cho tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn:
ĐS: M(2 ; 1)

 ?

5) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị (C): 


sao cho tiếp tuyến tại điểm M với đồ thị (C) tạo với hai đường tiệm cận

một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng √2 ?
ĐS: M1(0; 1) hoặc M2(2; 3)

6) Tìm M ∈ (C): 

7) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (C): 



. Tìm hai điểm A, B thuộc (C) sao cho tứ

giác OABI là hình thang có đáy AB = 3OI ?
−1+√5 1+√5

ĐS: A(

;

2

2

) và B(

5+√5 −5+√5
2

;

2

) hoặc A(

−1−√5 1−√5
2

;

2

5−√5 5+√5

) và B(

2

;

2

)


những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận

của (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất ?
ĐS: M1(1; 1) hoặc M2(3; 3)

8) Tìm trên đồ thị (C): 


. Tìm toạ độ các điểm A, B lần

lượt thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất ?

9) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị (C): 

ĐS: A(0;1), B(2;3) hoặc A(2;3), B(0;1)
10) Tìm điểm M thuộc (C): 



, biết tiếp tuyến tại M với (C) cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A, B

sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

? (ĐH_D_2007)

13

ĐS:





hoặc M(1; 1)


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

VI. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ
Dạng 1: Đề cho hàm số (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙). Yêu cầu vẽ (C1): 𝒚 = |𝒇(𝒙)| ?
Bước 1: Ta có (C1): y = |f(x)| = {

f(x) khi f(x) ≥ 0
−f(x) khi f(x) < 0

Bước 2: Đồ thị hàm số (C1) được suy ra từ (C) như sau:
+ Phần I: Giữ lại phần (C) ở phía trên trục Ox (khi f(x)≥ 0).
+ Phần II: Lấy đối xứng qua trục Ox phần còn lại bên dưới trục Ox.
+ Hợp hai phần trên là đồ thị (C1).

Dạng 2: Đề cho hàm số (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙). Yêu cầu vẽ (C2): 𝒚 = 𝒇(|𝒙|) ?
Bước 1: Ta có (C2): y = f(|x|) = {

f(x)
khi x ≥ 0
f(|−x|) = f(x) khi x < 0

Bước 2: Đồ thị hàm số (C2) được suy ra như sau:
+ Phần I: Giữ lại phần (C) bên phải trục Oy (x≥ 0)
+ Phần II: Lấy đối xứng qua trục Oy phần I.
+ Hợp hai phần trên ta được đồ thị hàm số (C2).
Dạng 3: Đề cho hàm số (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙). Yêu cầu vẽ (C3): |𝒚| = 𝒇(𝒙) ?
Bước 1: Ta có |y| = f(x) ⇔ f(x) ≥ 0 ⇔ y = ±f(x), ∀x ∈ K.
Bước 2: Đồ thị hàm số (C3) được suy ra như sau:
+ Phần I: Giữ nguyên phần (C) ở phía trên trục Ox (y≥ 0).
+Phần II. Lấy đối xứng phần I qua trục Ox.
+ Hợp hai phần trên ta được phần đồ thị hàm số (C3).
Dạng 4: Đề cho hàm số (C): 𝒚 = 𝒇(𝒙). Yêu cầu vẽ (C4): 𝒚 = |𝒇(|𝒙|)| ?
Hợp hai phần đồ thị (C1) và (C2) ta được đồ thị hàm số (C4).

BÀI TẬP:
1)Dựa vào (C): 



 , hãy tìm m để phương trình:











có

ĐS: m ∈ (0; 1)

đúng 8 nghiệm phân biệt ?
2) Dựa vào (C): y = x 3 + 3x 2 − 4, hãy tìm m để phương trình:







có đúng bốn

ĐS: m ∈ (1; 16)

nghiệm ?

3) Dựa vào (C): y = x 3 − 3x + 1, hãy tìm tham số m để phương trình: |x|3 − 3|x| = m3 − 3m có
bốn nghiệm thực phân biệt ?
ĐS: −2 < 𝑚 < −√3 hoặc {0 < 𝑚 < √3
m≠1

14


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

BÀI TẬP CHUNG CHO CHUYÊN ĐỀ 1
1) Cho hàm số:



2) Cho hàm số:



3) Cho hàm số:



4) Tìm m để hàm số:



























 . Tìm m để hàm số đồng biến trên R ?

 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên R ?
. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định ?

 

giảm trên từng khoảng xác định ?



5) Tìm m để hàm số: y = x 3 − mx 2 + m nghịch biến trên khoảng (1; 2) ?
6) Tìm m để hàm số:



7) Tìm m để hàm số:



8) Tìm m để hàm số: 



















đồng biến trên khoảng (0; 2)?







giảm trên khoảng (−∞; 1) ?

đồng biến trên khoảng (0; +∞) ?

9) Tìm m để hàm số: y = 2x 3 + 9mx 2 + 12m2 x + 1 nghịch biến trên khoảng (2; 3) ?
10) Tìm m để hàm số:











đồng biến trên (1; +∞) ?

11) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C):






tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho AB = √5 ?



⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
điểm phân biệt A, B với mọi m? Tìm m sao cho AB = |OA + OB| với O là gốc toạ độ ?

12) Chứng minh rằng đường thẳng d: x − y + m = 0 luôn cắt đồ thị hàm số (C):






13) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x − 2m cắt đồ thị hàm số (C):



tại hai

tại hai điểm phân

biệt A, B và cắt hai trục Ox, Oy theo thứ tự là M, N sao cho SΔOAB = 3SΔOMN ?
14) Tìm m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị hàm số (C):






tại hai điểm phân biệt

A, B và ΔAIB đều (với I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C)) ?
15) Tìm m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (C):



tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 60o, với O là gốc toạ độ ?

16) Tìm m để đường thẳng d: y = mx − m − 1 cắt đồ thị hàm số (C):




2
2
biệt M, N sao cho biểu thức T = AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất với A(1;1) ?

15

tại hai điểm phân

Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý


. Đường thẳng d1: y = x cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m

để đường thẳng d2: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt C, D sao cho bốn điểm A, B, C, D
là bốn đỉnh của hình bình hành ?

17) Cho hàm số (C):








18) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C):

tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho ΔOAB vuông tại O, với O là gốc toạ độ ?
19) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C):


tại hai điểm phân biệt A, B sao cho




OA2 + OB2 = 2, với O là gốc toạ độ ?
20) Cho điểm A(0; 5) và đường thẳng Δ đi qua điểm I(1; 2) và có hệ số góc là k. Tìm các giá trị của

k để đường thẳng Δ cắt (C): 
tại 2 điểm phân biệt M, N sao cho ΔAMN vuông tại A?

21) Tìm m để đường thẳng d: y = −x + m cắt đồ thị (C):


tại hai điểm phân biệt M, N sao




cho ΔPMN đều với P (2; 5) ?
22) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m − 1 cắt đồ thị (C):






tại hai điểm phân biệt A, B







tại hai điểm phân biệt A, B

2 4

sao cho ΔOAB có trọng tâm là điểm G (− ; ) ?
3 3

23) Tìm m để đường thẳng d: y = −2x + m cắt đồ thị (C):
sao cho SΔOAB = √3 với O là gốc toạ độ ?


tại hai điểm phân biệt A, B

nằm về hai phía với trục tung sao cho góc AOB nhọn (với O là gốc toạ độ)?

24) Tìm m để đường thẳng d: y = m − x cắt đồ thị hàm số (C):



25) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k > −3 đều cắt đồ thị hàm
số (C): y = x 3 − 3x 2 + 4 tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng
AB?
26) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + 1 cắt (Cm): y = 2x 3 − 3mx 2 + (m − 1)x + 1 tại ba điểm
phân biệt A, B, C sao cho điểm C(0; 1) nằm giữa hai điểm A, B đồng thời AB = √30 ?
27) Gọi d là đường thẳng đi qua A(2; 4) và có hệ số góc là k. Tìm k để d cắt (C): y = x 3 − 3x + 2 tại
ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác OBC cân tại O, với O là gốc toạ độ ?
28) Tìm m để đường thẳng d:





cắt đồ thị hàm số (C):









tại ba điểm

phân biệt A, B, C sao cho điểm A cố định và SΔOBC = 2SΔOAB ?
29) Tìm m để đường thẳng d: y = m(x − 1) + 2 cắt đồ thị hàm số (C): y = x 3 − 3x tại ba điểm phân
biệt ?
30) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 − x cắt đồ thị hàm số (C): y = 2x 3 − 3mx 2 + (m − 1)x + 1 tại
ba điểm phân biệt ? (ĐH_D_2013)
31) Tìm m để hàm số (Cm): y = x 3 + mx 2 − x − m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành
cấp số cộng ?
32) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − (3m + 1)x 2 + (5m + 4)x − 8 cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt tạo thành một cấp số nhân ?
16


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

33) Tìm m để đường thẳng Δ: y = mx − 2m + 5 cắt đồ thị (C): y = 2x 3 − 6x + 1 tại ba điểm phân
biệt và khoảng cách từ điểm cực đại của (C) đến Δ bằng hai lần khoảng cách từ điểm cực tiểu
đến Δ?
34) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x − 7 cắt đồ thị hàm số (C): y = x 3 − (m + 2)x 2 + 4m − 3 tại
ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc các tiếp tuyến của (C) tại ba điểm A, B, C
bằng 28 ?
35) Tìm m để đường thẳng d: y = 2mx − 2m + 6 cắt (C): y = −2x 3 + 6x + 2 tại ba điểm A, B, C
sao cho tổng các hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại ba điểm A, B, C bằng – 6 ?
36) Tìm m để đường thẳng d: y = mx − m − 1 cắt đồ thị (C): y = x 3 − 3x 2 + 1 tại ba điểm phân
biệt A, B, C (xA < xB < xC ) sao cho tam giác AOC cân tại O ?
37) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 − x cắt đồ thị hàm số (C): y = x 3 − 3mx 2 + 1 tại ba điểm phân
biệt A(0; 1) ,B, C sao cho SΔKBC = √5 với K(1; 2) ?
38) Tìm m để đường thẳng d: y = −2 cắt đồ thị (Cm): y = (2 − m)x 3 − 6mx 2 + 9(2 − m)x − 2 tại
ba điểm phân biệt A(0; -2) ,B, C sao cho SΔOBC = √13 ?
39) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 2mx 2 + 2mx − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
A(1; 0), B, C sao cho k1 + k2 = BC√5 . Trong đó k1 , k2 lần lượt là các hệ số góc của tiếp tuyến
với (Cm) tại B và C ?
40) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(2; 0), biết rằng d cắt đồ thị hàm số (C): y = x 3 −
3x 2 + 4 tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các tiếp tuyến của (C) tại hai điểm B, C vuông
góc nhau?
41) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 − x cắt đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 + mx 2 + 1 tại ba điểm phân
biệt A(0; 1), B, C sao cho tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau ?
42) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 cắt trục hoành tại bốn
điển phân biệt A, B, C, D (theo thứ tự tăng dần của hoành độ) sao cho SΔKAC = 4 với K(3; -2) ?
43) Tìm m để đồ thị (Cm): y = x 4 + 2(m + 1)x 2 + 2m + 4 cắt đường thẳng d: y = 3 tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho AB = 6 ?
44) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 4 − 2mx 2 + 1 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ
x1, x2 sao cho x2 = 2x1 ?

45) Tìm m để (Cm): y = (x 2 − 1)2 − (m + 1)2 (1 − m)2 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có
hoành độ tương ứng lập thành một cấp số cộng ?
1
46) Cho hàm số: y  x 3  (1  m)x 2  (m  )x  4
3

a) Tìm m để hàm số có hai cực trị ?
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương ?
c) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ âm ?
47) Cho hàm số y = mx 3 + 3x 2 − 9mx + m + 1
a) CMR với mọi m thì hàm số luôn có hai cực trị.
b) Tìm m để hàm số có hai cực trị dương.
c) Tìm m để hàm số có hai cực trị âm.
d) Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu.
48) Tìm m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + (m + 4)x + 2 đạt cực đại tại x = 1 ?
1
49) Tìm m để hàm số y  x 3  (m2  m  2)x 2  (3m2  1)x  m đạt cực đại tại x = −2 ?
3

17


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

50) Tìm m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1)x + m đạt cực tiểu tại x = 2 ?
51) Cho hàm số y = x 3 + ax 2 + bx + c. Tìm a, b, c để hàm số đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = −2 và
đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 0) ?
52) Cho hàm số y = x 4 + ax 2 + b. Tìm a, b để hàm số đạt cực tiểu bằng

khi x = 1 ?

53) Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + m. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và tìm 3 điểm cực
trị đó ?
54) Cho hàm số y = mx 4 − (2m + 1)x 2 + m + 4.
a) Tìm m để hàm số có 3 cực trị ?
b) Tìm m để hàm số có 1 cực trị ?
1
1
55) Cho hàm số y  mx 3  (m  1)x 2  3(m  2)x  . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2
3
3
thoả mãn x1 + 2x2 = 1 ?

56) Cho hàm số y = 2x 3 − 3(m + 1)x 2 + 6mx + m3 . Tìm m để hàm số có hai cực trị y1 , y2 thoả
mãn |y1 − y2 | = 8 ?
57) Cho hàm số y = 2x 3 − 3(3m + 1)x 2 + 6m(2m + 1)x − 4m3 . Tìm m để đồ thị hàm số có một
điểm cực đại là A và một điểm cực tiểu là B biết A thuộc đường thẳng y = −x + 2 ?
58) Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 1 − m có các điểm cực trị nhỏ hơn 2 ?
59) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 4 − 2mx 2 + m4 + 2m có ba điểm cực trị lập thành một tam
giác đều ?
60) Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 4m3 có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường
thẳng y = x ?
61) Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x 3 + mx 2 − 12x − 13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung ?
62) Cho hàm số y = mx 3 − 3mx 2 + 3x − 1. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó ?
63) Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 − (m2 − m)x + m2 − m − 1 có hai điểm cực trị và viết phương
trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó ?
64) Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x 3 − 3x 2 + 6mx − m có hai điểm cực trị ở cùng một phía đối với

trục hoành ?
1
65) Tìm m để đồ thị hàm số y  mx 3  mx 2  x  1 có hai cực trị trái dấu ?
3

66) Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2(m + 1)x 2 + m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA=BC
trong đó O là gốc toạ độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung ? ( ĐH_B_2011)
67) Tìm m để đồ thị hàm số y = −x 3 + 3x 2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 có cực đại, cực tiểu và các
điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc toạ độ O ? (ĐH_B_2007)
68) Cho hàm số y = −x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm
cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó ? (ĐH_A_2002)
69) Tìm m để đồ thị hàm số y = mx 4 + (m2 − 9)x 2 + 10 có ba điểm cực trị ? (ĐH_B_2002)
1
70) Tìm m đểm đồ thị hàm số (Cm): y  x 3  (2m  1)x 2  (1  4m)x  1 có hai điểm cực trị x1 , x2
3
sao cho 3x1 + x2 = 4 ?

71) Tìm m để (Cm): y = 2x 3 + 3(m − 3)x 2 + 11 − 3m đạt cực trị tại hai điểm A và B sao cho ba
điểm A, B, C (0; -1) thẳng hàng?
18


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

72) Chứng minh rằng (Cm): y = x 3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1)x − m3 + m luôn có cực đại và cực tiểu
với mọi m ? Tìm m để các điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số (Cm) cùng với điểm I(1; 1) tạo
thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng √5 ?
73) Tìm m để (Cm): y = x 3 − 3(m − 1)x 2 + 3m(m − 2)x + 1 có hai điểm cực trị đối xứng nhau

1
qua đường thẳng d: y  x  1 ?
2
74) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = −x 3 + 3x 2 + 3m(m + 2)x + 1 có hai cực trị A, B đối xứng
nhau qua điểm I(1; 3) ?
75) Tìm m để (Cm): y = 2x 3 − 3(m + 1)x 2 + 6mx có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng
AB vuông góc với đường thẳng d: y = x + 2 ? (ĐH_B_2013)
76) Tìm m để (Cm): y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 có các điểm cực đại, cực tiểu A, B và đường thẳng đi
qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x + 4y − 2015 = 0 một góc α bằng 45o ?
77) Tìm m đề đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1)x − m3 + m có hai cực trị, đồng thời
khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc toạ độ O bằng √2 lần khoảng cách từ
điểm cực tiểu đến gốc toạ độ O ?
78) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 + 6mx 2 + 9x + 2m có hai điểm cực trị A, B sao cho
khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng

?

79) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1)x − m3 + 4m − 1 có hai điểm cực
trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O ?
80) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 3x 2 − mx + 2 có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân ?
81) Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 3mx + 2 cắt
đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho SΔIAB đạt giá trị lớn
nhất?
82) Tìm m để (Cm):













 có cực trị. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức A = |x1 . x2 − 2(x1 + x2 )| với x1 , x2 là các điểm cực trị của hàm số ?
83) Tìm m để hàm số (Cm):











 có cực đại, cực tiểu và hoành độ các

cực trị lớn hơn 1 ?
̂ = 120° ?
84) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 + 3x 2 + m có hai điểm cực trị A, B sao cho AOB
85) Cho hàm số (Cm): y = x 3 − 2(2m + 1)x 2 + (5m2 + 10m − 3)x − 10m2 − 4m + 6. Tìm m để
đồ thị hàm số trên có hai cực trị và các giá trị cực trị trái dấu ?

86) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 3x 2 − 3m(m + 2)x − 1 có hai cực trị và hai điểm cực
trị đó nằm về hai phía của trục hoành ?
87) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 3x 2 + m2 − m + 1 đạt cực trị tại hai điểm A, B sao cho
SΔABC = 7 với 
?
88) Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C): y = x 3 − 3x 2 + 2 tiếp xúc
với đường tròn (Cm): (x − m)2 + (y − m − 1)2 = 5 ?
89) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm):





 

cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất ?
19



có hai điểm cực trị sao cho khoảng


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

90) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1)x − m3 + 1 có cực đại và cực tiểu

đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu A, B của hàm số cùng với điểm

tạo thành một
̂ = 90° ?
góc AMB
91) Tìm m để (Cm): y = x 3 − 3x 2 + mx + 1 có cực trị sao cho khoảng cách từ điểm

đến

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất ?
92) Tìm m để (Cm): y = x 4 − 2mx 2 + m2 − m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có góc
bằng 30o ?
93) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 4 + 2(m − 2)x 2 + m2 − 5m + 5 có cực đại và cực tiểu tạo
thành một tam giác đều ?
94) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = 2x 4 − m2 x 2 + m2 − 1 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn
điểm O, A, B, C là bốn đỉnh của hình thoi ?
95) Tìm m để hàm số (Cm): y = x 4 − 2mx 2 + m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho đường tròn
ngoại tiếp ΔABC có bán kính bằng 1 ?
96) Cho hàm số (C):





 và đường thẳng Δ đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số (C)

có hệ số góc là k. Tìm k để tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu đến đường thẳng Δ là nhỏ
nhất ?
97) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 4 − 2(1 − m2 )x 2 + m + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một
tam giác có diện tích lớn nhất ?
98) Xác định tham số m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 4 − 4(m − 1)x 2 + 2m − 1 có ba cực trị tạo
thành ba đỉnh của một tam giác đều ?

99) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m4 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm
cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4√2 ?
100) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 4 + 2mx 2 + m2 + m có ba điểm cực trị tạo thành một tam
giác có một góc bằng 120o ?
101) Tìm m để (Cm):











có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có

trọng tâm là gốc toạ độ O ?
102) Tìm m để (Cm): y = x 4 − 2mx 2 + 2 có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành một tam giác có đường
tròn ngoại tiếp đi qua điểm D

?

103) Tìm m để (Cm): y = x 4 − 2mx 2 + 2 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân ?
104) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 4 − 8m2 x 2 + 1 có ba cực trị A, B, C và SΔABC = 64 ?
105) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): 





có cực tiểu mà k có cực đại ?

106) Tìm m để (Cm): y = −x 4 + 2mx 2 − 4 có các điểm cực trị đều nằm trên các trục toạ độ ?
107) Tìm tham số m để (Cm): y = x 4 − 2(m2 − m + 1)x 2 + m − 1 có cực đại và cực tiểu sao cho
khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là ngắn nhất ?
108) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):



, biết tiếp tuyến đó tạo với hai đường tiệm cận

một tam giác vuông cân ở I với I là giao điểm hai đường tiệm cận ?

20


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý


, biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm

cận ngang lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB = IB√2 với I(1; 2) ?


109) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

110) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = 4x 3 − 6x 2 + 1 , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
M(−1; −9) ? (ĐH_B_2008)
111) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): 
A(−2; 4) và điểm B(4; −2) ?


, biết tiếp tuyến đó cách đều hai điểm



có tiếp tuyến song song và cách đường thẳng d: 3x + y −

1 = 0 một khoảng cách bằng √10 ?

112) Xác định m để đồ thị (C):



113) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C):




biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox,


Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB = √82.OB ?
114) Tìm tất cả các giá trị của m ≠ 0 sao cho tiếp tuyến của đồ thị (Cm): y = mx 3 − (2m + 1)x +
m + 1 tại giao điểm của nó với trục trung tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng
4?

115) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C):
tại điểm M sao cho IM  Δ ?




. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C)


116) Tìm tham số m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số (C m): y = x 3 − 3x 2 +

(m − 2)x + 3m vuông góc với đường thẳng d: x − y + 2 = 0 ?

117) Tìm trên d: y = 9x − 7 những điểm mà qua đó kẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C): y =
x 3 + 3x 2 − 2 ?
118) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C): y = x 3 − 3x 2 + 4 tại ba điểm phân biệt M(2;0),
N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc nhau ?


với trục

hoành. Gọi k2 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm tất
cả các giá trị của m sao cho |k1 + k 2 | đạt giá trị nhỏ nhất ?

119) Gọi k1 là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (Cm):



120) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):





, biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ

thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất ?


sao cho tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận lần lượt

tại hai điểm A, B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp ΔIAB lớn nhất, với I là giao điểm hai
đường tiệm cận ?

121) Lập phương trình tiếp tuyến của (C):



122) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 


, sao cho tiếp tuyến đi qua giao điểm của đường


tiệm cận đứng và trục Ox ?
123) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm): y = x 3 + 3mx 2 + (m + 1)x + 1 tại điểm có hoành độ bằng – 1 đi
qua điểm A(1; 2) ?

21

Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

124) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):




, biết rằng tiếp tuyến đó cách điểm A(0; 1) một


khoảng bằng 2 ?
125) Viết phương trình tiêp tuyến của (C):




toạ độ tại A và B sao cho M là trung điểm AB ?

tại điểm M, biết rằng tiếp tuyến đó cắt hai trục

126) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 3mx + 2 có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y +
7 = 0 một góc α, biết cosα =

1

√26

?

127) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):




biết tiếp tuyến đó cách đều hai điểm A(2; 4) và





, biết tiếp tuyến này cắt hai trục Ox, Oy tại hai


điểm B(−4; −2) ?
128) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
điểm A, B sao cho OA = 4OB ?

129) Gọi d là tiếp tuyến của (Cm): y = x 3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1)x − m3 + 1 tại điểm cực đại A,
đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm B. Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 6, với O là gốc
toạ độ ?


có đồ thị (C). Tìm m để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến

đến (C) và hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến này nằm về hai phía trục hoành ?

130) Cho điểm A(0; m) và hàm số



131) Tìm trên d: y = 2x + 1 các điểm mà từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

(C): 
?

132) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = −x 3 + (2m + 1)x 2 − m − 1 tiếp xúc với đường thẳng d: y =
2mx − m − 1 ?
133) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):




sao cho khoảng cách từ giao điểm hai


đường tiệm cận đến tiếp tuyến là lớn nhất ?


. Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến

của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất ?

134) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C):





mà tiếp

tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d:
y = 2m − 1 ?

135) Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M thuộc (C): 

136) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm): y = x 3 − mx + m − 1 tại điểm M có hoành độ bằng – 1 cắt
đường tròn (C): x 2 + y 2 − 4x − 6y + 9 = 0 theo dây cung có độ dài nhỏ nhất ?
137) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):
đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 4 + 2√2 ?

22





, biết tiếp tuyến đó tạo với hai


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

138) Hai điểm M, N thay đổi trên (C): y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2 sao cho tiếp tuyến của (C) tại hai điểm
M, N song song với nhau. Viết phương trình đường thẳng MN biết MN tạo với hai trục toạ độ
một tam giác có diện tích bằng
139) Tìm trên (C):



?


những điểm mà tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất ?


140) Tìm trên đồ thị (C):




vuông cân tại đỉnh A(2; 0) ?

hai điểm B, C thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho tam giác ABC

141) Tìm điểm M trên (C): y = x 3 − 3x + 2 sao cho ΔABM cân tại M với A(0; 4) và B

?


những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai trục toạ độ

một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d: 4x + y = 0 ?

142) Tìm trên (C): 

143) Tìm các điểm A, B thuộc (C): y = −x 3 + 3x sao cho tiếp tuyến tại hai điểm A, B song song với
nhau và AB = 4√2 ?

144) Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C): y = x 3 − 3x + 2 . Tìm toạ độ các điểm M
thuộc (C) sao cho tam giác MAB cân tại M ?


sao cho các tiếp tuyến của (C) tại hai điểm A, B song song với

nhau và ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O với O là gốc toạ độ ?

145) Tìm A, B thuộc (C):



146) Tìm những điểm M trên (C):




sao cho điểm M cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2) ?


147) Tìm M thuộc (C): y = x 3 − 3x + 2 để tiếp tuyến của (C) tại M cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là
N thoả mãn |xM − xN | = 6 ?
148) Tìm điểm M trên đồ thị (C):
4y + 8 = 0 là ngắn nhất ?




sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d: x −


149) Tìm điểm M trên đường thẳng d: y = 3x − 2 sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cực
trị của (C): y = x 3 − 3x 2 + 2 là nhỏ nhất ?
150) Tìm điểm M thuộc (C):




sao cho khoảng cách từ điểm I(−1; 2) đến tiếp tuyến của (C)


tại M là lớn nhất ?
151) Tìm trên đồ thị (C): y = x 3 + 3x − 2 các cặp điểm đối xứng với nhau qua điểm I(2; 18) ?
152) Từ đồ thị hàm số (C): y = x 4 − 4x 2 + 3, hãy tìm m để phương trình |x 4 − 4x 2 + 3| = log 2 m
có bốn nghiệm phân biệt ?
3

153) Từ đồ thị hàm số (C): y = 2x 4 − 4x 2 + 2 , hãy tìm m để phương trình |m| − |x 4 − 2x 2 | = m có
đúng ba nghiệm phân biệt ?
154) Dựa vào đồ thị (C): y = 2x 3 − 3x + 2 hãy tìm m để phương trình |2x 3 − 3x + 2| =
log 4√2(m2 + 1) có đúng 4 nghiệm thực phân biệt ?

23


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý

155) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số





biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox, Oy lần

lượt tại 2 điểm A, B thoả mãn AB = OA√2 ?



156) Tìm các giá trị của m để hàm số







có cực đại x1 ,cực tiểu x2 đồng

thời x1 , x2 là độ dài các cạnh góc vuông của một Δ vuông có độ dài cạnh huyền bằng
157) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho trên đồ thị (Cm):











?



tồn

tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x +
2y − 3 = 0 ?
158) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C): y = x 3 − 3x + 2 tại ba điểm phân biệt A, B, C
sao cho xA = 2 và BC = 2√2 ?
159) Cho hàm số y = 4x 3 − 6mx 2 + 1, m là tham số. Tìm m để đường thẳng d: y = −x + 1 cắt đồ
thị hàm số tại ba điểm A(0; 1), B, C sao cho B, C đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ
nhất ?
160) Tìm m sao cho đồ thị hàm số: y = x 4 − 4x 2 + m có đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành có phần trên bằng phần dưới ?


có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d: y = −x + m + 1 cắt đồ thị (C)

̂ là góc nhọn ?
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc AOB

161) Cho hàm số:




. Đường thẳng d: y = 2x − 2m cắt (Cm) tại hai điểm phân

biệt A, B và cắt hai trục Ox, Oy tại M, N. Tìm m để SΔOAB = 3SΔOMN ?

162) Cho đồ thị hàm số (Cm):



 
hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 4 và đường thẳng

AB vuông góc với đường thẳng y = x ?

163) Tìm trên đồ thị (C): 

164) Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 − mx 2 + m − 1 cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ
lớn hơn – 2 ?
165) Cho hàm số









có đồ thị là (Cm). Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có hai

điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d: 72x − 12y − 35 = 0 ?
166) Tìm trên đồ thị (Cm): y = x 3 − 3(2m2 − 1)x 2 + 3(m2 − 1)x + 1 − m3 hai điểm A, B sao cho
hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc toạ độ ?
167) Tìm tất cả những điểm M thuộc trục tung sao cho từ M có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị
hàm số y = −x 4 + 2x 2 − 1 ?
168) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: 2mx − 2y + m + 1 = 0 cắt đồ thị hàm số






tại hai điểm phân biệt A, B sao cho biểu thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất ?
169) Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x 3 − 2(m + 2)x 2 + 7(m + 1)x − 3m − 12 cắt trục hoành tại
ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thoả x12 + x22 + x32 + 3x1 x2 x3 > 53 ?

24


Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số

Phạm Văn Ý


. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M sao cho tiếp tuyến

cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A, B đồng thời đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc toạ
độ O ?

170) Cho hàm số (C):



Email: _ ĐTDĐ: 0902 589 909

25