Nghiên cứu phương pháp loại trừ nhiễu ứng dụng lý thuyết wavelet

ĐINH THỊ TUYẾT MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

Đinh Thị Tuyết Minh

CHUYÊN NGÀNH:ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG

NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ NHIỄU ỨNG DỤNG
LÝ THUYẾT WAVELET

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
Điện tử - Viễn Thông

KHOÁ:2010-2012

Hà Nội – Năm 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------------Đinh Thị Tuyết Minh

NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ NHIỄU ỨNG DỤNG LÝ
THUYẾT WAVELET

Chuyên ngành : Điện tử - Viễn thông

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Điện tử - Viễn Thông

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
1.PGS.TS Nguyễn Hữu Trung

Hà Nội – Năm 2012


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan cuốn đề tài luận văn “ Nghiên cứu phương pháp loại trừ nhiễu
ứng dụng lý thuyết Wavelet” là do chính tay tôi thực hiện dưới sự chỉ bảo và hướng
dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Trung .
Hà Nội, ngày 22 tháng 3 năm 2012
Tác giả

Đinh thị Tuyết Minh


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
DANH MỤC CÁC BẢNG ........................................................................................4 
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ,ĐỒ THỊ ..................................................................5 
LỜI MỞ ĐẦU............................................................................................................7 
Chương 1: GIỚI THIỆU CHUNG ..........................................................................8 
1.1  Tổng quan ......................................................................................................8 
1.1.2 Lịch sử phát triển của phép biến đổi Wavelet............................................9 
1.1.2 Phạm vi ứng dụng của phép biến đổi Wavelet và phương pháp loại trừ
nhiễu ứng dụng lý thuyết Wavelet. ...................................................................11 

1.2  Các phần thực hiện trong đồ án:..................................................................13 
Chương 2: LÝ THUYẾT VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET.............................14 
2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet .............................................................14 
2.1.1 Phép biến đổi Fourier ...............................................................................14 
2.1.2 Biến đổi Wavelet......................................................................................17 
2.1.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet ......................19 
2.1.4 Sự khác nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet........................19 
2.2 Phép biến đổi Wavelet liên tục: ......................................................................21 
2.2.1 Định nghĩa................................................................................................21 
2.2.2 Các tính chất của phép biến đổi CWT ....................................................23 
2.2.3 Ví dụ Wavelet Morlet...............................................................................28 
2.3 Biến đổi Wavelet rời rạc .................................................................................29 
2.3.1 Định nghĩa DWT......................................................................................30 
1


2.3.2 Tính chất biến đổi DTW ..........................................................................31 
2.3.4 Ví dụ Wavelet Haar..................................................................................31 
2.4 Biến đổi Wavelet rời rạc và băng lọc..............................................................32 
2.4.1 Phân tích đa phân giải (Multiresolution Analysis) ..................................32 
2.4.2 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc..................................................34 
2.4.3 Biểu diễn ma trận DWT ...........................................................................39 
2.4.4 Phân loại Wavelet ....................................................................................42 
2.5 Phân tích gói Wavelet .....................................................................................43 
2.5.1 Khái niệm .................................................................................................43 
2.5.2 Xây dựng các gói Wavelet .......................................................................44 
2.5.3 Tổ chức các gói Wavelet..........................................................................45 
2.5.4 Lựa chọn phân giải tối ưu ........................................................................45 
2.6 Các họ Wavelet ...............................................................................................46 
2.6.1 Wavelet Haar............................................................................................47 

2.6.2 Wavelet Shannon .....................................................................................47 
2.6.3 Wavelet Meyer .........................................................................................48 
2.6.4 Wavelet Battle- Lemaries.........................................................................50 
2.6.5 Wavelet Daubechies.................................................................................51 
2.6.6 Lựa chọn biến đổi.....................................................................................54 
2.7 Ứng dụng của phép biển đổi Wavelet:............................................................55 
Chương 3: ỨNG DỤNG WAVELET TRONG LOẠI TRỪ NHIỄU TÍN HIỆU
...................................................................................................................................59 
3.1 Giới thiệu.........................................................................................................59 
3.2 Khái niệm về khử nhiễu ..................................................................................61 

2


3.2 Quy trình khử nhiễu ........................................................................................62 
3.2.1 Lựa chọn biến đổi.....................................................................................62 
3.2.2 Lấy ngưỡng ..............................................................................................63 
3.2.2 Khôi phục .................................................................................................68 
Chương 4: MÔ PHỎNG VÀ KẾT LUẬN ............................................................69 
4.1 Lưu đồ thuật toán: ...........................................................................................69 
4.2 Chương trình mô phỏng ..................................................................................71 
4.2.1 Giao diện chính của chương trình ............................................................71 
4.2.1 Một số kết qủa khử nhiễu.........................................................................72 
4.3 Đánh giá kết quả..............................................................................................91 
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................93 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................94 

3

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1 Thủ tục tìm cây con tối ưu cho node chưa kết thúc...................................46 
Bảng 2.2: Các moment liên tục, rời rạc của các hàm Wavelet và tỉ lệ với chiều dài
N=6............................................................................................................................53 
Bảng 2.3: Tổng kết tính chất của một số Wavelet ....................................................55 

4


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ,ĐỒ THỊ
Hình 2.1 Phân tích Fourier ........................................................................................14 
Hình 2.2: biến đổi Fourier một hàm tuần hoàn .........................................................15 
Hình 2.3 Biến đổi Fourier trong mặt phẳng thời gian-tần số ....................................16 
Hình 2.4 Cửa sổ Fourier rộng, hẹp và độ phân giải trên mặt phẳng thời gian – tần số
...................................................................................................................................16 
Hình 2.5 Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số của các phép biến đổi ......17 
Hình 2.6: Thuật toán CWT........................................................................................19 
Hình 2.7 Kết quả của phép biến đổi FT và CWT .....................................................20 
Hình 2.8 Các hàm cơ sở trong phép phân tích FT ....................................................20 
Hình 2.9 Các hàm cơ sở trong phép phân tích Wavelet............................................21 
Hình 2.10 Phép dịch trong biến đổi CWT ................................................................21 
Hình 2.11 Phép thay đổi tỉ lệ trong biến đổi CWT ...................................................22 
Hình 2.12: Tính chất dịch của biến đổi CWT ...........................................................24 
Hình 2.13 Tính cục bộ về mặt thời gian. (a) Đồ thị f(t) = δ(t-to) và dạng nón của
vùng ảnh hưởng.(b) đồ thị của hàm nhảy bậc f(t) = u(t-to) và dạng nón của vùng ảnh
hưởng.........................................................................................................................27 
Hình 2.14 Tính cục bộ của biến đổi Wavelet liên tục sử dụng Wavelet sinc. (a) Đồ
thị phổ của Wavelet và các dạng tỉ lệ của nó. (b) đại lượng khác 0 của biến đổi
Wavelet liên tục.........................................................................................................28 
Hình 2.15: Biểu diễn Wavelet Morlet.......................................................................29 

Hình 2.16: Wavelet Haar...........................................................................................32 
Hình 2.17: Không gian và các không gian con trong đa phân giải. Không gian L2
biểu diễn toàn bộ không gian. V j biểu diễn một không gian con, Wj biểu diễn chi
tiết..............................................................................................................................33 
Hình 2.18: Thuật toán hình chóp hay thuật toán mã hoá băng con (a) Quá trình phân
tích (b) Quá trình tổng hợp........................................................................................36 
Hình 2.19: Phân tích wavelet sử dụng ký hiệu toán tử .............................................38 
Hình 2.20: Băng lọc hai kênh....................................................................................39 
5


Hình 2.21 Phân giải Wavelet thường ........................................................................43 
Hình 2.22 Phân giải gói Wavelet ..............................................................................43 
Hình 2.23 các wavelet Haar ......................................................................................44 
Hình 2.24 Các cây gói Wavelet.................................................................................45 
Hình 2.25: Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2......54 
(e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat.......................................................................55 
Hình 2.26: Ứng dụng xử lý tín hiệu sử dụng biến đổi Wavelet ................................56 
Hình 2.27: Ứng dụng Wavelet trong nén ảnh ...........................................................57 
Hình 2.28: Ứng dụng Wavelet trong phát hiện các điểm đột biến, các sườn ...........57 
Hình 2.29: Ứng dụng Wavelet trong loại trừ nhiễu tín hiệu .....................................58 
Hình 3.1: Phương pháp khử nhiễu Wavelet Shrinkage.............................................61 
Hình 3.2: Cấu trúc phân tích .....................................................................................63 
Hình 3.3: Biểu diễn các hàm lấy ngưỡng (shrinkage function) ................................66 
Hình 3.4: Phân tích và khôi phục ..............................................................................68 
Hình 4.1: Quy trình khử nhiễu tín hiệu .....................................................................70 
Hình 4.2: Form giao diện chính ................................................................................71 
Hình 4.3: Form chọn phương thức loại trừ nhiễu .....................................................71 
Hình 4.4: Loại trừ nhiễu tín hiệu block.....................................................................72 
Hình 4.5: Loại trừ nhiễu tín hiệu bumps ...................................................................73 

Hình 4.6: Loại trừ nhiễu tín hiệu heavy sin ..............................................................74 
Hình 4.7: Loại trừ nhiễu tín hiệu doppler .................................................................75 
Hình 4.8: Loại trừ nhiễu tín hiệu noiswom với mức ngưỡng = 10;35......................76 
Hình 4.9: Loại trừ nhiễu tín hiệu nbarb với mức ngưỡng = 10;40 ...........................77 
Hình 4.10: Loại trừ nhiễu tín hiệu noissi2d với mức ngưỡng = 4;30 .......................78 

6


LỜI MỞ ĐẦU
Trong xã hội hiện đại thì thông tin, tri thức luôn là một trong những nhân tố
quan trọng nhất của đời sống kinh tế, xã hội đối với từng quốc gia nói riêng cũng
như toàn xã hội nói chung. Chính vì thế dành một sự đầu tư thích đáng cho sự phát
triển công nghệ chính là đòn bẩy cho sự phát triển các ngành kinh tế khác. Ngay từ
khi mới ra đời, công nghệ xử lý tín hiệu đã khẳng định một vai trò quan trọng trong
đời sống kinh tế, xã hội. Đó là sự biến đổi tín hiệu bằng cách sử dụng các công cụ
xử lý, các phép biến đổi để từ đó có thể mô tả, tính toán hoặc tìm hiểu về tín hiệu.
Các phép biến đổi truyền thống như phép biến đổi Fourier đã được xem là nền tảng
cơ sở không thể thiếu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu từ trước đến nay. Ngày nay các
phép biến đổi đó đang tập trung vào các giải thuật nhanh như FFT, các chuẩn nén
ảnh, nén video.
Khoa học phát triển đã làm xuất hiện thêm nhiều công cụ mới mẻ hơn, ưu
việt hơn trong xử lý tín hiệu, một trong những công cụ mới nhất đó là công cụ xử lý
tín hiệu sử dụng phép biến đổi Wavelet mà đi song song với nó là các dãy lọc, mã
hóa băng con, các kỹ thuật nén và loại trừ nhiễu. Do các ưu điểm nổi trội của nó so
với các phương pháp xử lý tín hiệu truyền thống khác.
Trong khuôn khổ của đồ án “Nghiên cứu phương pháp loại trừ nhiễu ứng
dụng lý thuyết Wavelet” em xin trình bày những vấn đề cơ bản về phép biến đổi
Wavelet và ứng dụng của nó trong lĩnh vực loại trừ nhiễu. Nghiên cứu chỉ ra tầm
quan trọng cũng như ưu điểm của việc xử lý nhiễu sử dụng lý thuyết Wavelet. Các

kết quả thực nghiệm trong việc loại trừ nhiễu đối với một số loại tín hiệu.
Trong quá trình thực hiện đồ án không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất
mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các bạn để đồ án được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cám ơn PGS.TS Nguyễn Hữu Trung và các thầy cô giáo
khoa Điện Tử - Viễn thông, Đại học Bách khoa Hà Nội đã tận tình hướng dẫn, giúp
đỡ em hoàn thiện đồ án này.
Em xin trân trọng cám ơn!

7


Chương 1: GIỚI THIỆU CHUNG

1.1 Tổng quan
Trong lịch sử khoa học, cuộc cách mạng khoa học là một giai đoạn phát sinh
nhiều ý tưởng mới về vật lý, thiên văn học, sinh học, hóa học, giải phẫu học con
người...v.v. Từ đó dẫn tới việc loại bỏ các học thuyết cũ để đặt nền móng cho một
nền khoa học hiện đại. Khoa học hiện đại đã biến khoa học kỹ thuật trở thành nhân
tố chủ đạo. Song song với việc đi sâu vào từng ngành khoa học riêng lẻ là sự xuất
hiện của những lý thuyết ngày càng bao trùm hơn, của càng nhiều ngành khoa học
cụ thể khác nhau, cho phép ứng dụng thành tựu của khoa học này để phục vụ cho
khoa học kia. Một trong những lý thuyết đó là lý thuyết xử lý tín hiệu bằng phương
pháp số (DSP-Digital Signal Processing) ngày càng được sử dụng phổ biến hơn,
thay thế cho phương pháp xử lý tín hiệu bằng phương pháp tương tự (ASP- Analog
Signal Processing) vì những ưu điểm vượt trội của nó. Các hệ thống DSP có tính
mềm dẻo hơn, dể thực hiện hơn, giải thuật đơn giản hơn. Hoạt động của DSP cũng
ít bị ảnh hưởng của các điều kiện bên ngoài hơn và khi công nghệ đa tích hợp ngày
càng phát triển thì giá thành của DSP cũng trở nên rẻ hơn. Tuy nhiên DSP lại bị hạn
chế về tốc độ đặc biệt là khi tần số cao.

Trong việc xử lý tín hiệu số DSP thì lý thuyết Fourier luôn được xem là nền
tảng cơ sở không thể thiếu được từ trước đến nay. Nó là công cụ cơ bản của toán
học và ứng dụng khoa học kỹ thuật, đặc biệt là xử lý tín hiệu số. Biến đổi Fourier là
sự biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số, tuy nhiên phép biến đổi này
chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại các thành phần tần số mà không cho biết
thời điểm xuất hiện của các thành phần tần số đó.
Một vài biến đổi Fourier thế hệ sau như biến đổi Gabor hay biến đổi Fourier
nhanh STFT(Short Time Fourier Transform) đã được đưa ra. STFT có hàm cửa sổ
trượt trên trục thời gian, từ đó tín hiệu được cửa sổ hóa (windowed signal). STFT
8


cho ta quan hệ thời gian – tần số tuy nhiên độ rộng cửa sổ lại cố định và trượt trên
trục thời gian nên không đạt hiệu quả trong việc xử lý tín hiệu băng rộng.
Phép biến đổi Wavelet ra đời nhằm khắc phục những hạn chế của biến đổi
Fourier. Biến đổi Wavelet là một công cụ phân tích theo tỉ lệ. Sự khám phá của
Wavelet dưới dạng những cơ sở trực chuẩn của không gian hàm đã tạo ra các khung
chuẩn cho việc khai triển Wavelet gọi là phân tích đa phân giải và thiết lập ra những
liên kết với các phương pháp được sử dụng trong các lĩnh vực khác. Daubechies đã
xây dựng các bộ lọc băng(Filter banks) được sử dụng trong xử lý tín hiệu số.
Hiện nay Wavelet đang là một chủ đề nóng về cả 2 lĩnh vực lý thuyết và ứng
dụng. Wavelet là một cây cầu nối liền các lĩnh vực riêng biệt của toán học, thống
kê, xử lý tín hiệu và các khoa học vật lý khác. Để hiểu thêm về Wavelet trước hết là
sơ qua vài nét về lịch sử phát triển của phép biến đổi này.
1.1.2 Lịch sử phát triển của phép biến đổi Wavelet
Trong lịch sử toán học, trong một thời gian dài nhiều ý tưởng về biến đổi
Wavelet đã được giới thiệu, đưa ra nhiều nguồn gốc khác nhau về giải tích Wavelet.
Hầu hết các nghiên cứu về Wavelet được thực hiện vào những năm 1930, tuy nhiên
ở thời điểm đó, các nỗ lực riêng biệt đã không đưa ra được một lý thuyết chặt chẽ,
thống nhất.

Trước 1930
Trước 1930, một nhánh chính của toán học nghiên cứu về Wavelet ban đầu với
Joseph Fourier (1807) và lý thuyết của ông về giải tích tần số (frequency analysis),
hiện nay thường được nhắc đến với biến đổi Fourier (FT). Ông cho rằng một hàm
tuần hoàn f(x) có chu kỳ 2Π là tổng của một dãy:
∞

a0 + ∑ (ak cos kx + bk sin kx)

(1.1)

k =1

với các hệ số a0, ak, bk được xác định:
1
a0 =
2π

2π

∫ f ( x)dx,
0

ak =

1

π

2π

∫ f ( x) cos(kx)dx,
0

9

bk =

1

π

2π

∫ f ( x) sin(kx)dx
0

(1.2)


Sau 1807, cùng với sự khám phá ra ý nghĩa của các hàm, sự hội tụ dãy Fourier,
và các hệ thống trực giao, các nhà toán học dần đi từ khái niệm giải tích tần số tới
khái niệm giải tích tỷ lệ (scale analysis). Ý tưởng cơ bản là xây dựng một hàm gốc,
dịch và thay đổi tỷ lệ hàm này, áp dụng chúng với cùng tín hiệu để thu được một
xấp xỉ mới của tín hiệu đó. Người ta nhận ra rằng, dạng phân tích tỷ lệ ít nhạy cảm
với nhiễu vì phân tích tỷ lệ tính sự biến đổi trung bình của tín hiệu ở các tỷ lệ khác
nhau. Khái niệm Wavelet xuất hiện đầu tiên trong phụ lục lý thuyết của A. Haar
(1909). Wavelet Haar triệt tiêu bên ngoài một khoảng hữu hạn. Và Wavelet Haar
không khả vi liên tục, điều này làm hạn chế các ứng dụng của Wavelet Haar.
Những năm 1930

Trong thập kỉ 1930, một vài nhóm các nhà toán học đã độc lập nghiên cứu sự
biểu diễn hàm sử dụng các hàm cơ sở tỷ lệ thay đổi. Bằng cách sử dụng hàm cơ sở
tỷ lệ thay đổi gọi là hàm gốc Haar, Paul Levy, một nhà vật lý đã nghiên cứu chuyển
động Brownian, một dạng tín hiệu ngẫu nhiên. Paul Levy nhận thấy hàm gốc Haar
tốt hơn các hàm cơ sở Fourier khi nghiên cứu các chi tiết nhỏ phức tạp trong chuyển
động Brownian. Và một nghiên cứu khác trong những năm 1930 do Littlewood,
Paley, và Stein thực hiện yêu cầu tính toán năng lượng của hàm f (x):
Năng lượng =

∫

2

f ( x) dx

(1.3)

Các nhà nghiên cứu đã tìm ra một hàm có thể thay đổi theo tỷ lệ và có thể bảo
toàn năng lượng khi tính toán năng lượng hàm. David Marr đã đưa ra với thuật toán
hiệu quả cho xử lý ảnh số sử dụng Wavelet.
1960-1980

Từ năm 1960 đến 1980, các nhà toàn học Guido Weiss và Ronald R.Coifman đã
nghiên cứu các phần tử đơn giản nhất của không gian hàm, gọi là atom (nguyên tử),
với mục đích tìm ra các nguyên tử cho hàm chung và tìm ra quy tắc tập hợp
“assembly rules” cho phép tái xây dựng các yếu tố của không gian hàm sử dụng các
atoms. Năm 1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đã định nghĩa

10

chung Wavelets trong lĩnh vực vật lý lượng tử. Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ra
một cách quan niệm Wavelet dựa trên cơ sở vật lý.
Cuối những năm 80

Năm 1985, Stephane Mallat đã tạo ra một bước nhảy vọt trong nghiên cứu
Wavelet với các công trình nghiên cứu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số. Stephane
Mallat đã khám phá ra mối liên hệ giữa các bộ lọc (quadrature mirror filters), các
thuật toán hình chóp (pyramid algorithm), và các cơ sở Wavelet trực chuẩn. Dựa
trên những kết quả này, Y.Meyer đã xây dựng Wavelet Y.Meyer. Khác với Wavelet
Haar, Wavelet Meyer là khả vi liên tục. Sau đó một vài năm, Ingrid Daubechies đã
ứng dụng các nghiên cứu của Mallat để xây dựng một tập hợp các hàm cơ sở trực
chuẩn Wavelet, là cơ sở cho các ứng dụng Wavelet ngày nay.
1.1.2 Phạm vi ứng dụng của phép biến đổi Wavelet và phương pháp loại trừ
nhiễu ứng dụng lý thuyết Wavelet.

Tương tự như STFT, biến đổi Wavelet cũng là một phép biến đổi một hàm thời
gian thành hàm hai chiều của a và b. Tham số a gọi là thang tỉ lệ, nó chia tỉ lệ một
hàm bằng cách nén hay giãn hàm đó. Tham số b là dịch chuyển của hàm Wavelet
trên toàn bộ trục thời gian.
Hiện nay Wavelet đang là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm. Dưới
các góc nhìn khác nhau Wavelet được quan tâm như là một cơ sở toán học để giải
các bài toán thực tế mà các phép biến đổi tín hiệu truyền thống không thể thực hiện
được. Một số các ứng dụng của Wavelet có thể là: phát hiện điểm đột biến của tín
hiệu; xác định sự lặp lại của các đoạn tín hiệu; phân giải tín hiệu thành các sóng sin
thành phần; nén tín hiệu; giải nhiễu tín hiệu. Bên cạnh các ứng dụng thuần túy về
toán học như giải các phương trình vi phân từng phần, phép biến đổi Wavelet đang
ngày càng chứng tỏ khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác như thiên
văn học, y học, âm nhạc, quang học, xử lý tín hiệu...v.v

Vấn đề khử nhiễu tín hiệu luôn là vấn đề được các nhà nghiên cứu quan tâm
trên cả phương diện thực tiễn cũng như lý thuyết. Vấn đề làm thế nào khôi phục tín
hiệu nguyên bản từ dữ liệu bị nhiễu với mong muốn khôi phục tín hiệu càng giống
11


với tín hiệu nguyên gốc đến mức có thể, đồng thời giữ lại những đặc điểm quan
trọng của tín hiệu. Đã có nhiều thuật toán khác nhau được công bố và mỗi thuật
toán này đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Những phưong pháp khử
nhiễu truyền thống sử dụng phương pháp tuyến tính như là lọc Wiener (Wiener
filtering). Gần đây, phương pháp khử nhiễu phi tuyến được giới thiệu, đặc biệt là
những phương pháp trên cơ sở Wavelet được phát triển mạng mẽ, đa dạng.
Một trong những nhà nghiên cứu tiên phong trong lĩnh vực khử nhiễu cơ sở
Wavelet là Weaver và các cộng sự của mình, họ đã giới thiệu một phương pháp mới
khử nhiễu từ ảnh cộng hưởng từ MR (Magnetic Resonance) dựa trên cơ sở mô hình
được gọi là lấy ngưỡng cứng. Weaver đã chứng tỏ rằng sử dụng lấy ngưỡng
Wavelet, có thể được giảm đáng kể nhiễu mà không làm mờ hình ảnh. Trong khi
Wiever và những nhà khoa học khác chứng minh ưu điểm của mô hình khử nhiễu
Wavelet dựa trên các kết quả thực nghiệm, Donoho và Johnstone đã chứng minh
các kết quả lý thuyết quan trọng về lấy ngưỡng Wavelet. Donoho và Johnstone đã
chứng minh sự co ngắn Wavelet (Wavelet Shrinkage) đem lại kết quả khử nhiễu tốt,
đảm bảo tốc độ hội tụ tốt hơn, và đơn giản. Nhiều công trình nghiên cứu đã được
công bố trong lĩnh vực Wavelet Shrinkage, hầu hết tập trung vào mô hình thống kê
của các hệ số Wavelet và sự lựa chọn tối ưu của các ngưỡng.
Bên cạnh lấy ngưỡng Wavelet, những phương pháp khử nhiễu khác cũng được
nghiên cứu, như khử nhiễu cơ sở Wavelet sử dụng cây Hidden Markov (Hidden
Markov Trees), được khởi đầu bởi Crouse và thực sự thành công. Những mô hình
khử nhiễu dựa trên cơ sở HMT cố gắng mô hình hoá phần phụ thuộc giữa các hệ số
Wavelet kế tiếp sử dụng HMT, và sử dụng sai số bình phương trung bình nhỏ nhất
MMSE (minimum mean-squared error) như là sự đánh giá cho khử nhiễu.

Các cấu trúc cây (Tree Structures) cho các hệ số Wavelet dựa trên độ lớn của
chúng, tỷ lệ và sự định vị rải rác (spatial location) cũng đang được nghiên cứu.
Biến đổi thích nghi dữ liệu như phân tích thành phần độc lập ICA (Independent
Component Analysis) cũng được khảo sát. Xu hướng phát triển tiếp theo của lĩnh
vực khử nhiễu tập trung vào sử dụng các mô hình thống kê để mô hình hoá các đặc

12


điểm thống kê của các hệ số Wavelet và lân cận của nó. Xu hướng tương lai sẽ là
tìm kiếm các mô hình thống kê chính xác hơn cho phân bố của các hệ số Wavelet
không trực giao.
1.2 Các phần thực hiện trong đồ án:

Qua một vài nét tổng quan về lịch sử phát triển cũng như một số các ứng dụng
của phép biến đổi Wavelet đặc biệt là ưu điểm nổi bật của phép biến đổi Wavelet
trong lĩnh vực khử nhiễu tín hiệu. Có thể nói đây là một lĩnh vực mới mẻ, nhiều
tiềm năng và hết sức hấp dẫn. Đồ án này của em trình bày phần lý thuyết về phép
biến đổi Wavelet và đi sâu phân tích việc ứng dụng lý thuyết Wavelet trong lĩnh
vực khử nhiễu tín hiệu. Với các mục tiêu như đã nêu trên, đồ án “Nghiên cứu
phương pháp loại trừ nhiễu ứng dụng lý thuyết Wavelet” bao gồm các chương

như sau:
Chương 1: Giới thiệu chung. Giới thiệu chung về phép biến đổi Wavelet, mục tiêu,

hướng tiếp cận và các nội dung sẽ được trình bày trong đồ án
Chương 2: Lý thuyết về phép biến đổi wavelet. Trình bày cơ sở của lý thuyết

Wavelet, những đặc điểm quan trọng của các dạng Wavelet khác nhau.
Chương 3: Phương pháp loại trừ nhiễu sử dụng phép biến đổi Wavelet.Trình bày

phương pháp khử nhiễu ứng dụng lý thuyết Wavelet.
Chương 4: Mô phỏng và kết luận. giới thiệu chương trình mô phỏng khử nhiễu tín

hiệu được viết bằng Matlab, đưa ra các kết quả mô phỏng và phân tích các kết quả
khử nhiễu thu được cũng như các hướng nghiên cứu tiếp theo.

13


Chương 2: LÝ THUYẾT VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet
2.1.1 Phép biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) là một phép biến đổi tuyến tính, ánh xạ tín
hiệu từ miền thời gian sang miền tần số được định nghĩa:
∞

∫ f (t )e

F ( w) =

− jwt

dt

−∞

(2.1)

∞

f (t ) =

∫ F (w)e

iwt

dw

−∞

Hình 2.1 Phân tích Fourier

Biến đổi Fourier rất phổ biến và là một trong những công cụ chính trong xử lý
tín hiệu đặc biệt là đối với các tín hiệu không đổi theo thời gian (stationary). Nó cho
ta biết được đặc trưng quan trọng của tín hiệu đó là tần số. Trong hình vẽ sau thì
phép biến đổi Fourier sẽ cho biết tín hiệu đưa vào phân tích sẽ bao gồm 02 thành
phần tần số đó 20 rad/s và 40 rad/s.

14


Hình 2.2: biến đổi Fourier một hàm tuần hoàn

Thông tin được chia bởi khoảng tương ứng với toàn bộ trục thời gian vì tích
phân từ -∝ tới +∝. Do đó biến đổi Fourier không phù hợp với tín hiệu có tần số thay
đổi theo thời gian, ví dụ tín hiệu không dừng (non-stationary). Điều đó có nghĩa là
biến đổi Fourier chỉ có thể cho biết có hay không sự tồn tại của các thành phần tần

số nào đó, tuy nhiên thông tin này độc lập với thời điểm xuất hiện thành phần phổ
đó.
Do vậy biểu diễn tần số - thời gian tuyến tính được gọi là biến đổi Fourier
nhanh STFT (Short Time Fourier Transform) được đưa ra. Trong biến đổi STFT, tín
hiệu được chia thành các đoạn đủ nhỏ, do vậy tín hiệu trên từng đoạn được phân
chia có thể coi là dừng (stationary). Với mục đích này, hàm cửa sổ được lựa chọn.
Độ rộng của cửa sổ phải bằng với đoạn tín hiệu mà giả thiết về sự dừng của tín hiệu
là phù hợp. Định nghĩa STFT:

STFT (l , w) = ∫ [ f (t ) w* (t − l )]e− jwt dt
t

với w là hàm cửa sổ.

15

(2.2)


Hình 2.3 Biến đổi Fourier trong mặt phẳng thời gian-tần số

Một đặc điểm quan trọng của biến đổi STFT là độ rộng của cửa sổ được sử
dụng. Cửa sổ càng hẹp thì độ phân giải thời gian càng tốt và sự thừa nhận tính dừng
của tín hiệu càng hợp lý, nhưng độ phân giải tần số kém hơn và ngược lại.

Hình 2.4 Cửa sổ Fourier rộng, hẹp và độ phân giải trên mặt phẳng thời gian – tần số

Vấn đề với biến đổi STFT là sự chính xác của độ phân giải thời gian và tần số
bị giới hạn bởi nguyên lý bất định Heisenberg. Các phương trình cơ bản không thể
đưa ra biểu diễn thời gian-tần số chính xác của tín hiệu, ví dụ không thể biết được

các thành phần phổ tồn tại ở khoảng thời gian nào, và không thể biết chắc chắn
khoảng thời nào trong đó dải tần số chắc chắn tồn tại.
Do vậy, vấn đề là chọn hàm cửa sổ và sử dụng cửa sổ này cho toàn bộ phân
tích, tuy nhiên việc lựa chọn hàm cửa sổ lại phụ thuộc ứng dụng. Nếu như các thành
phần tần số tách biệt với nhau trong tín hiệu nguyên bản, thì chúng ta có thể hy sinh
độ phân giải tần số và do vậy có độ phân giải thời gian tốt. Tuy nhiên, trong trường
hợp các thành phần phổ không tách biệt với nhau thì việc lựa chọn cửa sổ phù hợp
là khó khăn.

16


2.1.2 Biến đổi Wavelet

Mặc dù vấn đề độ phân giải thời gian và tần số là kết quả của hiện tượng vật
lý (nguyên lý bất định Heisenberg) và luôn tồn tại dù sử dụng bất kỳ biến đổi nào,
tuy nhiên người ta có thể khắc phục vấn đề này khi phân tích tín hiệu bất kỳ nhờ sử
dụng phép tính gần đúng luân phiên được gọi là biến đổi Wavelet (WT_Wavelet
Transform). Biến đổi Wavelet phân tích tín hiệu thành các tần số khác nhau với
những độ phân giải khác nhau. Trong biến đổi Wavelet mỗi thành phần phổ không
được phân tích ngang bằng như trong trường hợp biến đổi STFT.

Hình 2.5 Độ phân giải trên mặt phẳng thời gian - tần số của các phép biến đổi

Biến đổi Fourier và STFT dùng các sóng sin tương ứng với tần số để phân
tích tín hiệu. Biến đổi Wavelet dùng một hàm Wavelet gốc gọi là Wavelet mẹ và
các bản dịch, định tỉ lệ. Sóng sin dùng trong biến đổi Fourier biến thiên tuần hoàn từ
đến

, trơn vô hạn cấp. Ngược lại, hình dạng của Wavelet không đều, miền

xác định có thể hữu hạn và không đối xứng.
Biến đổi WT được xây dựng để đưa ra độ phân giải thời gian tốt và độ phân
giải tần số kém hơn ở tần số cao; độ phân giải tần số tốt và độ phân giải thời gian
kém hơn ở tần số thấp. Điều này đặc biệt có ý nghĩa trong việc loại trừ nhiễu thông
tin có ích thường tồn tại ở các thành phần tần số thấp, trong khi các thành phần
nhiễu lại tồn tại chủ yếu ở các thành phần tần số cao.
Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa như sau:
17


+∞

C (a, b) = ∫ f (t )ψ *a ,b (t )dt

(2.3)

−∞

Với

−

1

⎛t −b⎞
⎟
⎝ a ⎠

ψ a ,b (t ) = a 2ψ ⎜

(2.4)

Là hàm cửa sổ hay còn gọi là Wavelet mẹ (mother Wavelet), a là tỉ lệ (scale)
dùng để thay đổi tỉ lệ và b là khoảng dịch (shift) dùng để dịch vị trí thời gian.
là hệ số chuẩn hóa năng lượng, tức năng lượng của hàm Wavelet mẹ (bằng ψ (t) khi
b=0, a=1) không thay đổi theo tỉ lệ a và độ dịch b
Tích chất đặc biệt của hàm ψ

a ,b

(t ) là có khả năng thay đổi độ rộng trong

miền thời gian khi tỉ lệ thay đổi, người ta gọi hàm Wavelet có khả năng “zoom in”
và “zoom out”. Cụ thể là với a nhỏ (a<1) thì ψ

a ,b

có tần số cao, ngược lại nếu a lớn (a>1) thì ψ

(t ) sẽ giản ra và có tần số thấp. Việc

a ,b

(t ) co lại trong miền thời gian và

lấy tỷ lệ Wavelet mẹ cho phép so sánh và rút ra đặc điểm chính xác của tín hiệu.
Các Wavelet có tỷ lệ bé có khả năng trích được phần biến thiên nhanh, có tần số cao
(phần tinh), còn khi tỷ lệ lớn trích được phần biến thiên chậm, tần số thấp (phần
thô) của tín hiệu .

Thuật toán CWT có thể được mô tả như sau:
1. Chọn Wavelet và so sánh với phần đầu của tín hiệu nguyên bản.
2. Tính hệ số C(a,b), thể hiện mức độ tương quan giữa wavelet và phần của tín
hiệu. Hệ số C càng cao thì sự tương tự là lớn. Chú ý kết quả sẽ phụ thuộc
vào hình dạng của Wavelet đã chọn.
3. Dịch Wavelet về phía phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao phủ toàn
bộ tín hiệu.
4. Lấy tỷ lệ Wavelet và lặp lại từ bước 1 đến bước 3.

18


Hình 2.6: Thuật toán CWT

2.1.3 Sự giống nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet

Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là
phép toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log2n độ dài thay
đổi, điền đầy và biến đổi chúng thành các vectơ dữ liệu với độ dài 2n.
Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và
DWT là tương tự nhau. Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận
chuyển vị của ma trận nguyên gốc. Và kết quả là, cả hai biến đổi có thể xem như là
một phép quay không gian hàm tới một miền khác. Với FFT, miền mới này bao
gồm các hàm cơ sở đó là sin và cosin. Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm
các hàm cơ sở phức tạp hơn được gọi là các Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet)
hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet).
Cả hai biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được
phân bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử
dụng để phân biệt các tần số và tính phân bố công suất.
2.1.4 Sự khác nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet

Điểm khác biệt lớn nhất giữa hai dạng biến đổi Wavelet và Fourier là các
hàm Wavelet được cục bộ hóa trong không gian (localized in space), trong khi các
hàm sin và cosin của biến đổi Fourier thì không. Đặc điểm cục bộ về không gian,
cùng với cục bộ các wavelet theo tần số, làm cho các hàm và các phép toán sử dụng
Wavelet được rải rác ra “sparse” khi biến đổi sang miền Wavelet. Sự rải rác này,

19


dẫn đến một số ứng dụng hữu ích như là nén dữ liệu, tách các điểm đặc trưng của
ảnh, và khử nhiễu.

Hình 2.7 Kết quả của phép biến đổi FT và CWT

Điểm khác biệt thứ 2 đó là xem xét sự hội tụ trên mặt phẳng thời gian – tần
số của các hàm cơ sở. trong phân tích FT chỉ có một cửa sổ duy nhất được sử dụng
do đó độ phân giải của phép phân tích là như nhau tại tất cả các điểm trên mặt
phẳng thời gian –tần số

Hình 2.8 Các hàm cơ sở trong phép phân tích FT

20


Trong phép biến đổi Wavelet là các cửa sổ có thể thay đổi. Để tách các điểm
gián đoạn của tín hiệu, người ta có các hàm cơ sở rất ngắn và cùng thời điểm đó để
có được các phân tích tần số chi tiết người ta cần các hàm cơ sở rất dài.

Hình 2.9 Các hàm cơ sở trong phép phân tích Wavelet

2.2 Phép biến đổi Wavelet liên tục:
2.2.1 Định nghĩa

Biến đổi Wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa:
+∞

W(a, b) = ∫ f (t )ψ *a ,b (t )dt
−∞

(2.5)

Trong đó a là hệ số tỷ lệ (scaling) và b là hệ số dịch (translation), với ψ*a,b(t)
là liên hợp phức của hàm wavelet ψa,b(t)
Hệ số dịch b cho biết hàm được làm trễ đi hoặc nhanh lên, tức sự trượt hàm
trên trục thời gian

Hình 2.10 Phép dịch trong biến đổi CWT

Hệ số tỉ lệ a cho biết các hàm bị dãn ra (hoặc co vào), hệ số tỉ lệ càng nhỏ thì
hàm bị co vào càng nhiều.Hệ số tỉ lệ bé sẽ cho phép lấy ra được các thành phần biến
thiên nhanh, có tần số cao (phần tinh). Còn tỉ lệ bé sẽ cho phép trích ra các thành
phần biến thiên chậm, có tần số thấp (phần thô) của tín hiệu.

21


Hình 2.11 Phép thay đổi tỉ lệ trong biến đổi CWT

Các phiên bản khác nhau của hàm Wavelet ψ a ,b (t ) có thể thu được từ Wavelet

cơ bản:
−

1
2

⎛t −b⎞
⎟
⎝ a ⎠

ψ a ,b (t ) = a ψ ⎜

(2.6)

với a, b là các số thực (a ≠ 0), ψ a ,b (t ) là hàm Wavelet gốc, có giá trị trung bình bằng
∞

không: ∫ψ (t )dt = 0 . Hàm Wavelet ψ a ,b (t ) có dạng bất biến trong không gian L2(R)
−∞

của các hàm tích phân bình phương vì có hệ số chuẩn hoá a

−

1
2

Tín hiệu có thể được khôi phục nhờ biến đổi Wavelet ngược:
1
f (t ) =

Cψ

+∞+∞

∫ ∫W (a, b)ψ

−∞−∞

a ,b

(t )

dadb
a2

(2.6)

trong đó Cψ phải thoả mãn điều kiện:
2

ψˆ (ω )
Cψ = ∫
dω < +∞
ω
−∞
+∞

22

(2.7)