NGHIÊN cứu bôi TRƠN và KHẢO sát hƣ HỎNG DO mỏi ổ lăn

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nêu trong Luận văn là do bản thân
tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Trần Thị Thanh Hải - Viện Cơ khí Trường
Đại học Bách Khoa Hà Nội. Ngoài phần tài liệu tham khảo đã liệt kê, các số liệu và
kết quả thực nghiệm là trung thực và chưa được ai công bố trong bất cứ công trình
nào khác.

Tác giả

Đinh Công Thạo

1


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Trần Thị Thanh Hải Viện Cơ khí Trường
Đại học Bách Khoa Hà Nội, người đã hướng dẫn và giúp đỡ tận tình từ định hướng
đề tài đến quá trình viết và hoàn chỉnh Luận văn.
Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban lãnh đạo và Viện đào tạo Sau đại học,
Viện Cơ khí của Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để
hoàn thành bản Luận văn này.
Do năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên Luận văn không tránh khỏi sai sót,
tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô giáo, các nhà khoa
học và các bạn đồng nghiệp.

Tác giả

Đinh Công Thạo

2

MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
EP: Chất phụ gia chịu áp
CMB: Ổ bi
SAW: Vận tốc của sóng âm
AE: Phương pháp phát xạ âm
RUL: Tuổi thọ hữu ích còn lại của chi tiết
TGB: Hộp giá đỡ
ODM: Dữ liệu về cặn dầu
SEM: Kính hiển vi điện tử quét toàn diện

3


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Trang
Bảng 2.1: Tiêu chuẩn lựa chọn mỡ theo điều kiện làm việc ................................... 32
Bảng 2.2: Đặc tính chủ yếu của các loại mỡ được làm đặc bằng những chất làm đặc
khác nhau .............................................................................................................. 33
Bảng 2.3: Loại mỡ theo kiểu ổ ............................................................................... 35
Bảng 2.4: Giá trị Kf theo kiểu ổ ............................................................................. 36
Bảng 2.5: Sự giám sát hệ số f1  f5 do điều kiện khắc nghiệt của môi trường ........ 37
Bảng 2.6: Giá trị q theo động cơ ............................................................................ 38
Bảng 2.7: Tính chất độ nhớt của dầu...................................................................... 43
Bảng 2.8: Một số dụng cụ bôi trơn......................................................................... 57
Bảng 3.1: Dải kích thước hạt kim loại trong dầu .................................................. 103
Bảng 3.2: Tỷ lệ vỡ hạt ở vòng ngoài .................................................................... 107
Bảng 3.3: Tỷ lệ vỡ hạt ở vòng ngoài .................................................................... 107
Bảng 3.4: So sánh sự chiều dài phù hợp của lớp vỡ ............................................. 110
với chiều dài của lớp vỡ đo được ......................................................................... 110

Bảng 3.5: Đặc điểm cơ bản của vòng bi côn ........................................................ 117
Bảng 3.6: Thành phần hóa học của vật liệu vòng bi côn ...................................... 118
Bảng 3.7: Thành phần hóa học của các vật liệu từng bộ phận của CMB .............. 125
Bảng 3.8: Vật liệu bẩn trên vòng ngoài ................................................................ 131
Bảng 3.9: Vật liệu bẩn trên vòng trong ................................................................ 132

4


DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1: Tiếp xúc giữa trụ dài biến dạng và bề mặt mặt phẳng cứng .................... 13
Hình 1.2: Tải phân bố đều trên một đường trên bề mặt rắn bán vô hạn .................. 19
Hình 1.3: Vòng tròn Morh ứng suất cho vật liệu tại điểm A trong hình (1.2) ......... 20
Hình 1.4: Tải phân bố đối xứng kéo dài qua một khe hẹp với bề rộng là 2a ........... 22
Hình 1.5: Biến dạng bề mặt phát sinh từ các ứng suất tiếp xúc bán elipse .............. 24
Hình 1.6: Tiếp xúc đàn hồi của trục ....................................................................... 25
Hình 1.7: Sự so sánh các phương trình (1.42) và (1.43) khi kết thúc ở các cạnh của
miền tiếp xúc ......................................................................................................... 26
Hình 2.1: Chiều dày của màng dầu trong diện tích tiếp xúc con lăn ....................... 29
Hình 2.2: Biểu đồ tuổi thọ mỡ bôi trơn .................................................................. 36
Hình 2.3a: Dùng rãnh dầu trên bề mặt của bích nắp ............................................... 45
Hình 2.3b: Dùng máng quét ................................................................................... 45
Hình 2.4: Mức dầu ngâm con lăn ........................................................................... 45
Hình 2.5: Biểu đồ thời gian phục hồi dầu như cũ ................................................... 46
Hình 2.6: Thể tích dầu trong cho quá trình truyền dẫn dầu bôi trơn ....................... 46
Hình 2.7: Lưu lượng dầu cho dòng chảy chất bôi trơn ........................................... 47
Hình 2.8: Đường kính và số vòi phun cho số dòng chảy chất bôi trơn.................... 47
Hình 3.1: Một dạng hư hỏng điển hình của ổ lăn ................................................... 61
Hình 3.2: Sơ đồ hố (vết mỏi) trên rãnh con lăn ...................................................... 61

Hình 3.3: Vết mỏi nhỏ gần mặt vai đỡ của vòng bi đỡ một dãy.............................. 62
Hình 3.4: Mỏi tiếp xúc trên bề mặt cam ................................................................ 62
Hình 3.7: Mòn tróc bề mặt ray xe lửa trong Kilburn .............................................. 64
Hình 3.8: Phân tích trạng thái ứng suất bề mặt ....................................................... 65
Hình 3.9: Hình ảnh phóng to sự phát triển của vết hư hỏng ................................... 67
Hình 3.10: Phân bố Weibull ổ lăn điển hình .......................................................... 68
Hình 3.11: Biểu đồ hiệu năng ổ lăn........................................................................ 69
Hình 3.12: Độ lệch từ công suất tải ngược ............................................................. 70
Hình 3.13: Đường cong V(z) được đo bằng một vòng bi đỡ 1 dãy ......................... 75

5


Hình 3.14: Siêu âm đầu rò tập trung cho rò rỉ SAW ............................................... 75
Hình 3.15: Hình dạng của phân độ và sắp xếp của mỗi phần tử trong các đầu dò tập
trung phân chia ...................................................................................................... 77
Hình 3.16: Phân cực của các phim được thực hiện bằng cách sử dụng một bảng điện
cực được thực hiện bởi một máy vẽ mạch điện tử .................................................. 78
Hình 3.17: Sự xếp chồng của các phân cực copolymer áp điện phim ..................... 78
Hình 3.18: Dán xếp chồng copolymer áp điện phim lên nhau để chuẩn bị vật liệu
lớp đệm với bề mặt lõm ......................................................................................... 79
Hình 3.19: So sánh của dạng sóng nhận được trong khoảng 1mm khoảng cách phân
kỳ bằng một đầu dò tập trung không phân chia và một đầu dò tập trung phân chia.
Các khẩu độ của các loại không phân chia là 3mm x 10 mm diện tích ................... 81
Hình 3.20: So sánh vận tốc SAW đo bằng cách sử dụng một loại đầu dò tập trung
phân chia với làn sóng biên được triệt tiêu và bằng cách sử dụng một đầu dò tập
trung phân chia mà không cần triệt tiêu sóng biên ................................................. 81
Hình 3.21: So sánh các đặc tính tần số và dạng sóng nhận được bởi đầu dò tập
trung phân chia với lớp đệm nhựa epoxy và lớp đệm tổng hợp .............................. 82
Hình 3.22: Các thông số trong phép đo vận tốc bởi sự phân kì của một đầu dò tập

trung phân chia ...................................................................................................... 84
Hình 3.23: Sự lặp lại của phép đo vận tốc SAW bị rò rỉ ......................................... 85
Hình 3.24: Vận tốc SAW bị rò rỉ trong các vòng bi có giờ làm việc khác nhau ...... 86
Hình 3.25a: Ảnh chụp phóng đại của vết nứt ngắn vết mỏi tiếp xúc trong gang ... 89
Hình 3.25b: Hố mỏi hư hại đã phát triển trong thép cacbon ................................... 89
Hình 3.26: Thiết bị kiểm tra Axmat ....................................................................... 90
Hình 3.27: Thiết bị kiểm tra R-mat ........................................................................ 90
Hình 3.28: Đường cong tổng AE ........................................................................... 92
Hình 3.29: Đường cong AE về đo các mức độ khác nhau với năng lượng thấp cấp
8 (gang xám) ......................................................................................................... 92
Hình 3.30: Đường cong AE .................................................................................. 93
a, Cấp 2 đến cấp 6 trong một mẫu gang xám.......................................................... 93

6


b, Cấp 4 đến cấp 9 trong các mẫu thép cacbon ....................................................... 93
Hình 3.31: Xử lý tín hiệu từ các pha ban đầu của thí nghiệm ................................. 94
Hình 3.32: Biên độ quang phổ mẫu thử đã chọn. Giai đoạn của phổ tần suất rỗ bề
mặt và thời gian lựa chọn mẫu tại giai đoạn rỗ bề mặt ........................................... 94
Hình 3.33: Thông số của tín hiệu AE (C), thu được trong quá trình thí nghiệm mỏi
tiếp xúc của gang xám và thép cacbon ................................................................... 95
Hình 3.34: Ví dụ xử lý 3D phân bố thống kê (n) của biên độ tương đối (ar) đánh giá
trong một phút ....................................................................................................... 95
Hình 3.35: Thiết bị của phòng thí nghiệm tuổi thọ vòng bi .................................... 96
a, Trạm SA 67 ....................................................................................................... 96
b, Trạm RAH 4 ...................................................................................................... 96
Hình 3.36: Mẫu thiết bị thử nghiệm xác định hư hỏng vòng bi .............................. 96
Hình 3.37: Vị trí của gia tốc kế để theo dõi ổ chặn trục phát động trên TGB....... 100
Hình 3.38: Mặt cắt ngang của hộp giá đỡ thí nghiệm .......................................... 101

Hình 3.39: Kích thước các vụn kim loại ở vòng ngoài khi kiểm tra xong ............. 102
Hình 3.40: Sự phát triển của khối lượng và chiều dài hạt kim loại (đo bởi ODM) ở
vòng ngoài ổ 27 ................................................................................................... 104
Hình 3.41: Sự phát triển của khối lượng và chiều dài hạt kim loại (đo bởi ODM) ở
vòng ngoài ổ 33 ................................................................................................... 104
Hình 3.42: Sự phát triển của khối lượng và chiều dài hạt kim loại (đo bởi ODM) ở
vòng ngoài ổ 35 ................................................................................................... 105
Hình 3.43: Sự phát triển của khối lượng và chiều dài hạt kim loại (đo bởi ODM) ở
vòng ngoài ổ 36 ................................................................................................... 105
Hình 3.45: Khối lượng của hat vụn cho cả 4 bài thí nghiệm ................................. 107
trên 4 vòng ngoài ổ bi .......................................................................................... 107
Hình 3.46: So sánh chiều dài và khối lượng của hạt vụn (ODM) ......................... 110
Hình 3.47: Minh họa của RUL bằng giới hạn phát hiện của ODM ....................... 111
Hình 3.48: Sơ đồ minh họa của hệ thống bánh trung tâm xe, xe tải… .................. 114
Hình 3.49: của hệ thống bánh trung tâm xe, xe tải và vòng bi côn bị phá hủy ...... 114

7


Hình 3.50: Sự phá vỡ và rỗ hình thành do chu kỳ tải nén trong vòng trong của vòng
bi ......................................................................................................................... 116
Hình 3.51a: Con lăn côn bị biến dạng .................................................................. 117
Hình 3.51b: Những ví dụ về các mảnh vỡ được tìm thấy trên các con lăn côn ..... 117
Hình 3.52: Vết nứt tạo lên trên vòng ngoài của ổ lăn côn .................................... 118
Hình 3.53: Độ sâu tối đa của vết nứt được tạo thành trên vòng trong ................... 119
Hình 3.54: Bề mặt phá hủy hình thành trong vòng trong ...................................... 120
Hình 3.55: (a) Sự phân bố ứng suất  y trong vòng trong (MPa) .......................... 121
(b) Sự thay đổi của ứng suất  y dọc bề mặt trong ............................................... 121
Hình 3.56: Sơ đồ mô phỏng vết nứt và rỗ gây ra do tải tác dụng liên tục ............. 122
Hình 3.57: a, Chiếc máy bay sau vụ tai nạn ......................................................... 124

b, Các thành phần vòng bi trên trục máy nén khí sau khi tai nạn xảy ra ............... 125
Hình 3.58: Lắp ráp ổ lăn ...................................................................................... 125
Hình 3.59: a, Vòng trong, vòng ngoài và vòng cách sau tai nạn ........................... 126
b, So sánh vòng cách cũ và vòng cách mới được ................................................ 126
Hình 3.60: (a-d), Biến dạng của các bộ phận trước khi tai nạn xảy ra .................. 128
e, Giả thuyết phác thảo dựa trên sự quan sát trong hình 3.65(a-d) ........................ 128
Hình 3.61. Hiển vi quang học của vòng cách và lớp phủ bạc ............................... 129
Hình 3.62: Các chất bẩn trên vòng ngoài đi cùng với biến dạng ........................... 131
Hình 3.63: Mặt bị nứt của vòng cách được kiểm tra bằng phương pháp SEM ...... 133

8


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Từ thời xa xưa, các thiết bị cơ khí và chất bôi trơn đã trở thành những yếu tố
không thể tách rời nhau. Không có chất bôi trơn thì con người không có được
những thành tựu rực rỡ và những sáng tạo kì diệu của nền kĩ thuật như ngày nay.
Bôi trơn là biện pháp làm giảm ma sát và mài mòn đến mức thấp nhất bằng
cách tạo ra giữa các bề mặt vật liệu ở đó xảy ra sự ma sát một lớp chất bôi trơn. Lớp
chất này tạo ra sự ngăn cách giữa các bề mặt vật liệu một cách nhanh chóng một khi
được sử dụng hợp lí. Hầu hết các chất bôi trơn ở dạng lỏng.
Dầu bôi trơn có chức năng chủ yếu:
- Bôi trơn làm giảm ma sát và do đó, làm giảm cường độ mài mòn, ăn mòn
của các bề mặt tiếp xúc.
- Làm sạch và bảo vệ các chi tiết được bôi trơn khỏi các hạt mài mòn nhằm
nâng cao tuổi thọ của máy móc.
- Làm mát động cơ.
- Làm kín máy.
Ngoài các chức năng chủ yếu trên, dầu bôi trơn còn có nhiều chức năng khác

như: chống gỉ và ăn mòn những bộ phận làm bằng kim loại; giảm tối thiểu cặn...
Tuỳ từng chủng loại máy móc và tuỳ điều kiện làm việc, cần lựa chọn dầu bôi trơn
thích hợp.
Nếu dùng không đúng dầu nhớt hoặc không đúng hướng dẫn có thể làm giảm
tuổi thọ của xe gần một nửa. Để tối ưu những công dụng tích cực của dầu nhớt, việc
sử dụng đúng loại dầu nhớt và đúng phương cách cho xe máy trở nên một vấn đề
“không nhỏ”.
Chính việc hiểu đúng nhưng chưa đủ về dầu nhớt của người tiêu dùng có thể
ảnh hưởng đến hệ thống bôi trơn, nguyên nhân gây ra tình trạng động cơ quá nhiệt,
trượt ly hợp, chạy không bốc nên rất hao xăng. Nghiêm trọng hơn, tác động xấu này

9


có thể gây hư hỏng nặng như lột dên, kẹt máy, tróc rỗ bề mặt răng của các bánh
răng trong hộp số. Tuy nhớt xe chỉ chiếm chưa đến 5% trong tổng chi phí bảo trì và
bảo dưỡng xe, nhưng có đến 60% trường hợp hư hỏng động cơ xe bắt nguồn từ việc
sử dụng dầu nhớt không đảm bảo chất lượng.
Mỗi loại xe (động cơ) với công suất khác nhau cần có một loại dầu nhớt
thích hợp. Đồng thời, trong động cơ, mỗi một bộ phận hoạt động với một môi
trường, điều kiện khác nhau do vậy nên lựa chọn loại dầu nhớt có khả năng hoạt
động tốt trên nhiều môi trường, đáp ứng được nhiều điều kiện.
Xuất phát từ những lý do trên tác giả đã lựa chọn đề tài “Nghiên cứu bôi
trơn và khảo sát hƣ hỏng do mỏi ổ lăn ” làm đề tài luận văn tốt nghiệp cao học
của mình.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
2.1. Mục đích nghiên cứu.
- Tầm quan trọng của việc nghiên cứu bôi trơn ổ lăn.
- Tìm hiểu nguyên nhân gây ra hư hỏng ổ lăn.
- Phương pháp bôi trơn và lựa chọn chất bôi trơn hợp lý đối với từng loại ổ.

- Biện pháp để ổ lăn không bị hư hỏng sớm do mỏi.
2.2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
* Đối tượng nghiên cứu:
- Bôi trơn ổ lăn.
- Hiện tượng mỏi ổ lăn.
* Phạm vi nghiên cứu:
- Nghiên cứu các chất bôi trơn ổ lăn.
- Nghiên cứu các dạng sai hỏng, nguyên nhân và biện pháp khắc phục.
- Phương pháp bôi trơn và lựa chọn chất bôi trơn.
- Khảo sát hư hỏng do mỏi ổ lăn.

10


3. Nội dung nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ học tiếp xúc hertz.
- Nghiên cứu bôi trơn ổ lăn, các dạng sai hỏng.
- Khảo sát hư hỏng do mỏi ổ lăn trong thực tế.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết.
- khảo sát thực nghiệm.

11


Chƣơng 1
CƠ HỌC TIẾP XÚC HERTZ
1.1. Giới thiệu chung
Khi hai bề mặt đối xứng tiếp xúc chịu tải, sự biến dạng trên bề mặt luôn luôn
tồn tại, sự biến dạng có thể thuần tuý là đàn hồi hoặc có thêm biến dạng dẻo và do

vậy luôn có sự thay đổi hình dạng bề mặt. Xét vĩ mô (kích thước lớn) thì biến dạng
được xem như là độ cong của bề mặt, các đường thẳng, bán kính... Tuy nhiên ở kích
thước tế vi, không thể có bề mặt thực sự phẳng vì có độ nhấp nhô bề mặt và biến
dạng sẽ được xem xét qua chuyển vị của các điểm. Khi các bề mặt tiếp xúc với
nhau, ban đầu chỉ xảy ra tiếp xúc tại một số điểm hoặc các nhấp nhô . Tổng diện
tích của tất cả các tiếp xúc đó thì được một diện tích tiếp xúc "thực sự" tổng diện
tích tiếp xúc này chỉ bằng vài % so với diện tích của bề mặt tiếp xúc. Trong vùng
tiếp xúc thực sự đó, ứng suất thực sự sinh ra có tổng cân bằng với tải tác dụng. Áp
suất danh nghĩa hay biểu kiến tính bằng tải tác dụng chia cho diện tích tiếp xúc và
nó có giá trị nhỏ hơn rất nhiều so với giá trị áp suất thực (áp suất cục bộ). Dạng tiếp
xúc đó gọi là tiếp xúc Hertz.
Trong chương trình này chúng ta đã phân tích về tiếp xúc Hertz trên cả hình
dạng vĩ mô của bề mặt. Chúng ta bắt đầu khảo sát các điều kiện tiếp xúc Tribology
đơn giản giữa hai bền mặt tiếp xúc profin bề mặt rắn với một mức độ lý tưởng như
thực tế, đó là tiếp xúc giữa hai quả cầu, hai trụ, ở tầm vĩ mô chúng có thể là tiếp xúc
giữa con lăn, viên bi và vòng trong của ổ bi. Trong khi đó ở tầm vĩ mô ta có thể mô
hình hoá tiếp xúc giữa các nhấp nhô bề mặt với nhau. Chúng ta cần phải thiết lập
biểu diễn ứng suất ở vùng tiếp xúc quan hệ với tải tác dụng, hình dạng của profin bề
mặt và tính chất của vật liệu. Chúng ta cần nghiên cứu cả hai trường hợp: tiếp xúc
chịu tải đơn giản khi có ma sát giữa các tiếp xúc.
1.2. Hình dạng bề mặt không tuân theo trong tiếp xúc [4]
Chúng ta cần bắt đầu xem xét trường hợp một trụ dài chịu nén tiếp xúc với
bề mặt phẳng được coi là cứng, sau đó sẽ mở rộng ra các trường hợp khác khi các

12


bề mặt tiếp xúc đều cong và chịu biến dạng nhưng trụ vẫn được coi là dài vô hạn.
Cuối cùng chúng ta sẽ đưa ra trường hợp không gian ba chiều là trường hợp tiếp
xúc của hai mặt cầu. Trên (hình 1.1) là hình dạng tiếp xúc giữa trụ dài chịu tải biến

dạng và bề mặt phẳng cứng: (a) không chịu tải; ( b) chịu tải trên đơn vị chiều dài
W/L. Khi không chịu tải; (c) sự tiếp xúc giữa hai quả cầu biến dạng.
W/L



W1

h

a

z

a

W2


x

hình a

W

a

x

z

hình b

a

W

hình c

Hình 1.1: Tiếp xúc giữa trụ dài biến dạng và bề mặt mặt phẳng cứng
Khi chịu tải (hình a) khe hở z giữa bề mặt phẳng cứng và bề mặt prôfin có
được bằng việc ứng dụng định lý pitago.
Có: z  R  R  x
2



2 1/ 2

1/ 2


x2 
 R  R1  2 
 R 

(1.1)

Nếu x<định lý nhị thức là:

z = R – R[1- x2/R2 +…+ dạng – cao –hơn(x/R )]
Vì vậy: z 

x2
2R

(1.2)

13


Mặt khác chúng ta chọn để mô phỏng prôfin bề mặt các dạng parabol ở gần
miền rất nhỏ gần vùng tiếp xúc.
Bây giờ giả sử rằng khi có tải trên đơn vị chiều dài lực ứng dụng trụ biến
dạng làm cho tâm dịch chuyển một cách thẳng đứng ở về phía mặt phẳng. Như vậy
vùng tiếp xúc thực sự sẽ là một vệt dài hình chữ nhật xếp đối xứng về phía trục z.
Giả sử chiều dài này có bề rộng là 2a kéo dài từ x = -a đến x = a . Điều này được
nhìn thấy ở hình 1.1 b. Mục đích của chúng ta là liên hệ kích cỡ của vết tiếp xúc mà
được mô tả có bề rộng là 2a và với hình dạng hình học và với vật liệu của trục.
Trong hình 1.1b thấy profin gốc của trục là đường nét đứt và rõ ràng là
nếu chúng ta đưa ra điều kiện trong vùng tiếp xúc trong khoảng -a < x < a thì: z
+ Wz = . Trong đó Wz đại diện cho chuyển vị thẳng đứng của mặt trục.
Trong miền này: x  a; WZ    z
WZ   

x2
2R

(1.3a)

Ở ngoài vùng tiếp xúc tức x > a vẫn có nơi tự do giữa trục và mặt phẳng vì
vậy:

WZ   

x2
2R

(1.3b)

Và độ lớn của khe hở h giữa hai bề mặt được chia ra làm hai biểu thức sau:
h  z  WZ   

x2
 WZ  
2R

(1.4)

Nếu bây giờ bề mặt thứ hai coi là cứng như trước và cũng có khả năng biến
dạng, cũng có profin làm trục (có trục song song với trục ban đầu), thì chúng ta có
thể viết các phương trình tương đương với (1.3a) và (1.3b) như sau:
Khi tham gia vào vùng tiếp xúc:
WZ 1  WZ 2  1   2 

x2
x2

2 R1 2R2

(1.5)

x2
x2

2R1 2R2

(1.6)

Khi ở ngoài vùng tiếp xúc:
WZ 1  WZ 2  1   2 

14


Trong đó các ký hiệu 1 và 2 quy cho hai bề mặt, và 2 là chuyển vị của tâm
trục 2 về vị trí trục 1.
Các phương trình có thể viết ngắn gọn bằng việc định nghĩa.
 = 1 + 2 là tổng của khoảng cách do tâm của hai trục chuyển vị và R là
bán kính cong là:

1 1
1


R R1 R2

(1.7)

Chú ý rằng R 1 và R2 đều dương khi cách bề mặt đều lồi nhưng có giá trị

âm nếu bề mặt nào là lõm khi đó ở trong vùng tiếp xúc tức là miền x  a thì:
WZ 1  WZ 2

x2

2R

(1.8)

Khi ở ngoài khoảng tức x > a thì:
WZ 1  WZ 2

x2

2R

(1.9)

Trong hợp phức tạp hơn, giữa hai hình trụ có các trụ không song song thì ở
luận văn này không xét đến.
Trạng thái tiếp xúc tương tự trong không gian ba chiều gồm có tiếp xúc hai
quả cầu. Nếu bây giờ ta để cho hai bề mặt dạng cầu tiếp xúc thì vết tiếp xúc cung
tròn như thấy ở (hình c) mà có bán kính tiếp xúc là a. Các phương trình tương ứng
với (1.8) và (1.9) bây giờ sẽ là:
WZ 1  WZ 2   

x2
y2

với x 2  y 2  a 2

2R 2R

hoặc thay x2 + y2 = r2 ta có thể viết điều kiện tiếp xúc dạng:
r  a nên: WZ 1  WZ 2   

Và khi r  a thì:

x2
2R

WZ 1  WZ 2   

(1.10)
x2
2R

(1.11)

Vấn đề đặt ra là chúng ta phải đặt góc để tìm ra sự phân bố áp suất mà khi bề
mặt có chuyển vị tương hợp với điều kiện đặc biệt đặt ra ở trên. Trong trường hợp
của hai trụ tiếp xúc dài thì nói chung sự chuyển vị phải thoả mãn phương trình (1.8)
và (1.9).

15


Trong khi đó trường hợp của hai quả cầu thì điều kiện thoả mãn thích hợp là
các phương trình (1.10) và (1.11)
1.3. Ứng suất bề mặt và sự phân bố áp suất bán elipse [4]
1.3.1. Tải xuyên tâm

Khi hai vật thể đều mang tải tiếp xúc thì các ứng suất tạo ra trong mỗi chúng
có thể là hoàn toàn đàn hồi hoặc có thể đủ lớn để có thể biến dạng dẻo ở một hay
vài vật thể. Nếu như sự biến dạng chỉ đơn thuần là trường ứng suất đàn hồi thì trong
trường hợp của các kim loại (mà có môđun đàn hồi cao) phải có sức căng tương ứng
nhỏ và vì vậy lý thuyết đàn hồi tuyến tính được áp dụng. Các diện tích tiếp xúc thực
sự sẽ có kích thước nhỏ hơn so với các kích thước mà mô tả đặc tính hình dạng vĩ
mô của các bề mặt. Trong ví vụ của chúng ta điều này có nghĩa là bề rộng (hoặc các
bán kính) a của vùng tiếp xúc là so với các bán kính của các bề mặt cong tức là
a/R<<1 Dưới điều kiện đó thì sự phân bố áp suất trong các vùng tiếp xúc có thể
không ảnh hưởng nhiều các điều kiện cách xa chúng. Giả sử đưa ra là các vật thể
đặc có các đường khoảng cách là vô hạn từ điểm tiếp xúc; trong thuật ngữ của môi
trường liên tục chúng ta có thể coi như mỗi vật thể là nửa vùng bán vô hạn.
Chúng ta bắt đầu với trường hợp không gian hai chiều bằng ví dụ các ứng
suất đàn hồi và sự biến dạng trong của vật thể bán vô hạn chịu tải qua một dải hẹp.
Mục đích của chúng ta là thiết lập dạng phân bố của áp suất, và phân bố áp suất liên
quan gần bề mặt. Nó sẽ tăng khi có sự thay đổi của hình dạng của bề mặt được mô
tả bằng các phương trình (1.8) và (1.9). Một lời giải đàn hồi sẽ cho chúng ta biết cấu
trúc của ứng suất và sức căng tại mỗi điểm trong vật thể. Các ứng suất phải cân
bằng đâu đó trong khối vật liệu và cũng cân bằng với tải ứng dụng trên biên. Sử
dụng đàn hồi tuyến tính khi đó chúng ta có thể nhận được cấu trúc của sức căng từ
biểu thức của ứng suất và để tạo được hệ thống sức căng thừa nhận đó thì phải thoả
mãn các điều kiện hình dạng hình học tương hợp. Chúng ta sẽ giả sử trong không
gian hai chiều, là các khe hẹp nằm song song với trục y và đối xứng qua nó (qua

16


trục y), và vật liệu ở trong trạng thái có sức căng bề mặt y = 0. Có giả thiết này
để điều chỉnh bề dày vật thể có độ lớn cần thiết so với bề rộng của vùng tiếp xúc
và trường hợp này là rất hay gặp trong các vấn đề tiếp xúc thực tế. Trong các

trường hợp của sức căng bề mặt các phương trình cân bằng và trường hợp có thể
được tổng quát hoá trong hệ toạ độ Đề - Các (các phương trình đạo hàm từ (1.12)
đến (1.15) như đã thấy trong các sách sức bền vật liệu tiêu chuẩn. Để cân bằng
thoả mãn thì:
 X  XZ
 Z  XZ

 0 và

0
Z
X
X
Z

(1.12)

Trong đó: x, z là các ứng suất pháp là xz là ứng suất trượt tác động lên
nhân tố của vật liệu tại điểm (x, z).
Để cho tương hợp thì các sức căng tương ứng x, z và xz phải thoả mãn
phương trình:
 X  XZ  2 XZ


X
Z
 X Z

(1.13)

Trong đó các sức căng được liên hệ với chuyển vị wx và wy của phần tử tại
toạ độ (x, z) bởi liên hệ sau:
X 

 WX
 WZ
 W X  WZ
; Z 
;  XZ 

X
Z
Z
X

(1.14)

Đàn hồi tuyến tính liên hệ với ứng suất và sức căng theo định luật Hook thì
sức căng bề mặt có thể viết như sau:













X 

1
1  2  X  1   Z
E

Z 

1
1   2  Z   1    X
E

 XZ

 XZ





2 1  2


 XZ
G
E

(1.15)

Trong đó: E là mô đun đàn hồi , G là môđun trượt đàn hồi , và v là hệ số
Posisson. Các phương trình (1.13), (1.14), (1.15) là tự động thoả mãn các ứng suất
nhận được từ hàm ứng suất  (x, z) theo quan hệ sau:

17


 2
 2
 2
 X  2 ; Z  2 ; XZ 
Z  X
Z
X

(1.16)

Miễn là hàm  (x, z) thoả mãn phương trình sau:
  2  2    2  2 
 2  2  2  2   0
Z 
  X  Z   X

(1.17)

Vấn đề là nếu đặt ra trong toạ độ (r, ) thì hàm ứng suất  (r, ) phải thoả
mãn dạng toạ độ cực của phương trình sau:
 2 1 2
1  2    2 1  1  2 



 2 r 2  2

0
r
r  2   r r r r 2 z 2 
 r

(1.18)

Và suất tương ứng được đưa ra từ các phương trình:
r 

1  1  2

  1  
 2
;   2 ; XZ   
2
r r r 
r  r r 
r

(1.19)

Các sức căng x, z và xz trong trường hợp này có liên hệ với các chuyển wi
và w của một phân số tại (r, ) là:
r 

 wr
w 1 w
1 wr w w
;   r 
;  r 


r
r r r
r 
r
r

(1.20)

Và định luật Hook trở thành:













r 

1
1   2  r   1    
E

 

1
1  2    1   r
E

 r 

 r
G







2 1  2
 r
E

(1.21)

Sự phân tích có thể bắt đầu bằng việc nghiên cứu các ứng dụng và biến dạng
gây ra bởi một cường độ tải đường dây ra trên đơn vị chiều dài W/L tác dụng dọc

theo trục y trên bề mặt của vật đặc bán vô hạn như chúng ta đã nêu và được minh
hoạ ở (hình 1.2).
Trường hợp ứng suất đàn hồi trong mặt phẳng (r, ) cho loại tải này có thể
đạt được thực sự từ hàm ứng suất AIRY.

18


 r ,   

W
r sin 
L

(1.22)

Tải này gây ra tương ứng sự phân bố áp suất ép có các hình dạng như các
vân toả ra hướng về trục 0, là điểm tác dụng của tải, các ứng suất trong bán bề mặt
được mô tả bằng các phương trình sau:
r  

W
cos ; r   r  0
L

(1.23)

Bề mặt của bán không gian là tự do ứng suất tức r = r = 0
Trừ tại những điểm có tải tác dụng tức là ở chỗ đó r = 0. Lý thuyết ứng suất
vô hạn ở đây được gợi ý bằng phương trình (1.23) mà có r ở mẫu là phù hợp với tải

tập trung dọc theo một đường. Trong thực tế vùng tiếp xúc phải luôn có một vùng
giới hạn thậm chí các bề mặt rộng vô cùng nhỏ. Chúng ta cũng chú ý tới hai đặc
điểm của phương trình (1.23): Thứ nhất là khi r rất lớn thì ứng suất tiến tới 0, và thứ
hai r có độ lớn bằng -2W/ D = Const trên vòng tròn có đường kính là D đi qua 0
(điều này có thể thấy ngay từ quan hệ hình học trên đường trong có D cos  = r.
Như vậy r = 0 cho thấy rằng r và  phải là các ứng suất chính vì vậy ứng suất
trượt chính r tại điểm (r, ) có giá trị là r/2
W/L

X

O





D



A



r

Hình 1.2: Tải phân bố đềuhình
trên 1.2
một đường trên bề mặt rắn bán vô hạn

19





x


x
hình 1.3

Hình 1.3: Vòng tròn Morh ứng suất cho vật liệu tại điểm A trong hình (1.2)
Sự biến đổi từ một hệ thống toạ độ đến một hệ thống toạ độ khác có thể được
vẽ bởi vòng tròn MOHR của trạng thái ứng suất cho một điểm đại diện như là điểm
A ở hình (1.2). Các thủ tục này được minh hoạ trong hình 1.4 và dẫn đến các
phương trình sau:
 X   r sin 2   

2W
x2 z
L x 2  z 2 2

 Z   r cos2   
 XZ

2W
z3
L x 2  z 2





2

2W
x2 z
  r cos sin   
L x 2  z 2





2

(1.24)

Để tìm sự thay đổi trong hình dạng của vật liệu dưới tác dụng của loại tải này
chúng ta có thể thay thế ứng suất dư bởi phương trình (1.23) hoặc (1.24) bằng trạng
thái thích hợp của định luật Hook. Ngay khi có sức căng được thiết lập khi thực
hiện lại công việc kết hợp các công việc được dùng trong các toạ độ cực hoặc toạ độ
Đề Các. Vấn đề quan tâm đầu tiên là hình dạng của bề mặt biến dạng, ở trong toạ độ
cực đó là các giá trị của các chuyển vị xuyên tâm (hướng kính) và tiếp tuyến mà Wr
và W làm đại diện.
Khi  = /2 các biểu thức có chuyển vị đó có thể thấy là:
Wr    / 2 
Wr    / 2 

1  2 1  

W

(1.25)

2 KE

1  2 1  

W

2 KE

20

Ln r0 / r 

(1.26)


Phương trình (1.25) chỉ ra rằng tại tất cả các điểm trên biên của vật thể có
một chuyển vị hằng số về phía gốc 0. Trong phương trình (1.26) hằng số r 0 phản
ánh việc chọn một số đã biết mà chỉ chuyển vị thẳng đứng được đo (khi r = r 0 thì
chuyển vị về mặt thẳng đứng W0 = 0) sự lựa chọn tuỳ ý cần thiết kết hợp với lựa
chọn trên là đặc điểm không thể tránh được của các vấn đề biến dạng trong không
gian hai chiều của vật thể bán không gian đàn hồi. Hình dạng của biến dạng bề mặt
được thấy ở hình 1.2 mà việc chọn giá trị của r0 được chỉ ra.
1.3.2. Tải phân bố

Chúng ta đã biết rằng trong thực tế tải w được phân bố trong một vùng tiếp
xúc có hạn như sự phân bố của áp suất p. Giá trị xác định của áp suất xen giữa hai
bề mặt này có thể thay đổi với các giá trị dọc trục x vì vậy p là hàm của x qua đó
chúng ta đã giả sử rằng sự phân bố đó là đối xứng về phía trục z, như vậy sự phân
bố được biểu diễn ở hình 1.4. Bây giờ chúng ta mong muốn thiết lập một kết quả
của sự tạo thành ứng suất tại các điểm, chẳng hạn như điểm A (x, z) trong phần lớn
các điểm của vật thể và chuyển vị chuyển vị thẳng đứng của điểm đặc biệt C (x, z)
trên bề mặt. Vấn đề này chúng ta có thể đạt được bằng việc đưa ra tổng tải mà nó
được đại diện bằng diện tích giữa sự phân bố của áp suất để tạo thành các tải đường
thành phần mà qua mỗi đường tải thành phần này có thể áp dụng việc phân tích
bằng các phương pháp ở các phần trước. Ở đây đưa ra phương pháp của các lời giải
xếp chồng đơn giản hơn đó là "phương pháp hàm GREEN". Tải đặc biệt ở phần này
có mật độ là pds tại điểm B(s, 0) ở hình 1.4.
Các ứng suất tại điểm A do kết quả của tải đường này có thể được viết ngay
từ phương trình (1.24) bằng việc thay x bằng x - z và W/L bởi pds. Vậy tích phân
của kết quả của tất cả các phần tử tải chúng ta có thể viết:
X 

Z  

2z





2

 x  s 



2z3



P S  x  z  d S



2

 z2

2

PS d S

 x  s 





2

 z2



2

21


 XZ  

2z





P S   x  z  d S

 x  s 

2



2

 z2



(1.27)

2

a

a
ds

Z
B(s,o)

C(x,o)

Z

Hình 1.4: Tải phân bố đối xứng kéo dài qua một khe hẹp với bề rộng là 2a
Điều kiện này có nghĩa rằng nếu hình dạng của phân bố áp suất P(s) được
biết (ít nhất là trong nguyên tắc) khi trạng thái của ứng suất tại một số điểm trong
vật thể có thể được đánh giá từ các phương trình trên. Trong thực tế đánh giá các
tích phân là không phức tạp chỉ trong một vài trường hợp đặc biệt lớn hơn. Chuyển
vị đàn hồi của bề mặt của vật thể có thể được thiết lập bằng nhiều cách giống nhau
nhưng bằng tổng các chuyển vị do tất cả các phần tử tải tăng dần của mỗi độ lớn P
(ds). Biểu thị các chuyển vị tiếp tuyến và thẳng đứng của điểm C bởi W x và Wz làm
đại diện, từ Wx = Wr tại điểm   


2

và WZ = W0 và từ phương trình (1.25), (1.26)

chúng ta có thể viết:
WX  

1  2 1    1 ps ds   ps ds
2E


 


X

r
21  2 
WZ  
ps ln 0 ds

E 
xs




(1.28)



Và

(1.29)

Bước thay đổi trong chuyển vị tại gốc mà nó ẩn trong phương trình (1.25)

cần phải được tách ra trong thứ tự tích phân của phương trình (1.28). Chú ý rằng lại
một lần nữa phương trình các chuyển vị bề mặt thẳng đứng chứa một ẩn số r 0 đại
diện mà từ đó mức bề mặt thay đổi được đo. Các dạng phương trình có thể đưa ra ở
dạng khác mà trong một số cách làm tiện lợi hơn cho việc tính toán nếu biểu diễn ở
dạng các Gradient chuyển vị.

22


wx/x và wz/x, là ;

Wx 1  2 1  

P x 
x
2E

(1.30)


 WZ
21  2 
Ps 
Và :

ln
ds

x
E  x  s

(1.31)

Một lời nhận xét quan trọng có thể được đưa ra từ một ví dụ của các phương
trình đó, từ việc định nghĩa trên bề mặt thì ứng suất  X 

w X
khi đó chúng ta có
X

thể cân bằng hai biểu thức cho x từ các phương trình (1.30) và (1.15). Trên bề mặt
ứng suất pháp z bằng độ lớn (nhưng trái dấu) với P(x) là áp suất ở mặt phân giới,
do vậy thấy rằng:

1   x   1  Px   1  2 1  Px 
2

(1.32)

Và:  x    Px  , mà bằng với trị số z
Vì vậy chúng ta có thể nói rằng dưới bất cứ hệ thống áp suất bề mặt thông
thường, ứng suất trong bề mặt xác định x tại một điểm dưới tải là nén (ngược
chiều) và bằng độ lớn của áp suất pháp tác động tại điểm đó. Các ứng suất bề mặt
ngược chiều đã sinh ra được xác định là đặc biệt quan trọng bởi chúng có ảnh
hưởng là làm chậm lại sự tấn công của đàn hồi dẻo ở lớp trên cùng của bề mặt, do
đó làm tăng thêm sự chống lại của bề mặt đàn hồi với biến dạng dẻo.
1.3.3. Tiếp xúc đường
Để đánh giá các ứng suất bên trong và các chuyển vị thay đổi của các phân
bố áp suất trong cả hai dạng hình học không gian hai chiều và không gian ba chiều
thì dạng phân bố riêng và thực tế quan trọng là đã mô tả trong không gian hai chiều

bằng phương trình.
Px   PO 1 

x2
a2

(1.33)

Áp suất tiếp tục tăng từ 0 tại các cạnh dìa của vùng tiếp xúc (ở tại x = a) tới
một giá trị của Po tại tâm; profin áp suất là một nửa elipse. Tổng tải trọng trên đơn
vị chiều dài của tiếp xúc

w
được đưa ra bởi.
L

23




w
 Px dx
L 

(1.34)



Khi đó từ:

 x2 

1  a 2 dx  2 thì áp suất cực đại là:

PO 

2W
La

(1.35)

Áp suất danh nghĩa Pm qua khe hẹp tiếp xúc và bằng
Và vì vậy:

Pm 


4

W
2aL

(1.36)

PO

W/L
3
2

1

h(x)

1

2



-1

a

3

-2



-3

hình 1.5c
hình 1.5a

P/P1
1

0

1

2

x/a
hình 1.5b

Hình 1.5: Biến dạng bề mặt phát sinh từ các ứng suất tiếp xúc bán elipse
Hình (1.5a) tiếp xúc giữa một trụ tương ứng và một mặt phẳng đi qua miền
–a < x < a; hình (1.5b) phân bố áp suất bán elipse với giá trị cực đại P0 trên đường
tâm; hình (1.5c) kết quả biến dạng bề mặt của mặt phẳng vật thể bán không gian.
Hình dạng của bề mặt biến dạng thiết lập có thể tìm thay bằng việc thay thế phân
bố áp suất bán Elipse và các phương trình (1.18) và (1.29). Viết  = a.x vậy
thì trong vùng tiếp xúc  < 1 di chuyển vị thẳng đứng Wz của bề mặt được đưa bởi
biểu thức:
WZ 





2W 1  2 2
 C
LE



(1.37)

24

Trong khi ở ngoài vùng tiếp xúc tức:   1thì:





2W 1   2
1
1
ln    2  1 
C 
2
LE
2
2    2 1

WZ 





(1.38)

Trong đó C = const. Hình dạng của profin của bề mặt vật thể bán không gian
với tải dạng này được phác hoạ trên hình 1.5c. Hằng số C được chọn tại Wz = 0 và 
= 3.
Sự phân bố của áp suất được quan tâm đặc biệt bởi vì việc làm oằn bề mặt

của bán không gian phát sinh từ việc nó có thể tồn tại với các điều kiện liên quan
đến tiếp xúc của hai trụ với liên quan tới các phương trình (1.8) và (1.9) miễn là a
và W được liên hệ với phương trình.
a2 

4 WW1  12 1  22 



L  E1
E2 

(1.39)

Điều kiện này có thể được viết ngắn gọn hơn bởi định nghĩa E * gọi là modul
1 1   12 1   22 



E *  E1
E2 

tiếp xúc bằng quan hệ:
Do vậy: a 2 
0

4 WW
E* W
và PO 
L

RL

(1.40)
1.5

0.5

  p o

1.0

0.5

po

0.5

0.2-0.3
1.0

0.267

1.5

0.25
0.113

2.0
Z/a

b,

a,

1.6hồi của trục
Hình 1.6: Tiếp hình
xúc đàn

Hình (1.6a) ứng suất bề mặt dọc theo trục đối xứng Oz; và hình (1.6b) là các
đường cong ứng suất trượt chính.

25