Phát triển phương pháp runge kutta nystrom tính toán dao động của cơ hệ có phần từ đàn phớt cấp phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
--------------------------------------DƢƠNG VĂN LẠC

PHÁT TRIỂN PHƢƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA-NYSTRӦM
TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ
PHẦN TỬ ĐÀN PHỚT CẤP PHÂN SỐ

Chuyên ngành : CƠ ĐIỆN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CƠ ĐIỆN TỬ

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. NGUYỄN VĂN KHANG

Hà Nội - 2016


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................................................3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC TỪ VIẾT TẮT ..........................................................4
DANH MỤC CÁC BẢNG .............................................................................................................5
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ ................................................................................6
MỞ ĐẦU ..........................................................................................................................................8
CHƢƠNG 1. ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ ..................................................................................9
1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ......................................................................9
1.2 BIỂU THỨC HỢP NHẤT GIỮA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN................................. 10
1.2.1 Đạo hàm cấp n .......................................................................................................... 10
1.2.2 Tích phân nhiều lớp của một hàm số ..................................................................... 11
1.2.3 Sự hợp nhất giữa toán tử đạo hàm cấp n và tích phân n lớp ............................... 12

1.3 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ................................................................... 13
1.3.1 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Grünwald-Letnikov. ...................................... 13
1.3.2 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Riemann Liouville. ........................................ 13
1.3.3 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Caputo. ............................................................. 14
1.3.4 Một số định nghĩa đạo hàm cấp phân số khác ...................................................... 15
1.3.5 Sự tƣơng đƣơng của định nghĩa Riemann-Liouville và Grüwald-Letnikov ..... 17
1.4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ................................................. 18
1.4.1 Tính chất tuyến tính ................................................................................................. 18
1.4.2 Quy tắc Leibniz ........................................................................................................ 18
1.4.3 Tính chất biến đổi thang bậc ................................................................................... 18
1.4.4 Đạo hàm cấp phân số của một chuỗi ..................................................................... 19
1.4.5 Tính chất hợp thành ................................................................................................. 19
1.5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ ......................................................... 20
1.5.1 Đạo hàm cấp phân số của một hằng số .................................................................. 20
1.5.2 Đạo hàm cấp phân số của hàm f (t )
1.5.3 Đạo hàm cấp phân số của f (t )

t a ........................................................ 21

(t a ) p .......................................................... 21

1.5.4 Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm f (t )

(1 t ) p

.......................... 21

1.5.5 Đạo hàm của hàm bƣớc nhảy đơn vị và hàm Delta-Dirac .................................. 22
1.5.6 Đạo hàm cấp phân số của hàm f (t )

e at

.......................................................... 23
1


1.6 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ LAPLACE CỦA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ ..... 23
1.6.1 Phép biến đổi Laplace .............................................................................................. 23
1.6.2 Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace ..................................................................... 24
1.6.3 Tính chất phép biến đổi Laplace ............................................................................ 24
1.6.4 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm cấp phân số ................................................. 24
1.6.5 Phép biến đổi Fourier của đạo hàm cấp phân số .................................................. 25
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẠO
HÀM CẤP PHÂN SỐ ................................................................................................................. 27
2.1 HAI THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ .......... 27
2.1.1 Thuật toán sử dụng đạo hàm cấp một .................................................................... 27
2.1.2 Thuật toán sử dụng đạo hàm cấp hai ..................................................................... 32
2.2 PHƢƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CƠ HỆ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP
PHÂN SỐ ................................................................................................................................ 35
2.2.1 Phƣơng pháp sai phân ............................................................................................. 35
2.2.2 Phƣơng pháp Newmark .......................................................................................... 35
2.2.3 Phƣơng pháp Runge-Kutta..................................................................................... 37
2.2.4 Phát triển phƣơng pháp Runge-Kutta-Nyström tính toán dao động cơ hệ có đạo
hàm cấp phân số ................................................................................................................. 39
2.2.5 So sánh độ chính xác và thời gian tính giữa các phƣơng pháp ......................... 40
CHƢƠNG 3. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ PHẦN TỬ ĐÀN NHỚT CẤP
PHÂN SỐ BẰNG PHƢƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA-NYSTRӦM .................................. 44
3.1 DAO ĐỘNG CỦA HỆ CHỊU KÍCH ĐỘNG VA ĐẬP................................................. 44
3.1.1 Mô hình dao động của hệ chịu kích động va đập ................................................. 44
3.1.2 Tính toán dao động của hệ chịu kích động va đập ............................................... 45

3.2 DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA HỆ CÓ PHẦN TỬ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ ... 49
3.2.1 Dao động của hệ Duffing ........................................................................................ 49
3.2.2 Dao động của hệ Vander Pol .................................................................................. 59
KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN ....................................................................................................... 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................... 68
PHỤ LỤC ...................................................................................................................................... 73

2


LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là DƢƠNG VĂN LẠC, học viên cao học lớp 14BCĐT.KH, khóa
CH2014B, chuyên ngành Cơ điện tử. Sau thời gian học tập, nghiên cứu tại trƣờng Đại
Học Bách Khoa Hà Nội, đƣợc sự giúp đỡ hƣớng dẫn của thầy NGUYỄN VĂN KHANG,
tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp thạc sĩ.
Tôi xin cam đoan các nội dung đƣợc trình bày trong luận văn này là kết quả nghiên
cứu của bản thân tôi, không có sự sao chép hay copy của bất cứ tác giả nào.
Tôi xin tự chịu trách nhiệm về lời cam đoan của mình.
Hà Nội, Ngày 28 tháng 03 năm 2016
Tác giả

DƢƠNG VĂN LẠC

3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC TỪ VIẾT TẮT
Ký hiệu

Nội dung, ý nghĩa

p
a Dt
R p
a t
C p
a t
G p
a t

Ký hiệu đạo hàm cấp phân số

D

Ký hiệu đạo hàm cấp phân số theo Riemann Liouville

D

Ký hiệu đạo hàm cấp phân số theo Caputo

D
s

Ký hiệu đạo hàm cấp phân số Grunwald-Letnikov

p, q
m
c
k
f t

RKN

Hàm Gramma
Hàm Bêta
Khối lƣợng
Độ cản nhớt
Độ cứng
Ngoại lực
Phƣơng pháp Runge-Kutta-Nyström

4


DANH MỤC CÁC BẢNG
Tên

Nội dung

Bảng 2.1
Bảng 2.2

So sánh nghiệm chính xác và kết quả tính toán của các phƣơng pháp
So sánh sai số % tƣơng đối của các phƣơng pháp

Trang
41
41

5

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
Nội dung

Tên
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình

Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình

1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
3.28
3.29
3.30
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35

Đƣờng cong Jordan trơn từng khúc có hai điểm mút
Đƣờng cong kín C trong miền D thuộc mặt phẳng phức
Xấp xỉ tích phân bằng công thức hình thang
Nghiệm chính xác (ví dụ 2.1)
Kết quả giải và thời gian tính (ví dụ 2.2)
Kết quả giải, và thời gian tính (ví dụ 2.3)
Kết quả giải, và thời gian tính (ví dụ 2.4)
Hệ dao động chịu kích động va đập
Mô hình dao động sau khi va chạm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h=30mm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h=60mm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h=100mm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIb và thực nghiệm với h=30mm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIb và thực nghiệm với h=60mm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIb và thực nghiệm với h=100mm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h=30mm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h=60mm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h=100mm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IVc và thực nghiệm với h=30mm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IVc và thực nghiệm với h=60mm
Kết quả so sánh mô hình lý thuyết IVc và thực nghiệm với h=100mm
Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.1)
Đồ thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.1)
Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.1)
Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.1)
Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.2)
Đồ thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.2)
Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.2)
Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.2)

Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.3)
Đồ thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.3)
Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.3)
Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.4)
Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.4)
Đồ thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian (ví dụ 3.4)
Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.4)
Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.5)
Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.5)
Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.5)
Đồ thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.5)
Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.5)
Đồ thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.5)

Trang
16
17
33
41
42
42
43
44
44
45
46
46
46
47
47

47
48
48
48
49
49
50
50
51
51
51
52
52
52
53
53
53
54
54
54
55
55
56
56
56
57
57
6

Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình
Hình

3.36
3.37
3.38
3.39

3.40
3.41
3.42
3.43
3.44
3.45
3.46
3.47
3.48
3.49
3.50
3.51
3.52
3.53
3.54
3.55
3.56
3.57
3.58
3.59
3.60

Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ

Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ

thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.6)
thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.6)
thị pha vận tốc theo dịch chuyển (ví dụ 3.6)
thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.6)
thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.6)
thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.7)
thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.7)
thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.7)
thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.7)
thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.8)
thị gia tốc theo thời gian (ví dụ 3.8)
thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.8)

thị pha đạo hàm cấp phân số theo gia tốc (ví dụ 3.8)
thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.9)
thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian (ví dụ 3.9)
thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.9)
thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.10)
thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian (ví dụ 3.10)
thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.10)
thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.11)
thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian (ví dụ 3.11)
thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.11)
thị dịch chuyển theo thời gian (ví dụ 3.12)
thị đạo hàm cấp phân số theo thời gian (ví dụ 3.12)
thị pha đạo hàm cấp phân số theo dịch chuyển (ví dụ 3.12)

57
58
58
58
59
60
60
60
61
61
61
62
62
62
63
63

64
64
64
65
65
65
66
66
66

7


MỞ ĐẦU
Vài thập kỷ gần đây, nhiều ứng dụng của đạo hàm cấp phân số trong các lĩnh vực
vật lý, hóa học, cơ khí, giao thông vận tải, xây dựng, tài chính và các ngành khoa học
khác đã đƣợc quan tâm nghiên cứu. Oldham và Spanier ứng dụng đạo hàm cấp phân số
vào quá trình khuyếch tán; Kempfle mô tả cơ hệ tắt dần; Bagley và Torvik, Caputo
nghiên cứu về tính chất của các vật liệu mới…
Các nhà cơ học cũng bắt đầu nghiên cứu việc áp dụng đạo hàm cấp phân số vào
các hệ dao động, động lực học nhƣ hệ đàn nhớt và nhớt dẻo. Nutting (1921, 1943) là một
trong những nhà nghiên cứu đầu tiên nghĩ rằng hiện tƣợng chùng ứng suất có thể đƣợc mô
hình thông qua thời gian bậc phân số. Shimizu (1995) nghiên cứu dao động và đặc tính
xung của bộ dao động với mô hình Kelvin – Voigt phân số của vật liệu đàn nhớt dựa trên
gel silicone và chứng minh một số tính chất khác biệt giữa khả năng giảm chấn của vật
liệu này so với vật liệu đạo hàm cấp nguyên. Zhang và Shimizu (1999) nghiên cứu một
vài phƣơng diện quan trọng về trạng thái tắt dần của bộ dao động đàn nhớt đƣợc mô hình
bởi quy luật kết cấu Kelvin – Voigt phân số. Họ đã thảo luận sự ảnh hƣởng của điều kiện
đầu tới trạng thái tắt dần …
Ta đã biết quan hệ giữa lực và biến dạng của các bộ giảm chấn đàn nhớt có dạng

f t

Dpx t ,

0

p 1.

Trong đó f t là lực tác dụng, x t là dịch chuyển,
D

p

là hệ số cản không tuyến tính,

dp
là toán tử đạo hàm cấp phân số.
dt p

Thực tế rằng đối với những biến dạng lớn, đáp ứng phi tuyến xuất hiện. Một số mô
hình đƣợc đề xuất để giải thích sự đáp ứng phi tuyến. Một mô hình có thể đƣợc đƣa ra là
một lò xo phi tuyến đƣợc thêm vào vế phải của phƣơng trình trên. Một mô hình khác
đƣợc đƣa ra bởi Zhimizu và Nasuno yêu cầu đối với một số vật liệu đàn nhớt, tính phi
tuyến xuất phát từ đạo hàm cấp phân số của biến dạng nén.
Luận văn này trình bày các phƣơng pháp số để giải phƣơng trình vi phân chứa đạo
hàm cấp phân số, trong đó phƣơng pháp Runge-Kutta-Nyström đƣợc phát triển để tính
toán dao động của cơ hệ có thành phần đạo hàm cấp phân số. Luận văn sử dụng các
phƣơng pháp số này để tính toán một vài mô hình dao động phi tuyến của các hệ đàn nhớt
có chứa đạo hàm cấp phân số.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy GS.TSKH. Nguyễn Văn

Khang, thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện luận văn này.
8


CHƢƠNG 1
ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Chúng ta sử dụng n và N là những số nguyên dƣơng, và p là số bất kỳ. Cho một
hàm số f t . Ta ký hiệu đạo hàm cấp 1, cấp 2,... cấp n ,…của hàm f t
d2 f t

df t

nhƣ sau

dn f t

,
,...,
,...
dt
dt 2
dt n
Ngoài ra ta cũng có các ký hiệu đạo hàm tƣơng tự
df t d 2 f t
dn f t
,
,...,
,...
2

n
dt
dt
dt

Đạo hàm của hàm f t theo
df
d t a

df t
dt

,

(1.1)

(1.2)

a bằng đạo hàm theo t của nó

t

d2 f t

d2 f t
2

d t a

dt 2

dn f t

,...,

d t a

dn f t
n

dt n

,...

(1.3)

Do tích phân là sự nghịch đảo của đạo hàm nên ta viết
t

d 1f t

f t0 dt0

1

dt
Các tích phân nhiều lớp đƣợc ký hiệu
d

2

d

n

dt

dt1

2
0

tn

dtn

n

t1

t

t

f t

0

f t

dt

(1.4)

(1.5)

0

t2

1

dtn

1

0

f t0 dt0

t1

dt1 f t0 dt0 .

2

0

0

(1.6)

0

Khi giới hạn dƣới khác 0, các tích phân sẽ đƣợc viết
t

d 1f t

d

n

d t a

a

tn

t

f t

dtn

n

(1.7)

f t0 dt0

1

d t a

dtn

1

a

t2

1

t1

dt1 f t0 dt0 .

2

a

a

(1.8)

a

Lƣu ý phƣơng trình sau đúng với đạo hàm nhƣng không đúng với tích phân

dn f t
d t a

dn f t
n

dt n

(1.9)

Tức là
9


n

d

f t

d
n

d t a

Đạo hàm cấp n thƣờng đƣợc viết f

n

n

f t

dt

n

(1.10)

.

t

Từ đó ta sẽ sử dụng đối với tích phân
tn

t
n

f

t

dtn

dtn

1

a

Với

t2

1

t1

dt1 f t0 dt0 .

2

a

a

(1.11)

a

p là số bất kỳ
dpf t

dpf t
p

d t a

dpf t

p

dt

dt

dpf t
d t a

f

p

dpf
p
t b

(1.12)

t .

b .

p

d t a

p

(1.13)

Một số ký hiệu sau thƣờng đƣợc sử dụng
dpf t

a Dt
p

d t a

p

f t

(1.14)

Dap f t .

1.2 BIỂU THỨC HỢP NHẤT GIỮA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1.2.1 Đạo hàm cấp n
Trƣớc khi giới thiệu đạo hàm cấp phân số, ta sẽ rút ra biểu thức hợp nhất cho đạo hàm
và tích phân cấp nguyên. Đầu tiên, ta có định nghĩa đạo hàm cấp 1 của hàm f t
d1 f t
dt

df t

1

f t

lim

dt

t

f t

t

lim

t

0

t

0

t

1

f t

f t

t

.

(1.15)

Đạo hàm cấp 2 của hàm f t
d2 f t
dt

f t

lim

2

t

f t
t

0

f t

lim
t

lim
t

f t
t

0

t

lim
t

f t

t

f t 2 t
t

0

(1.16)

t

0

lim
t

t

2

t

0

f t

2f t

t

f t 2 t

Tƣơng tự ta có đạo hàm cấp 3

d3 f t
dt 3

lim
t

0

t

3

f t

3f t

t

3f t 2 t

f t 3 t

.

(1.17)
10


Bởi các hệ số trong những phƣơng trình trên gần giống với hệ số nhị thức Newton, ta
có thể viết đạo hàm cấp n

dn f t
dt n

lim
t

t

0

n

n

n

j

1

j

j 0

f t

Giả thiết rằng tất cả các đạo hàm đều tồn tại và

j t

.

(1.18)

t tiến tới 0 liên tục, nghĩa là tất cả

những giá trị của nó đều tiến tới 0. Đối với sự biểu diễn hợp nhất với tích phân, ta sẽ cần
có một giới hạn chặt. Để làm đƣợc điều này, chia khoảng t a thành N đoạn bằng
nhau
t
Thay vào phƣơng trình (1.35)

t a N,

N

dn f t
dt

lim

n

Nt

n

Chú ý rằng hệ số nhị thức

n

dt

Nt

lim

n

j 0

lim

dt
Từ (1.19) và (1.21) suy ra

N

n
f t
j

j

1

= 0 nếu j

j

dn f t

dn f t

0

n

n

Nt

n

Nt

0

j

N

t

.

(1.20)

n , (1.20) đƣợc viết lại nhƣ sau
N 1

n
f t
j

j

1
j 0

t a
N

(1.19)

N 1,2,3...

n N 1

1

n
f t
j

j

j 0

j

j

N

t

.

t a
N

(1.21)

.

(1.22)

1.2.2 Tích phân nhiều lớp của một hàm số
Bây giờ ta sẽ chú ý vào biểu thức tích phân n lớp của f t . Vì một tích phân cấp
nguyên đƣợc định nghĩa qua diện tích, ta biểu diễn nó với tổng Riemann
1
a It f t

lim
Nt

0

d

1
a Dt f t

Nt

f t

1

d t a
f t

t

f t

Nt

f t0 dt0

1
a

f t 2

Nt

f a

Nt

(1.23)

N 1

lim
Nt

0

Nt

f t

j

Nt

.

j 0

Tích phân 2 lớp :

11


2
a It

f t
lim
Nt

lim
Nt

a Dt

f t

t1

t

f t

dt1 f t0 dt0

2

d t a

2

Nt

0

2

d

f t

2

Nt

0

2

a

2f t

Nt

a

3f t 2

Nt

Nf a

Nt

(1.24)

N 1

j 1 f t

j

Nt

.

3

f t

j 0

Đối với tích phân 3 lớp :
3
a It

f t

a Dt

lim
Nt

3

d

f t

3

Nt

0

a

a

j 1 j 2

f t

2

j 0

t1

dt2 dt1 f t0 dt0

3

d t a
N 1

t2

t

a

j

(1.25)
Nt

.

Tƣơng tự với tích phân n lớp viết nhƣ sau :
n
a It f t

lim
Nt

d

d

n
a Dt f t

n

Nt

0

d t a

n

N 1

j

N

n N 1

f t

t1

1

dtn

1

a

j n 1

t a
N

lim

dtn

n

d t a

tn

t

f t

j 0

f t
n

n

a

j

Nt

j n 1
f x
j

j 0

f t0 dt0

2
a

(1.26)

.

j

t a
N

(1.27)

.

1.2.3 Sự hợp nhất giữa toán tử đạo hàm cấp n và tích phân n lớp
Bây giờ ta thay

n với n nhận giá trị âm thì phƣơng trình (1.27) có dạng

n
dn f t

n

d t a

lim

N

n N 1

t a
N

j n 1
f t
j

j 0

j

t a
N

(1.28)

.

So sánh phƣơng trình (1.22) và (1.28) ta thấy

1

j

n

j n 1

j
Thật vậy ta sẽ chứng minh công thức (1.29)

(1.29)

j

Theo định nghĩa
1

j

n
j

1

j

n n 1 n 2
j!
j n 1
j

j n 1!
j! n 1 !

Với

n 1

n!,

n 1

n

n

j 1

j n 1 j n 2
j!

n

(1.30)

n

12


m
k

m m 1 m 2

m k 1

k!

m j n 1
Thay
k j

ta có

m 1

m!
k! m k !

k 1

m 1

j n ,

k 1

j 1 ,

m k 1

m k 1

n .

Mặt khác
n
j n 1

j n
j
j
n
j 1
Do đó có thể viết biểu thức (1.22) và (1.28) dƣới một dạng chung
1

a

j

dn f t

n
t

D f t

d t a

t a
N

lim

n

N

nN 1

(1.31)

j n
f t
n
j 1

j 0

j

t a
N

.

(1.32)

Trong đó n nhận cả giá trị nguyên âm và dƣơng.
1.3 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
1.3.1 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Grünwald-Letnikov.
Công thức (1.32) đúng với mọi tùy ý, ta đạt đƣợc định nghĩa cơ bản và tổng quát
nhất theo Grünwald - Letnikov
dpf t

p
a Dt f t

Với

p

d t a

p N 1

t a
N

lim

N

j 0

j

p

p

j 1

f t

j

t a

N

.

(1.33)

p là số thực tùy ý.

Cách định nghĩa theo Grunwald - Letnikov nhƣ trên có ƣu điểm là đạo hàm, tích phân
cấp phân số đƣợc tìm thông qua giá trị của hàm, không cần các phép tính tích phân và đạo
hàm của nó.
Mặt khác ngƣời ta đã chứng minh đƣợc rằng hàm
nhƣng tỉ số

j

p

p

p

0 có thể không hữu hạn

hữu hạn.

p

j

Hệ số:

p 1
j

j

p

j 1

p

Aj

(1.34)

1

đƣợc gọi là hệ số Grünwald
1.3.2 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Riemann Liouville.
Với p 0 đạo hàm, tích phân cấp phân số có dạng
a Dt

p

f t

t

1
p

t

p 1

f

d ,

p 0 .

(1.35)

a

13


Với p 0
a Dt

p

1
dn
(n p) dt n

f t

t
n p 1

t

f

d ,

p 0, n

p

n 1.

(1.36)

a

Định nghĩa theo Riemann – Liouville có ứng dụng rất phổ biến. Tích phân trong
phƣơng trình (1.35) chỉ hội tụ với p
việc áp đặt điều kiện n

0 . Tuy nhiên,với p

0 bài toán đƣợc biến đổi bằng

p trong phƣơng trình.

1.3.3 Ðịnh nghĩa đạo hàm cấp phân số Caputo.
Ta có
a Dt

p

t

1
dn
n p dt n

f t

n p 1

t

f

d ,

n

(1.37)

p n 1

a

Với các giá trị đầu
lim a Dtp 1 f t

b1 ,

lim a Dtp 2 f t

b2 ,

lim a Dtp

bn .

t

a

t

a

t

n

a

f t

(1.38)

Bài toán giá trị đầu này về mặt toán học hoàn toàn hợp lý nhƣng về mặt ứng dụng, ý
nghĩa vật lý của những điều kiện đầu rất khó lý giải. Để giải quyết điều này, Caputo đƣa
ra một định nghĩa khác của đạo hàm và tích phân cấp phân số nhƣ sau
C
a

1
n p

p

Dt f t

t

n p 1

t

n

f

d ,

0 n 1

p

n.

(1.39)

a
t

C
a

p

lim Dt f t
p

n

f

n

a

f

n 1

d

f

n

t.

(1.40)

a

Quan hệ giữa đạo hàm cấp phân số Riemann Liouville và đạo hàm cấp phân số Caputo
Định lý: Giả sử f t là hàm khả vi liên tục n 1 và nếu f ( n) t là hàm khả tích thì đạo
hàm Riemann Liouville và đạo hàm Caputo có quan hệ nhƣ sau:
n 1
R
a

p

Dt f t

C
a

p

Dt f t
j 0

f ( j) a
t a

j p 1

j p

(1.41)

Chứng minh: Cho f(t) là hàm liên tục tại t=0 và khả vi khi t>0, ta có
t

d
g (t
dt a

t

) f ( )d

g (0) f (t )
a

g (t

)
t

f ( )d

(1.42)

Để chứng minh công thức (1.41) chúng ta chú ý đến dẳng thức sau

14


t

)n

(t
(n

a

p 1

p)

f ( )d
t

)n p
f( )
p 1)

(t
(n

a

t

a
t

f (a )
(t a ) n
(n p 1)

p
a

(t
(n

) n p (1)
f ( )d
p 1)

(t
(n

) n p (1)
f ( )d
p 1)

(1.43)

Sau khi tích phân từng phần n lần ta dƣợc công thức
t

)n

(t
(n

a
t

p 1

p)

n 1

f ( )d
j 0

f ( j ) (a)
(t a) n
(n p j 1)

p j

(1.44)

)2n p 1 ( n)
f ( )d
(2
n
p
)

a
Đạo hàm n lần hai vế của biểu thức trên ta đƣợc công thức (1.41)
(t

t
R p
a Dt

f (t )

(t

)n

p 1

f

(n p)

a

( n)

n 1

( )d
j 0

f ( j ) ( a)

(t a) j
( j p 1)

p

(1.45)

1.3.4 Một số định nghĩa đạo hàm cấp phân số khác
1.3.4.1 Đạo hàm cấp phân số dạng dãy (dạng Miller – Ross)
Định nghĩa
d
Dp 0 p 1 ;
dt
Dtnp f t
Dtp Dtp Dtp f t ,

(1.46)

n

Phƣơng trình trên đƣợc gọi là đạo hàm cấp phân số dạng dãy. Trong đó Dxp đƣợc định
nghĩa dạng Riemann – Liouville (hoặc dạng Grunwald - Letnikov). Ta có định nghĩa đạo
hàm cấp phân số dạng dãy
Dtp f t
p
a Dt

p1
p

Dtpn f t ,

Dtp1 Dtp2
p2

f t

pn ,
d d
dt dt

(1.47)

d
a Dt
dt

n p

f t ,

n 1

p n .

d
f t ,
dt

n 1

p n .

n

Nếu sử dụng dạng Caputo
C p
a Dt

f t

n p
C
a Dt

d d
dt dt

(1.48)

n

1.3.4.2 Định nghĩa dạng Weyl (tích phân Weyl)
Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville, cho a

ta có định nghĩa dạng Weyl
15


W

a

t

1

p

Dt f t

p 1

t

p

f

d .

(1.49)

,

(1.50)

1.3.4.3 Định nghĩa Davison – Essex

Với p n
Khi k

a

, 0

t

dn 1 k
dt n 1 k

Dtp f t

dk f

t

0

d

dt k

1

n 1, n là số nguyên.

1, 0 k

0 định nghĩa Davision – Essex trở về định nghĩa Riemann- Liouville với

0,

p n
p

Dt f t

dn 1
dt n 1

t

1
n

p 1

( p n)

t

f

d

(1.70)

.

0

1.3.4.4 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo công thức Cauchy
a. Công thức tích phân Cauchy
Cho

là một đƣờng cong Jordan trơn từng khúc có hai điểm mút a , b

Hình 1.1

n

d

max zk
1 k n

1

zk ,

Sn

f

k

k 1

lim
d

0

f

k

1

zk
(1.51)

n

f z dz

. zk

. zk

1

zk

k 1

Gọi C là đƣờng cong kín trong miền D thuộc mặt phẳng phức, công thức tích phân
Cauchy có dạng

f z

1
2 i

f
C

z

d

(1.52)

16


Hình 1.2
Đạo hàm của (1.52) là

f

n

z

n!
2 i

f

d ,

n 0
(1.53)
n 1
z
Ta có kết luận: mọi hàm giải tích trong miền D nào đó đều có đạo hàm mọi cấp trên miền
C

đó. Hơn nữa tất cả các đạo hàm đó đều là các hàm giải tích trong miền D đó.
b. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số
Dựa vào công thức (1.53) ta có định nghĩa

dpf x
dx p

p 1
2 i

f z
C

z

x

p 1

dz .

(1.54)

Trong đó x là 1 điểm trên trục thực, z là 1 điểm trong mặt phẳng phức.
Công thức (c) chỉ đúng với n 0 , do đó ta thấy công thức (1.54) chỉ đúng với điều kiện

q 0 . Tuy nhiên với q 0 và không nguyên ta cũng có định nghĩa:

dpf x
dx p

p 1
2 i

f z
C

z

x

p 1

dz .

(1.55)

1.3.5 Sự tƣơng đƣơng của định nghĩa Riemann-Liouville và Grüwald-Letnikov
Ta có công thức định nghĩa đạo hàm cấp phân số bậc p ( p 0 ) theo Riemann – Liouville

dn R p n
1
dn t

Dt f (t )
f (t )
t
a Dt
dt n
(n p) dt n a
Bây giờ ta biến đổi phƣơng trình (1.56) nhƣ sau
u t
d
du,
a :u t a
t: u 0
R
a

p

n p 1

f

d

(1.56)

(1.57)

Thế vào biểu thức (1.56) ta đƣợc

17

R
a

t a

1

p

Dt f (t )

( p)

f (t u )
du
up 1

0

Tổng Riemann của tích phân trên có dạng

1
( p)

t a

0

f (t u )
du
up 1

N 1

1
( p)

lim{

N

j 0

p 1

t a
j
N

t a
f (t
N

j

t a
)
N

Mặt khác theo định nghĩa đạo hàm cấp phân số Grüwald-Letnikov ta có
p N 1
j p
t a
dpf
(t a )
G
p
D
f
(
t
)
lim
f
t
j
N
a
t
p
N
( p) j 1
N
j 0
d t a

(1.58)

.

(1.59)

Ta xét hiệu
G p
aD

R p
aD

f (t )

f (t )

(1.60)

Thế các biểu thức (1.58) và (1.59) vào (1.60) ta đƣợc
p

t a
1N1 p1
lim
N (
( p) N
N j0

j p
j 1

j

p 1

)f t

j

t a
N

.

(1.61)

Do biểu thức trong dấu ngoặc tiến tới 0 hay kết quả của hai định nghĩa sẽ tƣơng đƣơng
nhau khi N tăng lên vô cùng, biểu thức
sẽ tiến tới không khi N tăng lên vô cùng.
1.4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
1.4.1 Tính chất tuyến tính
Đạo hàm cấp

p của tổng
d p c1 f1 t

c2 f 2 t

c1

p

d t a

d p f1 t
p

d t a

d p f2 t

c2

d t a

p

(1.62)

.

(1.63)

1.4.2 Quy tắc Leibniz
Đạo hàm và tích phân cấp

p của tích hai hàm f và g

dp f t g t
d t a

p
j 0

p
j

dp j f t
d t a

d jg t
p j

d t a

j

Trong đó hệ số nhị thức đƣợc xác định bằng việc thay thế giai thừa với hàm Gamma
tƣơng ứng.
a Dt

p

p

f t g t
j 0

j

a Dt

p j

f t g

j

t .

(1.64)

1.4.3 Tính chất biến đổi thang bậc
Phép biến đổi thang bậc của một hàm số đối với giới hạn dƣới a
f t
f t
a a ,
Với là hệ số thang bậc không đổi. Nếu giới hạn dƣới là 0, (1.65) trở thành

(1.65)

18


f t

(1.66)

t ,

0 , ta có sự thay đổi thang bậc

Khi a

dpf

T

dpf

p
p

d t a
Khi a

f

d

T

T

,

T

dpf

t

p

a

t

a a

(1.67)

.

0
dpf

t

p

p

dt

d

t

p

(1.68)

.

1.4.4 Đạo hàm cấp phân số của một chuỗi
Cho 1 chuỗi hàm hội tụ đều

f j t . Đạo hàm và tích phân cấp phân số của chuỗi
j 0

dq

fj t

q

d t a

dq f j

j 0

q

d t a

j 0

(1.69)

.

Với hàm đƣợc khai triển thành chuỗi lũy thừa f t

aj t a

j

, áp dụng công thức

j 0

Riemann
p 1 tp

d qt p
q

d t a

q

,

p 1 q

p

(1.70)

1

pn

d

q

aj t a

q

d t a

p j

n

j n
n
pn qn j n
n

aj

j 0

j 0

Trong đó q lấy giá trị bất kỳ nhƣng

j

p

1,

n

a0

t a

0,

p q j

n

,

(1.71)

n

1.4.5 Tính chất hợp thành
1.4.5.1 Khi m, n nguyên dương
dm f t

dn

n

d t a
d

m

d t a

n

d
n

d t a

dn

m

m

dm
dt m
d

d t a

d

n

d t a

n

n m

d

n m

d t a

n

dm n f t
m

d t a

d
m

d t a

d t a

m n

n 1

m n
k n m

d t a

m

dm n f t

f t

m

d t a

f t

d t a

dm f t

n

n m

d

dn f t

dm

f t

d t a

f t

d t a

m

n

n

f t
n

d t a

(1.72)

,

.

(1.73)

(1.74)

.

t a
k!

k

f

m k n

a.

(1.75)
19


1.4.5.2 Khi p, q là các số bất kỳ
Công thức sau chỉ đúng khi có điều kiện xác định nào đó
dpf t

dq
q

d t a

dq
p

d t a

p

f t

d t a

q p

(1.76)

,

Giả sử f t đƣợc khai triển thành chuỗi lũy thừa

f t

p j

aj t a

,

p

j

1,

(1.77)

p không nguyên.

j 0

Khi đó (1.60) chỉ đúng khi f t thỏa mãn điều kiện dƣới đây
f t

dpf t

p

d

p

d t a

Tổng quát, quy tắc hợp thành đối với

(1.78)

0.

p

d t a

p, q
dpf t

dq
q

d t a

d t a

p

(1.79)
d

q p

f t

d t a

Chú ý rằng khi

d

q p

q p
q p

d t a

d f t
p

d t a

d t a

p

.

p n ta có
dn f t

dq
q

d t a
dq

d

f t

p

p

n

dq

f t

d t a

q n

n
q n

d t a
dq

n

n

d

f t

dn f t

n
n

d t a

n 1

f t

d t a

d t a

t a

q n

k q n

f

k

k q n 1

k 0

a

d t a

n

(1.80)

.

1.5 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
1.5.1 Đạo hàm cấp phân số của một hằng số
Trƣớc tiên ta sử dụng định nghĩa Grunwald , ta có đạo hàm và tích phân cấp phân số của
C 1

dp 1
d t a

p

lim

N

N
t a

p N 1
j 0

j p
j 1
p

.

(1.81)

Theo tính chất của hàm Gamma
20


N 1

j

p
j 1

p

j 0

N p
,
1 p
N

Np

lim

N

N p
N

1.

(1.82)

p

dp 1

t a
.
1 p

p

d t a
Khi C là một hằng số bất kỳ ta có

dp C

C

p

d t a

p

dp 1
p

d t a

1.5.2 Đạo hàm cấp phân số của hàm f (t )

t a
C
.
1 p

t a

Sử dụng định nghĩa Grunwald - Letnikov đối với hàm f t
dp t a
d t a
t a

lim

p

p N 1

N
t a

N

j

p

j 1

j 0

(1.83)

t a

N t a
p

j t a
N

(1.84)

1 p

N 1

j

lim N p

N

p

j 0

N 1

p

lim N p

j 1

j

1

N

j

p

p

j 0

j 1

.

Kết hợp với tính chất của hàm Gamma, sự liên hệ giữa các hàm Gamma
N 1
j 0

j p

p
j

p
2

p

dp t a

dp t a
d t a

p

p
N 1

t a

p

d t a

N

t a

,

2
1
1 p

1 p

1 p
2 p

1 p

1.5.3 Đạo hàm cấp phân số của f (t )

p

p
2 p

p
2 p

1 p ta đƣợc

1 p

(1.85)

,
1 p

t a
.
2 p

(1.86)

(t a ) p

Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville, mối liên hệ giữa các hàm Bêta và hàm
Gamma, ta có đạo hàm và tích phân cấp

dq t a
d t a

p
q

q của hàm f t

p 1 t a
p q 1

p q

,

p

1.5.4 Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm f (t )

1.

(1.87)

(1 t ) p

Để xây dựng công thức cho tất cả giá trị p, q ta viết 1 t 1 a

t a

Áp dụng công thức nhị thức cho hàm f t

21


p 1
j
p j
j
(1.88)
1 1 a
t a .
j 1
p j 1
j 0
Từ công thức đạo hàm và tích phân cấp phân số của một chuỗi số, công thức Riemann
p

1 t

cùng với tính chất của hàm Gamma và hàm Bêta, ta đƣợc
p

dq 1 t

q

d t a
với

t

p q

1 t

q, q

t

q

p .

(1.89)

là hàm bêta không đầy đủ.

1.5.5 Đạo hàm của hàm bƣớc nhảy đơn vị và hàm Delta-Dirac
1.5.5.1 Hàm Heaviside

Ta có hàm Heaviside
0 khi t t0

H t t0

Khi p

0, a

t0

1 khi t t0

.

t

d

p
p

d t a

H t t0

t0

1
p

a

0
p 1

t

t

1
p

a

p 1

t
t

1

d

H t t0

p

t0

d

1
p 1

t

(1.90)

p

t t0
.
1 p

d

Mở rộng với hàm f t H t t0

0
f t

f t H t t0
dp
d t a

p

f t H t t0

1.5.5.2 Hàm Delta – Dirac
Ta có hàm Delta – Dirac

H t t0

khi t t0
.
khi t t0
dpf t

a

p

d t t0

t0

t .

(1.91)

t t0
t t0

t

t t0 f

d

f t0 nếu a t0

t.

a

Chọn f

t

p 1

t

a

t t0
t

p 1

d

t t0

p 1

p

0 ,

22


dp

t t0

p

t

1
p

d t a
Từ (1.74) và (1.75) ta có mối liên hệ

dp

p 1

(1.93)

e at

p 1 a

t

p

e d ,

(1.94)

u t

du

(1.95)

au

du

0

ta có

e

Dt f t

p 1 a

u

p

p

p

t

1

Dtp f t

Trong đó E1,1

,

t

1

Dt f t

u t

(1.92)

có đạo hàm cấp phân số
p

Đặt

.

p

t t0 .

1.5.6 Đạo hàm cấp phân số của hàm f (t )
eat

p

d t a

d
H t t0
dt

Hàm f t

t t0

p 1

t t0

dy

p 1

t

a

d p 1 H t t0
d t a

t t0

e

0
t

at

p 1

u

p

e

t

p

E1,1

p

at .

0

là hàm Mittag – Leffler hai tham số.

at

Vậy :
Dtp f t

t

p

E1,1

p

(1.96)

at .

1.6 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ LAPLACE CỦA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
1.6.1 Phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân biến một hàm f t trong miền
thời gian sang f L s trong mặt phẳng phức

f t

fL s ,

fL s

e

st

f t dt

L f t .

(1.97)

f t .

(1.98)

0

Laplace ngƣợc của ảnh f L s

L

1

fL s

f t

L

1

L f t

Nếu f t là một hàm gốc và f L s là ảnh của nó thì tại mọi điểm liên tục của f t ta có
i

1
f t
e st f L s ds.
2 i i
Trong đó tích phân đƣợc tính dọc theo đƣờng thẳng đứng Re s

(1.99)
.
23


1.6.2 Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace
Hàm f t đƣợc gọi là hàm cấp mũ khi

nếu tồn tại các hằng số C, K, T sao cho

t

KeCT ,

f t

Khi đó Laplace của f t sẽ tồn tại với

t

(1.100)

T

s C.

1.6.3 Tính chất phép biến đổi Laplace
1.6.3.1 Định lý vi phân
Nếu f t có các đạo hàm tới cấp n và L f t

L f t

s fL s

f 0 ;

L f t

s2 fL s

sf 0

n

sn fL s

sn 1 f 0

L f

t

f L s ta sẽ có các đạo hàm của nó

f 0 ;

(1.101)

sn 2 f 0

sf

n 2

0

f

n 1

0 .

1.6.3.2 Tích chập của 2 hàm số
Cho 2 hàm số f t và g t .Tích chập của 2 hàm số là một hàm số của

t

t

f t

g t

f t

g

(1.102)

d ,

0

Nếu f t

L

,g t

fL s

L

L f

gL s

, ảnh của tích chập bằng tích các ảnh

L f .L g

g

(1.103)

f L s .g L s .

1.6.4 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm cấp phân số
1.6.4.1 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm cấp phân số Riemann - Liouville
Khi a

0 ta có
t

1
n p

g t

n p 1

t

f

d

0

Dtp n f t ,

0

(1.104)

n

d
g t
dt n

0

Dtp f t .

Hay
0

Dtn g t

0

Dtp f t ,

(1.105)

Phép biến đổi Laplace
n 1

L

0

Dtn g t

sn gL s

sk g

n k 1

(1.106)

0.

k 0

g t

1
n p

t

t
0

n p 1

f

d

tn p 1
H t
n p

f t ,

24