Lôgarit tự nhiên (đổi hướng từ logarit tự nhiên

Lôgarit tự nhiên (đổi hướng từ Logarit tự
nhiên


Mục lục
1

2

Lôgarit tự nhiên

1

1.1

Lịch sử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Nguồn gốc của thuật ngữ logarit tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3

Những định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Tính chất

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.5

Logarit tự nhiên trong giải tích

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.6

Giá trị số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.6.1

Độ chính xác cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.7

Xem thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.8

am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.9

Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Sốe

4

2.1

Lịch sử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Ứng dụng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2.1

Bài toán lãi suất kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2.2

Phép thử Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2.3

Derangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Số e trong giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3.1

5

2.3
2.4

Các đặc điểm khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tính chất

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4.1

Hàm tựa-mũ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4.2

Lý thuyết số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.4.3

Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Biểu diễn của số e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.5.1

Biểu diễn số e dưới dạng liên phân số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.5.2

Số chữ số thập phân đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.6

Số e trong văn hóa máy tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.7

Xem thêm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.8

Ghi chú

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.9

am khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.10 Liên kết ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.11 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.5

i

ii

MỤC LỤC
2.11.1 Văn bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.11.2 Hình ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.11.3 Giấy phép nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7


Chương 1

Lôgarit tự nhiên
2

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

2

4

6

Do đó, hàm số logarit là một hàm số đơn điệu đi từ tập
số thực dương dưới phép nhân vào tập số thực dưới
phép cộng. Được miêu tả:

8

-2

ln : R+ → R.
Logarit được định nghĩa cho cơ số dương khác 1, không
chỉ là số e; tuy nhiên, logarit của các cơ số khác chỉ
khác nhau bởi hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên
và thường được định nghĩa bằng thuật ngữ sau cùng.
Logarit được sử dụng để tính các phương trình có số mũ
là biến số. Ví dụ, Logarit được sử dụng để tính chu kì
bán rã, hằng số phân rã, hoặc thời gian chưa biết trong
những vấn đề phân rã chứa mũ. Logarit rất quan trọng
trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học và được
sử dụng trong tài chính để giải quyết những vấn đề liên
quan đến lãi suất kép.

-4

-6

Đồ thị hàm số của logarit tự nhiên.

Logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nêpe) là logarit cơ
số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là:

ln(x), logₑ(x) đôi khi còn viết là log(x) Logarit tự nhiên
của một số x là bậc của số e để số e lũy thừa lên bằng 1.1 Lịch sử
x. Tức là ln(x)=a <=> ea =x. Ví dụ, ln(7,389) bằng 2 vì
e2 =7.389… Trong đó logarit tự nhiên của e bằng 1 và
Người đầu tiên đề cập đến logarit tự nhiên là Nicholas
logarit tự nhiên của 1 bằng 0
Mercator trong tác phẩm Logarithmotechnia được công
Logarit tự nhiên được xác định với mọi số thực a (trừ số bố vào năm 1668, mặc dù giáo viên toán John Speidell
0) là vùng dưới đồ thị y=1/x từ 1 đến a. Sự đơn giản của đã biên soạn một bản về logarit tự nhiên. Ban đầu nó
định nghĩa được sánh với các công thức khác kéo theo được gọi là logarit hyperbol, vì nó tương ứng với diện
logarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ “tự nhiên”. Định tích của một hyperbol. Nó cũng đôi khi được gọi là
nghĩa có thể được mở rộng đến số phức, được giải thích logarit Nêpe, mặc dù ý nghĩa ban đầu của thuật ngữ
dưới đây.
này là hơi khác nhau.
Hàm số của logarit tự nhiên, nếu được coi là hàm số có
nghĩa của biến thực, là hàm số của hàm mũ. Điều này
dẫn đến sự đồng nhất:
1.2 Nguồn gốc của thuật ngữ

logarit tự nhiên
eln(x) = x

khi x > 0

Ban đầu, logarit tự nhiên được coi là logarit cơ số 10, cơ
số này “tự nhiên” hơn cơ số e. Nhưng theo toán học, số
ln(e ) = x.
10 không có ý nghĩa đặc biệt. Ứng dụng của nó về văn
Như tất cả các logarit, logarit tự nhiên biến nhân thành hóa - làm cơ sở cho nhiều hệ thống đánh số xã hội, có
cộng:

khả năng phát sinh từ đặc trưng các ngón tay của con
x

1


2

CHƯƠNG 1. LÔGARIT TỰ NHIÊN

người. Các nền văn hóa khác đã dựa trên hệ thống số Số e sau đó được định nghĩa là số thực duy nhất để ln
đếm của họ cho sự lựa chọn chẳng hạn như 5, 8, 12, 20, (a) = 1.
và 60.
Ngoài ra, nếu hàm số mũ được định nghĩa bằng cách
Logₑ là logarit tự nhiên bởi vì nó được bắt nguồn và sử dụng chuỗi vô hạn, thì logarit tự nhiên được nghĩa
xuất hiện thường xuyên trong toán học. Ví dụ hãy xem là hàm ngược của nó, tức là, ln là một hàm số sao cho
xét các vấn đề phân biệt một hàm lôgarit:
eln(x) = x . Vì phạm vi của hàm mũ trên những đối
số thực là tất cả các số thực dương và vì hàm số mũ là
hàm luôn tăng, nên hàm log được xác định cho tất cảsố
(
)
d
d
1
1 d
1 dương x.
logb (x) =
ln x =
ln x =

dx
dx ln(b)
ln(b) dx
x ln(b)
Nếu cơ số b bằng e, thì đạo hàm chỉ đơn giản là 1/x, và
tại x=1 thì đạo hàm bằng 1. Một hướng khác cho rằng
logarit cơ số e là logarit tự nhiên nhất vì nó có thể được
định nghĩa khá dễ dàng trong thuật ngữ của tích phân
đơn giản hay dãy Taylor và điều này lại không đúng
đối với logarit khác.

1.4 Tính chất
• ln(1) = 0
• ln(−1) = iπ
• ln(x) < ln(y)

Những chiều hướng sau của sự tự nhiên không có ứng
dụng trong tính toán. Như ví dụ sau, có một số dãy số
đơn giản liên quan đến logarit tự nhiên. Pietro Mengoli
và Nicholas Mercator gọi nó là logarithmus naturalis
trong vài thập kỷ trước khi Isaac Newton và Gofried
Leibniz phát triển phép tính.

•

h
1+h

for

0
≤ ln(1 + h) ≤ h

• limx→0

ln(1+x)
x

for h > −1

= 1.

1.5 Logarit tự nhiên trong giải tích
1.3 Những định nghĩa

Logarit tự nhiên thừa nhận hàm số của giải tích đơn
giản theo dạng: g(x) = f '(x)/f(x): một nguyên hàm của
g(x) được cho bởi ln(|f(x)|). Đó là một trường hợp bởi vì
những quy tắc của chuỗi và thực tế sau đây:

1/x

1

d
1
(ln |x|) = .
dx
x

ln(x)
0

1

cách khác
x

∫

ln (x) được định nghĩa là diện tích dưới đường cong f (x) = 1 /
x từ 1 đến x.

ln(a) được định nghĩa chính thức là diện tích dưới và
đường cong f (x) = 1 / x từ 1 đến x, gần giống như tích
∫
phân.
∫

a

ln(a) =
1

1
dx.
x

1

dx = ln |x| + C
x

f ′ (x)
dx = ln |f (x)| + C.
f (x)

Đây là một ví dụ trong trường hợp của g(x) = tan(x):

Điều này định nghĩa một logarit vì nó đáp ứng các đặc
∫
tính cơ bản của một logarit:

∫
tan(x) dx =

∫

ln(ab) = ln(a) + ln(b)

∫
tan(x) dx =

sin(x)
dx
cos(x)
d
− dx
cos(x)
dx.

cos(x)

Điều này có thể được chứng minh bằng cách cho phép:
t = xa như sau:
Đặt f (x) = cos(x) và f'(x)= - sin(x):
∫
ln(ab) =
1

ab

1
dx =
x

∫
1

a

1
dx +
x

∫
a

ab

1

dx =
x

∫
1

a

∫ ∫ b
1
1
dx +tan(x) dx
dt = ln(a)+ln(b)
− ln |cos(x)| + C
x
1 t


1.7. XEM THÊM

3

∫

với m chọn sao cho p đạt đến sự chính xác. (Đối với hầu
hết các kết quả, giá trị 8 của m là đúng.) Trong thực tế,
nếu phương pháp này được sử dụng, phép nghịch đảo
với C là một hằng số tùy ý của tích phân.
Newton đối với logarit tự nhiên có thể được tính toán
Logarit tự nhiên có thể được tích hợp bằng cách sử dụng hàm mũ có hiệu quả. (Hằng số ln 2 và pi có thể được

tích phân của các bộ phận:
tính toán trước với độ chính xác mong muốn để sử dụng
nhiều dãy số cho trước một cách nhanh chóng.)
∫
ln(x) dx = x ln(x) − x + C.
tan(x) dx = ln |sec(x)| + C

1.7 Xem thêm

• John Napier - nhà phát minh ra logarit

1.6 Giá trị số
Để tính giá trị số logarit tự nhiên của một số, dãy số
Taylor mở rộng có thể được viết lại như sau:
(
ln(1+x) = x

1
−x
1

(

1
−x
2

(

1

−x
3

(

1
−x
4

(

• Lôgarit
• hàm số

• số e
)))))
1
Mercator
- người
đầu tiên sử dụng thuật
− · · · • Nicholas for
|x| <
1.
5
ngữ lôgarit tự nhiên

Để đạt được tốc độ tốt hơn của độ hội tụ, tính đồng nhất
sau đây có thể được sử dụng:

• Leonhard Euler

1.8 Tham khảo
với y=(x-1)/(x+1) và x>0
Cho ln(x) vào x>1, giá trị của x càng gần 1, tốc độ của
sự hội tụ càng nhanh. Những sự đồng nhất kết hợp với
logarit tự nhiên có thể được đẩy lên để khai thác điều
này:

Kỹ thuật này đã được sử dụng trước máy tính, bằng
cách tham khảo bảng số và thực hiện các thao tác như
trên.

1.6.1

Độ chính xác cao

Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số chính xác,
hướng tiếp cận của dãy số Taylor không có hiệu quả
vì sự hội tụ rất chậm. Vì vậy, các nhà toán học đã thay
thế hướng này và sử dụng phương pháp Newton để đảo
ngược hàm mũ để có sự hội tụ của dãy nhanh hơn.
Cách tính khác cho một kết quả có độ chính xác khá
cao là công thức:

ln x ≈

π
− m ln 2
2M (1, 4/s)

với M là dãy truy hồi giữa trung bình cộng và trung
bình nhân của 1 và 4/s và:

s = x 2m > 2p/2 ,

1.9 Liên kết ngoài
• Demystifying the Natural Logarithm (ln) |
BeerExplained


Chương 2

Sốe
Hằng số toán học e là cơ số của logarit tự nhiên. ỉnh
thoảng nó được gọi là số Euler, đặt theo tên nhà toán
học ụy Sĩ Leonhard Euler, hoặc hằng số Napier để
ghi công nhà toán học Scotland John Napier người đã
phát minh ra logarit. (e không được nhầm lẫn với γ hằng số Euler-Mascheroni, đôi khi được gọi đơn giản là
hằng số Euler). Số e là một trong những số quan trọng
nhất trong toán học [1] . Nó có một số định nghĩa tương
đương, một số trong chúng sẽ được đưa ra dưới đây.

Lý do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưa
được biết, nhưng có thể đó là chữ cái đầu tiên của từ
exponential (tiếng Anh: nghĩa thông thường là tăng
nhanh chóng, nghĩa trong toán học là hàm mũ). Một
khả năng khác đó là Euler sử dụng nó bởi vì nó là
nguyên âm đầu tiên sau a, chữ cái mà ông đã sử dụng
cho một số khác, nhưng tại sao ông lại sử dụng nguyên
âm thì vẫn chưa rõ. Dường như không phải Euler sử

dụng chữ cái đó bởi vì nó là chữ cái đầu trong tên của
ông, do ông là một người rất khiêm tốn, luôn cố gắng
tuyên dương đúng đắn công trình của người khác.[2]

Số này có tham gia vào đẳng thức Euler.

Do e là số siêu việt, và do đó là số vô tỉ, giá trị của nó
không thể được đưa ra một cách chính xác dưới dạng số
thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn hoặc phân
2.2 Ứng dụng
số liên tục hữu hạn hay tuần hoàn. Nó là một số thực
và do đó có thể được biểu diễn bởi một phân số liên tục
vô hạn không tuần hoàn. Giá trị số của e tới 20 chữ số 2.2.1 Bài toán lãi suất kép
thập phân là:
Jacob Bernoulli đã khám phá ra hằng số này khi nghiên
cứu vấn đề về lãi suất kép
2,71828 18284 59045 23536…

Một ví dụ đơn giản là một tài khoản bắt đầu với $1.00
và trả 100% lợi nhuận mỗi năm. Nếu lãi suất được trả
một lần, thì đến cuối năm giá trị là $2.00; nhưng nều lãi
2.1 Lịch sử
suất được tính và cộng hai lần trong năm, thì $1 được
2
= $2.25. Lãi kép
Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất nhân với 1.5 hai lần, ta được $1.00×1.5
4
hàng
quý
ta

được
$1.00×1.25
=
$2.4414…,
và lãi kép
bản vào 1618 trong bảng phụ lục của một công trình
12
hàng
tháng
ta
được
$1.00×(1.0833…)
=
$2.613035….
về logarit của John Napier. ế nhưng, công trình này
không chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh Bernoulli để ý thấy dãy này tiến tới một giới hạn với
sách các logarit tự nhiên được tính toán từ hằng số e. kì lãi kép càng ngày nhỏ dần. Lãi kép hàng tuần ta
Có thể là bảng này được soạn bởi William Oughtred. được $2.692597… trong khi lãi kép hàng ngày ta được
Chỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện $2.714567…, chỉ thêm được hai cent. Gọi n là số kì lãi
bởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá trị của biểu thức: kép, với lãi suất 1/n trong mỗi kì, giới hạn của n rất
lớn là một số mà bây giờ ta gọi là số e; với lãi kép liên
tục, giá trị tài khoản sẽ tiến tới $2.7182818…. Tổng quát
)n
(
hơn, một tài khoản mà bắt đầu bằng $1, và nhận được
1
lim 1 +
(1+R) đô-la lãi đơn, sẽ nhận được eR đô-la với lãi kép
n→∞
n

liên tục.
Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểu
diễn bởi chữ cái b, là trong liên lạc thư từ giữa Gofried
Leibniz và Christiaan Huygens giữa 1690 và 1691. 2.2.2 Phép thử Bernoulli
Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số
vào 1727, và việc sử dụng e lần đầu tiên trong một ấn Số e cũng có ứng dụng trong lý thuyết xác suất, trong
bản là cuốn Mechanica của Euler (1736). Trong những đó nó phát triển theo cách mà không hiển nhiên liên
năm sau đó một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ cái c, quan đến độ tăng hàm mũ. Giả sử rằng một con bạc
e trở nên phổ biến và cuối cùng trở thành tiêu chuẩn. chơi slot machine, một triệu lần, kỳ vọng được thắng
4


2.3. SỐ E TRONG GIẢI TÍCH

5

một lần. Khi đó xác suất mà con bạc không thắng được
gì là (xấp xỉ) 1/e.

d
1
Đây là một ví dụ về phép thử Bernoulli. Mỗi lần con dx loge x = x .
bạc chơi một lượt, có thêm một trong một triệu cơ hội
thắng. Việc chơi một triệu lần được mô hình hóa qua Logarit trong trường hợp đặc biệt này được gọi là
phân phối nhị thức, có liên hệ mật thiết với định lý nhị logarit tự nhiên (thường được ký hiệu là “ln”), và nó
cũng dễ dàng lấy vi phân vì không có giới hạn chưa
thức. Xác suất thằng k lần và thua các lần còn lại là
xác định nào phải thực hiện trong khi tính toán.
( 6)
6

10 ( −6 )k
10
(1 − 10−6 )10 −k .
k

Do đó có hai cách để chọn một số đặc biệt a=e. Một
cách là đặt sao cho đạo hàm của hàm số ax là ax . Một
cách khác là đặt sao cho đạo hàm của logarit cơ số a
là 1/x. Mỗi trường hợp đều đi đến một lựa chọn thuận
tiện để làm giải tích. ực tế là, hai cơ số có vẻ rất khác
nhau này lại chỉ là một, số e.

Đặc biệt, xác suất không thắng lần nào (k=0) là
(
)106
1
1− 6
.
10

2.3.1 Các đặc điểm khác

Số này rất gần với giới hạn sau ho 1/e

Một số đặc điểm khác của số e: một là về giới hạn dãy,
một cái khác là về chuỗi vô hạn, và vẫn còn một số khác
về tích phân. Trên đây ta đã giới thiệu hai tính chất:

(
)n

1
1
= lim 1 −
.
e n→∞
n

2.2.3

1. Số e là số thực dương duy nhất mà

Derangement

= et . : Đạo hàm của hàm số mũ cơ số e
chính là hàm số đó
d t
dt e

2.3 Số e trong giải tích
Lý do chính để đưa ra số e, đặc biệt trong giải tích, là
để lấy vi phân và tích phân của hàm mũ và logarit.[3]
Một hàm mũ tổng quát y=ax có đạo hàm dưới dạng giới
hạn:
d x
ax+h − ax
ax ah − ax
a = lim
= lim
= ax
h→0

h→0
dx
h
h

(

2. Số e là số thực dương duy nhất mà

d
1
loge t = .
dt
t

Các tính
) chất khác sau đây cũng được chứng minh là
h
atương
− 1đương:
lim
.
h→0
h e là giới hạn
3. Số

Giới hạn ở bên phải độc lập với biến x: nó chỉ phụ thuộc
vào cơ số a. Khi cơ số là e, giới hạn này tiến tới một, và
do đó e được định nghĩa bởi phương trình:

(
e = lim

n→∞

d x
e = ex .
dx

1
1+
n

)n

4. Số e là tổng của chuỗi vô hạn

Do đó, hàm mũ với cơ số e trong một số trường hợp
∞
∑
phù hợp để làm giải tích. Chọn e, không như một số số
1
1
1
1
1
1
=
+ + + + + ···
khác, là cơ số của hàm mũ làm cho tính toán chủ yếu e =

n!
0!
1!
2!
3!
4!
n=0
về đạo hàm đơn giản hơn rất nhiều.
Một lý do khác đến từ việc xét cơ số logarit a.[4] Xét trong đó n! là giai thừa của n.
định nghĩa của đạo hàm của logₐx bởi giới hạn:
5. Số e là số thực dương duy nhất mà
)
1 ∫ e
lim loga (11+ u) .
u→0 u
dt = 1
1 t
Một lần nữa, có một giới hạn chưa xác định mà chỉ phụ
thuộc vào cơ số a, và nếu cơ số đó là e, giới hạn là một. (nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol f (t) =
1/t từ 1 tới e là bằng một)
Vậy
loga (x + h) − loga (x)
1
d
loga x = lim
=
h→0
dx
h
x

(


6

CHƯƠNG 2. SỐE

2.4 Tính chất

2.7 Xem thêm

2.4.1

Hàm tựa-mũ

Số Pi

2.4.2

Lý thuyết số

2.8 Ghi chú

Chứng minh e là số vô tỉ.
Giả sử e là số hữu tỉ, suy ra

[1] Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the
History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston.

p
e=
q

[2] O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; e MacTutor History
of Mathematics archive: “e number e"; University of
St Andrews Scotland (2001)

Dựa vào công thức:

e=

[3] See, for instance, Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive
and physical approach, Dover, section 12.3 “e Derived
Functions of Logarithmic Functions.”

∞
∑
1
1
1
1
1
1
=
+ + + + + ···
n!
0! 1! 2! 3! 4!
n=0

[4] is is the approach taken by Klein (1998).
[5] New Scientist, 21-7-2007, tr. 40.

1 1 1
1 1 1
1
1
1
1
e.q! = ( + + +· · · ).q! = ( + + +· · ·+ ).q!+[6] Byte
+ Magazine, yển+6, số 6 (tháng 6 năm 1981) tr.
+·392)
··
0! 1! 2!
0! 1! 2!
q!
q +“e
1 (q
+ 1)(q +
2) (q
+ 1)(q +e 2)(q
+ 3) places
Impossible
Dream:
Computing
to 116,000
1
1
+ (q+1)(q+2)
+

e.q! là số nguyên dương, suy ra: q+1
1
(q+1)(q+2)(q+3) + · · · là số nguyên dương.
1
1
1
Mặt khác: q+1
+ (q+1)(q+2)
+ (q+1)(q+2)(q+3)
+··· <
1
1
1
1
2
1
+
−
+
−
+
...
≤
≤
1.
q+1
q+1
q+2
q+2
q+3

q+1

Suy ra điều mâu thuẫn.
Vậy e là số vô tỉ.

2.4.3

2.9 Tham khảo

Số phức

Biểu diễn số e dưới dạng liên phân số

e = [[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, . . . , 1, 2n, 1, . . .]],
1

e=2+

1

2+

1

1+
1+

2.10 Liên kết ngoài
• Số e tới 1 triệu chữ số thập phân và 2 và 5 triệu
chữ số thập phân

• Những cách sử dụng ban đầu cho ký hiệu của các
hằng số
• e the EXPONENTIAL - the Magic Number
of GROWTH - Keith Tognei, University of
Wollongong, NSW, Australia

1

1+

• An Intuitive Guide To Exponential Functions & e

1
4+

1
..
.

Như vây mặc dù e là số vô tỉ nhưng trong biểu diễn liên
phân số lại phân phối theo quy luật tuyến tính: 2;1-21;1-4-1;1-6-1;1-8-1;…

2.5.2

[7] Notable Large Computations: E Alexander J. Yee. Cập
nhật 7/3/2011

• Maor, Eli; e: e Story of a Number, ISBN 0-69105854-7

2.5 Biểu diễn của số e

2.5.1

with a Personal Computer”

Số chữ số thập phân đã biết

2.6 Số e trong văn hóa máy tính

• Euler’s constant trên PlanetMath
• E trên MathWorld
• e Approximations: giá trị gần đúng của số e


2.11. NGUỒN, NGƯỜI ĐÓNG GÓP, VÀ GIẤY PHÉP CHO VĂN BẢN VÀ HÌNH ẢNH

7

2.11 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh
2.11.1

Văn bản

• Lôgarit tự nhiên Nguồn: Người đóng
góp: VolkovBot, Ptbotgourou, Tnt1984, TuHan-Bot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Le Cam Van, GrouchoBot, Alphama, Makecat-bot,
AlphamaBot, Hugopako, AlphamaBot2, Addbot, Jimmy Jefferson, Tuanminh01, TuanminhBot, Trantrongnhan100YHbot, Huỳnh
Nhân-thập và 11 người vô danh
• Số e Nguồn: Người đóng góp: aisk, Newone, JAnDbot, Nguyễn Kim
Vỹ, VolkovBot, TXiKiBoT, Hoang448, Synthebot, SieBot, TVT-bot, Loveless, OKBot, PixelBot, Alexbot, Meotrangden, ieungu1nam,
Luckas-bot, Future ahead, Ptbotgourou, Hihahihuc, Darkicebot, Xqbot, TobeBot, Tnt1984, TuHan-Bot, Wild Lion, DSisyphBot, FoxBot,
Mjbmrbot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Greenknight dv, GrouchoBot, AlphamaBot, Rotlink, Hugopako, Addbot, OctraBot, Tuanminh01,

TuanminhBot, Én bạc AWB và 9 người vô danh

2.11.2

Hình ảnh

• Tập_tin:Log-pole-x.svg Nguồn: Giấy phép: Public domain
Người đóng góp: own work (based on raster image uploaded on polish wiki.) Nghệ sĩ đầu tiên: Wojciech Muła
• Tập_tin:Log.svg Nguồn: Giấy phép: Public domain Người đóng góp:
en wikipedia, uploaded by Elmextube who claims to be the author Nghệ sĩ đầu tiên: Elmextube
• Tập_tin:Question_book-new.svg Nguồn: Giấy phép:
CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Chuyển từ en.wikipedia sang Commons. Created from scratch in Adobe Illustrator. Based on Image:
Question book.png created by User:Equazcion Nghệ sĩ đầu tiên: Tkgd2007

2.11.3

Giấy phép nội dung

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0