ĐÁP án TOÁN lớp 8

ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 8
PHẦN ĐẠI SỐ
CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC
§1. Nhân đơn thức với đa thức
Bài 2:
a) 5x + 10x2 – 5x3

b) 3a3b3 – 3a2b3 + 3a2b4 + 3ab5.

c) 10a3b – 0,6a2b2 + 4a2b

d) -0,9x4y2 + 0,3x5 – 15x4.

Bài 3:
a) 6y3 – 3y2 + y – y + y2 – y3 – y2 + y = 5y3 – 3y2 + y.
b) 2ax2 – a – 2ax2 – a – x2 – ax = -x2 – ax – 2a.
c) 2p3 – p3 + 1 + 2p3 + 6p2 – 3p5 = -3p5 + 3p3 + 6p2 + 1.
d) ĐS: a3 + a2.
Bài 4:
a) (3b2)2 – b3 (1 – 5b) = 9b4 – b3 + 5b4 = 14b4 – b3.
b) 16y2 – 2y4 – 4y4 = 16y2 – 6y4

c) −

1 3
1
x − x + 2 x 2 + x3 = 2 x 2 − x
3
8
2

d) 0,04a6 – 0,04a6 + a4 = a4.
Bài 8:
a) 2x2 + x – x3 – 2x2 + x3 – x + 3 = 3
b) 3x3 – x2 + 5x – 2x3 – 3x + 16 – x3 + x2 – 2x = 16.
Bài 10, 11, 12: TK 2………………………………


Tiết 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
Bài 1,2,3,4,5: TK 2………………………
Bài 7: TK2………………..
……………………
Bài 15:
a) Gọi 4 số lẻ liên tiếp là (2a – 3); (2a – 1); (2a + 1); ( 2a + 3); a ∈¢ .
Ta có (a + 1)(a + 2) – a(a + 3) = 2.
b) (a + 1)(a + 3) – a(a + 2) = 99 ⇔ a = 48. Vậy 4 số nguyên liên tiếp đó là
48, 49, 50, 51.
Bài 16:
a) (2x – 5)(3x + b) = ax2 + x + c ⇔ 6x2 + (2b – 15)x – 5b = ax2 + x + c.
a = 6
a = 6


⇔ 2b −15 =1⇔ b = 8
−5b = c
c =−40
b) (ax + b)(x2 – x – 1) = ax3 + cx2 – 1
⇔ ax3 +(b - a)x2 - (a + b)x - b = ax3 + cx2 – 1
b − a = c a =−1



⇔ a + b = 0 ⇔ b =1
b =1
c = 2
TIẾT 3,4,5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Bài 5:
a) 19.21= (20 – 1)(20 + 1) = 202 – 1 = 400 – 1 = 399
29.31 = (30 – 1)(30 + 1) = 302 – 1 = 900 – 1 = 899
39.41 = (40 – 1)(40 + 1) = 402 – 1 = 1600 – 1 = 1599
c) 292 – 282 = (29 + 28) (29 – 28) = 57
562 – 462 = ( 56 + 46)(56 – 46) = 102.10 = 1020


672 – 562 = (67 + 56)(67 – 56) = 123. 11= 1353
Bài 12:
2

1 3
1
3
1
a) A = x + 2. x + + =  x + ÷ + > 0 với mọi x.
4 4  2 4
2
2

1
1
3
b) B = x – 2. xy + y2 + y2 =
2

4
4
2

2

 x − 1 y  + 3 y 2 > 0 (vì x và y không
 2 ÷ 4



đồng thời bằng 0).
2
2
c) C = -(x2 – 4x + 10) = − ( x − 4 x + 4) + 6  =− ( x − 2) + 6  < 0 với mọi x.

Bài 13:
a) A = (5x – 1)2 + 3y2 + 10 ≥ 10.
Vậy min A = 10 (khi và chỉ khi x =

1
; y = 0).
5

b) B = 2x2 – 28x + 130 = 2(x2 – 14x + 65) = 2(x – 7)2 + 32 ≥ 32
Vậy min B = 32 (khi và chỉ khi x = 7).
c) C = (x2 – 5x – 6)(x2 – 5x + 6) = (x2 – 5x)2 – 36 ≥ -36.
Vậy min C = -36 (khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 5).
Bài 14:
a) A = -x2 + 2x – 1 + 1 = -(x – 1)2 + 1 ≤1 .

Vậy max A = 1 (khi và chỉ khi x = 1).
1
b) B = -(9x2 + 6x – 19) = -(3x + 1)2 + 20 ≤ 20 (dấu “=” xảy ra khi x = − ).
3
1
Vậy max B = 20 (khi x = − ).
3
………………………………………..


Bài 18:
•

Xét trường hợp x4 – 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2

x4 – 2x3 + 3x2 + ax + b = x4 + 2cx3 + (c2 + 2d)x2 + 2cdx + d2,
2c =−2
a =−2
c 2 + 2d = 3 b =1
⇔
suy ra 
2cd = a
c =−1
 2

d =1
d = b
•

Trường hợp x4 – 2x3 + 3x2 + ax + b = (-x2 + cx + d)2, giải tương tự như

trên cũng được a = -2; b = 1 (và c = 1; d =-1).
Tóm lại a = -2; b = 1.
Bài 19:
•

Bình phương hai vế của a2 + b2 + c2 = 1 được
a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1.

•

Bình phương hai vế của a + b + c = 0 được a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) =

0.
Suy ra ab + bc + ca = −
• Bình

1
(vì a2 + b2 + c2 = 1).
2

phương hai vế của đẳng thức này ta được:

a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc (a + b +c) =

1 ⇒ 2 2
1
a b + b2c2 + c2a2 =
4
4

Vì (a + b + c) = 0.
Vậy a4 + b4 + c4 + 2.

1
1
= 1 ⇒ a4 + b4 + c4 = .
4
2

Bài 20:
a) 3810 = (39 – 1)10 = B(39) + (-1)10 = 13k + 1. Vậy 3810 chia cho 13 dư 1.
b) 389 = (39 – 1)9 = B(39) + (-1)9 = 13k – 1. Vậy 389 chia cho 13 dư 12.



Tiết 8,9, 10: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 4:
a) Tách 3xyz = xyz + xyz + xyz;
ĐS: (x + y + z)(xy + yz + zx).
b) xy(x + y) – yz(y + z) + zx [ ( x + y ) − ( y + z ) ]
= xy(x + y) + zx(x + y) – yz(y + z) – zx(y + z)
= x(x + y)(y + z) – z(y + z)(y + x) = (x + y)(y + z)(x – z).
2
2
2
2
c) Tách x2 – y2 = -  ( y − z ) + ( z − x )  .

ĐS: (x – y)(y – z)(z – x).
Bài 5:
a5 – a = a(a4 – 1) = a(a2 – 1)(a2 + 1)
2
= a(a – 1)(a + 1)  a − 4 + 5 = a(a – 1)(a + 1) [ ( a − 2)(a + 2) + 5]

= a(a – 1)(a + 1)(a – 2)(a + 2) + 5a(a – 1)(a + 1).
Hạng tử thứ nhất chia hết cho 5 vì là tích của 5 số nguyên liên tiếp. Hạng tử
thứ hai cũng chia hết cho 5 do đó a5 – a M5.
Ta thấy a5 – a = a(a – 1)(a + 1)(a2 + 1).
Do (a – 1)a (a + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết
cho 2 và 3, tức là chia hết cho 6 vì (2, 3) = 1.
a5 – a vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 6 mà (5, 6) = 1 nên a5 – a M30.
Bài 6:
(1) ⇒ (x + y)(y + z)(z + x) – 8xyz = 0


Khai triển và thu gọn đẳng thức trên ta được
xy2 + xz2 + yz2 + yx2 + zx2 + zy2 – 6xyz = 0
(xy2 – 2xyz + xz2) + (yz2 – 2xyz + yx2) + (zx2 – 2xyz + zy2) = 0
x(y – z)2 + y(z – x)2 + z(x – y)2 = 0.
Kết hợp với điều kiện x, y, z là các số dương ta suy ra
(y – z)2 = (z – x)2 = (x – y)2 = 0 ⇒ x = y = z.
…………..
Bài 8: Thêm bớt x4 + x2 ta được
A = x200 + x100 + 1 = (x200 – x2) + (x100 – x4) + (x4 + x2 + 1)
= x2 (x198 – 1) + x4(x96 - 1) + (x4 + x2 + 1)
6 33
4

6 16
4
2
= x2 ( x ) −1 + x .  ( x ) −1 + ( x + x +1)

= x2 (x6 – 1). B(x) + x4 (x6 – 1). C(x) + (x4 + x2 + 1).
Dễ thấy x6 – 1 = (x3 – 1)(x3 + 1) = (x – 1)(x + 1)(x4 + x2 + 1) M(x4 + x2 + 1).
Mỗi hạng tử của A đều chia hết cho x4 + x2 + 1 nên A M(x4 + x2 + 1).
Bài 10:
a) Đặt x = a – b; y = b – c; z = c – a thì x + y + z = 0, do đó x3 + y3 + z3 =
3xyz.
Vậy A = 3(a – b)(b – c)(c – a).
b) Đặt x = a + b – 2c; y = b + c – 2a; z = c + a – 2b
thì x + y + z = 0 do đó x3 + y3 + z3 = 3xyz.
Vậy B = 3(a + b – 2c)(b + c – 2a)(c + a – 2b).
Bài 11:
a) (x + y + z)3 – x3 - y3 - z3 = [ ( x + y ) + z ] − x 3 − y 3 − z 3
3

= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) − x3 − y 3 − z 3


= x3 + y3 + 3xy(x + y) + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) − x3 − y 3 − z 3
= 3(x + y)(xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(z + x).
b) A = (a + b + c)3 – (b + c – a)3 – (c + a – b)3 – (b + a – c)3.
Đặt x = b + c – a; y = c + a – b; z = b + a – c thì x + y + z = a + b + c.
Vậy A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) (theo câu a)
= 3(b + c – a + c + a – b)(c + a – b + b + a – c)(b + a – c + b + c – a)
= 3.2c.2a.2b = 24abc.
Bài 12:

M = 4(x2 + 2x – 8)(x2 + 7x – 8) + 25x2.
Đặt x2 + 2x – 8 = a thì x2 + 7x – 8 = a + 5x;
M = (2a + 5x)2 = (2x2 + 9x – 16)2 ≥ 0.


Tiết 10: CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC
Tiết 11: CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
Bài 6:
A = 7.52n + 19.6n – 7.6n = 19.6n + 7(52n – 6n)
= 19.6n + 7(25n – 6n)
= 19.6n + 7(25 – 6)(25n-1 + 25n-2.6 + …+25.6n-2 + 6n-1)
n
n−1
n−2
n−2
n−1
= 19  6 + 7(25 + 25 .6 + ...+ 25.6 + 6 

Rõ ràng A chia hết cho 19.

Chương II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Bài 3: Từ điều kiện a2 + 3b2 = 4ab suy ra a2 + 3b2 – 4ab = 0 hay (a – b)(a –
3b) = 0
a = b (loai)
⇔ 
 a = 3b
Thay a = 3b vào phân thức A ta được
A=

a +11b 3b +11 14b

=
=
= 2.
2a + b 6b + b 7b

Bài 4:
•

Xét tích cd(a2 – 2b2) = a2cd – 2b2cd = a2cd – 2bd.bc
= a2cd – 2bd.ad = a2cd – 2acd2.

•

Xét tích ab(c2 – 2d2) = abc2 – 2abd2 = ac – 2abd2.
= ac.ad – 2abd2 = a2cd – 2abd2.

Từ (1) và (2) suy ra cd(a2 – 2b2) = ab(c2 – 2d2)
Do đó

a 2 − 2b 2 ab
= .
c 2 − 2d 2 cd

(1)


Bài 5: Ta có:

5a + 7b 29
=

suy ra 28(5a + 7b) = 29(6a + 5b)
6a + 5b 28

⇒ 140a + 196b = 174a + 145b hay 2a = 3b.

(1)

Vì (a, b) = 1 và (2, 3) = 1 nên từ (1) ⇒ a M3; b M2.
Ta đặt a = 3m; b = 2n.
Từ (1) ta có 6m = 6n hay m = n. Vì (a, b) = 1 nên m = n = 1.
Do đó a = 3, b = 2.
Bài 6: a) x = -1

b) x = ± 2.

§ 2: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
§ 3: RÚT GỌN PHÂN THỨC
Bài 5: Thêm vào tử và mẫu cùng đa thức 2xy – 2x – 2y + 1 (= 0) ta được:
2 x 2 − 2 x +1+ 2 xy − 2 x − 2 y +1 2( x 2 + xy − 2 x − y +1)
P=
=
2 y 2 − 2 y +1+ 2 xy − 2 x − 2 y +1 2( y 2 + xy − 2 y − x +1)
( x 2 + xy − x) − ( x + y −1)
( x + y −1)( x −1)
x −1
= 2
=
=
.
y −1

( y + xy − y ) − ( x + y −1) ( x + y −1)( y −1)
Bài 6:………………………………………….
Bài 7:
x2 – xy – 2y2 = 0 ⇔ x2 + xy – 2xy - 2y2 = 0.
⇔ x(x + y) – 2y(x + y) = 0 ⇔ (x + y)(x – 2y) = 0.
Do x + y ≠ 0 nên x = 2y. Do đó:


A=

2y− y y 1
= = .
2 y + y 3y 3

9 x 2 + 4 y 2 −12 xy
20 xy −12 xy
8 xy 1
= .
Bài 8: A = 2
=
=
2
20 xy +12 xy 32 xy 4
9 x + 4 y +12 xy
2

Do 2y < 3x < 0 ⇒ 3x – 2y > 0, 3x + 2y < 0 ⇒ A < 0.
Vậy A = −

1

2

Bài 9: Tính x và y theo z, được x = 2z, y = 3z. Thay các giá trị của x và y
vào biểu thức M và rút gọn được M = −

8
.
13

Bài 10: Gọi vế trái của đẳng thức là A, vế phải là B.
Ta có (1 – x).A = 1 – x32 theo hằng đẳng thức 8,
(1 – x).B = (1 – x)(1 + x)(1 + x2)(1 + x4)(1 + x8)(1 + x16) = 1 – x32.
32
1
−
x
≠
Nếu x 1 thì A và B đều bằng phân thức
. Do đó A = B.
1− x

Nếu x = 1 thì hai vế của đẳng thức đều bằng 32. Do đó A = B.
Trong cả hai trường hợp đẳng thức đều đúng.
Bài 11: Có

16 x 2 −1 4 xy − 8 x + 3 y − 6 (4 x +1)(4 x −1) + (4 x + 3)( y − 2)
+
=
1− 4 x
y −2

1− 4 x
y −2

= -4x – 1 + 4x + 3 = 2 không phụ thuộc vào x, y
Bài 12: a) x ∈ { −1;0;1;2}

b) x ∈ { −2;0;2}

c) x ∈ { −2;0;1;3}
d) x2 – 59 Mx + 8 ⇔ x2 – 64x + 5 Mx + 8 ⇔ 5 Mx + 8
ĐS: x ∈ { −13; −9; −7; −3}
e) x + 2 Mx2 + 4 ⇒ (x + 2)(x – 2) Mx2 + 4 ⇒ x2 + 4 – 8 Mx2 + 4
⇒ 8 Mx2 + 4.
Xét x2 + 4 bằng 4, bằng 8 rồi thử lại, ta được x = -2 thỏa mãn bài toán.


§ 4: PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ.
PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ.
Bài 2:
a)

8a − 5 − (2a −1) − (10 − a) 8a − 5 − 2a +1−10 + a 7a −14 7(a − 2) a − 2
=
=
=
=
7a
7a
7a
7a

a

b)

3b
8 −b
3b
8 −b
+
= 2
− 2
2
b − 2b −(b − 2b) b − 2b b − 2b

=
c)
=
d)

2

3b − 8 + b 4(b − 2) 4
=
=
b(b − 2) b(b − 2) b
3a + 2b
a − 8b
3a + 2b + a − 8b
−
=

2a − 3b −(2a − 3b)
2a − 3b
4a − 6b 2(2a − 3b)
=
=2
2a − 3b 2a − 3b
3a 4a − 8 a 2 −(3a + 4a − 8 + a 2 )
−
−
=
a 3 −1 1− a 3 1− a 3
1− a 3

−(a 2 + 7a − 8)
−(a −1)(a + 8)
a +8
=
=
.
=
2
2
(1− a )(1+ a + a ) −(a −1)(1+ a + a ) 1+ a + a 2
Bài 3:
a)

( a + b) 2 ( a − b ) 2 a 2 − b 2
+
−
6b

12b
4b


=

2
2
2
2
2
2
2(a + b) 2 + (a − b) 2 − 3( a 2 − b 2 )
= 2a + 4ab + 2b + a − 2ab + b − 3a + 3b
12b
12b

2
2
2(a 2 + ab + 3b 2 ) a 2 + ab + 3b 2
2
a
+
2
ab
+
6
b
=
=

=
6b
12b
12b

b) MTC: 14xy
3 x +1 7 x + y y −1 2 y (3x +1) − (7 x + y ) − 7 x( y −1)
−
−
=
7 x 14 xy 2 y
14 xy
=

6 xy + 2 y − 7 x − y − 7 xy + 7 x
y − xy y (1− x) 1− x
=
=
=
14 xy
14 xy 14 xy 14 x

c)

a +1
1− b
a +1
1− b
−
=

+
a( a − b) −b(a − b) a (a − b) b(a − b)

=

b(a +1) + a(1− b) ab + b + a − ab
a +b
=
=
ab(a − b)
ab(a − b)
ab(a − b)

3 x 2 − 8 y 2 3xy − x 2 3x 2 − 8 y 2 3xy − x 2
−
=
−
d) 2
x − 2 xy xy − 2 y 2 x( x − 2 y ) y ( x − 2 y )
=

y (3x 2 − 8 y 2 ) − x(3xy − x 2 )
xy ( x − 2 y )

3 x 2 y − 8 y 3 − 3x 2 y + x 3 x3 − 8 y 3
=
=
xy ( x − 2 y )
xy ( x − 2 y )
( x − 2 y )( x 2 + 2 y + 4 y 2 ) x 2 + 2 xy + 4 y 2

=
=
.
xy ( x − 2 y )
xy
Bài 5:
2
a)
2 ;
1− x

2xy
b)
;
x+ y

d) MTC: (x2 – 1)2;

e)

Bài 6:

1
.
abc

2( x 2 − x + 3)
c)
x2 −9

a) A =
=

1 1
1
1
1
1
−
+
−
+ ...+
−
x x +1 x +1 x + 2
x + 99 x +100

1
1
100
−
=
.
x x +100 x( x +100)

b) B =
=

a
a

a
1
+
+ ...+
+
x( x + a ) ( x + a )( x + 2a)
( x + 9a )( x +10a) x +10a

1 1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+ ...+
−
+
= .
x x + a x + a x + 2a
x + 9a x +10a x +10a
x

Bài 7:
3
2
n(n −1)(n − 2)

a) A = n − 3n + 2n =
.
6
6

Tích n(n – 1)(n – 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Do đó A =

6k
= k (k∈¢ ).
6

4
3
2
n
−
2
n
−
n
+ 2n n(n − 2)(n −1)(n +1)
b) B =
=
.
12
12

Tích n(n – 2)(n – 1)(n + 1) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho
24. Do đó B =

24k
= 2k (k ∈¢ ).
12

Bài 8:
a) Thay 7 = 2a – b vào biểu thức A:
A=

5a − b
3b − 2a
5a − b 3b − 2a
+
=
+
=1+1= 2.
3a + (2a − b) 2b − (2a − b) 5a − b 3b − 2a

b) Thay – 1 = 3a + 5b vào biểu thức B:
B=

8a + 5b
3a + b
8a + 5b 3a + b
+
=
+
=1−1= 0 .
5a + (3a + 5b) 4b − (3a + 5b) 8a + 5b −3a − b

Bài 9:
•

Từ điều kiện

ayz + bxz + cxy
a b c
+ + = 0, ⇒
= 0 hay ayz + bxz +cxy = 0.
x y z
xyz


•

x 2 y 2 z 2  xy yz zx  2
x y z
⇒
+ + + 2  + + ÷= k
Từ điều kiện + + = k
a b c
a 2 b 2 c 2  ab bc ca 

cxy + ayz + bzx 2
x2 y 2 z 2
Hay 2 + 2 + 2 + 2
=k .
abc
a b c
Bài 10:

10 x 2 − 6 x + 2 9 x 2 − 6 x +1+ ( x 2 +1) (3x −1) 2
Ta có P =
=
=
+1.
x 2 +1
x 2 +1
x 2 −1
(3x −1) 2
1
≥ 0 (dấu “=” xảy ra khi x = ) nên P ≥ 1.
Ta có P =
2
3
x +1
Do đó min P = 1 khi x =

1
.
3

Bài 11:
2
2
x
−5x
3
3
a) A =
+

= x+
2 x −5 2 x −5
2x −5

A có giá trị nguyên ⇔ 2x – 5 ∈ Ư(3) = { ±1; ± 3} .
2x – 5
2x
x

1
6
3

-1
4
2

3
8
4

-3
2
1

Vậy A có giá trị nguyên khi x ∈ { 1; 2; 3; 4} .
3
2
b) B = 3 x + 9 x − x + 3 − 2 = 3x 2 −1− 2 (đk: x ≠ -3).
x +3

x+3 x+3
x +3

B có giá trị nguyên ⇔ x + 3 ∈ Ư(2) = { ±1; ± 2} .
x+3
x

1
-2

-1
-4

2
-1

-2
-5

Vậy B có giá trị nguyên khi x∈ { −1; − 2; − 3; − 4; −5} .


Bài 12:
4 x + 2 x 2 + 4 x + 4 − ( x 2 + 2) ( x + 2) 2
=
= 2
−1≥−1.
x2 + 2
x2 + 2
x +2

a) P =

Vậy min P = -1 khi x = -2.
2 x2 − 4 x +8
9
9
9
+ 2
=2+
≤2+ .
b) Q = 2
2
3
x − 2x + 4 x −2x + 4
( x −1) + 3
⇒ Q ≤ 5. Do đó max Q = 5 khi x = 1.
Bài 13:
Ta có x + y + z = 0 ⇒ (y + z)2 = (-x)2 hay y2 + z2 +2yz = x2 ⇒ y2 + z2 – x2 =
-2yz
Tương tự: z2 + x2 – y2 = -2zx; x2 + y2 – z2 = -2xy.
y2
x3 + y 3 + z 3
x2
z2
+
+
=
Do đó A =
−2 xy −2 zx −2 xy

−2 xyz
Vì x + y + z = 0 nên x3 + y3 + z3 = 3xyz
Do đó A =

3xyz
3
=− .
−2 xyz
2

Bài 14: Xét VT:
VT =

b
a
b
a
− 3 =
−
2
a −1 b −1 ( a −1)( a + a +1) (b −1)(b 2 + b +1)
3

Vì a + b = 1 nên a – 1 = -b; b – 1 = -a, do đó:
VT =

b
a
−1
1

−
+ 2
= 2
2
−b(a + a +1) −a(b + b +1)
a + a +1 b + b +1
2

( a + b)(a − b) + (a − b)
−b 2 − b −1+ a 2 + a +1
=
= 2
(a + a +1)(b 2 + b +1) a 2b 2 + a 2b + a 2 + ab 2 + ab + a + b 2 + b +1
=

( a − b ) + ( a − b)
2(a − b)
= 2 2 =VP.
2
a b + ab(a + b) + (a + b) − ab + 2 a b + 3
2 2

Bài 15:


a) Khi a = -1 ta có P =

2(−1) −1 5 − ( −1) −3 6
1
+

= + =−2
3( −1) −1 3(−1) +1 −4 −2
4

3a 2 +15a − 6
b) P =
do 10a2 + 5a = 3 ⇒ 5a = 3 – 10a2.
9a 2 −1
3a 2 + 3(3 −10a 2 ) − 6 3 − 27a 2 −3(9a 2 −1)
=
=−3.
Vậy P =
=
9a 2 −1
9a 2 −1
9a 2 −1
Bài 16:
2
x( x + y + z )
z( x + y + z)
x2
z2
y
y
(
x
+
y
+
z

)
+ x=
+z=
.
;
;
+
y
=
x+ z
y+ z
x+ y
x+ y
z+x
z+x

 x + y + z  = x + y + z.
Vậy S + (x + y + z) = (x + y + z) 
÷
 y+ z z+ x x+ y 
Do đó S = 0.
Bài 17:
a) x + y + z = 0 ⇒ x = -(y + z); y = -(z + x); z = -(x + y)
⇒ x2 - y2 – z2 = 2yz; y2 – z2 – x2 = 2zx ; z2 – x2 – y2 = 2xy.
Vậy M =

y2
x2
z 2 x3 + y 3 + z 3
+

+
=
.
2 yz 2 zx 2 xy
2 xyz

Mặt khác vì x + y + z = 0 nên x3 + y3 + z3 = 3xyz. Do đó M =

3
2

b) x + y + z = 0 ⇒ z = -(x + y); x = -(y + z); y = -(z + x)
⇒ x2 + y2 - z2 = -2xy ; y2 + z2 – x2 = -2yz ; z2 + x2 – y2 = -2zx.
Vậy N =

z+ x+ y
1
1
1
+
+
=
= 0.
−2 xy −2 yz −2 zx −2 xyz

Bài 18:
x2 z − y 2 x − z 2 y y 2 z − z 2 x − x2 y
=
⇒ x2 z + x2 y + z 2 x − y 2 x − z 2 y − y 2 z = 0
xyz

xyz
⇒ (x – y)(y + z)(z + x) = 0 ⇒ hoặc x = y hoặc y = -z hoặc z = -x.
Bài 19:


M ( x − 2) + N ( x +1)
32 x −19
=
( x +1)( x + 2)
( x +1)( x − 2)
(M + N)x + (N – 2M) = 32x – 19.

{

{

M + N = 32
M =17
Suy ra −2 M + N =−19 ⇒ N =15 ⇒ M .N = 255.
Bài 20:
3 y 2 − 4 y (4 y 2 − 4 y +1) −1− y 2 (2 y −1) 2
=
=
−1≥−1.
A=
1+ y 2
1+ y 2
1+ y 2
1
Vậy giá trị bé nhất của A là -1 ⇔ y =

2
Bài 21:
3 − 4 x x 2 − 4 x + 4 − x 2 −1
a) H = 2 =
2x + 2
2 x2 + 2
( x − 2) 2 1 1
− ≥−
2x2 + 2 2 2

=

Vậy giá trị nhỏ nhất của H là −
H=

1
khi và chỉ khi x = 2.
2

3 − 4 x 4 x 2 + 4 − (4 x 2 + 4 x +1)
=
2 x2 + 2
2 x2 + 2

=2–

(2 x +1) 2
≤2
2 x2 + 2

1
Vậy giá trị lớn nhất của H là 2 khi và chỉ khi x = - .
2
b) Đặt t =

1
, bài toán đưa về tìm x để t bé nhất.
2004 y

Ta có: t =

( x + 2004) 2 x 2 + 2.2004 x + 2004 2
x
2004 .
=
=
+ 2+
2004 x
2004 x
2004
x

Từ nhận xét: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của nó bé nhất khi
và chỉ khi hai số đó bằng nhau.


Mà hai số dương
Nên

x 2004

.
=1 ( x > 0)
2004 x

x
2004
x
2004
+
bé nhất khi và chỉ khi
=
⇔ x = 2004.
2004
x
2004
x

Vậy giá trị lớn nhất của y cũng là giá trị bé nhất của t = 1 + 2 + 1 = 4.
Và y =

1
1
=
.
2004t 8016

Chú ý: Nếu không muốn sử dụng nhân xét trên ta có thể chứng minh như
sau:
x
2004 x 2 + 20042 (*)

+
=
2004
x
2004 x
Mà (x – 2004)2 ≥ 0. Dấu “=” xảy ra khi x = 2004
Ta lại có: (x + 2004)2 = x2 – 2.2004 + 20042 ≥ 0
x2 + 20042 ≥ 2.2004x
Nên từ (*) ta có

x
2004 ≥
+
2.
2004
x

Dấu “=” xảy ra khi x = 2004.
Bài 22:
2

5 x 2 + 4 x −1
4 1
= 5 + −  ÷ (x ≠ 0)
B=
2
x  x
x
Đặt

1
= y, ta có B = 5 + 4y – y2 = -(y – 2)2 + 9 ≤ 9.
x

Vậy B lớn nhất là 9 khi và chỉ khi x =
Bài 23:
Trước tiên ta có hệ thức:
2k
1
1
=
−
2
x −k x−k x+k
2

11
1
1
=
−
( x −11+ k )( x + k ) x −11+ k x + k

1
tức là y = 2.
2


Do đó

2k
1
1
11
=
−
+
2
x − k x − k x −11+ k ( x −11+ k )( x + k )
2

Từ đó ta có:
k = 1:

2
1
1
11
=
−
+
x −1 x −1 x −10 ( x −10)( x +1)

k = 2:

4
1
1
11
=

−
+
x − 4 x − 2 x − 9 ( x − 9)( x + 2)

2

2

+ ……………………………………
k = 9:

18
1
1
11
=
−
+
x − 81 x − 9 x − 2 ( x − 2)( x + 9)

k = 10:

20
1
1
11
=
−
+
x −100 x −10 x −1 ( x −1)( x +10)

2

2

2
4
20
+ 2 + ...+ 2
x −1 x − 4
x −100
2

1
1
1


+
+ ...+
= 11 
( x −1)( x +10) ÷
 ( x −10)( x +1) ( x − 9)( x + 2)

Đó là điều phải chứng minh.


§ 7: PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ.
§ 8: PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Bài 6: A =

27 + n3 9 − 3n + n2 (3 + n)(9 − 3n + n 2 )
3n 2
:
=
.
=3+ n
3n 2
3n 2
3n 2
9 − 3n + n 2

A = 3n, (n ≠ 0) và n ∈¥ thì A là số tự nhiên.
Bài 7:
B=

b 2 + bx − b 2 + x 2 2b 2 − 2bx + 4bx x(b − x) 2b(b + x )
.
=
.
= 2b
b+ x
x (b − x )
b + x x (b − x )

B = 2b mà b là số nguyên thì B cũng là số chẵn.

§ 9: BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ
GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC
Bài 2: Biểu thức có dạng A.B

1
a + x = a + x +1
A=
1
a + x −1
1−
a+ x
1+

1− (a 2 + x 2 ) 2ax −1+ a 2 + x 2
B=1–
=
2ax
2ax

=

(a + x) 2 −1 (a + x −1)( a + x +1)
=
2ax
2ax

(a + x +1) 2
A.B =
2ax
2

 a + 1 +1

÷

4
1
a3
Với x =
ta có: A.B =  a −1  = a
=
.
a −1
1
2a( a −1) 2( a −1)
2a.
a −1
Bài 4:


a)

x2
x2
x2 x + 2 y
:
+1=
.
+1
x−2y x+2y
x − 2 y x2

=

x+2y

2x
+1=
.
x−2y
x−2 y

3( x − y ) (2 x − 3 y )(1− x 2 + y 2 )
3
−
.
b)
x + y (2 x − 3 y )
( x + y )( x − y )
3 3(1− x 2 + y 2 ) 3( x 2 − y 2 ) 3( x + y )
−
=
=
.
x+ y
x+ y
x+ y
( x + y)2
 5a − 3b : 5a − 3b = 5a − 3b . ab = ab
c) 
÷
a + 3b 5a − 3b a + 3b
 a + 3b a + 3b  ab
 2a (2a − 3c) 3c(2a + 3c)  3(2a + 3c)
−
. 2

d) 
2
2
(2a + 3c) 2 ÷
 (2a − 3c)
 4 a − 9c
3(2a + 3c)
3c 
6a
9c
 2a
−
=  2a − 3c − 2a + 3c ÷. (2a − 3c)(2a + 3c) =
2
(2a − 3c) (2a − 3c)(2a + 3c)


3(2a − 3c)(2a + 3c)
12a 2 − 27c 2
3
=
=
.
=
2
2
(2a − 3c) (2a + 3c) (2a − 3c) (2a + 3c) 2a − 3c
Bài 5:
a) ab +

ab
ab
− ab =
a +b
a −b

b)

−b(a − b) a
a
b
.
− b(a − b).
+
a ( a + b) a − b
a −b a +b

=

−b
b
− ab +
=− ab
a +b
a +b

(2a + b) 2 + 2(4a 2 − b 2 ) + (2a − b) 2
c)
(2a − b) 2 (2a + b) 2
=

4a 2 + 4ab + b 2 + 8a 2 − 2b 2 + 4a 2 − 4ab + b 2
(2a − b) 2 (2a + b) 2

16a 2
4a 2 + 4ab + b 2 (2a + b) 2 Vậy ta có phân thức:
=
=
.
2
2 =
(2a − b) (2a + b)
16a
16a


(2a + b) 2
16a 2
a
.
=
2
2
16a
(2a − b) (2a + b)
(2a − b) 2
4 x 2 ( x − 2) 2 + ( x + 2) 2 + 2( x 2 − 4)
:
d)
( x − 2) 4

( x − 2) 2 ( x + 2) 2
4 x 2 ( x − 2) 2 ( x + 2) 2 ( x + 2) 2
.
=
.
=
( x − 2) 4
4x2
( x − 2) 2
Bài 8: Biến đổi vế trái:
(a + 2b) − 6b − 2(a − 2b)
1
6b
2
+
−
=
a − 2b −(a − 2b)(a + 2b) ( a + 2b)
( a − 2b)(a + 2b)
=

−a
a
= 2
(a − 2b)(a + 2b) a − 4b 2

Biến đổi vế phải:
−

1  a 2 + 4b 2 

1
2a 2
a
+
1
=−
.
=− 2

÷
2
2
2
2
2a  a − 4b
a − 4b 2
 2a a − 4b

Hai vế sau khi biến đổi đều bằng phân thức -

a
.
a − 4b 2
2

Vậy hằng đẳng thức trên đúng với mọi a ≠ 0 và a ≠ ± b.
Bài 9:
a) Biến đổi vế trái.
Trước tiên ta có:
a −1

 (16 − a )a + 3 + 2a − 2 − 3a  :
3
 a 2 − 4

2 − a a + 2  a + 4a 2 + 4a
16a − a 2 − (3 + 2a)(a + 2) − (2 − 3a)( a − 2) 
a −1
: 3
=
2

( a − 2)(a + 2)

 a + 4a + 4a
=

16a − a 2 − 3a − 6 − 2a 2 − 4a − 2a + 4 + 3a 2 − 6a a(a + 2) 2
.
(a − 2)(a + 2)
a −1


=

a( a + 2) 2 a (a + 2)
a−2
.
=
(a − 2)(a + 2) a −1
a −1

Điều kiện: a ≠ ± 2, a ≠ 1.
Vậy vế trái là:
a–

a( a + 2) a 2 − a − a 2 − 2a −3a 3a
=
=
=
a −1
a −1
a −1 1− a

Vế trái bằng vế phải nên hằng đẳng thức trên là đúng.
b) Biến đổi vế trái:
1− ax − ax + x 2 1− 2ax + a 2 x + a 2 + 2ax + x 2
:
−(ax 2 − 2ax +1)
(1− ax) 2
(1− ax) 2
1+ x 2
1+ x 2
1
=
.
=
=−
2
2
2 2

2
2
2
−( ax −1) 1+ a + a x + x −(1+ x )(1+ a ) 1+ a 2
Điều kiện ax ≠ 1.
Vế trái bằng vế phải nên hằng đẳng thức trên là đúng.
Bài 10:
(b −1) 2 .
=1+

1
1
2
+ (b −1) 2 .
+
2
(b −1)(b +1) b +1
(b −1)

b −1 2
+
=1+1= 2 (không phụ thuộc vào b)
b +1 b +1

Bài 11:
( x − 2) 2
x ( x − 2) 2
1
1
−

.
−
.
x+2
2
( x − 2)( x + 2)
2
( x − 2) 2
=

x
x − 2 1 2x − x + 2− x − 2
−
− =
= 0 (không phụ thuộc vào x).
x + 2 2( x + 2) 2
2( x + 2)

Bài 12:
a) P = A : B
1− ax + ax + x 2
x 2 +1
=
A=
−(ax −1) 2
−(ax −1) 2


1− 2ax + a 2 x 2 + a 2 + x 2 + 2ax (a 2 +1)( x 2 +1)
=

B=
(1− ax) 2
(1− ax) 2
x 2 +1 (a 2 +1)( x 2 +1)
:
P=A: B =
−(ax −1) 2
(1− ax) 2
( ax −1) 2
x 2 +1
1
. 2
= 2
=
2
2
−(ax −1) (a +1)( x +1) a +1
1
Rõ ràng P không phụ thuộc vào x khi x ≠ .
a
b) P = −

1
1
1
≥−1 do a 2 + 1 ≥ 1 nên 2 ≤ 1 , suy ra - 2
≥−1 .
a +1
a +1
a +1

2

Vậy P nhỏ nhất là bằng 1 khi và chỉ khi a = 0.

ÔN TẬP CHƯƠNG II
Bài 3:
x 2 + x + 4 A.( x + 2) 2 + B ( x + 2) + C
=
;
( x + 2)3
( x + 2)3
x2 + x + 4 = Ax2 + (4A + B)x + (4A + 2B + C).
 A =1
 A =1


⇔  B =−3
Do đó 4 A + B =1
4 A + 2 B + C = 4 C = 6.
Bài 6:

y
x
x  ( x − y )2
−
.
+
a) 
2
x+ y

 ( x − y )( x + y ) ( x − y )  2 x
x ( x − y ) − x( x + y ) ( x − y ) 2
y
.
+
=
2
2x
x+ y
( x − y) ( x + y)