trắc nghiệm hàm số,cực trị lớp 12

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Tiếp tuyến và các bài toán liên quan đến tiếp tuyến:
I. Mục tiêu:
- Kiến thức: Ôn tập hệ thống kiến thức cơ bản về đạo hàm: Các công thức đạo hàm, đạo hàm các
hàm số cơ bản, đạo hàm của hàm số hợp, ý nghĩa hình học của đạo hàm, ứng dụng của đạo hàm để
viết phương trình tiếp tuyến.
- Kĩ năng: Rèn tính hệ thống, kĩ năng lập phương trình tiếp tuyến của đường cong bất kì.
- Thái độ: Học sinh có thái độ tự giác, tự xây dựng, hình thành cho bản thân phương pháp cơ bản về
mỗi loại toán. Phát triển năng lực của học sinh trong các tiết học và trong từng nội dung chuyên đề.
II. Chuẩn bị:
- Giáo viên: Giáo án, hệ thống kiến thức, bài tập vận dụng. Các thiết bị dạy học (nếu có).
- Học sinh: Kiến thức cơ bản về đạo hàm, các dạng phương trình tiếp tuyến của đường cong.
III. Tiến trình bài giảng:
1. Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số, trật tự nội vụ của lớp.
2. Các hoạt động trên lớp:
BUỔI 1.
Ngày soạn: 22/8/2016
Hoạt động 1. Hệ thống kiến thức về đạo hàm:
1
x n ' = n.x n −1
x '=
- Các công thức đạo hàm:
2 x

( u ± v ) ' = u '± v '

( )

( )

( u.v ) ' = u ' v + uv '

 u  u ' v − uv '
 ÷' =
v2
v

Đạo hàm của hàm số hợp: y ' = yu' .u x'
Hoạt động 2. Củng cố kiến thức về phương trình tiếp tuyến:

- Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) của đồ thị hàm số
y = f ( x ) là f ' ( x0 ) .
- Ba dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) :
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) .
- Tính đạo hàm và giá trị f ' ( x0 ) .
- Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) có hệ số góc k = f ' ( x0 ) .
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k .
- Gọi M ( x0 ; y0 ) là toạ độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.
- Do tiếp tuyến có hệ số góc k ⇒ y ' ( x0 ) = k ⇒ x0 ⇒ y0 ⇒ pttt loại 1.

- Phương trình tiếp tuyến dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 .
Chú ý: Cho đường thẳng d : y = ax + b , khi đó:
− Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng d ⇒ hệ số góc: a = f ' ( x0 ) .
1


− Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d ⇒ có: a. f ' ( x0 ) = −1 .
Loại 3: (Có thể không dạy) Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A ( x A ; y A ) ∉ ( C )

- Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó ( d ) : y = k ( x − x A ) + y A .

 f ( x ) = k ( x − x A ) + y A
- Điều kiện tiếp xúc của ( d ) và ( C ) là hệ ptrình sau phải có nghiệm: 
 f ' ( x ) = k
Tổng quát: Cho hai đường cong ( C ) : y = f ( x ) và ( C ') : y = g ( x ) .
 f ( x ) = g ( x )
.
 f ' ( x ) = g ' ( x )

Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm. 

Hoạt động 3. Hướng dẫn học sinh vận dụng làm các bài toán cụ thể về hàm số bậc 3.
Bài 1. Cho hàm số y = x3 − 3 x + 2 (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( 2; 4 ) .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x =

1
.
2

c) Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ là 0 .
Hướng dẫn: Có y ' = 3x 2 − 3
a) y ' ( 2 ) = 9 ⇒ pttt : y = 9 ( x − 2 ) + 4 ⇔ y = 9 x − 14
9
1
1 5
b) y '  ÷ = − ⇒ y  ÷ = ⇒ pttt
4
2
 2 8
x = 1

⇒ pttt
c) y = 0 ⇔ x = 
x
=
−
2

*) Bài tập tương tự cho hàm bậc 3.
1) Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 4 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:
a) toạ độ tiếp điểm có hoành độ là

1
.
2

b) hệ số góc của tiếp tuyến k = −9 .

c) tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ∆ ) : y = 3x + 2 .
2) Cho hàm số y = 4 x3 − 3 x − 1 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:
a) tiếp tuyến song song với đường thẳng d1 : y = −

15
x + 10
9

b) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d 2 : y = −

x
+1
72

c) tiếp tuyến đi qua điểm M ( 1, −4 ) .
3) Cho hàm số y = 2 x3 − 3 x 2 − 1
(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:
2
3

a) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d1 : y = x + 1
2


b) tiếp tuyến đi qua điểm M ( 2;3) .
4) Cho hàm số y = −2 x 3 + 3x 2 − 1
(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:
2
3

a) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d1 : y = − x + 2


b) tiếp tuyến đi qua M  1; ÷.
 4
2
5) Cho hàm số y = ( 2 − x ) ( x + 1)
1

(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ x0 = 3
3

8

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d1 : y = − x + 4
x3
6) Cho hàm số y = − 2 x 2 + 3x + 1 (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết:
3
a) Tiếp điểm có hoành độ x = 2
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến d có hệ số góc nhỏ nhất .


c) Tiếp tuyến đi qua điểm M  4; ÷.
 3
Bài tập về nhà:
7

1
3

1) Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) = x 3 − x 2 − x + 1 . Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết:
a) Hoành độ tiếp điểm x = 1.
b) Tung độ tiếp điểm y = 1.
c) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 2.
d) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x + y - 3 = 0.
e) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d’: 3x - y + 1 = 0.
f) Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc ϕ sao cho tan ϕ = 2 .
2) Cho hàm số (C): y = x3 − 3x2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến:
a) Song song với đường thẳng d1: 9x – y + 3 = 0
b) Vuông góc với đường thẳng d2: 5y - 3x +4 = 0
c) Có hệ số góc k = -3.
3) Cho hàm số: (C) y = x3 − 3x + 7. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến:

a) Song song với đường thẳng d1: y = 6x + 1
1
9
3
2
y
=
x
−
3
x
− 6x + 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 2;6 3 ).
4) Viết pt tiếp tuyến của (C):

b) Vuông góc với đường thẳng d2: y = − x + 21

5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 − 3x + 2 , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;0).
6) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi
qua gốc tọa độ O.

7) Cho hàm số : y = x 3 − 6 x 2 + 9 x . Viết PT tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương
trình y’’ = 0.
3


8) Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số (C): y = x3 – 3x.
1
2
1
2

9*) Tìm trên (C) y = x 3 − x + các điểm tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với d: y = − x + .
3
3
3
3
10*) Tìm tiếp tuyến của đths có hệ số góc nhỏ nhất:
a) Đồ thị (C) y = x3 + 3 x 2 − 9 x + 5

1 3
2
b) Đồ thị (Cm) y = x − mx − x + m − 1
3
11*) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y = x 3 + 1 − k ( x + 1) tại giao điểm với Oy. Tìm k để tiếp
tuyến đó cắt Ox và Oy tạo thành một tam giác có diện tích bằng 8.

BUỔI 2.
Hoạt động 4. Hướng dẫn học sinh vận dụng làm các bài toán cụ thể về hàm số bậc 4 trùng phương.
Bài 2. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 có đồ thị (C).
a) Tính đạo hàm của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết:
i) Tại điểm có hoành độ x = 2 .
ii) Tại điểm có tung độ y = 3.
iii) Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x − y + 2016 = 0 .
2
iv) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d 2 : − x + y + 2016 = 0 .
3
Hướng dẫn:
a) y ' = 4 x3 − 4 x
b) Gọi M ( x0 ; y0 ) là toạ độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.
i) y

( 2 ) = 0; y '( 2 ) = 4

2 ⇒ pttt : y = 4 2 x − 8

ii) y0 = 3 ⇒ x0 = ± 3 ⇒ pttt .
iii) Tiếp tuyến song song d1 ⇒ y '( x ) = 24 ⇒ x0 ⇒ pttt .
2
iv) Tiếp tuyến vuông góc với d2 ⇒ y '( x ) = −1 ⇒ x0 ⇒ pttt
3
0

0

*) Bài tập tương tự cho hàm bậc 4 trùng phương.
1) Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ x = 2 .
b) Tiếp điểm có tung độ y = −1 .
c) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24 .
2) Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 − 1
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ x = 2 .
b) Tiếp điểm có tung độ y = −9 .
c) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24
4


3) Cho hàm số y = x 4 + x 2 + 1
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết:
a) Tiếp điểm có tung độ y = 1 .

b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d1 : y = 6 x + 2010 .
1
6

c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d 2 : y = x + 203 .
4) Cho hàm số y = x 4 − x 2 + 1
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết:
a) Tiếp điểm có tung độ y = 1 .
b) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2.
1
4

4
2
5) Cho hàm số y = x − 2 x

(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết:

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d1 : y = 15 x + 2 .
b) Tiếp tuyến vuông góc với đườngthẳng d 2 : 8 x + 45 y − 1 = 0 .
Bài tập về nhà:
2
2
1) Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) có đồ thị là (C), Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ x = −2 .
b) Tiếp điểm có tung độ y = 1 .
c) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 24.
d) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 3.
1 4 1 2
2) Viết PT tiếp tuyến của (C): y = x − x biết tiếp tuyến đi qua điểm O(0;0).

2
2

BUỔI 3.
Hoạt động 5. Hướng dẫn học sinh vận dụng làm các bài toán cụ thể về các hàm số khác bậc 3.
Bài 3. Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1)
(ĐH Khối−B 2008)
Viết phương trình tiếp tuyến của đt hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(–1;–9).
Hd: Có y’ = 12x2 – 12x. Gọi M ( x 0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1) tại tiếp điểm M là: y = y ' ( x 0 ) . ( x − x 0 ) + y 0
Do tiếp tuyến đi qua điểm A(–1;–9) nên ta có: −9 = y ' ( x 0 ) . ( −1 − x 0 )

 x 0 = −1 ⇒ pttt : y = 24x + 15
5
15
21
+ y0 ⇒ 
 x 0 = 4 ⇒ pttt : y = 4 x − 4

1) Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt
A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Hd: Phương trình hđộ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 ⇔ x(x2 + mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x2 + mx + 1, d cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt ⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
 ∆g = m 2 − 4 > 0
 S = xB + xC = − m
m > 2
⇒
⇔
⇔
. Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0

 P = xB xC = 1
 m < −2
 g ( 0 ) = 1 ≠ 0
Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có: f ′ ( xC ) f ′ ( xB ) = −1

5


⇔ xB xC ( 3xB + 2m ) ( 3xC + 2m ) = −1 ⇔ xB xC 9 xB xC + 6m ( xB + xC ) + 4m 2  = −1 ⇔ 1 9 + 6m ( − m ) + 4m 2  = −1
⇔ 2m 2 = 10 ⇔ m = ± 5

(nhận so với điều kiện)

2x
. Tìm tọa độ điểm M∈ (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và
x +1
1
 1

diện tích tam giác OAB bằng
ĐS: M  − ; −2 ÷ và M ( 1;1) .
4
 2

1 3 m 2 1
3) Cho (Cm): y = x − x + (*). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp
3
2
3

2) Cho hàm số y =

tuyến của (Cm) tại M song song với đường thẳng 5 x − y = 0
ĐS: m=4.
3
2
4) Cho hàm số y = x − 3mx − x + 3m ( Cm ) . Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành.
5) Cho hàm số y = x 4 + x3 + ( m − 1) x 2 − x − m ( Cm ) . Định m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hoành.
6) Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x 3 − 3x 2 + 4 . Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể
kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
7) Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x 4 − 2 x 2 + 1 . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp
tuyến đến (C).
8) Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x3 − 3x + 2 . Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể
kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
9) Cho hàm số y =

x2 + 1
. Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai
x

tiếp tuyến vuông góc.
Hd: Gọi M(x0;y0). Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0.
x2 + 1
= k ( x − x0 ) + y0 , ( kx ≠ 0 )
x
k ≠ 1
x + 1 = 0 ( *) . ĐK: d tiếp xúc với (C): ⇔ 
2
∆ = ( y0 − kx0 ) − 4 ( 1 − k ) = 0

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
⇔ ( 1 − k ) x 2 − ( y0 − kx0 )

k ≠ 1

⇔  x02 k 2 + 2 ( 2 − x0 y0 ) k + y02 − 4 = 0
 y ≠ kx
0
 0

( I ) . Từ M vẽ 2 tiếp tuyến đến (C) vuông góc nhau khi (1) có 2

x ≠ 0
 0
 x0 ≠ 0
2
k1 , k2 ≠ 1
 2
 y0 − 4
2
nghiệm phân biệt thỏa mãn: k k = −1 ⇔  2 = −1 ⇔  x0 + y0 = 4 .
x
 1 2
 0
y ≠ x
0
 0

2
( y0 − x0 ) ≠ 0

Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn: x 2 + y 2 = 4 loại bỏ bốn giao

điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận.
Bài tập về nhà:
1) Cho hàm số y = x2 – 2x + 3 có đồ thị là (C) và d: 8x – 4y + 1 = 0
a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A, B vuông góc nhau.
2) Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1 có đồ thị (C). Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau.
6


y = x3 + mx 2 + 1 . Tìm m để đường thẳng d cắt (Cm ) tại 3 điểm A(0;-1), B, C phân biệt
sao cho các tiếp tuyến của (Cm ) tại B, C vuông góc nhau.
3) Cho (Cm )

4) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao
cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.
Hd: Gọi M(a; 2a3 + 3a2 – 12a – 1 ) ∈ ( C ) ⇒ pttt tại M là: y − y0 = f '( x0 ). ( x − x0 )

(

)

3
2
2
Để gốc O(0;0) ∈ tt ⇔ − 2a + 3a − 12a − 1 = (6a + 6a − 12).(−a ) ⇔ a = −1 ⇒ M ( −1;13) . Vậy có

duy nhất 1 điểm M.

5) Cho hàm số: (C) y = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x − 5 . Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến:
a) Song song d: y = 6x – 4
1
b) Vuông góc d1: y = − x + 2
3
1
c) Tạo với d3: y = − x + 5 một góc 450.
2
Bài tập thêm:
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =
Bài 2. Viết pttt của (C):

y=

3
x 2 + 4x + 5
, biết tiếp tuyến song song với d: y = x + 2.
4
x+2

x 2 + 3 x + 3 biết tiếp tuyến vuông góc với d: 3y – x + 6 = 0.
x+2

Bài 3. Viết pttt của (C): y = − x 3 + 3x + 1 biết tiếp tuyến đó song song với d: y = − 9x + 1
Bài 4. Viết pttt của (C): y = − x 3 + 3x 2 − 4 x + 2 biết tiếp tuyến vuông góc với d: y =

1
x + 3.
4

1
Bài 5. Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + x − 4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tt:
3
a) Có hệ số góc k = -2
b) Tạo với chiều dương của trục Ox một góc 450.

BUỔI 4.
Hoạt động 6. Hướng dẫn học sinh tiếp cận và cận dụng điểm cố định của đồ thị hàm số.
( Cm )
Phương pháp: Từ hàm số y = f ( x, m )
- Gọi I ( x0 ; y0 ) là điểm thuộc đồ thị hàm số ( Cm ) . (Thay tọa độ điểm I vào pt)
- Đưa phương trình về phương trình ẩn m, tham số x0 , y0 .
* Để I là điểm cố định của đồ thị ( Cm ) khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm với mọi m.
- Tìm điều kiện để phương trình này có nghiệm với mọi m.
- Khi đó ta giải hệ và suy ra tọa độ điểm cố định.
7


3
2
( Cm ) .
Bài 1. Cho hàm số y = x − 3 ( m − 1) x − 3mx + 2
Tìm tọa độ các điểm cố định của ( Cm ) với mọi tham số m.
3
2
Hd: Gọi I ( x0 ; y0 ) là điểm thuộc đồ thị hàm số ( Cm ) ⇒ y0 = x0 − 3 ( m − 1) x0 − 3mx0 + 2

⇔ 3m ( x0 2 + x0 ) − x0 3 + 3x0 2 + y0 − 2 = 0

  x0 = 0


 x0 2 + x0 = 0
  y0 = 2
⇔
Để I là điểm cố định của đồ thị ( Cm ) ⇔  3
2
  x = −1
 − x0 + 3 x0 + y0 − 2 = 0
 0
  y0 = 2
Vậy đồ thị luôn qua hai điểm cố định.
4
2
2) Cho hàm số ( Cm ) : y = ( 1 − 2m ) x + 3mx − ( m + 1) . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.

3
2
3*) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ( m + 3) x − 3 ( m + 3) x − ( 6m + 1) x + m + 1 ( Cm ) luôn
đi qua ba điểm cố định. Lập phương trình trình tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm cố định đó.
2x2 + ( 6 − m ) x + 4
4) Tìm điểm cố định mà đồ thị ( Cm ) : y =
luôn đi qua khi m thay đổi.
mx + 2
Bài tập về nhà:
1) Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (Cm).
a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
b) Lập pttt của đồ thị (Cm) tại các điểm cố định đó.

Hoạt động 7. Các bài toán về tương giao giữa các đồ thị hàm số.
Bài 1. Cho phương trình: ( x 2 − 1) − 2m + 1 = 0 . Tìm tham số m để phương trình có:

2

a) bốn nghiệm phân biệt.
c) một nghiệm duy nhất.

b) ba nghiệm phân biệt.
d) vô nghiệm.

Hd: pt ( x 2 − 1) − 2m + 1 = 0 ⇔ x 4 − 2 x 2 − 2m + 2 = 0 . Đặt t = x 2 ⇒ pt : t 2 − 2t − 2m + 2 = 0 (*)
2

∆ > 0

a) Điều kiện để pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi pt (*) có 2 nghiệm phân biệt dương ⇔  S > 0
P > 0

b) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi pt (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm
∆ > 0

bằng 0 và một nghiệm dương ⇔  S > 0
P = 0

8


c) Phương trình có một nghiệm duy nhất khi pt(*) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có 2 nghiệm phân
 ∆ > 0

biệt trái dấu ⇔  t = 0
 P < 0

d) Phương trình vô nghiệm khi pt(*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm.
Bài tập tương tự:
1) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (C) và đường thẳng d: y = mx + 4. Tìm m để 2 đồ thị hàm số cắt
nhau tại 1 điểm, 2 điểm, 3 điểm phân biệt.
2) Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) y =

x +1
với đường thẳng d: y = x – m. Khi d cắt
x −1

(C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn AB.
3) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1)
(ĐH Khối D−2008)
Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của
hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải: d : y − 2 = k(x − 1) ⇔ y = kx − k + 2.
Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 3x2 + 4 = kx − k + 2 ⇔ x3 − 3x2 − kx + k + 2 = 0.
⇔ (x − 1)(x2 − 2x − k − 2) = 0 ⇔ x = 1 ∨g(x) = x2 − 2x − k − 2 = 0.
Vì ∆' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k > − 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!.
2x + 1
(C). Điểm M thuộc (C), d là tiếp tuyến của (C) tại M.
2− x
Hai đường thẳng d1: x = 2 và d2: y = - 2. Gọi I = d1 ∩ d 2 . Tiếp tuyến d cắt d1, d2 lần lượt tại A, B.

4) Cho hàm số y =

a) Chứng minh rằng d không qua I.
b) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.
c) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi (không phụ thuộc vào m).

d) Tìm các điểm M sao cho:
i) Tổng khoảng cách từ M tới 2 đường thẳng d1, d2 nhỏ nhất.
ii) Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
e) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại giao điểm với trục tung.
f) Tìm những điểm N (xN >1) thuộc (C) sao cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ∆ ngắn nhất.
Hướng dẫn: e) Gọi M là giao điểm của (C) với trục tung ⇒M ( 0;1) .
Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 1 hay 3 x − y + 1 = 0 ( ∆ ) .
3

3 x0 + 2 −
+1
3 
f) Lấy N ( x0 ; y0 ) ∈ ( H ) ⇒ N  x0 ; −2 +
1 − x0
.
÷, ( x0 > 1) . Khi đó
1 − x0 
d ( N,∆) =

10
3
Đặt g ( x0 ) = 3x0 + 3 −
. d ( N , ∆ ) min ⇔ g ( x ) min .
1 − x0
3
Khảo sát hàm g ( x0 ) = 3x0 + 2 −
trên khoảng ( 0; +∞ ) ,
1 − x0
9

 x0 = 0
, g ' ( x0 ) = 0 ⇒ 
, (lập bảng biến thiên …)
( 1 − x0 )
 x0 = 2
* Do x0 > 1 nên ta chỉ nhận nghiệm x0 = 2 thay vào N ta được N ( 2; −5 ) .
g ' ( x0 ) = 3 −

3

2

6 10
Vậy N ( 2; −5 ) thì d ( N , ∆ ) min =
.
5
Bài tập về nhà:

2x −1
và điểm M ∈ ( C ) . Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận. Tiếp tuyến của (C) cắt
x −1
2 tiệm cận tại A, B.
a) CMR: M là trung điểm AB.
b) CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi.
c*) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
HD: c) Từ b) có IA.IB = 4. Mà Chu vi ( ∆IAB ) = IA + IB + AB. Do tam giác vuông tại I
1) Cho (C) y =

⇒ AB = IA2 + IB 2 ≥ 2 IA.IB

(

) (

⇒ Chu vi ∆IAB ≥ 2 IA.IB + 2 IA.IB = IA.IB 2 + 2 = 2 2 + 2

)

 m = 0 ⇒ M ( 0; −1)
Dấu “=” khi IA = IB ⇔ m − 1 = 1 ⇔ 
 m = 2 ⇒ M ( 2;3)
x +1
và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong.
x −1
x +1
= mx − 1 (điều kiện x khác 1)
Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình
x −1
⇔ mx 2 − (m + 2) x = 0 ⇔ x(mx − (m + 2)) = 0

2) Cho hàm số y =

+Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm
+Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và
m+2
x=
. Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt. (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1)
m
Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm.

+ m ≠ 0 và m ≠ - 2 có hai giao điểm.
3
2
13
1

3) Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): y = x + x − 2 x và đường thẳng (T): y − = m  x + ÷.
12
2

3
2
KQ: 1 giao điểm ( m ≤ −

27
27
), 3 giao điểm ( m > −
)
12
12

4) Biện luận số nghiệm của pt:

1 4
5−m
x − 2 x2 +
=0
2
2

5) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (H): y =

x −1
tại hai điểm phân biệt.
x

10


Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 x3 + 3x 2 − 12 x + 2 trên [ −1; 2] là
A.6

B. 10

C. 15

D. 11

Câu 2: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số x3 − 3x 2 − 9 x + 35 trên [ −4; 4] là
A. 40 và -41

B. 15 và – 41

C. 40 và 8

Câu 3: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y =
A.0 và -2/7

D.40 và -8

x −1
trên [ 1;3] là
2x +1

B. 2/7 và 0

C. 3 và 1

D. 1 và 0

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 + 3x 2 − 9 x + 1 trên [ 0; 2] là
A. - 4

B.1

C. 3

D. 28
1



Câu 5: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 + 4 x − x 2 trên  ;3 là
2 
A.2

B. 1 + 5

C. 1 + 3

D. 1 + 2 3

Câu 6: Giá trị lớn nhất của hàm số y = −3 1 − x là
A.-3

B. 1

C. -1

D.0

2

Câu 7: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x 1 − x là
9

A.1 và -1

B. 2 và 1

C. 3/2 và -3/2

D.2 và -2

Câu 8: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x + 1 + 7 − x là
A. 4

B. 2
1
3

C.1/2

D.6

2
3

Câu 9: Cho hàm số y = x3 − 4 x 2 + 12 x − . Tổng GTLN, GTNN trên [ 0;5] là
A.16/3

B. 7

C. 7/3

D. Đáp án khác

Câu 10: Giá trị lớn nhất của hàm số y = −2 x 4 − 3 x 2 + 5 là
A. 5

B. 4

C. 3

D.3/2
11


Câu 11: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x + 10 − x 2 là
A. 10

B. −3 10

C. 3 10

D. 10

Câu 12: Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
M = x2 + y 2

A. -1; -2

B. 1; -1

C. 1; ¼

D. 1; 0

Câu 13: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 x − x 2 là
A. 0

B. 1

Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +
A. 0

B. 1

C. 2

D.

C. 2

D. 2

3

1
là
x

Câu 15: Tổng giá trị lớn nhất và gía trị nhỏ nhất của hàm số y = s in 4 x − cos 2 x là
A. 2

B. -1/4

C. 0

D. -5/4

Câu 16: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = s in 3x − 3sin x + 1 trên [ 0; π ] là
A. 3 và – 2

B. 3 và 1

C. 1 và -2

D. 1 và - 3

Câu 17: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = s inx − cos x là
A.1 và – 1

B. 1 và 0

C. 2 và – 2

D.

2 và -

2

Câu 18: Giá trị lớn nhất của hàm số y = (1 − sin x)4 + s in 4 x là
A. 17

B. 16

C. 15

D. 14

Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số y = s inx + cos x là
A. 2

B. 1

C.

2

D.

2 2

Câu 20: Gọi M, N là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 2sin 2 x − cos x + 1 thì M.N là
A. 0

B. 25/8

Câu 21: Giá trị lớn nhất của hàm số y =

C. 25/4

D. 2

2sin x − 1
là
s inx + 2

12


A. -3

B. 1

C. 1/3

D. -1

Câu 22: Tổng GTLN, GTNN của hàm số y = s in 4 x − cos 2 x là
A.2

B.0

B.-1/4

D.-5/4

Câu 23: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 − x − x + 6 đạt tại x0 . Tìm x0
A. x0 = 4

B. x0 = - 6

C. x0 = -1

D. x0 = 1

Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x 2 là
A. 2

B. – 2

C. 2 2

Câu 25: Giá trị lớn nhất của hàm số y =
A. m = 1

D.- 2 2

2x − m
trên [ 0;1] bằng 1 khi
x +1

B. m = 0

C. m = -1

D. m = 2

Câu 26: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 3mx 2 + 6 trên [ 0;3] bằng 2 khi
A. m = 31/27

B. m = 1

C. m = 2

D. m > 3/2

Câu 27: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x + m trên [ 0; 2] bằng - 4
A. m = -8

B. m = - 4

B. - m

2

Câu 29: GTNN của hàm số y =

A.

m2 − 1
2

D. m = 4

x − m2
trên [ 0;1] bằng
x +1

Câu 28: GTLN của hàm số y =
1 + m2
A.
2

C. m = 0

1 − m2
C.
2

D. Đáp án khác

1 − m2
2

D. Đáp án khác

x + m2

trên [ −1;0] bằng
x −1

B. - m 2

C.

Câu 30: Cho hình chữ nhật có chu vi bằng 16 cm. Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng
A. 36 cm2

B. 30 cm2

C. 20 cm2

D.16 cm2

Câu 31 : Cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có diện tích 48 cm2 là:
13


A.6 cm

B.4 cm

C.3cm

D. 4 3 cm

Câu 32: Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 24 cm thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng
A. 36 cm2

B. 40 cm2

C. 24 cm2

D.49 cm2

Câu 32: Một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm bốn
hình vuông bằng như hình vẽ,mỗi hình có cạnh bằng x (cm), rồi gạp tấm nhôm lại như hình vẽ để
được một cá hộp không nắp. Tìm x để hộp có thể tích lớn nhất
A. x = 6 cm

B. x = 3 cm

C. x = 2 cm

D. x = 4 cm

14