Nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng mô phỏng số trong tính toán tải trọng động

Luận văn thạc sĩ khoa học

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................... 3
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................. 4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT ............................................................. 5
DANH MỤC BẢNG BIỂU ............................................................................................ 7
DANH MỤC HÌNH VẼ ................................................................................................. 8
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI .................................................................. 10
I. Lý do chọn đề tài.............................................................................................. 10
II. Mục đích nghiên cứu của đề tài ...................................................................... 10
III. Nội dung cơ bản của đề tài ............................................................................ 11
IV. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ...................................................... 11
PHẦN 1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................................. 13
CHƢƠNG 1. LÝ THUYẾT TẢI TRỌNG DI ĐỘNG .......................................... 13
1.1 Tải trọng bằng hằng số .................................................................................. 13
1.2 Tải trọng dao động điều hòa.......................................................................... 18
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP SỐ ........................................................................ 22
2.1 Tổng quan về phương pháp tích phân Newmark .......................................... 22
2.2 Phân tích transient trong phần mềm ANSYS................................................ 26
PHẦN 2 - ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ........................................................................ 33
CHƢƠNG 3. KHẢO SÁT ỨNG XỬ CỦA MÔ HÌNH DẦM ĐƠN GIẢN ....... 33
3.1. Mô tả bài toán ............................................................................................... 33
3.2 Tính toán giải tích ......................................................................................... 33
3.3 Mô phỏng số .................................................................................................. 34

1


Luận văn thạc sĩ khoa học
3.4 So sánh và kết luận ........................................................................................ 38

CHƢƠNG 4. KHẢO SÁT ỨNG XỬ CỦA MÔ HÌNH CẦU TRỤC 3D ........... 41
4.1. Mô hình mô phỏng và các điều kiện đầu vào............................................... 41
4.2. Kết quả mô phỏng ........................................................................................ 42
KẾT LUẬN ................................................................................................................... 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 51

2


Luận văn thạc sĩ khoa học

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan rằng, luận văn thạc sĩ khoa học “Nghiên cứu lý thuyết và ứng
dụng mô phỏng số trong tính toán tải trọng động” là công trình nghiên cứu của
riêng tôi. Những số liệu được sử dụng được chỉ rõ nguồn trích dẫn trong danh mục tài
liệu tham khảo. Kết quả nghiên cứu này chưa được công bố trong bất kỳ công trình
nghiên cứu nào từ trước tới nay.
Hà Nội, ngày 27 tháng 09 năm 2013

Nguyễn Tiến Tùng

3


Luận văn thạc sĩ khoa học

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, các anh, các bạn đồng nghiệp đang
công tác tại Trung tâm DASI - Trƣờng Đại Học Bách Khoa Hà Nội và cán bộ Công
ty Cổ Phần Công Nghệ Tiên Tiến đã tạo điều kiện về vật chất cũng như bản quyền

phần mềm mô phỏng số ANSYS để tác giả có thể hoàn thành được đề tài nghiên cứu
luận văn “Nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng mô phỏng số trong tính toán tải trọng
động”.
Tác giả đặc biệt gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Nguyễn Việt Hùng đã trực tiếp
hướng dẫn tận tình tác giả về lý thuyết mô phỏng số cũng như lý thuyết tải trọng động
để tác giả có thể hoàn thành tốt nội dung luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn!
Tác giả luận văn

Nguyễn Tiến Tùng

4


Luận văn thạc sĩ khoa học

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT
x

Vị trí của tải tính từ đầu bên trái của dầm.

t

Thời gian tính từ lúc tải bắt đầu tác dụng lên dầm.

υ(x,t)

Độ võng tại vị trí x ở thời gian t của dầm.

E

Mô đun đàn hồi.

J

Mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm.

μ

Khối lượng trên một đơn vị chiều dài của dầm.

ωb

Vận tốc góc giảm chấn của dầm.

P

Độ lớn của tải di động.

l

Chiều dài của dầm.

c

Vận tốc di chuyển của tải trọng.

δ(x)

Hàm Dirac ( hàm xung hoặc hàm delta), trong cơ khí hàm biểu diễn lực

đơn vị tập trung tại điểm điểm x=0

T(1)

Chu kì của mode dao động riêng thứ nhất của dầm

T

Thời gian tải di chuyển trên dầm.

ccr

Vận tốc tới hạn



Độ giảm logarit của giảm chấn của dầm

[M]

Ma trận khối lượng

[C]

Ma trận giảm chấn

[K]

Ma trận độ cứng,

ut

Vecto gia tốc của phần tử,

ut

Vecto vận tốc của phần tử

ut

Vecto chuyển vị của phần tử

Ft

Vecto ngoại lực

max

Tần số lớn nhất trong hệ kết cấu

5


Luận văn thạc sĩ khoa học
tmin

Chu kỳ thời gian nhỏ nhất của kết cấu

A

Diện tích mặt cắt ngang của dầm



Hệ số poisson

ρ

Khối lượng riêng của vật liệu chế tạo dầm

6


Luận văn thạc sĩ khoa học

DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1. So sánh kết quả mô phỏng và giải tích ............................................................. 40
Bảng 2. Kết quả tổng hợp độ võng giữa dầm trong 2 trường hợp tải di động bằng hằng
số và tải di động dao động điều hòa .................................................................. 48

7


Luận văn thạc sĩ khoa học

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1. Dầm chịu tác dụng của tải di động Pt . .............................................................. 13
Hình 2. Độ võng tại điểm giữa dầm theo thời gian ứng với một số giá trị của α .......... 18
Hình 3. Sự phụ thuộc của Δ vào α và β.......................................................................... 21
Hình 4. Sự ổn định của các kịch bản tích phân Newmark theo thời gian ...................... 25

Hình 5. Dầm chịu tác dụng của tải trọng di động (a) và mặt cắt ngang của dầm (b) .... 33
Hình 6. Độ võng tại điểm giữa dầm dưới tác dụng của tải trọng di động ứng với các
trường hợp α khác nhau .................................................................................. 34
Hình 7. Mô hình dầm mặt cắt chữ I trong ANSYS ........................................................ 35
Hình 8. Độ võng tĩnh của dầm khi đặt tải giữa dầm ...................................................... 35
Hình 9. Mode dao động riêng thứ nhất của dầm ............................................................ 36
Hình 10. Độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=0,5 ............................. 36
Hình 11. Độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=1 ................................ 37
Hình 12. Độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=1/18 ........................... 37
Hình 13. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=0,5 theo kết quả
mô phỏng và tính toán giải tích ...................................................................... 38
Hình 14. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=1 theo kết quả
mô phỏng và tính toán giải tích ...................................................................... 38
Hình 15. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=2 theo kết quả
mô phỏng và tính toán giải tích ...................................................................... 39
Hình 16. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=1/9(c=20m/s)
theo kết quả mô phỏng và tính toán giải tích .................................................. 39
Hình 17. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=1/18(c=10m/s)
theo kết quả mô phỏng và tính toán giải tích .................................................. 40
Hình 18. Mô hình cầu trục dầm I tổ hợp được xây dựng bằng phần mềm ANSYS ...... 41
Hình 19. Tần số dao động riêng mode 1 của cầu trục dầm I tổ hợp .............................. 42

8


Luận văn thạc sĩ khoa học
Hình 20. Độ võng tĩnh khi đặt tải giữa dầm................................................................... 43
Hình 21. Độ võng giữa dầm trong trường hợp α=0,5 .................................................... 43
Hình 22. Độ võng giữa dầm trong trường hợp α=1 ....................................................... 44
Hình 23. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=0.5 ................... 44

Hình 24. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=1 ...................... 45
Hình 25. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=2 ...................... 45
Hình 26. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=1/25(c=10m/s) 46
Hình 27. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp α=2/25(c=20m/s) 46
Hình 28. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp c=10m/s .............. 47
Hình 29. Đồ thị độ võng giữa dầm theo thời gian trong trường hợp c=20m/s .............. 48

9


Luận văn thạc sĩ khoa học

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI
I. Lý do chọn đề tài
Trong thực tế, có rất nhiều kết cấu chịu tác động của tải trọng di động, đặc biệt
là các kết cấu dạng dầm như cầu trục, cầu, đường ray tàu hỏa… Các nghiên cứu hiện
tại khi tính toán, khảo sát ảnh hưởng của tải trọng lên kết cấu đều sử dụng mô hình đơn
giản hóa và chỉ xét riêng phần dầm chính. Tuy nhiên, các chi tiết, bộ phận khác của kết
cấu cũng có những ảnh hưởng nhất định tới kết quả bài toán ví dụ như dầm đầu của cầu
trục hay hệ thống cáp treo trên cầu. Đối với phương pháp giải tích, khi đưa những chi
tiết trên vào tính toán sẽ khiến khối lượng tính toán tăng lên rất lớn và phức tạp. Để
giải quyết vấn đề trên, luận văn đề cập tới một phương pháp khác để khảo sát bài toán
tải trọng di động, đó là phương pháp mô phỏng số. Ưu điểm của phương pháp này là
cho phép người dùng có thể xây dựng được mô hình kết cấu phức tạp đồng thời khảo
sát ứng xử của mô hình nhanh chóng với độ tin cậy cao.
Từ những lý do trên, tác giả đã lựa chọn đề tài “Nghiên cứu lý thuyết và ứng
dụng mô phỏng số trong tính toán tải trọng động”.
II. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Đề tài được thực hiện với bốn mục đích chính:
- Nghiên cứu các phương pháp tính toán bài toán tải trọng di động:

+ Phương pháp giải tích.
+ Các phương pháp số.
- Hiểu được quy trình giải bài toán tải trọng di động trong phần mềm mô phỏng số
ANSYS.
- Áp dụng các phương pháp trên vào bài toán cụ thể:
+ Khảo sát bài toán tải trọng di động trên mô hình cầu trục đơn giản.
+ Khảo sát bài toán tải trọng di động trên mô hình cầu trục dầm I tổ hợp.

10


Luận văn thạc sĩ khoa học
- So sánh các kết quả thu được của bài toán tải trọng di động bằng phương pháp
giải tích và mô phỏng số. Đánh giá độ chính xác của phương pháp mô phỏng số từ
đó làm cơ sở nghiên cứu các trường hợp tải trọng di động phức tạp hơn sau này.
III. Nội dung cơ bản của đề tài
Ngoài phần tổng quan về đề tài, danh mục các bảng, danh mục các hình, danh
mục các chữ viết tắt, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn có kết cấu gồm 2 phần:


Phần 1: Cơ sở lý thuyết – Nội dung phần này được chia làm 2 chương, bao gồm:
o Chương 1: Lý thuyết tải trọng di động.
o Chương 2: Phương pháp số.

Phần 2: Áp dụng lý thuyết khảo sát ứng xử của dầm khi chịu tác dụng của tải
trọng di động – Nội dung phần này được chia làm 2 chương:
o Chương 3: So sánh kết quả tính toán giải tích và mô phỏng của trường
hợp dầm đơn giản chịu tác dụng của tải trọng di động .
o Chương 4: Kết quả mô phỏng số cho mô hình cầu trục 3D.
Trong phần này, tác giả ứng dụng lý thuyết nghiên cứu ở phần 1 để giải quyết

bài toán tải trọng di động cụ thể. Với trường hợp mô hình dầm đơn giản, các kết quả
tính toán giải tích và mô phỏng được so sánh với nhau, qua đó tác giả có thể đánh giá
được độ chính xác của phương pháp mô phỏng số và có cơ sở để áp dụng mô phỏng số
khảo sát ứng xử của mô hình cầu trục 3D khi chịu tác dụng của tải trọng di động.
Với những kết quả nghiên cứu được của đề tài, tác giả đã nắm được quy trình
giải bài toán tải trọng di động. Đồng thời, tác giả cũng nắm được phương pháp thực
hiện giải bài toán tải trọng di động trong phần mềm ANSYS từ đó có thể khảo sát được
các trường hợp tải trọng di động phức tạp hơn.
IV. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Ý nghĩa khoa học: Đề tài đã trình bày cơ sở lý thuyết và ứng dụng phương pháp
mô phỏng số trong việc khảo sát tác động của tải trọng di động lên kết cấu dạng dầm.
Các kết quả đã cho thấy phương pháp này cho lời giải với độ tin cậy cao ngay cả với
mô hình phức tạp ( mô hình cầu trục dạng 3D).

11


Luận văn thạc sĩ khoa học
Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho những người muốn
tìm hiểu về phương pháp khảo sát bài toán tải trọng di động bằng cả phương pháp giải
tích và phương pháp mô phỏng số. Các kết quả nghiên cứu thu được chính là tiền đề để
khảo sát các dạng tải trọng phức tạp hơn và đưa ra một số khuyến nghị cho quá trình
thiết kế cầu trục nói riêng và các kết cấu dạng dầm khác nói chung.

12


Luận văn thạc sĩ khoa học

PHẦN 1 - CƠ SỞ LÝ THUYẾT

CHƢƠNG 1.
LÝ THUYẾT TẢI TRỌNG DI ĐỘNG
1.1 Tải trọng bằng hằng số
1.1.1 Mô tả bài toán

Hình 1. Dầm chịu tác dụng của tải di động Pt .
Các giả thiết:
- Dầm được mô tả bởi lý thuyết Bernoulli-Euler.
- Dầm có mặt cắt ngang không thay đổi và khối lượng trên một đơn vị chiều dài
bằng hằng số.
- Khối lượng của tải trọng di động rất nhỏ so với khối lượng của dầm nghĩa là ta
chỉ xét đến tác động do trọng lượng của tải.
- Tải trọng di chuyển từ trái sang phải với vận tốc bằng hằng số.
- Ta xét dầm có gối tựa 2 đầu nên độ võng và mô men uốn tại 2 dầu dầm bằng 0.
Tại thời điểm ban đầu t=0, dầm có độ võng bằng 0.
Từ các giả thiết trên, phương trình động học của dầm có dạng:
EJ

v 4 ( x, t )
v 2 ( x, t )
v( x, t )


 2b
  ( x  ct ) P
4
2
x
t
t

(1.1)

Các điều kiện biên bao gồm:
v(0, t )  0 ; v(l , t )  0

 2 v ( x, t )
 2 v ( x, t )

0
0
;
x 2 x 0
x 2 x l

(1.2)

13


Luận văn thạc sĩ khoa học
Các điều kiện ban đầu:
v( x, 0)  0 ;

v( x, t )
0
t t 0

(1.3)

1.1.2. Giải phƣơng trình động học
Phương trình (1.1) với các điều kiện (1.2) và (1.3) được giải bằng phương pháp
biến đổi tích phân. Mỗi vế của phương trình (1.1) được nhân với sin

j x
sau đó tích
l

phân theo biến x từ 0 đến l. Sử dụng quan hệ của phép biến đổi Fourier sin tích phân
(27.67) (tr.446,[1]) với điều kiện biên (1.2), tính chất của hàm Dirac (tr.15,[1]), biểu
thức biến đổi (27.69),(27.70) và (27.74) (tr.446,[1]), phương trình (1.1) có dạng:
j 4 4
j ct
EJV ( j , t )  V ( j , t )  2 bV ( j , t )  P sin
4
l
l

(1.4)

Với:
l

V ( j , t )   v( x, t )sin
0

v ( x, t ) 

j x
dx , j= 1,2,3…

l

2 
j x
V ( j , t ) sin

l j 1
l

(1.5)

Ta có thể thấy rằng, vận tốc góc của dao động riêng mode thứ j của dầm được
tính như sau:
(2j ) 

j 4 4 EJ
l4 

Tần số dao động tự nhiên f( j ) 

(1.6)
( j ) j 2
 2
2
2l

Vận tốc góc của tải trong tập trung  

c
l

EJ



(1.7)
(1.8)

Từ đó phương trình (1.4) có dạng:
V ( j , t )  2bV ( j, t )  (2j )V ( j, t ) 

P



sin jt

14

(1.9)


Luận văn thạc sĩ khoa học
Để giải phương trình (1.4), ta áp dụng phương pháp biến đổi tích phân LaplaceCarson, nhân 2 vế của phương trình với e-pt, tích phân mỗi vế theo biến t từ 0 đến ∞ và
sau đó nhân với p ( p là biến số phức). Phương trình (1.4) có dạng:
p 2V * ( j , p)  2b pV * ( j, p)  (2j )V * ( j, p) 

Pj

p

 p  j 2 2
2

(1.10)

Từ phương trình ta có:
V * ( j, p) 

Pj

p
1
2 2
2
 p  j  p  2b p  (2j )
2

(1.11)

Đặt:


T

c
cl 
c

 (1) 


(1) 2 f (1)l 2T  EJ ccr

(1.12)



b bl 2

(1)  2

(1.13)


EJ




2

Trong đó:
1
f (1)

T(1) 
T

l
c

ccr 



2 f ( j )l
j

2





EJ

l



; j=1,2,3

(1.14)

b
f (1)

Độ võng tại điểm giữa dầm trong trường hợp tải tĩnh:
Pl 3
2P
2 Pl 3

v0 

 4
2
48EJ l(1)
 EJ

(1.15)

Vận tốc góc của dầm có giảm chấn trong trường hợp giảm chấn nhẹ ( ligh
damping)

15


Luận văn thạc sĩ khoa học
('2j )  (2j )  b2

(1.16)

Vận tốc góc của dầm có giảm chấn trong trường hợp giảm chấn lớn ( heavy
damping)
('2j )  b2  (2j )

(1.17)

Từ các phương trình trên kết hợp với (1.5) ta có độ võng của dầm theo thời gian
được biểu diễn như sau:


v( x, t )  v0 
j 1



1
j  j ( j   )  4  
2

2

2

2 2

j  j 2 ( j 2   2 )  2 2 
( j 4   2 )1/2

2

2

{j 2 ( j 2   2 ) sin jt 

j x
ebt sin (' j )t  2 j (cos jt  e bt cos (' j )t )}sin
l

(1.18)

Mô men uốn M(x,t) và lực cắt T(x,t)
 2 v ( x, t )
M ( x, t )   EJ
x 2
T ( x, t )   EJ

(1.19)

 3 v ( x, t )
x3

(1.20)

Với
M0 

Pl
4

(1.21)

T0  P

(1.22)

Mô men uốn và lực cắt tại vị trí x theo thời gian được biểu diễn qua công thức
dưới đây:


M ( x, t )  M 0 

j 1

8 j2



2

sin

j x
1

2
2
2
l j  j ( j   2 )2  4 2  2 



j  j 2 ( j 2   2 )  2 2   t
b t
2
2
2
'
'
b
  j ( j   )sin jt 
e

sin

t

2
j

(cos
j

t

e
cos

t
)
( j)
( j) 
( j 4   2 )1/2



16


Luận văn thạc sĩ khoa học


T ( x, t )  T0 

j 1

2 j3



cos

j x
1

2
2
2
l j  j ( j   2 )2  4 2  2 



j  j 2 ( j 2   2 )  2 2   t
b t
2
2
2
'
'
b

  j ( j   )sin jt 
e
sin


t

2
j

(cos
j

t

e
cos

t
)
(
j
)
(
j
)
( j 4   2 )1/2



(1.23)
1.1.3. Các trƣờng hợp đặc biệt
Do trong khuôn khổ luận văn chỉ xét đến trường hợp không có giảm chấn (β=0)
nên tác giả đưa ra một số trường hợp ứng với các giá trị khác nhau của α.

1.1.3.1. Trƣờng hợp tĩnh (α=0)
Thay α=0 vào phương trình (1.18) ta có:


v( x, t )  v0 
j 1

1
j x
sin
s injt
4
j
l

(1.24)

1.1.3.2. Trƣờng hợp động α ≠ 0
*) α ≠ j:
Thay β = 0 vào phương trình (1.18) ta có:


v( x, t )  v0 
j 1

1
j x

sin
(sin jt  sin  j t )

2
j ( j  )
l
j
2

2

(1.25)

*) α = j:
1
n x
(sin nt  nt cos nt )sin

4
2n
l
1
j x

sin
(sin jt  sin  j t )
2
2
2
j ( j  )
l
j

v( x, t )  v0
v0





j 1, j  n

(1.26)

Đồ thị độ võng tại điểm giữa dầm theo thời gian trong ứng với các trường hợp
trên được biểu thị như hình dưới đây.

17


Luận văn thạc sĩ khoa học

Hình 2. Độ võng tại điểm giữa dầm theo thời gian ứng với một số giá trị của α
1.2 Tải trọng dao động điều hòa
Trong trường hợp này, ta xét tải trọng di động tác dụng lên dầm dao động điều
hòa với tần số góc Ω
Pt  P sin t

(1.27)

Dao động của dầm được biểu diễn bằng phương trình
EJ

v 4 ( x, t )
v 2 ( x, t )
v( x, t )


 2b
  ( x  ct ) P sin t
4
2
x
t
t

(1.28)

Phương trình (1.28) với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu (1.2),(1.3) có
thể được giải bằng các phương pháp biến đổi tích phân. Áp dụng phép biến đổi tích
phân (1.5), phương trình (1.28) có dạng
d 2V ( j , t )
dV ( j , t )
Q
 2b
 (2j )V ( j , t )  sin t sin jt
2
dt
dt


(1.29)

Giải phương trình với điều kiện đầu (1.3) bằng phương pháp biến đổi LaplaceCarson ta có
Q  1
1 
p2
V ( j , p) 



2  p 2  r22 p 2  r12  ( p  b )2  ('2j )
*

Với r1    j ; r2    j

(1.30)
(1.31)

Sau khi biến đổi ngược (1.30) ta thu được biểu thức độ võng tại điểm x trên dầm
theo thời gian
18


Luận văn thạc sĩ khoa học






Q
1

{
[ (2j )  r22  cos r2t  e bt cos(' j )t  2b r2 sin r2t 
2
2
2
2
2
j 1  l  
( j )  r2   4b r2

v ( x, t )  


b
1
(2j )  r22  e  t sin (' j )t ] 
[ (2j )  r12   cos r1t  e  t cos(' j )t   (1.32)

2
'
2
2
2
2
( j )
( j )  r1   4b r1
b

2b r1 sin r1t 

b

b
j x
(2j )  r12  e  t sin (' j )t ]}sin

'
( j )
l
b

Ta sẽ đơn giản hóa phương trình (1.32) để phù hợp với những trường hợp
thường gặp trong thực tế. Vì vậy, hoàn toàn thỏa đáng nếu chỉ xét số hạng đầu tiên ứng
với 1, ngoài ra ta cũng biết rằng thực tế thì α và β nhỏ hơn rất nhiều so với 1. Cuối
cùng, trong thực tế, một lực dao động điều hòa luôn đi kèm với 1 lực có độ lớn bằng
hằng số nên sẽ đưa vào phương trình (1.32) độ võng tĩnh v0 do lực hằng số P0 gây ra.
Từ những điều trên, ta có dạng đơn giản của phương trình (1.32)
2

 12

P 2
b2 1/2
1
v( x, t )  v0 0 12
{[

1

4

] 
 2 
2
2
2
P   2

2







b
1
 2  1  4  2  2 


  

x
 sin(t   )sin t  2 (cost cos t  e bt cos1t}sin

l

Trong đó tg  

2b / 

12 /  2  1

(1.33)

(1.34)

Dầm sẽ đạt tới trạng thái động cao nhất trong khu vực cộng hưởng tức là Ω gần
bằng hoặc bằng ω1.
Trong một số trường hợp (1.33) có thể tiếp tục được đơn giản hóa thành
v( x, t )  v0

P1 cos1t
x
[ cost  e bt  b sin t ]sin
2
2
2 P0   b
l





(1.35)

Trong thực tế hệ số động học là được định nghĩa là tỷ lệ giữa độ võng động học
tối đa với độ võng tĩnh tại điểm giữa dầm.


max v(l / 2, t )

v0

(1.36)

19


Luận văn thạc sĩ khoa học
Khi dầm chịu tác động của lực P  P  Q sin t thì kết quả rung động của nó sẽ là
tổng của 2 phương trình (1.18) và (1.33). Trong đó độ võng tĩnh v0 được tính bởi công
thức (1.15).
Độ võng lớn nhất của thành phần thứ nhất của chuyển động là ở vị trí x=l/2 tức
ở giữa dầm và nó xuất hiện ngau khi lực được đặt lên giữa dầm. Độ võng động học lớn
nhất khi lực di động đã vượt qua điểm giữa dầm. Tuy nhiên chúng ta vẫn giả định rằng
độ võng lớn nhất ngay thời điểm t=T/2=l/(2c). Trong trường hợp này
sin t  1, cost  0

Độ võng lớn nhất trong phương trình (1.33) đạt được khi cos 1t  1 . Thay các giá trị
vào phương trình (1.33), ta rút ra được hệ số động học từ phương trình (1.36).
2

 12

b2 1/2
Q 12
1

  1
{[


1

4
]  2 e bl /2 c }


2
2
2
2
P   2


  2 b2   


1

1

4

 2
 2 
2 


  


(1.37)

Hệ số động học lớn nhất khi cộng hưởng ( ví dụ Ω=ω1), khi đó phương trình
(1.37) trở thành
  1

Q 12
Q
ebl /(2 c )  b  1  
2
2
2 P   b
P





(1.38)



trong đó  

1
1
 e  /(2 )   
2
2 
2 

(1.39)

Hình vẽ dưới đây thể hiện Δ là hàm của tham số vận tốc α và một vài trường
hợp của hệ số giảm chấn.

20


Luận văn thạc sĩ khoa học

Hình 3. Sự phụ thuộc của Δ vào α và β

21


Luận văn thạc sĩ khoa học
CHƢƠNG 2.
PHƢƠNG PHÁP SỐ
2.1 Tổng quan về phƣơng pháp tích phân Newmark
2.1.1 Giới thiệu
Phương pháp tiếp cận phổ biến nhất để giải các ứng xử động lực học của các hệ
kết cấu là tích phân số trực tiếp các phương trình cân bằng động học. Điều này dẫn
đến, sau khi thu được lời giải tại thời điểm t = 0, phương pháp này sẽ xác định các giá
trị thỏa mãn cân bằng động học tại các điểm rời rạc trong miền thời gian. Hầu hết các
phương pháp sử dụng các khoảng chia thời gian ∆t, 2∆t, 3∆t, …N∆t. Rất nhiều các kỹ
thuật số khác nhau đã được trình bày trước đó, tuy nhiên, tất cả các cách tiếp cận có thể
được phân loại cơ bản thành các phương pháp tích phân hoặc là tường minh hoặc là
không tường minh.
Các phương pháp tường minh không đưa ra lời giải của tập hợp các phương

trình tuyến tính tại từng bước. Về cơ bản, các phương pháp này sử dụng biểu thức vi
phân theo thời gian t để dự đoán lời giải tại thời điểm t + ∆t. Đối với hầu hết các kết
cấu thực tế chứa các phần tử cứng (stiff element), cần phải có bước thời gian rất nhỏ để
có thể thu được lời giải ổn định. Do đó, tất cả các phương pháp tường minh có điều
kiện ổn định ứng với kích thước bước thời gian tích phân.
Các phương pháp không tường minh cố gắng giải phương trình vi phân tại thời
điểm t sau khi thu được lời giải tại thời điểm t - ∆t. Các phương pháp này đòi hỏi lời
giải của tập các phương trình tuyến tính tại từng bước thời gian, khi đó phải sử dụng số
bước thời gian lớn hơn phương pháp tường minh. Các phương pháp không tường minh
có thể có hoặc không có điều kiện ổn định.
Hiện tại đã có một số lượng lớn các phương pháp nhiều bước thời gian, bậc cao,
và chính xác được phát triển để thu được lời giải số cho các phương trình vi phân. Các
phương pháp nhiều bước thời gian này giả thiết rằng lời giải là một hàm trơn (mịn) mà
ở đó các đạo hàm cấp cao là liên tục. Lời giải chính xác của nhiều cấu trúc phi tuyến
22


Luận văn thạc sĩ khoa học
đòi hỏi các gia tốc, đạo hàm cấp 2 của chuyển vị không phải là các hàm trơn. Sự gián
đoạn của gia tốc sinh ra do độ trễ phi tuyến của hầu hết các vật liệu kết cấu, tiếp xúc
giữa các thành phần kết cấu, và các phần tử mất ổn định. Do đó, chỉ phương pháp tích
phân đơn bước được trình bày trong chương này.
2.1.2 Họ các phƣơng pháp tích phân Newmark
Phương pháp tích phân Newmark dựa trên giả thiết rằng gia tốc thay đổi tuyến
tính trong một khoảng thời gian. Năm 1959 Newmark đưa ra họ các phương pháp tích
phân đơn bước để giải các bài toán động lực học kết cấu cho cả tải nổ và tải động đất.
Trong suốt 45 năm, phương pháp Newmark đã được áp dụng để phân tích động lực
học của rất nhiều các kết cấu kỹ thuật trong thực tế. Thêm vào đó, nó còn được hiệu
chỉnh và cải thiện bởi rất nhiều nhà nghiên cứu. Để minh họa việc sử dụng họ các
phương pháp tích phân số này, chúng ta sẽ sát quá trình giải các phương trình cân bằng

động lực học tuyến tính được cho dưới dạng sau:

 M  ut  C  ut   K  ut  Ft

(2.1)

Sử dụng trực tiếp khai triển chuỗi Taylor đưa ra một cách tiếp cận chặt chẽ để
thu được hai phương trình thay thế sau:
ut  ut t  tut t 

t 2
t 3
ut t 
ut t  ...
2
6

(2.2)

ut  ut t  tut t 

t 2
ut t  ....
2

(2.3)

Newmark đã rút gọn và biểu diễn các phương trình dưới dạng sau:
t 2
ut  ut t  tut t 

ut t  t 3u
2

(2.4)

ut  ut t  tut t  t 2u

(2.5)

Nếu gia tốc được giả thiết là tuyến tính trong khoảng bước thời gian tính toán,
khi đó có thể biểu diễn như sau:

23


Luận văn thạc sĩ khoa học

u

ut  ut t
t

(2.6)

Thế phương trình (2.6) vào phương trình (2.4) và phương trình (2.5) sẽ thu
được các phương trình Newmark ở dạng chuẩn:
1
ut  ut t  tut t  (   )t 2ut t  t 2ut
2

(2.7)

ut  ut t  (1   )tut t  tut

(2.8)

2.1.3 Tính ổn định của phƣơng pháp Newmark
Phương pháp Newmark với trường hợp không có giảm chấn là ổn định có điều
kiện nếu
1
2

  , 

1
và t 
2

1

max

(2.9)


2



Trong đó max là tần số lớn nhất trong hệ kết cấu (Newmark, 1959). Phương

pháp Newmark là ổn định không điều kiện nếu
2   

1
2

(2.10)

Tuy nhiên nếu  lớn hơn ½ khi đó sẽ có lỗi sai số xảy ra. Những sai số này có
liên quan đến các giảm chấn số và độ “dãn dài chu kỳ”. Đối với các hệ kết cấu có số
bậc tự do lớn, bước thời gian có giới hạn được quy định bởi (2.9) , có thể được viết lại
dưới dạng hay sử dụng như sau:
t

Tmin

1

(2.11)

2   
2

Trong đó tmin là chu kỳ thời gian nhỏ nhất của kết cấu . Mô hình máy tính của
các kết cấu thực thường chứa số lượng lớn các chu kỳ có độ lớn nhỏ hơn bước thời
gian tính toán. Do đó, cần thiết phải lựa chọn phương pháp tích phân số mà ổn định
không điều kiện ứng với tất cả các bước thời gian.

24

Luận văn thạc sĩ khoa học
2.1.4 Các tham số tích phân Newmark


1
6

 , 

1
điều này dẫn đến xấp xỉ gia tốc tuyến tính (kịch bản ổn định có
2

điều kiện)


1
4

 , 

1
điều này dẫn đến gia tốc trung bình hằng số. Sự lựa chọn các tham
2

số này tương ứng với luật hình thang (kịch bản ổn định không điều kiện trong
các phân tích tuyến tính)




1
1
,   là phương pháp Fox-Goodwin có độ chính xác bậc 4 (ổn định có
12
2

điều kiện).
Rõ ràng rằng số lượng lớn các phương pháp tích phân số trực tiếp có thể xác
định bằng cách đưa ra các giá trị tham số tích phân khác nhau. Một số phương pháp
hay dùng phổ biến đã được tổng kết trong hình dưới cho thấy sự ổn định của các kịch
bản tích phân theo thời gian Newmark.

Hình 4. Sự ổn định của các kịch bản tích phân Newmark theo thời gian

25