Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THỊ MINH TÂM

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
VỚI CÁC HÀM LỚP C1

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THỊ MINH TÂM

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
VỚI CÁC HÀM LỚP C1

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành:

TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số:

60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên - 2016


i

Mục lục
Lời nói đầu
Chương 1. ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA GINCHEV - IVANOV

1
3

1.1
1.2

Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu toàn cục . . . . . . . . . .
Điều kiện cần tối ưu cho cực tiểu địa phương . . . . . . . .

3
9

1.3
1.4

Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 .
Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabolic . . . .

15

19

Chương 2. ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CHO CỰC TIỂU CÔ LẬP
CẤP 2
22
2.1
2.2

Các khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . .
Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2 . . . .

22
26

2.3

Cực tiểu cô lập và tính lồi suy rộng . . . . . . . . . . . . .

34

KẾT LUẬN

41

TÀI LIỆU THAM KHẢO

43


1

Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài
Điều kiện tối ưu Karush – Kuhn – Tucker (KKT) là công cụ hữu
hiệu để giải các bài toán tối ưu phi tuyến. Các điều kiện cần cấp 1 cho phép
ta tìm được tập các điểm dừng. Các điều kiện tối ưu cấp 2 cho phép loại
bỏ các điểm dừng không là nghiệm và xác định liệu một điểm dừng có là
nghiệm hay không. I. Ginchev và V. I. Ivanov ([6], 2008) đã thiết lập các
điều kiện cần tối ưu KKT và Fritz John (FJ) cấp 2 cho bài toán tối ưu có
ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập với các hàm lớp C1 , nhưng đạo
hàm của chúng không Lipschitz địa phương. Các điều kiện đủ nhận được
với hàm mục tiêu khả vi và giả lồi cấp 2. V. I. Ivanov ([10], 2009) tiếp tục
nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho cực tiểu cô lập của bài toán đó; các điều
kiện đủ được dẫn với các giả thiết về tính lồi suy rộng. Điều kiện tối ưu cấp
2 là đề tài thời sự, được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên
cứu. Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp
C1 ”.
2. Nội dung đề tài
Luận văn trình bày các điều kiện tối ưu Karush – Kuhn – Tucker và
Fritz John cấp 2 của Ginchev – Ivanov ([6], 2008) cho bài toán tối ưu với
hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập với các hàm khả vi liên
tục, và điều kiện tối ưu cấp 2 cho cực tiểu cô lập của Ivanov ([10], 2009)
cho bài toán đó.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
CHƯƠNG I. ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA GINCHEV - IVANOV
Trình bày các kết quả nghiên cứu của Ginchev - Ivanov ([6], 2008)
về các điều kiện tối ưu Fritz John và KKT cấp 2 cho bài toán tối ưu có ràng

2

buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập. Trong điều kiện cần, hàm mục tiêu và
các hàm ràng buộc tích cực được giả thiết là khả vi liên tục, nhưng gradient
của chúng không nhất thiết Lipschitz địa phương. Các điều kiện cần dạng
hệ không tương thích và dạng đối ngẫu được trình bày. Trong điều kiện đủ,
hàm mục tiêu khả vi và giả lồi cấp 2, các hàm ràng buộc khả vi và tựa lồi.
Trong các điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập ta giả thiết bài toán
thuộc lớp C1,1 ; các điều kiện đủ cho cực tiểu parabolic cô lập cấp 2 của bài
toán lớp C1 .
CHƯƠNG II. ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CHO CỰC TIỂU CÔ LẬP CẤP
2
Trình bày các kết quả nghiên cứu của Ivanov ([10], 2009) về các
điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 cho cực tiểu cô lập cấp 2 của bài toán có
ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập. Trong các điều kiện cần cho cực
tiểu địa phương cô lập cấp 2, các hàm khả vi liên tục và khả vi theo phương
cấp 2. Các điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng hệ không tương thích và dạng
đối ngẫu, có và không có điều kiện chính quy cấp 2 được trình bày. Các
điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu cô lập được trình bày với các giả thiết về
tính lồi suy rộng.
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Đỗ Văn
Lưu, Viện toán học - Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tác
giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học của mình,
thầy đã tận tâm và nhiệt tình chỉ bảo.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm
khoa Toán - Tin, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên, cùng toàn thể cán bộ giảng dạy lớp cao học toán K8B đã nhiệt tình
giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, bạn bè và đồng

nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn
thành luận văn này.
Tác giả
Trần Thị Minh Tâm


3

Chương 1
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CỦA
GINCHEV - IVANOV
Chương 1 trình bày các điều kiện tối ưu Fritz John và Karush – Kuhn
– Tucker cấp 2 của Ginchev - Ivanov [6] cho bài toán tối ưu có hữu hạn ràng
buộc bất đẳng thức và ràng buộc tập. Trong điều kiện cần, hàm mục tiêu
và các hàm ràng buộc tích cực được giả thiết thuộc lớp C1 , nhưng gradient
của chúng không nhất thiết Lipschitz địa phương. Các điều kiện cần dạng
hệ bất đẳng thức không tương thích và dạng đối ngẫu được trình bày. Trong
điều kiện đủ, hàm mục tiêu được giả thiết khả vi và giả lồi cấp 2, các hàm
ràng buộc khả vi và tựa lồi. Các điều kiện đủ cho cực tiểu parabolic cô lập
cấp 2 của bài toán lớp C1 cũng được trình bày trong chương này.

1.1

Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu toàn cục

Trong chương này chúng ta trình bày điều kiện tối ưu KKT và FJ cho bài
toán (P) sau:
Minimize
fi (x)

f0 (x) ,

0, i = 1, ..., m,

x ∈ X,
trong đó X ⊂ Rn và fi , i = 0, 1, ..., m là các hàm xác định trên X. Ký hiệu R
¯ = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}.
là tập các số thực và R


4

Hàm f : X → R trong đó X là tập mở, X ⊂ Rn , f khả vi tại điểm x ∈ X,
f (x) là đạo hàm của f tại x. Đạo hàm theo phương cấp 2 f (x, u) của f
tại x ∈ X theo phương u ∈ Rn được xác định bởi công thức
2
( f (x + tu) − f (x) − t
t→+0 t 2

f (x, u) = lim

f (x) u) .

Hàm f được gọi là khả vi theo phương cấp 2 trên X nếu đạo hàm f (x, u)
tồn tại với mỗi x ∈ X và phương bất kỳ u ∈ Rn .
Nhắc lại hàm f : X → R được gọi là tựa lồi tại x ∈ X (theo X) nếu
y ∈ X, f (y)

f (x) ,t ∈ [0, 1] , (1 − t) x + ty ∈ X

⇒ f ((1 − t) x + ty)

f (x) .

Nếu tập X là lồi thì hàm f được gọi là tựa lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X
và t ∈ [0, 1] thì ta có
f ((1 − t) x + ty)

max ( f (x) , f (y)) .

Bổ đề 1.1.1. ([12]) Giả sử X là tập mở trong Rn và f là hàm thực xác định
trên X khả vi và tựa lồi tại x ∈ X. Khi đó,
y ∈ X, f (y)

f (x) =⇒

f (x) (y − x)

0.

Giả sử hàm f : X → R với X ⊂ Rn là tập mở, f khả vi tại x ∈ X.
Khi đó, f được gọi là giả lồi tại x ∈ X nếu
y ∈ X và f (y) < f (x) =⇒

f (x) (y − x) < 0.

Nếu f khả vi trên X thì f được gọi là giả lồi trên X nếu f là giả lồi tại
mỗi x ∈ X.
Xét hàm f : X → R, trong đó X là miền mở, f khả vi tại x ∈ X và khả vi
theo phương cấp 2 tại x ∈ X theo mỗi phương y − x sao cho y ∈ X,

f (y) < f (x) ,

f (x) (y − x) = 0.

Định nghĩa 1.1.2. Ta nói f là giả lồi cấp 2 (nói vắn tắt là 2-giả lồi) tại


5

x ∈ X nếu với mỗi y ∈ X,
f (y) < f (x) ⇒
f (y) < f (x) ,

f (x) (y − x)

0;

f (x) (y − x) = 0 ⇒ f (x, y − x) < 0.

Giả sử f khả vi trên X và khả vi theo phương cấp 2 tại mỗi x ∈ X
theo mỗi phương y − x sao cho
y ∈ X, f (y) < f (x) ,

f (x) (y − x) = 0.

Ta nói f là 2-giả lồi trên X nếu f là 2-giả lồi tại mỗi x ∈ X. Từ định
nghĩa này ta suy ra mọi hàm giả lồi khả vi là 2-giả lồi. Điều ngược lại
không đúng.
Trong phần này ta giả sử fi , i = 0, ..., m là các hàm thực xác định
trên không gian Euclid hữu hạn chiều Rn . Xét bài toán (P). Ký hiệu S là tập

chấp nhận được
S := {x ∈ X| fi (x)

0, i = 1, 2, ..., m} .

Với mỗi điểm chấp nhận được x ∈ S ta kí hiệu I (x) là tập các chỉ số ràng
buộc tích cực
I (x) := {i ∈ {1, 2, ..., m} | fi (x) = 0} .
Định nghĩa 1.1.3. Phương d được gọi là tới hạn tại điểm x ∈ S nếu
fi (x) d 0 với mọi i ∈ {0} ∪ I (x).
Kết quả chính của phần này là định lý sau đây:
Định lý 1.1.4. Giả sử ràng buộc tập X là mở, các hàm fi , i = 0, ..., m xác
định trên X. Giả sử fi , (i ∈ {0} ∪ I(x))
¯ khả vi tại điểm chấp nhận được x¯ và
khả vi theo phương cấp 2 tại x¯ theo mọi phương tới hạn d ∈ Rn , f0 là 2-giả
lồi tại x,
¯ fi , (i ∈ I(x))
¯ là tựa lồi tại x.
¯ Với mỗi phương tới hạn d ∈ Rn , tồn
tại các nhân tử Lagrange không âm λ1 , λ2 , ..., λm với
λi fi (x)
¯ = 0,

i = 1, ..., m,

L (x)
¯ = 0,

trong đó L = f0 (x) + ∑m
¯ d)

i=1 λi f i (x) là hàm Lagrange và L (x,
x¯ là cực tiểu toàn cục của (P).

0. Khi đó,


6

Chứng minh
Để đơn giản kí hiệu, ta sẽ viết L (x)
¯ = x L (x,
¯ λ ).
Giả sử ngược lại tồn tại x ∈ S với f0 (x) < f0 (x).
¯ Giả sử x − x¯ là một phương
tới hạn. Do tính 2-giả lồi, ta có f0 (x)
¯ (x − x)
¯
0. Do tính tựa lồi và
fi (x) f (x)
¯ , i ∈ I (x)
¯ và do Bổ đề 1.1.1 ta có fi (x)
¯ (x − x)
¯
0 với mọi
i ∈ I (x).
¯ Điều này suy ra x − x¯ là tới hạn.
Sử dụng giả thiết của định lý suy ra tồn tại nhân tử không âm
λ1 , λ2 , ..., λm với
L (x)
¯ (x − x)

¯ =0

λi fi (x)
¯ = 0, i = 1, ..., m và
sao cho
L (x, x − x)
¯

0.

Do đó, λi = 0 với i ∈
/ I (x).
¯ Do x − x¯ là tới hạn, ta nhận được
L (x)
¯ (x − x)
¯ =

f0 (x)
¯ (x − x)
¯ +

∑

λi

fi (x)
¯ (x − x)
¯

0

i∈I(x)
¯

Vì vậy,
f0 (x)
¯ (x − x)
¯ = 0 và λi
Khi đó,

fi (x)
¯ (x − x)
¯ = 0 với mọi i ∈ I(x).
¯

fi (x)
¯ (x − x)
¯ = 0 khi λi > 0. Do tính 2-giả lồi, ta suy ra

f0 (x,
¯ x − x)
¯ < 0. Do đó
L (x,
¯ x − x)
¯ <

∑

¯ x − x)
¯

λi f (x,

i∈I(x)
¯

=

∑
i∈I(x),λ
¯ i >0

λi lim

t→+0

fi (x¯ + t (x − x))
¯ − fi (x)
¯
2
t /2

Do tính tựa lồi ta có fi (x¯ + t (x − x))
¯
fi (x)
¯ = 0, với mọi i ∈ I(x)
¯ và với
mọi t ∈ [0, 1] đủ nhỏ. Từ đấy ta suy ra L (x, x − x)
¯ < 0. Đây là một mâu
thuẫn.
Định lý 1.1.4 là một tổng quát hóa kết quả sau đây của Mangasarian

[12, định lý 10.1.2], bởi vì lớp các hàm 2-giả lồi chứa lớp các hàm giả lồi
khả vi.


7

Định lý 1.1.5. (Xem [12]). Giả sử tập ràng buộc X mở. Các hàm
fi (i = 0, 1, ..., m) xác định trên X và x¯ là điểm chấp nhận được. Giả sử
fi (i ∈ {0} ∪ I(x))
¯ khả vi tại x,
¯ f0 giả lồi tại x¯ và fi (i ∈ I(x))
¯ là tựa lồi tại x.
¯
Nếu tồn tại nhân tử Lagrange không âm λ1 , λ2 , ..., λm với
λi fi (x)
¯ = 0, i = 1, ..., m và

L (x)
¯ = 0,

trong đó
L = f0 (x) + ∑m
i=1 λi f i (x)
thì x¯ là cực tiểu toàn cục của (P).
Ví dụ 1.1.6. Xét bài toán sau:
Minimize

f0 (x) =

x2

,x 0
,
−x2 , x < 0

với ràng buộc

f1 = −x

0.

Trong bài toán này fi ∈ C1 , i = 0, 1. Hàm mục tiêu là 2-giả lồi tại x¯ = 0.
Hàm ràng buộc là tuyến tính, cho nên tựa lồi. Hàm Lagrange là
L (x) = f0 (x) − λ x. Điểm dừng duy nhất là x¯ = 0 với nhân tử Lagrange
λ = 0. Ràng buộc là tích cực tại x¯ = 0. Các phương tới hạn là tất cả các
phương d ∈ R sao cho d

0. Dễ kiểm tra rằng

L (0, d) = f0 (0, d) = 2d 2

0.

Khi đó, theo Định lý 1.1.4, x¯ = 0 là cực tiểu toàn cục. Bài toán này không
thể giải được với các điều kiện đủ của Mangasarian [12, định lý 10.1.2],
bởi vì f0 không giả lồi.
Ví dụ 1.1.7. Xét bài toán sau
Minimize

f0 (x) = x3 ,

với ràng buộc

f1 (x) = x

0.

Hàm ràng buộc f1 = x là tựa lồi. Hàm mục tiêu f0 = x3 không là 2-giả lồi
tại x¯ = 0, nhưng là tựa lồi. Hàm Lagrange là L (x, λ ) = x3 + λ x. Tập các
phương tới hạn là {d ∈ R|d 0}. Điểm dừng duy nhất là x¯ = 0 với nhân
tử Lagrange λ = 0. Ta có L (0, 0) = 0, nhưng x¯ = 0 không là cực tiểu toàn
cục.


8

Ta đưa vào các khái niệm sau đây:
Định nghĩa 1.1.8. Giả sử X ⊂ Rn là một tập mở và hàm f : X → R là khả
vi tại x ∈ X và khả vi theo phương cấp hai tại x ∈ X theo mọi phương y − x
sao cho
y ∈ X, f (y) < f (x) ,

f (x) (y − x) = 0.

Ta nói f là 2-giả lồi chặt tại x ∈ X nếu với mọi y ∈ X, y = x thì suy luận
sau đúng:
f (y)

f (x) =⇒

f (y)

f (x) ,

f (x) (y − x)

0;

f (x) (y − x) = 0 =⇒ f (x, y − x) < 0.

Mỗi hàm 2-giả lồi chặt là 2-giả lồi
Định lý 1.1.9. Nếu ta thêm vào giả thiết của Định lý 1.1.4 là f0 2-giả lồi
chặt tại x¯ thì x¯ là cực tiểu toàn cục chặt.
Chứng minh
Ta có thể chứng minh định lý này tương tự Định lý 1.1.4.
Định lý 1.1.10. Giả sử X ⊆ Rn mở, các hàm fi (i = 0, 1, ..., m) xác định trên
X và x¯ là điểm chấp nhận được. Giả sử tất cả các hàm fi (i ∈ {0} ∪ I(x))
¯
khả vi tại x,
¯ khả vi theo phương cấp 2 tại x¯ theo mỗi phương tới hạn d ∈ Rn
và 2-giả lồi chặt tại x.
¯ Nếu với mỗi phương tới hạn d, tồn tại các nhân tử
không âm λ0 , λ1 , ..., λm với λ = (λ0 , λ1 , ..., λm ) = 0 và
λi fi (x)
¯ = 0,

i = 1, ..., m,

L (x)
¯ = 0,

L (x,
¯ d)

0,

trong đó L = ∑m
i=0 λi f i (x) thì x¯ là cực tiểu toàn cục chặt của (P).
Chứng minh
Giả sử ngược lại tồn tại x ∈ S, x = x¯ với f0 (x)

f0 (x).
¯ Ta chứng minh định

lý này tương tự Định lý 1.1.4. Do tính 2-giả lồi chặt ta nhận được
0=

L (x)
¯ (x − x)
¯ =

∑
i∈{0}∪I(x)
¯

λi

fi (x)
¯ (x − x)
¯

0.


9

fi (x)
¯ (x − x)
¯ = 0 với mọi i ∈ {0} ∪ I(x).
¯
Với mọi i ∈ {0} ∪ I(x)
¯ với λi > 0, ta có fi (x)
¯ (x − x)
¯ = 0.
Do đó, λi

Do tính 2-giả lồi chặt ta lại có fi (x,
¯ x − x)
¯ < 0.
Do λ = 0, ta suy ra L (x,
¯ x − x)
¯ < 0.
Đây là một mâu thuẫn.

1.2

Điều kiện cần tối ưu cho cực tiểu địa phương

Trong phần này ta trình bày điều kiện cần tối ưu cho bài toán (P) với các
dữ liệu khả vi liên tục. Với các vectơ cố định x¯ ∈ Rn và d ∈ Rn , ta đặt
I0 (x,

¯ d) := {i ∈ {0} ∪ I (x)
¯ |

fi (x)
¯ d = 0} .

Định lý 1.2.1. (Điều kiện cần cấp 2) Giả sử X là tập mở trong Rn , các hàm
fi (i = 0, 1, ..., m) xác định trên X. Giả sử x¯ là cực tiểu địa phương của (P),
các hàm fi (i ∈
/ I (x))
¯ liên tục tại x,
¯ các hàm fi (i ∈ {0} ∪ I(x))
¯ khả vi liên
tục và các hàm fi (i ∈ I0 (x,
¯ d)) khả vi theo phương cấp 2 tại x¯ theo phương
tới hạn bất kì d ∈ Rn . Khi đó, với mỗi phương tới hạn d ∈ Rn , không tồn tại
z ∈ Rn là nghiệm của hệ
fi (x)
¯ z + fi (x,
¯ d) < 0,

i ∈ I0 (x,
¯ d) .

(1.1)

Chứng minh
Giả sử d là phương tới hạn cố định bất kì. Rõ ràng là trường hợp I0 (x,
¯ d) = 0/
không xẩy ra, vì x¯ là một điểm cực tiểu. Giả sử ngược lại tồn tại phương tới

hạn d sao cho hệ (1.1) có nghiệm z ∈ Rn . Ta cố định i ∈ {0} ∪ I (x).
¯ Xét
hàm một biến ϕi (t) = fi x¯ + td + 0, 5t 2 z . Bởi vì X là mở và x¯ là chấp nhận
được, tồn tại δ > 0 sao cho ϕi xác định với 0
Ta có
ϕi (t) =

t < δ.

fi x¯ + td + 0, 5t 2 z (d + tz) .


10

Do đó, ϕi (0) =

fi (x)
¯ d. Xét thương sau
2t −2 ϕi (t) − ϕi (0) − tϕi (0)

¯ −t
= 2t −2 fi x¯ + td + 0, 5t 2 z − fi (x)

fi (x)
¯ d .

Theo định lý giá trị trung bình tồn tại θi ∈ (0, 1) sao cho
fi x¯ + td + 0, 5t 2 z = fi (x¯ + td) +

fi x¯ + td + 0, 5t 2 θi z

0, 5t 2 z .

Do fi ∈ C1 , tồn tại đạo hàm theo phương cấp 2, ϕi (0, 1) và
fi (x)
¯ z + fi (x,
¯ d) = lim

t→+0

fi x¯ + td + 0, 5t 2 θi z z

+ lim 2t −2 ( fi (x¯ + td) − fi (x)
¯ −t
t→+0

fi (x)
¯ d)

= ϕi (0, 1) .
Bởi vì z là một nghiệm của hệ (1.1) với phương d, ta suy ra với mọi
i ∈ I0 (x,
¯ d), tồn tại εi > 0 sao cho ϕi (t) − ϕi (0) − tϕi (0) < 0, với mọi
t ∈ (0, εi ), có nghĩa là
fi x¯ + td + 0, 5t 2 z − fi (x)
¯ < 0,

với mọi t ∈ (0, εi ) .

(1.2)

Xét các trường hợp sau:
(1) Với mọi i ∈ {1, 2, ..., m} \ I (x)
¯ ta có fi (x)
¯ < 0. Vì vậy, do tính liên tục,
tồn tại εi > 0 sao cho
fi x¯ + td + 0, 5t 2 z < 0, với mọi t ∈ [0, εi ).
(2) Với mọi i ∈ I (x)
¯ \ I0 (x,
¯ d), ta có fi (x)
¯ d = ϕi (0) < 0. Do đó, tồn tại
εi > 0 sao cho ϕi (t) < ϕi (0), với mọi t ∈ (0, εi ). Vì vậy, ta có
fi x¯ + td + 0, 5t 2 z < fi (x)
¯ = 0, với mọi t ∈ (0, εi ).
(3) Với mọi i ∈ I0 (x,
¯ d) \ {0}, do
εi > 0 sao cho

fi (x)
¯ d = 0, từ (1.2) suy ra tồn tại

fi x¯ + td + 0, 5t 2 z < fi (x)
¯ = 0, với mọi t ∈ (0, εi ).


11

(4) Nếu 0 ∈
/ I0 (x,
¯ d) thì

ε0 > 0 nào đó, ta có

f0 (x)
¯ d < 0, nghĩa là ϕ0 (0) < 0. Do đó, với

¯ với mọi t ∈ (0, ε0 ).
f0 x¯ + td + 0, 5t 2 z < f0 (x)
(5) Nếu 0 ∈ I0 (x,
¯ d), thì

f0 (x)
¯ d = 0. Theo (2), tồn tại ε0 > 0 sao cho

¯ với mọi t ∈ (0, ε0 ).
f0 x¯ + td + 0, 5t 2 z < f0 (x),
Ta thấy rằng x¯ không là cực tiểu địa phương. Điều đó mâu thuẫn với giả
thiết.
Xét bài toán (P). Giả sử x¯ ∈ S. Nhắc lại [1]: nón tiếp tuyến Bouligand của S tại x¯ được định nghĩa như sau:
¯
T (S, x)
¯ :={d ∈ Rn |∃ xk ⊂ S, lim xk = x,
k→+∞

∃ t k ⊂ (0, +∞) : d = lim t k xk − x¯ }
k→+∞

Bao lồi đóng của T (S, x)
¯ được ký hiệu bởi P (S, x)
¯ := cl (conv (T (S, x)))
¯

được gọi là nón giả tiếp tuyến của S tại x.
¯ Xét nón
L (x)
¯ = {d ∈ Rn |

fi (x)
¯ d

0, i ∈ I (x)}
¯ .

Định lý 1.2.2. (Điều kiện cần cấp hai đối ngẫu) Giả sử tất cả các giả thiết
của Định lý 1.2.1 đúng. Khi đó, ứng với phương tới hạn bất kỳ d, tồn tại các
nhân tử không âm λ0 , λ1 , ..., λm thỏa mãn
λi fi (x)
¯ = 0,
λi

i = 1, 2, ..., m,

fi (x)
¯ d = 0,

L (x,
¯ d) =

L (x)
¯ = 0,

i ∈ {0} ∪ I(x),

¯

∑

λi fi (x,
¯ d)

(1.3)

0.

i∈{0}∪I(x)
¯

Hơn nữa giả sử điều kiện chính quy Guignard L (x)
¯ ⊆ P (S, x)
¯ đúng. Khi đó,
ta có λ0 = 1.
Chứng minh
Xét ma trận A mà các hàng của nó là {

fi (x)
¯ \ i ∈ I0 (x,
¯ d)} và vectơ b


12

có các thành phần của nó là − fi (x,
¯ d) \ i ∈ I0 (x,

¯ d) . Với các khái niệm
này, Định lý 1.2.2 khẳng định rằng hệ tuyến tính Az < b không có nghiệm.
Điều này tương đương với việc nói rằng bài toán quy hoạch tuyến tính
max {y|Az + y b} có giá trị tối ưu y¯ 0. Ở đây y là vectơ mà các thành
phần của nó bằng y. Như vậy, bài toán quy hoạch đối ngẫu
min bT λ |AT λ = 0,

λi = 1, λi

∑

0 ,

i∈I0 (x,d)
¯

trong đó λ là vectơ có các thành phần là λi với i ∈ I0 (x,
¯ d), có một giá trị
tối ưu không dương. Do đó, hệ
AT λ = 0,

bT λ

0,

λ

0, λ = 0

(1.4)

có một nghiệm λ . Nếu ta xác định λi = 0, với i ∈ ({0} ∪ I (x))\I
¯
¯ d) hoặc
0 (x,
i∈
/ {0} ∪ I (x,
¯ d), thì từ (1.4) ta thấy rằng λ0 , λ1 , ..., λm thỏa mãn khẳng định
của định lý.
Ta thấy rằng các nhân tử Lagrange trong điều kiện cần cấp 2 phụ
thuộc theo phương. Trong ví dụ sau đây, ta so sánh kết quả ở đây với Định
lý 3.1 của Jeyakumar, Wang [11], trong đó các C1 hàm được sử dụng và các
nhân tử không phụ thuộc vào phương.
Định nghĩa sau đây được đưa vào trong [11]. Xét không gian M (Rn , Rn )
của các ma trận vuông cấp n × n. Giả sử f : Rn → Rn là khả vi liên tục và
v ∈ Rn . Xét đạo hàm theo phương Dini trên của hàm v
(v

(1)

f )+ (x, u) := lim sup

(v

t→0

f ) (x + tu) − (v
t

f

f ) (x)

.

Định nghĩa 1.2.3. Ta nói rằng hàm f có Hessian xấp xỉ ∂∗2 f (x) tại x ∈ Rn
nếu tồn tại một tập đóng bị chặn ∂∗2 f (x) ⊆ M (Rn , Rn ) và với mỗi v ∈ Rn ,
ta có
(v

(1)

f )+ (x, u)

max

M∈∂∗2 f (x)

Mv, u ,

∀u ∈ Rn .


13

Xét bài toán (P1 ) sau đây có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức:
f0 (x) ,

Minimize

fi (x)

0,

i = 1, 2, ..., m,

h j (x) = 0,

j = 1, 2, ..., q,

trong đó fi , i = 0, 1, ..., m và h j , j = 1, 2, ..., q là C1 hàm trên Rn .
Hàm Lagrange được cho bởi công thức
q

m

L = f0 (x) + ∑ λi fi (x) + ∑ µ j h j (x) .
i=1

j=1

Ký hiệu tập chấp nhận được là :
C := x ∈ Rn | fi (x)

0, i = 1, 2, ..., m, h j (x) = 0, j = 1, 2, ..., q .

Đặt
m

C (λ ) :=

x ∈ C| ∑ λi fi (x) = 0 .

(1.5)

i=1

Nón các phương chấp nhận được của tập C tại x ∈ C được định nghĩa như
sau:
F (C, x) := {u ∈ Rn |∃δ > 0, ∀α, 0

α

δ : x + αu ∈ C} .

m
Ký hiệu Rm
+ là orthant dương của R

Định lý 1.2.4. ([11]) Giả sử bài toán (P1 ) có cực tiểu địa phương tại x.
¯ Giả
q
2
sử với mỗi λ ∈ Rm
¯ λ , µ) tại
+ và µ ∈ R , L (., λ , µ) có Hessian xấp xỉ ∂∗ L (x,
x.
¯ Nếu điều kiện chính quy cấp 1 đúng tại x¯ thì tồn tại λi∗
với i = 1, 2, ..., m, µ ∗ ∈ Rq , L (x,
¯ λ ∗ , µ ∗ ) = 0 và
(∀u ∈ F (C (λ ∗ ) , x))

¯ ,

0, λi∗ fi (x)
¯ =0

∃M ∈ ∂∗2 L (x,
¯ λ ∗ , µ ∗ ) : Mu, u

0.


14

Ví dụ 1.2.5. Xét bài toán
f0 = −x12 − x22 + x1 − x2 ,

Minimize

1 + 2x2 − x1 − 1

f1 =

f2 = x12 − x2

0,

0.

Ở đây f0 , f1 , f2 là các C1 hàm trong một lân cận x¯ = (0, 0). Điểm x¯ = (0, 0)
không là tối ưu. Nếu ε > 0 đủ nhỏ tùy ý thì x (ε) = (ε, ε) là chấp nhận được

và f0 (ε, ε) < f0 (0, 0). x¯ là một điểm dừng với λ = (λ1 , λ2 ) = (1, 0). Các
phương tới hạn d = (u, u), với u
2 f +λ
2 f +λ
Bởi vì d T
0
1
1
2

0.
2 f d = −5u2 < 0, khi u = 0, theo Định
2

lý 1.2.2, x¯ không là tối ưu.
Mặt khác, F (C (1, 0) , x)
¯ = (0, 0). Do đó, Định lý 1.2.4 không thể loại bỏ
x¯ không là tối ưu, bởi vì
∂∗2 L (x,
¯ λ) =

2 L (x,
¯ λ)

và (0, 0)T

2 L (x,
¯ λ ) (0, 0) = 0.

So sánh Định lý 1.2.2 với Định lý 3.2 của Hiriart - Urruty, Strodiot,

Nguyễn [7], ta thấy rằng trong đó C1,1 hàm được sử dụng và các nhân tử
không phụ thuộc vào phương. Ta đưa vào định nghĩa sau đây
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử f ∈ C1,1 (Rn ). Ma trận Hessian suy rộng của f
tại x¯ , ký hiệu ∂ 2 f (x),
¯ là tập các ma trận được xác định là bao lồi của tập
hợp sau:
M|∃xi → x¯ với f khả vi 2 lần tại xi và
Tập hợp ∂ 2 f (x)
¯ quy về

2f

(x)
¯ khi

2

f (xi ) → M .

f là khả vi chặt tại x.
¯

Xét tập C (λ ) xác định bởi (1.5) và nón tiếp tuyến Bouligand T (C (λ ) , x)
¯
của C (λ ). Khi đó, ta có định lý sau:
Định lý 1.2.7. ([7]) Giả sử rằng bài toán (P1 ) với dữ liệu C1,1 có cực tiểu
địa phương tại x.
¯ Nếu điều kiện chính quy cấp 1 đúng tại x¯ thì với mỗi nhân
q
tử (λ , µ) ∈ Rm

¯ tồn tại ma trận
+ × R và với mỗi d ∈ T (C (λ ) , x),
2 L (x,
M ∈ ∂xx
¯ λ , µ) sao cho Md, d

0.


15

1.3

Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2

Trong phần này ta trình bày điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập.
Bổ đề 1.3.1. (Khai triển Taylor cấp 2) Giả sử f : X → R là hàm với miền
xác định lồi, mở X. Giả sử rằng f là khả vi theo phương cấp 2 trên X. Khi
đó, với mọi x, y ∈ X, tồn tại ξ ∈ [x, y) sao cho
1
f (ξ , y − x)
2

f (y) − f (x) −

f (x) (y − x) .

(1.6)

Chứng minh

Với mọi x, y ∈ X cố định, ta xét hàm một biến sau
1
f (x) (y − x) + αt 2
2

ϕ (t) = f (x + t (y − x)) − f (x) − t

trong đó α là hằng số. Do tính lồi của X cho nên hàm ϕ xác định trên [0, 1]
và ϕ (0) = 0. Ta chọn α sao cho ϕ (1) = 0. Do đó,
α = 2 (− f (y) + f (x) +

f (x) (y − x)).

Theo định lý Weierstrass ϕ đạt giá trị cực đại toàn cục trên [0, 1]
tại điểm θ nào đó. Nếu max {ϕ (t) | t ∈ [0, 1]} > 0 thì 0 < θ < 1. Do đó,
ϕ (θ ) = 0, ϕ (θ , 1) 0. Nếu max {ϕ (t) | t ∈ [0, 1]} = 0 thì không mất tính
chất tổng quát có thể giả sử θ = 0. Từ định nghĩa của ϕ, ta có ϕ (0) = 0.
Do tính chất cực đại, ta nhận được ϕ (θ , 1)
ϕ (θ , 1) 0. Điều này kéo theo
f (ξ , y − x) + α

0. Trong cả hai trường hợp

0,

trong đó ξ = x + θ (y − x). Vì vậy (1.6) đúng.
Bổ đề 1.3.2. (Xem [4, Bổ đề 1]) Giả sử ϕ : Rn → R là hàm C1,1 khả vi
theo phương cấp 2; ϕ là Lipschitz với hằng số L trên x¯ + rclB, trong đó
x¯ ∈ Rn , r > 0 và B := {x ∈ Rn | x < 1}. Khi đó, với u, v ∈ Rn và 0 < t < r,
ta có

2
(ϕ (x¯ + tv) − ϕ (x)
¯ −t
t2
L( u + v ) u−v ,

ϕ (x)
¯ v) −

2
(ϕ (x¯ + tu) − ϕ (x)
¯ −t
t2

ϕ (x)
¯ u)


16

và |ϕ (x,
¯ u) |

2L u 2 .

Định nghĩa 1.3.3. Điểm chấp nhận được x¯ được gọi là cực tiểu địa phương
cô lập cấp 2 của bài toán (P) nếu tồn tại lân cận N của x¯ và hằng số C > 0
sao cho
f0 (x)

f0 (x)
¯ +C x − x¯ 2 , với mọi x ∈ N ∩ S,

trong đó
S := {x ∈ X| fi (x)

0, i = 1, 2, ..., m} .

Định lý 1.3.4. (Điều kiện đủ cấp 2 đối ngẫu) Giả sử X là tập lồi mở, x¯ là
điểm chấp nhận được, fi (i ∈ {0} ∪ I(x))
¯ là các hàm lớp C1,1 (X) và khả vi
theo phương cấp 2. Nếu với mỗi phương tới hạn khác không d, tồn tại các
nhân tử Lagrange λi
cho

0, i = 0, 1, 2, ..., m với λ = (λ0 , λ1 , ..., λm ) = 0 sao
m

∑ λi

fi (x)
¯ = 0,

(1.7)

i=0

λi fi (x)
¯ = 0, i = 1, 2, ..., m,
L (x,

¯ d) > 0,

(1.8)
(1.9)

trong đó L là hàm Lagrange, thì x¯ là cực tiểu địa phương cô lập cấp 2.
Chứng minh
Giả sử x¯ không là cực tiểu cô lập cấp 2. Khi đó, với mọi dãy {εk }∞
k=1 các số
dương hội tụ đến 0 tồn tại dãy {xk } sao cho
xk − x¯
fi (xk )

f0 (xk ) < f0 (x)
¯ + εk xk − x¯ 2 ,

εk ,
fi (x)
¯ ,

i ∈ I (x)
¯ .

Không mất tính chất tổng quát xk = x¯ +tk dk , trong đó dk = 1. Khi chuyển
qua dãy con, ta có thể giả sử rằng dk → d¯ với d¯ = 1 .
Ta chứng minh rằng d¯ là tới hạn. Do Bổ đề 1.3.1, tồn tại θ0,k ∈ [0, 1) sao
cho
f0 (xk ) − f0 (x)
¯

1
f0 (x)
¯ (xk − x)
¯ + f0 ξ0,k , xk − x¯
2


17

trong đó ξ0,k = x¯ + θ0,ktk dk . Vì vậy,
εktk2

tk

1
f0 (x)
¯ dk + tk2 f0 ξ0,k , dk .
2

(1.10)

Bởi vì f0 ∈ C1,1 , tồn tại hằng số Lipschitz L và r > 0 sao cho f0 thỏa mãn
điều kiện Lipschitz trên x¯ + rclB. Giả sử k là số nguyên đủ lớn sao cho ξ0,k
thuộc x¯ + rB. Tồn tại rk > 0 với ξ0,k + rk B ⊂ x¯ + rB. Do đó, theo Bổ đề 1.3.2,
f0 ξ0,k , dk
2L. Bằng cách chia cho tk trong (1.10) và lấy giới hạn khi
k → ∞ ta nhận được f0 (x)
¯ d¯ 0.
Tương tự, ta chứng minh rằng

fi (x)
¯ d¯

0, với i ∈ I (x).
¯ Như vậy d¯ là tới

hạn.
Với i ∈ {0} ∪ I (x)
¯ ta xét
yik :=

2
( fi (x¯ + tk dk ) − fi (x)
¯ − tk
tk2

fi (x)
¯ dk ) ,

y¯ik :=

2
fi x¯ + tk d¯ − fi (x)
¯ − tk
2
tk

fi (x)
¯ d¯ .

Do Bổ đề 1.3.2, dãy {y¯ik } bị chặn và chuyển qua dãy con nếu cần thiết, ta
có thể giả sử y¯ik hội tụ. Nói cách khác y¯ik → y¯i . Mặt khác ta có
yik − y¯i

yik − y¯ik + y¯ik − y¯i .

Từ Bổ đề 1.3.2 ta suy ra yik − y¯ik
dk → d¯

2L dk − d¯ . Do đó yik → y¯i , bởi vì

Do các bất đẳng thức (1.9), (1.7) và việc chọn dãy {xk }, ta nhận được
0 < L x,
¯ d¯ = lim

k→∞

= lim

k→∞

∑

∑
i∈{0}∪I(x)
¯

λi

i∈{0}∪I(x)

¯

Đây là một mâu thuẫn.

∑
i∈{0}∪I(x)
¯

λi y¯i = lim

k→∞

λi yik

∑
i∈{0}∪I(x)
¯

2
2
(
f
(
x
¯
+
t
d
)
−

f
(
x))
¯
−
λ
i
i
i
k
k
∑
tk
tk2
i∈{0}∪I(x)
¯

2 2
εktk = 0.
k→∞ t 2
k

λ0 lim

λi y¯ik =

fi (x)
¯ dk

18

Định lý 1.3.5. (Điều kiện đủ cấp 2) Giả sử X ⊆ Rn là tập lồi mở và x¯ là
điểm chấp nhận được. Giả sử fi (i ∈ {0} ∪ I (x))
¯ thuộc lớp C1,1 (X) và khả
vi theo phương cấp 2. Nếu với mọi phương tới hạn d ∈ Rn \ {0}, không tồn
tại z ∈ Rn thỏa mãn
fi (x)
¯ z + fi (x,
¯ d)

với mọi i ∈ I0 (x,
¯ d) ,

0,

(1.11)

thì x¯ là một cực tiểu địa phương cô lập cấp 2.
Chứng minh
Chứng minh như lý luận trong Định lý 1.2.2. Giả sử d = 0 là phương tới
hạn tùy ý. I0 (x,
¯ d) = 0,
/ bởi vì theo định nghĩa ∀z ∈ Rn là nghiệm của hệ với
ẩn số z, sẽ không thỏa mãn bất kỳ đẳng thức nào. Sử dụng kí hiệu đó, từ sự
không tương thích của hệ (1.11), ta nhận được hệ tuyến tính Az
có nghiệm. Do đó, đối ngẫu của bài toán quy hoạch
max {y | Az + y

b không

b}

có một giá trị tối ưu âm. Ta chọn λi = 0 với i ∈ ({0} ∪ I (x))
¯ \ I0 (x,
¯ d) hoặc
i∈
/ I (x).
¯ Do đó, các quan hệ (1.7) - (1.9) đúng, và kết luận là hệ quả của
Định lý 1.3.4.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng Định lý 1.3.4 không đúng với các hàm
khả vi liên tục nhưng không là C1,1 .
Ví dụ 1.3.6. Xét bài toán
3/2

Minimize

f0 = max 0, x2 − 2
với ràng buộc

3

x14

f1 = −x1

3/2

+ max 0, 2

3

x14 − x2

0.

Tất nhiên, điểm x¯ = (0, 0) không là một cực tiểu địa phương cấp 2, bởi vì
4/3

f0 (x) = 0 với mọi x = (x1 , x2 ) ở giữa các đường cong x2 = x1 và
4/3
x2 = 2x1 . Thậm chí x¯ không là một cực tiểu địa phương chặt. Hàm mục
tiêu f0 thuộc lớp C1 R2 , nhưng f0 ∈
/ C1,1 R2 . Chẳng hạn, f0 không
thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong một lân cận của x¯ = (0, 0). Nếu ta lấy

,


19

xk = 0, k−1 và xk = k−3/4 , k−1 thì
lim

k→+∞

f 0 xk −

f0 xk

/ xk − xk = +∞

f0 là khả vi theo phương cấp 2. Tính toán đơn giản cho thấy
f0 (x)
¯ = (0, 0) ,

f0 (x,
¯ (d1 , d2 )) = +∞,

nếu d2 = 0

và

f0 (x,
¯ (d1 , d2 )) = 2d12 ,

nếu

d2 = 0.

Mặt khác, x¯ là một điểm dừng với nhân tử Lagrange λ1 = 0 trong đó
L = f0 − λ1 x1 . Tập các phương tới hạn là {(d1 , d2 ) | d1 0}.
L (x,
¯ d) > 0, với mỗi d = (d1 , d2 ) = (0, 0). Vì vậy, điều kiện đủ trong Định
lý 1.3.4 thỏa mãn.
Khẳng định sau đây là của Ben- Tal và Zowe [2, định lý 3.2]
Mệnh đề 1.3.7. Giả sử rằng f0 ∈ C1,1 (Rn ) , f (x)
¯ = 0 và f (x,
¯ d) > 0 với
mọi d ∈ Rn \ {0}. Khi đó x¯ là một cực tiểu địa phương chặt của hàm f .

1.4

Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabolic

Ta trình bày các điều kiện cần mà sử dụng biến phân của giá trị hàm mục
tiêu và hàm ràng buộc.
Định nghĩa 1.4.1. Điểm chấp nhận được x¯ được gọi là một điểm cực tiểu
địa phương parabolic (gọi tắt là pl-cực tiểu) của bài toán (P) nếu với mọi
d, z ∈ Rn , tồn tại ε = ε (d, z) > 0 sao cho
f0 x¯ + td + 0, 5t 2 z

f0 (x)
¯ ,

với mọi t ∈ [0, ε) ,

miễn là x¯ + td + 0, 5t 2 z là một điểm chấp nhận được.
Rõ ràng là mỗi điểm cực tiểu địa phương là một điểm pl- cực tiểu. Ví dụ
đơn giản dưới đây chỉ ra rằng điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.4.2. Xét hàm
f0 (x) =

x12 + x22 ,
− x12 + x22 ,

x2 = x13 ,
x2 = x13 .

20

Điểm x¯ = (0, 0) là pl- cực tiểu nhưng không là cực tiểu địa phương.
Định nghĩa 1.4.3. Điểm chấp nhận được x¯ được gọi là cực tiểu địa phương
parabolic cô lập cấp 2 của bài toán (P), nếu với mọi d, z ∈ Rn tồn tại các
số thực dương A = A (d, z) và ε = ε (d, z) sao cho
f0 x¯ + td + 0, 5t 2 z

f0 (x)
¯ + A td + 0, 5t 2 z 2 ,

với mọi t ∈ [0, ε) ,

miễn là x¯ + td + 0, 5t 2 z là điểm chấp nhận được.
Trong điều kiện đủ sau đây, ta giả sử rằng các ràng buộc là khả vi
liên tục, nhưng không nhất thiết có gradient Lipschitz địa phương.
Định lý 1.4.4. Giả sử X là tập mở và x¯ là điểm chấp nhận được. Giả sử
fi (i ∈ {0} ∪ I (x))
¯ thuộc lớp C1 (X) và khả vi theo phương cấp 2 tại x¯ theo
mọi phương d. Nếu với mọi phương chấp nhận được d ∈ Rn , không ∃z ∈ Rn
sao cho (d, z) = (0, 0) và
fi (x)
¯ z + fi (x,
¯ d)

0,

với mọi i ∈ I0 (x,
¯ d) ,

(1.12)

thì x¯ là một cực tiểu địa phương parabolic cô lập cấp 2.
Chứng minh
Giả sử ngược lại tồn tại các phương d và z sao cho với mọi dãy các số dương
∞
{εk }∞
k=1 hội tụ đến 0, tồn tại một dãy số dương {tk }k=1 hội tụ đến 0 sao cho
f0 x¯ + tk d + 0, 5tk2 z < f0 (x)
¯ + εktk2 d + 0, 5tk z 2 ,
fi x¯ + tk d + 0, 5tk2 z

0

(1.13)

với mọi i = 1, 2, ..., m.

(1.14)

Rõ ràng là (d, z) = (0, 0). Ta chứng minh d là một phương tới hạn. Theo
định lý giá trị trung bình tồn tại τk ∈ (0, 1) sao cho
f0 x¯ + tk d + 0, 5tk2 z = f0 (x)
¯ +

f0 x¯ + tk τk d + 0, 5tk2 τk z

tk d + 0, 5tk2 z .

Từ (1.13) suy ra bằng cách lấy giới hạn khi k → +∞ ta được

Từ (1.14), bằng cách sử dụng lý luận tương tự ta được
i ∈ I (x).
¯

fi (x)
¯ d

f0 (x)
¯ d

0.

0 với mọi


21

I0 (x,
¯ d) = 0/ theo lý luận của Định lý 1.3.5. Giả sử i ∈ I0 (x,
¯ d) cố định bất
kì. Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta nhận được tồn tại θik ∈ (0, 1) sao
cho
fi x¯ + tk d + 0, 5tk2 z = fi (x¯ + tk d) +
Khi đó, từ (1.13), (1.14) suy ra

fi x¯ + tk d + 0, 5tk2 θik z

fi (x)
¯ z+ fi (x,
¯ d)

0, 5tk2 z

0. Điều này mâu thuẫn

với giả thiết là hệ (1.12) không có nghiệm.
Định lý 1.4.5. Giả sử X là tập mở và x¯ là điểm chấp nhận được. Giả sử
rằng fi (i ∈ {0} ∪ I (x))
¯ thuộc lớp C1 (X) và khả vi theo phương cấp 2 tại
x¯ theo mọi phương d. Nếu với mọi phương tới hạn d ∈ Rn \ {0}, tồn tại
λ = (λ0 , λ1 , ..., λm ) , λi 0, i = 0, 1, ..., m, λ = 0 sao cho các điều kiện (1.7)
- (1.9) và điều kiện sau thỏa mãn:
λi

fi (x)
¯ d = 0,

i ∈ {0} ∪ I (x)
¯

(1.15)

thì x¯ là một điểm pl- cực tiểu cấp 2 cô lập.
Chứng minh
Sử dụng các ký hiệu trong chứng minh Định lý 1.2.2, từ giả thiết của định
lý ta suy ra hệ sau đây có một nghiệm
AT λ = 0,

bT λ < 0,

λ

0, λ = 0,

trong đó λ có thành phần là λi , i ∈ I0 (x,
¯ d). Tương tự lý luận của Định lý
1.2.2, ta suy ra hệ Az b không có nghiệm. Như vậy kết luận cần chứng
minh là hệ quả của Định lý 1.4.4.


22

Chương 2
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP 2 CHO
CỰC TIỂU CÔ LẬP CẤP 2
Chương 2 trình bày các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 cho cực tiểu cô lập
cấp 2 của Ivanov ([10], 2009) của bài toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc bất
đẳng thức và ràng buộc tập. Các điều kiện cần dạng hệ không tương thích
và dạng đối ngẫu, có và không có điều kiện chính quy cấp 2 được trình bày.
Trong các điều kiện cần, các hàm được giả thiết là khả vi liên tục và khả vi
theo phương cấp 2. Các điều kiện đủ tối ưu được trình bày với các giả thiết
về tính lồi suy rộng.

2.1

Các khái niệm và định nghĩa

Trong chương này ta trình bày các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 cho bài
toán (P) sau:
Minimize

fi (x)

0,

f0 (x) ,
i = 1, ..., m,

x ∈ X,
trong đó X ⊆ Rn và các hàm fi , i = 0, 1, ..., m được xác định trên X. X là
một tập mở.
¯ = R∪{−∞}∪{+∞} là đường thẳng
Kí hiệu R là tập các số thực, R
thực mở rộng. Giả sử hàm f : X → R khả vi tại x ∈ X.