tích phân phổ thông trung học

Tích phân

Trần Só Tùng

Vấn đề 4: DIỆN TÍCH LỚN NHẤT VÀ DIỆN TÍCH NHỎ NHẤT
Tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của hình phẳng S.
Phương pháp:
§ Thiết lập công thức tính S theo một hoặc nhiều tham số của giả thiết (giả sử là m), tức
là, ta có: S = g(m).
§ Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của g(m) bằng một trong các phương pháp:
+ Tam thức bậc hai
+ Bất đẳng thức Côsi hoặc Bu Nhia Côp Ski.
+ Sử dụng đạo hàm
Chú ý: Các cận a, b thường lấy từ nghiệm x1, x2 là hoành độ giao điểm của (C) và (d).
Ví dụ 1: (Vấn đề 1): Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong
y = x 1 + x 2 , trục Ox và đường thẳng x = 1.
Giải:
*

Đường cong (C) : y = x 1 + x 2 cắt trục hoành Ox khi: x 1 + x 2 = 0 Û x = 0.

*

Ta có: x 1 + x 2 ³ 0, với mọi x Ỵ [0; 1] . Do đó diện tích S cần tìm là:
1

S = ò x 1 + x 2 .dx.
0

*

Đặt: u 1 + x 2 Þ u2 = 1 + x 2 Þ 2u.du = 2xdx Þ u.du = xdx.

*

Đổi cận: x = 0 Þ u = 1;

*

Ta có: S =

2

ò
0

ỉ u3 ư
u2du = ç ÷
è 3 ø

x = 1 Þ u = 2.
2

=
0

1
(2 2 - 1) (đvdt)
3

Ví dụ 2: (vấn đề 1): Tính diện hình phẳng giới hạn bởi các đường

1 + ln x
y=
; x = 1, x = e.
x
Giải:
*

Diện tích hình phẳng S cần tìm: S =

e

ò
1

1 + ln x
dx
x

1
dx.
x
x = e Þ u = 2.

*

Đặt: u = 1 + ln x Þ u2 = 1 + ln x Þ 2u.du =

*

Đổi cận: x = 1 Þ u = 1;

2

ỉ2 ư
* Ta có: S = ò 2u .du = ç u3 ÷
è3 ø
1

2

2

=
1

2
2
(2 2 - 1 = (2 2 - 1) (đvdt)
3
3

Ví dụ 3 (vấn đề 2): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x 2 - 2x và y = -x 2 + 4x.
Trang 136


Trần Só Tùng

Tích phân

Giải:

*

*

y

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường:
x 2 - 2x = - x 2 + 4x
Û 2x 2 - 6x = 0 Û x = 0 hay x = 3.

A

Đồ thò (P1): y = x 2 - 2x và (P2 ) :y = -x 2 + 4x
như trên hình vẽ.
Hai đồ thò cắt nhau tại 2 điểm O(0 ; 0) và A(3 ; 3).

*

(P1)

4
3

– 0
1 –
1

Diện tích hình phẳng S cần tìm:
3

1

2 3

4
(P2)

3

3

x

ỉ 2x 3
ư
S = ò éë -x + 4x) - (x - 2x) ùûdx = ò (-2x + 6x)dx = ç + 3x 2 ÷ = 9 (đvdt)
è 3
ø
0
0
2

2

2

Ví dụ 4 (vấn đề 2): Parabol y2 = 2x chia hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
x 2 + y2 = 8 thành hai phần. tính diện tích mỗi phần đó
Giải:
*

Phương trình hoành độ giao điểm của (P): y2 = 2x và (C):x 2 + y2 = 8;
é x = 2 Þ y = ±2
x 2 + 2x = 8 (với x ³ 0) Û x 2 + 2x - 8 = 0 Û ê
ë x = -4 (loại)
Tọa độ giao điểm B(2 ; 2), C(2 ; –2).

*

y

Ta tính diện tích tam giác cong OAB;
Đặt: S1 = SOAB =

2

ò

2x.dx +

0

2

2

o

2 3ư
8

ỉ
2x.dx = ç 2.
x ÷ = .
3
è
ø0 3

ò
0

Tính:

ò

8 - x 2 .dx

2

2

với:

2 2

2 2

ò

–2

(P)
B
S1
2
C

8 - x 2 .dx = I.

2

Đặt: x = 2 2.sin t Þ dt = 2 2.cos t.dt.
Đổi cận: x = 2 Þ t = p / 4 ;
ÞI=

p/ 2

ò2

x = 2 2 Þ t = p/ 2

2.cos t.2 2.cos t.dt = 8

p/ 4

p/2

ò

2

cos t.dt = 8

p/ 4
p/2

ỉ sin 2t ư
= 4çt +
= p - 2.
÷
è
2 ø p/ 4
8
2
+ p-2 = p+ .
3
3

*

Do đó: S1 =

*

4
Do tính đối xứng nên: SOBAC = 2.SOAB = 2 p + .
3
Trang 137

p/ 2

1 + cos 2t
dt
2
p/ 4

ò

A
2 2

x


Tích phân

Trần Só Tùng

* Gọi S là diện tích hình tròn (C) Þ S = p.R 2 = 8p
*

4ư
ỉ
Gọi S2 là phần diện tích hình tròn còn lại Þ S2 = S - SOBAC = 8p - ç 2 p + ÷
3ø
è
4
Û S2 = 6 p - .
3

Ví dụ 5 (vấn đề 4): Chứng minh rằng khi m thay đổi thì Parabol (P): y = x2 + 1 luôn cắt

đường thẳng (d): y = mx + 2 tại hai điểm phân biệt. Hãy xác đònh m sao cho phần diện
tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và parabol là nhỏ nhất.
Giải:
* Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
x 2 + 1 = mx + 2 Û x 2 - mx - 1 = 0

(1)

y

D = m 2 + 4 > 0, "m

(P)
(d)

*

Vậy (d): luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
A, B có hoành độ x1, x2 là nghiệm của (1).
* Diện tích hình phẳng S là:

A

2
B

x2

x2

ỉ x 3 mx 2
ư
+ x÷
S = ò (mx + 2 - x - 1)dx = ç - +
2
è 3
ø x1
x1
2

x1

0

x

x2

1
m
= - (x 32 - x13 ) + (x 22 - x12 ) + (x 2 - x1 )
3
2
1
= - (x 2 - x1 ). éë2(x 22 + x1x 2 + x12 ) - 3m(x 2 + x1 ) - 6 ùû
6
1
1
4
=m 2 + 4. ëé2(m 2 + 1) - 3m 2 - 6 ûù =

(m 2 + 4)3 ³ .
6
6
3
4
Vậy: min S = khi m = 0.
3
Ví dụ 6 (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x2 , y =

x2
27
,y= .
8
x

Giải:
x2
27
* Đồ thò (P1 ) : y = x , (P2 ) : y = , (H) : y =
8
x
2

như trên hình vẽ.
*

(P1)
A

9

x2 =

27
Û x 3 = 27 Û x = 3 Þ toạ độ A(3, 9).
x

Phương trình hoành độ giao điểm của (P2) và (H):
Trang 138

(P2)

(H)

Phương trình hoành độ giao điểm của
(P1) và (H):

*

y

9/2
3

B

S2
S1

0

3

6

9

x


Trần Só Tùng

Tích phân

x 2 27
ỉ 9ư
=
Û x = 6 Þ toạ độ B ç 6, ÷ .
8
x
è 2ø
*

Diện tích hình phẳng S cần tìm:
3

S = S1 + S2 = ò (x 2 0

6

ỉ 27 x 2
x2
)dx + ò ç 8
8
3è x

ư
÷ dx = ... = 27 ln 2 (đvdt) .
ø

Ví dụ 7 (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: parabol (P):
y = 4x - x 2 và các đường tiếp tuyến với parabol này, biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua
M(5/2, 6).
Giải:
*

*

Phương trình đường thẳng (d) qua M hệ số góc K:

(d2)

5ư
ỉ
y = Kç x - ÷ + 6
è
2ø

6

(d) tiếp xúc (P) khi hệ sau có nghiệm:

4

ì
5ư
ỉ
2
ï4x - x = K ç x - ÷ + 6
2ø
è
í
ï4 - 2x = K
ỵ
*

y

(1)

(d1)
M

S1

S2

A

3

(2)
(P)

Thế (2) vào (1) ta được:
5
4x - x 2 = (4 - 2x)(x - ) + 6
2

0

1

B
4

2 5/2

x

éx = 1 Þ K = 1
Û x 2 - 5x + 4 = 0 Û ê
ë x = 4 Þ K = -4
*

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: (d1 ) :y = 2x + 1; (d 2 ) : y = -4x + 16

*

Diện tích hình phẳng S cần tìm:

S = S1 + S2 =

5/2

ò (2x + 1 - 4x + x

2

)dx +

1

4

ò (-4x + 16 - 4x + x

2

)dx = ... =

5/ 2

9
(đvdt).
4

Ví dụ 8 (vấn đề 3): Tính diện tích giới hạn bởi các đường: y = x 2 - 4x + 3 và y = 3.
Giải:
*

Vẽ đồ thò (C): y = f(x) = x 2 - 4x + 3

ì f(x), f(x) ³ 0
* Xét đồ thò (C’) : y = f(x) = í
ỵ -f(x), f(x) < 0
*

Từ đồ thò (C) ta suy ra đồ thò (C’) như sau:
ì+ Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm trên Ox
í
ỵ+ Lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm dưới Ox qua trục hoành

*

Đồ thò (C’) là hợp của 2 phần trên
Trang 139

y
(C)
3

0 1
–1

2

3 4

x

Tích phân

Trần Só Tùng

* Đường thẳng y = 3 cắt (C’) tại A(0 ; 3), B(4 ; 3).
* Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
* Do tính đối xứng nên ta có:
S = 2(S1 + S2 )
2

2
é1
ù
2
= 2.ò (3 - x - 4x + 3 )dx = 2 ê ò [3 - (x - 4x + 3)]dx + ò [3 - ( -x 2 + 4x - 3)]dx ú
0
1
ë0
û
...............
= 8 (đvdt)
2

Bảng xét dấu:
x
x2–4x+3

0
+

1
0

2
–

Trang 140

3
0

+


Trần Só Tùng

Tích phân

BÀI TẬP
Bài 1. Cho Parabol (P): y = x 2 - 4x + 3 và đường thẳng (d) : y = x – 1.
Tính diện tích giới hạn bởi:
a/ (P) và trục Ox;
b/ (P), trục Ox và trục Oy;
c/ (P), trục Ox, x = 2 và x = 4;
d/ (P) và (d);
e/ (P), (d), x = 0 và x = 2.
4
4
9

b/ ;
c/ 2;
d/ ;
ĐS: a/ ;
3
3
2
Bài 2. Tính diện tích giới hạn bởi các đường:
1
a/ (C) : y = x + 2 , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3;
2x
5
b/ y = x(x + 1) , trục Ox, trục Oy và x = 1;

e/ 3.

c/ 2(y - 1)2 = x và (y - 1)2 = x - 1 ;
d/ y = x 2 - 2x + 2, y = x 2 + 4x + 5 y = x 2 - 4x + 3 và y = 1;
x2
1
8
e/ y = , y = , y = (với x > 0).
8
x
x
1
418
4
9
b/

;
c/ ;
d/ ;
e/ 7ln2.
ĐS: a/ ;
3
35
3
4
Bài 3. Tính diện tích giới hạn bởi:
a/ (C) : y = x 2 - 2x và tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3 ; 3) trên (C).
b/ (C) : y = x 3 - 2x 2 + 4x - 3, y = 0 và tiếp tuyến với (C) tại tiếp điểm có hoành
độ x = 2.
9
;
ĐS: a/
4

b/

5
.
48

Bài 4. Cho Parabol (P): y2 = x và đường tròn (C) : x 2 + y2 - 4x +

9
= 0.
4

a/ Chứng tỏ (P) và (C) tiếp xúc nhau tại A và B.
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và các tiếp tuyến chung tại A và B.
ỉ3 6ư
6
6 ỉ3
6ư
6
6
6
ĐS: a/ A ç ;
x+
; Bç ; x.
b/
.
÷; y =
÷; y = è2 2 ø
6
4
è2
2 ø
6
4
2
Bài 5. Đường thẳng (d): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C): x 2 + y2 = 5 thành hai phần,
tính diện tích mỗi phần.
5p 5
15p 5
ĐS: S1 =
- ; S2 =
+ .

4 2
4
2
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
a/ y = x 2 , y = x.

b/ x - y3 + 1 = 0; x + y - 1 = 0.

c/ x 2 + y2 = 8; y2 = 2x.

d/ y = 2 - x 2 ; y3 = x 2 .
Trang 141


Tích phân

Trần Só Tùng

x

e/ y =
ĐS: a/

1 - x4

; x = 0; x =

1
;
3

b/

1
.
2

5
;
4

4
c/ 2 p + ;
3

d/

32
;
15

e/

p
.
12

Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a/ y = x.ex ; y = 0; x = -1; x = 2.

b/ y = x.ln 2 x; y = 0; x = 1; x = e.

c/ y = e x ; y = e- x ; x = 1.

d/ y = 5x -2 ; y = 0; x = 0; y = 3 - x.

e/ y = (x + 1)5 ; y = ex ; x = 1.
ĐS: a/ e2 -

2
+ 2;
3

24
1
+ ;
25ln 5 2

d/

b/

1 2
(e - 1);
4

e/

23
- e.

2

c/ e +

1
- 2;
2

Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a/ y =

x2
+ 2x và y = x + 4;
2

b/ y = - x 2 + 2 x + 3 và 3x + 5y - 9 = 0;

c/ y =

x
và y = 0; x = 1; x = 2;
x +1

d/ y = ln x ; y = 0; x =

ĐS: a/

26
;
3

b/

55
;
6

2
c/ 1 - ln ;
3

1
và x = e.
e

2
d/ 2 - .
e

Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a/ y = sin x + cos2 x, các trục toạ độ và x = p;
b/ y = sin 2 x + sin x + 1, các trục toạ độ và x =

p
.
2

c/ y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2 p.
d/ y = x + sin 2 x; y = p;x = 0; x = p.
p

ĐS: a/ 2 + ;
2

b/ 1 +

3p
;
2

c/ 4;

d/

p
.
2

Bài 10. Diện tích giới hạn bởi các đường thẳng x = –1; x = 2; y = 0 và Parabol (P) bằng
15. Tìm phương trình của (P), biết (P) có đỉnh là I(1 ; 2).
ĐS: y = 3x 2 - 6x + 5.
x 2 + 2x - 3
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y =
, tiện cận xiên
x+2
x = 0 và x = m > 0. Tìm giới hạn của diện tích này khi m ®+ ¥.
ỉm+2ư
ĐS: S = 3ln ç
÷ ; lim S = +¥.
è 2 ø m ®+¥
Trang 142