PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Dạng toán 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình: sin x = m (1)
* Nếu: m > 1 ⇒ Phương trình vô nghiệm
 π π
* Nếu: m ≤ 1 ⇒ ∃α ∈  − ;  sin α = m
 2 2
 x = α + k2π

⇒ (1) ⇔ sin x = sin α ⇔ 

 x = π − α + k2π

( k∈ ¢ ).

 π
π
− ≤ α ≤
Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  2
2 thì ta viết α = arcsin m.
sin α = m
*Các trường hợp đặc biệt:
1. sin x = 1⇔ x =

π
+ k2π

2

2 sin x = −1 ⇔ x = −

π
+ k2π
2

3. sin x = 0 ⇔ x = kπ

2. Phương trình: cos x = m (2)
* Nếu: m > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
* Nếu: m ≤ 1 ⇒ ∃α ∈ [0; π] : cos α = m
⇒ (2) ⇔ cos x = cosα ⇔

 x = α + k2π
( k∈ Z ).

 x = −α + k2π

0 ≤ −α ≤ π
Chú ý : * Nếu α thỏa mãn 
thì ta viết α = arccosm.
cos α = m
* Các trường hợp đặc biệt:
1. cos x = 1 ⇔ x = k2π
2. cos x = −1 ⇔ x = π + k2π
1

Ths Nguyễn Đức Lợi

3. cos x = 0 ⇔ x =

THPT Lê Hồng Phong

π
+ kπ
2

3. Phương trình : tan x = m (3)
 π π
Với ∀m⇒ ∃α ∈  − ; ÷: tan α = m
 2 2
⇒ (3) ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ .
 π
π
− < α <
Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  2
2 thì ta viết α = arctan m.
 tan α = m
* Các trường hợp đặc biệt:
1. tan x = 1 ⇔ x =

π
+ kπ
4

π
2. tan x = −1 ⇔ x = − + kπ

4
3. tan x = 0 ⇔ x = kπ
4. Phương trình: cot x = m (4)
π π
Với ∀m⇒ ∃α ∈ (− ; ) : cot α = m
2 2
⇒ (4) ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ .

 π
π
− < α <
Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  2
2 thì ta viết α = arccot m.
cot α = m
* Các trường hợp đặc biệt:
1. cot x = 1 ⇔ x =

π
+ kπ
4

π
2. cot x = −1⇔ x = − + kπ
4
3. cot x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ
2

Ghi chú:

2


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

u = v + k2π
* sin u = sin v ⇔ 
u = π − v + k2π
u = v + kπ

* tan u = tan v ⇔ 
π
u, v ≠ 2 + nπ
u = v + kπ
* cot u = cot v ⇔ 
u, v ≠ nπ

(k∈ ¢ )

* cosu = cos v ⇔ u = ± v + k2π

(k,n∈ ¢ )

(k,n∈ ¢ )

Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: asin x + bcos x = c (1) ; với a, b,c∈ ¡ và a2 + b2 ≠ 0 .
Cách giải: Chia hai vế cho
cos α =

a
a2 + b2

⇔ sin(x + α) =

;sin α =

c
a2 + b2

b
a2 + b2

a2 + b2 và đặt
. ⇒ (1) ⇔ sin x.cosα + cos x.sin α =

c
a2 + b2

(2).

Chú ý:
• (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 .
1

3

π
• sin x ± 3cos x = 2 sin x −
cos x = 2sin(x − )
2
3

 2
•

 3

1
π
3sin x ± cos x = 2
sin x ± cos x = 2sin(x ± )
2
6
 2


 1

1
π
• sin x ± cos x = 2 
sin x ±
cos x = 2sin(x ± ) .
4
2
 2


Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác
2

 sin u(x) 
sin u(x) 




cosu(x)
cosu(x)
Là phương trình có dạng : a
+ b
+ c= 0
 tan u(x)
 tan u(x)




 cot u(x) 
cot u(x) 

3

(k∈ ¢ )


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

 sin u(x) 


cosu(x)

Cách giải: Đặt t =
ta có phương trình : at2 + bt + c = 0
 tan u(x)


 cot u(x) 
Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x
 sin u(x) 
Khi đặt t = 
 , ta co điều kiện: t∈ −1;1
 cosu(x)
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp
Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx
cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x ≠ 0 (k là số mũ cao nhất) ta được
phương trình ẩn là tan x .
Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: a(sin x + cos x) + bsin x cos x + c = 0 (3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ
 t2 − 1
= sin x cos x


π 
t = sin x + cos x = 2sin  x + ÷ ⇒  2
4  

t ∈ − 2; 2

 
Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng
a(sin x − cos x) + bsin x cos x + c = 0 (3’)
Để giải phương trình này ta cũng đặt

t ∈  − 2; 2


π  
t = sin x − cos x = 2sin  x − ÷⇒ 
2
4  sin x cos x = 1− t


2
Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản
Các ví dụ
4


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1. sin x − cos2x = 0

2. cos2 x − sin2x = 0
4. sin(2x + 1) + cos(3x − 1) = 0

3. 2sin(2x− 350 ) = 3

Lời giải:
π
1. Phương trình ⇔ cos2x = sin x = cos( − x)
2

π
2π

π
x = 6 + k 3
 2x = 2 − x + k2π
⇔
⇔
, k∈ ¢ .
 x = − π + k2π
 2x = − π + x + k2π


2

2
2. Phương trình cos2 x − 2sin x cos x = 0
cos x = 0
 cos x = 0
⇔ cos x(cos x − 2sin x) = 0 ⇔ 
⇔
1
 2sin x = cos x  tan x =

2

π
 x = 2 + kπ
⇔
, k∈ ¢ .
 x = arctan 1 + kπ

2
3. Phương trình ⇔ sin(2x − 350 ) =

3
= sin600
2


950
x
=
+ k.1800


 2x − 350 = 600 + k3600
2
.
⇔
⇔
0
0
0
0
0
155

 2x − 35 = 180 − 60 + k360
0
 x = 2 + k.180
π

4. Phương trình ⇔ cos(3x − 1) = sin(−2x − 1) = cos + 2x + 1÷
2


π

π
 x = 2 + 2+ k2π
 3x − 1 = 2 + 2x + 1+ k2π
⇔
⇔
.
 x = − π + k 2π

 3x − 1 = − π − 2x − 1+ k2π

10
5
2


Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
2. sin3 x sin3x − cos3 x cos3x = −

1. cos x − 2sin2x = 0
5

5
2


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

4. sin2x.cos3x = sin5x.cos6x

3. sin2 2x = cos2 2x + cos3x

5. sin x + sin2x + sin3x = cos x + cos2x + cos3x
6. sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x

7. cos2 3x cos2x − cos2 x = 0

Lời giải:
1. Phương trình ⇔ cos x − 4sin x cos x = 0 ⇔ cos x(1− 4sin x) = 0

π
cos x = 0  x = + kπ
2
⇔
⇔
sin x = 1 
1
1

4  x = arcsin + k2π, x = π − arcsin + k2π

4
4
2. Ta có sin3 x =

3sin x − sin3x
cos3x + 3cos x
;cos3 x =
4
4

Nên phương trình đã cho tương đương với
sin 3x( 3sin x − sin3x) − cos3x( cos3x + 3cos x) = −
⇔ 3( sin3x sin x − cos3x cos x) − 1= −
⇔ −3cos4x = −

5

2

5
2

3
1
π
π
⇔ cos4x = ⇔ x = ± + k , k∈ ¢ .
2
2
12
2

3. Phương trình ⇔ sin2 2x − cos2 2x = cos3x
⇔ cos4x = − cos3x = cos( π − 3x)

π
2π
 4x = π − 3x + k2π
x= + k

⇔
⇔
7
7

 4x = −π + 3x + k2π
 x = −π + k2π

4. Phương trình ⇔

1
1
sin5x − sin x = sin11x − sin x

2
2

⇔ sin5x = sin11x ⇔ x = k

π
π
π
+k
hoặc x =
6
16
8

5. Phương trình ⇔ (sin x + sin3x) + sin2x = (cos x + cos3x) + cos2x
⇔ 2sin2x cos x + sin2x = 2cos2xcos x + cos2x

2π

1
 x = ± 3 + k2π
cos
x
=

−
.
⇔ (2cos x + 1)(sin2x − cos2x) = 0 ⇔ 
⇔
2

π
π
sin2x = cos2x  x = + k

8
2
6


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:
Phương trình ⇔

1− cos6x 1+ cos8x 1− cos10x 1+ cos12x
−
=
−
2
2
2
2

⇔ cos6x + cos8x = cos10x + cos12x


π
 x = 2 + kπ
 cos x = 0
.
⇔ 2cos7x cos x = 2cos11x cos x ⇔ 
⇔
π
π
cos11
x
=
cos7
x
x = k ; x = k


2
9
7. Phương trình ⇔ (1+ cos6x)cos2x − 1− cos2x = 0
⇔ cos6x.cos2x − 1 = 0 ⇔ cos8x + cos4x − 2 = 0
π
⇔ 2cos2 4x + cos4x − 3 = 0 ⇔ cos4x = 1 ⇔ x = k .
2
Nhận xét:
* Ở cos6x.cos2x− 1 = 0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay
cos6x = 4cos3 2x − 3cos2x và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm

số lượng giác cos2x.
* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình
đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt t = cos2 x
Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng
công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng .
Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:
1. 3sin x + 4cos x = 0
3. 2sin 3x + 5cos3x = 5
5. sin7x − cos2x = 3(sin 2x − cos7x)

2. sin 2x + 3cos2x = 1
4. 3cos x + 3sin x = 1
6. sin 3x − 3cos3x = 2sin 2x

7. sin x + cos x sin2x + 3cos3x = 2(cos4x + sin3 x)
Lời giải:
1. Phương trình ⇔ 3sin x = −4cos x ⇔ tan x = −

 4
4
⇔ x = arctan  − ÷+ kπ .
3
 3

π
π 1
π
2. Phương trình ⇔ 2sin(2x + ) = 1 ⇔ sin(2x + ) = = sin
3
3 2

6
7


Ths Nguyễn Đức Lợi


π
 2x + 3 =
⇔
 2x + π =

3

THPT Lê Hồng Phong

π

π
+ k2π
x = − + kπ

6
12
⇔
, k∈ ¢ .
5π
π

+ k2π

x = + kπ

6
4

3. Ta có 22 +

( 5)

2

= 9 < 52 ⇒ phương trình vô nghiệm.

4. Phương trình ⇔ 3cos x + sin x =
⇔ x=

π
1
⇔ cos(x − ) =
6 2 3
3

1

π
1
± arccos
+ k2π , k∈ ¢ .
6
2 3

5. Phương trình ⇔ sin7x + 3cos7x = 3sin 2x + cos2x

π
π

π
π
7x − 6 = x − 3 + k2π
 x = − 36 + k 3
π
π
⇔ cos(7x − ) = cos(x − ) ⇔ 
⇔
, k∈ ¢ .
6
3
7x − π = − x + π + k2π
x = π + k π


6
3
16
4

π
3x − = 2x + k2π

π

3
6. Phương trình ⇔ sin(3x − ) = sin2x ⇔ 
3
 3x − π = π − 2x + k2π

3

x =
⇔
x =


π
+ k2π
3
, k∈ ¢ .
4π
2π
+k
15
5

7. Phương trình ⇔

3
1
3
1
sin x + sin 3x + 3cos3x = 2cos4x + sin x − sin3x
2

2
2
2


π
 x = − 6 + k2π
π
.
⇔ sin3x + 3cos3x = 2cos4x ⇔ cos(3x − ) = cos4x ⇔ 
3
 x = π + k 2π

42
7

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
π

2. tan  ( sin x + 1)  = 1
4


1. cos(π sin x) = cos(3π sin x)
Lời giải:
8


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

sin x = k
 3π sin x = π sin x + k2π
⇔
1. Phương trình ⇔ 
sin x = n
 3π sin x = −π sin x + n2π

2
• Xét phương trình sin x = k . Do k∈ ¢ và −1≤ sin x ≤ 1 nên ta có các giá trị của
k : −1,0,1
Từ đó ta có các nghiệm: x = mπ, x =
• Xét phương trình sin x =

π
+ mπ , m∈ ¢
2

n
. Ta có các giá trị của n là: n = ±2,n = ±1,n = 0
2

Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x =

π
π
+ l π , x = l π , x = ± + lπ , l ∈ ¢
2
6

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = mπ, x =
2. Phương trình ⇔

π
π
+ mπ, x = ± + mπ m∈ ¢ .
2
6

π
π
sin x + 1) = + kπ
(
4
4

⇔ sin x + 1 = 1+ 4k ⇔ sin x = 4k ⇔ sin x = 0 ⇔ x = mπ , m∈ ¢ .
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
1.

(

)

3 − 1 sin x +

(

)

3 + 1 cos x = 2 2sin 2x

2. 3sin2 x + 5cos2 x − 2cos2x = 4sin2x
2
3. 5sin x − 2 = 3( 1− sin x) tan x

π
2 x
2
2 x
4. sin  − ÷tan x − cos = 0
2
 2 4
Lời giải:

1. Phương trình ⇔ 3sin x + cos x + 3cos x − sin x = 2 2sin2x
π
π
7π
⇔ sin(x + ) + cos(x + ) = 2sin2x ⇔ sin(x + ) = sin2x
6
6
12

7π

7π
 x = 12 + k2π
 2x = x + 12 + k2π

.
⇔
⇔
 x = 5π + k 2π
 2x = π − x − 7π + k2π


36
3
12
2. Phương trình đã cho tương đương với
3sin2 x + 5cos2 x − 2(cos2 x − sin2 x) = 8sin xcos x
9


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

⇔ 5sin x − 8sin x cos x + 3cos x = 0
2

2

⇔ 5tan2 x − 8tan x + 3 = 0 ⇔ tan x = 1 hoặc tan x =
⇔ x=

3
5

π
3
+ kπ hoặc x = arctan + kπ
4
5

3. Điều kiện : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π
+ kπ
2

Phương trình ⇔ 5sin x − 2 = 3(1− sin x)
⇔ 5sin x − 2 = 3(1− sin x)
⇔ 5sin x − 2 = 3

sin2 x
cos2 x

sin2 x
1− sin2 x

sin2 x
⇔ (5sin x − 2)(1+ sin x) = 3sin2 x
1+ sin x


x =
1
π

2
⇔ 2sin x + 3sin x − 2 = 0 ⇔ sin x = = sin ⇔ 
2
6
x =

4. Điều kiện : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π
+ k2π
6
.
5π
+ k2π
6

π
+ kπ .
2


π  sin2 x
⇔
1
−
cos(
x
−
)
− (1+ cos x) = 0

Phương trình

2  cos2 x

⇔ (1− sin x)

sin2 x
− (1+ cos x) = 0
1− sin2 x

sin2 x
⇔
− (1+ cos x) = 0
1+ sin x
⇔ (1− cos2 x) − (1+ cos x)(1+ sin x) = 0
 x = k2π
cos x = 1 
⇔ (1− cos x)(cos x − sin x) = 0 ⇔ 
⇔
.
π
 tan x = 1  x = + kπ

4

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
1. sin3 x + cos3 x = sin x − cos x

2. 2cos3 x = sin3x
10

Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

2
3. sin x + 3tan x = cos x( 4sin x − cos x)

Lời giải:
1. Phương trình ⇔ sin3 x + cos3 x = (sin x − cos x)(sin2 x + cos2 x)
⇔ 2cos3 x − sin x cos2 x + cos x.sin2 x = 0

(

)

⇔ cos x sin2 x − sin x cos x + 2cos2 x = 0
⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ (Do sin2 x − sin x cos x + 2cos2 x > 0 ∀x ∈ ¡ )
2

2. Phương trình ⇔ 2cos3 x = 3sin x − 4sin3 x
⇔ 4sin3 x + 2cos3 x − 3sin x(sin2 x + cos2 x) = 0
⇔ sin3 x − 3sin x cos2 x + 2cos3 x = 0
⇔ tan3 x − 3tan x + 2 = 0 (do cos x = 0 không là nghiệm của hệ)
⇔ (tan x − 1)(tan2 x + tan x − 2) = 0


π
 tan x = 1
x = + kπ

⇔
⇔
4
 tan x = −2  x = arctan(−2) + kπ

3. Điều kiện: cos x ≠ 0
Phương trình ⇔ tan2 x + 3tan x(1+ tan2 x) = 4tan x − 1
⇔ 3tan3 x + tan2 x − tan x + 1 = 0
⇔ (tan x + 1)(3tan2 x − 2tan x + 1) = 0
π
⇔ tan x = −1⇔ x = − + kπ .
4
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
1. sin2 x − 5sin x cos x − 6cos2 x = 0

2. sin2 x − 3sin x.cos x = −1

3. 3sin2 x + 5cos2 x − 2cos2x = 4sin2x

4. sin3 x + cos3 x = sin x − cos x
Lời giải:

11


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

1. Nhận thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của
phương trình cho cos2 x ta được:

π
 tan x = −1  x = − + kπ
tan x − 5tan x − 6 = 0 ⇒ 
⇔
.
4

 tan x = 6
 x = arctan6 + kπ
t= tan x

2

2. Phương trình ⇔ sin2 x − 3sin x.cos x = −(sin2 x + cos2 x)
⇔ 2sin2 x − 3cos x sin x + cos2 x = 0
Do cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho
cos2 x ta được:

π
 tan x = 1
x = + kπ

4
2tan2 x − 3tan x + 1 = 0 ⇒ 

⇔
.
 tan x = 1 
1

2  x = arctan + kπ

2
t= tan x

3. Phương trình đã cho tương đương với
3sin2 x + 5cos2 x − 2(cos2 x − sin2 x) = 8sin xcos x
⇔ 5sin2 x − 8sin x cos x + 3cos2 x = 0

π
 tan x = 1
x = + kπ

4
.
⇔ 5tan2 x − 8tan x + 3 = 0 ⇒ 
⇔
 tan x = 3
3

x = arctan + kπ

5

5

t= tan x

4. Phương trình ⇔ sin3 x + cos3 x = (sin x − cos x)(sin2 x + cos2 x)
⇔ 2cos3 x − sin x cos2 x + cos x.sin2 x = 0

(

)

⇔ cos x sin2 x − sin x cos x + 2cos2 x = 0
⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ
2
2


1
 7
(Do sin x − sin x cos x + 2cos x =  sin x − cos x÷ + cos2 x > 0 ).
2

 4
2

2

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
1. cos3x + cos2x − cos x − 1 = 0

2. 3cos4x − 8cos6 x + 2cos2 x + 3 = 0
12


Ths Nguyễn Đức Lợi

1
+
3. sin x

1
sin(x −

3π
)
2

THPT Lê Hồng Phong

= 4sin(

7π
− x)
4

4. 2sin x(1+ cos2x) + sin2x = 1+ 2cos x

Lời giải:
1. Ta thấy trong phương trình chứa ba cung x,2x,3x nên ta tìm cách đưa về

cùng một cung x .
Phương trình ⇔ 4cos3 x − 3cos x + (2cos2 x − 1) − cos x − 1 = 0
⇔ 2cos3 x + cos2 x − 2cos x − 1 = 0.
Đặt t = cos x, t ≤ 1.
1
Ta có: 2t3 + t2 − 2t − 1 = 0 ⇔ (t2 − 1)(2t + 1) = 0 ⇔ t = ±1,t = − .
2
* t = ±1 ⇔ cos x = ±1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ
* t=−

1
1
2π
2π
⇔ cos x = − = cos ⇔ x = ±
+ k2π .
2
2
3
3

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau
phương trình ⇔ cos3x − cos x − (1− cos2x) = 0
⇔ −2sin2x sin x − 2sin2 x = 0 ⇔ sin2 x(2cos x + 1) = 0
 x = kπ
sin x = 0

⇔
⇔
.

cos x = − 1  x = ± 2π + k2π
3

2 
2. Vì trong phương trình chứa các cung x,4x hơn nữa còn chứa hàm số côsin
lũy thừa chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x.
Phương trình ⇔ 3(2cos2 2x − 1) − (1+ cos2x)3 + 1+ cos2x + 3

π
π
cos2x = 0  x = + k .
⇔
⇔ cos2x(cos 2x − 3cos2x + 2) = 0 ⇔ 
4
2
cos2x = 1  x = kπ

2

3. Trong phương trình có ba cung x; x −

3π 7π
; − x nên ta tìm cách chuyển ba
2 4

cung này về cùng một cung x
Ta có: sin(x −

3π


π

π
) = sin (x + ) − 2π  = sin(x + ) = cos x
2
2
2


13


Ths Nguyễn Đức Lợi

sin(

THPT Lê Hồng Phong

7π

π 
π
1
− x) = sin  2π − (x + ) = − sin(x + ) = −
( sin x + cos x)
4
4
4
2


Phương trình ⇔

1
1
+
= −2 2(sin x + cos x)
sin x cos x

⇔ (sin x + cos x)( 2sin2x + 1) = 0 .
sin x + cos x = 0  x = − π + kπ

4
⇔
⇔
1
.
sin2x = −
π
5π

x = − + kπ; x = −
+ kπ

2

8
8
4. Ta chuyển cung 2x về cung x.
Phương trình ⇔ 4sin x cos2 x + 2sin x cos x = 1+ 2cos x

⇔ 2sin x cos x(2cos x + 1) = 2cos x + 1

π
 x = 4 + kπ
⇔ (2cos x + 1)(sin2x − 1) = 0 ⇔ 
.
 x = ± 2π + k2π

3
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:

(

)

(

)

3
3
4
4
1. 4 cos3xcos x + sin 3xsin x + 3sin6x = 1+ 3 cos x − sin x

(

)

4

4
2. 4 sin x + cos x + sin 4x

(

)

3 − 1− tan 2x tan x = 3

(

)

Lời giải:

3
3
1. Ta có: 4 cos3x cos x + sin 3xsin x = 3cos2x + cos6x và cos4 x − sin4 x = cos2x nên

Phương trình ⇔ 3cos2x + cos6x + 3sin6x = 1+ 3cos2x
⇔ 3sin6x = 1− cos6x ⇔ 2 3sin3xcos3x = 2sin2 3x
⇔ 2sin3x

(

)

3cos3x − sin3x = 0.

π

π
π
Suy ra nghiệm cần tìm là x = k ; x = + k .
3
9
3

cos2x ≠ 0  x ≠
⇔
2. Điều kiện 
cos x ≠ 0
x ≠


π
π
+k
4
2
.
π
+ kπ
2
14


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

(

)

4
4
2
Ta có : 4 sin x + cos x = 4 − 2sin 2x = 3+ cos4x

1+ tan2x tan x = 1+

sin2x sin x cos2x cos x + sin2xsin x
.
=
cos2x cos x
cos2xcos x
=

cos( 2x − x)
cos2x cos x

=

1
.
cos2x

Phương trình đã cho ⇔ 3+ cos4x + 3sin4x −

sin4x

=3
cos2x

π
⇔ cos4x + 3sin4x = 2sin2x ⇔ sin(4x + ) = sin 2x .
6
Từ đó ta tìm được nghiệm thỏa mãn phương trình là:
x= −

π
5π kπ
+ kπ; x =
+
.
12
36 3

Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :
y = sin2 x − 14sin x.cos x − 5cos2 x + 3.3 33
Lời giải:
• Nếu cos x = 0 ⇒ y = 1+ 3. 33 > 0
3

2
3
3
• Với cos x ≠ 0 ta có: y = (1+ 3 33)tan x − 14tan x + 3 33 − 5
cos2 x

Vì ∆ = 72 − (1+ 3.3 33)(3.3 33 − 5) < 0

Suy ra (1+ 33 33)tan2 x − 14tan x + 33 33 − 5 > 0 ∀x ∈ ¡ .
Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 11.
1. Cho tan α ,tan β là hai nghiệm của phương trình x2 − 6x − 2 = 0 . Tính giá trị của
biểu thức sau P = sin2(α + β) − 5sin(2α + 2β) − 2.cos2(α + β)
2. Cho tan α ,tan β là hai nghiệm của phương trình x2 + bx + c = 0 ( c ≠ 1). Tính giá
trị của biểu thức P = a.sin2(α + β) + bsin(2α + 2β) + c.cos2(α + β) theo a, b, c
15


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

Lời giải:
1. Theo định lí Viét ta có: tan α + tan β = 6, tan α.tan β = −2
Suy ra tan(α + β) =

tan α + tan β
= 2.
1− tan α.tan β

2
Ta có: P(1+ tan (α + β)) =

⇒P=

P
= tan2(α + β) − 10tan(α + β) − 2

cos (α + β)
2

tan2(α + β) − 10tan(α + β) − 2 4− 20 − 2
18
=
=−
2
1+ 4
5
1+ tan (α + β)

2. Theo định lí Viét ta có: tan α + tan β = −b,tan α.tan β = c
Suy ra tan(α + β) =

tan α + tan β
−b
=
.
1− tan α.tan β 1− c

2
Ta có: P(1+ tan (α + β)) =

P
cos (α + β)
2

= atan2(α + β) + 2btan(α + β) + c

⇒P=

atan2(α + β) + 2btan(α + β) + c
=
1+ tan2(α + β)

=

a.

b2
2b2
−
+c
(1− c)2 1− c
b2
1+
(1− c)2

ab2 − 2b2(1− c) + c(1− c)2
.
(1− c)2 + b2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP (có đáp án chi tiết)

π
1
Bài 1. Giải phương trình sin  2x + ÷ = −
3
2



π
 x = − 4 + kπ
A. 
, k∈ ¢
 x = 5π + kπ

12

, k∈ ¢


x =
B. 
x =



π
π
x = − 4 + k 2
D. 
, k∈ ¢
x = π + k π

12
2
16

π
+ kπ
4
, k∈ ¢
5π
+ kπ
12


π
 x = 4 + kπ
C. 
 x = π + kπ

12


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

Lời giải:

π
 π
Phương trình ⇔ sin  2x + ÷ = sin  − ÷
3

 6


π
π

π
 2x + 3 = − 6 + k2π
 x = − 4 + kπ
⇔
⇔
, k∈ ¢
 2x + π = π + π + k2π
 x = 5π + kπ

3
6
12


(

)

Bài 2. Giải phương trình cos 3x+ 150 =

3
2

 x = 250 + k.1200
A. 
, k∈ ¢
0

0
 x = −15 + k.120

 x = 50 + k.1200
B. 
, k∈ ¢
0
0
 x = 15 + k.120

 x = 250 + k.1200
C. 
. k∈ ¢
0
0
 x = 15 + k.120

 x = 50 + k.1200
D. 
, k∈ ¢
0
0
 x = −15 + k.120
Lời giải:

Phương trình ⇔ cos(3x + 15 ) = cos30
0

0

 3x + 150 = 300 + k.3600
 x = 50 + k.1200
⇔
⇔
, k∈ ¢

0
0
0
0
0
 3x + 15 = −30 + k.360
 x = −15 + k.120
1 1
Bài 3. Giải phương trình sin(4x+ ) =
2 3

1
π
x = − 8 + k 2
A. 
, k∈ ¢
x = π + k π

4
2

B.



1 1
1
π
 x = − 8 − 4 arcsin 3 + k 2

, k∈ ¢
 x = π − 1 − 1 arcsin 1 + k π

4 8 4
3
2

1 1
1
π
 x = 8 − 4 arcsin 3 + k 2
C. 
, k∈ ¢
 x = π − 1 − 1 arcsin 1 + k π

4 8 4
3
2


1 1
1
π
 x = − 8 − 4 arcsin 3 + k 2
D. 

, k∈ ¢
 x = π − 1 arcsin 1 + k π

4 4
3
2
Lời giải:

17


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong


1
1
 4x + 2 = arcsin 3 + k2π
Phương trình ⇔ 
 4x + 1 = π − arcsin 1 + k2π

2
3

1 1
1
π
 x = − 8 − 4 arcsin 3 + k 2
⇔

, k∈ ¢
 x = π − 1 − 1 arcsin 1 + k π

4 8 4
3
2
Bài 4. Giải phương trình sin(2x + 1) = cos(2 − x)

x =
A. 
x =


π
− 2 + k2π
2
, k∈ ¢
π 1 k2π
+ +
6 3 3


x =
B. 
x =


π
− 3+ k2π
2

, k∈ ¢
π 1 k2π
+ +
6 3 3


x =
C. 
x =


π
− 3+ k2π
2
, k∈ ¢
π 1 k2π
− +
6 3 3


x =
D. 
x =


π
+ k2π
2
, k∈ ¢
π 1 k2π

+ +
6 3 3

Lời giải:
π
Phương trình ⇔ sin(2x + 1) = sin( − 2+ x)
2

 2x + 1 =
⇔
 2x + 1 =



π
− 2 + x + k2π
x =
2
⇔
π
x =
+ 2 − x + k2π

2

π
− 3+ k2π
2
, k∈ ¢ .
π 1 k2π

+ +
6 3 3

Bài 5. Giải phương trình 2cos x − 2 = 0
A. x = ±

π
+ k2π, (k∈ ¢ )
6

B. x = ±

π
+ k2π, (k∈ ¢ )
5

C. x = ±

π
+ k2π, (k∈ ¢ )
3

D. x = ±

π
+ k2π , (k∈ ¢ )
4

Lời giải:
Phương trình ⇔ cos x =

2
π
π
= cos ⇔ x = ± + k2π , (k∈ ¢ )
2
4
4

Bài 6. Giải phương trình
A. x =

2cot

5
3 3
arccot
+ kπ (k∈ ¢ )
2
2 2

2x
3

=

3

B. x =
18

3
5 3
arccot
+ kπ (k∈ ¢ )
2
2 2


Ths Nguyễn Đức Lợi

C. x =

THPT Lê Hồng Phong

3
3 3
arccot
+ kπ (k∈ ¢ )
2
7 2

D. x =

3
3 3
arccot
+ kπ (k∈ ¢ )
2
2 2

Lời giải:
Phương trình ⇔ cot

⇔ x=

2x
3
2x
3
=
⇔
= arccot
+ kπ
3
2
3
2

3
3 3
arccot
+ kπ (k∈ ¢ ) .
2
2 2

π 1
Bài 7. Giải phương trình sin(4x − ) =
3 2
A. x =

π
+ kπ , k∈ ¢
2

B. x =

π
+ kπ , k∈ ¢
3

C. x =

π
+ kπ , k∈ ¢
5

D. x = kπ, k∈ ¢
Lời giải:


π
 π
Phương trình ⇔ tan  3x − ÷ = tan  − ÷
3

 3
⇔ 3x −

π

π
= − + kπ ⇔ x = kπ , k∈ ¢
3
3

0
Bài 8. Giải phương trình cot(4x− 20 ) =

1
3

A. x = 300 + k.450 , k∈ ¢

B. x = 200 + k.900 , k∈ ¢

C. x = 350 + k.900 , k∈ ¢

D. x = 200 + k.450 , k∈ ¢
Lời giải:

Phương trình ⇔ cot(4x − 20 ) = cot60
0

0

⇔ 4x − 200 = 600 + k.1800 ⇔ x = 200 + k.450 , k∈ ¢
Bài 9. Giải phương trình sin 2x − 2cos2x = 0
1
kπ
, k∈ ¢

A. x = arctan 2+
3
2
C. x =

1
kπ
arctan 2 +
, k∈ ¢
2
3

1
kπ
, k∈ ¢
B. x = arctan 2+
3
3
D. x =

Lời giải:
Phương trình sin2x = 2cos2x ⇔ tan 2x = 2
19

1
kπ
arctan 2+
, k∈ ¢
2
2

Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

⇔ 2x = arctan2 + kπ ⇔ x =

1
kπ
arctan2+
, k∈ ¢
2
2

Bài 10. Giải phương trình tan2x = tan x
A. x =

1
π
+ kπ, k∈ ¢ B. x = k , k∈ ¢
2
2

C. x =

π
+ kπ , k∈ ¢ D. x = kπ , k∈ ¢
3

Lời giải:


2x = x + kπ
 x = kπ


π
π


Phương trình ⇔  x ≠ + kπ ⇔  x ≠ + kπ ⇔ x = kπ, k∈ ¢ .
2
2


π
π
π
π


 x ≠ 4 + k 2
 x ≠ 4 + k 2

Bài 11. Giải phương trình
A. x =

π
+ 2kπ

6

C. x =

π
+ kπ
6

3tan 2x − 3 = 0

(k∈ ¢ )

B. x =

π
+ 2kπ
3

(k∈ ¢ )

(k∈ ¢ )

D. x =

π
+ kπ
2

Lời giải:
Phương trình ⇔ tan2x = 3 = tan

π
π
π
⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ
3
3
6

(k ∈ ¢ ) .

Bài 12. Giải phương trình cos2 x − sin2x = 0

π
 x = 2 + kπ
A. 
( k∈ ¢ )
 x = arctan 1 + kπ

3


π
 x = 2 + kπ
B. 
( k∈ ¢ )
 x = arctan 1 + kπ

4


π
 x = 2 + kπ
C. 
( k∈ ¢ )
 x = arctan 1 + kπ

5


π
 x = 2 + kπ
D. 
( k∈ ¢ )
 x = arctan 1 + kπ

2
Lời giải:

Phương trình cos x − 2sin x cos x = 0
2


π
cos x = 0
x
=
+ kπ

 cos x = 0

2

.
⇔ cos x(cos x − 2sin x) = 0 ⇔ 
⇔
1⇔

2sin
x
=
cos
x
1
tan x =
 x = arctan + kπ


2

2
20

(k∈ ¢ )


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

Bài 13. Giải phương trình sin(2x + 1) + cos(3x − 1) = 0


π
 x = 2 + 2 + k2π
A. 
( k∈ ¢ )
 x = π + k 2π

10
5


π
 x = 2 + 2 + k2π
B. 
( k∈ ¢ )
 x = − π + k 2π

10
5


π
 x = 2 + 3+ k2π
C. 
( k∈ ¢ )
 x = − π + k 2π

10
5


π
 x = 2 + 6 + k2π
D. 
( k∈ ¢ )
 x = π + k 2π

10
5
Lời giải:

π

Phương trình ⇔ cos(3x − 1) = sin(−2x − 1) = cos + 2x + 1÷
2


π

π
 x = 2 + 2+ k2π
 3x − 1 = 2 + 2x + 1+ k2π
⇔
⇔
 x = − π + k 2π
 3x − 1 = − π − 2x − 1+ k2π


10
5

2
π
π
Bài 14. Giải phương trình sin(4x − ) + sin(2x − ) = 0
4
3

7π kπ
 x = 72 + 3
A. 
( k∈ ¢ )
 x = π + kπ

24

B.


7π kπ
 x = 72 + 3

( k∈ ¢ )
 x = 11π + 2kπ

24

7π kπ
 x = 72 + 3
C. 
( k∈ ¢ )

 x = 11π + kπ

4

D.


7π kπ
 x = 72 + 3

( k∈ ¢ )
 x = 11π + kπ

24
21


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

Lời giải:

π
π

Phương trình ⇔ sin  4x − ÷ = sin  − 2x ÷
4

3



π
 4x − 4 =
⇔
 4x − π =
4


π

7π kπ
− 2x + k2π
x=
+

3
72
3
⇔
2π
11
π
x =
+ 2x + k2π
+ kπ

3
24

π
Bài 15. Giải phương trình cos7x + sin(2x − ) = 0
5

π k2π
 x = 50 + 5
A. 
( k∈ ¢ )
 x = − π + kπ

20 5


3π k2π
 x = − 50 + 5
B. 
( k∈ ¢ )
 x = − π + kπ

20 5


x =
C. 
x =



3π k2π
 x = 50 + 5

D. 
( k∈ ¢ )
 x = − π + kπ

20 5

π k2π
+
50 5 k∈ ¢
(
)
π kπ
+
20 5

Lời giải:
π

 3π

+ 2x÷
Phương trình ⇔ cos7x = sin  − 2x÷ = cos
5

 10


3π

3π k2π

7x = 10 + 2x + k2π
 x = 50 + 5
⇔
⇔
7x = − 3π − 2x + k2π
 x = − π + kπ


10
20 5

π
Bài 16. Giải phương trình sin2 2x = cos2(x − )
4

x =
A. 
x =


π
+ kπ
4
( k∈ ¢ )
π kπ
+
2 3


π

 x = − 4 + kπ

( k∈ ¢ )
 x = π + kπ

12 3


π
 x = 4 + 2kπ
B. 
( k∈ ¢ )
 x = π + kπ

12 3


π
 x = 4 + kπ
D. 
( k∈ ¢ )
 x = π + kπ

12 3
22

C.


Ths Nguyễn Đức Lợi

THPT Lê Hồng Phong

Lời giải:

π
1+ cos 2x − ÷
Phương trình
2
1− cos4x

⇔
=
⇔ cos4x = sin(−2x)
2
2

π
 x = 4 + kπ
π

⇔ cos4x = cos + 2x÷ ⇔ 
2

 x = π + kπ

12 3

Bài 17. Giải phương trình sin2 x + cos2 4x = 1


x =
A. 
x =


kπ
13 k∈ ¢
(
)
kπ
15


x =
B. 
x =


kπ
23 k∈ ¢
(
)
kπ
25


x =
C. 
x =


kπ
3 k∈ ¢
(
)
kπ
5


x =
D. 
x =


kπ
33 k∈ ¢
(
)
kπ
35

Lời giải:

x =
⇔
cos8
x
=
cos2
x

⇔

Phương trình
x =


kπ
3
kπ
5

Bài 18. Giải phương trình sin2x + 3sin 4x = 0

kπ
x = 2
A. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 1 arccos − 1  + kπ
 6÷

3





kπ
x = 2
B. 
( k∈ ¢ )

 x = ± 5 arccos − 1  + kπ
 6÷

2





kπ
x = 2
C. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 7 arccos − 1  + kπ
 6÷

2





kπ
x = 2
D. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 1 arccos − 1  + kπ
 6÷

2




Lời giải:


kπ
x = 2
Phương trình ⇔ sin2x( 1+ 6cos2x) = 0 ⇔ 
 x = ± 1 arccos − 1  + kπ
 6÷

2



Bài 19. Giải phương trình 6sin 4x + 5sin8x = 0
23


Ths Nguyễn Đức Lợi


x =
A. 
x =



THPT Lê Hồng Phong

kπ
4
( k∈ ¢ )
1
 3  kπ
arccos − ÷+
4
 5 2


kπ
x = 4
B. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 1 arccos − 3  + kπ
 5÷ 2

3





kπ
 x = 1+ 4
C. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 1 arccos − 3  + kπ
 5÷ 2


4





kπ
x = 4
D. 
( k∈ ¢ )
 x = ± 1 arccos − 3  + kπ
 5÷ 2

4



Lời giải:


kπ
x = 4
Phương trình ⇔ sin4x( 3+ 5cos4x) = 0 ⇔ 
.
 x = ± 1 arccos − 3  + kπ
 5÷ 2

4




Bài 20. Giải phương trình
A. x =

x=

cos2x
=0
1− sin2x

π
+ kπ ,( k∈ ¢ )
4

3π
+ 2kπ,( k∈ ¢ )
4

B. x =

D. x =

3π
+ kπ,( k∈ ¢ )
14

3π
+ kπ ,( k∈ ¢ )
4

Lời giải:

Điều kiện: sin2x ≠ 1 ⇔ x ≠

π
+ kπ
4

Phương trình ⇔ cos2x = 0 ⇔ x =
Kết hợp điều kiện ta có: x =

π
π
+k
4
2

3π
+ kπ là nghiệm của phương trình
4

Bài 21. Giải phương trình cot2x.sin 3x = 0

24

C.


Ths Nguyễn Đức Lợi


x =
A. 
x =



x =

x =


THPT Lê Hồng Phong


x =
B. 
x =


π
π
+k
4
2 k∈ ¢
(
)
2kπ
3

π
+ kπ
4
( k∈ ¢ )
kπ
3


x =
D. 
x =


π
π
+k
3
2 k∈ ¢
(
)
2kπ
3

C.

π
π
+k
4
2 k∈ ¢

(
)
kπ
3
Lời giải:

Điều kiện: sin2x ≠ 0 ⇔ x ≠

kπ
2


cot2x = 0  x =
⇔
Phương trình ⇔ 
sin3x = 0  x =


π
π
+k
4
2
kπ
3

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x =

π
π

mπ
+ k ,x =
với m≠ 3n
4
2
3

Bài 22. Giải phương trình tan3x = tan4x
A. x =

π
+ mπ ( m∈ ¢ )
2

B. x = 2 + mπ ( m∈ ¢ ) C. x = 2mπ ( m∈ ¢ )

D. x = mπ ( m∈ ¢ )
Lời giải:

cos3x ≠ 0  x ≠
⇔
Điều kiện: 
cos4x ≠ 0  x ≠


π
π
+k
6
3

π
π
+k
8
4

Phương trình ⇔ 4x = 3x + mπ ⇔ x = mπ
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x = mπ .
Bài 23. Giải phương trình cot5x.cot8x = 1
A. x =

π mπ
+
, m ≠ 13n + 5,( m, n∈ ¢ )
26 13

B. x =

π mπ
+
, m ≠ 13n + 6,( m, n∈ ¢ )
26 15

C. x =

π mπ
+
, m ≠ 13n + 7,( m,n ∈ ¢ )
26 13

D. x =

π mπ
+
, m≠ 13n + 6,( m,n∈ ¢ )
26 13

Lời giải:
25