Đứng giảng và các sinh viênsửa sửa mã nguồn

Đứng giảng và các sinh viên[sửa | sửa mã
nguồn]
Emmy Noether (tiếng Đức: [ˈnøːtɐ]; tên đầy đủ Amalie
Emmy Noether;[1] 23 tháng 3 năm 1882 – 14 tháng 4
năm 1935), là nhà toán học có ảnh hưởng người Đức
nổi tiếng vì những đóng góp nền tảng và đột phá trong
lĩnh vực đại số trừu tượng và vật lý lý thuyết. Được
Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné,
Hermann Weyl, Norbert Wiener và những người khác
miêu tả là một trong những nhà nữ toán học quan trọng
nhất trong lịch sử toán học,[2][3] bà đã làm nên cuộc
cách mạng trong lý thuyết vành, trường, và đại số trên
một trường. Trong vật lý học, định lý Noether giải thích
mối liên hệ sâu sắc giữa tính đối xứng và các định luật
bảo toàn.[4]

buồng trứng và tuy có dấu hiệu bình phục, bà đã qua
đời bốn ngày sau đó ở tuổi 53.
Các công trình toán học của Noether được chia thành
ba “kỷ nguyên” chính.[5] Trong giai đoạn (1908–19), bà
có những đóng góp quan trọng cho lý thuyết các bất
biến đại số và trường số. Nghiên cứu về bất biến vi phân
trong phép tính biến phân, hay định lý Noether, đã trở
thành “một trong những định lý toán học quan trọng
nhất từng được chứng minh giúp thúc đẩy sự phát
triển của vật lý hiện đại”.[6] Trong kỷ nguyên thứ hai
(1920–26), bà bắt đầu công trình mà “thay đổi bộ mặt
của đại số [trừu tượng]".[7] Trong bài báo Idealtheorie
in Ringbereichen (Lý thuyết các iđêan trong miền vành,
1921) Noether phát triển lý thuyết iđêan trong vành
giao hoán trở thành một công cụ mạnh với ứng dụng

rộng rãi trên nhiều lĩnh vực. Bà sử dụng một cách thanh
thoát điều kiện dây chuyền tăng dần, và các đối tượng
thỏa mãn chúng được mang tên Noetherian để vinh
danh bà. Trong kỷ nguyên thứ ba (1927–35), bà công bố
chủ yếu các công trình trong đại số không giao hoán
và số siêu phức cũng như thống nhất lý thuyết biểu
diễn nhóm với lý thuyết mô đun và iđêan. Ngoài chính
các bài viết của bà, Noether còn có nhiều ý tưởng khác
và những ý tưởng này được công nhận trong một vài
lĩnh vực nghiên cứu bởi các nhà toán học khác, ngay cả
trong lĩnh vực không có liên quan gì tới các công trình
của bà, như tô pô đại số.

Bà sinh ra trong một gia đình người Do ái ở thị trấn
Erlangen vùng Bavaria; cha bà là nhà toán học Max
Noether. Emmy lúc đầu định theo nghề dạy học tiếng
Pháp và tiếng Anh sau khi thi đỗ kỳ thi tuyển, nhưng
bà đã chuyển sang nghiên cứu toán ở Đại học Erlangen
nơi cha bà đang giảng dạy. Sau khi hoàn thành luận
án vào năm 1907 dưới sự hướng dẫn của giáo sư Paul
Gordan, bà làm việc không lương tại Viện Toán học
Erlangen trong vòng 7 năm (ở thời điểm đó phụ nữ
không được chấp thuận bất kỳ một vị trí hàn lâm nào).
Năm 1915, nhà toán học David Hilbert và Felix Klein đã
mời bà gia nhập khoa Toán ở trường Đại học Göingen,
một trung tâm nghiên cứu toán học nổi tiếng thế giới.
Tuy vậy, những người trong khoa Triết học đã phản đối
mạnh, và bà đã phải giảng dạy tại trường bốn năm dưới
tên của giáo sư Hilbert. Chức danh habilitation của bà
được chấp nhận vào năm 1919, cho phép bà có học vị

Privatdozent.

1 Tiểu sử

Noether là một trong các thành viên hàng đầu của khoa
toán Đại học Göingen cho tới năm 1933; trong giai
đoạn này các sinh viên của bà được gọi là “các chàng
trai Noether”. Năm 1924, nhà toán học Hà Lan B. L.
van der Waerden gia nhập nhóm của bà và sớm trở
thành chuyên gia hàng đầu giải thích và truyền bá các
ý tưởng của Noether: nghiên cứu của bà là cơ sở cho
tập hai của cuốn sách có ảnh hưởng của ông viết năm
1931, Moderne Algebra. Trong thời gian diễn ra phiên
họp toàn thể của Đại hội các nhà toán học quốc tế năm
1932 ở Zürich, các công trình về đại số của bà đã được
thế giới công nhận. Năm sau, chính phủ Đức ốc xã ra
lệnh cho thôi mọi chức vụ đại học đối với người Do ái
Noether lớn lên ở thành phố Erlangen thuộc Bayern, phác họa
ở Đức, do vậy Noether đã phải chuyển đến Hoa Kỳ để
trong ảnh bưu thiếp năm 1916.
giảng dạy tại Bryn Mawr College bang Pennsylvania.
Năm 1935 bà trải qua một cuộc phẫu thuật vì u nang
Bố của Emmy, Max Noether, có dòng dõi từ gia đình
1


2

1 TIỂU SỬ

thương gia ở Đức. Ông mắc chứng bại liệt lúc 14 tuổi.
Sau này ông có thể đi lại được nhưng với một chân vẫn
bị ảnh hưởng. Chủ yếu tự học, năm 1868 ông nhận bằng
tiến sĩ tại Đại học Heidelberg. Sau khi giảng dạy ở đây
trong 7 năm, ông đảm nhiệm một vị trí trong thành phố
Erlangen, nơi ông gặp và cưới Ida Amalia Kaufmann,
con gái của một thương nhân giàu có.[8][9][10][11] Đóng
góp toán học của Max Noether phần lớn trong lĩnh vực
hình học đại số, tiếp bước trên những công trình của
Alfred Clebsch. Ông nổi tiếng với các kết quả như định
lý Brill–Noether hay định lý AF+BG; một số định lý khác
cũng gắn liền với tên tuổi của ông, chẳng hạn như các
định lý Max Noether.
Emmy Noether sinh ngày 23 tháng 3 năm 1882, là chị
cả trong bốn người con. Tên gọi thứ nhất của bà là
“Amalie”, giống với tên của mẹ và bà ngoại, nhưng bà
đã chuyển sang dùng tên đệm từ lúc còn trẻ. Là một
thiếu nữ, bà được khá nhiều sự quan tâm. Bà không nổi
bật hẳn trong học tập mặc dù bà là người thông minh
và thân thiện. Emmy bị cận thị và nói một chút ngọng
ngịu lúc thiếu niên. Một người bạn của gia đình nhớ
lại câu chuyện nhiều năm sau đó về bé Emmy nhanh
chóng giải được câu đố của giáo viên ở một bữa tiệc cho
thiếu nhi, cho thấy sự nhạy bén trong tư duy logic của
bà lúc còn trẻ.[12] Emmy cũng học nấu ăn và dọn dẹp,
như đa số con gái thời đó, và bà còn học chơi piano. Bà
không thích thú lắm với những hoạt động này, mặc dù
bà khá yêu thích các điệu nhảy.[13][9]
Dưới bà là ba người em trai. Người lớn nhất, Alfred,
sinh năm 1883, nhận bằng tiến sĩ hóa học ở Erlangen

năm 1909, nhưng ông đã mất chín năm sau đó. Fritz
Noether, sinh năm 1884, được nhớ tới với các thành tựu
trong nghiên cứu toán học, sau khi học ở Munich ông
thực hiện nghiên cứu trong lĩnh vực toán học ứng dụng.
Người em út, Gustav Robert, sinh năm 1889, ông bị ốm
và qua đời năm 1928.[14][15]

Thầy hướng dẫn luận án tiến sĩ của Noether, Paul Gordan, với
chủ đề về những bất biến của các dạng trùng phương.

thông tại Nuremberg.[17][18][19]
Trong năm học 1903–04, bà học tại Đại học Göingen,
tham dự các bài giảng của nhà thiên văn học
Karl Schwarzschild và các nhà toán học Hermann
Minkowski, Oo Blumenthal, Felix Klein, và David
Hilbert. Ngay sau đó, sự giới hạn phụ nữ tham gia ở
trường đại học này đã được hủy bỏ hoàn toàn.
Noether trở lại Erlangen. Bà chính thức quay lại học
đại học vào ngày 24 tháng 10 năm 1904 với quyết định
tập trung vào nghiên cứu toán học. Dưới sự hướng dẫn
của Paul Gordan bà viết luận án, Über die Bildung des
Formensystems der ternären biquadratischen Form (Về
các hệ bất biến đầy đủ của những dạng trùng phương
ba biến, 1907). Mặc dù luận án này được đánh giá cao,
Noether sau này nhớ lại và miêu tả luận án là một “mớ
tào lao”.[20][21][22]

Trong bảy năm tiếp theo (1908–15) bà giảng dạy tại
Viện toán học Đại học Erlangen mà không có lương,
1.1 Đại học Erlangen

và thường đảm nhiệm thay thế cho bố bà khi ông quá
ốm để đứng giảng. Năm 1910 và 1911 bà công bố nghiên
Emmy Noether sớm bộc lộ khả năng học giỏi môn tiếng
Anh và tiếng Pháp. Mùa xuân năm 1900 bà tham dự kỳ cứu mở rộng luận án từ ba biến thành n biến số.
thi kiểm tra đối với giáo viên dạy các thứ tiếng này Gordan nghỉ hưu vào mùa xuân năm 1910 nhưng ông
và nhận được điểm tốt ở kết quả đánh giá. ời này, ở tiếp tục giảng dạy cùng với người kế nhiệm Erhard
trường học cho phép các giáo viên nữ có thể dạy ngoại Schmidt, người vừa mới rời vị trí ở Breslau. Gordan
ngữ, nhưng cuối cùng bà lại chọn tiếp tục nghiên cứu ngừng giảng dạy hoàn toàn vào năm 1911 khi người kế
nhiệm của Schmidt Ernst Fischer đến, và Gordan qua
tại Đại học Erlangen.
Đây là một quyết định bất thường; hai năm trước đó, đời tháng 12 năm 1912.
Ủy ban giáo dục các trường học quyết định cho phép
giáo dục cả nam và nữ lẫn nhau và “làm thay đổi hoàn
toàn trật tự trong giới giáo dục hàn lâm”.[16] Là một
trong hai học sinh nữ trong số 986 học sinh, Noether
chỉ được phép học ở một số lớp nhất định hơn là tham
gia đầy đủ vào mọi môn học, và ở lớp mà bà muốn tham
dự cần có sự cho phép của thầy giáo sẽ giảng dạy tại
lớp đó. Mặc dù với những cản trở như thế, bà thi đỗ kỳ
thi tốt nghiệp ngày 14 tháng 7 năm 1903 ở trường phổ

eo Hermann Weyl, Fischer có ảnh hưởng quan trọng
tới Noether, đặc biệt khi ông giới thiệu bà đến với
những công trình của David Hilbert. Từ 1913 đến 1916
Noether công bố một số bài báo mở rộng và áp dụng
phương pháp của Hilbert cho các đối tượng toán học
như trường các hàm hữu tỉ và lý thuyết bất biến của
nhóm hữu hạn. Giai đoạn này đánh dấu sự khởi đầu
của bà trong lĩnh vực đại số trừu tượng, lĩnh vực mà bà
đã có những đóng góp đột phá.

1.2

Đại học Göttingen

Noether đôi khi viết lên bì thư nội dung trao đổi về đại số trừu
tượng với đồng nghiệp Ernst Fischer. Bưu thư này đề ngày 10
tháng 4 năm 1915.

3

Năm 1915 David Hilbert mời Noether gia nhập khoa Toán
Göttingen, thách thức quan điểm của một số đồng nghiệp rằng
không nên cho phép phụ nữ giảng dạy đại học.

Noether và Fischer thường chia sẻ niềm vui toán học
và thảo luận rất lâu về bài giảng sau khi lớp học đã kết
một vị trí chính thức nào cũng như không được trả
thúc; Noether gửi các bưu thiếp đến Fischer nhằm tiếp
lương; gia đình bà đã trả tiền phòng trọ và ủng hộ sự
[23][24][25]
tục diễn giải các ý tưởng toán học của bà.
nghiệp hàn lâm của bà. Các tiết giảng của bà thường để
tên Hilbert, và Noether được coi như “người trợ giảng”
của ông.

1.2

Đại học Göttingen

Mùa xuân 1915, David Hilbert và Felix Klein mời
Noether trở lại Đại học Göingen. Tuy nhiên nỗ lực
của họ khôi phục lại vị trí của bà đã bị cản trở bởi
các nhà triết học và lịch sử ở khoa Triết học: phụ nữ,
họ quả quyết, không nên được trao vị trí privatdozent.
Một thành viên chống đối rằng: “Những người lính của
chúng ta sẽ nghĩ như thế nào khi họ trở lại trường đại
học và nhận thấy họ đang học dưới sự hướng dẫn của
một người phụ nữ?"[26][27][28][29] Hilbert đáp lại bằng sự
phẫn nộ, “Tôi không nhận thấy rằng giới tính của ứng
cử viên là một luận điểm chống lại vị trí privatdozent
của cô ấy. Sau cùng, đây là trường đại học chứ không
phải là nhà tắm.”[26][27][28][29]

Tuy nhiên, ngay sau khi đến Göingen, Noether đã thể
hiện khả năng bằng chứng minh một định lý mà ngày
nay gọi là định lý Noether, chứng tỏ rằng các định luật
bảo toàn có mối liên hệ mật thiết với tính đối xứng của
hệ vật lý khả vi.[28][29] Các nhà vật lý Hoa Kỳ Leon M.
Lederman và Christopher T. Hill viết trong cuốn sách
của họ Symmetry and the Beautiful Universe rằng định
lý Noether “rõ ràng là một trong những định lý toán
học quan trọng nhất từng được chứng minh trong định
hướng sự phát triển của vật lý hiện đại, có thể sánh
ngang hàng với định lý Pytago".[6]

Noether rời Göingen vào cuối tháng 4; hai tuần sau đó
mẹ bà đột ngột qua đời ở Erlangen. Trước đó mẹ bà đã
được chăm sóc cẩn thận, nhưng nguồn gốc căn bệnh và

nguyên nhân qua đời đã không được bác sĩ biết. Trong
thời gian này bố của Noether nghỉ hưu và người em
bà gia nhập quân đội Đức nhằm phục vụ trong chiến
tranh ế giới lần thứ nhất. Bà trở lại Erlangen trong
Khoa Toán đại học Göttingen chấp nhận luận án của Noether
vài tuần chủ yếu để chăm sóc cho bố bà.[30]
(habilitation) năm 1919, bốn năm sau khi bà bắt đầu dạy tại
Trong những năm đầu dạy tại Göingen, bà không có đây.


4

1 TIỂU SỬ

Khi chiến tranh thế giới lần thứ nhất kết thúc, Cuộc
Cách mạng Đức 1918–19 mang lại sự thay đổi lớn trong
quan điểm của xã hội, bao gồm thêm nhiều quyền cho
phụ nữ. Năm 1919 Đại học Göingen cho phép Noether
viết luận án habilitation (luận án sau tiến sĩ). Cuộc
thuyết trình của bà diễn ra vào cuối tháng 5 và bài giảng
habilitation diễn ra thành công vào tháng 6.
Ba năm sau bà nhận được lá thư từ Bộ trưởng Khoa
học, Nghệ thuật và Giáo dục công của Phổ, trong đó
ông công nhận bà là nicht beamteter ausserordentlicher
Professor (vị giáo sư không chức danh với những quyền
và chức năng quản trị nội bộ giới hạn[31] ). Đây là chức
danh giáo sư “kỳ lạ" không được trả lương, không cao
hơn chức danh giáo sư “thông thường” tức vị trí phục
vụ dân sự. Mặc dù bức thư công nhận những đóng góp
quan trọng của bà, Noether vẫn không được trả lương.

Bà không được nhận lương cho đến khi bà được bổ
nhiệm vào vị trí đặc biệt Lehrbeauragte ür Algebra
một năm sau đó.[32][33][34]

1.3

Đóng góp nền tảng cho đại số trừu
tượng

Mặc dù định lý Noether có ảnh hưởng lớn đến sự phát
triển của vật lý học, các nhà toán học còn nhớ tới bà
cho những đóng góp nền tảng của đại số trừu tượng.
Như Nathan Jacobson viết trong Lời giới thiệu trong
tập sách Các bài báo của Noether,

của E. Artin và E. Noether”.[39][40][41] Bà đôi khi cho
phép các đồng nghiệp và sinh viên tự nhận là người
đầu tiên đưa ra các ý tưởng mà bà nêu ra trước, đồng
thời giúp họ phát triển sự nghiệp bằng chính công sức
của bà.[41][42]
Lần viếng thăm của Van der Waerden nằm trong hoạt
động hội tụ các nhà toán học từ khắp nơi trên thế
giới về Göingen, mà đã trở thành một trong những
hoạt động nghiên cứu chính của toán học và vật lý.
Từ 1926 đến 1930 nhà tô pô học Pavel Alexandrov
giảng dạy tại trường, ông và Noether nhanh chóng
trở thành những người bạn tốt của nhau. Ông thường
coi bà là der Noether, sử dụng từ cho giống đực trong
tiếng Đức nhằm bày tỏ sự tôn trọng đối với bà. Bà
đã cố sắp xếp cho ông có một vị trí giáo sư thường

xuyên tại Göingen, nhưng chỉ có thể giúp ông đạt
được học bổng từ ỹ Rockefeller.[43][44] Họ thường
trao đổi về những chủ đề giao nhau giữa đại số và tô
pô. Trong lá thư hồi tưởng năm 1935, Alexandrov coi
Emmy Noether “là nhà nữ toán học lớn nhất mọi thời
đại”.[45]

1.4 Đứng giảng và các sinh viên

Ở Göingen, Noether đã hướng dẫn hơn một tá sinh
viên tiến sĩ; người đầu tiên là Grete Hermann bảo vệ
luận án vào tháng 2 năm 1925. Sau này cô đã gọi
Noether một cách tôn kính là “người mẹ của những
luận án”.[46] Noether cũng hướng dẫn Max Deuring,
người từng học trong các lớp của bà và có đóng góp
Sự phát triển của đại số trừu tượng, một
quan trọng vào lĩnh vực hình học số học; Hans Fiing,
trong những ngành sáng tạo khác biệt nhất
được biết đến với định lý Fiing và bổ đề Fiing; và
của toán học thế kỷ 20, chủ yếu là nhờ bà –
Zeng Jiongzhi (hay “Chiungtze C. Tsen”) chứng minh
trong những bài báo, bài giảng, và ảnh hưởng
định lý Tsen. Bà cùng làm việc thân cận với Wolfgang
cá nhân tới những nhà toán học đương thời.
Krull, người có nhiều thúc đẩy lớn trong đại số giao
hoán với định lý Hauptidealsatz và lý thuyết chiều Krull
Công trình đột phá của Noether trong đại số bắt đầu
[47]
vào năm 1920. Cộng tác với W. Schmeidler, bà viết một cho các vành giao hoán.
bài báo về lý thuyết các iđêan trong đó họ định nghĩa Ngoài cái nhìn xuyên suốt về toán học của bà, Noether

các iđêan trái và phải trong một vành. Năm sau đó bà còn được tôn trọng trên những lĩnh vực khác. Mặc dù
công bố bài báo nổi bật Idealtheorie in Ringbereichen, có lúc bà thể hiện sự phản biện mạnh mẽ với những
phân tích các điều kiện dây chuyền tăng tiến đối với người không đồng ý với bà, bà luôn luôn nhận được uy
đối tượng iđêan. Nhà đại số học Irving Kaplansky gọi tín vì sự giúp đỡ và hướng dẫn không ngừng đối với
công trình này là “sự cách mạng";[35] bài báo đưa ra các tân sinh viên. Lòng trung thành của bà đối với sự
khái niệm "vành Noether", và một vài đối tượng toán chính xác toán học khiến cho có một sinh viên gọi bà
học khác liên quan tới Noetherian.[35][36][37]
là “nhà phê bình khắt khe”, nhưng bà kết hợp yêu cầu
[48]
Năm 1924 nhà toán học trẻ người Hà Lan B. L. van sự chính xác này với quan điểm giáo dục của mình.
der Waerden đến Đại học Göingen. Ông tham gia Một đồng nghiệp sau này miêu tả bà: “tuyệt đối không
ngay vào nghiên cứu cùng Noether, người đã cung cấp tự cao tự đại và tránh xa danh hão, bà chưa từng nhận
cho các công trình của
những phương pháp khái niệm hóa trừu tượng vô giá. thứ gì về mình, nhưng lại cổ vũ
[49]
sinh
viên
một
cách
hết
mình.
”
Van der Waerden sau này nói rằng ý tưởng của bà
“tuyệt đối vượt xa sự so sánh”.[38] Năm 1931 ông công
bố cuốn Moderne Algebra, với đối tượng trung tâm là
trường toán học; với tập hai của tập sách đa phần mượn
từ các công trình của Noether. Mặc dù Emmy Noether
không lên tiếng công nhận về mình, ông đã viết ghi
chú trong ấn bản lần thứ bảy là “dựa trên các bài giảng

Đời sống tiết kiệm của bà thứ nhất là vì công việc không
được trả lương; tuy nhiên ngay cả khi đại học đã trả cho
bà một ít lương vào năm 1923, bà vẫn tiếp tục sống cuộc
sống đơn giản và khiêm tốn. Gần cuối đời trường đại
học trả nhiều hơn, nhưng bà đã dành một nửa lương để
cho cháu trai Gofried E. Noether.[50]


1.5

Moskva

Hầu như quan tâm tới diện mạo và kiểu cách, sự tập
trung nghiên cứu của bà làm quên đi tình yêu tuổi trẻ
và thời trang. Nhà đại số nổi tiếng Olga Taussky-Todd
miêu tả trong một buổi tiệc trưa, mà trong buổi này
Noether, người mải mê với các thảo luận về toán học,
làm các động tác “khoa tay múa chân” khi đang ăn và
“liên tục làm rơi vãi thức ăn và gạt chúng ra khỏi váy, và
hoàn toàn không làm xáo trộn cuộc nói chuyện”.[51] Vóc
dáng lúm khúm trước sinh viên khi bà tháo khăn quàng
ra khỏi áo và mái tóc lộn xộn trong suốt giờ giảng. Hai
sinh viên nữ từng muốn nhắc bà trong giờ giải lao của
lớp học 2 tiếng, nhưng họ đã không thể ngắt cuộc thảo
luận toán học sôi nổi giữa bà với các sinh viên khác.[52]

5
Noether phát triển một nhóm gần gũi các đồng nghiệp
và sinh viên những người có cùng suy nghĩ và bà có
xu hướng không tiếp nhận những ai có tư tưởng khác.

“Người ngoài” thường dự các bài giảng của Noether chỉ
ngồi được khoảng 30 phút trong phòng trước khi ra
ngoài sự nhàm chán và rối bời. Một sinh viên từng nói
về tình huống này: “Kẻ thù đã bị đánh bại; anh ta đã bị
loại ra.”[56]
Noether thể hiện sự cống hiến cho những chủ đề toán
học và cho sinh viên của mình không chỉ trong những
khóa học. Một lần, khi trường học đang trong ngày
nghỉ lễ quốc gia, bà quy tụ lớp học đi dạo bên ngoài,
dẫn họ đi trong rừng và giảng giải tại một quán cà phê
địa phương.[57] Sau này, khi Đức ốc xã trục xuất bà
ra khỏi trường, bà đã mời các sinh viên về nhà mình để
thảo luận với họ về kế hoạch tương lại và những khái
niệm toán học.[58]

eo điếu văn của Van der Waerden dành cho Emmy
Noether, bà ít khi tuân theo giáo án trong những buổi
lên lớp mà đã làm một số sinh viên thất vọng. ay vào
đó, bà dành buổi lên lớp như là cuộc thảo luận tự phát
với sinh viên, để nghĩ về và làm rõ sự quan trọng của
những vấn đề nổi cộm của toán học. Một số kết quả
quan trọng đã hình thành trong những buổi thảo luận 1.5
này, và các ghi chép bài giảng của sinh viên trở thành
cơ sở cho vài cuốn sách quan trọng, như sách của Van
der Waerden và Deuring.

Moskva

Một vài đồng nghiệp tham dự lớp giảng của bà, và bà
đã cho phép một số ý tưởng của bà, ví như tích chéo

(verschränktes Produkt trong tiếng Đức) của đại số kết
hợp, được công bố dưới tên của người khác. Noether có
ít nhất 5 học kỳ giảng dạy tại Göingen:[53]
• Mùa đông 1924/25: Gruppentheorie und
hyperkomplexe Zahlen (Lý thuyết nhóm và
Noether dạy ở Đại học Quốc gia Moskva trong mùa đông 1928–
số siêu phức)
29.
• Mùa đông 1927/28: Hyperkomplexe Grössen und
Darstellungstheorie (Các đại lượng siêu phức và lý Mùa đông 1928–29 Noether nhận lời mời của Đại học
ốc gia Moskva, nơi bà tiếp tục làm việc với P. S.
thuyết biểu diễn)
Alexandrov. Ngoài thời gian thực hiện nghiên cứu,
• Mùa hè 1928: Nichtkommutative Algebra (Đại số bà dạy ở những lớp về đại số trừu tượng và hình
học đại số. Bà cộng tác với các nhà tô pô học Lev
không giao hoán)
Pontryagin và Nikolai Chebotaryov, những người sau
• Mùa hè 1929: Nichtkommutative Arithmetik (Số này ủng hộ sự đóng góp của bà vào phát triển lý thuyết
Galois.[59][60][61]
học không giao hoán)
Mặc dù chính trị không là mục tiêu trung tâm trong
• Mùa đông 1929/30: Algebra der hyperkomplexen cuộc đời bà, Noether cũng quan tâm tới các vấn đề
Grössen (Đại số các đại lượng siêu phức).
chính trị, và theo như Alexandrov, thể hiện sự ủng hộ
tới Cách mạng Nga (1917). Bà cảm thấy vui khi Xô Viết
Những khóa giảng này thường diễn ra trước những thúc đẩy các lĩnh vực khoa học và toán học, mà bà coi
như là chỉ dấu cho những cơ hội mới có khả năng thực
công bố quan trọng trong những lĩnh vực này.
Noether nói nhanh—phản ánh tốc độ tư duy của bà, hiện bởi những người Bolshevik. ái độ này bắt nguồn
như nhiều người nói—và đòi hỏi sự tập trung lớn của từ những vấn đề của bà ở Đức, tích tụ từ những năm

các sinh viên. Những sinh viên mà không thích phong tháng ở phòng trọ, sau khi người lớp trưởng phàn nàn
cách sống của “người Do ái theo xu hướng
cách của bà thường cảm thấy lạc lõng.[54][55] Một số về phong[62]
Mác
xít”.
sinh viên cảm thấy rằng bà dựa trên quá nhiều thảo
luận tức thời. Tuy nhiên, những sinh viên ưu tú nhất,
lại say mê với cách tiếp cận toán học của bà, đặc biệt do
những bài giảng thường xây dựng từ những công trình
trước đó mà họ thực hiện cùng nhau.

Noether có kế hoạch trở lại Moskva khi bà nhận được sự
ủng hộ từ Alexandrov. Sau khi rời Đức năm 1933 ông cố
gắng giúp bà có được vị trí tại Đại học quốc gia Moskva
thông qua Bộ Giáo dục Xô Viết. Mặc dù nỗ lực này đã


6

1 TIỂU SỬ

Noether đến Zürich năm 1932 để báo cáo một phiên họp toàn
thể tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán học.

vậy bản thảo cho chứng minh này đã bị thất lạc.[66][67]
áng 11 cùng năm, Noether đọc báo cáo toàn thể
(großer Vortrag) về “Hệ thống siêu phức trong mối liên
hệ với đại số giao hoán và lý thuyết số" tại Đại hội
Các nhà toán học ốc tế ở Zürich. Đại hội có 800
người tham dự, bao gồm các đồng nghiệp của Noether

Hermann Weyl, Edmund Landau, và Wolfgang Krull.
Có 420 người đăng ký chính thức và 21 người đọc
báo cáo toàn thể. Rõ ràng, vị trí phát biểu nổi bật của
Noether thể hiện sự công nhận những đóng góp quan
Pavel Alexandrov
trọng của bà cho toán học. Hội nghị năm 1932 đôi khi
được coi là thời điểm vinh quang cao nhất trong sự
[67][69]
không thành công, họ vẫn thư từ qua lại thường xuyên nghiệp của bà.
trong thập niên 1930, và vào 1935 bà có kế hoạch trở
lại Liên Xô.[62] Trong khi ấy, em trai bà Fritz nhận một
vị trí ở Viện nghiên cứu Toán học và Cơ học ở Tomsk, 1.7 Trục xuất khỏi Göttingen
thuộc Liên bang Siberi thuộc Nga sau khi buộc phải rời
Khi Adolf Hitler trở thành Reichskanzler vào tháng 1
Đức.[63][64]
năm 1933, các hoạt động của Đảng ốc xã trong nước
gia tăng đáng kể. Ở Đại học Göingen, Hội Sinh viên
Đức dẫn đầu cuộc tấn công vào “tinh thần phi Đức”
1.6 Được công nhận
nhắm tới người Do ái và được hỗ trợ bởi giáo sư
Năm 1932 Emmy Noether và Emil Artin nhận Giải Werner Weber, học trò cũ của Emmy Noether. Chủ
tưởng niệm Ackermann–Teubner cho những đóng góp nghĩa bài Do ái tạo ra bầu không khí khiếp sợ đối
cho toán học.[65] Giải thưởng gồm một khoản tiền 500 với các giáo sư Do ái. Một thanh niên biểu tình thể
Reichsmarks và là giải thưởng duy nhất chính thức hiện đòi hởi: “Những sinh viên Aryan muốn toán học
công nhận sự nghiệp toán học của bà. Tuy thế, đồng Aryan chứ không phải toán học Aryan.”[70]
nghiệp đã thể hiện sự bất bình khi Noether không Một trong những hoạt động đầu tiên của chính quyền
được bầu vào Göingen Gesellscha der Wissenschaen Hitler là “Luật khôi phục Dịch vụ dân sự chuyên
(viện hàn lâm khoa học) và chưa bao giờ nhận chức nghiệp” cho phép đuổi việc người Do ái và những
danh Ordentlicher Professor [66][67] (giáo sư đầy đủ).[31]
nhân viên chính phủ nghi ngờ về chính trị (bao gồm

Đồng nghiệp Noether chúc mừng lần sinh nhật thứ 50
của bà năm 1932 theo phong cách của các nhà toán học.
Helmut Hasse dành một bài viết về bà trong tạp chí
Mathematische Annalen, với sự công nhận của ông về
những đóng góp của bà trong lĩnh vực đại số không
giao hoán một cách đơn giản hơn trong đại số giao
hoán, bằng cách chứng minh luật tương hỗ.[68] Điều
này khiến cộng đồng toán học công nhận bà một cách
rộng rãi. Ông cũng gửi tới bà một bài toán khó, “vấn đề
âm tiết mμν", mà ngay lập tức bà đã giải được nó; tuy

các giáo sư đại học) trừ khi “họ thể hiện lòng trung
thành với nước Đức” bằng từng tham gia Chiến tranh
thế giới lần thứ nhất. áng 4 năm 1933 Noether nhận
được thông báo từ Bộ Khoa học, Nghệ thuật và Giáo
dục công của Phổ: “Trên cơ sở điều 3 của Luật phục
dịch Dân sự ngày 7 tháng 4 năm 1933, tôi từ đây tước
quyền giảng dạy của bà ở Đại học Göingen.”[71][72]
Vài đồng nghiệp của Noether, bao gồm Max Born và
Richard Courant, cũng bị mất vị trí nghiên cứu của
họ.[71][72] Noether chấp nhận quyết định trong im lặng,


1.9

Qua đời

và nhận được sự ủng hộ từ những người khác trong
giai đoạn khó khăn này. Hermann Weyl sau này viết
rằng “Emmy Noether—lòng dũng cảm, sự không miễn

cưỡng, sự không quan tâm của bà về chính số phận
của bà, tinh thần hòa giải của bà—ở giữa bầu không
khí căm thù và phi nghĩa, nỗi tuyệt vọng và sự đau đớn
bao quanh chúng ta, một tinh thần khuây khỏa.”[70] Đặc
biệt là Noether vẫn tập trung vào toán học, gọi các sinh
viên tới căn hộ của bà để thảo luận về lý thuyết trường
cổ điển. Khi một sinh viên của bà xuất hiện dưới đồng
phục của tổ chức bán quân sự Sturmabteilung (SA), bà
không thể hiện sự lay động, và thậm chí sau đó còn
cười về điều này.[71][72]

1.8

Bryn Mawr

7
Flexner và Oswald Veblen. Bà cũng cộng tác và hướng
dẫn cùng Abraham Albert và Harry Vandiver.[78] Tuy
nhiên, bà nhớ về Đại học Princeton ở điểm bà không
được chào đón nồng nhiệt tại "đại học dành cho đàn
ông, nơi không phụ nữ nào được thừa nhận”.[79]
ời gian bà ở Hoa Kỳ là giai đoạn thanh bình, vây
xung quanh bởi các đồng nghiệp ủng hộ và tìm hiểu các
công trình nghiên cứu của bà.[80][81] Hè năm 1934 bà trở
lại Đức trong một thời gian ngắn để gặp Emil Artin và
người em Fritz trước khi ông chuyển đến Tomsk. Mặc
dù nhiều đồng nghiệp cũ của bà bị buộc thôi việc ở đại
học, bà có thể sử dụng thư viện với tư cách là một “học
giả ngoại quốc”.[82][83]

1.9 Qua đời

Bryn Mawr College chào đón Noehter trong hai năm cuối cuộc
đời bà.

Với hàng tá những giáo sư thất nghiệp mới chuẩn bị tìm
kiếm nơi mới bên ngoài Đức, các đồng nghiệp của họ ở
Hoa Kỳ cũng hỗ trợ họ trong cơ hội tìm việc làm mới.
Albert Einstein và Hermann Weyl nhận vị trí giáo sư ở
Viện Nghiên cứu cao cấp ở Princeton, trong khi một số
khác tìm sự tài trợ để có được quyền nhập cư hợp pháp.
Đại diện của hai viện giáo dục Đại học đã liên lạc với
Noether là Bryn Mawr College ở Hoa Kỳ và Somerville
College thuộc Đại học Oxford Anh ốc. Sau nhiều lần
đàm phán với ỹ Rockefeller, họ đã cấp nguồn kinh
phí cho trường Bryn Mawr để hỗ trợ Noether và bà đã
quyết định chuyển đến đây làm việc, lúc đấy vào thời
điểm cuối năm 1933.[73][74]
Ở Bryn Mawr, Noether đã gặp và trở thành bạn của
Anna Wheeler, người đã học ở Göingen ngay trước
khi Noether đến đó. Một người khác ủng hộ là chủ
tịch Bryn Mawr, Marion Edwards Park, ông đã mời
các nhà toán học trong vùng đến "để thấy tiến sĩ
Noether đứng giảng!"[75][76] Noether và một nhóm nhỏ
sinh viên nghiên cứu xoay quanh quyển sách viết năm
1930 của Van der Waerden Moderne Algebra I các phần
trong luận án của Erich Hecke eorie der algebraischen
Zahlen (Lý thuyết số đại số, 1908).[77]

Tro của Noether được rải dưới hành lang của thư viện M. Carey

Thomas.

áng 4 năm 1935 các bác sĩ phát hiện một khối u
trong xương chậu của Noether. Lo lắng về cần phải
phẫu thuật phức tạp, đầu tiên họ yêu cầu bà nghỉ ngơi
hai ngày nằm trên giường. Trong lúc phẫu thuật họ
phát hiện ra khối u nang buồng trứng “to như quả dưa
vàng".[84] Hai khối u nhỏ hơn trong tử cung dường như
đang hình thành và không được cắt bỏ để tránh thời
gian phẫu thuật không kéo dài. Trong ba ngày bà hồi
phục một cách bình thường, và bà khôi phục nhanh
chóng sau khi hệ tuần hoàn bị hư hại trong ngày thứ tư.
Ngày 14 tháng 4 bà rơi vào hôn mê, nhiệt độ cơ thể lên
cao 109 ℉ (42,8 ℃), và đã không qua khỏi. “ật khó dễ
dàng để nói rằng điều gì đã xảy ra với tiến sĩ Noether”,
một thầy thuốc viết. “Có thể đây là một trường hợp bất
thường và bị nhiễm do nguyên nhân vi rút, tấn công
vào trung tâm não nơi được cho chịu nhiệt độ cao.”[84]

Vài ngày sau khi Noether qua đời, đồng nghiệp và bạn
bè ở Bryn Mawr tổ chức một lễ tưởng niệm nhỏ ở nhà
của ông chủ tịch trường. Hermann Weyl và Richard
Brauer đến từ Princeton và nói chuyện với Wheeler
và Taussky về người đồng nghiệp đã khuất. Trong
Năm 1934, Noether bắt đầu giảng tại Viện Nghiên cứu những tháng sau đó, nhiều bài văn tưởng niệm dần
cấp cao Princeton thông qua lời mời của Abraham xuất hiện trên toàn cầu: Albert Einstein cùng với Van


8

2

ĐÓNG GÓP CHO TOÁN HỌC VÀ VẬT LÝ

der Waerden, Weyl, và Pavel Alexandrov đều tỏ lòng
thương tiếc bà. i thể bà được hỏa thiêu và tro được
rải dưới hành lang của thư viện M. Carey omas ở
Bryn Mawr.[85]

để giải quyết những loại phương trình cụ thể, ví dụ như
phương trình bậc ba, bậc bốn, và phương trình bậc năm,
cũng như bài toán liên quan đến dựng các đa giác đều
sử dụng thước kẻ và compa. Mở đầu với chứng minh
của Carl Friedrich Gauss năm 1832 rằng số nguyên tố
như 5 có thể phân tích thành các số nguyên Gauss,[89]
2 Đóng góp cho toán học và vật lý Évariste Galois đưa ra nhóm hoán vị vào năm 1832
(mặc dù, bởi vì ông qua đời sớm, các bài viết của ông
được Liouville công bố vào năm 1846), khám phá của
Điều đầu tiên và lớn nhất mà các nhà toán học nhớ
William Rowan Hamilton về quaternion năm 1843, và
về Noether đó là những công trình trong lĩnh vực đại
định nghĩa hiện đại hơn của Arthur Cayley cho nhóm
số trừu tượng và tô pô học. Các nhà vật lý biết ơn bà
vào năm 1854, nghiên cứu chuyển sang xác định các
với định lý nổi tiếng bởi những hệ quả rộng lớn của nó
tính chất của những hệ trừu tượng hơn xác định bởi
trong vật lý lý thuyết và hệ thống động lực. Bà chứng tỏ
những quy tắc phổ quát hơn. Đóng góp quan trọng nhất
một xu hướng sắc bén cho tư duy trừu tượng cho phép
của Noether cho toán học đó là phát triển một lĩnh vực

bà tiếp cận các vấn đề toán học theo những cách mới
mới, đại số trừu tượng.[90]
[86][23]
và cơ bản.
Người bạn và đồng nghiệp Hermann
Weyl miêu tả đóng góp của bà theo ba giai đoạn:
Công trình khoa học của Emmy Noether
chia thành ba kỷ nguyên rõ ràng:
(1) giai đoạn phụ thuộc tương đối, 1907–
1919;
(2) khảo sát các nhóm xung quanh lý thuyết
tổng quát về iđêan, 1920–1926;

2.1.1 Đại số trừu tượng và begriffliche Mathematik
(toán học khái niệm)
Hai đối tượng quan trọng nhất trong đại số trừu tượng
là nhóm và vành.

Một nhóm chứa tập hợp các phần tử và một phép toán
kết hợp hai phần tử của tập hợp thu được phần tử thứ
ba cũng thuộc tập đó. Phép toán này phải thỏa mãn một
số điều kiện nhất định để xác định lên một nhóm: nó
(3) nghiên cứu đại số không giao hoán,
phải thỏa mãn tính đóng (khi kết hợp hai phần tử bất
biểu diễn chúng bằng các phép biến đổi tuyến
kỳ của tập hợp thì phần tử thu được cũng phải thuộc
tính, và những ứng dụng vào nghiên cứu các
tập hợp đó), phép toán phải đảm bảo tính kết hợp, phải
trường số giao hoán và số học.
có phần tử đơn vị-hay còn gọi phần tử đồng nhất (phần

— Weyl 1935
tử mà khi kết hợp với nó sử dụng phép toán nhóm thu
được chính phần tử đầu tiên, như cộng với số 0 hoặc
Trong kỷ nguyên đầu tiên (1907–19), Noether tập trung nhân với số 1), và mỗi phần tử của nhóm đều phải có
chủ yếu vào các bất biến đại số và bất biến vi phân, phần tử nghịch đảo tương ứng.
bắt đầu từ luận án của bà dưới sự hướng dẫn của Paul Tương tự như vậy cho một vành, đó là tập hợp các phần
Gordan. Khi chân trời toán học của bà rộng mở, các tử nhưng được trang bị hai phép toán. Phép toán thứ
công trình trở lên tổng quát hơn và trừu tượng hơn, nhất khiến tập đó là một nhóm, còn phép toán thứ hai
như bà quen thuộc với các công trìn của David Hilbert, đảm bảo tính chất kết hợp và phân phối đối với phép
hay cộng tác với người kế nhiệm Gordan, giáo sư Ernst toán thứ nhất. Vành có thể là giao hoán hoặc không
Sigismund Fischer. Sau khi chuyển đến Göingen năm giao hoán; điều này có nghĩa là kết quả áp dụng phép
1915, bà đã có đóng góp nền tảng vào lĩnh vực vật lý toán đối với phần tử thứ nhất và phần tử thứ hai là
với hai định lý Noether.
giống với kết quả khi áp dụng phép toán đối với phần
Kỷ nguyên thứ hai (1920–26), Noether dành thời gian tử thứ hai và phần tử thứ nhất—thứ tự của các phần tử
không quan trọng. Nếu mỗi phần tử khác 0 có một phần
phát triển lý thuyết vành.[87]
tử nghịch đảo đối với phép nhân (phần tử x thỏa mãn
Trong kỷ nguyên thứ ba (1927–35), Noether tập trung ax = xa = 1), thì vành được gọi là vành chia (division
cho đại số không giao hoán, các phép biến đổi tuyến ring). Một trường được định nghĩa là vành chia giao
tính và trường số giao hoán.[88]
hoán.

2.1

Bối cảnh lịch sử

Trong giai đoạn từ 1832 cho đến khi Noether qua đời
năm 1935, lĩnh vực toán hoc—đặc biệt là đại số—trải qua
một cuộc cách mạng sâu sắc, mà sự vang dội của nó vẫn

còn truyền tới ngày nay. Những nhà toán học ở thế kỷ
trước nghiên cứu dựa trên các phương pháp thực hành

Nhóm thường được nghiên cứu thông qua lý thuyết
biểu diễn nhóm. Trong dạng tổng quát nhất, lý thuyết
chứa một nhóm được chọn, một tập hợp, và một tác
dụng của nhóm lên tập hợp, tức là một phép toán kết
hợp một phần tử của nhóm với một phần tử của tập hợp
và kết quả thu được một phần tử của tập hợp. Trong
nhiều trường hợp, tập hợp này là không gian vectơ, và
nhóm biểu diễn cho các đối xứng của không gian vectơ.


2.2

Kỷ nguyên đầu tiên (1908–19)

9

Ví dụ nhóm biểu diễn phép quay trong không gian. Đây
khai thác đầy đủ chỉ sau khi chúng đã bị cô
là một loại đối xứng của không gian bởi vì không gian
lập khỏi những vật thể đặc biệt và được thiết
tự nó không thay đổi khi thực hiện phép quay mặc dù
lập như là một khái niệm đúng đắn phổ quát.
vị trí của các vật thể trong nó thay đổi. Noether sử dụng
những khái niệm này nhằm nghiên cứu đối xứng trong Đây chính là begriffliche Mathematik (toán học khái
công trình của bà về những bất biến trong vật lý học. niệm thuần túy) mà thường thấy ở Noether. Kiểu phong
Một công cụ mạnh để nghiên cứu vành là thông qua cách này sau đó được những nhà toán học khác tiếp
các môđun. Môđun chứa một vành được lựa chọn, một nhận, đặc biệt là trong lĩnh vực mới nổi là đại số trừu

tập hợp khác-thường là khác với tập chứa vành và gọi tượng.
là tập chứa môđun, một phép toán trên cặp các phần
tử của tập chứa môđun, và một phép toán tác dụng lên
một phần tử thuộc vành và một phần tử thuộc môđun Số nguyên như một ví dụ của vành Các số nguyên
và trả lại một phần tử thuộc môđun. Tập chứa mô đun tạo thành một vành giao hoán mà các phần tử là các số
và phép toán đối với nó phải tạo thành một nhóm. Một nguyên, và các phép toán là phép cộng và phép nhân.
mô đun là phiên bản vành lý thuyết của phép biểu diễn Bất kỳ cặp số nguyên nào có thể cộng hoặc nhân với
nhóm: khi bỏ phép toán thứ hai của vành và phép toán nhau với kết quả luôn luôn là một số nguyên khác, và
trên cặp phần tử của mô đun xác định lên phép biểu phép toán thứ nhất, phép cộng, có tính chất giao hoán
diễn nhóm. Tiện ích thực của mô đun là loại các mô tức là, đối với bất kỳ phần tử a và b thuộc vành, a +
đun tồn tại và tương tác của chúng cho thấy cấu trúc b = b + a. Phép toán thứ hai, phép nhân, cũng có tính
của vành theo cách mà không thể thấy rõ ràng khi chỉ chất giao hoán, nhưng điều này không cần phải thỏa
nhận xét từ chính vành. Một trường hợp quan trọng mãn đối với các vành khác, có nghĩa là a kết hợp với
đặc biệt là đại số trên một trường. (từ đại số có nghĩa b có thể khác khi b kết hợp với a. Ví dụ về các vành
cho cả vật thể trong toán học cũng như vật thể nghiên không giao hoán bao gồm ma trận và quaternion. Các
cứu trong chủ đề của đại số.) Một đại số chứa hai vành số nguyên không tạo thành một vành chia, bởi vì phép
được lựa chọn và một phép toán tác động lên mỗi phần toán thứ hai không luôn luôn khả nghịch; ví dụ không
tử thuộc từng vành và thu được phần tử thuộc vành thứ tồn tại số nguyên a sao cho 3 × a = 1.
hai. Phép toán này khiến cho vành thứ hai trở thành Các số nguyên có thêm những tính chất khác mà có thể
mô đun đối với vành thứ nhất. ông thường vành thứ không thể tổng quát hóa cho mọi vành được. Một ví dụ
nhất là một trường.
quan trọng là định lý cơ bản của số học, nói rằng mỗi
Các từ như “phần tử" và “phép toán kết hợp” là rất tổng số nguyên dương có thể phân tích duy nhất thành tích
quát, và có thể áp dụng cho nhiều tình huống trong thế các số nguyên tố. Sự phân tích duy nhất thành các nhân
giới thực và trừu tượng. Bất kỳ tập hợp nào mà tuân tử không phải lúc nào cũng đúng cho các vành khác,
theo các quy tắc cho một (hoặc hai) phép toán sẽ là, nhưng Noether tìm ra một định lý phân tích duy nhất,
bằng định nghĩa, một nhóm (hoặc vành), và tuân theo mà bây giờ gọi là định lý Lasker–Noether, đối với các
mọi định lý về nhóm (hoặc vành). Các số nguyên với iđêan của nhiều vành. Nhiều công trình của Noether
phép toán cộng và nhân là những ví dụ như thế. Ví đặt ra cách xác định tính chất nào thỏa mãn đối với
dụ, các phần tử có thể là các chữ cái trong dữ liệu máy mọi vành, theo cách tương tự đối với định lý cho các

tính, nơi phép toán kết hợp thứ nhất là phép loại trừ số nguyên, và xác định lên tập tối thiểu các giả sử cần
(phép tuyển) và phép toán thứ hai là phép hội lôgic. thiết để thu được những tính chất nhất định của vành.
Các định lý của đại số trừu tượng là rất mạnh và có tính
tổng quát. Tưởng tượng ra rằng chỉ có thể rút ra kết
luận về vật thể định nghĩa chỉ với vài tính chất, nhưng 2.2 Kỷ nguyên đầu tiên (1908–19)
chính xác như but precisely therein lay Noether’s gi:
để khám phá ra nhiều nhất mà có thể rút ra từ một tập 2.2.1 Lý thuyết bất biến đại số
hợp các tính chất cho trước, hoặc ngược lại, để định ra
tập hợp nhỏ nhất, những tính chất cơ bản đáp ứng cho Nhiều công trình của Noether trong kỷ nguyên thứ
một quan sát đặc biệt. Không như hầu hết các nhà toán nhất của sự nghiệp gắn liền với lý thuyết bất biến, đặc
học, bà không thực hiện sự trừu tượng bằng cách tổng biệt là lý thuyết bất biến đại số. Lý thuyết bất biến xem
quát hóa từ những ví dụ cụ thể; hơn hết bà làm việc xét đến các biểu thức mà không thay đổi (bất biến) dưới
trực tiếp với những khái niệm trừu tượng. Như van der một nhóm các phép biến đổi. Như ví dụ thường gặp,
nếu một thước đặc bị quay đi, các tọa độ (x, y, z) của
Waerden nhớ lại trong điếu văn của bà,[91]
hai điểm đầu và cuối nó thay đổi, nhưng độ dài L của
thước cho bởi công thức L2 = Δx 2 + Δy 2 + Δz 2 vẫn là
Điều lớn nhất mà Emmy Noether đi theo
như nhau. Lý thuyết bất biến là một lĩnh vực nghiên
trong toàn sự nghiệp của bà có thể miêu tả
cứu sôi động vào cuối thế kỷ 19, một phần nhờ chương
trình Erlangen do Felix Klein đề xuất, theo đó các loại
như sau: “Bất kỳ mối quan hệ giữa những số,
hình học khác nhau có thể được đặc trưng bởi những
hàm, và các phép toán trở lên mạch lạc, áp
bất biến của chúng dưới các phép biến đổi, ví như tỷ
dụng được cho trường hợp tổng quát, và sự


10

Bảng 2 từ luận án của Noether [92] về lý thuyết bất biến. Bảng
này liệt kê 202 trong số 331 bất biến của dạng trùng phương bậc
ba. Những dạng này được phân loại dựa theo hai biến x và u.
Hướng theo phương ngang của bảng liệt kê các bất biến theo
chiều tăng của x, trong khi hướng theo phương dọc liệt kê chúng
theo chiều tăng của u.

lệ chéo trong hình học xạ ảnh. Ví dụ điển hình cho bất
biến đó là biệt thức B2 − 4AC của phương trình bậc hai
Ax 2 + Bxy + Cy 2 . Nó được gọi là bất biến bởi vì nó
không thay đổi sau khi áp dụng phép thay thế x→ax
+ by, y→cx + dy với định thức ad − bc = 1. Những
thay thế này tạo thành nhóm tuyến tính đặc biệt SL2 .
(Không có bất biến đối với nhóm tuyến tính tổng quát
của mọi phép biến đổi khả nghịch bởi vì các phép biến
đổi này có thể trở thành phép nhân bởi một hệ số tỷ lệ.
Để khắc phục điểm này, lý thuyết bất biến cổ điển cũng
xét đến bất biến tương đối, mà tạo thành dạng bất biến
cho cả hệ số tỷ lệ.) Các nhà toán học có thể yêu cầu đối
với mọi đa thức mà A, B, and C không thay đổi bởi tác
dụng của SL2 ; đây được gọi là bất biến của dạng trùng
phương bậc hai, tương ứng với biệt thức của đa thức.
Một cách tổng quát hơn, có thể tổng quát đối với dạng
bất biến của phương trình đa thức thuần nhất A0 xr y 0
+… + Ax0 y r có bậc cao hơn, mà sẽ là đa thức với các
hệ số A0 ,…, A, và thậm chí tổng quát hơn, ta có thể đặt
câu hỏi tương tự đối với đa thức thuần nhất có nhiều
hơn hai biến.
Một trong những mục đích chính của lý thuyết bất biến

là giải quyết “vấn đề cơ sở hữu hạn”. Tổng hay tích của
hai bất biến bất kỳ là không đổi, và vấn đề cơ sở hữu
hạn đòi hỏi liệu có thể thu được mọi bất biến chỉ từ
một số hữu hạn các bất biến, gọi là các phần tử sinh, và
sau đó thực hiện cộng hoặc nhân các phần tử sinh với
nhau. Ví dụ, biệt thức cho một cơ sở hữu hạn (với một
phần tử) cho các bất biến của dạng trùng phương bậc
hai. ầy hướng dẫn của Noether, Paul Gordan, được
coi là "ông hoàng của lý thuyết bất biến”, và đóng góp
chính của ông đối với toán học là lời giải đưa ra vào
năm 1870 về vấn đề cơ sở hữu hạn cho các bất biến của
những đa thức thuần nhất hai biến.[93][94] Ông chứng
minh vấn đề này bằng phương pháp xây dựng để tìm
mọi bất biến và các phần tử sinh của chúng, nhưng đã

2

ĐÓNG GÓP CHO TOÁN HỌC VÀ VẬT LÝ

không thể áp dụng phương pháp này cho các bất biến
của đa thức với ba hay nhiều biến hơn. Năm 1890, David
Hilbert chứng minh mệnh đề tương tự cho bất biến của
đa thức thuần nhất có số biến bất kỳ.[95][96] Hơn thế
nữa, phương pháp của ông áp dụng không những cho
nhóm tuyến tính đặc biệt, mà còn đối với các nhóm con
của nó như nhóm trực giao đặc biệt.[97] Trong chứng
minh đầu tiên của ông gây ra một số tranh cãi bởi vì
nó không đưa ra phương pháp xây dựng cho các phần
tử sinh, tuy vậy điều này đã được ông nêu ra sau đó.
Đối với luận án của bà, Noether mở rộng phép chứng

minh tính toán của Gordan đối với các đa thức thuần
nhất có ba biến. Cách xây dựng của Noether đưa ra khả
năng nghiên cứu mối liên hệ giữa các bất biến. Sau này,
sau khi bà chuyển sang các phương pháp trừu tượng,
Noether nhớ lại luận án của mình như là Mist (mớ hỗn
độn) và Formelngestrüpp (một rừng các phương trình).
2.2.2 Lý thuyết Galois
Lý thuyết Galois đề cập tới các phép biến đổi của trường
số làm hoán vị nghiệm của phương trình. Xét phương
trình đa thức một biến x có bậc n, mà các hệ số của nó
thuộc về tập hợp các trường nền, mà có thể là, ví dụ,
trường các số thực, số hữu tỉ, hoặc số nguyên đồng dư
7. Có thể tồn tại hoặc không tồn tại x làm cho đa thức
có giá trị bằng 0. Những lựa chọn này nếu tồn tại, được
gọi là nghiệm của đa thức. Nếu đa thức là x 2 + 1 và
trường nền là số thực, thì đa thức vô nghiệm, bởi vì với
bất kỳ x nào thì giá trị của đa thức luôn lớn hơn hoặc
bằng 1. Nếu trường nền là mở rộng, thì đa thức có thể
có nghiệm, và nếu sự mở rộng này là đủ, thì số nghiệm
của đa thức luôn luôn bằng số bậc của nó. Tiếp tục ví dụ
ở trước, nếu trường được mở rộng tới trường số phức,
thì đa thức có hai nghiệm i và −i, với i là đơn vị ảo, tức
là i 2 = −1. Tổng quát hơn, trường mở rộng cho phép đa
thức có thể phân tích thành các nghiệm của nó gọi là
trường tách của đa thức.
Nhóm Galois của đa thức là tập hợp mọi cách biến
đổi trường tách, trong khi vẫn bảo tồn trường nền và
nghiệm của đa thức. (Trong ngôn ngữ toán học, những
phép biến đổi này được gọi là phép tự đẳng cấu.) Nhóm
Galois của x 2 + 1 chứa hai phần tử: Phép biến đổi

đồng nhất, mà biến mỗi số phức thành chính nó, và
liên hợp phức, biến i thành −i. Do nhóm Galois không
làm thay đổi trường nền, nó cũng không làm thay đổi
các hệ số của đa thức, do vậy mọi nghiệm của đa thức
cũng không bị thay đổi. Mỗi nghiệm có thể chuyển tới
nghiệm kia, do vậy phép biến đổi chỉ làm hoán vị n
nghiệm giữa chúng. Sự quan trọng của nhóm Galois rút
ra từ định lý cơ bản của lý thuyết Galois, với kết quả
là các trường nằm giữa trường nền và trường tách là
tương ứng một một với các nhóm con của nhóm Galois.
Năm 1918, Noether công bố bài báo cột mốc về bài toán
Galois nghịch đảo.[98] ay vì xác định nhóm Galois
của các phép biến đổi đối với một trường và mở rộng
của nó, Noether đặt ra câu hỏi liệu khi cho một trường


2.3

Kỷ nguyên thứ hai (1920–26)

và một nhóm, có thể luôn luôn tìm được một mở rộng
trường mà sinh ra nhóm như nhóm Galois của nó. Bà
thu hẹp vấn đề này thành "bài toán Noether", với câu
hỏi liệu trường cố định của một nhóm con G của nhóm
hoán vị S tác dụng lên trường k(x 1 ,…, x) luôn luôn là
mở rộng siêu việt thuần túy của trường k. (Lần đầu tiên
bà đề cập đến vấn đề này trong bài báo năm 1913,[99]
trong đó bà quy vấn đề cho đồng nghiệp Fischer.) Bà
chứng tỏ bài toán này đúng với n = 2, 3, hay 4. Năm
1969, R. G. Swan tìm thấy một phản ví dụ đối với bài

toán Noether, với n = 47 và G là nhóm xiclic có bậc
47[100] (mặc dù nhóm này có thể coi như nhóm Galois
của số hữu tỉ theo cách đánh giá khác). Bài toán Galois
nghịch đảo vẫn chưa được giải quyết triệt để cho tới
nay.[101]
2.2.3

Vật lý học

Noether chuyển đến Göingen vào năm 1915 theo lời
mời của David Hilbert và Felix Klein, khi họ muốn năng
lực liên quan đến lý thuyết bất biến của bà giúp họ hiểu
được thuyết tương đối tổng quát, lý thuyết hình học
về lực hấp dẫn phát triển chủ yếu bởi Albert Einstein.
Hilbert nhận thấy định luật bảo toàn năng lượng dường
như bị vi phạm trong thuyết tương đối rộng, do thực tế
là năng lượng hấp dẫn tự nó cũng đóng góp vào nguồn
của trường hấp dẫn. Noether đã đưa ra biện pháp giải
quyết cho nghịch lý này, và nó trở thành một công
cụ cơ bản cho vật lý lý thuyết hiện đại, với định lý
Noether thứ nhất, mà bà chứng minh vào năm 1915
nhưng không công bố cho tới tận năm 1918.[102] Bà
không những giải quyết vấn đề này trong thuyết tương
đối tổng quát, mà còn xác định ra những đại lượng bảo
toàn cho mọi hệ tuân theo các định luật vật lý mà tương
ứng với các đối xứng liên tục.
Khi tiếp nhận công trình của bà, Einstein viết cho
Hilbert: “Hôm qua tôi nhận được từ cô Noether một bài
báo rất tuyệt về bất biến. Tôi bị ấn tượng rằng những
thứ này có thể được hiểu theo cách tổng quát như thế.

Người bảo vệ già ở Göingen nên được học một số bài
học từ cô Noether! Cô dường như biết được bí quyết
của mình.”[103]
Để minh họa, nếu một hệ vật lý hành xử giống nhau bất
kể nó hướng như thế nào trong không gian, thì định
luật vật lý mà chi phối nó là dạng đối xứng quay; từ
đối xứng này, định lý chỉ ra rằng mô men động lượng
của hệ phải được bảo toàn.[104] Hệ vật lý tự nó không
cần thiết phải có dạng đối xứng; ví như một tiểu hành
tinh hình dạng bất thường trôi nổi trong vũ trụ vẫn
tuân theo định luật bảo toàn mô men động lượng mặc
dù hình dáng không đối xứng của nó. Hơn thế, sự đối
xứng của các định luật vật lý chi phối hệ là lý do chịu
trách nhiệm cho các định luật bảo toàn. Một ví dụ khác,
nếu một thí nghiệm vật lý có cùng kết quả ở bất kỳ
vị trí nào trong không gian và thời gian, thì định luật

11
chi phối thí nghiệm là đối xứng với các phép tịnh tiến
liên tục trong không gian và thời gian; và theo định lý
Noether, những đối xứng này lần lượt tương ứng với
các định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn năng
lượng cho thí nghiệm.
Định lý Noether đã trở thành một công cụ cơ bản của
vật lý lý thuyết hiện đại, bởi nó không những liên hệ các
đối xứng liên tục với các định luật bảo toàn mà còn trở
thành một công cụ tính toán trong thực hành.[4] Định
lý của bà cho phép các nhà nghiên cứu xác định các đại
lượng bảo toàn từ những đối xứng quan sát thấy của
hệ vật lý. Ngược lại, nó cho phép miêu tả một hệ vật lý

dựa trên hiểu biết về những định luật bảo toàn. Ví dụ,
giả sử một hiện tượng vật lý mới được khám phá. Lúc
này định lý Noether cung cấp phép thử cho mô hình
lý thuyết nhằm giải thích cho hiện tượng này: nếu lý
thuyết có một đối xứng liên tục thì định lý Noether
đảm bảo rằng trong lý thuyết phải có một đại lượng
bảo toàn, và nếu lý thuyết là đúng thì sự bảo toàn nà
phải quan sát thấy được trong thí nghiệm hoặc trong
hiện tượng đó.

2.3 Kỷ nguyên thứ hai (1920–26)
Mặc dù các kết quả trong kỷ nguyên thứ nhất của
Noether là ấn tượng và có ích, sự nổi tiếng của bà với vai
trò là nhà toán học nằm chủ yếu ở những công trình đột
phá trong kỷ nguyên thứ hai và thứ ba, như Hermann
Weyl và B. L. van der Waerden nêu trong điếu văn của
họ về bà.
Trong hai kỷ nguyên này, bà không chỉ áp dụng các
ý tưởng và phương pháp của những nhà toán học tiền
bối; hơn thế bà đã tạo ra những hệ thống mới các định
nghĩa toán học mà các nhà toán học tương lai sẽ sử
dụng. Đặc biệt, bà phát triển một lý thuyết hoàn toàn
mới về các i đê an trong lý thuyết vành mà tổng quát
hóa công trình trước đó của Richard Dedekind. Bà cũng
nổi tiếng với việc phát triển điều kiện dây chuyền tăng
(ascending chain conditions), một điều kiện đơn giản
không hữu hạn mà thu được những kết quả mạnh trong
công trình của bà. Những điều kiện này và lý thuyết i
đê an cho phép Noether có thể tổng quát hóa nhiều kết
quả cũ trước đây và giải quyết các bài toán còn tồn tại

theo một khuôn khổ mới, chẳng hạn như các vấn đề
của lý thuyết loại trừ (elimination theory) và các đa tạp
đại số (algebraic variety) mà cha bà đã nghiên cứu trước
đó.

2.3.1 Điều kiện dây chuyền tăng và giảm
Trong kỷ nguyên này, Noether trở lên nổi tiếng với
điều kiện dây chuyền tăng (Teilerkeensatz) hoặc giảm
(Vielfachenkeensatz). Một dãy các tập hợp con không
rỗng A1 , A2 , A3 , v.v. của một tập hợp S được nói là tăng
dần, nếu mỗi tập là tập con của tập hợp tiếp theo


12

A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · .
Ngược lại, một dãy các tập hợp con của S được gọi là
giảm dần nếu mỗi tập con chứa tập hợp tiếp theo:

A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · · .
Một dây chuyềntrở thành không đổi sau một số hữu hạn
các bước nếu tồn tại n sao cho An = Am đối với mọi
m ≥ n. Tập hợp chứa các tập con của một tập hợp cho
trước thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng nếu bất kỳ
dãy tăng nào trở thành không đổi (hằng số) sau một số
hữu hạn các bước. Nó thỏa mãn điều kiện dây chuyền
giảm nếu bất kỳ dãy giảm nào trở thành không đổi sau
một số hữu hạn các bước.
Các điều kiện dây chuyền tăng và giảm là rất tổng quát,
chúng có thể áp dụng nhiều kiểu đối tượng toán học—

và nhìn bề ngoài chúng có vẻ như không phải là công
cụ mạnh cho lắm. Noether chỉ ra bằng cách nào có thể
sử dụng những điều kiện này để tận dụng tối đa ưu
điểm của chúng: ví dụ, làm cách nào để sử dụng chúng
để chứng minh rằng mỗi tập hợp của những đối tượng
con có một phần tử cực đại/cực tiểu hoặc một đối tượng
phức có thể sinh ra từ một số các phần tử nhỏ hơn.
Những kết luận này thường là bước quan trọng trong
phép chứng minh.

2

ĐÓNG GÓP CHO TOÁN HỌC VÀ VẬT LÝ

Ứng dụng khác của các điều kiện dây chuyền là trong
phép quy nạp Noetherian, một sự tổng quát hóa của
phép quy nạp toán học. Các nhà đại số thường sử dụng
nó để giản lược những phát biểu tổng quát về tập hợp
các đối tượng thành phát biểu cho những đối tượng cụ
thể trong tập hợp đó. Giả sử rằng S là tập sắp thứ tự bộ
phận (partially ordered set). Một cách để chứng minh
phát biểu về các đối tượng trong S là giả sử sự tồn tại
của một phản ví dụ và suy luận ra sự mâu thuẫn, do vậy
chứng minh được phát biểu ban đầu. Giả thuyết cơ bản
của phép đệ quy Noetherian là mỗi tập con không rỗng
của S chứa một phần tử cực tiểu. Đặc biệt, tập hợp mọi
phản ví dụ chứa một phần tử cực tiểu, phần tử phản ví
dụ cực tiểu. Để có thể chứng minh phát biểu ban đầu,
do đó, chỉ cần chứng minh vừa đủ một số thứ mà dường
như yếu hơn: Đối với bất kỳ phản ví dụ nào, tồn tại một

phản ví dụ nhỏ hơn.
2.3.2 Vành giao hoán, iđêan, và mô đun
Bài báo của Noether, Idealtheorie in Ringbereichen (Lý
thuyết i đê an trong miền vành, 1921),[105] là cơ sở cho
lý thuyết vành giao hoán tổng quát, và là một trong
những định nghĩa tổng quát đầu tiên của vành giao
hoán.[106] Trước bài báo này, đa số kết quả trong đại
số giao hoán bị giới hạn trong những ví dụ đặc biệt của
vành giao hoán, như vành đa thức trên trường hoặc
vành của số nguyên đại số. Noether chứng tỏ rằng
trong một vành mà thỏa mãn điều kiện dây chuyền
tăng trên các i đê an, mỗi i đê an được sản sinh một
cách hữu hạn. Năm 1943, nhà toán học Pháp Claude
Chevalley đưa ra thuật ngữ, vành Noether để miêu tả
tính chất này.[106] Một kết quả lớn trong bài báo năm
1921 của Noether là định lý Lasker–Noether, nó mở
rộng định lý Lasker về phân hoạch cơ bản của i đê
an của vành đa thức cho mọi vành Noether. Định lý
Lasker–Noether có thể coi như là sự tổng quát hóa
của định lý cơ bản của số học mà nói rằng bất kỳ số
nguyên dương nào có thể biểu diễn thành tích của các
số nguyên tố, và sự phân tích này là duy nhất.

Nhiều đối tượng trong đại số trừu tượng thỏa mãn hai
điều kiện dây chuyền, và nếu chúng thỏa mãn điều kiện
dây chuyền tăng, chúng được gọi là Noetherian để vinh
danh bà. Bằng định nghĩa, vành Noetherian thỏa mãn
điều kiện dây chuyền tăng trên các i đê an trái và phải
của nó, trong khi nhóm Noetherian được định nghĩa
là một nhóm mà mọi điều kiện tăng giới hạn của các

nhóm con là hữu hạn. Mô đun Noetherian là mô đun
trong đó mọi điều kiện tăng giới hạn của các mô đun
con kết thúc sau một số hữu hạn bước. Không gian
Noetherian là không gian tô pô trong đó mọi điều kiện
tăng giới hạn của các không gian con mở kết thúc sau
một số hữu hạn các số hạng, định nghĩa này được sử Công trình của Noether Abstrakter Aufbau
dụng để cho phổ của một vành Noetherian là không der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und
Funktionenkörpern (Cấu trúc trừu tượng của lý
gian tô pô Noetherian.
thuyết i đê an trong lĩnh vực số đại số và trường hàm,
Điều kiện dây chuyền thường được thừa hưởng bởi
1927)[107] đặc trưng hóa vành mà trong nó các i đê an
các đối tượng con. Ví dụ, mọi không gian con của một
có thể phân tích duy nhất thành các i đê an nguyên tố
không gian Noetherian tự chúng là các Noetherian; mọi
như miền Dedekind: miền tích phân là Noetherian, 0
nhóm con và nhóm thương của một nhóm Noetherian
hoặc 1-chiều, và tích phân đóng trong trường thương
là Noetherian; và, mutatis mutandis, điều tương tự
của chúng. Bài báo này cũng chứa cái mà bây giờ gọi
co các mô đun con và mô đun thương của một
là định lý đẳng cấu, miêu tả một số đẳng cấu tự nhiên
mô đun Noetherian. Mọi vành thương của một vành
cơ bản, và một số kết quả cơ bản khác trên mô đun
Noetherian là Noetherian, nhưng điều đó không nhất
Noetherian và mô đun Artinian.
thiết phải thỏa mãn đối với các vành con của nó. Điều
kiện dây chuyền cũng có thể được thừa hưởng từ những
tổ hợp hoặc mở rộng của một đối tượng Noetherian. Ví 2.3.3 Lý thuyết loại trừ
dụ, tổng trực tiếp hữu hạn của các vành Noetherian là

Noetherian, như vành của các chuỗi lũy thừa trên một Năm 1923–24, Noether áp dụng lý thyết vành của bà
vành Noetherian.
cho lý thuyết loại trừ—trong khi bà hướng dẫn cho sinh


2.3

Kỷ nguyên thứ hai (1920–26)

13

viên Kurt Hentzelt—chứng tỏ rằng các định lý cơ bản
về nhân tử hóa đa thức có thể thực hiện một cách trực
tiếp.[108][109][110] ông thường, lý thuyết loại trừ được
xem xét với sự loại trừ một hoặc nhiều biến từ một hệ
phương trình đa thức, thường theo phương pháp của
kết thức. Để minh họa, hệ phương trình thường có thể
viết thành dạng của ma trận M (thiếu biến x) nhân với
vectơ v (chỉ có lũy thừa khác của x) bằng vectơ không,
M•v = 0. Từ đây, định thức của ma trận M phải bằng 0,
chứng tỏ một phương trình mới trong đó biến x đã bị
loại trừ.

2.3.4

Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn

Các kỹ thuật như trong bài báo gốc của Hilbert về lời
giải không chứa cách xây dựng cho bài toán cơ sở hữu
hạn không thể sử dụng để nhận được thông tin định

lượng về các bất biến của một tác dụng nhóm, và hơn
nữa, chúng không áp dụng được cho mọi phép tác dụng
nhóm. Trong bài báo năm 1915,[111] Noether tìm ra một
lời giải cho bài toán cơ sở hữu hạn cho một phép biến
đổi nhóm hữu hạn G tác dụng lên một không gian vec
tơ hữu hạn chiều trên một trường có đặc trưng 0. Giải
pháp của bà cho thấy vành các bất biến được sinh ra
từ các bất biến thuần nhất mà bậc của chúng nhỏ hơn
hoặc bằng bậc của nhóm hữu hạn; hay gọi là giá trị
biên Noether. Bài báo của bà đưa ra hai cách chứng
minh cho giá trị biên Noether, cả hai đều có hiệu lực
khi đặc trưng của trường là nguyên tố cùng nhau với
|G|!, giai thừa của bậc |G| của nhóm G. Số lượng các
phần tử sinh không nhất thiết phải thỏa mãn giá trị
biên Noether khi đặc trưng của trường chia cho |G|,[112]
nhưng Noether đã không thể xác định liệ giá trị biên có
đúng khi đặc trưng của trường chia cho |G|! chứ không
phải |G|. Trong nhiều năm, việc xác định sự đúng đắn
hay bác bỏ giá trị biên trong trường hợp này là một
vấn đề mở mà các nhà toán học gọi là “khoảng trống
Noether”. Cuối cùng vấn đề này đã được giải quyết một
cách độc lập bởi Fleischmann vào năm 2000 và Fogarty
vào năm 2001, khi cả hai chứng tỏ rằng giá trị biên vẫn
còn đúng.[113][114]
Trong bài báo năm 1926,[115] Noether mở rộng định lý
Hilbert cho biểu diễn một nhóm hữu hạn trên trường
bất kỳ; một trường hợp mới mà không tuân theo công
trình của Hilbert khi đặc trưng của trường chia cho bậc
của nhóm. Kết quả của Noether sau này được William
Haboush mở rộng cho mọi nhóm giản lược trong chứng

minh phỏng đoán Mumford của ông.[116] Trong bài báo
này Noether cũng giới thiệu ra bổ đề chuẩn hóa Noether,
mà chứng minh rằng miền tích phân sinh hữu hạn A
trên trường k có một tập hợp chứa x 1 ,…, x cacs phần
tử độc lập đại số sao cho A lấy tích phân trên k[x 1 ,…,
x].

Phép biến dạng hình liên tục (đồng luân) biến cốc cà phê thành
hình xuyến và ngược trở lại.

2.3.5 Đóng góp cho tô pô học
Như nêu bởi Pavel Alexandrov và Hermann Weyl trong
bài viết tưởng niệm của họ, đóng góp của Noether đối
với ngành tô pô học thể hiện những ý tưởng phong phú
và bằng cách nào mà tầm nhìn của bà đã làm biến đổi
toàn bộ một lĩnh vực toán học. Trong tô pô, các nhà
toán học nghiên cứu các tính chất của đối tượng mà
vẫn bất biến ngay cả khi nó bị biến dạng, những tính
chất như là tính không liên thông. Một câu nói đùa hay
gặp khi nói về các nhà tô pô học là họ không thể phân
biệt được một hình xuyến và một tách cà phê, do chúng
có thể bị biến dạng liên tục để trở thành vật thể kia.
Tên tuổi của Noether gắn liền với những ý tưởng cơ
bản dẫn tới sự phát triển của tô pô đại số từ lĩnh vực
xuất hiện trước đó là tô pô tổ hợp, đặc biệt là ý tưởng
về nhóm đồng điều.[117] eo bài viết của Alexandrov,
Noether đã tham dự buổi giảng của Heinz Hopf và ông
trong mùa hè năm 1926 và 1927, nơi “bà tiếp tục có
những phát hiện về các vấn đề rất sâu sắc và tinh tế
"[118] và ông viết tiếp rằng,

Khi… bà đầu tiên trở lên quen với cách
xây dựng có hệ thống của tô pô tổ hợp, bà
ngay lập tức quan sát thấy sẽ rất có ích khi
nghiên cứu trực tiếp nhóm các phức đại số và
chu trình của một đa diện cho trước và Nhóm
con của chu trình nhóm chứa chu trình thuần
nhất tới 0; thay vì định nghĩa trước đó bằng
Số Bei, bà ngay lập tức đề xuất định nghĩa
nhóm Bei như là nhóm (thương) bổ trợ của
nhóm của mọi chu trình bằng nhóm con của
chu trình thuần nhất tới 0. Sự quan sát này
hiện nay dường như là đúng. Nhưng trong
các năm (1925–28) điều này hoàn toàn là một
quan niệm mới mẻ.[119]


14

3

Đề xuất của Noether rằng có thể nghiên cứu tô pô
theo phương pháp của đại số đã ngay lập tức được
Hopf, Alexandrov, và những người ủng hộ,[120] và nó
trở thành chủ đề thảo luận thường xuyên giữa các nhà
toán học ở Đại học Göingen.[121] Noether nhận thấy ý
tưởng của bà về nhóm Bei làm cho công thức Euler–
Poincaré có thể hiểu một cách dễ hơn, và chính công
trình của Hopf về chủ đề này [122] “mang những dấu
ấn nổi bật của Emmy Noether”.[123] Noether chỉ đề cập
những ý tưởng về tô pô xuất phát từ chính bà trong

một chuyện bên lề của một bài báo năm 1926,[124] khi
bà trích dẫn tới nó như là một ứng dụng của lý thuyết
nhóm.[125]

ĐÁNH GIÁ, CÔNG NHẬN VÀ TƯỞNG NHỚ

ra lý thuyết biểu diễn tổng quát đầu tiên cho nhóm và
các đại số.[127] Trong thời gian ngắn, Noether tổng kết
cấu trúc lý thuyết đại số kết hợp và lý thuyết biểu diễn
nhóm thành lý thuyết số học duy nhất về các mô đun và
i đê an trong vành thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng.
Công trình này của Noether có ý nghĩa quan trọng cơ
bản cho sự phát triển của đại số hiện đại.[128]
2.4.2 Đại số không giao hoán

Noether cũng có đóng góp vào một số sự phát triển
khác của lĩnh vực đại số. Cùng với Emil Artin, Richard
Brauer, và Helmut Hasse, bà lập lên cơ sở của lý thuyết
Cách tiếp cận đại số để nghiên cứu tô pô cũng đã được các đại số đơn giản trung tâm.[129]
phát triển một cách độc lập ở Áo. Trong khóa học năm
Noether, Helmut Hasse, và Richard Brauer cùng nhau
1926–27 tại Vienna, Leopold Vietoris nêu ra định nghĩa
viết một bài báo kinh điển về đại số phép chia (division
nhóm đồng điều, sau đó được Walther Mayer phát triển
algebra),[130] là cơ sở cho những hệ thống đại số nào
thành định nghĩa kiểu tiên đề hóa vào năm 1928.[126]
mà có thể tồn tại phép chia. Họ chứng minh hai định lý
quan trọng: định lý cục bộ-toàn cục nói rằng nếu một
đại số phép chia trung tâm với số chiều hữu hạn trên
một trường số tách một cách cục bộ khắp nơi khi nó

tách một cách toàn cục (tức là tầm thường), và từ điều
này họ suy ra Hauptsatz ("định lý chính”): mỗi đại số
chia trung tâm hữu hạn chiều trên một trường số đại số
F là tách trên một mở rộng xiclic cyclotomic. Những định
lý này cho phép các nhà toán học phân loại mọi đại số
chia trung tâm hữu hạn chiều trên một trường số. Hệ
quả của bài báo Noether đó là nó chính là trường hợp
đặc biệt của một định lý tổng quát hơn, mọi trường con
tối đại của một đại số chia D là trường tách.[131] Bài báo
này cũng chứa định lý Skolem–Noether nói rằng hai
nhúng mở rộng của một trường k vào một đại số đơn
trung tâm hữu hạn chiều trên k là liên hợp với nhau.
Định lý Brauer–Noether[132] cho một đặc trưng hóa của
trường tách của một đại số chia trung tâm trên một
trường.

3 Đánh giá, công nhận và tưởng
nhớ

Helmut Hasse nghiên cứu cùng với Noether và những người
khác thành lập lên lý thuyết các đại số đơn giản trung tâm.

2.4
2.4.1

Kỷ nguyên thứ ba (1927–35)
Số siêu phức và lý thuyết biểu diễn
Trường Emmy Noether ở Đại học Siegen là nơi đặt phòng toán

Nhiều công trình về số siêu phức và biểu diễn nhóm học và vật lý của đại học.

được thực hiện trong thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20, nhưng
vẫn còn tản mát. Noether thống nhất các kết quả và đưa Các công trình của Noether tiếp tục có ảnh hưởng đến


15
sự phát triển của vật lý lý thuyết và toán học; và bà
vẫn được xếp như là một trong những nhà toán học
lớn nhất của thế kỷ 20. Trong bài viết tưởng niệm, nhà
đại số và đồng nghiệp BL van der Waerden nói rằng các
công trình toán học của bà “vượt xa hẳn sự so sánh với
ý nghĩa ban đầu”,[133] và Hermann Weyl viết Noether
"đã thay đổi bộ mặt của đại số học nhờ các công trình
của bà".[7] Trong thời đại của bà và thậm chí cho đến
tận ngày nay, các nhà khoa học coi Noether như là
nhà nữ toán học lớn nhất trong lịch sử, như nhận xét
bởi[134][3][135] such as Pavel Alexandrov,[136] Hermann
Weyl,[137] và Jean Dieudonné.[138]
Trong lá thư gửi tới tờ e New York Times, Albert
Einstein viết:[2]
Trong sự đánh giá những nhà toán học
đương thời nổi bật nhất, bà Noether là một
trong những thiên tài toán học sáng tạo nhất
kể từ thời điểm giáo dục đại học cho phép phụ
nữ đi học. Trong lĩnh vực đại số, lĩnh vực mà
các nhà toán học đã bận rộn trong nhiều thế
kỷ, bà đã khám phá ra phương pháp đã được
chứng minh là có sự quan trọng to lớn trong
sự phát triển của thế hệ các nhà toán học trẻ
hiện nay.
Ngày 2 tháng 1 năm 1935, chỉ vài tháng trước khi bà

qua đời, nhà toán học Norbert Wiener viết rằng [139]
Bà Noether là nhà nữ toán học lớn nhất từ
trước tới nay; và là nhà khoa học lớn nhất còn
sống từ trước tới nay, mà có thể sánh ngang
với Madame Curie.
Tại Triển lãm thế giới năm 1964 dành cho các nhà toán
học hiện đại, Noether là phụ nữ duy nhất trong số các
nhà toán học uy tín của thế giới hiện đại.[140]
Noether được vinh danh và tưởng nhớ ở một số nơi như,
• Hiệp hội phụ nữ trong toán học trao giải Noether
(Noether Lecture) để vinh danh các nhà toán học
nữ hàng năm; trong một tờ rơi quảng cáo cho sự
kiện vào năm 2005, Hiệp hội đánh giá Noether
như là “một trong những nhà toán học lớn nhất
thời đại của bà, một người nghiên cứu và đối mặt
với những khó khăn cho những gì bà tin tưởng và
mến yêu. Cuộc đời và sự nghiệp của bà vẫn còn là
nguồn cảm hứng to lớn”.[141]
• Để duy trì sự quan tâm của bà tới các sinh viên của
mình, đại học Siegen đã thành lập trường Emmy
Noether là nơi quy tụ các tòa nhà cho khoa toán
và vật lý.[142]
• ỹ
Nghiên
cứu
Đức
(Deutsche
Forschungsgemeinscha) triển khai Chương
trình Emmy Noether, một học bổng cung cấp

nguồn tài chính hỗ trợ cho các nghiên cứu sinh
toán học hậu tiến sĩ cho các nghiên cứu tương lai
của họ cũng như cho các hoạt động giảng dạy.[143]
• Một đường phố ở thị trấn quê hương bà, Erlangen,
được mang tên Emmy Noether và cha bà Max
Noether.
• Ngôi trường phổ thông bà từng theo học ở
Erlangen được đổi tên thành trường phổ thông
Emmy Noether.[138]
Trong truyện khoa học viễn tưởng, Emmy Nuer, giáo
sư vật lý trong cuốn “e God Patent” của Ransom
Stephens, là nhân vật dựa trên tính cách của Emmy
Noether [144]
Trong thiên văn học,
• Hố va chạm Nöther trên phía xa của bề mặt Mặt
Trăng đặt tên theo bà.
• Tiểu hành tinh 7001 Noether mang tên Emmy
Noether.[145][146]

4 Danh sách sinh viên hướng dẫn
5 Các chủ đề toán học mang tên bà
6 Dẫn chứng
[1] Emmy là Rufname tên cúng cơm, cách gọi thứ hai
của tên riêng, dùng hàng ngày. Ví dụ trong bản
tóm tắt của Noether gửi tới Đại học Erlangen năm
1907 (Tư liệu Đại học Erlangen, Promotionsakt Emmy
Noether (1907/08, NR. 2988); in lại trong: Emmy Noether,
Gesammelte Abhandlungen – Collected Papers, ed. N.
Jacobson 1983; lưu trữ trực tuyến tại physikerinnen.
de/noetherlebenslauf.html). ỉnh thoảng có người viết

một cách hiểu nhầm rằng Emmy là tên gọi ngắn của
Amalie, hay “Emily”. như trong Smolin, Lee, Special
Relativity – Why Can't You Go Faster an Light?, Edge,
…Emily Noether, a great German mathematician…
[2] Einstein, Albert (ngày 1 tháng 5 năm 1935), “Professor
Einstein Writes in Appreciation of a FellowMathematician”, New York Times (ngày 5 tháng 5
năm 1935), truy cập ngày 13 tháng 4 năm 2008 .
Lưu trực tuyến tại MacTutor History of Mathematics
archive.
[3] Alexandrov 1981, tr. 100.
[4] Ne'eman, Yuval. “e Impact of Emmy Noether’s
eorems on XX1st Century Physics”, Teicher 1999, tr.
83–101.
[5] Weyl 1935
[6] Lederman & Hill 2004, tr. 73.


16

6

[7] Dick 1981, tr. 128

[44] Dick 1981, tr. 61–63.

[8] Kimberling 1981, tr. 3–5.

[45] Alexandrov 1981, tr. 100, 107.

[9] Osen 1974, tr. 142.

[46] Dick 1981, tr. 51.

DẪN CHỨNG

[10] Lederman & Hill 2004, tr. 70–71.

[47] Dick 1981, tr. 53–57.

[11] Dick 1981, tr. 7–9.

[48] Dick 1981, tr. 37–49.

[12] Dick 1981, tr. 9–10.

[49] Van der Waerden 1935, tr. 98.

[13] Dick 1981, tr. 10–11.

[50] Dick 1981, tr. 46–48.

[14] Dick 1981, tr. 25, 45.

[51] Taussky 1981, tr. 80.

[15] Kimberling, tr. 5.

[52] Dick 1981, tr. 40–41.

[16] Kimberling 1981, tr. 10.

[53] Scharlau, W. “Emmy Noether’s Contributions to the
eory of Algebras” in Teicher 1999, tr. 49.

[17] Dick 1981, tr. 11–12.
[18] Kimberling 1981, tr. 8–10.
[19] Lederman & Hill 2004, tr. 71.
[20] Kimberling 1981, tr. 10–11.
[21] Dick 1981, tr. 13–17.
[22] Lederman & Hill 2004, tr. 71 viết rằng bà hoàn thành
luận án ở Göingen, nhưng có lẽ điều này không đúng.

[54] Mac Lane 1981, tr. 77.
[55] Dick 1981, tr. 37.
[56] Dick 1981, tr. 38–41.
[57] Mac Lane 1981, tr. 71.
[58] Dick 1981, tr. 76.
[59] Dick 1981, tr. 63–64.

[23] Kimberling 1981, tr. 11–12.

[60] Kimberling 1981, tr. 26.

[24] Dick 1981, tr. 18–24.

[61] Alexandrov 1981, tr. 108–10.

[25] Osen 1974, tr. 143.

[62] Alexandrov 1981, tr. 106–9.

[26] Kimberling 1981, tr. 14.

[63] Osen 1974, tr. 150.

[27] Dick 1981, tr. 32.

[64] Dick 1981, tr. 82–83.

[28] Osen 1974, tr. 144–45.
[29] Lederman & Hill 2004, tr. 72.

[65] “Emmy Amalie Noether” (biography). UK: St And. Truy
cập ngày 4 tháng 9 năm 2008.

[30] Dick 1981, tr. 24–26.

[66] Dick 1981, tr. 72–73.

[31] Dick 1981, tr. 188.

[67] Kimberling 1981, tr. 26–27.

[32] Kimberling 1981, tr. 14–18.

[68] Hasse 1933, tr. 731.

[33] Osen 1974, tr. 145.

[69] Dick 1981, tr. 74–75.

[34] Dick 1981, tr. 33–34.

[70] Kimberling 1981, tr. 29.

[35] Kimberling 1981, tr. 18.

[71] Dick 1981, tr. 75–76.

[36] Dick 1981, tr. 44–45.

[72] Kimberling 1981, tr. 28–29.

[37] Osen 1974, tr. 145–46.

[73] Dick 1981, tr. 78–79.

[38] Van der Waerden 1935, tr. 100.

[74] Kimberling 1981, tr. 30–31.

[39] Dick 1981, tr. 57–58.

[75] Kimberling 1981, tr. 32–33.

[40] Kimberling 1981, tr. 19.

[76] Dick 1981, tr. 80.

[41] Lederman & Hill 2004, tr. 74.

[77] Dick 1981, tr. 80–81.

[42] Osen 1974, tr. 148.

[78] Dick 1981, tr. 81–82.

[43] Kimberling 1981, tr. 24–25.

[79] Dick 1981, tr. 81.


17
[80] Osen 1974, tr. 151.

[116] Habousch 1975.

[81] Dick 1981, tr. 83.

[117] Hilton 1988, tr. 284.

[82] Dick 1981, tr. 82.

[118] Dick 1981, tr. 173.

[83] Kimberling 1981, tr. 34.

[119] Dick 1981, tr. 174

[84] Kimberling 1981, tr. 37–38.

[120] Dick 1981, tr. 174.

[85] Kimberling 1981, tr. 39.

[121] Hirzebruch, Friedrich. “Emmy Noether and Topology”
in Teicher 1999, tr. 57–61.

[86] Osen 1974, tr. 148–49.
[87] Gilmer 1981, tr. 131.
[88] Kimberling 1981, tr. 10–23.

[122] Hopf 1928.
[123] Dick 1981, tr. 174–75.
[124] Noether 1926b.

[89] C. F. Gauss, eoria residuorum biquadraticorum. [125] Hirzebruch, Friedrich, “Emmy Noether and Topology”
Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Göingen
in Teicher 1999, tr. 63.
7 (1832) 1-34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag,
[126] Hirzebruch, Friedrich, “Emmy Noether and Topology”
Hildesheim, 1973, pp. 93–148.
in Teicher 1999, tr. 61–63.
[90] G.E. Noether 1986, tr. 168.
[127] Noether 1929.
[91] Dicke 1981, tr. 101.
[128] van der Waerden 1985, tr. 244.
[92] Noether 1908
[129] Lam 1981, tr. 152–53.
[93] Noether 1914, tr. 11.

[130] Brauer, Hasse & Noether 1932.
[94] Gordan 1870.
[131] Noether 1933.
[95] Weyl 1944, tr. 618–21.

[132] Brauer & Noether 1927.

[96] Hilbert 1890, tr. 531.

[133] Dick 1981, tr. 100.

[97] Hilbert 1890, tr. 532.

[134] Osen 1974, tr. 152.

[98] Noether 1918.

[135] James 2002, tr. 321.

[99] Noether 1913.

[136] Dick 1981, tr. 154.

[100] Swan 1969, tr. 148.

[137] Dick 1981, tr. 152.

[101] Malle & Matzat 1999.

[138] Noether 1987, tr. 167.

[102] Noether 1918b

[139] Kimberling 1981, tr. 35.

[103] Kimberling 1981, tr. 13.

[140] Duchin, Moon (tháng 12 năm 2004), e Sexual Politics
of Genius (PDF), University of Chicago, truy cập ngày 8
tháng 2 năm 2015 (ngày sinh của Noether).

[104] Lederman & Hill 2004, tr. 97–116.
[105] Noether 1921.
[106] Gilmer 1981, tr. 133.
[107] Noether 1927.
[108] Noether 1923.
[109] Noether 1923b.

[141] “Profiles of Women in Mathematics”, e Emmy Noether
Lectures (Association for Women in Mathematics), 2005,
truy cập ngày 13 tháng 4 năm 2008 |chương= bị bỏ qua
(trợ giúp)
[142] Emmy-Noether-Campus, DE: Universität Siegen, truy
cập ngày 08 tháng 2 năm 2015 Kiểm tra giá trị ngày
tháng trong: |accessdate= (trợ giúp)

[111] Noether 1915.

[143] “Emmy Noether Programme: In Brie”. Research
Funding. Deutsche Forschungsgemeinscha. n.d. Truy

cập ngày 08 tháng 2 năm 2015.

[112] Fleischmann 2000, tr. 24.

[144] Stephens, Ransom, e God Patent

[113] Fleischmann 2000, tr. 25.

[145] Schmadel 2003, tr. 570.

[114] Fogarty 2001, tr. 5.

[146] Blue, Jennifer. Gazeeer of Planetary Nomenclature.
USGS. ngày 25 tháng 7 năm 2007. Truy cập ngày 13
tháng 4 năm 2008.

[110] Noether 1924.

[115] Noether 1926.


18

7

7

Tham khảo

7.1

Các bài báo của Emmy Noether (bằng
tiếng Đức)

• Noether, Emmy (1907), “Über die Bildung des
Formensystems der ternären biquadratischen
Form” [On Complete Systems of Invariants for
Ternary Biquadratic Forms], Journal ür die reine
und angewandte Mathematik (bằng tiếng Đức)
(DE: Uni Göingen) 39: 176–179 and two tables.
• Noether, Emmy (1908), “Über die Bildung des
Formensystems der ternären biquadratischen
Form” [On Complete Systems of Invariants for
Ternary Biquadratic Forms], Journal ür die reine
und angewandte Mathematik (bằng tiếng Đức)
(DE: Uni Göingen) 134: 23–90 and two tables.
• ——— (1913), “Rationale Funktionenkörper”
[Rational Function Fields], J. Ber. D. DMV (bằng
tiếng Đức) (DE: Uni Göingen) 22: 316–19.
• ——— (1915), “Der Endlichkeitssatz der
Invarianten
endlicher
Gruppen”
[e
Finiteness eorem for Invariants of Finite
Groups],
Mathematische
Annalen
(bằng
tiếng Đức) (DE: Digizeitschrien) 77: 89–92,

doi:10.1007/BF01456821
• ——— (1918), “Gleichungen mit vorgeschriebener
Gruppe” [Equations with Prescribed Group],
Mathematische Annalen (bằng tiếng Đức) 78: 221–
29, doi:10.1007/BF01457099.
• ——— (28 tháng 7 năm 2017), “Invariante
Variationsprobleme”
[Invariant
Variation
Problems], Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss.
(bằng tiếng Đức) (Göingen: Math-phys. Klasse)
1918: 235–57. English translation by M. A. Tavel
(1918), arΧiv:physics/0503066.
• ——— (1921), “Idealtheorie in Ringbereichen” [e
eory of Ideals in Ring Domains], Mathematische
Annalen (PDF) (bằng tiếng Đức) (Metapress) 83
(1), ISSN 0025-5831.

THAM KHẢO

• ———
(1924),
“Eliminationstheorie
und
Idealtheorie”, Jahresbericht der Deutschen
Mathematiker-Vereinigung (bằng tiếng Đức)
(DE: Uni Göingen) 33: 116–20.
• ——— (1926), “Der Endlichkeitsatz der Invarianten
endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p”
[Proof of the Finiteness of the Invariants of Finite

Linear Groups of Characteristic p], Nachr. Ges.
Wiss (bằng tiếng Đức) (DE: Uni Göingen): 28–35.
• ——— (28 tháng 7 năm 2017), “Ableitung der
Elementarteilertheorie aus der Gruppentheorie”
[Derivation of the eory of Elementary Divisor
from Group eory], Jahresbericht der Deutschen
Mathematiker-Vereinigung (bằng tiếng Đức) (DE:
Digizeitschrien), 34 (Abt. 2): 104.
• ——— (1927), “Abstrakter Auau der Idealtheorie
in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern”
[Abstract Structure of the eory of Ideals in
Algebraic Number Fields] (PDF), Mathematische
Annalen (bằng tiếng Đức) (Metapress) 96 (1): 26–
61, doi:10.1007/BF01209152.
• Brauer, Richard; Noether, Emmy (1927), “Über
minimale
Zerällungskörper
irreduzibler
Darstellungen” [On the Minimum Spliing
Fields of Irreducible Representations], Sitz. Ber. D.
Preuss. Akad. D. Wiss. (bằng tiếng Đức): 221–28.
• Noether, Emmy (1929), “Hyperkomplexe Größen
und
Darstellungstheorie”
[Hypercomplex
antities and the eory of Representations],
Mathematische Annalen (bằng tiếng Đức) 30:
641–92, doi:10.1007/BF01187794.
• Brauer, Richard; Hasse, Helmut; Noether, Emmy
(1932), “Beweis eines Hauptsatzes in der eorie

der Algebren” [Proof of a Main eorem in the
eory of Algebras], Journal ür Math. (bằng tiếng
Đức) (DE: Uni Göingen) 167: 399–404.
• Noether, Emmy (1933), “Nichtkommutative
Algebren”
[Noncommutative
Algebras],
Mathematische Zeitschri (bằng tiếng Đức)
37: 514–41, doi:10.1007/BF01474591.
• ——— (1983), Jacobson, Nathan, biên tập,
Gesammelte Abhandlungen [Collected papers]
(bằng tiếng Đức), Berlin, New York: SpringerVerlag, tr. viii, 777, ISBN 3-540-11504-8, MR
0703862.

• ——— (1923), “Zur eorie der Polynomideale
und Resultanten”, Mathematische Annalen (bằng
tiếng Đức) (DE: Digizeitschrien) 88: 53–79, 7.2
doi:10.1007/BF01448441.
•
• ——— (28 tháng 7 năm 2017), “Eliminationstheorie
und allgemeine Idealtheorie”, Mathematische
Annalen (bằng tiếng Đức) (DE: Digizeitschrien)
90 (3–4): 229–61, doi:10.1007/BF01455443.

Các nguồn khác
Alexandrov, Pavel S. (1981), “In Memory of Emmy
Noether”, trong Brewer, James W; Smith, Martha
K, Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work,
New York: Marcel Dekker, tr. 99–111, ISBN 0-82471550-0.

7.2

Các nguồn khác

19

• Blue, Meredith (2001), Galois eory and Noether’s
Problem (PDF), irty-Fourth Annual Meeting:
Florida Section of e Mathematical Association
of America.

• Hilton, Peter (1988), “A Brief, Subjective History
of Homology and Homotopy eory in is
Century”, Mathematics Magazine 60 (5): 282–91,
JSTOR 2689545?

• Byers, Nina (2–ngày 4 tháng 12 năm 1996), “E.
Noether’s Discovery of the Deep Connection
Between Symmetries and Conservation Laws”,
Proceedings of a Symposium on the Heritage
of Emmy Noether, IL: Bar-Ilan University,
arXiv:physics/9807044 Kiểm tra giá trị ngày
tháng trong: |date=, |year= / |date= mismatch (trợ
giúp).

• Hopf, Heinz (1928), “Eine Verallgemeinerung der
Euler-Poincaréschen Formel”, Nachrichten von
der Gesellscha der Wissenschaen zu Göingen.
Mathematisch-Physikalische Klasse (bằng tiếng

Đức) 2: 127–36.

• Byers, Nina (2006), “Emmy Noether”, trong
Byers, Nina; Williams, Gary, Out of the Shadows:
Contributions of 20th Century Women to Physics,
Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0521-82197-5.
• Dick, Auguste (1981), Emmy Noether: 1882–1935,
Boston: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3019-8. Trans. H.
I. Blocher.
• Fleischmann, Peter (2000), “e Noether bound
in invariant theory of finite groups”, Advances
in Mathematics 156 (1): 23–32, MR 1800251,
doi:10.1006/aima.2000.1952.
• Fogarty, John (2001), “On Noether’s bound
for polynomial invariants of a finite group”,
Electronic Research Announcements of the
American Mathematical Society 7 (2): 5–7,
MR 1826990, doi:10.1090/S1079-6762-01-00088-9,
truy cập ngày 16 tháng 6 năm 2008
• Gilmer, Robert (1981), “Commutative Ring
eory”, trong Brewer, James W; Smith, Martha
K, Emmy Noether: A Tribute to Her Life and
Work, New York: Marcel Dekker, tr. 131–43, ISBN
0-8247-1550-0.
• Gordan, Paul (1870), “Die simultanen Systeme
binärer Formen”, Mathematische Annalen (bằng
tiếng Đức) 2 (2): 227–280, doi:10.1007/BF01444021.
• Haboush, WJ (1975), “Reductive groups are
geometrically reductive”, Ann. Math. (e Annals
of Mathematics, Vol. 102, No. 1) 102 (1): 67–83,

JSTOR 1970974, doi:10.2307/1970974.
• Hasse, Helmut (1933), “Die Struktur der R.
Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem
Mathematische
algebraischen
Zahlkörper”,
Annalen (bằng tiếng Đức) 107: 731–760,
doi:10.1007/BF01448916.
• Hilbert, David (tháng 12 năm 1890), “Ueber
die eorie der algebraischen Formen”,
Mathematische Annalen (bằng tiếng Đức) 36
(4): 473–534, doi:10.1007/BF01208503.

• James, Ioan (2002), Remarkable Mathematicians
from Euler to von Neumann, Cambridge:
Cambridge University Press, ISBN 0-521-81777-3.
• Kimberling, Clark (1981), “Emmy Noether and
Her Influence”, trong Brewer, James W; Smith,
Martha K, Emmy Noether: A Tribute to Her Life and
Work, New York: Marcel Dekker, tr. 3–61, ISBN 08247-1550-0.
• Lam, Tsit Yuen (1981), “Representation eory”,
trong Brewer, James W; Smith, Martha K, Emmy
Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York:
Marcel Dekker, tr. 145–56, ISBN 0-8247-1550-0.
• Lederman, Leon M.; Hill, Christopher T (2004),
Symmetry and the Beautiful Universe, Amherst:
Prometheus Books, ISBN 1-59102-242-8.
• Mac Lane, Saunders (1981), “Mathematics at
the University of Göingen 1831–1933”, trong
Brewer, James W; Smith, Martha K, Emmy

Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York:
Marcel Dekker, tr. 65–78, ISBN 0-8247-1550-0.
• Malle, Gunter; Matzat, Bernd Heinrich (1999),
Inverse Galois theory, Springer Monographs in
Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag,
ISBN 978-3-540-62890-3, MR 1711577.
• Noether, Gofried E (1987), Grinstein, LS;
Campbell, PJ, biên tập, Women of Mathematics,
New York: Greenwood press, ISBN 0-313-24849-4.
• Noether,
Max
(1914),
Mathematische
Annalen
doi:10.1007/BF01564521.

“Paul
Gordan”,
75
(1):
1–41,

• Osen, Lynn M. (1974), “Emmy (Amalie) Noether”,
Women in Mathematics, MIT Press, tr. 141–52,
ISBN 0-262-15014-X.
• Schmadel, Lutz D (2003), Dictionary of Minor
Planet Names (ấn bản 5), Berlin: Springer-Verlag,
ISBN 3-540-00238-3.
• Swan, Richard G (1969), “Invariant rational
functions and a problem of Steenrod”,

Inventiones Mathematicae 7 (2): 148–158,
doi:10.1007/BF01389798.


20

8

• Taussky, Olga (1981), “My Personal Recollections
of Emmy Noether”, trong Brewer, James W; Smith,
Martha K, Emmy Noether: A Tribute to Her Life and
Work, New York: Marcel Dekker, tr. 79–92, ISBN 08247-1550-0.
• Teicher, M. (ed.) (1999), e Heritage of Emmy
Noether, Israel Mathematical Conference
Proceedings, Bar-Ilan University, American
Mathematical Society, Oxford University Press,
ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC 223099225
• van der Waerden, B.L. (1935), “Nachruf auf
Emmy Noether” [obituary of Emmy Noether],
Mathematische Annalen (bằng tiếng Đức) 111:
469–74, doi:10.1007/BF01472233. Reprinted in
Dick 1981.
• ——— (1985), A History of Algebra: from alKhwārizmī to Emmy Noether, Berlin: SpringerVerlag, ISBN 0-387-13610-X.
• Weyl, Hermann (1935), “Emmy Noether”, Scripta
Mathematica 3 (3): 201–220, reprinted as an
appendix to Dick ( 1981).
• Weyl, Hermann (1944), “David Hilbert and his
mathematical work”, Bulletin of the American
Mathematical Society 50 (9): 612–654, MR 0011274,
doi:10.1090/S0002-9904-1944-08178-0.

8

Liên kết ngoài
• Emmy Noether (German mathematician) tại
Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• ư viện trực tuyến Online Books với từ khóa tìm
kiếm Emmy Noether
• “Invariante Variationsprobleme”, Nachr. v. d. Ges.
d. Wiss. (bằng tiếng Đức) (Göingen: UCLA) với
liên kết tới bản dịch tiếng Anh.
• “Emmy Noether”, CWP, UCLA.
• Emmy Noether tại Mathematics Genealogy
Project
• “Emmy Noether”, Biographies of
Mathematicians, Agnes Sco College.

Women

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Emmy
Noether”, Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor
• Noether Lebensläufe (bằng tiếng Đức), DE:
Physikerinnen. Đơn đăng ký nộp học của
Noether vào Đại học Erlangen và ba hồ sơ xin
việc, hai trong số đó được viết bằng tay với phiên
bản được đánh máy. Cái đầu tiên chính là đơn
viết tay của Emmy Noether.

LIÊN KẾT NGOÀI

• Noether, Emmy (1908), Über die Bildung des
Formensystems der ternären biquadratischen Form
(Luận án tiến sĩ) , Erlangen; PDf.
• Kimberling, Clark, Emmy Noether, Mentors &
Colleagues (ảnh chụp), Evansville.
• “Noether”, Oberwolfach (tư liệu ảnh), DE: MFO.
• Noether; Haße, Helmut (1925–35), Franz
Lemmermeyer und Peter Roquee Helmut Hasse
und Emmy Noether (PDF), DE: Uni Göingen.
• Angier (ngày 26 tháng 3 năm 2012), “Nhà toán học
vĩ đại mà bạn chưa từng nghe tới”, e New York
Times |tên 1= thiếu |họ 1= trong Authors list (trợ
giúp).


21

9

Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh

9.1

Văn bản

• Emmy Noether Nguồn: Người đóng góp: Newone, VolkovBot, TXiKiBoT,
Loveless, Idioma-bot, Qbot, CarsracBot, Magicknight94, Luckas-bot, Ptbotgourou, Xqbot, TobeBot, Trần Nguyễn Minh Huy,
DangTungDuong, Earthandmoon, TjBot, Zhouyu234, TuHan-Bot, EmausBot, ZéroBot, ChuispastonBot, WikitanvirBot, Cheers!bot, RazrRekr201, AlphamaBot, AlphamaBot2, Addbot, OctraBot, itxongkhoiAWB, Beyond234, Tuanminh01, AlphamaBot3,
TuanminhBot, Minhhai 2000, Én bạc, Én bạc AWB, Tranngocnhatminh và 4 người vô danh

9.2

Hình ảnh

• Tập_tin:Bryn_Mawr_College_Cloisters.JPG Nguồn: />Cloisters.JPG Giấy phép: CC BY 2.5 Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra Nghệ sĩ đầu tiên: Jeffrey M. Vinocur
• Tập_tin:Bryn_Mawr_Sunset.jpg Nguồn: Giấy phép:
CC BY-SA 2.5 Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra Nghệ sĩ đầu tiên: User:AnnaKucsma
• Tập_tin:Commons-logo.svg Nguồn: Giấy phép: Public
domain Người đóng góp: is version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions
used to be slightly warped.) Nghệ sĩ đầu tiên: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier
PNG version, created by Reidab.
• Tập_tin:Emmy-noether-campus_siegen.jpg
Nguồn:
/>Emmy-noether-campus_siegen.jpg Giấy phép: Aribution Người đóng góp: self-made by author Nghệ sĩ đầu tiên: Bob Ionescu
• Tập_tin:Emmy_Noether_-_Table_of_invariants_2.jpg Nguồn: />Noether_-_Table_of_invariants_2.jpg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: Journal ür die reine und angewandte Mathematik
134 Nghệ sĩ đầu tiên: en:Emmy Noether
• Tập_tin:Emmy_noether_postcard_1915.jpg
Nguồn:
/>postcard_1915.jpg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: Auguste Dick’s Emmy Noether: 1882-1935, just aer p. 58 Nghệ sĩ đầu
tiên: Emmy Noether
• Tập_tin:Erlangen_1916.jpg Nguồn: Giấy phép: Public
domain Người đóng góp: 1916 postcard, scanned by Flominator Nghệ sĩ đầu tiên: Anonymous (see Image:Erlangen - Bahnhof.jpg and
Image:Erlangen - Schlossplatz.jpg)
• Tập_tin:Helmut_Hasse.jpg Nguồn: Giấy phép: CC BY-SA
2.0 de Người đóng góp: Nghệ sĩ đầu tiên: Konrad Jacobs
• Tập_tin:Hilbert.jpg Nguồn: Giấy phép: Public domain Người đóng
góp: Possibly Reid, Constance (1970) Hilbert, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg Imprint Springer, p. 230 ISBN: 978-3-66227132-2. Nghệ sĩ đầu tiên: Không rõ<a href=' title='wikidata:Q4233718'>src=' />width='20' height='11' srcset=' />svg.png 1.5x, 2x'
data-file-width='1050' data-file-height='590' /></a>

• Tập_tin:Mathematik_Göttingen.jpg Nguồn: />jpg Giấy phép: CC BY-SA 2.5 Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra Nghệ sĩ đầu tiên: Daniel Schwen
• Tập_tin:Moscow_05-2012_Mokhovaya_05.jpg Nguồn: />Mokhovaya_05.jpg Giấy phép: CC BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra Nghệ sĩ đầu tiên: A.Savin
(Wikimedia Commons · WikiPhotoSpace)
• Tập_tin:Mug_and_Torus_morph.gif Nguồn: />Giấy phép: Public domain Người đóng góp: ? Nghệ sĩ đầu tiên: ?
• Tập_tin:Noether.jpg Nguồn: Giấy phép: Public domain
Người đóng góp: Emmy Noether (1882-1935) Nghệ sĩ đầu tiên: Không rõ<a href=' />title='wikidata:Q4233718'>alt='wikidata:Q4233718'
src=' />Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png' width='20' height='11' srcset=' />thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, />Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x' data-file-width='1050' data-file-height='590' /></a>
• Tập_tin:Paul_Albert_Gordan.jpg Nguồn: Giấy phép:
Public domain Người đóng góp: Nghệ sĩ đầu tiên: ?
• Tập_tin:Paul_S_Alexandroff_2.jpg Nguồn: Giấy
phép: CC BY-SA 2.0 de Người đóng góp: Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, />Nghệ sĩ đầu tiên: Konrad Jacobs, Erlangen
• Tập_tin:Zuerich_vier_Kirchen.jpg Nguồn: Giấy
phép: CC-BY-SA-3.0 Người đóng góp: Tác phẩm do chính người tải lên tạo ra (Eigenes Bild) Nghệ sĩ đầu tiên: Ikiwaner

9.3

Giấy phép nội dung

• Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0