4)Chuyên đề về phân số Tiểu học lớp 4, 5

Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ
1. Kiến thức cần ghi nhớ

Khi cùng nhân (chia) cả tử số và mẫu số với cùng một số tự nhiên lớn hơn 1 ta
được một phân số mới bằng phân số đã cho.

Khi cả tử số và mẫu số cùng được gấp (giảm) bao nhiêu lần thì hiệu và tổng của
chúng cũng được gấp (giảm) bấy nhiêu lần.
Ví dụ: Cho phân số

1
3

Hiệu giữa mẫu số và tử số là: 3 - 1 = 2
Tổng giữa mẫu số và tử số là: 1 + 3 = 4
Khi gấp cả tử số và mẫu số lên 3 lần ta có:
1 1x3 3
=
=
3 3x3 9

Hiệu giữa mẫu số và tử số là: 9 - 3 = 6
Tổng giữa mẫu số và tử số là: 9 + 3 = 12
Ta thấy: 6: 2 = 3
12 : 4 = 3
2. Bài tập
Bài 1: Cho phân số

234
. Hỏi phải cùng bớt ở tử số và mẫu số bao nhiêu đơn vị để được phân

369

số mới, rút gọn phân số mới ta được phân số

5
.
8

Bài 2: Cho phân số

a
a
3
a
có a + b = 136. Rút gọn phân số ta được phân số . Tìm phân số .
b
b
5
b

Bài 3: Cho phân số

a
a
5
có a + b = 108, khi rút gọn phân số ta được phân số . Tìm phân số
b
b
7

a
.
b

Bài 4: Cho phân số

a
a
5
a
có b - a = 18, khi rút gọn phân số ta được phân số . Tìm phân số .
b
b
7
b


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
54
. Hãy tìm số tự nhiên a sao cho khi bớt a ở tử, thêm a vào mẫu của
36

Bài 5: Cho phân số

phân số ta được phân số mới. Rút gọn phân số mới ta được

26
. Hãy tìm số tự nhiên a sao khi thêm a ở tử số và giữ nguyên mẫu số ta
45

Bài 6: Cho phân số

được phân số mới có giá trị là

2
.
3

25
. Hãy tìm số tự nhiên a sao cho khi đem mẫu số trừ đi a và giữ nguyên
37

Bài 7: Cho phân số

tử số ta được phân số mới có giá trị là
Bài 8: Cho phân số

4
.
5

5
.
6

43
. Hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi lấy cả tử số và mẫu số của phân số
58

đã cho trừ đi số tự nhiên m ta được phân số mới. Rút gọn phân số mới này ta được phân số là

1
.
4

Bài 9: Cho phân số

a
a
5
, rút gọn phân số ta được phân số . Nếu thêm 8 đơn vị vào mẫu số b
b
b
6

mà giữ nguyên tử số a thì ta được một phân số mới. Rút gọn phân số mới ta được phân số
Tìm phân số

3
.
4

a
.
b

Bài 10: Cho phân số

c
c
6

, nếu rút gọn phân số thì được phân số . Nếu giảm tử số đi 12 đơn
d
d
7

vị rồi rút gọn thì được phân số

36
c
. Tìm phân số .
49
d

So sánh phân số
I. Các dạng bài tập , kiến thức cần ghi nhớ:
Dạng 1: So sánh bằng cách qui đồng mẫu số


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
VD 1: So sánh:

2
3
và
5
4

Giải.
Ta có:
2 2× 4

8
=
=
5 5 × 4 20

Vì

3 3 × 5 15
=
=
4 4 × 5 20
8 15
2 3
<
nên <
20 20
5 4

Dang 2: So sánh với 1.
Dạng 3: So sánh hai phân số bằng cách so sánh phần bù đơn vị của phân số:
Ta so sánh phần bù đơn vị của phân số khi hai phân số đó phảI:
•
•
•

Nhỏ hơn 1.
Mẫu 1- tử 1= mẫu 2 - tử 2 hoặc: (mẫu1- tử 1)=n × (mẫu 2- tử 2)
Phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ 1: So sánh phân số sau:

2000
2007
và
2003
2009

Hướng dẫn:
(nhận thấy: 2003 – 2000 = 2009 – 2007 = 2)
Giải
Ta có:
1−

2000 2003 2000
2
=
−
=
2003 2003 2003 2003

1−

;

2007 2009 2007
2
=
−
=
2009 2009 2009 2009

Vậy

2
2
2000 2007
>
<
nên
2003 2009
2003 2009

Ví dụ 2: So sánh hai phân số:

2003
2128
và
2005
2134


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
Hướng dẫn:
Nhận thấy: 3 × (2005 - 2003) = 2134 – 2128
Giải
2003 2003 × 3 6009
=
=
2005 2005 × 3 6015
1−

2003
6009 6015 6009
6
= 1−
=
−
=
2005
6015 6015 6015 2015

1−

2128 2134 2134
6
=
−
=
2134 2134 2128 2134

Vậy

6
6
2003 2128
>
<
nên
2015 2134
2005 2134

Dạng 4: So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn của hai phân số.
Ta so sánh phấn hơn khi hai phân só so sánh phảI
*Lớn hơn 1.
*Tử 1 – mẫu 1 = Tử 2 – mẫu 2 hoặc: (Tử 1- mãu 1)=n × (tử 2- mẫu 2)
*Phân số nào có phân hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số:

2001
2007
và
1999
2005

Hướng dẫn
Nhận thấy: 2001 – 1999 = 2007 – 2005
Giải
2001
2001 1999
2
−1 =
−
=
1999
1999 1999 1999

2009
2009 2007
2
−1 =

−
=
2007
2007 2007 2007


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
Vậy

2
2
2001 2009
>
>
nên
1999 2007
1999 2007
2005
2048
và
2001
2028

Vý dụ 2: So sánh hai phân số:
Hướng dẫn

Nhạn thấy: 5 × (2005 - 2001) = 2048 – 2028
Giải
2005 2005 × 5 8025
=

=
2001 2001 × 5 8005
2005
8025
8025 8005
20
−1 =
−1 =
−
=
2001
8005
8005 8005 8005
2048
2048 2028
20
−1 =
−
=
2028
2028 2028 2028

Vậy

20
20
2005 2048
<
<
nên

8005 2028
2001 2028

Dạng 5: So sánh bằng phân số trung gian.
•

Trong trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là: 1, 2, 3 …hay

1 1 1
, , ,... bằng cách tìm thương của tử số và mầu số từng phân số rồi lấy phân số trung gian
2 3 4

là phân số có tử là 1 và mẫu số là thương của phân số lớn hơn.
•

Trong trường hợp hai phân số

gian là

a
c
và nếu a> c và bb
d

a
.
d

Ví dụ: So sánh hai phân số:

23
215
và
57
675

Hướng dẫn
Nhận thấy: 57: 23 = 2 (dư 11)
675 : 215 = 3 (dư 30)
Vậy ta chọn phân số

1
la phân số trung gian.
3

Giải


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
23 1
>
57 3

Vậy

215 1
<
675 3

;

23 1 215
23 215
> >
>
nên
57 3 675
57 675

40
47
và
57
55

Ví dụ 2: So sánh hai phân số:
Hướng dẫn

Nhận thấy: 40 < 47 và 57 > 55 nên ta chọn phân số trung gian là:

40
55

Giải
40 40
<
57 55

Vậy

;

47 40
>
55 55

40 40 47
40 47
<
<
<
nên
57 55 55
57 55

Dạng 6: Thực hiện phép chia phân số để so sánh.
*Lấy phân số thứ nhất chia cho phân số thứ hai nếu :
-Thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai
-Thương tìm được lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai.
5
7
và
7
10

Ví dụ: So sánh hai phân số:
Giải
Ta có:

5 7 5 10 50
:
= × =
<1
9 10 9 7 63

Vậy

5 7
<
9 10


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
II. các bài luyện tập
Bài 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)

7
17
và
11
23

b)

12
13
và
48

47

c)

25
25
và
30
49

d)

23
24
và
47
45

e)

34
35
và
43
42

h)

23
47

và
48
92

k)

415
572
và
395
581

c)

13
27
và
27
41

Bài 2:So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất.
a)

12
7
và
17
15

b)

d)

1998
1199
và
1999
2000

1999
12
và
2001
11

e)

1
1
và
a +1
a −1

Bài 3: So sánh hai phan số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)

15
5
và
25

7

b)

13
27
và
60
100

c)

3
17
và
8
49

d)

43
29
và
47
35

e)

1993
997

và
1995
998

g)

43
31
và
49
35

h)

47
29
và
15
35

i)

16
15
và
27
29

Bài 4: So sánh các phân số sau bằng cách hợ lí nhất:
a)

13
23
và
15
25

b)

23
24
và
28
27

c)

12
25
và
25
49


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
d)

13
133
và

15
153

e)

13
1333
và
15
1555

Bài 5:
a) Sắp xếp các phân số theo thứ tự giảm dần:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
; ; ; ; ; ; ; ;
2 3 4 5 6 7 8 9 10
b) Sắp xếp các phân số sau theo thư tự tăng dần:
26 215 10 26 152
;
;
;
;
15 253 10 11 253

c) Sắp xếp các phân số sau theo thư tự tăng dần:

5 1 3 2 4
;
;

;
;
6 2 4 3 5
d) Sắp xếp các phân số sau theo thư tự từ lớn đến bé:
21 60 19
;
;
25 81 29

e) Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé:

15 6 3 12 2004
; ;1; ; ;
6 14 5 15 1999
Bài 6: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau:
a)

1985 19 1983 31 1984
; ;
; ;
1980 60 1981 30 1982

b)

196 14 39 21 175
; ; ; ;
189 45 37 60 175

Bài 7:
1

3
và
5
8

a)

Tìm 6 phân số tối giản nằm giữa

b)

Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số

2
3
và
5
5


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
c)

Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số

1995
1995
và
51997
1996

Bài 8: Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân số:
a)

999
1001
và
1001
1003

b)

9
11
và
10
13

b)

1999 × 1999
1995 × 1995

Bài 9: So sánh phân số sau với 1:
a)

34 × 34
33 × 35

c)

19819851985 × 198719871987
198619861986 × 198619861986

QUY ĐỒNG TỬ SỐ CÁC PHÂN SỐ
Trong các sách giáo khoa không có bài học về "quy dồng tử số các phân số". Thực ra việc quy
đồng tử số các phân số có thể đưa về việc quy đồng mẫu số các phân số "đảo ngược" (đúng ra
là các số nghịch đảo của phân số đã cho). Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp thì việc làm đó dễ
gây ra sự phiền phức, hoặc dễ bị nhầm lẫn.
Một số bài toán dưới đây có thể giải bằng nhiều cách, trong đó có thể dùng cách quy đồng mẫu
số các phân số. Tuy nhiên ở đây chỉ nói cach quy đồng tử số các phân số.
+ Ví dụ 1. Ba khối lớp có 792 học sinh tham gia đồng diễn thể dục. Tìm số học sinh mỗi khối
lớp, biết rằng 2/3 số học sinh khối ba bằng 1/2 số học sinh khối bốn và bằng 40% số học sinh
khối năm.
Quy đồng tử số các phân số 2/3; 1/2; 40/100
Ta có: 1/2 = 2/4; 40/100 = 2/5
như vậy 2/3 số học sinh khối ba bằng 2/4 số học sinh khối bốn và bằng 2/5 số học sinh khối
năm. Nhờ các mẫu số này mà vẽ sơ đồ minh hoạ.


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
Dựa trên sơ đồ này dễ dàng tìm được số học sinh mỗi khối (khối ba có 198 HS; khối bốn có
264 HS; khối năm có 330 HS).
Cần lưu ý rằng các phân số 2/3; 2/4; 2/5 có thể giảm 2 lần để đưa 1/3 số HS khối ba bằng 1/4
số HS khối bốn và bằng 1/5 số HS khối năm (trở thành bài toán cơ bản).
+ Ví dụ 2. Tìm hai số, biết rằng 3/4 của số thứ nhất bằng 6/11 của số thứ hai; số thứ hai lớn
hơn số thứ nhất là 1935 dơn vị.
Quy đồng tử số các phân số 3/4 và 6/11. Ta có 3/4 = 6/8
Như vậy 6/8 của số thứ nhất bằng 6/11 của số thứ hai; hay 1/8 của số thứ nhất bằng 1/11 của số
thứ hai.

Dựa trên sơ đồ này có thể tìm được mỗi số (số thứ nhất là 5160; số thứ hai là 7095).
Từ những ví dụ trên cho thấy việc quy đồng tử số làm việc xác định tỉ số của hai số được dễ
dàng, thuận tiện hơn.

PGS.TS Đỗ Trung Hiệu
MỘT DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ
Khi học về phân số các em được làm quen với nhiều bài toán có lời văn mà khi giải phải
chuyển chúng về dạng toán điển hình. Trong bài viết này tôi xin trao đổi về một dạng toán như
thế thông qua một số ví dụ sau :
Ví dụ 1 : Tìm một phân số biết rằng nếu nhân tử số của phân số đó với 2, giữ nguyên mẫu số
thì ta được một phân số mới hơn phân số ban đầu là 7/36.
Phân tích : Ta đã biết nhân một phân số với số tự nhiên ta chỉ việc nhân tử của phân số với số
tự nhiên đó và giữ nguyên mẫu số. Vậy nhân tử số của phân số với 2, giữ nguyên mẫu số tức là
ta gấp phân số đó lên 2 lần. Bài toán được chuyển về bài toán tìm hai số biết hiệu và tỉ.
Bài giải : Nếu nhân tử số của phân số đó với 2, giữ nguyên mẫu số ta được phân số mới. Vậy
phân số mới gấp 2 lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ :


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm

Phân số ban đầu là :

Ví dụ 2 : Tìm một phân số biết rằng nếu ta chia mẫu số của phân số đó cho 3, giữ nguyên tử số
thì giá trị của phân số tăng lên 14/9.
Phân tích : Phân số là một phép chia mà tử số là số bị chia, mẫu số là số chia. Khi chia mẫu số
cho 3, giữ nguyên tử số tức là ta giảm số chia đi 3 lần nên thương gấp lên 3 lần hay giá trị của
phân số đó gấp lên 3 lần. Do đó phân số mới gấp 3 lần phân số ban đầu. Bài toán chuyển về
dạng tìm hai số biết hiệu và tỉ.
Bài giải : Khi chia mẫu của phân số cho 3, giữ nguyên tử số thì ta được phân số mới nên phân

số mới gấp 3 lần phân số ban đầu, ta có sơ đồ :

Phân số ban đầu là :

Ví dụ 3 : An nghĩ ra một phân số. An nhân tử số của phân số đó với 2, đồng thời chia mẫu số
của phân số đó cho 3 thì An được một phân số mới. Biết tổng của phân số mới và phân số ban
đầu là 35/9. Tìm phân số An nghĩ.
Phân tích : Khi nhân tử số của phân số với 2, giữ nguyên mẫu số thì phân số đó gấp lên 2 lần.
Khi chia mẫu số của phân số cho 3, giữ nguyên tử số thì phân số đó gấp lên 3 lần. Vậy khi
nhân tử số của phân số với 2 đồng thời chia mẫu số của phân số cho 3 thì phân số đó gấp lên 2
x 3 = 6 (lần). Bài toán được chuyển về dạng toán điển hình tìm 2 số biết tổng và tỉ.
Bài giải : Khi nhân tử số của phân số An nghĩ với 2 đồng thời chia mẫu số của phân số đó cho
3 thì được phân số mới. Vậy phân số mới gấp phân số ban đầu số lần là : 2 x 3 = 6 (lần), ta có
sơ đồ :


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm

Phân số ban đầu là :

Từ 3 ví dụ trên ta rút ra một nhận xét như sau :
Một phân số :
- Nếu ta tăng (hoặc giảm) tử số bao nhiêu lần và giữ nguyên mẫu số thì phân số đó tăng (hoặc
giảm) bấy nhiêu lần.
- Nếu ta giảm (hoặc tăng) mẫu số bao nhiêu lần và giữ nguyên tử số thì phân số đó tăng (hoặc
giảm) bấy nhiêu lần.
Các bạn hãy thử sức của mình bằng một số bài toán sau đây :
Bài 1 : Tìm một phân số biết rằng nếu tăng tử số lên 6 lần, đồng thời tăng mẫu số lên 2 lần thì
giá trị phân số tăng 12/11.
Bài 2 : Toán nghĩ ra một phân số sau đó Toán chia tử số của phân số cho 2 và nhân mẫu số của

phân số với 4 thì Toán thấy giá trị của phân số giảm đi 15/8. Tìm phân số mà Toán nghĩ.
Bài 3 : Từ một phân số ban đầu, Học đã nhân tử số với 3 được phân số mới thứ nhất, chia mẫu
số cho 2 được phân số mới thứ hai, chia tử số cho 3 đồng thời nhân mẫu số với 2 được phân số
mới thứ ba. Học thấy tổng ba phân số mới là 25/8. Đố bạn tìm được phân số ban đầu của Học.
Ngô Văn Nghi
(Giáo viên trường TH Nam Đào, thị trấn Nam Giang, Nam Trực, Nam Định)

V. SO SÁNH PHÂN SỐ
1. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số, quy đồng tử số
a) Quy đồng mẫu số
Bước 1: Quyđồng mẫu số


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
Bước 2: So sánh phân số vừa quy đồng
Ví dụ: So sánh
+) Ta có:
+) Vì

1
1
và
2
3

1 1× 3 3
=
=
2 2×3 6

1 1× 2 2
=
=
3 3× 6

3 2
1 1
> nên >
6 6
2 3

b) Quy đồng tử số
Bước 1: Quy đồng tử số
Bước 2: So sánh phân số đã quy đồng tử số
Ví dụ: So sánh hai phân số

2
3
và bằng cách quy đồng tử số
5
4

+) Ta có :
2 2×3 6
=
=
5 5 × 3 15

+) Vì

3 3× 2 6
=
=
4 4× 2 8

6 6
2 3
< nên <
15 8
5 4

2. So sánh phân số bằng cách so sánh phần bù với đơn vị của phân số
- Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ
hơn và ngược lại.
Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
2000
2001
và
2001
2002

Bước 1: (Tìm phần bù)
Ta có : 1 −

2000
1
=
2001 2001

1-

2001
1
=
2002 2002

Bước 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh)


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
Vì

1
1
2000 2001
>
<
nên
2001 2002
2001 2002

* Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tử 1
B = mẫu 2 - tử 2
Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trường hợp A ≠ B ta có thể sử dụng tính
chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai
phân số bằng nhau:
Ví dụ:

2000
2001
và
.
2001
2003
2000

2000 × 2

4000

+) Ta có: 2001 = 2001 × 2 = 4002
1+)Vì

4000
2
=
4002 4002

1-

2001
2
=
2003 2003

2
2
4000 2001

2000 2001
<
>
>
nên
hay
4002 2003
4002 2003
2001 2003

3. So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị của phân số:
- Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
- Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ví dụ: So sánh:

2001
2002
và
2000
2001

Bước 1: Tìm phần hơn
Ta có:

2001
1
−1 =
2000
2000

2002
1
−1 =
2001
2001

Bươc 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.
Vì

1
1
2001 2002
>
>
nên
2000 2001
2000 2001

* Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1
D = tử 2 - mẫu 2


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C ≠ D ta có thể sử dụng
tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số
của hai phân số bằng nhau.
Ví dụ: So sánh hai phân số sau:
2001

2001 × 2

2001
2003
và
2000
2001
4002

Bước1: Ta có: 2000 = 2000 × 2 = 4000
4002
2
−1 =
4000
4000

Bước 2: Vì

2003
2
−1 =
2001
2001

2
2
4002 2003
2001 2003
<
<
<

nên
hay
4000 2001
4000 2001
2000 2001

4. So sánh phân số bằng cách so sánh cả hai phân số với phân số trung gian
Ví dụ 1: So sánh

3
4
và
5
9

Bước 1: Ta có:
3 3 1
> =
5 6 2

Bước 2: Vì

4 4 1
< =
9 8 2

3 1 4
3 4
> > nên >
5 2 9

5 9

Ví dụ 2: So sánh

19
31
và
60
90

Bước 1: Ta có:
19 20 1
<
=
60 60 3

Bước 2: Vì

19 1 31
19 31
< <
<
nên
60 3 90
60 90

Ví dụ 3: So sánh
Vì

101

100
và
100
101

101
100
101 100
>1 >
>
nên
100
101
100 101

Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất.

31 30 1
>
=
90 90 3


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
40
41
và
57
55

Bài giải
+) Ta chọn phân số trung gian là :
+) Ta có:

+) Vậy

40
55

40 40 41
<
<
57 55 55

40 41
<
57 55

* Cách chọn phân số trung gian :
- Trong một số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm
được như: 1,

1 1
, ,... (ví dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thương của mẫu số và tử số của từng phân số
2 3

rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thương vừa tìm được. Số tự nhiên đó chính là mẫu số của
phân số trung gian còn tử số của phân số trung gian chính bằng 1.
- Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số

a
c
và (a, b, c, d khác 0)
b
d

- Nếu a > c còn b < d (hoặc a < c còn b > d) thì ta có thể chọn phân số trung gian là

a
c
(hoặc
d
b

)
- Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu
của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số
(ví dụ: gấp 2 hoặc 3lần,…hay bằng

1 2 4
, , ,... ) thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân
2 3 5

số lên một số lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ
nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên.
Ví dụ: So sánh hai phân số
15

15 × 5

15
70
và
23
117
75

Bước 1: Ta có: 23 = 23 × 5 = 115


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
Ta so sánh

70
75
với
117
115

Bước 2: Chọn phân số trung gian là:
Bước 3: Vì

70
115

70
70
75
70
75

70 15
<
<
<
<
nên
hay
117 115 115
117 115
117 23

5. Đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh
- Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta được cùng thương thì ta đưa hai
phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó.
Ví dụ: So sánh hai phân số sau:
Ta có:
Vì

47
2
=3
15
15

47
65
và .
15
21

65
2
=3
21
21

2
2
2
2
47 65
>
>
nên 3 > 3 hay
15 21
15
21
15 21

- Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta được hai thương khác nhau, ta cũng đưa hai
phân số về hỗn số để so sánh.
Ví dụ: So sánh

41
23
và
11
10

Ta có:

41
8
=3
11
11

Vì 3 > 2 nên 3

23
3
=2
10
10

8
3
41 23
>2
hay >
11
10
11 10

* Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân cả hai
phân số đó với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó
với nhau
Ví dụ: So sánh
+) Ta có:

47

65
và .
15
21

47
47
2
=9
x3=
15
5
5

65
65
2
×3 =
=9
21
7
7


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
2 2
2
2
47
65

> nên 9 > 9 hay
>
5 7
5
7
15
21

+) Vì

6. Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh
- Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm được bằng 1 thì hai phân số
đó bằng nhau; nếu thương tìm được lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai;
nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai.
Ví dụ: So sánh
Ta có:

5
7
và
9
10

5
7
50
5
7
< 1 Vậy
: =

< .
9 10 63
9
10

BÀI TẬP
Bài 1: Rút gọn các phân số sau thành phân số tối giản:
297 474 549 3672 7976
;
;
;
;
.
891 1185 1281 4284 9970

Bài 2: Quy đồng mẫu số các phân số sau:
3
4

a) ;
c)

4
9

13 5 43
;
;
16 27 49

b)

26 13
;
32 18

d)

45 28 56
;
;
65 36 60

Bài 3: Quy đồng mẫu số các phân số sau:
a)

8 23
;
15 60

b)

13 11
;
24 18

c)

11 17
;

16 80

d)

1 4 2
; ;
4 5 3

Bài 4: Quy đồng tử số các phân số sau:
a)

12 8
;
13 9

b)

16 27 21
;
;
15 31 19

Bài 5:
a)Viết các số thập phân dưới dạng tỉ số phần trăm: 0,15 ; 3,1 ; 0,8 ; 3,5.
b)Viết các tỉ số phần trăm dưới dạng số thập phân: 25% ; 1.3% ; 10% ; 85%.


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
c)Viết các phân số sau dưới dạng tỉ số phần trăm:

1 1 1 5
; ; ;
2 4 8 16

Bài 6: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)

7
17
và
11
23

d)

34
35
và
43
42

b)

12
13
và
48
47

e)

23
47
và
48
92

c)

25
25
và
30
49

g)

415
572
và
395
581

Bài 7: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)

12
7
và
17

15

d)

1998
1999
và
1999
2000

b)

1999
12
và
2001
11

e)

1
1
và
a +1
a −1

c)

13
27

và
27
41

g)

23
24
và
47
45

Bài 8: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)

15
5
và
25
7

e)

3
17
và
8
49

b)

13
27
và
60
100

g)

43
29
và
47
35

c)

1993
997
và
1995
998

h)

43
31
và
49
35

d)

47
29
và
15
35

i)

16
15
và
27
29

Bài 9: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)

13
23
và
15
25

d)

13
133

và
15
153

b)

23
24
và
28
27

e)

13
1333
và
15
1555


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
c)

12
25
và
25
49

Bài 10:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
; ; ; ; ; ; ; ;
2 3 4 5 6 7 8 9 10

a) Sắp xếp các phân số theo thứ tự giảm dần:

b) Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần:

26 215 10 26 152
;
; ; ;
.
15 253 10 11 253

c) Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần:

5 1 3 2 4
; ; ; ; .
6 2 4 3 5

d) Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đén bé:

21 60 19
; ;
25 81 29

e) Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đén bé:

15 6 3 12 2004

; ;1; ; ;
6 14 5 15 1999

Bài 11: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau:
a)

1985 19 1983 31 1984
; ;
; ;
1980 60 1981 30 1982

b)

196 14 39 21 175
; ; ; ;
189 45 37 60 175

Bài 12: Viết các phân số sau dưới dạng phân số thập phân rồi xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
11 9 7 600 19
; ;
;
;
20 10 25 1000 50

Bài 13: Tìm phân số nhỏ nhất và phân số lớn nhất trong các phân số sau:
12 77 135 13 231
;
;
;
;

49 18 100 47 123

Bài 14:
a) Tìm 6 phân số tối giản nằm giữa

1
3
và
5
8

b) Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số:
2
3
và
5
5

1995
1995
và
1997
1996


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
Bài 15: Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân số:
a.

999

1001
và
1001
1003

b.

9
11
và
10
13

Bài 16: So sánh phân số sau với 1
34 × 34

1999 × 1999

a) 33× 35

b) 1995 ×1995

198519851985 × 198719871987

c) 198619861986 × 198619861986
Bài 17: So sánh

1 × 3 × 5 + 2 × 6 × 10 + 4 × 12 × 20 + 7 × 21 × 35
308
với

1 × 5 × 7 + 2 × 10 × 14 + 4 × 20 × 28 + 7 × 35 × 49
708

Bài 18: So sánh A và B, biết:
11 × 13 × 15 + 33 × 39 × 45 + 55 × 65 × 75 + 99 × 117 × 135

A = 13 × 15 × 17 + 39 × 45 × 51 + 65 × 75 × 85 + 117 × 135 × 153
B=

1111
1717

Bài 19: So sánh các phân số sau (n là số tự nhiên)
a. )

n +1 n + 3
;
n+2 n+4

b)

n
n −1
;
n+3 n+4

Bài 20: So sánh phân số sau: (a là số tự nhiên, a khác 0)
a)

a +1 a + 3

;
a
a+2

b)

Bài 21: Tổng S =
Bài 22: So sánh

a +1
a
;
a+6 a+7

1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + có phải là số tự nhiên không? Vì sao?
2 3 4 5 6 7 8

1
1
1
1
1
5
+
+
+ ... +
+
với
31 32 33

89 90
6

Bài 23: Hãy chứng tỏ rằng:
7
1
1
1
1
1
<
+
+
+ ... +
+
<1
12 41 42 43
79 80


Hội yêu toán tiểu học - sưu tầm
Bài 24: So sánh A và B biết:
A. =

2006
2007
+
987654321 246813579

B. =

2007
2006
+
987654321 246813579

Bài 25: So sánh M và N, biết:
M =

2003 2004
+
2004 2005

N =

2003 + 2004
2004 + 2005

Bài 26: So sánh A và B, biết:
A.

432143214321
999999999999

B.

1231 + 1231 + 1231 + 1231
1997 + 19971997 + 199819982000

Bài 27: Cho phân số:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9

M = 11 + 12 + 13 + ... + 19

Hãy bớt một số hạng ở tử số và một số hạng ở mẫu số sao cho giá trị phân số không thay
đổi.